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第2、3章静电场中的导体和电介质（习题课）一、本章内容提要要求：理解和掌握各种物理量（概念）的定义和物理含义，掌握各种物理定理（律）的成立条件和基本的运用方法。
1.导体—“微观带电结构”—自由电子q02.导体静电平衡条件和性质E=0E⊥表面内，表等势体、等势面，净电荷分布在导体表面上。
3.有导体存在时电场和电势分布的计算（A）电场的基本规律（第1章）（B）导体静电平衡条件和性质（C）电荷守恒定律处理“三种对称性”情况，可得到解析表达式。
4.用电场线概念讨论导体的静电平衡问题5.有导体时静电场的唯一性定理和电像法电场空间V，由若干边界面Si包围而成，每个Si都是导体表面（或S∞），若给定每个导体的：a）电势Ui，或者b) 总电量Qi，则空间V内的电场E唯一确定。
电像法处理“点电荷与导体板”和“点电荷与导体球”问题。
6.导体空腔内外的电场与静电屏蔽Q3腔内电场：由腔内带电体q1和S内（-q1）唯一决定。
腔外电场：由腔外带电体q3和S外（q2=q0+q1+q感-q感）唯一决定。
接地导体空腔可隔绝空腔内外电场之间的相互影响。
7.电介质—“分子等效电偶极子”—束缚电荷qs8.电介质的极化位移极化、取向极化，及伴存现象（电致伸缩，压电效应等）极化强度(宏观量)介质中的极化场: （P线：发自于负束缚电荷，终至于正束缚电荷）9.极化电荷（束缚电荷）（极化场P的高斯定理）ˆ：介质表面外法线方向的单位矢量）（n电介质极化产生附加电场Es10.介质的极化规律各向同性线性电介质(宏观电场力和微观束缚力相平衡的状态) 电极化率χe>0总场强 E=E0+Es各向异性线性电介质（普遍）, 极化率张量[χei]j非线性电介质电滞现象11.电位移矢量定义电位移矢量场:（D线：发自于正自由电荷，终至于负自由电荷）各向同性线性电介质D=ε0E+P=ε0E+ε0χeE=ε0εrE=εE相对介电常数（电容率）介电常数12.电位移的高斯定理（普遍）εr=1+χe>1 ε=ε0εr（积分形式）（微分形式）13.有电介质存在时电场和电势分布的计算 D⋅dS=Q0⇒D⇒E⇒P⇒qs,σss处理特定问题，如“三种对称性”问题qq+∆q∆q14.孤立导体的电容C=U=U+∆U=∆U qC=15.电容器的电容 UAB三种简单电容器平行板 C0=d，ε0S2πε0LC=C=4πε0R 0圆柱形，球形lnR2R1极板间充满电介质时16.电荷在外电场中的静电势能（W是指q与场源电荷∑Qi之间的相互作用能）17. 带电体系的静电能⎛电能(静电能W)⎫⎛分散的、⎫⎪⎪⇑⎪相距无穷⎪⇒[带电体]⇐⎪⎪外力反抗电场力做功⎪远的状态⎝⎭⎝⎭18.电荷的相互作用能（点电荷组）Ui是qi所在点的电势（除qi以外电荷产生的）19.电荷的固有能（自能）20.计算带电体系静电能的一般公式U是dq所在点的电势（由所有电荷共同产生的）●带电面●带电等势面●电容器带电时21.电场的能量1 12w=εE⋅E=εE00真空中电场的能量 e1 22 （单纯电场能量密度）电介质中电场能量密度1 1 1we=2D⋅E=2ε0E⋅E+2P⋅E 极化分子增加的内能1 12w=P⋅E=(ε-1)εEr0 e22 2（电介质的极化能密度）各向同性线性电介质22.计算电场能量的一般公式23.静电场的基本方程Ls E⋅dl=0 , ∇⨯E=0 （静电场的环路定理） V D⋅dS=⎰⎰⎰ρcdV, ∇⋅D=ρ （D的高斯定理） c∂U∂U∂Uρc∆U=2+2+2=- （有介质的泊松方程）∂x∂y∂zεi222∂2U∂2U∂2U∆U=2+2+2=0 （拉普拉斯方程）∂x∂y∂z24.电介质分界面的边值关系E1t=E2t ， D1n=D2n∂U∂UUi=Uj ，εi()i=εj()j ∂n∂n25.静电问题的唯一性定理电场空间V，划分为若干区域Vi，每个Vi中充满均匀电介质εi，若（1）给定各个区域Vi内的自由电荷分布；（常见情况是电荷处处为零）（2）在整个电场空间V的边界S上给定：（常见情况是以无限远处为边界）∂Ui）电势US，或者ii) 电势的法向导数∂n S（3）有导体时，给定每个导体的：i）电势Ui，或者ii) 总电量Qi。
10-1 如题图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ，设无限远处为电势零点。
试求： (1) 球壳内外表面上的电荷；(2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势；(3) 球心O 点处的总电势。
习题10-1图解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q ，外表面上带电荷q +Q 。
(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的 距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为0d 4q qU aπε-=⎰aq04επ-=(3) 球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点产生的电势的代数和q Q q q O U U U U +-++=04qr πε=04qa πε-04Q qb πε++01114()q r a bπε=-+04Q bπε+ 10-2 有一"无限大"的接地导体板 ，在距离板面b 处有一电荷为q 的点电荷，如题图(a)所示。
试求：(1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布(参考题图(b))； (2) 面上感生电荷的总电荷(参考题图(c))。
