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28．2解直角三角形应用（1）——仰角俯角备课：杨梅审核：任秀萍【学习目标】⑴: 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．⑵: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．【学习难点】实际问题转化成数学模型一．练习：如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？二．例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)三．合作交流：仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．例4：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?四．练习、1．如图，一架飞机在空中A点处测得飞行高度为h米，从飞机上看到地面指挥站B的俯角为α，则飞机与地面指挥站间的水平距离为（）米A．h·sinαB．h·cosαC．h·tanαD ．2．如图，在高为h的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h表示这个建筑物的高度为（）A ．h B ．h C ．h D ．h3.如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约为（）米 A.82 B.163 C.52 D.704. 为了缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图)．已知立杆AB的高度是3 m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°.求路况显示牌BC的高度．5已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC．6如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，≈1.732）．行？说明理由.(参考数据：=1.414；=1.732；=2.449)。
仰角、俯角1.理解解直角三角形在实际问题中的应用(1)解决实际问题时,关键是根据题意抽象出其几何模型,然后再通过解决几何模型的问题得到实际问题的答案.(2)与斜三角形有关的问题,往往通过作一边上的高,把其转化为的问题.2.掌握与测量有关的几个概念如图,在测量时,视线与水平线所成的角中,视线在水平线的角叫仰角,在水平线的角叫俯角.重点一:解直角三角形解决简单实际问题利用解直角三角形解决实际问题的步骤:(1)将实际问题抽象为数学问题;(2)画出平面图形,转化为三角形的问题;1. 如图所示,A、B两点在河的两岸,要测量这两点之间的距离,测量者在与A同侧的河岸边选定一点C,测出AC=a米,∠A=90°,∠C=40°,则AB等于( )(A)asin 40°米(B)acos 40°米(C)atan 40°米(D)米2. 如图是某水库大坝横断面示意图.其中CD、AB分别表示水库上下底面的水平线,∠ABC=120°,BC的长是50 m,则水库大坝的高度h是( )(A)25 m (B)25 m (C)25 m (D) m3.某学校的校门是伸缩门,伸缩门中的每一行菱形有20个,每个菱形边长为30厘米.校门关闭时,每个菱形的锐角度数为60°(如图1),校门打开时,每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图2).问校门打开了多少米?(结果精确到1米,参考数据:sin 5°≈0.0872,cos 5°≈0.9962,sin 10°≈0.1736,cos 10°≈0.9848)重点二:有关仰角、俯角的测量问题4. (2013绵阳改编)如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底点G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为( )(A)20米(B)10米 (C)15米(D)5米5. 如图所示,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°,如果此时热气球C处的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是( )(A)200米(B)200米 (C)220米(D)100(+1)米6.(2014昆明)如图,在数学实践课中,小明为了测量学校旗杆CD的高度,在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB,测得旗杆顶端D的仰角为32°,AC=22米,求旗杆CD的高度(结果精确到0.1米,参考数据:sin 32°≈0.53,cos 32°≈0.85,tan 32°≈0.62).7. (2013遵义改编)某中学在创建“特色校园”的活动中,将该校的办学理念做成宣传牌(AB),放置在教学楼的顶部(如图所示).小明在操场上的点D处,用1米高的测角仪CD,从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°,然后向教学楼方向走了4米到达点F处,又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°.已知教学楼高BM=17米,且点A,B,M在同一直线上,求宣传牌AB的高度(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.73,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75).A层(基础)1. 在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中,某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°,此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米,则旗杆的高度约为( )(A)24米(B)20米(C)16米 (D)12米2. 