安徽省江南十校2022届高三上学期摸底联考数学理试卷 Word版含答案

2022届“江南十校”一模联考理科数学参考答案、解析及评分细则一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案A D B B A C D C A D B C1.【答案】A ．【解析】1{-<=x x A 或}3>x ，}40{<<=x x B ，}43{<<=∴x x B A .选A.2.【答案】D ．【解析】由题知i z +=2，i z -=2则i i i i z z 54535)2(222-=-=+-=.选D .3.【答案】B ．【解析】函数x x f 2)(=为偶函数，且在),0(+∞单调递增，,213cos ,15log 3log 42=>>π c b f f a >>==∴)3(log )3(log 25.0.选B.4.【答案】B ．【解析】由等比数列}{n a 满足23a 是3a 与4a 的等差中项，4326a a a +=∴，即,062=-+q q 得2=q 或3-=q ，又}{n a 为正项数列，所以2=q ，,313=-a a 11=∴a ，得16415==q a a .选B.5.【答案】A ．【解析】5)2(y x -展开式的第1+r 项为r r r y xC )2(55--，令3=r ，可得第4项为32353)2(y x C -，则32y x 的系数是80)2(353-=-C .选A.6.【答案】C ．【解析】该空间几何体的直观图如图所示，正方体体积为8，截去的部分为两个三棱锥，由图示可知空间几何体体积为215212131112131822=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=V .选C.7.【答案】D ．【解析】甲、乙两位同学在再选科目中没有相同科目的情况有2224C C 种，在再选科目中恰有一门相同科目的情况有2314A C 种，因此，他们的再选科目中至多有一门相同科目的概率是65)(22423142224=+C A C C C .选D.8.【答案】C ．【解析】ab b a b a 442222-+=- ，又222b a ab +≤，则12442222=-≥-+b a ab b a ，()12min =-∴b a .选C.9.【答案】A.【解析】由题意可知：801=t d ，160122tan ==∠t d AOB ，所以2tan 12tan 2tan 2AOB AOB AOB ∠-∠=∠=11603201601180122-=-.选A.10.【答案】D.【解析】 x x x x x f 2sin 21sin )(2sin 21)sin()(-=-+-=-πππ，x x x f 2sin 21sin )(+=，)()(x f x f ≠-∴π.故A 选项错误；而013sin 2123sin )23(≠-=+=πππf .故B 选项错误；又)cos 1(sin )(x x x f +⋅=，令0)(=x f 得)(Z k k x ∈=π，所以该函数在区间]10,0[内有4个零点，故C 选项错误；而1cos cos 22cos cos )(2-+=+='x x x x x f ，由37,35[ππ∈x 得0)(≥'x f ，可知)(x f 在区间37,35[ππ上单调递增.选D.11.【答案】B.【解析】由2tan 21221PF F b S F PF ∠⋅=∆，得2tan 332122PF F b b ∠=，321π=∠∴PF F ，又PQ PF =1，所以PQ F 1∆为等边三角形，由椭圆对称性可知x PQ ⊥轴，所以3323221==F F PQ.选B.12.【答案】C.【解析】由题设可知，要使3)(≥x f 成立，则,3)0(≥f 即.,3ln 22e a a e a ≥∴≥+⋅-下证：当2e a ≥时，3)(≥x f 恒成立，2e a ≥ ，2)1ln(21)(2++--≥∴x x e x f x ，易知.)1ln(,2112x x x x e x ≤+++≥（当0=x 时，两式等号成立）则3321)(≥-+=+-+≥x x x x x f ，得证.所以),[2+∞∈e a .选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】【解析】由222b a b a +=-可得0=⋅b a ，,022=+-∴t 得2±=t .14.【答案】53【解析】由双曲线性质易知c P F b P F 2,421==，又由双曲线定义可知a P F P F 221=-，即a c b 224=-，而222a c b -=，可得032522=-+c ac a ，即0)35)((=-+c a c a ，所以C 的离心率35=e .15.【答案】-【解析】}32{sin πn 的最小正周期为3，则)23(233)23(2sin )23(23-=--=-n n n a n π；)13(233)13(2sin)13(13--=--=-n n n a n π；0332sin 33=⋅=n n a n π.2331323-=++∴--n n n a a a .所以3337)23(320222022-=-⨯=S .16.【解析】设该半多面体是由棱长为2的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，内侧即为二十四等边体，其体积320111213182221=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=V ；由二十四等边体的对称性可知，其外接球的球心即为正方体中心，半径为中心到一个顶点的距离，则2=R ，故()32823432ππ==V ，从而52212π=V V.三、解答题：共70分.（一）必考题：共60分17.【解析】（1）由已知得，sin sin cos 2cos C A C A =-，即sin cos 2sin cos sin A C C A C =-，得sin()2sin A C C +=，.….….….….….…..….….….….….….….……3分即sin 2sin B C =，由正弦定理得2b c =，所以2b c =..….….….….….….….….….….….….……6分（2）由（1）知2b c =，因为2c =，所以4b =，.….….….….….….….….….….….….……7分设ABC ∆的内切圆半径为r ，则内心N 到BC 边的距离为r ，因为BC MN //，所以重心M 到BC 边的距离为r ，根据重心的性质，顶点A 到BC 边的距离为3r ，根据面积关系得11()(3)22a b c r a r ++⋅=⋅，..….….….….….….….….….….….….……10分即11(42)(3)22a r a r ++⋅=⋅，所以3a =...….….….….….….….….….….….….……12分18.【解析】（1）过N 作AD N N //'与ED 交于N '点，过M 作AD M M //'与CD 交于M '点.连接N M ''.由AN BM =，易知M M N N '='，又M M AD N N ''////，则四边形M N MN ''为平行四边形，所以N M MN ''//，⊄MN 平面CDE ，⊂''N M 平面CDE ，//MN ∴平面CDE .….….….….….….……4分（2）方法一：由平面⊥ABCD 平面ADEF ，平面 ABCD 平面AD ADEF =，⊂AF 平面ADEF ，AD AF ⊥，可得⊥AF 平面ABCD .如图所示，建立空间直角坐标系，过M 点作AD MG ⊥，垂足为G ，连接NG ，易知AD NG ⊥.设)20(<<=a a AG ，可得)2,,0(),0,,22(a a N a a M -，21)1()2()22(222+-=+-=∴a a a MN ，可知当1=a 时，MN 长最小值为22.…...….….….….….….….……6分此时21,1,0(),0,1,21(N M ，又)0,2,0(),0,0,0(D A ，)0,1,21(21,0,21(),0,1,21(-=-==∴DM MN AM ，设平面AMN 的法向量为),,(111z y x m =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00MN m AM m 可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+021210211111z x y x 令,21=x 可得)2,1,2(-=m ，…...….….….….….….….……8分设平面MND 的法向量为),,(222z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00MN n DM n 可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-021210212222z x y x 令,22=x 可得)2,1,2(=n ，…...….….….….….….….……10分97,cos =⋅>=<∴n m nm n m ，易知二面角D MN A --为钝二面角，则二面角D MN A --的余弦值为97-.…….….….….…12分方法二：过N 作AD NG ⊥，连接MG ，由平面⊥ABCD 平面ADEF ，平面 ABCD 平面AD ADEF =，⊂NG 平面ADEF ，AD NG ⊥，可得⊥NG 平面ABCD ，MG NG ⊥∴，设()10<<==λλλED NG ，则()λλ-=-=11AB MG ，所以()1221222+-=-+=λλλλMN ，当21=λ时，MN 取得最小值...….….….….….….……6分此时N M ,分别为AE BD ,的中点，计算得25====DN DM AM AN ，22=MN .取MN 的中点H ，连接DH AH ,，则MN DH MN AH ⊥⊥,，所以AHD ∠为二面角D MN A --的平面角.计算得423==DH AH .…...….….….….….….….……9分97892489892cos 222-=⨯-+=⋅-+=∠DH AH AD DH AH AHD ，则二面角D MN A --的余弦值为97-..….……12分19.【解析】（1）易知焦点)0,1(F ，设),(),,(1100y x A y x P 由F A PF 4=得104y y -=①.设直线1:+=my x l ，与抛物线x y C 4:2=联立得0442=--my y ，其中016162>+=∆m ，所以410-=y y ②.….……….….….….….….….……2分由①②可得⎩⎨⎧-==1410y y 或⎩⎨⎧=-=1410y y ，….……….….….….….….….……3分又m y y 410=+，所以43=m 或43-=m ，所以直线l 的方程为143143+-=+=y x y x 或.化简得04340434=-+=--y x y x 或.….……….….….….….….….……5分（2）由F A PF λ=得10y y -=λ③.又②③可得420y =λ，….……….….….….….….….……7分设点),(22y x B ，由EB PE μ=得20y y -=μ④.设直线a ny x PB +=:，与抛物线x y C 4:2=联立得0442=--a ny y .所以0)(162>+=∆a n ，a y y 420-=⑤.由④⑤可得a y 420=μ，….….….….….….……….……….….….….….….….……10分又μλ4=，所以ay y 4442020⋅=，考虑到点P 异于原点，所以00≠y ，解得4=a ，此时0)4(16)(1622>+=+=∆n a n ，所以a 的值为4..………….……….….….….….….….……12分20.【解析】（1）①记“从盒子中先后任意飞出两只昆虫，恰有1只蜜蜂”为事件A ，设盒子中蜜蜂的只数为*()x x N ∈，则118284()7x x C C P A C -⋅==，解得：4x =，故蜜蜂共有4只..….….….….….……2分②随机变量X 的取值为0，1，2，3343841(0)5614C P X C ====，124438243(1)567C C P X C ====，2144383(2)7C C P X C ===，34381(3)14C P X C ===故X 的分布列为：….….….….….….…..……6分3313()12377142E X =⨯+⨯+⨯=.…….….….….….….….….….….….….…..……7分（2）解：记“任意飞出两只昆虫，至少有1只是蝴蝶”为事件B ，则事件B 为“任意飞出两只昆虫，其中没有蝴蝶”；22231()1(144(21)n n C P B P B C n =-=-=+-),4(N n n ∈≥.….….….….….….….….…..……10分当4n =时，()max 3111()42814P B =+=.…….…..….….….….….….….….….…..……12分21.【解析】（1）()，21212x x a a x f +--=')0(>x 222)1](1)12[(12)12(xx x a x ax x a ---=+--=.….….….….….….……2分①若21≤a ，当)1,0(∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增；当),1(+∞∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减..….….….….….….……3分②若121<<a ，当)1,0(∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增；当)121,1(-∈a x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减；当)121(∞+-∈，a x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增..….….….….….….……4分③若1=a ，则0)1()(22≥-='x x x f ，)(x f 在),0(+∞∈x 单调递增.…….….….….….……5分X0123P 1143737114④若1>a ，当121,0(-∈a x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增；当)1,121(-∈a x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减；当)1(∞+∈，x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增.综上：当21≤a 时，)(x f 单增区间为)1,0(，)(x f 单减区间为),1(+∞；当121<<a 时，)(x f 单增区间为)1,0(，)121(∞+-，a ；)(x f 单减区间为)121,1(-a ；当1=a 时，)(x f 单增区间为),0(+∞，)(x f 无单减区间；当1>a 时，)(x f 单增区间为)121,0(-a ，)1(∞+，；)(x f 单减区间为)1,121(-a ...….……6分（2）由（1）可知当121<<a 时，)(x f 在121-=a x 时取得最小值)121(-a f .….….….….….……7分要证：()12)1)(1(23-+->a a a x f 对),1(+∞∈x 恒成立，等价于求证：12)1)(1(2121(3-+->-a a a a f ，即证：12)1)(1(2)12()121ln(213-+->----a a a a a a .法一：设)1(ln )(--=x x x g )1(>x ，则0111)(<-=-='x x x x g ，0)1()(=<∴g x g ，即)1(1ln >-<x x x 12221121)121ln(--=--<-∴a a a a .………….……….….….……9分则12)1(2)12(122221)12()121ln(21--=----->----a a a a a a a a a .而121<<a ，则012)1(2<--a a ，12)1)(1(212)1(23-+->--∴a a a a a ，即得12)1)(1(2121(3-+->-a a a a f ，()12)1)(1(23-+->∴a a a x f 对),1(+∞∈x 恒成立..….…..….….….…..….……….….….……12分法二：即证：12)2()1(2)121ln(22-+->--a a a a a a ，化简即证：12)2)(1()12ln(2-+->-a a a a .