高考数学高三模拟考试试卷压轴题“江南十校”高三联考数学试题理科1

2024届高三江南十校联考信息卷模拟预测卷一数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．方体的截面，则（ ）A ．该截面是四边形 B ．1A C ⊥平面1C EF C ．平面11//AB D 平面1C EFD ．该截面与棱1BB 的交点是棱1BB 的一个三等分点5．（本题5分）加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W 区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（ ）种A ．90B ．125C ．180D ．2436．（本题5分）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，5AB =，4=AD ，1DC =，点E 是线段AB 上一点，且满足4AE EB =，动点P 在以E 为圆心的半径为1的圆上运动，则DP AC ⋅的最大值为（ ）7．（本题5分）设锐角ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且1,2c A C ==，则ABC 周长的取值范围为（ ）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（本题6分）已知函数()()sin (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则下列判断正确11．（本题6分）已知曲线()()1:ln 21C f x x =−在点()11,M x y 处的切线与曲线()212:e x C g x −=相切于点()22,N x y ，则下列结论正确的是（ ）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）已知函数()ln f x a x x =−． (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当0a >时，求函数()f x 的最大值．16．（本题15分）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.参考答案：【详解】.）。

一、复习引入：直线与圆的三中位置关系中，最重要的是直线与圆相切，本节课重点研究这一种位置关系。

在证明“直线与圆相切 d=r”，其实证明了“垂直于切线的直径必过切点”，反之“经过切点且垂直于切线的直线必过圆心”也同样成立。

（板书以上两条切线的性质） 探讨：过圆心且过切点的直线，是否垂直于切线呢？ 二、探索新知： 活动1、已知直线l 是⊙O的切线，切点为A，连接0A，你发现了什么？ 结论：圆的切线垂直于过切点的半径。

综合以上三条切线的性质，可总结为：一条直线若满足①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的任意两条，就必然满足第三条。

（板书） 活动2、画⊙O及半径OA，画一条直线l过半径OA的外端点，且垂直于OA。

你发现直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？ 因为d=r直线L和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线L的距离，即垂直，并由d=r就可得到L经过半径r的外端，即半径OA的A点，因此，很明显的， 我们可以得到切线的判定定理：（幻灯片6） 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（板书） 判断下图直线L是否是⊙O的切线？并说明为什么。

例1（P95例1）直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线.（幻灯片8）略 （学生分组讨论）：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，你应该如何证明？ （老师点评）：应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点，（2） 过这点的半径垂直于直线． 练习：1.已知:如图,A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB是⊙O的切线. 小结：辅助线：有点连圆心，证垂直 2.如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，判断⊙D与OA的位置关系，并证明你的结论。

（幻灯片10） 小结：辅助线：无点做垂线，证相等 例2、小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴墙面量得MA的长,即可求出墙的直径,请你利用下图,说明她这样做的道理. 三、归纳小结：1、切线的性质定理；2、切线的三条判定定理；3、常见辅助线。