在一次数学活动中,李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪,去测量学校内一座假山的高度CD.如图所示,已知李明距假山的水平距离BD为12 m,他的眼睛距地面的高度为1.6 m,李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C,此时,铅垂线OE经过量角器的60°刻度线,则假山的高度为( )(A)(4+1.6) m (B)(12+1.6) m (C)(4+1.6) m (D)4 m3. (2013山西)如图,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B,C在同一水平面上),为了测量B,C两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C地出发,垂直上升100 m到达A处,在A处观察B地的俯角为30°,则B,C两地之间的距离为( )(A)100 m (B)50 m (C)50 m (D) m4. 如图所示,某风景区为了方便游人参观,计划在主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处,若在A处测得C处的俯角为30°,两山峰的底部B、D相距900 m,则缆车线路AC的长为( )(A)300 m (B)600 m (C)900 m (D)1800 m5.如图甲、乙两楼的楼间距AC为10米,某人在甲楼楼底A处测得乙楼的楼顶B的仰角为60°,在乙楼的楼底C处测得甲楼的楼顶D的仰角为45°,则甲楼比乙楼矮米.6. 如图所示,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上:顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm.(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)7. 如图所示,从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°.如果这时气球的高度CD 为90米,且点A、D、B在同一直线上,建筑物A、B间的距离为米.8. (2013十堰)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25分钟后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A、B两点间的距离为米.9. 某煤矿发生瓦斯爆炸,该地救援队立即赶赴现场进行救援,救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象.已知A、B两点相距4米,探测线与地面的夹角分别是30°和45°,试确定生命所在点C的深度(精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73).10. (2013包头)如图,一根长 6米的木棒(AB),斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,与地面的倾斜角(∠ABO)为60°.当木棒A端沿墙下滑至点A'时,B端沿地面向右滑行至点B'.(1)求OB的长;(2)当AA'=1米时,求BB'的长.教后反思：。
课题第1课时仰角、俯角与解直角三角形授课人教学目标知识技能理解仰角、俯角的概念，并能通过作高构造直角三角形进而解直角三角形．数学考虑结合实际问题，弄清仰角、俯角的概念，通过解直角三角形，获得解决物体的高、宽等一些测量经历．问题解决要求学生擅长将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，通过解直角三角形解决实际问题．情感态度运用数形结合思想，把实际问题转化为数学问题，培养学生的自主探究精神，并进步合作交流的才能，培养学数学用数学的思想．教学重点利用俯角、仰角计算物体的高和宽等．教学难点把实际问题转化为数学模型．授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回忆1.解直角三角形的主要根据是什么？2．解直角三角形主要有哪两种类型？[答案]1.两锐角的关系、三边之间的关系、边角之间的关系.2．(1)两条边；(2)一条边和一个锐角.回忆以前所学内容，为本节课的教学内容做好准备.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】2012年6月18日，“神舟〞九号载人航天飞船与“天宫〞一号目的飞行器成功实现交会对接．“神舟〞九号与“天宫〞一号的组合体在离地球外表343 k m的圆形轨道上运行，如图28－2－37，当组合体运行到地球外表点P的正上方时，从中能直接看到的地球外表最远的点在什么位置？最远点与点P的间隔是多少(地球半径约为6400 k m, π取3.142，结果取整数)?图28－2－37通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，通过求解，初步体会解直角三角形的内涵，引入课题.活动二：理论探究交流新知1.解决问题：师生活动：老师引导学生分析问题，将实际问题转化为数学问题，并画出示意图.分析问题：从组合体中能直接看到的地球外表最远点，是视线与地球相切时的切点．如图28－2－38，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，PQ︵的长就是地球外表上P，Q两点间的间隔．为计算PQ︵的长需先求出∠POQ(即α)的度数.2.仰角、俯角的应用：例题：热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的程度间隔为120 m．这栋楼有多高(结果取整数)？仰角与俯角：在视线与程度线所成的角中，视线在程度线上方的是仰角，视线在程度线下方的是俯角.如图28－2－38，仰角α＝30°，俯角β＝60°. 图28－2－38在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地，可以求出CD，进而求出BC的长度.设置的实际问题都是从现实生活中提取出来而又高于现实的，既丰富了学生的知识，使他们更有兴趣学习，又让学生进一步经历用三角函数解决实际问题的过程，进步学生运用所学知识解决实际问题的才能.