设)10(12<<=-t t a ，即证：97(81897ln 223tt t t t t t t -++=-++>.….….….……9分构造函数)10(97ln 8)(2<<+---=t t t t t t g ，则22329829128)(tt t t t t t t g -+--=---='，设函数)10(982)(23<<-+--=t t t t t h ，则0)86)(1(826)(2>++-=+--='t t t t t h ，所以函数)(t h 在)1,0(内单调递增，0)1()(<<h t h ，则0)(<'t g ，所以函数)(t g 在)1,0(内单调递减，所以0)1()(=>g t g即97(81ln 2t t t t -++>，原式得证.…..….……….….….……12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）由θθρcos sin +=，可知0>ρ.….…..….….….….….……1分所以θρθρρcos sin 2+=，又θρθρρsin ,cos ,222==+=y x y x ，则曲线C 的直角坐标方程为y x y x +=+22（y x ,不同时为0）..….….….….….….….……4分（2）当0,0>>y x 时，得曲线C 的第一象限内的直角坐标方程：y x y x +=+22，配方得21212122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ，….….….….….….……….….….….….….……….….….….….….….……5分则曲线C 在第一象限内的图形由一个直角边为1的等腰直角三角形和一个半径为22的半圆组成.……7分易知，曲线C 在第一象限内的围成的图形面积为421π+，结合对称性可知曲线C 围成的图形的面积为π+2..….….….….….….….…….….….….…..……10分23.[选修4-5:不等式选讲]（10分）【解析】（1）当2=a 时，则41222≥-++x x ，当1-<x 时，不等式化为414≥--x ，可得45-≤x ；当211<≤-x 时，不等式化为43≥，不成立；当21≥x 时，不等式化为414≥+x ，可得43≥x ..….….…….….….….….…3分综上可得不等式的解集为45{-≤x x 或}43≥x ..….….….…….….….….…..……5分（1）因为存在,0R ∈x 使得)(4)(00a x g x f +-<成立，即使得1224200-+-<+a x a x 成立，4)1222(min 00<-+++∴a x a x ，.…….….….…….….….….…..…….…..……7分由绝对值不等式可知：122212220000+--+≥-+++a x a x a x a x 1+-=a ，.…….….….….…..………….….….….…..……9分即41<-a 可得a 的取值范围为}53{<<-a a .….….….…..………….….….….…..……10分。

江南十校2022～2023学年高三数学12月份联考数学一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分）1. （集合的运算）已知集合{}{}1,01,2A B =-=，，集合{},,C x x ab a A b B ==∈∈，则C 的子集的个数为（ ）A. 3B. 8C. 7D. 16 2. （含量词命题的否定）命题“**,x x R e R ∀∈∈都有”的否定是（ ）A ．**,x x R e R ∃∈∉使得B ．**,x x R e R ∃∉∉使得C ．**,x x R e R ∃∈∈使得D ．**,x x R e R ∃∉∈使得3. （充分必要性的判定）若,a b 均为实数，则“a b e e >”是“33a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. （不等式的性质）已知,,,a b c d 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若,a b >则11a b< B ．若0,b c a >>>则a ab c <C ．若a b c d >>>，则a c b d ->-D ．若,a b c d >>，则ac bd >5. （复合函数单调性）函数()()20.5log 1f x x =-的单调递减区间是（ ）A. ()1,+∞B. ()0,+∞C. (),0-∞D. (),1-∞ 6. （奇偶性，分段函数）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≤时，()23xf x x a =++，则()2f 的值为（ ） A.234 B. 274 C. 274- D. 234-7. （值的大小比较）已知sin 53a =，5log 2b =，0.80.5c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b << 8. （函数图象）已知函数()2log +2a x mf x x b=+仅有两个零点，其图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ）A ．10 0a m b >>>B ． 10 0a m b ><<二、多项选择题（共4题，每题5分，共20分）9. （任意角，三角函数定义）下列三角函数值为负数的是（ ）A.sin186B. tan505C. sin7.6πD. 3tan 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭10. （幂函数性质）下列关于幂函数说法正确的是（ ）A.图象必过点()1,1B.可能是非奇非偶函数C.在()0,x ∈+∞上一定是单调函数D. 图象不会位于第四象限11. （基本不等式求最值）若实数,m n 满足224n mn +=，其中0n >，则下列说法中正确的是（ ）A. n 的最大值为2B. m n +的最小值为2C. 2243m n +的最小值为4 D.1132n n m++12. （新函数模型 函数性质应用）关于函数()f x = ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 在[)0,+∞上先增后减 C. 方程()()=f x m m R ∈根的个数可能为3个 D.函数值中有最小值，也有最大值 三、填空题（共4题，每题5分，共20分）13. （函数三要素：解析式）已知函数()22141f x x +=-，则()f x =14. （指对数运算）1321lg8lg 25327-⎛⎫++= ⎪⎝⎭15. （二元最值，指对数运算）设实数2,1,a b e ⎡⎤∈⎣⎦，且22ln ln 12b a -=，则ab的最大值是 16. （一元二次）已知函数()23f x x ax a =++-，若(){}()(){}00x f x x ff x <=<，则实数a 的取值范围是四、解答题（共6题，10+5*12=70分） 17. （10分）（集合的交并补运算） 如图，已知全集U R =，集合{}22A x y x x ==-++，{}05B x x x =<>或．(1)集合C 表示图中阴影区域对应的集合，求出集合C ；(2)若集合{}0D x x a =<<，且D C ⊆，求实数a 的取值范围． A B18. （12分）（三角函数的定义与诱导公式）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=．(1)求函数()y fθ=的解析式，并求23f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值；(2)若()f θ=，()0,θπ∈，求tan 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．19. （12分）（一元二次函数、不等式解法，最值，均值不等式）已知二次函数()2f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）（1）若不等式()0f x ≥的解集为{}05x x x ≤≥或且()14f =-，求函数()f x 在[]1,4x ∈-上的最值； （2）若()00f >且函数()f x 至多仅有一个零点， 求()2f b的最小值.20. （12分）(指对数运算，函数性质) 已知函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++（1）当1a =，判断函数在()0+x ∈∞，上的单调性，并说明理由； （2）若函数()f x 为偶函数，求a 的值.21. （12分）（函数的应用，最值，分段函数）2021年11月3日，全国首条无人驾驶跨座式单轨线路——芜湖轨道交通（芜湖单轨）1号线开通初期运营。

安徽省江淮2022-2023高三上学期第一次联考数学试题注意事项：l ．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.已知集合A=｛冗e NI ln x < 1\, U = l -2, -1,0, 1,2 \，则凡A=A. l 1, 2 \ B.l -2, -1 \C.l0,1,2\ D.l -2, -1,0\2.已知记b 均为单位向昼，且（2；；＿趴l.-,;,则1；；+bl=A. 1 B. [3C. 2D . 32z -13.已知一—-＝i，则复数2的虚部是1 +zA. -1B. -iC. 1D. i 4．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克的祛码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克的祛码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则该顾客实际得到的黄金A.等于10克B .小于10克c ．大于10克D．不能确定5.已知正项等比数列飞｝的前n项和为s ,.，前n项积为T ,.，满足a 1=t ,2a 2 =S 3 -3a 1，则兀的最小值是A —B .－C —D．上. 16 32.64128 6．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，则下列判断错误的是A.BD 1l.平面ACB 1B ．平面A1C1D/／平面ACB1c．直线BD 1过6A 1C 1D的垂心D．平面ACB1与平面ABCD夹角为45°7.已知F l ,凡分别为椭圆王＋f =1的左右焦点，点P为椭圆上一点，以凡为圆心的圆与直线P F 1恰好4. 2 相切于点P，则LP F 1凡是A.45°B. 30°C. 60°D. 75°8.已知函数f （元）是R上的奇函数，且f （无＋3)= -f（元），且当元E (0，了］时，f(x)= 2元－l，则/(-2021)+f(2022) +f (2024)的值是A.2B.-1c.oD.-3数学试题第1页（共4页）9.已知在菱形ABC D 中．A B =2, LA =60°，把t:::,ABD 沿BD 折起到t:::,A'BD 位置，若二面角A'-BD -C 人小为120°，则四面体A'BCD 的外接球体积是A.工1T283B.1TC.28可D.7可327'TT10．下列四个不等式中，成立的个数是3CD ln 3＜了ln2;@ln'TI'｀心<12;@e O.l>兀瓦A .1B.2C.3D.411.已知函数J (x)=co s I x I -2 I sin 无l ，以下结论正确的是A.'TI'是f(x）的一个周期 2B.函数在［O，千］单调递减27TrC.函数f(x)的值域为[-$,I]D．函数f（无）在[-2'11'，五］内有6个零点12.甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A i ,A 2和人表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是A.P(BIA 2) =� 411C.P(A 3 I B )＝上2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）B ．事件A )与事件B相互独立D.P(B )＝—3 1013．在（还－L）n的展开式中只有第5项二项式系数最大，则常数项为．丘14.安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有种15.已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线千A ,B 两点，延长FB 交准线于点C ，分别过点A ,B 作准线的垂线，垂足分别记为M,N ，若IBCI =21B N I ，则D..A FM 的面积为16.若不等式e 尤�(a +l)x+b 对一切江,R 恒成立，则(a +l)b 的最大值为三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）已知数列la ,.I 满足：a l =l,a 2=3,2(a n+l +1) =a ,.+a n+2,nEN·.(1)证明数列I a ,.+1 -a ,.}为等差数列，并求数列{a n I 的通项公式．(2)若e n = 2(a 九＋n －句，证明：t +_!_+…＋_!_<1.C 1 C 2C n 数学试题第2页（共4页）18.（本题满分12分）在A钮C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，其外接圆的半径为月，且满足4江n Bcos C ==2(l -r.(I)求角B.5(2)若．4C边上的中线长为—，求l::,A BC的面积和周长2./3 -1,,-r,..>l-. nr "'1,.+, -1,,-,Arn_'IT19.（本题满分12分）在三棱锥A-BC D中，6.ABC的面积为一，点0为BC的中点，LACB=--;;--, BD上CD且2 3BD =CD= I,AD =./3.(I)求证平面BCD.l平面AO D(2)E为线段AC上的点，若ED与面BCD所成的角为卫，求CE的长度6Ac20.（本题满分12分）华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议＂．据《资治通鉴》注释中说“从此道可至华容也＂．通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走．不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口．2021年12月23日，在厦门莲圾外图书城四楼佳希魔方，厦门市新翔小学六年级学生胡宇帆现场挑战”最快时间解4x4数字华容道“世界纪录，并以4.877秒打破了“最快时间解4x4数字华容道“世界纪录，成为了该项目新的世界纪录保持者(1)小明一周训练成绩如表所示，现用y＝归五作为经验回归方程类型，求出该回归方程．第兀（天）II I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7用时y（秒）I t 05 I84 I49 I39 I35 I23 I t 5数学试题第3页（共4页）(2)小明和小华比赛破解华容道，首局比赛小明获得胜利的概率是0.6，在后面的比赛中，若小明前一局胜利，则他赢下后一局的概率是0.7，若小明前一局失利，则他赢下后一局比赛的概率为0.5，比赛实行“五局三胜”，求小明最终赢下比赛的概率是多少参考公式：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2)，…，（u n,v n)，其回归直线v=a+ /3u的斜率和截距的最小i (u,－U) （v, －V)二乘估计公式分别为准＝＇＝1,a =v-(3u工(u,－u)7 7参考数据：2式＝140，工x，y1=9941 = l i =12 221.（本题满分12分）已知双曲线C：兰－乌＝l(a>O,b>O)过点(2,2)，且离心率为./3.a b(1)求双曲线C的方程(2)设直线l是圆O:x2+/ =4上的动点P(x0,y。