2020-2021学年安徽省江南十校高三（上）第一次联考数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z=，则|z|为（）A．B．C．D．2．（5分）已知集合A={x|log2（x﹣1）＜1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）将函数f（x）=sinxcosx﹣1+sin2x的图象经过恰当平移后得到一个偶函数的图象，则这个平移可以是（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位4．（5分）已知直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣2y+1=0截得的弦长为2，则+的最小值为（）A．3 B．+C．2+D．3+25．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其外接球的表面积为（）A．32π B．16π C．64π D．48π6．（5分）已知平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，=，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x值是407，y值是259，那么输出的x值是（）A．2849 B．37 C．74 D．778．（5分）已知实数x，y满足，则z=4x•（）y的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．29．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）已知α为第三象限角，tan2α=﹣，则sin α的值为（）A．±B．﹣C．D．﹣11．（5分）一纸盒中有牌面为6，8，10的扑克牌各一张，每次从中取出一张，依次记下牌面上的数字后放回，当三种牌面的牌全部取到时停止取牌，若恰好取5次牌时停止，则不同取法的种数为（）A．60 B．48 C．42 D．3612．（5分）设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=3．若方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2+，+∞）C．（3﹣，+∞）D．（3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知二项式（1﹣3x）n的展开式中，第3项和第5项的二项式系数相等，则这个展开式的第4项为．14．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，bsinA﹣acosB﹣2a=0，则∠B= ．15．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且满足f（x+2）=f（﹣x），若当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1，则f（log10）的值为．16．（5分）一个平面图形由红、黄两种颜色填涂，开始时，红色区域的面积为，黄色区域的面积为．现对图形的颜色格局进行改变，每次改变都把原有红色区域的改涂成黄色，原有黄色区域的改涂成红色，其他不变，经过4次改变后，这个图形中红色区域的面积是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n2+n（n∈N*）．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）若数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，四边形ABEF为矩形，四边形CEFD为直角梯形，CE∥DF，EF⊥FD，平面ABEF⊥平面CEFD，P为AD的中点，且AB=EC=FD．（1）求证：CD⊥平面ACF；（2）若BE=2AB，求二面角B﹣FC﹣P的余弦值．19．（12分）某市有中型水库1座，小型水库3座，当水库的水位超过警戒水位时就需要泄洪．气象部门预计，今年夏季雨水偏多，中型水库需要泄洪的概率为，小弄水库需要泄洪的概率为，假设每座水库是否泄洪相互独立．（1）求至少有一座水库需要泄洪的概率；（2）设1座中型水库泄洪造成的损失量为2个单位，1座小型水库泄洪造成的损失量为1个单位，设ξ表示这4座水库泄洪所造成的损失量之和，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，离心率为，点P在椭圆C上，且点P在x轴上的正投影恰为F1，在y轴上的正投影为点（0，）．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=，其中t是实数．设A，B为该函数图象上的两点，横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2（1）若x2＜0，函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，求x1﹣2x2的最大值；（2）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求t的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线 C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．（1）求曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线 C2上一点，求|PQ|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）＜4；（2）若存在实数x0，使得f（x0）＜log2成立，求实数t的取值范围．2020-2021学年安徽省江南十校高三（上）第一次联考数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z=，则|z|为（）A．B．C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式计算．【解答】解：由z==，得|z|=．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．（5分）已知集合A={x|log2（x﹣1）＜1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】分别求出关于集合A、B的不等式，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：∵A={x|log2（x﹣1）＜1}=（1，3），B={x|x2﹣2x﹣3＜0}=（﹣1，3），∴A⊊B，∴“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．3．（5分）将函数f（x）=sinxcosx﹣1+sin2x的图象经过恰当平移后得到一个偶函数的图象，则这个平移可以是（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【分析】利用降幂公式和辅助角公式化简，然后根据三角函数的图象平移得答案．【解答】解：f（x）=sinxcosx﹣1+sin2x=﹣1+=．当把该函数的图象右移个单位，得到函数g（x）==为偶函数．故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，是基础题．4．（5分）已知直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣2y+1=0截得的弦长为2，则+的最小值为（）A．3 B．+C．2+D．3+2【分析】先求出圆心和半径，由直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣2y+1=0截得的弦长为2，可得直线ax﹣by+2=0经过圆心，可得a+b=2，代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+1=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆心为（﹣1，1），半径为1，∵直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣2y+1=0截得的弦长为2，∴直线ax﹣by+2=0经过圆心，∴﹣a﹣b+2=0，a+b=2，则+=（a+b）（+）=（3++）≥，当且仅当a=b时等号成立，故+的最小值为．故选：B．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式以及基本不等式的应用．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其外接球的表面积为（）A．32π B．16π C．64π D．48π【分析】由题意，直观图为底面是直角三角形，高为4的直棱柱，底面直角三角形的斜边长为4，将直三棱柱扩充为长方体，底面对角线长为4，所以长方体的对角线长为=4，可得外接球的半径，即可求出外接球的表面积．【解答】解：由题意，直观图为底面是直角三角形，高为4的直棱柱，底面直角三角形的斜边长为4，将直三棱柱扩充为长方体，底面对角线长为4，所以长方体的对角线长为=4，∴外接球的半径为2，∴外接球的表面积为=32π．故选：A．【点评】本题考查三视图，考查外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定外接球的半径是关键．6．（5分）已知平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，=，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．【分析】用表示出，再代入平面向量的数量积计算公式计算．【解答】解：=4，=1，=2×1×cos60°=1．∵=，∴．∴=，=．∴=（）•（）=﹣++=﹣+1+=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x值是407，y值是259，那么输出的x值是（）A．2849 B．37 C．74 D．77【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=407，y=259第1次循环后，s=148，x=259，y=148；第2次循环后，s=111，x=148，y=111；第3次循环后，s=37，x=111，y=37；第4次循环后，s=74，x=74，y=37；第5次循环后，s=37，x=37，y=37，结束循环，故输出的x的值为37．故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理，属于基础题．8．（5分）已知实数x，y满足，则z=4x•（）y的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．2【分析】z=4x•（）y=22x﹣y，设m=2x﹣y，作出不等式组对应的平面区域求出m的最大值即可．【解答】解：由z=4x•（）y=22x﹣y，设m=2x﹣y，得y=2x﹣m，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣m，由平移可知当直线y=2x﹣m，经过点A时，直线y=2x﹣m的截距最小，此时m取得最大值，由，解得，即A（2，2）．代入m=2x﹣y，得m=4﹣2=2，即目标函数m=2x﹣y的最大值为2．则z的最大值为22=4，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及换元法，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，建立方程组，求出a，b，即可求出该双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，，解的b=2，a=2，∴双曲线的标准方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的求法，属于中档题．10．（5分）已知α为第三象限角，tan2α=﹣，则sin α的值为（）A．±B．﹣C．D．﹣【分析】由已知利用二倍角的正切函数公式可求tanα=2，利用同角三角函数基本关系式进而可求sin2α的值，结合角的范围，即可得解．【解答】解：∵tan2α==﹣，α为第三象限角，∴解得：tanα=2或﹣（负值舍去），∴sinα=2cosα，又∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α=，∵α为第三象限角，∴sinα=﹣．故选：B．【点评】本题主要考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11．（5分）一纸盒中有牌面为6，8，10的扑克牌各一张，每次从中取出一张，依次记下牌面上的数字后放回，当三种牌面的牌全部取到时停止取牌，若恰好取5次牌时停止，则不同取法的种数为（）A．60 B．48 C．42 D．36【分析】在前4次中，前两张牌都至少取得1次，在第5次恰好取出最后一种即第三张牌，可以先选出2张牌，在前4次中取到，再用排除法分析得到前4次取牌中，这两张牌，都至少取得1次的情况数目，而第5次恰好取出第第三张牌有1种情况，由分步计数原理可得恰好取5次牌时停止取牌的情况数目．【解答】解：若恰好取5次牌时停止取牌，则在前4次中，前两张牌都至少取得1次，在第5次恰好取出最后一种即第三张牌，在前4次中，只取2张牌，有C32=3种情况，且这张牌都至少取得1次，前4次取牌中，只取这2张牌有24种情况，其中同一张牌的有2种，则前4次取牌有3×（24﹣2）=42种情况，第5次恰好取出第三张牌有1种情况，故恰好取5次牌时停止取牌有42种情况，故选：C．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，涉及排列、组合与分步计数原理的应用，注意本题是有放回抽取．12．（5分）设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=3．若方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2+，+∞）C．（3﹣，+∞）D．（3，+∞）【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）﹣log2x为定值，可以设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，对其求导可得f′（x）；将f（x）与f′（x）代入f（x）+f′（x）=a，求出函数的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=，代入f（x）+f′（x）=a，可得log2x+2+=a，设g（x）=log2x+2+，则g′（x）=，∴函数g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，函数取得最小值2+，∵方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，∴a＞2+，故选：B．