习题10-2图解：(1) 选点电荷所在点到平面的垂足O 为原点，取平面上任意点P ，P 点距离原点为r ，设P 点的感生电荷面密度为．在P 点左边邻近处(导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理，()220cos 024P q E r b θσεπε⊥=+=+ ∴ ()2/3222/b r qb +-=πσ (2) 以O 点为圆心，r 为半径，d r 为宽度取一小圆环面，其上电荷为 ()3222d d d //Q S qbr r r bσ==-+q Q a bO r()q brrr qb S Q S-=+-==⎰⎰∞2322d d /σ10-3 如题图所示，中性金属球A ，半径为R ，它离地球很远．在与球心O 相距分别为a 与b 的B 、C 两点，分别放上电荷为A q 和B q 的点电荷，达到静电平衡后，问： (1) 金属球A 内及其表面有电荷分布吗？(2) 金属球A 中的P 点处电势为多大？(选无穷远处为电势零点)B C R AP Oq A q Bba习题10-3图解：(1) 静电平衡后，金属球A 内无电荷，其表面有正、负电荷分布，净电荷为零． (2) 金属球为等势体，设金属球表面电荷面密度为． ()()000d 4=4////AP A B S U U S R q a q a σπεπε==⋅+⎰⎰∵d 0AS S σ⋅=⎰⎰∴ ()()04///P A B U q a q a πε=+10-4 三个电容器如题图联接，其中C 1 = 10×10-6 F ，C 2 = 5×10-6 F ，C 3 = 4×10-6 F ，当A 、B 间电压U =100 V 时，试求：(1) A 、B 之间的电容；(2) 当C 3被击穿时，在电容C 1上的电荷和电压各变为多少？ABC 1C 2 C 3U习题10-4图解：(1) =+++=321321)(C C C C C C C 3.16×10-6 F(2) C 1上电压升到U = 100 V ，电荷增加到==U C Q 111×10-3 C10-5 一个可变电容器，由于某种原因所有动片相对定片都产生了一个相对位移，使得两个相邻的极板间隔之比为2:1，问电容器的电容与原来的电容相比改变了多少？(a) (b)习题10-5图解：如图所示，设可变电容器的静片数为n ，定片数为1-n ，标准情况下，极板间的距离为d （图a ），极板相对面积为S 。
第十章 静电场中的导体和电介质一 选择题1. 半径为R 的导体球原不带电，今在距球心为a 处放一点电荷q ( a ＞R )。
设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( )20200π4 . D )(π4 . C π4 . B π4 .A R)(a qa R a q a qR a q o --εεεε 解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷q '±分布在导体球表面上，且0)(='-+'+q q ，它们在球心处的电势⎰⎰'±'±='='='q q q R R q V 0d π41π4d 00εε 点电荷q 在球心处的电势为 aq V 0π4ε= 据电势叠加原理，球心处的电势aq V V V 00π4ε='+=。
所以选（A ）2. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( )00002 . D . C 2 . B 2 .A εd E=εE=E E σσεσεσ== 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为S 2σ，可得 0εσ=E 。
所以选（C ）3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为 d 处(d<R )，固定一电量为+q 的点电荷。
用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心o 处的电势为 ( ))Rd (q R d q 11π4 D. 4πq C. π4 B. 0 A.000-εεε 解：球壳内表面上的感应电荷为-q ，球壳外表面上的电o R d +q ． 选择题2图荷为零，所以有)π4π4000Rq d qV εε-+=。
所以选（ D ）4. 半径分别为R 和r 的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电，在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( )A ． R ／r B. R 2 / r 2 C. r 2 / R 2 D. r / R 解：两球相连，当静电平衡时，两球带电量分别为Q 、q ，因两球相距很远，所以电荷在两球上均匀分布，且两球电势相等，取无穷远为电势零点，则r q R Q 00π4π4εε= 即 rR q Q = Rr r q R Q r R ==22 4/4/ππσσ 所以选（D ）5. 一导体球外充满相对介质电常数为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度σ为 ( )A. ε0 EB. ε0εr EC. εr ED. (ε0εr -ε0) E 解：根据有介质情况下的高斯定理⎰⎰∑=⋅q S D d ，取导体球面为高斯面，则有S S D ⋅=⋅σ，即E D r 0εεσ==。
静电场中的导体和电解质习题、答案及解法一．选择题1.一个不带电的空腔导体球壳，内半径为R 。
在腔内离球心的距离为a 处放一点电荷q +，如图1所示。
用导线把球壳接地后，再把地线撤去。
选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为 [ D ] （A ）aq 02πε； （B ）0 ；（C ）Rq 04πε-； （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-R a q 1140πε。
参考答案：)11(4)11(440020Ra q a R q dl Rq Edl V RaRa-=--===⎰⎰πεπεπε 2.三块互相平行的导体板之间的距离21d d 和比板面积线度小得多，如果122d d =外面二板用导线连接，中间板上带电。