姓名座位号（在此卷上答题无效）绝密★启用前2024年“江南十校”新高三第一次综合素质检测数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2log 2<=x x A ，{}4<=x x B ，=B A A ．)4,(-∞B ．)4,0(C ．)4,4(-D ．)0,4(-2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知863=+a a ，则=8S A ．28B ．30C ．32D ．363．已知函数1221)(+-=xx f ，则对任意实数x ，有A ．0)()(=+-x f x f B ．0)()(=--x f x f C ．2)()(=+-x f x f D ．2)()(=--x f x f 4．已知βα，都是锐角，71cos =α，1411)cos(-=+βα，求=βcos A ．21B ．9839C ．9859D ．98715．已知()nx 21+的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中的4x 项的系数为A ．5B ．16C ．40D ．806．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长为A ．23πB ．25πC ．π2D ．π7．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为A ．133B ．51C ．41D ．1348．对于0>x ，0ln 12≥-x e xλλ恒成立，则正数λ的范围是A ．e1≥λB ．e21≥λC ．e 2≥λD ．e≥λ二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

高三年级联考数学(理科)考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2<5},B={x|1<x<4},则A∪B=A.{x|1<x<5}B.{x|-<x<4}C.{x|1<x<}D.{x|-5<x<4}2.若复数z=,则=A.3+2iB.-3+2iC.-3-2iD.3-2i3.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长与焦距分别为2,4,则双曲线C的渐近线方程为A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±3x4.函数f(x)=的零点之和为A.-1B.1C.-2D.25.函数f(x)=cos(3x+)的单调递增区间为A.[+,+](k∈Z)B.[+,+](k∈Z)C.[-+,+](k∈Z)D.[-+,+](k∈Z)6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.24π-6B.8π-6C.24π+6D.8π+67.已知两个单位向量e1,e2的夹角为60°,向量m=t e1+2e2(t<0),则A.的最大值为-B.的最小值为-2C.的最小值为-D.的最大值为-28.某图形由一个等腰直角三角形,一个矩形(矩形中的阴影部分为半圆),一个半圆组成,从该图内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率为A.B.C.D.9.已知不等式组表示的平面区域为等边三角形,则z=x+3y的最小值为A.2+3B.1+3C.2+D.1+10.若函数f(x)=a·()x(≤x≤1)的值域是函数g(x)=(x∈R)的值域的子集,则正数a的取值范围为A.(0,2]B.(0,1]C.(0,2]D.(0,]11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知10sin A-5sin C=2,cos B=,则=A.B.C.D.12.在正方形BCDF中,A,E分别为边BF与DF上一点,且AF=EF=1,AB=2,将三角形AFE沿AE折起,使得平面AEF⊥平面ABCDE(如图所示).点M,N分别在线段DE,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD 向上翻折,D与F恰好重合,则线段BM的长为A.B.4 C.D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知tan(α+)=6,则tanα=.14.若(a+)5的展开式中的系数为1,则|a|=.15.斜率为k(k<0)的直线l过点F(0,1),且与曲线y=x2(x≥0)及直线y=-1分别交于A,B两点,若|FB|=6|F A|,则k=.16.若曲线y=x3-ax2存在平行于直线y=-3x+1的切线,则a的取值范围为.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知数列{a n}满足-=1,且a1=1.(1)证明:数列{+1}为等比数列.(2)求数列{+2n}的前n项和S n.18.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=2,AC=AA1=2BC=4,且D为线段AB的中点.(1)证明:BC⊥A1D.(2)求平面A1CD与平面BCC1B1所成锐二面角的余弦值.19.(12分)某大型工厂有5台大型机器,在1个月中,1台机器至多出现1次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为.已知1名工人每月只有维修1台机器的能力,每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修,就能使该厂获得10万元的利润,否则将亏损3万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资.(1)若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修,则称工厂能正常运行.若该厂只有2名维修工人,求工厂每月能正常运行的概率;(2)已知该厂现有4名维修工人.(ⅰ)记该厂每月获利为X万元,求X的分布列与数学期望;(ⅱ)以工厂每月获利的数学期望为决策依据,试问该厂是否应再招聘1名维修工人?20.(12分)已知P(2,3)是椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且a=2b.(1)证明:|PF2|,|F1F2|,|PF1|成等差数列.(2)直线l与PF1垂直,且与椭圆C相交于A,B两点,l与线段F1F2有公共点,若四边形AF1BF2的面积为,求l的方程.21.(12分)已知函数f(x)=e2x-3-2x.(1)求f(x)的单调区间与最小值.(2)是否存在实数x,y,使得f(x)+2x≤(x+y+1)(x-y-2)(x>)?若存在,求x,y的值;若不存在,请说明理由.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).(1)求l和C的普通方程;(2)将l向左平移m(m>0)个单位长度后,得到直线l',若圆C上只有一个点到l'的距离为1,求m.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)设函数f(x)=|x-a|+|x-4|(a≠0).(1)当a=1时,求不等式f(x)<x的解集;(2)若f(x)≥-1恒成立,求a的取值范围.数学参考答案(理科)1.B∵A={x|-<x<},∴A∪B={x|-<x<4}.2.D z===3+2i,=3-2i.3.C因为2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,b=,所以C的渐近线方程为y=±x.4.A函数f(x)=的零点为log62,-log612,故零点之和为log62-log612=-log66=-1.5.A因为f(x)=-sin3x,所以只要求y=sin3x的递减区间.令+2kπ≤3x≤+2kπ(k∈Z),解得+≤x≤+(k∈Z).6.B由三视图可知该几何体是在一个圆锥中挖掉一个长方体得到的,其中圆锥的底面圆的半径为2,高为6,挖掉的长方体的底面是边长为的正方形,高为3.故该几何体的体积为π×22×6-2×3=8π-6.7.A因为t<0,所以====-=-,当=-,即t=-4时,取得最大值,且最大值为-.8.C设矩形的长为2a,则宽为a,所以该图形的面积为a×2a+×2a×2a+π×(a)2=(4+π)a2,阴影部分的面积为×2a×2a+π×a2=(2+)a2,故该点取自阴影部分的概率为P==.9.D依题意可得k=,作出不等式组表示的平面区域如图所示,当直线z=x+3y经过点(1,)时,z取得最小值1+.10.A令y=g(x),则(y-1)x2+yx+y+1=0,当y=1时,x=-2;当y≠1时,Δ=y2-4(y-1)(y+1)≥0,则y2≤.所以g(x)的值域为[-,].因为a>0,所以f(x)的值域为[,],从而0<≤,则0<a≤2.11.C∵cos B=,∴sin B=.又10sin A-5sin C=2,∴2sin A-sin C=sin B,由正弦定理,得2a-c=b,由余弦定理,得(2a-c)2=a2+c2-2ac×,整理得5a=6c,即=.12.D取AE的中点H,连接FH,∵AF=EF,∴FH⊥AE,又平面AEF⊥平面ABCDE,∴FH⊥平面ABCDE.如图,以B为坐标原点建立空间直角坐标系B-xyz,则D(3,3,0),F(,,).设EM=x(0<x<2),则M(1+x,3,0).∵翻折后D与F重合,∴DM=FM,则(x-2)2=(x+)2+()2+,解得x=,从而,=(,3,0),||=.13.设tanα=x,则=6,解得x=.14.因为(a+)5的展开式中的项为a2()3=,所以10a2=1,则|a|=.15.-易知曲线y=x2(x≥0)是抛物线C:x2=4y的右半部分,如图,其焦点为F(0,1),准线为y=-1.过A作AH⊥准线,垂足为H,则|AH|=|AF|,因为|FB|=6|F A|,所以|AB|=5|AH|,tan∠ABH===,故直线l的斜率为-.16.(-∞,-3]∪(3,+∞)设平行于直线y=-3x+1的切线的切点为(m,m3-am2),∵y'=3x2-2ax,∴3m2-2am=-3,Δ=4a2-36≥0,解得a∈(-∞,-3]∪[3,+∞).若切点在直线y=-3x+1上,则m3-am2=-3m+1,又3m2-2am=-3,从而m3-3m+2=(m-1)2(m+2)=0,解得m=1或m=-2.当m=1时,a=3,此时方程3m2-6m+3=0有两个相等的实根,曲线y=x3-ax2不存在平行于直线y=-3x+1的切线;当m=-2时,a=-,此时方程2m2+5m+2=0有两个不等的实根,曲线y=x3-ax2仅存在一条平行于直线y=-3x+1的切线.综上,a的取值范围为(-∞,-3]∪(3,+∞).17.(1)证明:因为-=1,所以+1=2(+1), ...................................................................................................................................................... 2分又+1=2, ............................................................................................................................................................................. 3分所以数列{+1}为等比数列,且首项为2,公比为2. ............................................................................................................ 4分(2)解:由(1)知+1=2n,.......................................................................................................................................................... 6分所以+2n=2n+2n-1............................................................................................................................................................. 7分所以S n=+=2n+1+n2-2............................................................................................................ 12分18.(1)证明:因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC. ....................................................................................................................................................................... 1分因为AB=2,AC=2BC=4,所以AB2+BC2=AC2,所以BC⊥AB........................................................................................................................................ 3分因为AB∩AA1=A,所以BC⊥平面ABB1A1............................................................................................................................. 4分又A1D⊂平面ABB1A1,所以BC⊥A1D. .................................................................................................................................. 5分(2)解:以B为坐标原点,建立空间直角坐标系B-xyz,如图所示,则C(0,0,2),D(,0,0),A1(2,4,0)........................................................................................................................................ 6分设平面A1CD的法向量为n=(x,y,z),则 .................................................................................................................................... 8分令x=4,则n=(4,-,2)...................................................................................................................................................... 9分易知平面BCC1B1的一个法向量为m=(1,0,0),.................................................................................................................... 10分则cos<m,n>==................................................................................................................................................. 11分故所求锐二面角的余弦值为.................................................................................................................................... 12分19.