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系的应用，考查导数知识的运用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知二项式（1﹣3x）n的展开式中，第3项和第5项的二项式系数相等，则这个展开式的第4项为﹣540x3．【分析】根据第3项和第5项的二项式系数相等，求得 n=6，再利用二项展开式的通项公式求得这个展开式的第4项．【解答】解：二项式（1﹣3x）n的展开式中，∵第3项和第5项的二项式系数相等，∴=，∴n=6，则这个展开式的第4项为•（﹣3x）3=﹣540x3，故答案为：﹣540x3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，bsinA﹣acosB﹣2a=0，则∠B= ．【分析】利用正弦定理把已知的等式化边为角，由两角和与差的正弦函数公式化简，结合特殊角的三角函数值即可求得B的值．【解答】解：△ABC中，bsinA﹣acosB﹣2a=0，由正弦定理得：sinBsinA﹣sinAcosB﹣2sinA=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=2，即sinB﹣cosB=1，∴sin（B﹣）=1；又0＜B＜π，∴﹣＜B﹣＜，∴B﹣=，∴B=．故答案为：．【点评】本题考查了解三角形，训练了正弦定理的应用，考查了三角函数的两角和与差的正弦函数公式，是基础题目．15．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且满足f（x+2）=f（﹣x），若当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1，则f（log10）的值为．【分析】本题函数解析式只知道一部分，而要求的函数值的自变量不在此区间上，由题设条件知本题中所给的函数具有对称性函数，故可以利用这一性质将要求的函数值转化到区间[0，1）上求解．【解答】解：由题意定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（﹣x），∴函数图象关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1，log10=﹣log310∈（﹣3，﹣2）由此f（log10）=f（2﹣log310）=f（log3）=f（﹣log3）===．故答案为：【点评】本题考点抽象函数的应用，函数的值求法，利用函数的性质通过转化来求函数的值，是函数性质综合运用的一道好题．对于本题中恒等式的意义要好好挖掘，做题时要尽可能的从这样的等式中挖掘出信息．16．（5分）一个平面图形由红、黄两种颜色填涂，开始时，红色区域的面积为，黄色区域的面积为．现对图形的颜色格局进行改变，每次改变都把原有红色区域的改涂成黄色，原有黄色区域的改涂成红色，其他不变，经过4次改变后，这个图形中红色区域的面积是．【分析】根据每次改变都把原有红色区域的改涂成黄色，原有黄色区域的改涂成红色，其他不变，即可得出结论．【解答】解：开始时，红色区域的面积为，黄色区域的面积为．1次改变后，这个图形中红色区域的面积是+=，黄色区域的面积是+=12次改变后，这个图形中红色区域的面积是+=2，黄色区域的面积是1+=3次改变后，这个图形中红色区域的面积是2+=，黄色区域的面积是+=4次改变后，这个图形中红色区域的面积是+=，故答案为：．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n2+n（n∈N*）．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）若数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）由已知得，n∈N*，从而能证明数列{}为等差数列．（2）求出，从而b n===，由此利用裂项求和法能求出数列{b n}的前n项和．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n2+n（n∈N*），∴，即，n∈N*，又=1，故数列{}为首项为1，公差为1的等差数列．…（4分）解：（2）∵数列{}为首项为1，公差为1的等差数列，∴，∴，∴b n===，∴数列{b n}的前n项和：S n=（1﹣）+（）+…+（]=1﹣=．…（12分）【点评】本题考查数列为等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18．（12分）如图，四边形ABEF为矩形，四边形CEFD为直角梯形，CE∥DF，EF⊥FD，平面ABEF⊥平面CEFD，P为AD的中点，且AB=EC=FD．（1）求证：CD⊥平面ACF；（2）若BE=2AB，求二面角B﹣FC﹣P的余弦值．【分析】（1）通过证明AF⊥CD，CD⊥FC．即可证明CD⊥平面ACF．（2）利用空间直角坐标系，通过求解平面的法向量，利用向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：∵AF⊥EF，平面ABEF⊥平面CEFD，平面ABEF∩平面CEFD=EF，∴AF⊥平面CEFD，从而AF⊥CD．设Q为DF的中点，连接CQ．∵四边形CEFD为直角梯形，EC=FD=FQ，EC=AB=EF，∴四边形CEFQ为正方形，△CQD为等腰直角三角形．∴∠FCD=90°，即CD⊥FC．又AF∩CF=F，∴CD⊥平面ACF…（6分）（2）解：以F为坐标原点，FE，FD，FA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=1，则BE=2，FD=2．∴F（0，0，0），C（1，1，0），B（1，0，2），D（0，2，0），A（0，0，2），P（0，1，1），故=（1，1，0），=（1，0，2），=（0，1，1），设平面SFC的一个法向量=（x1，y1，z1），则，∴，令z1=1，则=（﹣2，2，1）．同理可得，平面FCP的一个法向量=（1，﹣1，1）．∴cos==﹣，由图可知，二面角B﹣FC﹣P的余弦值为：…（12分）【点评】本题考查二面角的平面镜的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）某市有中型水库1座，小型水库3座，当水库的水位超过警戒水位时就需要泄洪．气象部门预计，今年夏季雨水偏多，中型水库需要泄洪的概率为，小弄水库需要泄洪的概率为，假设每座水库是否泄洪相互独立．（1）求至少有一座水库需要泄洪的概率；（2）设1座中型水库泄洪造成的损失量为2个单位，1座小型水库泄洪造成的损失量为1个单位，设ξ表示这4座水库泄洪所造成的损失量之和，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）利用对立事件概率计算公式能求出至少有一座水库需要泄洪的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）至少有一座水库需要泄洪的概率是1﹣（1﹣）×（1﹣）3=．…（3分）（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5．P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）3=，P（ξ=1）=（1﹣）×=，P（ξ=2）=×（1﹣）=，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==．故ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 4 5P故Eξ=+5×=．…（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率公式的合理运用．20．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，离心率为，点P在椭圆C上，且点P在x轴上的正投影恰为F1，在y轴上的正投影为点（0，）．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由．【分析】（1）由椭圆的离心率公式及椭圆的性质可知：e==，a=c，b=c，将P（﹣c，），代入椭圆方程，即可求得c，求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）由题意设直线方程，代入椭圆方程，与韦达定理及弦长公式分别求得丨AB丨和丨PQ丨，由平行四边形的性质可知：丨AB丨=丨PQ丨，即可求得k的值．【解答】解：（1）由题可得，由椭圆的离心率公式可知：e==，即a=c，由椭圆的性质可知：b2=a2﹣c2=2c2，将P点坐标（﹣c，），代入椭圆方程：，解得：c=1，∴a=，b=．故椭圆的方程为…（4分）（2）设直线l的方程为y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1•x2=．∴由弦长公式可知丨AB丨=•=，…（8分）∵P（﹣1，）PQ∥AB，∴直线PQ的方程为y﹣=k（x+1）．将PQ的方程代入椭圆方程可知：（2+3k2）x2+6k2（k+）+3（k+）2﹣6=0，∵x P=﹣1，∴x Q=，∴丨PQ丨=•丨x P﹣x Q丨=•，若四边形PABQ成为平行四边形，则丨AB丨=丨PQ丨，∴4=丨4﹣4k丨，解得k=﹣．故符合条件的直线l的方程为y=﹣（x+1），即x+y+1=0…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及平行四边形性质的综合应用，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=，其中t是实数．设A，B为该函数图象上的两点，横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2（1）若x2＜0，函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，求x1﹣2x2的最大值；（2）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求t的取值范围．【分析】（1）由已知f′（x1）f′（x2）=﹣1，可得（2x1+4）（2x2+4）=﹣1，从而x1﹣2x2=﹣[+2（2+x2）]+2，即可得出x1﹣2x2的最大值；（2）根据函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，得出t=﹣1﹣ln（2x1+3），最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出t的取值范围．【解答】解：（1）当x2＜0时，x1＜0．由已知f′（x1）f′（x2）=﹣1，∴（2x1+4）（2x2+4）=﹣1，故x1==2…（2分）∴x1﹣2x2=﹣[+2（2+x2）]+2，∵2x1+4＜2x2+4，∴2x1+4＜0＜2x2+4，∴x1﹣2x2≤2﹣，当且仅当x2=﹣2时，等号成立，故x1﹣2x2的最大值为2﹣…（5分）（2）由题意得，f′（x1）=f′（x2）=…（6分）∵x1＜x2，∴x1＜0，x2＞0．∴2x1+4=1+=，解得t=﹣1﹣ln（2x1+3），令g（x）=x2﹣1﹣ln（2x+3），﹣＜x＜0，则g′（x）=2x﹣…（8分）∵x＜0，2x+3＞0，∴g′（x）＜0，故g（x）在（﹣，0）内单调递减…（10分）∴当x∈（﹣，0）时，g（x）＞g（0）=﹣1﹣ln3，∴t＞﹣1﹣ln3，即t的取值范围为（﹣1﹣ln3，+∞）…（12分）【点评】本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意利用导数求函数的最值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线 C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．（1）求曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线 C2上一点，求|PQ|的最小值．【分析】（1）利用参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，可得曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）利用参数方法，求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C1的普通方程得+=1．由ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0得，曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣4=0…（5分）（2）设P（2cosθ，2sinθ），则点P到曲线C2的距离为d==，…（8分）当cos（θ+45°）=1时，d有最小值0，所以|PQ|的最小值为0…（10分）【点评】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）＜4；（2）若存在实数x0，使得f（x0）＜log2成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）把要求得不等式去掉绝对值，化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）求得函数f（x）的最小值为，根据题意可得=log22＜log2成立，由此求得实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=，∵不等式f（x）＜4，∴①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣1，解②求得﹣1≤x≤，解③求得＜x＜．综上可得，不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．（2）若存在实数x0，使得f（x0）＜log2成立，由（1）知函数f（x）的最小值为f（）=，∴=log22＜log2成立，∴＞2，求得t2＞9，∴t＞3，或t＜﹣3．故实数t的取值范围为{t|t＞3，或t＜﹣3}．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，解绝对值不等式，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