设左右两面上电荷面密度分别为21σσ和，如图2所示，则21σσ为（A ）1 ； （B ）2 ； （C ）3 ；（D ）4 。
[ B ]解：相连的两个导体板电势相等2211d E d E =，所以202101d d εσεσ= 1221d d =σσ 3.一均匀带电球体如图所示，总电荷为Q +，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r ,2r 的金属球壳。
设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势分别为[ B ] （A ）204r q πε，0 ； （B ）0，204r q πε ；（C ）0，rq 04πε ； （D ）0，0 。
1r 2r OPQ+q+aOR 1d 2σ2d 1σ参考答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-==∙+∙=∙=⎰⎰⎰⎰∞∞∞2020201411441222r Q rQdr r Q ld E l d E ld E U r r r rpp πεπεπε4.带电导体达到静电平衡时，其正确结论是 [ D ] （A ） 导体表面上曲率半径小处电荷密度较小; （B ） 表面曲率较小处电势较高; （C ） 导体内部任一点电势都为零;（D ） 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零。
静电场中的导体与电介质一章习题解答习题8—1 A 、B 为两个导体大平板，面积均为S ，平行放置，如图所示。
A 板带电+Q 1，B 板带电＋Q 2，如果使B 板接地，则AB 间电场强度的大小E 为：［ ］ (A)S Q 012ε (B) SQ Q 0212ε- (C) SQ 01ε (D) S Q Q 0212ε+解：B 板接地后，A 、B 两板外侧均无电荷，两板内侧带等值异号电荷，数值分别为+Q 1和-Q 1，这时AB 间的场应是两板内侧面产生场的叠加，即SQS Q S Q E 01010122εεε=+=板间 所以，应该选择答案(C)。
习题8—2 C 1和C 2两个电容器，其上分别标明200pF(电容量)，500V(耐压值)和300pF ，900V 。
把它们串联起来在两端加上1000V 的电压，则［ ］(A) C 1被击穿，C 2不被击穿 (B) C 2被击穿，C 1不被击穿 (C) 两者都被击穿 (D) 两者都不被击穿 答：两个电容器串联起来，它们各自承受的电压与它们的电容量成反比，设C 1承受的电压为V 1，C 2承受的电压为V 2，则有231221==C V V ①100021=+V V ②联立①、②可得V 6001=V ， V 4002=V可见，C 1承受的电压600V 已经超过其耐压值500V ，因此，C 1先被击穿，继而1000V 电压全部加在C 2上，也超过了其耐压值900V ，紧接着C 2也被击穿。
所以，应该选择答案(C)。
习题8—3 三个电容器联接如图。
已知电容C 1=C 2=C 3，而C 1、C 2、C 3的耐压值分别为100V 、200V 、300V 。
则此电容器组的耐压值为［ ］(A) 500V (B) 400V (C) 300V (D) 150V (E) 600V解：设此电容器组的两端所加的电压为u ，并且用C 1∥C 2表示C 1、C 2两电容器的并联组合，这时该电容器组就成为C 1∥C 2与C 3的串联。
第十一章 静电场中的导体和电介质习题参考答案三、计算题1．答案：（1）330V ，270V ； （2）270V ，270V ； （3）60V ， 0V ； （4） 0V ，180V 。
解：本题可用电势叠加法求解，即根据均匀带电球面内任一点电势等于球面上电势，均匀带电球面外任一点电势等于将电荷集中于球心的点电荷在该点产生的电势。
首先求出导体球表面和同心导体球壳内外表面的电荷分布。
然后根据电荷分布和上述结论由电势叠加原理求得两球的电势。
若两球用导线连接，则电荷将全部分布于外球壳的外表面，再求得其电势。
（1） 据题意，静电平衡时导体球带电101.010C q -=⨯，则 导体球壳内表面带电为101.010C q --=-⨯； 导体球壳外表面带电为101210C q Q -+=⨯， 所以，导体球电势U 1和导体球壳电势U 2分别为101231330V 4q q q Q U R R R πε⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭203331270V 4q q q Q U R R R πε⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭（2）两球用导线相连后，导体球表面和同心导体球壳内表面的电荷中和，电荷全部分布于球壳外表面，两球成等势体，其电势为12031270V 4q QU U U R πε+'====（3）若外球接地，则球壳外表面的电荷消失，且02=U1012160V 4q q U R R πε⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（4）若内球接地，设其表面电荷为q '，而球壳内表面将出现q '-，球壳外表面的电荷为Q q '+．这些电荷在球心处产生的电势应等于零，即10123104q q q Q U R R R πε⎛⎫'''+=-+= ⎪⎝⎭解得10310C q -'=-⨯，则 203331180V 4q q q Q U R R R πε⎛⎫'''+=-+= ⎪⎝⎭2．解：(1) dSC r 2101εε=dSC r 2202εε=, 则)(221021r r dSC C C εεε+=+=（2）2/101d SC r εε=2/202d SC r εε=, 则 )(21112121021r r r r d S C C C εεεεε+=+=3．答案：（1）2倍； （2）21rrεε+倍。