解:(1)因为该厂只有2名维修工人,所以要使工厂正常运行,最多只能出现2台大型机器出现故障,........................................................................................ 1分故该工厂能正常运行的概率为(1-)5+××(1-)4+()2(1-)3=. ........................................................................... 4分(2)(ⅰ)X的可能取值为31,44, ............................................................................................................................................... 6分P(X=31)=()5=,................................................................................................................................................................ 7分P(X=44)=1-=,.............................................................................................................................................................. 8分则X的分布列为X3144P9分故EX=31×+44×=. ........................................................................................................................................ 10分(ⅱ)若该厂有5名维修工人,则该厂获利的数学期望为5×10-1.5×5=42.5万元, ............................................................ 11分因为>42.5,所以该厂不应再招聘1名维修工人...................................................................................................... 12分20.(1)证明:依题意可得,解得,...................................................................................................... 2分则c2=4,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),.................................................................................................................................................. 3分从而|PF2|=3,|F1F2|=4,|PF1|=5, ............................................................................................................................................. 4分故|PF2|,|F1F2|,|PF1|成等差数列............................................................................................................................................. 5分(2)解:因为直线PF1的斜率为,所以可设l的方程为x=-y+m. ....................................................................................... 6分将l的方程代入+=1消去x,得y2-my+3m2-48=0,.............................................................................................. 7分设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=,y1y2=, ........................................................................................................ 8分则|y1-y2|==,........................................................................................................ 9分所以四边形AF1BF2的面积S=|F1F2|·|y1-y2|==,.............................................................. 10分解得m=0, ............................................................................................................................................................................. 11分故l的方程为x=-y,即4x+3y=0........................................................................................................................................ 12分21.解:(1)f'(x)=2e2x-3-2, ............................................................................................................................................................ 1分令f'(x)=0,得x=; .................................................................................................................................................................. 2分令f'(x)<0,得x<;令f'(x)>0,得x>. .................................................................................................................................... 3分故f(x)的单调递减区间为(-∞,),单调递增区间为(,+∞), .................................................................................................. 4分从而f(x)min=f()=-2............................................................................................................................................................... 5分(2)易证mn≤()2,则(x+y+1)(x-y-2)≤()2=,当且仅当x+y+1=x-y-2,即y=-时,取等号........................................................................................................................... 7分f(x)+2x=e2x-3,则e2x-3≤,.......................................................................................................................................... 8分令t=2x-1(t>0),则e t-2≤t2,即t-2≤2ln t-2ln2. .......................................................................................................................... 9分设g(t)=t-2-(2ln t-2ln2)(t>0),则g'(t)=,当0<t<2时,g'(t)<0,g(t)单调递减;当t>2时,g'(t)>0,g(t)单调递增. ................................................................................... 10分故g(t)min=g(2)=0,则g(t)≥0,又t-2≤2ln t-2ln2,即g(t)≤0,从而g(t)=0,即t=2................................................................................................................................................................ 11分综上,x=,y=-..................................................................................................................................................................... 12分22.解:(1)由题意可得|a|=1, .................................................................................................................................................... 1分故l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数),消去参数t,得l的普通方程为3x-4y-7=0, ............................................................................................................................ 3分消去参数θ,得C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=1.................................................................................................................. 5分(2)l'的方程为y=(x+m)-,即3x-4y+3m-7=0,..................................................................................................................... 6分因为圆C只有一个点到l'的距离为1,圆C的半径为1,所以C(1,-2)到l'的距离为2, ................................................................................................................................................. 8分即=2,解得m=2(m=-<0舍去). .................................................................................................... 10分23.解:(1)当a=1时,f(x)=, .............................................................................................................................. 3分故不等式f(x)<x的解集为(3,5). ............................................................................................................................................ 5分(2)∵f(x)=|x-a|+|x-4|≥|(x-a)-(x-4)|=|a-4|, .............................................................................................................................. 6分∴|a-4|≥-1=,................................................................................................................................................................ 7分当a<0或a≥4时,不等式显然成立; ...................................................................................................................................... 8分当0<a<4时,≤1,则1≤a<4................................................................................................................................................... 9分故a的取值范围为(-∞,0)∪[1,+∞). ..................................................................................................................................... 10分。

高三数学上学期联考试题理一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1、已知集合，集合，则A ∩B=( )A ．B ．C ．D ．2、下列命题正确的个数为（ ） ①“都有”的否定是“使得”;②“”是“”成立的充分条件;③命题“若，则方程有实数根”的否命题;④幂函数的图像可以出现在第四象限。