某某“江南十校”高三数学模拟考试试卷本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

请将答案填在答题卡相应的位置。

1．若z ⋅（，则复数z 对应的点在复平面内的 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合M={y ∣y=x 2-2}，N ={x ∣y= x 2-2}，则有A ．M N =B ．R MC N= ∅C ． R NC M= ∅D ．NM3．已知a 、b 均为非零向量，命题p ：a b ⋅＞0，命题q ：a 与b 的夹角为锐角，则p 是q 成立的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知直二面角l αβ--，直线a α⊂，直线b β⊂，且a 、b 与l 均不垂直，那么 A ．a 与b 可以垂直，但不可以平行 B ．a 与b 可以垂直，也可以平行 C ．a 与b 不可以垂直，也不可以平行D ．a 与b 不可以垂直，但可以平行5．将函数y=sin(6)4x π+的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心是A ．（2π，0） B ．（4π，0） C ．（9π，0）D ．（16π，0）6．如果x 、y 满足不等式组 1235x y x y ⎧≤≤⎪≥⎨⎪+≤⎩，那么目标函数z=x-y 的最小值是A ．-1B ．-3C ．-4D ．-97．设定义域为R 的函数()f x 、()g x 都有反函数，且(1)f x -和g -1(2)x -的图像关于直线y x =对称，若(5)2007g =，则(4)f =A ．2006B ．2007C ．2008D ．20098．设P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，则以线段2PF 为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是A ．内切B ．外切C ．内切或外切D ．不相切9．我们把球外一点与球面上一动点之间距离的最小值，叫做该点到球面的距离。