第6章 静电场中的导体和电介质一、选择题1. 一个不带电的导体球壳半径为r , 球心处放一点电荷, 可测得球壳内外的电场． 此后将该点电荷移至距球心r /2处,种情况? [ ] (A) 对球壳内外电场无影响 (B) 球壳内外电场均改变(C) 球壳内电场改变, 球壳外电场不变(D) 球壳内电场不变, 球壳外电场改变2. 当一个导体带电时, 下列陈述中正确的是[ ] (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面上曲率较大处电势较高 (C) 表面上每点的电势均相等 (D) 导体内有电力线穿过3. 关于带电导体球中的场强和电势, 下列叙述中正确的是 [ ] (A) 导体内的场强和电势均为零 (B) 导体内的场强为零, 电势不为零(C) 导体内的电势与导体表面的电势相等(D) 导体内的场强大小和电势均是不为零的常数4. 当一个带电导体达到静电平衡时[ ] (A) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差为零 (B) 表面曲率较大处电势较高(C) 导体内部的电势比导体表面的电势高 (D) 表面上电荷密度较大处电势较高5. 一点电荷q 放在一无限大导体平面附近, 相距d , 若无限大导体平面与地相连, 则导体平面上的总电量是 [ ] (A)2q (B) 2q- (C) q (D) q -6. 在一个绝缘的导体球壳的中心放一点电荷q , 则球壳内、外表面上电荷均匀分布．若使q 偏离球心, 则表面电荷分布情况为[ ] (A) 内、外表面仍均匀分布 (B) 内表面均匀分布, 外表面不均匀分布 (C) 内、外表面都不均匀分布 (D) 内表面不均匀分布, 外表面均匀分布7. 带电量不相等的两个球形导体相隔很远, 现用一根细导线将它们连接起来． 若大球半径为m , 小球半径为n , 当静电平衡后, 两球表面的电荷密度之比 σ m ／σ n 为[ ] (A) n m (B) mn(C)22n m (D) 22m n8. 真空中有两块面积相同的金属板, 甲板带电q , 乙板带电Q ．现将两板相距很近地平行放置, 并使乙板接地, 则乙板所带的电量为 [ ] (A) 0 (B) －q (C) 2Q q +- (D) 2Qq +9. 在带电量为+q 的金属球的电场中, 为测量某点的电场强度E, 现在该点放一带电量为(+q /3)的试验电荷, 电荷受力为F, 则该点的电场强度满足[ ] (A) q F E 6> (B) q FE 3>(C) q F E 3< (D) qFE 3=10. 在一个带电量为Q 的大导体附近的P 点, 置一试验电荷q , 实验测得它所受力为F ．若考虑到q 不是足够小, 则此时F/q 比P 点未放q时的场强[ ] (A) 小 (B) 大(C) 相等 (D) 大小不能确定11. 有一负电荷靠近一个不带电的孤立导体, 则导体内场强大小将[ ] (A) 不变 (B) 增大 (C) 减小 (D) 其变化不能确定12. 一个带正电的小球放入一个带等量异号电荷、半径为R 的球壳中．在距球心为r (R r <)处的电场与放入小球前相比将 [ ] (A) 放入前后场强相同 (B) 放入小球后场强增加 (C) 因两者电荷异号, 故场强减小 (D) 无法判定13. 真空中有一组带电导体, 其中某一导体表面处电荷面密度为σ, 该表面附近的场强大小0/εσ=E , 其中E 是[ ] (A) 该处无穷小面元上电荷产生的场 (B) 该导体上全部电荷在该处产生的场 (C) 这一组导体的所有电荷在该处产生的场 (D) 以上说法都不对14. 设无穷远处电势为零, 半径为R 的导体球带电后其电势为U , 则球外离球心距离为r 处的电场强度大小为3qQqq[ ] (A) 32r U R (B) r U (C) 2rRU(D) R U15. 一平行板电容器始终与一端电压恒定的电源相连．当此电容器两极间为真空时, 其场强为0E , 电位移为0D; 而当两极间充满相对介电常数为εr 的各向同性均匀电介质时, 其间场强为E , 电位移为D, 则有关系[ ] (A) 00,/D D E E r==ε(B) 00,D D E E ==(C) r r D D E E εε/,/00== (D) 00,D D E E r ε==16. 一空气平行板电容器接上电源后, 在不断开电源的情况下浸入媒油中, 则极板间的电场强度大小E 和电位移大小D 的变化情况为[ ] (A) E 和D 均减小 (B) E 和D 均增大 (C) E 不变, D 减小 (D) E 不变, D 增大17. 把一个带正电的导体B 靠近一个不带电的绝缘导体A 时, 导体A 的电势将[ ] (A) 升高 (B) 降低 (C) 不变 (D) 变化与否不能确定18. 有两个大小不等的金属球, 其大球半径是小球半径的两倍, 小球带有正电荷．当用金属细线连接两金属球后[ ] (A) 大球电势是小球电势的两倍 (B) 大球电势是小球电势的一半 (C) 所有电荷流向大球 (D) 两球电势相等19. 在无穷大的平板A 上均匀分布正电荷, 面电荷密度为σ,带净电荷的大导体平板B , 则A 板与B 板间的电势差是 [] (A) 02εσd (B) 0εσd(C) 03εσd(D) σεd 020. 导体壳内有点电荷q , 壳外有点电荷Q , 导体壳不接地．当Q 值改变时, 下列关于壳内任意一点的电势和任意两点的电势差的说法中正确的是 [ ] (A) 电势改变, 电势差不变 (B) 电势不变, 电势差改变T6-1-15图(C) 电势和电势差都不变 (D) 电势和电势差都改变21. 两绝缘导体A 、B 带等量异号电荷．现将第三个不带电的导体C 插入A 、B 之间, 但不与A 、B 接触, 则A 、B 间的电势差将[ ] (A) 增大 (B) 减小(C) 不变 (D) 如何变化不能确定22. 两个薄金属同心球壳, 半径分别为R 和r (R ＞r ), 若分别带上电量为Q 和q 的电荷, 此时二者的电势分别为U 和V ．