A. 0 B. 1 C.2 D.3 3、在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，而函数的图象与的图象关于y 轴对称，若，则的值为( )A. -eB. -e 1C. eD. e1 4、函数2()ln(43)f x x x =-+的单调递增区间是( )A ．(－∞,1) B．(－∞,2) C．(2,+∞) D．(3,+∞) 5、 函数与函数的图象可能是 （ ）6、已知函数⎩⎨⎧≥++<+-+=0,2)1(log 0,3)34()(2x x x a x a x x f a （a ＞0且a ≠1）是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（ ）A.3(0,]4B.3[,1)4C.]43,32[ D.]43,32(7、已知 1.30.20.20.7,3,log 5a b c ===，则ɑ，b ，c 的大小关系（ ）A. a c b <<B. c a b <<C. b c a <<D. c b a <<8、已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ）A ．(－1,1)B ．(－1,+∞) C．(－∞,1) D．(－∞,－1)∪(1,+∞) 9、已知函数()12f x x x =+-f (x )有（ ） A ．最小值12 ，无最大值 B ．最大值12，无最小值 C ．最小值1，无最大值 D ．最大值1，无最小值 10、定义在R 上的奇函数)(x f ，满足)21()21(x f x f -=+，在区间]0,21[-上递增，则（ ） A )2()2()3.0(f f f << B.)2()3.0()2(f f f << C.)2()2()3.0(f f f << D.)3.0()2()2(f f f << 11、已知定义在R 上函数f(x),对任意的x 1,x 2∈[2017,+∞)且x 1≠x 2，都有[f(x 1)-f(x 2)](x 1-x 2)<0,若函数y=f(x+2017)为奇函数，(a-2017)(b-2017)< 0且a+b>4034,则（ ）A.f(a)+f(b)>0B.f(a)+f(b)<0C.f(a)+f(b)=0D.以上都不对12、设()f x 是定义在R 上的奇函数,且()10f =,当0x >时,有()()f x xf x >'恒成立,则不等式()0xf x >的解集为( )A.(－∞,0)∪(0,1)B. (－∞,－1)∪(0,1)C.(－1,0)∪(1,+∞)D. (－1,0)∪(0,1)二．填空题（共4题，每小题5分，共20分）13、已知f (x)=ax ²+bx 是定义在[a -1,3a ]上的偶函数，那么a +b=___________14、设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为___________．15、方程062)1(22=++-+m x m x 有两个实根21,x x ，且满足41021<<<<x x ，则m 的取值范围是___________．16已知函数f （x ）=e x﹣e ﹣x，下列命题正确的有 ．（写出所有正确命题的编号） ①f（x ）是奇函数；②f（x ）在R 上是单调递增函数；③方程f （x ）=x 2+2x 有且仅有1个实数根；④如果对任意x∈（0，+∞），都有f （x ）＞kx ，那么k 的最大值为2．三．解答题（共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

2022年安徽省高考理科数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）＝i4+i5（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i2．（5分）已知A＝{x|y＝﹣2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2﹣3，x∈R}，则A∩B等于（）A．{（1，﹣2），（﹣3，6）}B．RC．[﹣3，+∞）D．∅3．（5分）设命题p：∀x∈（0，+∞），lnx≤x﹣1，则￢p为（）A．∀x∈（0，+∞），lnx＞x﹣1B．∃x0∈（0，+∞），lnx0≤x0﹣1C．∀x∉（0，+∞），lnx＞x﹣1D．∃x0∈（0，+∞），lnx0＞x0﹣14．（5分）散点图上有5组数据：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）据收集到的数据可知x1+x2+x3+x4+x5＝55，由最小二乘法求得回归直线方程为yˆ=0.76x+45.84，则y1+y2+y3+y4+y5的值为（）A．54.2B．87.64C．271D．438.25．（5分）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则第五天走的路程为（）里．A．6B．12C．24D．486．（5分）已知函数f（x）={log2(x+2)−1，(x≥0)1−log2(2−x)，(x＜0)，则函数f（x）是（）A．偶函数，在R上单调递增B．偶函数，在R上单调递减C ．奇函数，在R 上单调递增D ．奇函数，在R 上单调递减7．（5分）若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则（ ） A ．a c ＜b c B ．ab c ＜ba cC ．log a c ＞log b cD ．a log b c ＞b log a c8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是（ ）A ．14πB ．10πC ．7√143π D ．143π9．（5分）已知tanα−11+tanα=2，则sin(2α+π6)的值为（ ） A ．−4+3√310B ．−4−3√310C ．4+3√310D ．−3√3−41010．（5分）在(√x −12x)n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x 5的系数为（ ） A ．﹣7B ．−358C ．358D ．711．（5分）已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，若直线l 过F ，且与抛物线C 交于A ，B ，过点A 作直线y ＝﹣1的垂线，垂足为点M ，点N 在y 轴上，AF ，MN 互相垂直平分，则|AB |＝（ ） A ．43B ．163C ．4D ．812．（5分）已知a ＝﹣sin0.01，b ＝sin0.1，c ＝ln 0.99，d ＝ln 109，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A ．d ＞b ＞a ＞c B ．b ＞d ＞a ＞c C ．d ＞b ＞c ＞a D ．b ＞d ＞c ＞a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2022届安徽省十校联盟高三上学期11月联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}24A x Z x =∈<，{}1,B a =，B A ⊆，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}2,1,0--B ．{}2,1--C ．{1,0}-D ．{}1-【答案】C先解出集合A ，再根据B A ⊆确定集合B 的元素，可得答案.解：由题意得，{}{|22}1,0,1A x Z x =∈-<<=-，∵{}1,B a =，B A ⊆， ∴实数a 的取值集合为{}1,0-, 故选:C.2．“数列{}n a ，{}n b 都是等差数列”是“数列{}n n a b +是等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A利用充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义判断解：若数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，则设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ， 所以111112()()()n n n n n n n n a b a b a a b b d d +++++-+=-+-=+为常数， 所以数列{}n n a b +是等差数列，若数列{}n n a b +是等差数列，如()22n n n n a b n n +=+-=是等差数列，而此时2,2n nn n a b n ==-均不是等差数列，所以“数列{}n a ，{}n b 都是等差数列”是“数列{}n n a b +是等差数列”的充分不必要条件 故选：A.3．函数图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．1()|||1|f x x =-B ．1()|1|f x x =- C ．21()1f x x =- D ．21()1f x x =+ 【答案】A【解析】根据定义域可排除BD ，根据()01f =可排除C. 解：由图可知()f x 的定义域为{}1x x ≠±，故BD 错误；()01f =，故C 错误.故选：A.4．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率ϕ，且黄金分割率的值也可以用2sin18表示，则228cos 182ϕϕ=-（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】B利用正弦的二倍角公式、三角平方关系可得答案.解：()2222221cos728cos 1832sin 18cos 188sin 362222sin1822sin181cos72ϕϕ-====----.故选：B.5．已知函数()f x 的导数为()f x '，且()()2e ln f x xf x +'=，则曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线的斜率为（ ） A ．21e-B ．11e -C ．1eD ．2e【答案】A先对函数求导，然后令e x =代入导函数中可求出'(e)f ，从而可得导函数的解析式，再求出'(1)f 即可解：∵()()2e ln f x xf x +'=，∴()()12e f x f x''=+，∴()()1e 2e ef f ''=+，解得()1e e f '=-，∴()21e f x x '=-+，∴()211ef '=-.故选：A.6．已知0<a <b <1，设m =b ln a ，n =a ln b ，ln ln()ln ap b=，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A ．m <n <p B ．n <m <p C ．p <m <n D ．p <n <m【答案】A 由给定条件可得1ba>，ln 1ln a b >，再用作商法比较m ，n 的大小即可. 解：因0<a <b <1，则1b a>，且ln a ＜ln b ＜0，即有ln 1ln a b >，因此，ln ln()0ln ab >，即p >0， 又m <0，n <0，则ln ln 1ln ln m b a b a n a b a b==⋅>，于是得m <n <0， 所以m <n <p . 故选：A7．在正六边形ABCDEF 中，点G 是线段DE 的中点，则FG =（ ）A ．5163AC DB -B ．2133AC DB -C ．5166AC DB -D ．2136AC DB - 【答案】D利用向量加法的三角形法则可得答案. 解：作出图形如下所示，由已知得，1233BA BM MA BD CA =+=+，所以111221223336FG FD DG AC DG AC BA AC BD CA AC DB ⎛⎫=+=+=+=++=- ⎪⎝⎭. 故选：D.8．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()3πcos 2sin π02b A c B ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，tan 15B =若6b =，则ABC 的面积为（ ）A B C ．D 【答案】D诱导公式化简后用正弦定理得到2a c =，利用正切值求出正弦与余弦值，根据余弦定理求出3c =，利用面积公式求出答案.解：由题意得，sin 2sin 0b A c B -=，由正弦定理得，20,2ab bc a c -==.∵sin πtan 0,0,,cos 2B B B B ⎛⎫=>∈ ⎪⎝⎭，22sin cos 1B B +=，联立两式，解得sin B =1cos 4B =.由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-，即2364c =，解得：3c =，∴11sin 6322ABC S ac B ==⨯⨯=△故选：D.9．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()41f x x x =-，则当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是（ ）A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-【答案】C根据题意得()2,1x ∈--时，()2431929f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()20f -=，进而得答案.解：解：由题意得，()10f =，又()()0130f f +=， ∴()00f =，()()()()()1111221111003399f f f f f -=-+=-=-+==. ∵()2,1x ∈--，∴()20,1x +∈，∴()()()()()21144311221399929f x f x f x x x x ⎛⎫=+=+=++=+- ⎪⎝⎭，故当32x =-时，()f x 取得最小值19-.综上，当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是19-.故选:C.10．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，图象与y 轴交于点M ，与x 轴交于点C ，点N 在()f x 的图象上，且点M ，N 关于点C 对称，则下列说法：①2ω=；②5()03f x f x π⎛⎫++-=⎪⎝⎭；③()f x 在2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；④将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后得到的函数图象关于y 轴对称，其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B先根据点M ，N 关于点C 对称求出点C 的坐标，则函数的周期可求，然后再结合图象即可求出解析式，然后逐一判断即可．解：由点M ，N 关于点C 对称可知,03C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故236T πππ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22T πω==，故①正确，所以()sin(2)f x A x ϕ=+，所以又()06f π-=，所以sin()03πϕ-+=，即03πϕ-+=，得3πϕ=，所以()sin(2)3f x A x π=+，因为5()sin 206f A ππ==，故()f x 图象关于5(,0)6π对称，则5()()03f x f x π++-=，故②正确， 当2(,0)3x π∈-时，2(,)33x πππ+∈-，因为函数sin y x =在(,)2ππ--上单调递减，在(,)23ππ-上单调递增，故()f x 在2(,0)3π-上不满足单调递增，故③错误， 将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后得2sin[2()]sin(2)633y A x A x πππ=++=+，0x =时显然取不到最值，故不是偶函数，即④错误． 故选：B ．11．已知数列{}n a 满足()*122N n n a a n n +-=+∈，15a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，则满足不等式2021n S >的最小整数n 的值为（ ）A ．61B ．