活动三：开放训练表达应用【应用举例】例1如图28－2－39，小明想测量河对岸的一幢高楼AB的高度，在河边C处测得楼顶A的仰角是60°，在距C处60米的E处有幢楼房，小明从该楼房间隔地面20米的D处测得高楼顶端A的仰角是30°(点B，C，E在同一直线上，且AB，DE均与地面BE垂直)，求楼AB的高度. 图28－2－39分析：过点D作DF⊥AB于点F.设AB的高度为x米，那么AF＝(x－20)米．在Rt△ABC和Rt△ADF中分别求出BC和DF的长度，然后根据CE＝BE－BC，代入数值求出x的值.例1主要考察理解直角三角形的应用，解答此题的关键是根据仰角构造直角三角形，培养学生解决实际问题的才能.【拓展提升】例2如图28－2－40，为了测量顶部不能到达的建筑物AB的高度，如今地平面上取一点C，用测量仪测得点A的仰角为45°，再向前进20米取一点D，使点D在BC的延长线上，此时测得点A的仰角为30°.测量仪的高为1.5米，求建筑物AB的高度. 图28－2－40[答案](10 3＋11.5)米例2主要是通过两次解直角三角形建立一元一次方程，通过解方程，求出相应的线段，从而解决求建筑物高的问题.(续表)。
第一章直角三角形的边角关系5 三角函数的应用课时1 解直角三角形在方向角，仰角、俯角中的应用1.结合实际问题，弄清方位角的概念，通过解直角三角形，获得用数学知识解决实际问题的经验．2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.3.通过把实际问题转化为数学问题的过程，感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力.体会三角函数在解决问题过程中的作用，发展学生的数学应用意识和解决问题的能力．根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.课前5分钟：学生欣赏电影《泰坦尼克号》3D版预告片视频.如图1－5－6，泰坦尼克号(RMS Titanic)是一艘奥林匹克级游轮，于1912年4月处女航时撞上冰山后沉没．“泰坦尼克号”为Titanic常用的翻译，Titan是希腊神话中的泰坦星，象征着力量和庞大．电影《泰坦尼克号》更是叙述了一段浪漫、凄美的爱情故事．泰坦尼克号的沉没让人感到遗憾，如果舵手能够分清方向、准确计算距离，也许“泰坦尼克号”的结局会是美丽的.同学们，如果你是船长，怎样才能利用我们所学的知识来避免这样的灾难呢？本节课我们将一起探讨这个问题.【探究1】如图1－5－7，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，图1－5－7开始在A岛南偏西55°方向的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°方向的C处．之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流.处理方式：首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°方向的B处，根据“上北下南，左西右东”，B在A的“下偏左”55°位置．C在B的正东方，即C在B的右边．且在A的南偏东25°方向处，即C在A的“下偏左”25°位置.图1－5－8【探究2】如图1－5－8，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)处理方式：(自主解决问题)(鼓励学生展示自己的解题过程)例1如图1－5－9，荆河公园管理处计划在公园里建一个以A为喷泉中心，且半径为15 m的圆形喷水池．公园里已建有B，C两个休息亭，BC是一条长50 m的人行道，已测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°.(1)若要在人行道BC上安装喷泉用水控制阀门E，使它到喷泉中心A的距离最短，请你在BC上画出该点E的位置.(2)通过计算，你认为该圆形喷水池会影响人行道的通行吗？图1－5－9(积极思考，先独立完成，后集体交流展示)变式：如图1－5－10某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01 m)图1－5－10 图1－5－11处理方式：学生对于具体的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形成比较好的解题思路．学生书写过程不规范，教师给出规范的步骤．根据图1－5－11回答下列问题：(1)若AC代表原楼梯长，则楼高、楼梯在地面上的长度分别是什么？40°的角是哪个角？(2)在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？例2如图1－5－12，水库大坝的截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坝顶AD＝6 m，坡长CD＝8 m，坡底BC＝30 m，∠ADC＝135°.图1－5－12(1)求∠ABC的度数；(2)如果坝长100 m，那么修筑这个大坝共需多少土石料(结果精确到0.01m3)？(积极思考，先独立完成，后集体交流展示)我们可以按照下面两图所示的方法构造直角三角形解决问题.图1－5－13 图1－5－14你能独立完成解答过程吗？例3如图1－5－14，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，在点C上方2 m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？例4如图1－5－15，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时．接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.(1)B处是否会受到台风的影响？请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)图1－5－15结合实际情景抽象出几何图形，利用直角三角形的边角关系解决实际问题．学生被情境吸引，迫切想获得新知．通过“触礁”问题的解决，引导学生分析问题，初步掌握数学建模的方法，然后再放手让学生自主解决问题．。