NCS20230607项目第一次模拟测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，13．214．20x y15．216．6时三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．17．【解析】（1）因为221n n n a a ka *(N )n ，所以21322243a a ka a a ka ，…………… 2分因为11a ，22a ，464a ，所以3324416a ka a k， 则38k ，所以2k ； ………………………………………………… 5分（2）因为2k ，所以2212n n n a a a ，则2112n n n na a a a ， ………………… 6分令1n n nab a ，所以12n n b b ，则{}n b 是等比数列，因为2112a b a ，2q ，所以112n n n b b q ，所以12nn n a a ， …………… 9分则12211231n n n n n n n a a a aa a a a a a(1)12212222212n n n n . …………………………………… 12分 18．【解析】（1）连接AC 交BD 于点F ，连接1C F ，在直四棱柱1111ABCD A B C D 中11//AA CC， 所以四边形11AA C C 为平行四边形，即11//AC AC ， ……………… 2分 又因为底面ABCD 为棱形，所以点F 为AC 的中点， 点E 为11B D 的中点， 即点E 为11A C 的中点，所以1//C E AF， 即四边形1AFC E 为平行四边形，所以1//AE C F ， ………… 4分 因为1C F 平面1BDC ，所以//AE 平面1BDC ； …………………………………… 6分 （2）方法一：取AE 的中点G ,连接EF ,BG ,FG ，在直棱柱1111ABCD A B C D 中1AA 平面ABCD ，所以1AA BD ， 又因为AC BD ，所以BD 平面11AA C C ，则BD AE因为在ABD 中，2AB AD BD ，且点F 为BD的中点，所以AF ，又1EF AA，而点G 为AE 的中点，所以FG AE ,所以AE 平面BFG ，即BG AE ，则BGF 为二面角B AE C 的平面角， …………………………9分在等腰直角三角形AEF中，122FG AE ，又112BF BD ,在直角三角形BFG中2BG，所以cos 5FG BGF BG ， 即二面角B AE C的余弦值为5. …………………………12分 方法二：如图，以FA ，FB ，FE 分别为分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 因为在ABD 中，2AB AD BD ，且点F 为BD 的中点，所以AF，1EF AA ，则A ，(0,1,0)B，(C ,3)E ，因为(AB,(0,BE, 设(,,)m x y z为平面BAE 的法向量，则00m AB m BE,即00y y，得y z x 令1x，则m，平面CAE 的法向量(0,1,0)n FB， ………………………… 10分 设二面角11B A C D 为 ，则cos cos<,5m n m n m n. ………………………… 12分 19. 【解析】（1）函数()y f x 有3个零点，即()0f x 有3个根，也即2e x x b 有3个根，即y b 与2()ex x g x 的图象有三个交点； ……… 2分(2)'()e xx x g x，故'()0g x 解得02x ； 故'()0g x 解得0x 或2x ，即()g x 在(,0) 递增，在(0,2)递减，在(2,) 递增.又(0)0g ，24(2)eg ，0,x 时()0g x ；即240eb ； ……………………………………………… 5分（2）即22()e 30e x x a 有解.设21()()2e 3x h x x a ，则1'()2()2e x h x x a ，设1()2()2e x m x x a ，则1'()22e 0x m x 恒成立，故()m x 在R 单调递增， 又21(1)2(1)0,()20a m a e m a e ， 且存在唯一的0x ，使得01000()'()2()2e 0x m x h x x a ，所以010ex x a ， ……………………………………………… 8分且0x x 时，'()0h x ；0x x 时，'()0h x .即()h x 在0(,)x 递减，在0(,)x 递增，x 时()h x ，x 时()h x ，故要使得()0h x 有解，只需min ()0h x ，故0000012(1)1112min 00()()()2e3e 2e 3(e 3)(e 1)0x x x x x h x h x x a故01e 1x ，解得01x ， …………………………………………………… 10分 而010ex a x 在0(,1]x 上单调递增，故112a ,又因为0a ，故a 的取值范围为02a . …………………………………………………… 12分20.【解析】记第i 轮宣传选中的同学是赞成A 款式的事件为i A ， 第i 轮宣传选中的同学是赞成B 款式的事件为i B ， （1）记第二轮选到的同学赞成A 款式的概率为2()P A ，因为12211()525P A A， …………………………………… 2分 123159()55050P B A ， …………………………………… 4分则212121919()()()55050P A P A A P B A ； …………………………… 5分（2）经过三轮宣传后赞成A 款式的人数为X 的所有可能取值为5,15,25,35，则12330354042(5)()505050125P X P B B B ，123123123(15)()()()P X P A B B P B A B P B B A20253030153030351039505050505050505050125， 123123123(25)()()()P X P B A A P A B A P A A B301520202520202520295050505050505050501251232025303(35)()50505025P X P A A A …………………………… 9分所以51525351251251252525EX . ………………… 12分21.【解析】（1）根据椭圆的对称性可知，由于23(1,(1,22A A 关于y 轴对称，必同时在椭圆上， ………… 1分 若椭圆还经过点1(0,1)A ，则2221x y a，将点2(1,2A 代入，求得2a ，可得椭圆方程为2214x y ； …………………………………… 3分 若椭圆还经过点(4,0)A ，可得2415b ，不合题意，舍去.则椭圆方程为2214x y . ……………………………………… 5分 （2）方法一：设11223344(,),(,),(,),(,),P x y Q x y M x y N x y 设直线PQ 的方程为x my t ，由于直线PQ 过点53(,22，则有32 5.m t设直线AP 的方程为1144x x y y 联立12211111224448(4)()412044x x y x x y y y y y x y所以222111132221111111212312482025(4)4()4y y y y y x x x x y y ， 同理22242325y y y x ，进一步可得12341233.2525y y y y x x …………… 9分直线MN 的斜率为121234121212112234341211223333252525254443432525y y y y y y x x x x x x x y x y x x y y y y y x y x12211221(25)(25)(4)(25)(4)(25)y x y x x x x x 1212(25)()1 1.3()t y y m y y …………………… 12分方法二：因为1133(4,0),(,),(,)A P x y M x y 三点共线，则直线PM 的方程为3131(4)y y y x x x，且将11(,)P x y 代入直线，整理可得3113134()x y x y y y (1) …… 6分 由于1133(,),(,)P x y M x y 均在椭圆上，代入可得221122331414x y x y ，所以2222213133222223113144x y y y y x y y y y 将两式相减可得223113311313()()4x y x y x y x y y y ，所以221331131331134()()y y x y x y y y x y x y …………(2) ……………… 8分则(1)(2) 式可得：3313113323525y x y y y y x由(1)(2) 式可得：3313133113339589235525252525y x x y y y y x x x x x直线PB 的斜率为313333133332522252558532252y y x y x x x x，同理直线QB 的斜率为442253y x ， ……………………………… 10分而PA QA k k ，所以334422522533y x y x ，则3344y x y x .那么34341MN y y k x x . ……………………………… 12分方法三：设PA AM ，QA AN，则4101P M A P M A x x x y y y ，4101Q N AQ N A x x x y y y所以4(1)0P M P M x x y y ，4(1)Q N Q N x x y y ，………………… 7分因为,P M 均在椭圆2244x y 上，所以222244(1)44(2)M M P P x y x y …………，由2(1)(2) 得：22224(1)M P x x ， 即()()4(1)(1)M P M P x x x x ，又因为4(1)P M x x ，所以1M P x x ，所以532532P M x x，同理可得：532532Q N x x， …………………………………… 9分因为,,P Q B 三点共线，所以33225522P Q P Q y y x x， 则53532222P Q P Q P Q Q P y x y x x y y x ，所以53535353535322222222P P Q Q y y y y ，所以3()2P Q y y ，所以MN 的斜率3()2131133()()()222QPP Q M N MNM N y y y y y y k x x.…………………………………………………… 12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.【解析】（1）当π3 时，直线l的参数方程为1123x ty （t 为参数），消去参数t30y ，即直线l30y ． ……………………………… 2分4cos ，24cos ，cos ,sin x y ，224x y x ，则曲线C 的直角坐标方程为2240x y x . ……………………………… 5分 （2）将直线l 的参数方程代入到曲线C 的直角坐标方程中得22(1cos )(3sin )4(1cos )t t t ，化简得26(sin cos )140t t ， 设A ，B 两点对应的参数为1t ，2t ，则126(sin cos )t t ，1214t t ， ……………………………… 8分 因为直线l 过点(1,3)P ，则12||||2AB t t ，解得2sin 23． ……………………………… 10分 23. 【解析】（1）因为0a ，0b ，且a b ab ，111a b又112a b ， ………………………………………… 3分 222111111()22a b a b . 当且仅当2a b 时等号成立． ………………………………………… 5分（2）因为0a ，0b ，且a b ab ，111a b，1a ，1b ，所以|21||31|232M a b a b ， ……………………………… 7分1132(23)(2(23)23b aa b a b a b，当且仅当32b aa b时等号成立，所以M 最小值为3．…………… 10分。

2021年“江南十校〞高三联考数学试卷〔理科〕本套试卷分第一卷和第二卷两局部。

满分是150分，考试用时120分钟。

考前须知：1．在答题之前，所有考生必须在试题卷、答题卷规定的地方填写上本人的姓名、座位号。

2．答第一卷时，每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卷上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第二卷时，必须使用0. 5毫米黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹明晰。

必须在题号所指示的答题区域答题，超出答题区域书写之答案无效，在试题卷、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．草稿纸上答题无效．．．．．．．．。

有关参考公式： 2222121[()()()]n S x x x x x x n =-+-++-121()3V S S h =⋅台第一卷〔选择题 满分是50分〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1．i 是虚数单位，复数2332iz i+=-+的虚部是〔 〕A ．0B ．1-C ．1D ．2 2．设集合{}23,log P a =，{}Q ,a b =，假设{}Q=0P，那么Q=P 〔 〕A ．{}3,0B ．{}3,0,1C ．{}3,0,2D ．{}3,0,1,23．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |1=，那么a 与b 夹角为〔 〕A ．3π B ．2πC ．23πD ．34π4．假设点P 〔1，1〕为圆22(3)9x y -+=的弦MN 的中点，那么弦MN 所在直线方程为〔 〕A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=5．函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，那么(1)f '=〔 〕A ．e -B ．1-C ．1D ．e6．函数()f x 是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，3a ＞0，那么135()()()f a f a f a ++的值 〔 〕A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负 7．一组正数1234,,,x x x x 的方差为2222212341(16)4S x x x x =+++-，那么数据122,2,x x ++ 342,2x x ++的平均数为〔 〕A ．2B ．3C ．4D ．6 8．函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=，那么函数()sin cos g x a x x =+ 的初相是〔 〕 A ．6π B ．3πC ．56πD ．23π9．一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是〔 〕 A ．8 B ．203 C ．173 D ．14310．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列1234567,,,,,,a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式种数一共有〔 〕 A ．576 B ．720 C ．864 D ．1152第二卷〔非选择题 满分是100分〕二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分。