62C ．63D ．64【答案】C对已知式子变形可得则数列{}n a n -是首项为4，公比为12的等比数列，从而可求出32nn a n -=+，然后利用分组求和法求出n S ，从而可求出满足不等式2021n S >的最小整数n 的值解：∵122n n a a n +-=+，∴111122n n a a n +=++，∴()()1112n n a n a n +-+=-， 又114a -=，则数列{}n a n -是首项为4，公比为12的等比数列，∴131422n n n a n --⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭，∴32nn a n -=+，∴()()()213311232222822n n n n n S n ---+=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=-+， ∵5962196122021S -=-<，6063202422021S -=->，∴满足不等式2021n S >的最小整数n 的值为63. 故选：C. 12．已知当2(0,)3x π∈时，sin sin 2cos x x bx x +≥恒成立，则正实数b 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．(]0,1 C ．[]1,3 D ．(]0,3【答案】D先讨论不等式在2[,)23ππ上恒成立，在(0,)2x π∈时，变形不等式并构造函数()tan 2sin h x x x bx =+-，利用导数探求()0h x ≥的正数b 即可.解：当2[,)23x ππ∈时，而0b >，sin sin 2sin (12cos )0cos x x x x bx x +=+>≥，原不等式恒成立，当(0,)2x π∈时，cos 0x >，不等式等价变形为：tan 2sin x x bx +≥，令()tan 2sin h x x x bx =+-，(0,)2x π∈，而(0)0h =，求导得21()2cos cos h x x b x '=+-， 令()()g x h x '=，则3332sin 2sin (1cos )()2sin 0cos cos x x x g x x x x-'=-=>，则()h x '在(0,)2π上单调递增， (0)3h b '=-，若3b >，则(0)0h '<，记cosθ=，(0,)2πθ∈，则()0h b b θ'==>， 则存在()00,x θ∈，使得()00h x '=，当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，即当()00,x x ∈时，()(0)0h x h <=，不符合题意，若3b ≤，()(0)0h x h ''>≥，即当(0,)2x π∈时，()h x 单调递增，则有()(0)0h x h >=，符合题意，综上得，3b ≤，所以正实数b 的取值范围是(]0,3.故选：D 二、填空题13．已知向量,a b 满足(0,1),2a b ==，a 与b 的夹角为135︒，则|2|a b -=________． 结合模长、数量积公式、2a a =化简即可求解. 解：由()2222244a b a ba b a b -=-=+-⋅，因为(0,1),2ab ==，a 与b 的夹角为135︒，所以1a =，3cos114a b a b π⎛⋅=⋅⋅==- ⎝⎭，故22244184a b a b a b -=+-⋅=++=14．已知数列{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，若7a 6103b π=，则210311sin1b b a a +=-___________. 由等差､等比数列的性质得231175a a a ==，21062023b b b π+==代入可得答案. 解：由等差､等比数列的性质，得231175a a a ==，21062023b b b π+==， ∴2103112053sin sin sin sin 11533b b a a πππ+⎛⎫==-==⎪--⎝⎭15．已知函数3213,02()2343,03xx f x x x x x ⎧⎛⎫⋅≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-++>⎪⎩，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a =-++恰有4个不同的零点，则a 的取值范围为____________． 【答案】1314,33⎛⎫⎪⎝⎭由分段函数结合导数求出()f x 值域，令()t f x =，结合()g t 图象特征采用数形结合法可求a 的取值范围.解：3213,02()2343,03xx f x x x x x ⎧⎛⎫⋅≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-++>⎪⎩，当0x ≤时，()01133322x f x ⎛⎫⎛⎫=⋅≥⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数为减函数；当0x >时，()3223433f x x x x =-++，()()()()22264232212f x x x x x x x =-+=-+=--'，()0,1x ∈和()2,+∞时，()f x 单增，()1,2x ∈时，()f x 单减，()1413f =，()1323f =，故()f x 的图象大致为：令()t f x =，则()3,t ∈+∞，()()()()22()[()](2)()2222g x f x a f x a g t t a t a t a t =-++⇔=-++=--，[)3,t ∞∈+当2a =时，()()22g t t =-，[)3,t ∞∈+，()g t 无零点；当2a <时，()()()2g t t a t =--，[)3,t ∞∈+，()g t 无零点； 当2a >时，()()()2g t t a t =--，[)3,t ∞∈+，()0g t =，则t a =，要使2()[()](2)()2g x f x a f x a =-++恰有4个不同的零点，则()1314,33t f x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，即1314,33a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：1314,33⎛⎫⎪⎝⎭16．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A ，B ，C 处测得阁顶端点P 的仰角分别为30，60，45.且75AB BC ==米，则滕王阁高度OP =___________米.【答案】155设3OP h =，由边角关系可得3OA h =，OB h =，3=OC h ，在OBC 和OAB 中，利用余弦定理列方程，结合cos cos 0OBC OBA ∠+∠=可解得h 的值，进而可得OP 长. 解：设3OP h =，因为30PAO ∠=，60PBO ∠=，45PCO ∠=，所以33tan 303PO hOA h ===，3tan 603PO hOB h ===，3tan 45PO OC h ==，. 在OBC 中，2222cos OC OB BC OB BC OBC =+-⋅⋅∠， 即222375275cos h h h OBC =+-⨯∠①.，在OAB 中，2222cos OA OB AB OB AB OBA =+-⋅⋅∠， 即222975275cos h h h OBA =+-⨯∠②， 因为cos cos 0OBC OBA ∠+∠=，所以①②两式相加可得：222122275h h =+⨯，解得：155h = 则3155OP h = 故答案为：155三、解答题17．已知命题:42p a -≤，命题:q 函数()2()log a f x x ax a =-+的定义域为R ．(1)若q 为真命题，求实数a 的取值范围； (2)若()p q ∨⌝为假命题，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()()0,11,4a ∈⋃ (2)()()0,11,2a ∈⋃（1）若q 为真命题，则20x ax a -+>对x ∈R 恒成立且0,1a a >≠，结合判别式即可求解； （2）化简p 可得a 范围，()p q ∨⌝为假命题，则p 假且q 真，运算即可求解. (1)q 为真命题，则20x ax a -+>对x ∈R 恒成立且0,1a a >≠，则2Δ4010a a a a ⎧=-<⎪≠⎨⎪>⎩，()()0,11,4a ∈⋃；(2)结合:42p a -≤得[]2,6a ∈，p ⌝：()(),26,a ∞∞∈-⋃+，若()p q ∨⌝为假命题，则p 假且q 真，则满足()()()(),26,0,11,4a a ∞∞⎧∈-⋃+⎪⎨∈⋃⎪⎩， 所以()()0,11,2a ∈⋃.18．已知函数()()22sin cos 101f x x x x ωωωω=+-<<，满足()4π3f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向右平移2π3个单位长度得到()g x 的图象，若π6235g θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos θ的值.【答案】(1)()π2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）化简()f x 解析式，根据()f x 的对称轴求得ω，进而求得()f x 的解析式.（2）根据三角函数图象变换求得()g x ，由π6235g θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求得π3cos 65θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而求得π4sin 65θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而求得cos θ.(1)由题意得，()πcos 222sin 26f x x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由()4π3f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，得()f x 图象的一条对称轴为2π3x =，∴4ππππ362k ω-=+，k Z ∈， ∴3142k ω=+，k Z ∈，又01ω<<，解得12ω=， ∴()π2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (2)由题意得，()12ππ1π2sin 2sin 2cos 236222x g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∵π6235g θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴π62cos 65θ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即π3cos 65θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ2π,663θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴π4sin 65θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴ππππππcos cos cos cos sin sin 666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3341334525210+=⨯+⨯=. 19．如图所示，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．满足()cos2cos22sin sin sin A B C B C -=-，且3BC =，D 在AC 上，AB AD =．（1）若2BD =，求sin ACB ∠；（2）若2BD CD =，求AC 的长．【答案】（13（297 （1）根据二倍角公式与正弦定理、余弦定理化简可得3A π=，再根据正弦定理求解即可（2）设DC x =，再在ABC 中利用余弦定理求解AC 的长即可解：（1）由题，()()()2212sin 12sin 2sin sin sin A B C B C ---=-， 故222sin sin sin sin sin B A C B C -=-，由正弦定理化简整理可得222b c a bc +-=，由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==， 又()0,A π∈，故3A π=，又AB AD =，故ABD △为正三角形，故2AB AD BD ===，在BDC 中，sin sin BD BC ACB BDC =∠∠，故2sin 2sin 3BD BDC ACB BC⋅∠∠===（2）由（1）ABD △为正三角形，设DC x =，则2AB AD BD x ===，在ABC 中，由余弦定理2224931cos 602232x x x x +-==⨯⨯，解得x =，故3AC x ==【点睛】本题主要考查了二倍角公式结合正余弦定理求解平面几何中的问题，需要根据题意在合适的三角形中用正余弦定理求解，属于中档题20．已知首项是5的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11122n n n n S S a +++=++，数列{}n b 满足12n n na b -=. (1)证明{}n b 是等差数列，并求{}n b 的通项公式；(2)求数列{}2n a 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析，1n b n =+(2)12144399n n n T n +⎛⎫=+⋅-+ ⎪⎝⎭ （1）将已知的递推关系化简后可得11n n b b +=+，从而可得数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，故可求其通项公式.（2）利用错位相减法可求数列{}2n a 的前n 项和n T .(1)由题意得，11122n n n a a +++=+，∴()111212n n n a a ++-=-+， ∴1111122n n n n a a ++--=+，即11n n b b +=+， 又∵11122a b -==，∴数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴()2111n b n n =+-⨯=+.(2)由（1）知，112n n a n -=+，∴()121n n a n =+⋅+，∴()22141n n a n =+⋅+. 令()214n n c n =+⋅，下面先求数列{}n c 的前n 项和n Q ，()123345474214n n Q n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅，()23414345474214n n Q n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅，两式相减得，()12313242424242144n n n Q n +-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅-+⋅+，即()()118144132144241433n n n n Q n n ++-⎛⎫-=-+⋅+=-+⋅ ⎪-⎝⎭， 则12144399n n n Q +⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，∴12144399n n n T n +⎛⎫=+⋅-+ ⎪⎝⎭. 21．已知函数()()4422x x x x f x m --=++-.（1）若m =()0f x ≥；（2）若()f x 在区间[0,1]上的最小值为1，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）2m =-.