23.2 第1课时 解直角三角形

b
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1

4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)

13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/62021/9/62021/9/62021/9/69/6/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月6日星期一2021/9/62021/9/62021/9/6 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/62021/9/62021/9/69/6/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/62021/9/6September 6, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/62021/9/62021/9/62021/9/6
九年级数学上册（HK）
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/62021/9/6Monday, September 06, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/62021/9/62021/9/69/6/2021 8:51:02 PM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/62021/9/62021/9/6Sep-216-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/62021/9/62021/9/6Monday, September 06, 2021
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。

2024/1/25
正切定理
在直角三角形中，锐角的正切值等于其对边比邻边，即 tanα = a/b。
6
02
勾股定理及其逆定 理
2024/1/25
7
勾股定理内容及证明
2024/1/25
勾股定理内容
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理证明
可以通过相似三角形、面积法、 向量法等多种方法进行证明。
2024/1/25
正弦、余弦定理
已知任意两边和夹角，可以利用正弦定理$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$或余弦定理$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$求出第三边和角度。
16
已知一边一角求其他元素
正弦、余弦函数
已知一条边和一个锐角，可以利用正弦或余弦函数求出另一条直角边和斜边。例如，已知直角边$a$和锐角$A$ ，则可以利用$sin A = frac{a}{c}$求出斜边$c$，再利用勾股定理求出另一条直角边$b$。
正切函数
正切（tangent）是一个 角的对边长度与邻边长度 的比值，即 tan(θ) = 对边 / 邻边。
12
特殊角度三角函数值
0°、30°、45°、60°、90°等特殊角 度的三角函数值，如 sin(30°) = 1/2 ，cos(45°) = √2/2，tan(60°) = √3 等。
特殊角度三角函数值的推导过程及其 在解题中的应用。
2024/1/25
13
三角函数图像与性质
正弦、余弦、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性等性质。 利用三角函数图像解决相关问题的思路和方法。
2024/1/25

这是已知直角三角形的两边解直角三角形的问题．
要会选择适当的三角比．
B
解：因为a2 + b2 = c2 , 所以
b = c2 - a2 = 63.52 -17.52 = 60.
A
b
C
由sin A = a = 17.5 = 0.28,得A = 16°15'37".
c 62.5
所以B = 90°- A = 90°-16°15'37"= 73°44'23".
c
b c
，tanA=
a b
利用这些关系，如果知道直角三角形的哪几个
元素就可以求其他的元素了？
两个角 × 两条边 √
一边一角 √
两个元素(至少一个是边)
由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过 程，叫做解直角三角形．
例1 在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，a = 17.5 ，c＝
a
62.5 ．解这个直角三角形
c = 12 5 , ∠A＝30 °, ∠ B = 60° .
2．在Rt△ABC 中，∠C = 90 °. (l)已知c = 15 ，∠ B = 60° ，求a ; (2)已知∠A＝35 ° ，a＝24 ，求b , c .
(1)a=7.5 (2)b=34.3, c≈41.8
1.直角三角形的边角关系：
下载
/jiaoa
n/
例2在 RtDAP论PB坛TC 中 ， 已知 C = 90 °，c = 128 , B = 52°.
解这个直：w角ww三. 角形 (边长精确到 0.01).
B
1ppt.
a
cn
PPT
A
课件
解：A =/nk/e9jia0°- B = 90°- 52°= 38°；

3
正切函数（tangent）
在直角三角形中，锐角的正切值等于对边长度除 以邻边长度，即 tan(A) = a/b。
2024/1/26
8
锐角三角函数的性质
周期性
正弦函数和余弦函数具有 周期性，周期为 360 度 或 2π 弧度。正切函数具 有周期性，周期为 180 度或 π 弧度。
奇偶性
正弦函数是奇函数（sin(x) = -sin(x)），余弦函数 是偶函数（cos(-x) = cos(x)），正切函数是奇 函数（tan(-x) = -tan(x) ）。
5
直角三角形的外接圆半径等于 斜边的一半，内切圆半径等于 两直角边之和减去斜边的差的
一半。
直角三角形的判定
01
有一个角为90度的 三角形是直角三角 形。
02
若三角形三边满足 勾股定理，则这个 三角形是直角三角 形。
03
若三角形中一边上 的中线等于这边的 一半，则这个三角 形是直角三角形。
04
若三角形的三边满 足a²+b²=c²，则这 个三角形是直角三 角形。
测量角度
通过测量角度和已知的距离或高度 ，可以解出直角三角形中的未知角 度。
16
工程问题中的解直角三角形
建筑设计
在建筑设计中，经常需要解决与 直角三角形有关的问题，如计算 建筑物的倾斜角度、确定建筑物
的位置等。
桥梁设计
在桥梁设计中，利用解直角三角 形的方法可以计算出桥墩的高度
、桥梁的跨度等关键参数。
22
THANKS
感谢观看
2024/1/26
23
值域
正弦函数和余弦函数的值 域为 [-1, 1]，正切函数的 值域为全体实数。