2024届安徽省“江南十校”联考数学（答案在最后）姓名__________座位号__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}221,10x A x B x x =≥=->∣∣，则A B ⋃=（）A.{}11x x -<< B.{}01x x ≤< C.{}1x x >- D.{}0x x ≥【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的单调性，结合一元二次不等式的解法、集合并集的定义进行求解即可.【详解】因为{}{}{}{}2210,1011xA x x xB x x x x =≥=≥=->=-<<，所以A B ⋃={}1x x >-，故选：C2.已知复数z 满足()12i 43i z +=+，则z =（）A.2i + B.2i- C.2i 5-+ D.2i 5--【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.【详解】()()()()43i 12i 43i 105i2i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-,所以2i z =+.故选：A.3.已知向量,a b 满足()()1,,3,1a b m a b +=-= .若//a b ，则实数m =（）A.13-B.13C.3D.-3【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出,a b的坐标，再利用向量共线的坐标表示计算即得.【详解】由()()1,,3,1a b m a b +=-= ，得11(2,),(1,)22m m a b +-==- ，由//a b，得112022m m -+⋅+=，所以13m =.故选：B4.已知函数π()3sin(2)(||)2f x x ϕϕ=+<的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象.若()g x 是偶函数，则ϕ为（）A.π6B.π6-C.π3D.π3-【答案】B 【解析】【分析】利用给定的图象变换求出()g x 的解析式，再利用正弦函数的奇偶性列式计算即得.【详解】依题意，()ππ3sin 263g x f x x ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()g x 是偶函数，得πππ,Z 32k k ϕ-+=+∈，而π||2ϕ<，则π1,6k ϕ=-=-.故选：B5.酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全，交通法规定：机动车驾驶人每100ml 血液中酒精含量达到2079mg 为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车.若某机动车驾驶员饮酒后，其血液中酒精含量上升到了1.2m g /m l .假设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则他能驾驶需要的时间至少为（）（精确到0.001.参考数据：lg20.3010,lg30.4771≈≈）A.7.963小时B.8.005小时C.8.022小时D.8.105小时【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出指数不等式，根据对数运算法则即可计算.【详解】由已知得：1.20.80.2x ⨯<，所以lg 6lg 2lg 313lg 213lg 2x +>=--，即0.30100.47710.77818.022130.30100.0970x +>=≈-⨯，所以8.022x >故选：C.6.已知函数()1ln f x x x=-在点()1,1-处的切线与曲线()212y ax a x =+--只有一个公共点，则实数a 的取值范围为（）A.{}1,9 B.{}0,1,9 C.{}1,9-- D.{}0,1,9--【答案】B 【解析】【分析】求出切线方程，再对a 分0a =和0a ≠讨论即可.【详解】由211()f x x x'=+得(1)2f '=，所以切线方程是2(1)123y x x =--=-，①若0a =，则曲线为2y x =--，显然切线与该曲线只有一个公共点，②若0a ≠，则223(1)2x ax a x -=+--，即2(3)10ax a x +-+=，由2(3)40a a ∆=--=，即21090a a -+=，得1a =或9a =，综上:0a =或1a =或9a =.故选：B.7.已知圆22:8120C x y x +-+=，点M .过原点的直线与圆C 相交于两个不同的点,A B ，则||MA MB +的取值范围为（）A.2)-+B.2]+ C.4)-+ D.4]+【答案】D 【解析】【分析】取线段AB 的中点P ，求出点P 的轨迹方程，再利用平面向量数量积的运算律及圆的性质求解即得.【详解】圆22:(4)4C x y -+=的圆心(4,0)C ，半径为2，取线段AB 的中点P ，连接CP ，当P 与圆C 的圆心C 不重合时，CP OP ⊥，点P 在以线段OC 为直径的圆在圆C 内的圆弧上，当P 与C 重合时，也在此圆弧上，因此点P 的轨迹是以线段OC 为直径的圆在圆C 内的圆弧，圆弧所在圆心为()2,0，方程为22(2)4(34)x y x -+=<≤，显然|||2|M MA MB P += ，过点M 与点(2,0)的直线斜率12k =-，过点M与点3(,的直线斜率23k =-，显然21k k <，即过点M 与点(2,0)的直线与该圆弧相交，因此max ||22MP == ，点M与点的距离为3，则||3MP > ，所以||MA MB +的取值范围为4]+.故选：D8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且111,1,1n n n n a S n a b a +=+==+，则使得n T M <恒成立的实数M 的最小值为（）A.1B.32 C.76D.2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出数列{}1n a +的通项，再利用等比数列前n 项和公式求出n T 即可得解.【详解】数列{}n a 中，11a =，1n n a S n +=+，当2n ≥时，11n n a S n -=+-，两式相减得11n n n a a a +-=+，即121n n a a +=+，整理得112(1)n n a a ++=+，而211112a S a =+=+=，因此数列{}(2)1n a n +≥是首项为3，公比为2的等比数列，2132n n a -+=⨯，11a =不满足上式，则111112b a ==+，当2n ≥时，21132n n b -=⨯，1211111211721232332612n n n T ---=+⨯=+-⨯<-，而111726T b ==<，依题意，76M ≥，所以实数M 的最小值为76.故选：C【点睛】思路点睛：给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n S S a +-=转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图，因形似箱子而得名.在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上､下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和下四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）.图2为某地区2023年5月和6月的空气质量指数（AQI ）箱线图.AQI 值越小，空气质量越好；AQI 值超过200，说明污染严重.则（）A.该地区2023年5月有严重污染天气B.该地区2023年6月的AQI 值比5月的AQI 值集中C.该地区2023年5月的AQI 值比6月的AQI 值集中D.从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定信息，结合图示，逐项判断即得.【详解】对于A ，图2所示中5月份有AQI 值超过200的异常值，A 正确；对于B ，C ，图2中5月份的箱体高度比6月份的箱体高度小，说明5月的AQI 值比6月的AQI 值集中，B 错误，C 正确；对于D ，虽然5月有严重污染天气，但从图2所示中5月份箱体整体上比6月份箱体偏下且箱体高度小，AQI 值整体集中于较小值，说明从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月，D 正确.故选：ACD10.已知抛物线2:2E y px =的焦点为F ，从点F 发出的光线经过抛物线上的点P （原点除外）反射，则反射光线平行于x 轴.经过点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线E 于,B C 两点，经过点P 且垂直于x 轴的直线交x 轴于点Q ；抛物线E 在点P 处的切线l 与,x y 轴分别交于点,M N ，则（）A.2||PQ BF QF=⋅ B.2||PQ BC OQ=⋅C.PF MF = D.FN l⊥【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，得到各线段的长度，从而判断AB ，利用抛物线光学性质，结合抛物线的定义判断CD.【详解】对于AB ，设点(,)P x y ，则(,0)Q x ，y =，则||PQ =,2pBF p QF x ==-，所以2||22pPQ px px BF QF =≠-=⋅，故A 错误；又||2,||BC p OQ x ==，则2||2PQ px BC OQ ==⋅，故B 正确；对于C ，如下图所示，过点P 作x 轴的平行线RH ，与抛物线E 的准线KH 交于点H ，又题意所给抛物线的光学性质可得SPR MPF ∠=∠，又SPR PMF ∠=∠，所以MPF PMF ∠=∠，从而||||PF MF =，故C 正确；对于D ，因为SPR HPM ∠=∠，所以MPF HPM ∠=∠，即PM 为HPF ∠的角平分线，又由抛物线定义知PH PF =，结合||||PF MF =，可得四边形MFPH 为菱形，而y 轴经过线段FH 中点，从而PM 与y 轴的交点即为点N ，所以FN l ⊥，故D 正确.故选：BCD.11.已知点,,,S A B C均在半径为的球面上，ABC是边长为的等边三角形，SA BC ⊥，SA =，则三棱锥S ABC -的体积可以为（）A.3B.C.D.【答案】BC 【解析】【分析】利用线线垂直构造面面垂直结合三棱锥的外接球特征分类讨论计算即可.【详解】取,BC SA 的中点,D F ，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O，半径R =作⊥EO AD 于E ，连接,,AO AD OF ，易知,,AD BC AS AD A AS AD ⊥⋂=⊂、平面ADS ，因为SA BC ⊥，所以BC ⊥平面ADS ，又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC⊥平面ADS ，作⊥SG AD 于G 点，平面ABC ⋂平面ADS AD =，则SG ⊥平面ABC ，故三棱锥S ABC -的体积为211334ABC V S SG AB SG =⋅=⨯⨯⨯= ，由题意可知22,1,32AE AD OA OE OF ===⇒===，即11tan ,tan 23OAE OAF ∠=∠=，若S 在直线AO 的下方，则()111323tan tan 1175123SAD EAO FAO SG -∠=∠-∠====+⨯，若S 在直线AO 的上方，则()1123tan tan 1311123SAD EAO FAO SG +∠=∠+∠====-⨯，综上所述V =或335.故选：BC【点睛】思路点睛：先根据条件得出球心与S 点所在平面垂直于底面ABC ，再根据三棱锥的外接球性质及勾股定理计算夹角,OAE OAF ∠∠，最后分类讨论S 点的位置计算三棱锥的高即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从0,2,4,6中任意选1个数字，从1,3,5中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数.在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为__________.【答案】411【解析】【分析】根据两个计数原理及古典概型计算即可.【详解】根据题意可知：若从0,2,4,6中任意选1个不为0的数字有13C 3=种选法，从1,3,5中任意选2个数字有23C 3=种选法，由选出的3个数字组成三位数有3！种组法，共333!54⨯⨯=种方法，其中偶数有1233C A 18⨯=个；若从0,2,4,6中选0，再从1,3,5中任意选2个数字有23C 3=种选法，由选出的3个数字组成三位数有12C 2!4⨯=种组法，共13412⨯⨯=种方法，其中偶数有23A 6=个；所以该数为偶数的概率为1864541211P +==+.故答案为：41113.若函数()2f x +为偶函数，()15y g x =+-是奇函数，且()()22f x g x -+=，则()2023f =__________.【答案】3-【解析】【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可.【详解】由题意可知()f x 关于2x =轴对称，()g x 关于()1,5中心对称，()()()()()()2221022228f x g x f x g x f x g x -+=⇒-+--=⇒---=-，所以()()8f x g x -=-，故()()()()262f x f x f x f x +-=-=++，所以()()()()2464f x f x f x f x +++=-⇒=+，即4T =是()f x 的一个正周期，则()()()202331f f f ==由()()()()26136f x f x f f -+=-⇒-+=-，且()()13f f -=，则()13f =-，故答案为：3-14.过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点F 的直线分别在第一､第二象限交E 的两条渐近线于,M N 两点，且OM MN ⊥.若23OM MN ON a +-=，则双曲线E 的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】根据渐近线的斜率与倾斜角的关系，结合正切二倍角的公式、正切的定义、勾股定理、双曲线离心率的公式进行求解即可.【详解】由题意可知该双曲线的渐近线方程为by x a=±，如图所示：令MOF θ∠=，于是有tan b aθ=，由双曲线和两条渐近线的对称性可得：π2MON θ∠=-，因为OM MN ⊥，所以ππππ00π22242MON θθ<∠<⇒<-<⇒<<，即tan 1bb a aθ=>⇒>，在直角三角形MOF 中，设()tan 0,MF bm m MF bm OM am OMaθ===>⇒==，根据勾股定理可得：222222222221MF OM OF b m a m c c m c m +=⇒+=⇒=⇒=，或1m =-舍去，即,MF b OM a ==，在直角三角形MON 中，()222222tan tan π2tan 21bNM NM aba MONb b a OM a a θθ∠=-=-=-===--2222a bNM b a⇒=-，由勾股定理可知：22222222222a b ac ON NM OM a b a b a ⎛⎫=+=+= ⎪--⎝⎭，因为23OM MN ON a +-=，所以()2222222222222226306303a b ac a a b a ab c b a ab a b b a b a +-=⇒-+-=⇒-+-+=--2223230202b bb b a ab a a a ⎛⎫⇒+-=⇒-+=⇒= ⎪⎝⎭，或1b a =舍去，由222222224455b b c a c e a a a a-=⇒=⇒=⇒=⇒=，故答案为：5【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二倍角的正切公式、由已知等式化简成为,a b 的齐次方程，进而求出双曲线的离心率.