（1）令22x x t --=，则2442x x t -+=+，原函数可化为22y t =++，再根据二次函数的性质计算可得；（2）根据x 的取值范围，求出t 的取值范围，原函数可化为2()2g t t mt =++，依题意可得()g t 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1，再对根据二次函数的性质对称轴分类讨论，即可求出参数的值；解：解：（1）证明：令22x x t --=，则()22442222x x x x t --+=-+=+，又m =故原函数可化为222(0y t t =++=≥，即()0f x ≥.（2）当[0,1]x ∈时，22x x t -=-单调递增， 故30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故原函数可化为2()2g t t mt =++，且()g t 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1， 故0,2(0)1m g ⎧-≤⎪⎨⎪=⎩或30,2212m m g ⎧<-<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩或3,22312m g ⎧-≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩ 当02(0)1m g ⎧-≤⎪⎨⎪=⎩，即0221m ⎧-≤⎪⎨⎪=⎩，显然无解；当302212m m g ⎧<-<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即230,222122m m m m ⎧<-<⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪-+⨯-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得2m =-； 当322312m g ⎧-≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩，即2322332122m m ⎧-≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪++= ⎪⎪⎝⎭⎩，m 无解； 综上可得2m =-.22．已知函数()ln f x ax x x =-.(1)讨论函数()f x 在[]1,2上的单调性；(2)若1a =-，求证：()3e 0x f x x +>.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析（1）求出函数()f x 的导数，根据讨论a 的范围情况，确定导数的正负，从而判断函数的单调性；（2）将()3e 0x f x x +>等价变形为2e ln 10x x x -->，然后构造函数，将问题变为证明函数()2e ln 1x h x x x =--的最小值大于零的问题求解,接着求其导数，利用导数判断其单调性，表示出其最小值，然后证明最小值大于零即可.(1)由题意得，()1ln f x a x '=--，令()0f x '=，即ln 1x a =-，则1e a x -=，当1e 1a -≤，即1a ≤时，()0f x '≤，函数()f x 在[]1,2上单调递减；当1e 2a -≥，即ln 21a ≥+时，()0f x '≥，函数()f x 在[]1,2上单调递增；当11e 2a -<<，即1ln 21a <<+时，当)11,ea x -⎡∈⎣时，()0f x '>，当(1e ,2a x -⎤∈⎦时，()0f x '<， 故当1a ≤时，函数()f x 在[]1,2上单调递减；当1ln 21a <<+时，函数()f x 在)11,e a -⎡⎣上单调递增，在(1e ,2a -⎤⎦上单调递减：当ln 21a ≥+时，函数()f x 在[]1,2上单调递增.(2)∵1a =-，∴()ln f x x x x =--，()0,x ∈+∞，则()3e 0x f x x +>等价于3ln e 0x x x x x --+>，即2e ln 10x x x -->.令()2e ln 1x h x x x =--，则()()212e x h x x x x'=+-， 令()()x h x ϕ='，则()()()22142e 00x x x x x x ϕ'=+++>>， ∴()h x '在()0,∞+上单调递增. 又1419e 40416h ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，1215e 2024h ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭， ∴存在011,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00h x '=，当()00,x x ∈时，()00h x '<，()h x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()00h x '>，()h x 单调递增.∴()()02000min e ln 1x h x h x x x ==--，011,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ∵()()02000012e 0x h x x x x '=+-=，∴02001e 2x x x =+， ∴()0min 01ln 12h x x x =--+，011,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 设()111ln 1242x x x x λ⎛⎫=--<< ⎪+⎝⎭，则()()211110422x x x x λ⎛⎫'=--<<< ⎪⎝⎭+， ∴()x λ在11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()13ln 2025x λλ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭， 即()0min 01ln 102h x x x =-->+，∴()3e 0x f x x +>. 【点睛】本题考查了用导数判断函数的单调性以及用导数证明不等式的问题，讨论单调性时，要注意对参数的分类标准的把握；证明不等式时，一般要对不等式进行合理的变形，然后变为函数的最值问题求解，解答的关键是合理地进行变式，进而构造函数。

2022学年安徽省某校高三（上）8月摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x2≥1}，B＝{x|x≤0}，则(∁U A)∩B＝（）A.(−1, 1)B.(0, 1]C.(−1, 0)D.(−1, 0]2. 已知命题p:∃m∈R，f(x)＝3x−mlog2x是增函数，则￢p为（）A.∃m∈R，f(x)＝3x−mlog2x是减函数B.∀m∈R，f(x)＝3x−mlog2x是增函数C.∃m∈R，f(x)＝3x−mlog2x不是增函数D.∀m∈R，f(x)＝3x−mlog2x不是增函数3. 已知双曲线y2a2−x2b2=1(a>0, b>0)的两条渐近线互相垂直，且焦距为2√6，则抛物线y2=2bx的准线方程为（）A.x=−√3B.x=−√32C.y=−√3 D.y=−√324. 已知向量＝(2, 2)，＝(1, x)，若 // （+2），则||＝（）A.10B.2C.D.5. 将函数f(x)＝2sin(2x−）的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A.g(x)＝2sin(2x−）B.g(x)＝2sin(2x+）C.g(x)＝2sin(2x−）D.g(x)＝2sin(2x+）6. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”那么，此人第3天和第4天共走路程是（）A.72里B.60里C.48里D.36里7. 执行如图的程序框图，为使输出的b的值为16，则循环体的判断框内①处应填的整数为（）A.3B.4C.5D.68. 函数y=2|x|sin2x的图象可能是()A. B.C. D.9. 若正实数x，y满足2x+y+xy−6＝0，则2x+y的最小值为（）A.4（+1)B.4（−1)C.12D.410. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中直线AB（点B为俯视图中矩形的中心）与平面ACD所成角的余弦值为（）A.45B.35C.310D.3√101011. 已知函数f(x)(x∈R)满足f(−x)＝2−f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1, y1)，(x2, y2)，…，(x2020, y2020)，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（）A.1010 B.−2020 C.2020 D.404012. 若曲线f(x)＝在点（1, f(1)）处的切线过点(−1, 0)，则函数f(x)的单调递减区间为（）A.(−∞, 0)B.(0, +∞)C.(−∞, −1)∪(−1, 0)D.(−∞, −1)，(−1, 0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分已知复数z满足：(1+i)2z＝4−2i7，则||＝________．已知点M的坐标(x, y)满足不等式组N为直线y＝−2x+2上任一点，则|MN|的最小值是________．已知等差数列{a n}的公差d不为0，等比数列{b n}的公比q∈[，），若a1＝d，b1＝d2，且是正整数，则实数q＝________．已知偶函数f(x)满足f(x)−f(x+2)＝0，且当x∈[0, 1]时，f(x)＝x⋅e x，若在区间[−1, 3]内，函数g(x)＝f(x)−kx−2k+1有且仅有3个零点，则实数k的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+csinC−asinC＝bsinB．（1）求角B的大小；（2）若b＝，求三角形ABC面积的最大值．已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，等差数列{b n}的公差为2d，设A n，B n分别是数列{a n}，{b n}的前n项和，且b1＝3，A2＝3，A5＝B3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；，数列{c n}的前n项和为S n，证明：S n<(n+1)2．（2）设c n=b n+1a n⋅a n+1如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC1为边长为2的等边三角形，平面ABC1⊥平面AA1C1C，四边形AA1C1C为菱形，∠AA1C1＝60∘，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥A1C；（2）求平面ABC1与平面A1B1C1所成锐二面角的余弦值．某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[10, 15]，(15, 20]，(20, 25]，(25, 30]，(30, 35]5组，得到如图所示的频率分布直方图．以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率．（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率．已知点P（x0, f(x0)）是曲线f(x)＝x2−(a+1)x+alnx上任意一点，a∈R．（1）若在曲线y＝f(x)上点P处的切线的斜率恒大于−3a−1，求实数a 的取值范围．（2）点A（x1, g(x1)）、B（x2, g(x2)）是曲线g(x)＝x2−f(x)上不同的两点，设直线AB的斜率为k．若a＝−1，求证：k(x1+x2)>2．已知椭圆+＝1(a>b>0)的左焦点F在直线3x−y+3＝0上，且a+b＝2+．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于A、C两点，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O 为△PAC的重心，探求△PAC面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围．参考答案与试题解析2022学年安徽省某校高三（上）8月摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可以求出集合A，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】∵A＝{x|x2≥1}＝{x|x≥8或x≤−1}，B＝{x|x≤0}，∴∁U A＝{x|−4<x<1}，B∩(∁U A)＝{x|−1<x≤4}．2.【答案】D【考点】命题的否定【解析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断．【解答】命题的特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀m∈R，f(x)＝3x−mlog2x不是增函数，3.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】由双曲线的渐近线方程的性质可得a=b，又2c=2√6，可计算出b的值，进而可以抛物线的准线方程．【解答】由题意可得出：a=b，2c=2√6，∴c=√6，c=√3，所以由c2=a2+b2，可得a=b=√22所以抛物线方程为：y2=2√3x，焦点在x轴的正半轴上，，所以准线方程为：x=−√324.【答案】D平面向量数量积坐标表示的应用【解析】可求出，然后根据即可得出2(2x+2)−8＝0，解出x的值，然后即可得出的坐标，进而求出||的值．【解答】∵，且，∴6(2x+2)−5×4＝0，解得x＝4，∴，．5.【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的周期性，得出结论．【解答】将函数f(x)＝2sin(2x−）的图象向左平移，所得图象对应的函数为y＝7sin(2x+2•-）＝2sin(3x+），6.【答案】A【考点】等比数列的前n项和【解析】根据题意，记每天走的路程里数为{a n}，由等比数列的定义可知数列{a n}是公比为的等比数列，结合等比数列的前n项和公式可得S6＝＝378，解可得a1的值，由此求出a3、a4的值，相加即可得答案．【解答】根据题意，记每天走的路程里数为{a n}，则数列{a n}是公比为的等比数列，又由此人走了7天后到达目的地，即6天走了378里6＝＝3781＝192，则a3＝a1×q2＝48，a8＝a1×q3＝24，则a3+a4＝48+24＝72里，此人第3天和第6天共走72里，7.【答案】B【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得当a＝2时，进入循环，a＝3，当a＝5时，再次进入循环2＝4，a＝8，当a＝4时，再次进入循环4＝16，a＝2，所以当a＝5时应跳出循环，故判断条件应是a≤4．8.【答案】D【考点】函数图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：设f(x)=2|x|sin2x，f(−x)=2|−x|sin(−2x)=−2|x|sin2x=−f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A和B．)=2|π2|⋅sinπ=0，所以排除C．又因为f(π2故选D．9.【答案】D【考点】基本不等式及其应用根据基本不等式可得6−(2x+y)＝xy≤（）2，解得即可求出2x+y的最小值．【解答】∵正实数x，y满足2x+y+xy−6＝5，∴6−(2x+y)＝xy＝×2xy≤（）2，当且仅当2x＝y时取等号，∴(5x+y)2+8(2x+y)−48≥0，∴(2x+y+12)(8x+y−4)≥0，∴3x+y−4≥0，即7x+y≥4，10.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是一个底面为正方形的四棱锥挖去一个半圆锥，找出直线AB与平面ACD所成角，求解三角形得答案．