余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。

解：(1)过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，由图得，∠ABC＝75°－15°＝ 60°.在 Rt△ABD 中，∵∠ABC＝60°，AB＝100，∴BD＝50，AD＝50 3， ∴CD＝BC－BD＝200－50＝150，在 Rt△ACD 中，由勾股定理得：AC ＝ AD2＋CD2＝100 3≈173(km) (2)在△ABC 中，∵AB2＋AC2＝1002 ＋(100 3)2＝40000，BC2＝2002＝40000，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC ＝90°，∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝90°－15°＝75°.答：点 C 位于 点 A 的南偏东 75°方向．
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.设 CD＝x m．在 Rt△CBD 中，∵ ∠CBD＝45°，∠D＝90°，∴BD＝CD＝x m．在 Rt△ACD 中，∵tan ∠CAD＝ACDD＝x＋x 4，∠CAD＝30°，∴ 33＝x＋x 4.解得 x＝2 3＋2≈ 5.5.答：生命所在点 C 的深度约是 5.5 m.
中，BN＝PN×tan∠BPM＝(x－10)tan60°＝ 3(x－10)．由 AM＋BN＝ 46＋10 3
46 米，得 x＋ 3(x－10)＝46，解得 x＝ 1＋ 3 ，∴点 P 到 AD 的距离 46＋10 3
为 1＋ 3
7．青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言 弃．(如图所示)一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处 的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°.已知AC＝ 40米，若灰太狼以5 m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒钟后才能抓到 懒羊羊？(结果精确到个位)
4．(2014·仙桃)如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗 立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡 上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB 的高．(AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号)

23.2
解直角三角形及其应用
第1课时
解直角三角形
课前预习
课堂合作
当堂检测
1.在直角三角形中,除直角外,由已知元素求出未知元素的过程,叫 做 解直角三角形. 2.在△ABC 中,∠C=90° ,已知 c=8 3,∠A=60° ,求∠B,a,b.
解:∠B=90° -∠A=90° -60° =30° , a=c·sin A=8 3·sin 60° =12, b=c·sin B=8 3·sin 30° =4 3.
1 2
3 2
2答案16来自关闭所以 BC=4 cm.
解析
答案
12
课前预习 1 2
课堂合作 3 4 5
当堂检测 6
3.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,若 AC=2BC,则 sin A 的值是( A. C.
1 2 5 5
)
B.2 D.
5 2
关闭
根据题意,已知 AC=2BC,结合勾股定理,可得到三角形的三边之比为 1∶ 2∶5,
当堂检测
1.解简单的直角三角形 【例 1】 如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB,垂足为 D,若 ∠B=30° ,CD=6,求 AB 的长.
分析:解 Rt△CDB,求出 CB 的长,再解 Rt△ACB,求出 AB 的长.
解:在 Rt△CDB 中,CB= 在 Rt△ACB 中,AB=
������������ sin������
=
6 =12. sin30°
������������ cos������
=
12 =8 cos30°
3.
4
课前预习 1 2
课堂合作 课堂合作
当堂检测
本图形是解直角三角形常见的图形,方法很多,要灵活运用不同的方法.如本 题可以解 Rt△CDB,求出 DB,再解 Rt△ACD,求出 AD 的值.

D
C
拓展提升
1.如图，在△ABC中，∠A=30︒，∠B=45︒，AC=2 ，求AB的长.解：作CD⊥AB于D，∠A=30°， ∴AD=AC, 在Rt△BCD中，∠B=45°，
2.已知，如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12, .求: (1)线段DC的长; (2)tan∠EDC的值.解：(1)∵AD是边BC上的高，AD=12,
∠A的对边
斜边斜边
∠B的邻边
斜边
∠A的对边
∠A的邻边
∠B的对边
∠B的邻边
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
探索新知
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°6'，c=287.4,解这个直角三角形(精确到0.1).解：∵cosB＝ ，∴a＝c cosB＝287.4×0.7420≈213.3 . ∵sinB＝ ，∴b＝c sinB＝287.4×0.6704≈192.7 . ∠A＝90º－∠B＝90º－42º6′＝47º54′ .
(2)∵E是斜边AC的中点， ∴DE=EC, ∴∠EDC=∠C, 在Rt∆ADC中， ∴
归纳小结
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：(1)三边之间的关系 (勾股定理)(2)两锐角之间的关系∠A+∠B=90°.(3)边角之间的关系sinA= , sinB= , cosA= , cosB= ,tanA= , tanB= .
归纳
根据以上探究，解直角三角形有哪些类型？试填写下表