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 3sin cos c A a C b c +=+.（1）求A ；（2）若2BC =，将射线BA 和CA 分别绕点,B C 顺时针旋转15 ，30 ，旋转后相交于点D （如图所示），且30DBC ∠= ，求AD .【答案】（1）π3A =（2）63【解析】【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合余弦定理、两角和的正弦公式进行求解即可.【小问1详解】根据正弦定理，由3sin cos 3sin sin cos sin sin c A a C b c C A A C B C+=+⇒+=+()3sin sin cos sin πsin C A A C A C C ⇒+=--+()3sin sin cos sin sin C A A C A C C⇒+=++3sin sin cos sin cos cos sin sin C A A C A C A C C ⇒+=++3sin cos sin sin C A A C C ⇒=+，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，π3sin cos sin sin 3sin cos 12sin 16C A A C C A A A ⎛⎫=+⇒=+⇒-= ⎪⎝⎭π1sin 62A ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭，因为因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，因此πππ663A A -=⇒=.【小问2详解】由（1）可知π3A =，由题意可知ππ,126ABD ACD ∠=∠=，而π6DBC ∠=，所以πππ5π5ππ7ππ,4341212612ABC ACB BCD ∠=⇒∠=--=⇒∠=+=π7πππ6124BDC ⇒∠=--=，在ABC中，由正弦定理可知：1232632,π5πππ22223sin sin sin 3126422BC AB AC AB ⎛=⇒=⇒=⨯⨯= ⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭在DBC △中，由正弦定理可知：11π7πππ222222sin sin sin 4123422BC BD AC BD ⎛=⇒=⇒=⨯⨯= ⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，在DBA中，由余弦定理可知：AD =.3=16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，1,2,60PB AB AD PD BAD ∠=====.（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若二面角P BD A --的大小为120 ，点E 在棱PD 上，且2PE ED =，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）65【解析】【分析】（1）根据余弦定理求出BD =，再利用勾股定理逆定理和面面垂直的判定即可；（2）建立合适的空间之间坐标系，求出相关法向量，根据线面角的空间向量求法即可.【小问1详解】证明:由余弦定理得BD =所以222222,AD AB BD PD PB BD =+=+，因此,AB BD PB BD ⊥⊥，又因为,,AB PB B AB PB ⋂=⊂平面PAB ，所以BD ⊥面PAB ，又因为BD ⊂平面ABCD ，故平面PAB ⊥平面ABCD .【小问2详解】由于,AB BD PB BD ⊥⊥，所以二面角P BD A --的平面角为PBA ∠，即120PBA ︒∠=，在平面PAB 内过点B 作AB 的垂线，交AP 于F ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，且BF ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，得BF ⊥平面ABCD ，以B 为坐标原点，,,BA BD BF为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则1(0,0,0),(,0,22B D C P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，由于1(,0,22BC BP ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即013022x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令x =，则1y z ==，所以n =设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，2533,,3636CE CP PE CP PD ⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，63sin cos ,5CE n CE n CE nθ⋅∴===⋅，因此直线CE 与平面PBC所成角的正弦值为5.17.某产品的尺寸与标准尺寸的误差绝对值不超过4mm 即视为合格品，否则视为不合格品.假设误差服从正态分布且每件产品是否为合格品相互独立.现随机抽取100件产品，误差的样本均值为0，样本方差为4.用样本估计总体.（1）试估计100件产品中不合格品的件数（精确到1）；（2）在（1）的条件下，现出售随机包装的100箱该产品，每箱均有100件产品.收货方对每箱产品均采取不放回地随机抽取方式进行检验，箱与箱之间的检验相互独立.每箱按以下规则判断是否接受该箱产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝该箱产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受该箱产品，否则拒绝该箱产品.若该箱产品通过检验后生产方获利1000元；该箱产品被拒绝，则亏损89元.求100箱该产品利润的期望值.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-+≈≤≤，()()220.9545,330.9973.P Z P Z μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈【答案】（1）约为5件；（2）89330元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正态分布的概率求出这批产品的合格率即可得估计值.（2）利用互斥事件的概率及条件概率公式求出一箱产品通过的概率，再利用二项分布的期望公式及期望的性质计算即得.【小问1详解】分别用样本均值和样本标准差估计正态分布的参数μ和σ，得产品的尺寸误差2)~(0,2X N ，(||4)(22)0.9545P X P X μσμσ≤=-≤≤+≈，因此估计这批产品的合格率为95.45%，样本的不合格品率为10.95450.0455-=，所以估计100件产品中有1000.0455 4.555⨯=≈件不合格品.【小问2详解】设1A =“抽检的第1件产品不合格”，2A =“抽检的第2件产品不合格”，则一箱产品被拒绝的事件为112)(A A A ，因此1121121121))())((((()(|))P A A A P A P A A P A P A P A A =+=+ 59559710010099990=+⨯=，设100箱产品通过检验的箱数为Y ，则893~(100,990Y B ，因此100箱利润1000(89)(100)10898900W Y Y Y =+--=-，所以平均利润893()(10898900)1089()890010891008900990E W E Y E Y =-=-=⨯⨯89330=（元）.18.已知矩形ABCD 中，,,,AB BC E F G H ==分别是矩形四条边的中点，以矩形中心O 为原点，HF 所在直线为x 轴，EG 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线,HF BC 上的动点,R S 满足(),OR OF CS CF λλλ==∈R.（1）求直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程；（2）当3λ=-时，过点R 的直线m （与x 轴不重合）和点P 轨迹交于,M N 两点，过点N 作直线:3l x =-的垂线，垂足为点Q .设直线MQ 与x 轴交于点K ，求KMN △面积的最大值.【答案】（1）221(62x y +=不含点(0,；（2）34.【解析】【分析】（1）根据给定条件，借助向量共线用λ表示点,R S ，再求出直线,ER GS 的方程，联立消去参数λ即得.（2）设出直线m 的方程，与点P 的轨迹方程联立，借助韦达定理求出点K 坐标，再建立三角形面积的函数关系，并求出最大值即得.【小问1详解】依题意，(()0,,,,E G FC ，设点)(,),(,0),R S P x y R x S y ，由OR OF λ=，得R x =，即,0)R ，由CS CF λ=，得)S y λ=-，即))S λ-，当0λ≠时，直线:ER y x =，直线:GS y x =+，联立消去参数λ得21(3y y x +-=-，即221(0)62x y x +=≠，当0λ=时，得交点P ，满足上述方程，所以直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程:221(62x y +=不含点(0,.【小问2详解】当3λ=-时，点(2,0)R -，过点R 的直线m可设为2(x ty t =-≠，由22236x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得：22(2)36ty y -+=，即22(3)420t y ty +--=，设1112)(,,)(,M x y N x y ，则12122242,33t y y y y t t -+==++，依题意，2()3,Q y -，直线1221:(3)3y y MQ y y x x --=++，令0y =，得点K 横坐标()212111212333K y x y x y x y y y y -+--=-=--，又111212)2,2(x ty ty y y y =-=-+，则122112211122112121212155(23(2)32352222)Ky y y y y y y ty y ty y y y x y y y y y y y y ++--+----+-=====-----，因此直线MQ 过定点5(,0)2K -，显然1212||11||||24KMN S KR y y y y =-=- ，而12||y y-===，令21(1)n t n=+≥，12y y-==≤=当且仅当2n=，即1t=±取等号，此时4KMNS=，所以KMN△面积的最大值为4.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.19.已知函数()()()e,,xf x x a x a f x=--∈'R是()f x的导函数.（1）证明：()f x'在(),-∞+∞上存在唯一零点x；（2）设函数()()2211e12xg x x ax x x⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭.①当e4,2a∞-⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，求函数()g x的单调区间；②当e4,2a∞-⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，讨论函数()g x零点的个数.【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②只一个零点.【解析】【分析】（1）对函数求导，构造()()1e xh x x a-=-+-利用其单调性结合零点存在性定理计算即可证明；（2）①先求导函数，构造()()1e xh x x a-=-+-，利用其单调性及()10h-<，得出1x>-，从而判定单调区间；②利用（1）、①的结论，分类讨论函数的单调性，极大值与0的关系判定零点个数即可.【小问1详解】由题意可知()()1e 1xf x x a +'=--，由()01e 0xf x x a -+'=⇒--=，令()1e xh x x a -=-+-，易知()y h x =在R 上单调递增，又11(1)0e a h a --=-<，若0a ≥，由于11a a +>-且11(1)20ea h a ++=->；若a<0，由于1a a ->-且11()12120e e a ah a a a --⎛⎫-=--=-->⎪⎝⎭；所以在(),-∞+∞上存在唯一零点0x ，使得()00h x =，即()f x '在(),-∞+∞上存在唯一零点0x ；【小问2详解】①当e 4,2a ∞-⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，易知()()()()221e 1x g x x a x a x =+-+--+'()()11e e x xx x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，由（1）知()1e xh x x a -=-+-单调递增，且只存在一个零点0x ，注意到()3e 41e 02h a --=--≤-<，所以01x >-，可得在区间(),1-∞-和()0,x +∞上，()0g x '>，即此时()g x 单调递增，在()01,x -上，()0g x '<，即此时()g x 单调递减；②易知()00g =，即()g x 的一个零点为0x =，（i ）当e 4e,2a -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，由上可知()1e 0h a -=--<，即01x >-，此时在区间(),1-∞-和()0,x +∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，在()01,x -上，()0g x '<，()g x 单调递减，则=1x -时取得极大值()24e102ea g +--=<，又()()()22252e 59e e 50g a =-->-->，即此时()g x 的零点只一个为0x =；（ii ）当a e =-时，易知01x =-，此时()0g x '≥，则()g x 在R 上单调递增，所以此时()g x 的零点只一个为0x =；（iii ）当e a <-时，易知01x <-，此时在区间()0,x -∞和()1,-+∞上，()0g x '<，()g x 单调递增，在()0,1x -上，()0g x '<，()g x 单调递减，则0x x =时取得极大值()()()002222000000000111e 1e 1e 122xx g x x ax x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-++<++-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为01x <-，所以()()2200111111022x x ++>⨯-+-+>，若200e 10x x ++≤，则()02200001e 1e 102xx x x x ⎛⎫++-++<⎪⎝⎭，若200e 10x x ++>，则()02200001e 1e 12xx x x x ⎛⎫++-++⎪⎝⎭()22000011e 11e 2x x x x ⎛⎫<++⨯-++ ⎪⎝⎭()()0220000e 2111e 110222x x x x x --⎛⎫<++⨯-++=< ⎪⎝⎭，所以()00g x <，同上此时()g x 的零点只一个为0x =；综上所述：()g x 的零点只一个为0x =.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.。