现用导线将二球壳连起来, 则它们的电势为[ ] (A) U (B) V(C) U ＋V (D) )(21V U +23. 就有极分子电介质和无极分子电介质的极化现象而论 [ ] (A) 两类电介质极化的微观过程不同, 宏观结果也不同 (B) 两类电介质极化的微观过程相同, 宏观结果也相同 (C) 两类电介质极化的微观过程相同, 宏观结果不同 (D) 两类电介质极化的微观过程不同, 宏观结果相同24. 一平行板电容器中充满相对电容率为r ε的各向同性均匀电介质．已知电介质表面极化电荷面密度为±σ', 则极化电荷在电容器中产生的电场强度大小为 [ ] (A)εσ' (B)2εσ'(C)rεεσ0'(D)rεσ'25. 一导体球外充满相对电容率为r ε的均匀电介质, 若测得导体表面附近场强为E , 则导体球面上的自由电荷面密度σ为[ ] (A) E 0ε (B) E r εε0 (C) E r ε (D) E r r )(0εεε-27. 在一点电荷产生的电场中, 以点电荷处为球心作一球形封闭高斯面, 电场中有一块对球心不对称的电介质, 则 [ ] (A) 高斯定理成立,并可用其求出封闭面上各点的场强 (B) 即使电介质对称分布, 高斯定理也不成立 (C) 高斯定理成立, 但不能用其求出封闭面上各点的电场强度 (D) 高斯定理不成立28. 在某静电场中作一封闭曲面S ．若有⎰⎰=⋅sS D 0d , 则S 面内必定[ ] (A) 没有自由电荷 (B) 既无自由电荷, 也无束缚电荷(C) 自由电荷的代数和为零 (D) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零29. 关于介质中的高斯定理⎰⎰∑=⋅sq S D 0d, 下列说法中正确的是[ ] (A) 高斯面的D通量仅与面内的自由电荷的代数和有关(B) 高斯面上处处D为零, 则高斯面内必不存在自由电荷 (C) 高斯面的D通量由面内的自由电荷和束缚电荷共同决定(D) 高斯面内不包围自由电荷时, 高斯面上各点电位移矢量D为零30. 关于静电场中的电位移线, 下列说法中正确的是 [ ] (A) 起自正电荷, 止于负电荷, 不形成闭合线, 不中断 (B) 任何两条电位移线互相平行 (C) 电位移线只出现在有电介质的空间(D) 起自正自由电荷, 止于负自由电荷, 任何两条电位移线不相交31. 两个半径相同的金属球, 一个为空心, 另一个为实心．把两者各自孤立时的电容值加以比较, 有[ ] (A) 空心球电容值大 (B) 实心球电容值大 (C) 两球容值相等 (D) 大小关系无法确定32. 有一空气球形电容器, 当使其内球半径增大到两球面间的距离为原来的一半时, 此电容器的电容为[ ] (A) 原来的两倍 (B) 原来的一半 (C) 与原来的相同 (D) 以上答案都不对33. n 只具有相同电容的电容器, 并联后接在电压为∆U 的电源上充电．去掉电源后通过开关使之接法改为串联．则串联后电容器组两端的电压V 和系统的电场能W [ ] (A) U n V ∆=，W 增大 (B) U n V ∆=，W 不变 (C) U n V ∆=，W 减小 (D) U nV ∆=1，W 不变34. 把一充电的电容器与一未充电的电容器并联．如果两电容器的电容一样, 则总电能将[ ] (A) 增加 (B) 不变 (C) 减小 (D) 如何变化不能确定35. 平行板电容器的极板面积为S , 两极板间的间距为d , 极板间介质电容率为ε． 现对极板充电Q , 则两极间的电势差为[ ] (A) 0 (B)S Qd ε (C) S Qd ε2 (D) SQdε436. 一平行板电容器充电后与电源断开, 再将两极板拉开, 则电容器上的[ ] (A) 电荷增加 (B) 电荷减少 (C) 电容增加 (D) 电压增加37. 将接在电源上的平行板电容器的极板间距拉大, 将会发生什么样的变化? [ ] (A) 极板上的电荷增加 (B) 电容器的电容增大(C) 两极间的场强减小 (D) 电容器储存的能量不变38. 真空中带电的导体球面和带电的导体球体, 若它们的半径和所带的电量都相等, 则球面的静电能W 1与球体的静电能W 2之间的关系为[ ] (A) W 1＞W 2 (B) W 1＝W 2 (C) W 1＜W 2 (D) 不能确定39. 如果某带电体电荷分布的体密度ρ增大为原来的两倍, 则其电场的能量变为原来的[ ] (A) 2倍 (B)21倍 (C) 4倍 (D) 21倍 40. 一空气平板电容器, 充电后把电源断开, 这时电容器中储存的能量为0W ．然后在两极板间充满相对电容率为r ε的各向同性均匀电介质, 则该电容器中储存的能量W 为[ ] (A) 0W W r ε= (B) rW W ε0=(C) 0)1(W W r +=ε (D) 0W W =41. 一平行板电容器, 两板间距为d , 与一电池联接时, 相互作用力为F．若将电池断开,极间距离增大到3d , 则其相互作用力变为[ ] (A) 3F (B)F 3 (C) 9F(D) 不变42. 金属圆锥体带正电时, 其圆锥表面[ ] (A) 顶点处电势最高 (B) 顶点处场强最大 (C) 顶点处电势最低(D) 表面附近场强处处相等43. 平板电容器与电源相连, 现把两板间距拉大, 则 [ ] (A) 电容量增大T6-1-42图(B) 电场强度增大 (C) 带电量增大(D) 电容量、带电量及两板间场强都减小44. 空气平行板电容器接通电源后, 将电容率为ε的厚度与极板间距相等的介质板插入电容器的两极板之间．则插入前后, 电容C 、场强E和极板上的电荷面密度σ的变化情况为[ ] (A) C 不变, E不变, σ不变(B) C 增大, E不变, σ增大 (C) C 不变, E增大, σ不变(D) C 增大, E增大, σ增大45. 空气平板电容器与电源相连接．现将极板间充满油液, 比较充油前后电容器的电容C 、电压U 和电场能量W 的变化为 [ ] (A) C 增大, U 减小, W 减小 (B) C 增大, U 不变, W 增大 (C) C 减小, U 不变, W 减小 (D) C 减小, U 减小, W 减小46. 