【解答】由三视图还原原几何体，可知该几何体是一个底面为正方形的四棱锥挖去一个半圆锥，取CD的中点E，可知∠EAB为直线AB与平面ACD所成角，又AE=2√2，BE=1，AB=√5，∴cos∠EAB=8+5−12×2√2×√5＝3√1010，即直线AB与平面ACD所成角的余弦值为3√1010．11.【答案】C【考点】函数与方程的综合运用【解析】由f(x)+f(−x)＝2，可得f(x)的图象关于点(0, 1)对称，由反比例函数的图象可得y＝关于点(0, 1)对称，由对称点的特点，若(x, y)为交点，则(−x, 2−y)也为交点，计算可得所求和．函数f(x)(x∈R)满足f(−x)＝2−f(x)，即为f(x)+f(−x)＝2，可得f(x)的图象关于点(8，函数y＝＝1+，1)对称，可得若(x1, y2)为交点，则(−x1, 2−y8)也为交点，同理可得若(x2, y2)为交点，则(−x5, 2−y2)也为交点，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为(x8+y1)+(x2+y5)+...+(x2020+y2020)＝[(x8+y1)+(−x1+7−y1)+(x2+y5)+(−x2+2−y8)+...+(x2020+y2020)+ (−x2020+2−y2020)]＝2020，12.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】先利用导数求出函数在（1, f(1)）处的切线方程，然后将点(−1, 0)代入切线方程，即可求出a的值，最后利用导数的符号大于零即可求解．【解答】由题意得，所以k＝，且f(1)＝．故函数f(x)在（1, f(1)）处的切线为：，将点(−1．则，由f′(x)<3得x<0且x≠−1．故f(x)的单调递减区间为(−∞, −3)，0)．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分【答案】【考点】复数的模把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．【解答】由(1+i)2z＝4−2i7，得z＝，∴．【答案】．【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，数形结合可知，可行域内的动点到直线y＝−2x+2的最短距离为A(2, 0)到直线2x+y−2＝0的距离，再由点到直线的距离公式得答案．【解答】由约束条件作出可行域如图：由图可知，可行域内的动点到直线y＝−2x+2的最短距离为A(2, 0)到直线2x+y−2＝0的距离，等于．【答案】【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】把a1＝d，b1＝d2代入，利用是正整数可得，其中m为正整数，求解m的范围，进一步得到m值，再代入求得q值．【解答】∵＝＝．由已知条件可得，，其中m为正整数，由，得q＝．由于公比q∈[，），∴5+q+q2∈[），即<2，故m＝8．∴，解得q＝（舍去）．【答案】（，）∪{}【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由题意可得函数的周期性与单调性，画出函数图象，数形结合得答案．【解答】由题意，满足f(x)−f(x+2)＝0，则函数f(x)的周期为3．当x∈[0, 1]时x，可得函数f(x)在[2, 1]上为单调增函数，f(1)＝e．当x∈[−1, 7]时−x．作出函数f(x)在[−1, 3]内的图象的大致形状如图：B(8，C(3，直线y＝kx+2k−4过定点A(−2, −1)，由图象可知，当直线y＝kx+6k−1过B时，3]内函数由7个交点，即k＝，当直线y＝kx+8k−1过C时，此时在区间[−1，此时e＝2k−1，当直线y＝kx+2k−1过O时，此时在区间[−5，此时k＝，∴要使函数g(x)＝f(x)−kx−2k+1在区间[−1, 7]内有且仅有3个零点<k<．即实数k的取值范围为（，）∪{}．故答案为：（，）∪{}．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．【答案】由正弦定理知，＝＝，∵asinA+csinC−asinC＝bsinB，∴a2+c2−ac＝b8，由余弦定理知，cosB＝＝，∵B∈(0, π)，∴B＝．由正弦定理知，＝＝＝＝2，∴a＝8sinA，c＝2sinC，△ABC的面积S＝acsinB＝2sinAsinC•＝−A)＝sinA(sin sinA)＝sinAcosA+2A＝sin2A+•＝sin(7A−，∵A∈(0，），∴2A−，），当且仅当7A−＝，即A＝时，为．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）由正弦定理将asinA+csinC−asinC＝bsinB中的角化为边，再结合余弦定理即可求得B；（2）由正弦定理知，＝＝＝＝2，于是有a＝2sinA，c＝2sinC，而△ABC的面积S＝acsinB，将所得结论代入后，再结合三角恒等变换的相关公式进行化简，有S＝sin(2A−）+，A∈(0，），然后根据正弦函数的图象与性质即可得解．【解答】由正弦定理知，＝＝，∵asinA+csinC−asinC＝bsinB，∴a2+c2−ac＝b8，由余弦定理知，cosB＝＝，∵B∈(0, π)，∴B＝．由正弦定理知，＝＝＝＝2，∴a＝8sinA，c＝2sinC，△ABC的面积S＝acsinB＝2sinAsinC•＝−A)＝sinA(sin sinA)＝sinAcosA +2A＝sin2A +•＝sin(7A −，∵ A ∈(0，），∴ 2A −，），当且仅当7A −＝，即A ＝时，为．【答案】因为数列{a n }，{b n }是等差数列，且A 2＝3，A 5＝B 3， 所以2a 1+d ＝3，5a 1+10d ＝9+6d ． 解得a 1＝d ＝1，所以a n ＝a 1+(n −1)⋅d ＝n ，即a n ＝n ，b n ＝b 1+(n −1)⋅2d ＝2n +1，即b n ＝2n +1． 综上a n ＝n ，b n ＝2n +1．证明：由（1）得c n =2n +1+1n⋅(n+1)=2n +1+(1n −1n+1)， 所以S n =(3+5+⋯+2n +1)+[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)]， 即S n =n 2+2n +1−1n+1=(n +1)2−1n+1<(n +1)2． 【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得c n =2n +1+1n⋅(n+1)=2n +1+(1n −1n+1)，运用数列的求和公式和裂项相消求和，计算可得所求和． 【解答】因为数列{a n }，{b n }是等差数列，且A 2＝3，A 5＝B 3， 所以2a 1+d ＝3，5a 1+10d ＝9+6d ． 解得a 1＝d ＝1，所以a n ＝a 1+(n −1)⋅d ＝n ，即a n ＝n ，b n ＝b 1+(n −1)⋅2d ＝2n +1，即b n ＝2n +1． 综上a n ＝n ，b n ＝2n +1．证明：由（1）得c n =2n +1+1n⋅(n+1)=2n +1+(1n −1n+1)， 所以S n =(3+5+⋯+2n +1)+[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)]， 即S n =n 2+2n +1−1n+1=(n +1)2−1n+1<(n +1)2．【答案】侧面AA 1C 1C 为菱形，D 是AC 6的中点， ∵ BA ＝BC 1，∴ BD ⊥AC 1，∵ 平面ABC 2⊥平面AA 1C 1C ，且BD ⊂平面ABC 6，平面ABC 1∩平面AA 1C 8C ＝AC 1，∴ BD ⊥平面AA 1C 6C ， 又C 1C ⊂平面AA 1C 6C ，∴ BD ⊥A 1C ；由棱柱的定义知，在三棱柱ABC −A 1B 2C 1中，平面ABC // 平面A 1B 8C 1， ∴ 平面ABC 1与平面A 2B 1C 1所成锐二面角与二面角C 8−AB −C 相等， ∵ BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴ BD ⊥A 7C ．以D 为坐标原点，分别以DA ，DB 所在直线为x ，y ， 由已知可得AC 1＝2，AD ＝5，BC ＝， ∴ D(0, 0, 6)，0，0)，5，），C 1(−3, 0, 0)，，0)，＝(−1，4，），＝(0，，），设平面ABC 的一个法向量为＝(x ，y ，由，取z ＝1；∵ 平面ABC 1⊥平面AA 5C 1C ，AC 1⊥A 5C ，∴ CD ⊥平面ABC 1， ∴ 平面ABC 1的一个法向量是．∵ cos <>＝＝，∴平面ABC1与平面A7B1C1所成锐二面角的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法空间中直线与直线之间的位置关系【解析】（1）由已知可得BD⊥AC1，结合平面ABC1⊥平面AA1C1C，由平面与平面垂直的性质可得BD⊥平面AA1C1C，进一步得到BD⊥A1C；（2）由棱柱的定义知，平面ABC // 平面A1B1C1，得平面ABC1与平面A1B1C1所成锐二面角与二面角C1−AB−C相等，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC的一个法向量与平面ABC1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面ABC1与平面A1B1C1所成锐二面角的余弦值．【解答】侧面AA1C1C为菱形，D是AC6的中点，∵BA＝BC1，∴BD⊥AC1，∵平面ABC2⊥平面AA1C1C，且BD⊂平面ABC6，平面ABC1∩平面AA1C8C＝AC1，∴BD⊥平面AA1C6C，又C1C⊂平面AA1C6C，∴BD⊥A1C；由棱柱的定义知，在三棱柱ABC−A1B2C1中，平面ABC // 平面A1B8C1，∴平面ABC1与平面A2B1C1所成锐二面角与二面角C8−AB−C相等，∵BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A7C．以D为坐标原点，分别以DA，DB所在直线为x，y，由已知可得AC1＝2，AD＝5，BC＝，∴D(0, 0, 6)，0，0)，5，），C1(−3, 0, 0)，，0)，＝(−1，4，），＝(0，，），设平面ABC的一个法向量为＝(x，y，由，取z＝1；∵平面ABC1⊥平面AA5C1C，AC1⊥A5C，∴CD⊥平面ABC1，∴平面ABC1的一个法向量是．∵cos<>＝＝，∴平面ABC1与平面A7B1C1所成锐二面角的余弦值为．【答案】由频率分布直方图可得各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12，则这批零件长度的平均值为x=12.5×0.08+17.5×0.18+22.5×0.4+27.5×0.22+ 32.5×0.12=23.1．由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，则应从第1组中抽取2个零件，记为A，B；应从第5组中抽取3个零件，记为c，d，e．从这5个零件中随机抽取2个的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，ce，de，共10种，其中符合条件的情况有Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，共6种．故抽取的零件中恰有1个是第1组的概率P=610=35．【考点】频率分布直方图【解析】（1）由频率分布直方图能求出这批零件长度的平均值．（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，应从第1组中抽取2个零件，记为A，B；应从第5组中抽取3个零件，记为c，d，e．从这5个零件中随机抽取2个，利用列举法能求出抽取的零件中恰有1个是第1组的概率．【解答】由频率分布直方图可得各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12，则这批零件长度的平均值为x=12.5×0.08+17.5×0.18+22.5×0.4+27.5×0.22+ 32.5×0.12=23.1．由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，则应从第1组中抽取2个零件，记为A，B；应从第5组中抽取3个零件，记为c，d，e．从这5个零件中随机抽取2个的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，ce，de，共10种，其中符合条件的情况有Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，共6种．故抽取的零件中恰有1个是第1组的概率P=610=35．【答案】由，得，由题意得，当x8>0时，恒成立，即当x0>0时，恒成立，设函数F(x)＝x2+8ax+a2−2a−8(x>0)，则其对称轴方程为x＝−a，F(x)>0在(2．若−a≤0，即a≥0，+∞)上单调递增，∵F(x)>7在(0, +∞)上恒成立2−3a−3≥0，解得a≥8；若a<0，则F(−a)>0，解得．综上，可得．证明：若a＝−1，则，由于x1≠x2，不妨先设x1> x2>7，令，，，故在(6，∴f(t)>f(1)＝1，即，∴，∴，∴k(x5+x2)>2得证．综上可知，原命题得证．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）先对函数求导，得到，由题意，x0>0时，得到>恒成立，即x0>0时，恒成立，令F(x)＝x2+2ax+a2−2a−3(x>0)，结合二次函数的性质，即可得出结果；（2）由a＝−1，得到g(x)＝lnx，由于x1≠x2，不妨先设x1>x2>0，令，，对其求导，根据导数的方法判定单调性，得出f(t)>f(1)＝1，推出，即可证明结论成立．【解答】由，得，由题意得，当x8>0时，恒成立，即当x0>0时，恒成立，设函数F(x)＝x2+8ax+a2−2a−8(x>0)，则其对称轴方程为x＝−a，F(x)>0在(2．若−a≤0，即a≥0，+∞)上单调递增，∵F(x)>7在(0, +∞)上恒成立2−3a−3≥0，解得a≥8；若a<0，则F(−a)>0，解得．综上，可得．证明：若a＝−1，则，由于x1≠x2，不妨先设x1> x2>7，令，，，故在(6，∴f(t)>f(1)＝1，即，∴，∴，∴k(x5+x2)>2得证．综上可知，原命题得证．【答案】∵直线3x−y+3＝0与x轴的交点为（-，0)，∴c＝，得到方程组，解得，∴椭圆的方程为：；若直线l的斜率不存在，则S＝＝，若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+m，联立方程，消去y得：(1+2k2)x2+4kmx+2m2−4＝0，设A(x1, y1)，C(x2, y2)，则，，y1+y2＝k(x1+x2)+2m＝，由题意点O为△PAC的重心，设P(x0, y0)，则，，∴，，把点P坐标代入椭圆得：，化简得：，设坐标原点O到直线l的距离为d，则△PAC的面积S＝＝＝＝＝＝＝，综上所述，△PAC面积S为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系椭圆的应用椭圆的标准方程【解析】（1）先求出c的值，再列出方程组求出a，b的值即可得到椭圆的方程；（2）若直线l的斜率不存在，易求S＝，若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+m，与椭圆方程联立，利用韦达定理和垂心的性质表达出点P的坐标，代入椭圆方程得到，设坐标原点O到直线l的距离为d，则△PAC的面积S＝，再结合弦长公式和点到直线距离公式，即可得到△PAC面积S为定值．【解答】∵直线3x−y+3＝0与x轴的交点为（-，0)，∴c＝，得到方程组，解得，∴椭圆的方程为：；若直线l的斜率不存在，则S＝＝，若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+m，联立方程，消去y得：(1+2k2)x2+4kmx+2m2−4＝0，设A(x1, y1)，C(x2, y2)，则，，y1+y2＝k(x1+x2)+2m＝，由题意点O为△PAC的重心，设P(x0, y0)，则，，∴，，把点P坐标代入椭圆得：，化简得：，设坐标原点O到直线l的距离为d，则△PAC的面积S＝＝＝＝＝＝＝，综上所述，△PAC面积S为定值．。