复习
如图，在Rt△ABC中：∠C=90° (1)∠A=30°，AB=4，解这个直角三角形；
2 (2)tanA= ， 求∠A的大小。 2
B
A
C
回顾 坡度的定义：
坡面的垂直高度h与水平宽度l之比 叫做坡度(或叫做坡比)，记作i
B
h i l
h
A
α l
E
注意：坡度（Slope）是地表单元陡缓的程度， 坡度是一个比值，它并不是表示一个度数。
A D
B
60°
(第4题)
A
(第3题)
C
D
当堂练习
5、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坡面AB 的坡度i=1︰1.5，坡面CD的坡度i=1︰3，试根据图 中数据求： (1)坡角α和β； (2)斜坡AB的长(精确B
α
6m
F
E
i=1︰3 β
C
当堂练习
6、如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是 10m，坡角是45°。为了方便行人，决定降低坡 度，使新的坡角为30°。若新坡脚需留3m的人 行道，问离原坡底A处11m的建筑物是否要拆除？
h
图(2)
范例
例题：如图，在山坡上种树，要求株距(相邻 两树之间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾 斜角度是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距 离(精确到0.1m)。
cos24 0.9135

B
24°
C
5.5m
A
当堂练习
1、一段坡面的坡角为60°，则坡度 i= 。 2、小明沿着坡度i = 的山坡向上 走了50m，这时他离地面25m。
探究
如图是某一大坝的横断面： (2)坡度i与坡角α之间有什么 关系？
B
α

解法:只要知道五个元素中的两个元 素（至少有一个是边），就可以求 出余下的三个未知元素
课堂小结
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系 a2 + b2 = c（2 勾股定理）
（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
A
bc
Ca B
解：过点 A 作 AD⊥BC 于 D. 在 △ACD 中，∠C = 45°，AC = 2，
A
∴CD = AD = sin C·AC = 2sin45° = 2 . 在 △ABD 中，∠B = 30°，
B
C D
∴BD =
∴BC = CD + BD = 2 + 6 .
例3 在 △ABC 中，AB =12 2 ，AC =13，cos∠B = 2 ，
解：在 Rt△ABC 中，a2 + b2 = c2，a 15，b 5，
c a2 b2 2 5.
A
在
Rt△ABC
中，sin
B
b c
2
5 5
1. 2
5
B 30o，
C
A 90o B 90o 30o 60o.
15 B
例2 如图，在△ABC 中，∠B = 30°，∠C = 45°，AC = 2， 求 BC.
意分类讨论.
当 △ABC 为锐角三角形时，如图②， BC = BD + CD = 12 + 5 = 17. ∴BC 的长为 7 或 17.
图②
例4 在△ABC中，∠A= 55°，b = 20 cm，c = 30 cm，
求三角形的面积 S△ABC.(sin55°≈0.82,精确到0.1cm2)

16 AC b 解：∵∠C＝90°，b＝8 5，AD＝ 15， ∴cos∠CAD＝ ＝ 3 AD AD 8 5 3 ＝ ＝ ，∴∠CAD＝30°.∵AD 为∠CAB 的角平分线，∴∠CAB 16 2 15 3 ＝60°，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2b＝16 5，BC＝ 3b＝ 3×8 5 ＝ 8 15
(2)两锐角之间的关系：___________________； 角 A 而言)
2
2
2
已知两条边解直角三角形 1．(3 分)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝ 5，AC＝ 15，则∠A 的度 数为( D ) A．90° B．60° C．45° D．30°
2．(3 分)在电线杆离地面 6 米高的地方向地面拉一条 10 米长的缆绳，则
23．2 解直角三角形及其运用
第1课时 解直角三角形
元素求出未知_______ 1．在直角三角形中，除直角外，由已知_______ 元素 的过
程，叫做解直角三角形． 2．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，其余五个元素(三边 a，b，c， 两锐角 A，B)之间的关系如下：
a ＋b ＝c ； (1)三边之间的关系：___________ ∠A＋∠B＝90° a b a sinA＝ cosA＝ tanA ＝ c ，__________ c ，___________.( (3)边角之间的关系：__________ b 对于锐
5 ，∴AC∶AB＝1∶ 5，∴AC＝2.∵∠CAH＝∠B ，∴sin∠ 5
5 1 CAH＝sinB＝ ＝ ，设 CE＝x(x＞0)，则 AE＝ 5x，则 x2＋22＝( 5x)2， 5 5 ∴CE＝x＝1，AC＝2，在 Rt△ABC 中，AC2＋BC2＝AB2，∴BC＝4，∴ BE＝BC－CE＝3

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质、锐角三角函数的概念和勾股定理的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是让学生学会解直角三角形，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。

教材中通过丰富的实例，引导学生探究直角三角形的边角关系，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和锐角三角函数的概念有一定的了解。

但在解决实际问题时，还可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学在生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为解直角三角形的问题，并运用相应的解决方法。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生自主探究解直角三角形的方法。

2.实例分析法：教师通过展示实例，让学生观察、操作，培养学生的动手操作能力。

3.小组合作法：学生分组讨论，共同解决实际问题，培养学生的合作意识。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备相关的教学材料，如PPT、实例、习题等。

2.学生准备：学生需要预习相关内容，了解直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如测量旗杆的高度、计算建筑物的斜边长度等，引导学生思考如何解决这些问题。