一空气平行板电容器充电后与电源断开, 然后在两极间充满某种各向同性均匀电介质．比较充入电介质前后的情形, 以下四个物理量的变化情况为[ ] (A) E增大, C 增大, ∆U 增大, W 增大(B) E减小, C 增大, ∆U 减小, W 减小(C) E减小, C 增大, ∆U 增大, W 减小 (D) E增大, C 减小, ∆U 减小, W 增大47. 平行板电容器两极板(可看作无限大平板)间的相互作用力F 与两极板间电压∆U 的关系是:[ ] (A) U F ∆∝ (B) U F ∆∝1 (C) 2U F ∆∝ (D) 21U F ∆∝48. 在中性导体球壳内、外分别放置点电荷q 和Q , 当q 在壳内空间任意移动时, Q 所受合力的大小[ ] (A) 不变 (B) 减小(C) 增大 (D) 与q 、Q 距离有关49. 在水平干燥的玻璃板上, 放两个大小不同的小钢球, 且小球上带的电量比大球上电量多．发现两球被静电作用力排开时, 小球跑得较快, 这是由于 [ ] (A) 小球受到的斥力较大 (B) 大球受到的斥力较大(C) 两球受到的斥力大小相等, 但大球惯性大 (D) 以上说法都不对50. 一带电导体球壳, 内部没有其它电荷, 则 [ ] (A) 球内、内球面、外球面电势相等(B) 球内、内球面、外球面电场强度大小相等 (C) 球壳内电场强度为零,球心处场强不为零 (D) 球壳为等势体, 球心处电势为零51. 如果在平行板电容器的两极板间平行地插入一块与极板面积相等的电介质板, 则由于电介质的插入及其相对于极板所放置的不同, 对电容器电容的影响为 [ ] (A) 使电容减小, 但与电介质板的位置无关 (B) 使电容减小, 且与电介质板的位置有关(C) 使电容增大, 但与电介质板的位置无关 (D) 使电容增大, 且与电介质板的位置有关52. 一均匀带电Q 的球体外, 罩一个内、外半径分别为r 和R 的同心金属球壳. 若以无限远处为电势零点, 则在金属球壳r ＜R ＇＜R 的区域内 [ ] (A) E ＝0, U ＝0 (B) E ＝0, U ≠0(C) E ≠0, U ≠0 (D) E ≠0, U ＝053. 把A 、B 两块不带电的导体放在一带正电导体的电场中，如T6-1-53图所示，设无限远处为电势零点，A 的电势为U A ，B 的电势为U B ，则[ ] (A) U B > U A ≠0 (B) U B > U A = 0(C) U B = U A (D) U B < U A二、填空题1. 两金属球壳A 和B 中心相距l ，原来都不带电．现在两球壳中分别放置点电荷q 和Q ，则电荷Q 作用在q 上的电力大小为F = ．如果去掉金属壳A ，此时，电荷Q 作用在q 上的电力大小是 ．T6-1-51图ABC2. 在T6-2-2图所示的导体腔C中，放置两个导体A和B，最初它们均不带电．现设法使导体A带上正电，则这三个导体电势的大小关系为．3. 半径为r的导体球原来不带电．在离球心为R (rR>)的地方放一个点电荷q, 则该导体球的电势等于．4. 金属球壳的内外半径分别r和R, 其中心置一点电荷q, 则金属球壳的电势为．5. 一个未带电的空腔导体球壳内半径为R．在腔内离球心的距离为d处(d < R) 固定一电量为＋q的点电荷，用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心O处的电势为．6. T6-2-6图所示的11张金属箔片平行排列，奇数箔联在一起作为电容器的一极，偶数箔联在一起作为电容器的另一极．如果每张箔片的面积都是S，相邻两箔片间的距离为d，箔片间都是空气．忽略边缘效应，此电容器的电容为C = ．7. T6-2-7图中所示电容器的电容321CCC、、已知，4C的值可调．当4C的值调节到A、B两点的电势相等时，=4C．8. 位于边长为l的正三角形三个顶点上的点电荷电荷量分别为q、q2和q4-，这个系统的静电能为．9. 有一半径为R的均匀带电球体, 若球体内、外电介质的电容率相等, 此时球内的静电能与球外的静电能之比为．10. 电荷q均匀分布在内外半径分别为1R和2R的球壳体内，这个电荷体系的电势能为，电场能为．11. 一平行板空气电容器, 极板面积为S, 间距为d, 接在电源上并保持电压恒定为U．若将极板距离拉开一倍, 则电容器中的静电能改变量为．12. 有一半径为R的均匀带电球体, 若球体内、外电介质的电容率相等, 此时球内的静电能与球外的静电能之比为．三、计算题1. 真空中一导体球A原来不带电．现将一点电荷q移到距导体球A的中心距离为r处，此时，导体球的电势是多少?2. 真空中一带电的导体球A半径为R．现将一点电荷q移到距导体球A的中心距离为r处，测得此时导体球的电势为零．求此导体球所带的电荷量．3. 一盖革-米勒计数管，由半径为0.1mm的长直金属丝和套在它外面的同轴金属圆筒构成，圆筒的半径为10mm．金属丝与圆筒之间充以氩气和乙醇蒸汽，其电场强度最大值为6103.4⨯V⋅m-1. 忽略边缘效应，试问金属丝与圆筒间的电压最大不能超过多少?4. 设有一电荷面密度为0(0)σ>放置一块原来不带电，有一定厚度的金属板，不计边缘效应, (1)板两面的电荷分布；(2) 把金属板接地，金属板两面的电荷又将如何分布5. 在一块无限大的接地金属板附近有一个电量为q(>0)的点电荷，它与金属板表面相距为h，求金属板表面上的感应电荷分布及感应电荷总量．6. 一平行板电容器两极板的面积都是S，其间充有N层平行介质层，它们的电容率分别为Nεεεε、、、321,厚度分别为Ndddd、、、321．忽略边缘效应，求此电容器的电容．7. 如T6-3-7图所示，一球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的半径为R2的导体球壳组成．导体球与球壳之间一半是空气，另一半充有电容率为ε的均匀介质．求此电容器的电容．8. 静电天平的原理如T6-3-8图所示：面积为S、相距x的空气平行板电容器下板固定，上板接到天平的一端．电容器不充电时，天平恰好处于平衡．欲称某物体的质量，可将待称物放入天平另一端，再在电容器极板上加上电压，使天平再次达到平衡．如果某次测量测得其极板上的电压值为U, 问此物的质量是多少?9. 两块面积相同的大金属平板A、B, 平行放置，板面积为S，相距d，d远小于平板的线度．今在A，B板之间插入另外一面积相同，厚度为l的金属板，三板平行．求A、B 之间的电容．10. 真空中两个同心的金属薄球壳，内外球壳的半径分别为R1和R2，(1) 试求它们所构成的电容器的电容；(2) 如果令内球壳接地，它们之间的电容又是多大?11. 已知一均匀带电球体(非导体)的半径为R，带电量为q．如果球体内外介质的电容q率均近似为ε，在半径为多大的球面空间内的电场能量为其总能量的一半?12. 半径为R 的雨点带有电量q ．现将其打破，在保持总体积不变的情况下分成完全相同的两点，并拉开到“无限远”．此系统的电能改变量是多少? 解释出现这个结果的原因．13. 一面积为S 、间隔为d 的平板电容器，最初极板间为空气，在对其充电±q 以后与电源断开，再充以电容率为ε的电介质; 求此过程中该电容器的静电能减少量．试问减少的能量到哪儿去了?14. 一种利用电容器控制绝缘油液面的装置示意如T6-3-14图，平行板电容器的极板插入油中，极板与电源以及测量用电子仪器相连．当液面高度变化时，电容器的电容值发生改变，使电容器产生充放电，从而控制电路工作．已知极板的高度为a ，油的相对电容率为εr ，试求此电容器等效相对电容率与液面高度h 的关系．15. 如T6-3-15图所示，在场强为E的均匀电场中，静止地放入一电矩为p 、转动惯量为J 的电偶极子．若电矩p与场强E 之间的夹角θ 很小，试分析电偶极子将作什么运动，并计算电偶极子从静止出发运动到p与E 方向一致时所经历的最短时间．第6章 静电场中的导体和电解质一、选择题 1. C 2. C 3. C 4. A 5. D 6. D 7. B 8. B 9. B10. A 11. A 12. B 13. C 14. C 15. D 16. D 17. A 18. D 19. A 20. A 21. B 22. A 23. D 24. A 25. B 26. B 27. C 28. C 29. A 30. D 31. C 32. D 33. B 34. C 35. B 36. C 37. C 38. B 39. C 40. B 41. D 42. B 43. D 44. B 45. B46. B 47. C 48. A 49. C 50. A 51. C 52. B 53. D二、填空题 1.20π4l qQ ε，20π4l qQε 2. 0>>>C B A U U U3. R q 0π4ε4. Rq 0π4ε 5.)11(π40Rd q -ε 6. d SNC 0ε=7. 1324C CC C =8. lq W 02π25ε-=9. 1:510. 2222121023222122131)(π40)2463(3R R R R q R R R R R R +++++ε，2222121023222122131)(π40)2463(3R R R R q R R R R R R +++++ε 11. dSU 420ε-12. 1:5 三、计算题1. 解：导体平衡时是一等势体，球的电势即球心的电势．据电势叠加原理，球心的电势等于点电荷在A 球心处的电势与导体球在球心处的电势之和 点电荷q 在导体球A 之球心处的电势为rqU q 0π4ε=设导体球A 的半径为R , 因静电感应在为⎰⎰'''='=q q A q R R q U d π41π4d 00εε 因导体球感应电荷之和为0，所以0d ='⎰'q q球心处的电势rqU U U A q 0π4ε=+=2. 解：由上题的讨论可知，球心的电势应等于点电荷在A 球心处的电势与导体球在球心处的电势以及导体球上感应电荷球心处的电势之和A6-3-1图q设导体球带电Q ，它在球心处的电势为RQU Q 0π4ε=利用上题的结果， 球心处的电势为RQr q U U U U Q A q 00π4π4εε+=++=由题意有0π4π400=+=++=RQr q U U U U Q A q εε所以，导体球的带电量Q 为q rR Q =3. 解：设金属丝单位长度上的电量为λ，由高斯定理可求得金属丝与圆筒之间离轴线r 处电场强度大小为rE ελπ2=于是，金属丝与圆筒之间的电势差为内外内外外内外内R R rE R R r r U R R R R ln ln π2d π2d ==⋅=⋅=⎰⎰ελελr E此式表明：max U 对应于m ax E ，由rE ελπ2=知m ax E 对应着内和R r =max λ (V)1098.11.010ln 103.4101.0ln363max max ⨯=⨯⨯⨯⨯==-内外内R R E R U4. 解：(1) 不计边缘效应，则金属板两相对表面均匀带电，设其上的电荷面密度分别为1σ和2σ，如A6-3-4(a)图所示．因金属板原来不带电，由电荷守恒定律有120σσ+= ①设P 点为厚板内任意一点，根据场强叠加原理及导体的静电平衡条件，可得P 点的场强应满足0222020100=-+=εσεσεσP E ② 由①、 ②两式可解得2,2201σσσσ=-=σA6-3-4(a) 图(2) 把金属板接地后，板与地成为一个导体, 达到静电平衡后两者的电势必须相等，因而金属板右表面不能带电．反证如下：设板的右表面带电，则必有电场线从金属板的正电荷发出终止 于地面（或由地面发出终止于金属板的负电荷），这样，板与地之间一定存在电势差，这与静电平衡时导体的性质相矛盾，因而不可能．设接地后，板的左表面的电荷面密度为σ，按与(1)中相同的解法，根据电场强度叠加原理和导体静电平衡条件，求得金属板内任一点处的电场强度满足022000=+εσεσ 因此0σσ-=, 即金属板接地后不仅(1)中板右表面的正电荷被来自地面的负电荷中和，而且板的左表面的负电荷也增加了一倍，这时电场全部集中在带电平面与金属板之间, 如A6-3-4(b)图所示．5. 解：接地意味着该金属板的电势与地电势同为零，为满足静电平衡条件和零电势，感应电荷只出现在金属板上与点电荷相近一侧的表面，且不均匀分布．在金属板的带电面的内、外侧选取两个无限接过的场点P '和P ，它们与点电荷相距r ，与垂足O 点相距R , 如A6-3-5图所示．设q E 和PE ''分别表示点电荷和金属表面感应电荷在P '点产生的电场强度，则根据导体的静电平衡条件，P '点的合场强为零，有0='+=''P q P E E E 即，q P E E -=''，由此得PE ''的大小为 20π4rq E Pε=''由于P 和P '分居金属板带电面两侧，位置对称，可知其面上感应电荷在此两点产生的场强也对称，即，PE ' 的大小应与P E ''的大小相等，而其方向如A6-3-5图所示．同时，由于P '和P 二者无限接近，点电荷在此两点产生的场强相同．因此，金属板外侧P 点的合场强Pq P E E E'+= , 由矢量合成图可见，合场强的大小 2/322020)(π2π42cos 2R h qhr h r q E E q P +===εεθ P E的方向垂直表面指向导体内部, 即与带电表面的外法线反向．根据静电平衡时导体表面电场强度n e Eεσ=，可得P 点处感应电荷的面密度为 2/3220)π(2R h qhE P +-=-='εσ 结果表明，金属板表面的感应电荷分布不均匀，在0=R 处，σ'的绝对值最大，在离开O 点很远处（即R →∞）感应电荷面密度趋势于零．选取以O 为中心，半径为R 到R R d +的圆环，其上的电荷为σA6-3-4(b) 图P E-=''PA6-3-5图R R q d π2d σ'='＝R R h qhRd )(2/322+-故整个表面上感应电荷的总量q R R h qhRq q q -=+-='='⎰⎰∞'2/322d )(d 即与金属板旁点电荷q 等量异号．6. 解：设电容器两极板加有电压U ，极板上的电量为Q ±．由高斯定理可得，第i 层介质内电场强度的大小为SQ D E i i i i i εεσε===极板间电压∑∑⎰⎰==-+-+===⋅=N i i iNi i i d S Q d E l E U 11d d εl E由电容器电容的定义∑===Ni iid SUQC 1ε7. 解：设想通过球心的平面将一个球形电容器分成了两个半球形的电容器，再相互并联．已知球形电容器的电容为1221π4R R R R C -=ε于是，两半球形电容器的电容分别为122100π2R R R R C -=ε， 1221π2R R R R C -=εε所求之电容为)(π2π2π2012211221122100εεεεε+-=-+-=+=R R R R R R R R R R R R C C C8. 解：设加上电压U 后电容器极板上的带电量为q ±，则电容器上极板所受的电力为Sq q qE F 02022εεσ=== 由电容定义CU q =和平板电容器dSC 0ε=可得20)(21xU S F ε=天平平衡时 mg F =所以20)(21xUS F ε=A6-3-6图A6-3-8图9. 解：方法一设A ，B 两块板分别带有+q 和-q 的电量，在题设条件下，由导体的静电平衡条件可确定，电荷均匀分布在两极板的相对表面上，其电荷面密度分别为S qS q -=-=σσ和，而插入的第三个金属板两侧表面感应带等量异号的面电荷．由无限大均匀带电平面的电场可知，金属板之间的电场强度的大小SqE 00εεσ==方向垂直于板面，而金属板内场强为零；因此A ，B 两板之间的电势差为Sl d q l d E U 0)()(ε-=-==∆ 根据电容的定义式，得ld S U qC -=∆=0ε 解法二 设所插入的金属板的左侧面与A 板相距d 1，则其右侧面与B 板相距12d l d d --=A ，B 之间的电容可看成A 与插入的金属板的左侧面之间的电容C 1和B 与插入的金属板的右侧面之间的电容C 2串联而成．由平板电容器电容公式，有202101,d SC d SC εε==由串联电容公式 Sl d S d d C C C 002121111εε-=+=+= 故A ，B 之间的电容为ld SC -=0ε两种解法结果相同．10. 解：(1) 设两球壳分别带有+Q 和-Q 的电量，由导体的静电平衡条件可知, 电荷均匀分布于球面. 因此，两球面之间的电场强度方向沿径向，大小为 20π4rQE ε=两球壳之间的电势差为)11(π4d π42102021R R Q r RQU R R -==∆⎰εε 按定义，球形电容器的电容为12210π4R R R R U QC -=∆=ε (2) 令内球壳接地，则其电势为零解法一 由于无限远电势也为零，即与内球壳等电势，故此时外金属球壳和接地内金属球壳之间的电容可看作一球形电容器1C 和一由外A6-3-9图S SA6-3-10(a)图球壳与无限大(远)球壳构成的电容器2C 二者的并联，而后一电容器的电容实际就是孤立导体球的电容，因此此时两金属球壳之间的电容为1222201221021π4π4π4R R R R R R R R C C C -=+-=+=εεε 解法二 令金属球壳带电，由于内球壳接地，它所带的电荷不可能与外球壳的电荷等量异号，而应满足一定的关系．设分别为Q 1和Q 2 ，它们各自均匀分布在两个球面上，由电势叠加原理，二同心均匀带电球面在内球面形成的电势为0π4π42021011=+=R Q R Q U εε因此1221R R Q Q -= 又两金属球壳之间的电势差为 )11(π42101R R Q U -=∆ε 此时，外球壳是电容器的一个完整的电极，它所带的电荷才是电容器所带的电量，因此按定义，电容值为)(π41212101212R R Q R R R R Q U Q U QC -⋅=∆=∆=ε 1222π4R R R -=ε 结果与解法一的相同．结果讨论： 对球形电容器，如果两球壳的间距远小于球壳的半径，即1212,R R R R R <<-=∆，则221π4π4R R R ≈，为球壳面积S ．由此电容器的电容可近似为 RSR R R R C ∆≈-=012210π4εε式中R ∆是两电极之间的距离d ， dSC 0ε=，球形电容器的电容演化为平板电容器的电容．。