2022年安徽省江南十校高考数学一模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x||x −1|>2}，B ={x|log 4x <1}，则A ∩B =( )A. (3,4)B. (−∞,−1)∪(3,4)C. (1,4)D. (−∞,4)2. 已知复数z 在复平面内对应的点为(2,1)，z −是z 的共轭复数，则z−z=( )A. −35+45iB. −35−45iC. 35+45iD. 35−45i3. 已知函数f(x)=2|x|，a =f(log 0.53)，b =f(log 45)，c =f(cos π3)，则( )A. a >c >bB. a >b >cC. b >a >cD. c >a >b4. 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，若3a 2是a 3与a 4的等差中项，且a 3−a 1=3，则a 5=( )A. 818B. 16C.2438D. 325. (x −2y)5的展开式中x 2y 3的系数为( )A. −80B. 80C. −40D. 406. 某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为( )A. 132B. 223C. 152D. 2337. 安徽省2021年高考综合改革实施方案中规定：高考考试科目按照“3+1+2”的模式设置，“3”为语文、数学、外语3门必考科目；“1”为由考生在物理、历史2门中选考1门作为首选科目；“2”为由考生在思想政治、地理、化学、生物4门中选考2门作为再选科目．现有甲、乙两位同学选科，若他们的首选科目均为物理，在再选科目中，两人选择每科目的可能性相同，且他们的选择互不影响，则这两名同学的再选科目中至多有一门相同的概率为( )A. 16B. 12C. 23D. 568.已知实数a，b满足2a2−b2=1，则|2a−b|的最小值为()A. 0B. 12C. 1D. √29.《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时(注：一尺等于十寸)，从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为()A. 3201602−1B. 1160C. 160802−1D. 18010.声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．若某声音对应的函数可近似为f(x)=sinx+12sin2x，则下列叙述正确的是()A. x=π2为f(x)的对称轴 B. (3π2,0)为f(x)的对称中心C. f(x)在区间[0,10]上有3个零点D. f(x)在区间[5π3,7π3]上单调递增11.设F1、F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1|=|PQ|.若△PF1F2的面积为√33b2，则|PQ||F1F2|=()A. √32B. 2√33C. √3D. 4√3312.已知函数f(x)=ae|x|−2−12x2−ln(x+1)+lna，若f(x)≥3恒成立，则a的取值范围为()A. [e,+∞)B. [2e,+∞)C. [e2,+∞)D. [2e2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设向量a ⃗ =(t,2)，b ⃗ =(−t,1)，且|a ⃗ −b ⃗ |2=|a ⃗ |2+|b ⃗ |2，则t =______． 14. 设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，P 是C 右支上一点．若|PF 2|=|F 1F 2|，点F 2到直线PF 1的距离为2a ，则C 的离心率为______． 15. 已知数列{a n }的通项公式为a n =n ⋅sin2nπ3，其前n 项和为S n ，则S 2022=______．16. 半正多面体亦称阿基米德多面体，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，它们的边长都相等，称这样的半正多面体为二十四等边体、现有一个体积为V 1的二十四等边体，外接球体积为V 2，则V2V 1=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tanC =sinA2−cosA ．(1)求bc 的值；(2)设M 和N 分别是△ABC 的重心和内心，若MN//BC 且c =2，求a 的值．18. 如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，AD =2AF =2AB =2，M ，N 分别是对角线BD ，AE 上异于端点的动点，且BM =AN ． (1)求证：直线MN//平面CDE ；(2)当MN 的长最小时，求二面角A −MN −D 的余弦值．19. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，A 两点，且PF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)若λ=1，求点P 的坐标；(2)设点E(a,0)，直线PE 与抛物线C 的另一个交点为B ，且PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =μEB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若λ=4μ，求a 的值．20. 2021年10月12日中华人民共和国主席习近平在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“万物各得其和以生，各得其养以成．生物多样性使地球充满生机，也是人类生存和发展的基础．保护生物多样性有助于维护地球家园，促进人类可持续发展．”中国大力推进生物多样性保护和恢复，完善政策法规，改善生态环境质量，划定生态保护红线，建立国家公园体系，实施长江十年禁渔，不断加大监管和执法力度，积极履行国际公约义务，全社会生物多样性保护意识不断增强，参与度不断提升，生物多样性下降势头得到基本控制，生态系统稳定性明显增强．某兴趣小组在开展昆虫研究时，设计了如下实验：在一个不透明的密封盒子中装有蝴蝶、蜜蜂等多种昆虫共2n(n≥4,n∈N)只．现在盒子上开一小孔，每次只能飞出一只昆虫，且任意一只昆虫都等可能地飞出．(1)若盒子中共有8只昆虫，从中任意飞出2只昆虫时，飞出的恰好有1只是蜜蜂的概率为47，①求蜜蜂的只数；②从盒子中任意飞出3只昆虫，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与期望E(X)；(2)若盒子中的昆虫有一半是蝴蝶时，求“从盒子中任意飞出2只昆虫，至少有1只蝴蝶飞出”的概率最大值．21.已知函数f(x)=(2a−1)x−2alnx−1x,a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当12<a<1时，求证：f(x)>2(a−1)(a3+1)2a−1对x∈(1,+∞)恒成立．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=|sinθ|+|cosθ|．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)求曲线C围成的图形的面积．23.已知函数f(x)=|2x+a|，g(x)=|2x−1|．(1)当a=2时，求不等式f(x)+g(x)≥4的解集；(2)若存在x0∈R，使得f(x0)<4−g(x0+a)，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A ={x||x −1|>2}={x|x <−1或x >3}， B ={x|log 4x <1}={x|0<x <4}， ∴A ∩B ={x|3<x <4}=(3,4)． 故选：A ．分分别求出集合A ，B ，利用交集定义能求出结果．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵复数z 在复平面内对应的点为(2,1)，z −是z 的共轭复数，∴z −z=2−i 2+i=(2−i)2(2+i)(2−i)=35−45i ．故选：D ．根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解． 本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：a =f(log 0.53)=f(log 213)，b =f(log 45)=f(log 2√5)，c =f(cos π3)=f(12)， ∵函数f(x)=2|x|是偶函数，∴a =f(log 23)．∵log 23>log 2√5>12，当x >0时函数f(x)=2|x|单调递增，∴f(log 23)>f(log 2√5)>f(12)， ∴a >b >c ． 故选：B ．根据指数函数图象性质可解决此题．本题考查指数函数图象性质，考查数学运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意，设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，∵3a2是a3与a4的等差中项，∴2×(3a2)=a3+a4，即6a2=a2q+a2q2，∴6=q+q2，即(q−2)(q+3)=0，解得q=2或q=−3(舍去)，又∵a3−a1=3，∴a1q2−a1=3，即4a1−a1=3，解得a1=1，∴a5=a1q4=24=16．故选：B．由题意，可设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，则2×(3a2)=a3+a4，即6=q+q2，从而求出q值后再利用a3−a1=a1q2−a1=3即可求出a1，进一步利用a5=a1q4即可求解．本题考查等比数列的通项公式及等差中项，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：展开式的通项公式为T r+1=C5r x5−r(−2y)r=C5r⋅(−2)r x5−r y r，令5−r=2，则r=3，所以x2y3的系数为C53⋅(−2)3=−80，故选：A．求出展开式的通项公式，然后令x的指数为2，由此即可求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由棱长为2的正方体ABCD−EFGH，切去两个角锥体D−IJH和锥体B−KLM构成的多面体如图所示：故：V多面体=2×2×2−13×12×1×1×2−13×12×1×1×1=8−12=152．故选：C．首先把三视图转换为几何体的直观图，利用割补法的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：“至多有一门相同的”对立事件，即为“两门均相同”，故先求出“两门课程均相同”的概率，两人在最后四门中每人均有C42=6种可能，则两人在最后四门中所有可能性为6×6=36种，∵两门课程相同的情况有C42=6种，则两门课程相同的概率为636=16，则：“至多有一门相同的”的概率为1−16=56，故选：D．本题可寻找“至多有一门相同的”对立事件，即为“两门均相同”，再利用对立事件概率相加为1进行计算．本题主要考查古典概型及排列组合，对立事件，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：因为2a2−b2=1，所以(2a−b)2=4a2−4ab+b2=2a2−b2+(2a2−4ab+2b2)=1+2(a−b)2≥1，故当a=b时，上式取得最小值1．则|2a−b|的最小值为1．故选：C．由已知结合完全平方公式及不等式的性质即可求解．本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：如图所示，设∠AOB=θ，则tanθ2=1280=1160，所以tanθ=2tanθ21−tan2θ2=2×11601−11602=3201602−1．故选：A．可设∠AOB=θ，先根据条件求出tanθ2，然后利用二倍角公式求出结果．本题考查解三角形知识、三角恒等变换的方法在实际问题中的应用，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：对于A.由已知得f(π−x)=sin(π−x)+12sin2(π−x)=sinx−12sin2x，即f(π−x)≠f(x)，故f(x)不关于x=π2对称，故A错误；对于B.f(3π2)=sin3π2+12sin3π=−1≠0，故B错误；对于C.利用二倍角公式知f(x)=sinx(1+cosx)，令f(x)=0得sinx=0或cosx=−1，即x=kπ(k∈Z)，所以该函数在区间[0,10]内有4个零点，故C错误；对于D.求导f′(x)=cosx+cos2x=2cos2x+cosx−1，令cosx=t，由x∈[5π3,7π3]，知t∈[12,1]，即g(t)=2t2+t−1，利用二次函数性质知g(t)≥0，即f′(x)≥0，可知f(x)在区间x∈[5π3,7π3]上单调递增，故D正确；故选：D．利用f(x+a)=f(a−x)知f(x)关于直线x=a对称的性质验证A；求得f(3π2)=−1≠0可判断B；化简f(x)=sinx(1+cosx)，令f(x)=0，得x=kπ(k∈Z)，进而判断C；利用导数研究函数的单调性可判断D．本题考查了三角函数的性质，也考查了利用导数判断函数的单调性，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：在△PF1F2中，设∠F1PF2=θ，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cosθ，即4c2=(|PF1|+|PF2|)2−2|PF1||PF2|−2|PF1||PF2|cosθ=4a2+(−2−2cosθ)|PF1||PF2|，则(2+2cosθ)|PF1||PF2|=4a2−4c2=4b2，所以△F1PF2的面积S=12|PF1||PF2|sinθ=sinθ1+cosθb2=√33b2，∴θ=π3．又|PF1|=|PQ|.所以△PF1F2的是等边三角形，即|PF1|=|QF1|=|QP|，由椭圆的定义可得|PF1|+|QF1|+|QP|=4a，即有则|PF1|=43a，则|PF2|=23a，∴则|QF2|=2a3，∴PQ⊥F1F2，则|PQ||F1F2|=2tan∠PF1F2=2√33．故选：B．利用△F1PF2的面积S=12|PF1||PF2|sinθ=sinθ1+cosθb2=√33b2，求得θ=π3.即可得△PF1F2的是等边三角形，从而求得|PQ||F1F2|．本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：∵f(x)≥3恒成立，x ∈(−1,+∞)，a ∈(0,+∞)，取x =0，则f(0)=ae 2+lna =g(a)在a ∈(0,+∞)上单调递增，取a =e 2时，g(e 2)=1+2=3， 因此a ≥e 2．取a =e 2时，f(x)={e −x −12x 2−ln(x +1)+2,−1<x <0e x−12x 2−ln(x +1)+2,x ≥0， −1<x <0时，f′(x)=−e −x −x −1x+1=g(x)，g′(x)=e −x −1+1(x+1)2>g′(0)=1>0，∴g(x)在(−1,0)上单调递增，∴f′(x)<f′(0)=−2<0，此时函数f(x)单调递减．同理可得：x ≥0时，f′(x)=e x −x −1x+1>f′(0)=12>0，此时函数f(x)单调递增， f(0)=3，因此f(x)≥3恒成立， ∴a 的取值范围为[e 2,+∞)， 故选：C ．由f(x)≥3恒成立，x ∈(−1,+∞)，a ∈(0,+∞)，取x =0，可得f(0)=ae 2+lna =g(a)在a ∈(0,+∞)上单调递增，取a =e 2时，g(e 2)=3，于是a ≥e 2.取a =e 2时，f(x)={e −x −12x 2−ln(x +1)+2,−1<x <0e x −12x 2−ln(x +1)+2,x ≥0，利用导数研究其单调性即可得出结论． 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、取特殊值法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】±√2【解析】解：向量a ⃗ =(t,2)，b ⃗ =(−t,1)，a ⃗ −b ⃗ =(2t,1)， |a ⃗ −b ⃗ |2=|a ⃗ |2+|b ⃗ |2，可得(√4t 2+1)2=t 2+4+t 2+1， 解得t =±√2． 故答案为：±√2．利用向量的坐标运算以及向量的模的运算法则化简求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的模的求法，考查计算能力，是基础题．14.【答案】53【解析】解：设双曲线的焦距为2c，则|PF2|=|F1F2|=2c，由双曲线的定义知，|PF1|= 2a+2c，又F2到直线PF1的距离为2a，结合等腰三角形性质及勾股定理，可得(a+c)2+(2a)2= (2c)2，即3c2−2ac−5a2=0，两边同除以a2，∴3e2−2e−5=0，解得e=53或e=−1，∴C的离心率为53．故答案为：53．由|PF2|=|F1F2|=2c，可得(a+c)2+(2a)2=(2c)2，求解即可．本题考查双曲线的几何性质，属中档题．15.【答案】−641√32【解析】解：对于y=sin2nπ3，其周期T=2π2π3=3，由a n=n⋅sin2nπ3，可得a1=sin2π3=√32，a2=2sin4π3=−2×√32，a3=3sin2π=0；a4=4sin8π3=4sin2π3=4×√32，a5=5sin10π3=−5×√32，a6=6sin4π=0；……，∵2022=3×640+2，则S2022=√32(1−2+0+4−5+0+⋯+2021−2022)=−641√32，故答案为：−641√32，对于y=sin2nπ3，其周期T=3，结合已知a n=n⋅sin2nπ3，通过分组求和即可得出结论．本题考查了三角函数的周期性、数列求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】2√2π5【解析】解：设该半多面体是由棱长为2的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，内侧即为二十四等边体，其体积V1=2×2×2−8×13×12×1×1×1=203；由二十四等边体的对称性可知，如图所示，其外接球的球心即为正方体中心O，半径为中心到一个顶点的距离，则R=√OA2+AB2=√1+1=√2，故V2=43π(√2)3=8√2π3，从而V2V1=2√2π5．故答案为：2√2π5．利用割补法可得二十四等边体的体积，再结合对称性可得外接球球心与半径，可得外接球体积，进而得解．本题主要考查空间几何体体积的相关计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．17.【答案】解：(1)因为tanC=sinA2−cosA =sinCcosC，所以sinAcosC=2sinC−sinCcosA，即sin(A+C)=2sinC，所以sinB=2sinC，即b=2c，所以bc=2；(2)因为c=2，由(1)得b=4，设三角形内切圆半径r，则内心N到边BC的距离r，因为MN//BC，所以M到BC边的距离为r，A到BC边的距离为3r，所以12(a+b+c)r=12a⋅3r，即(a+4+2)=3a，所以a=3．【解析】(1)切化弦，整理化简后，再利用正弦定理即可求解；(2)根据(1)求出b，c，根据三角形重心的性质得到定点A到BC边的距离，再利用面积列方程求解．本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】证明：(1)过N作NN′//AD与ED交于N′点，过M作MM′//AD与CD交于M′点，连接M′N′，由BM=AN，易知NN′=MM′，又NN′//AD//MM′，则四边形MNN′M′为平行四边形，所以MN//N′M′∵MN⊄平面CDE，M′N′⊂平面CDE，∴MN//平面CDE．(2)由平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，又AF⊂平面ADEF，AF⊥AD，∴AF⊥平面ABCD，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，过M点作MG⊥AD，垂足为G，连接NG，易知NG⊥AD，设AG =a(0<a <2)， 可得M(2−a 2,a,0),N(0,a,a2)，∴|MN|=√(2−a 2)2+(a 2)2=√(a−1)2+12，可知当a =1时，MN 的最小值为√22，此时M(12,1,0),N(0,1,12)， 又A(0,0,0)，D(0,2,0)，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1,0),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,0,12),DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−1,0)， 设平面AMN 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得{12x 1+y 1=0−12x 1+12z 1=0， 令x 1=2，可得m⃗⃗⃗ =(2,−1,2) 设平面MND 的法向量为n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 由{n ⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得{12x 2−y 2=0−12x 2+12z 2=0， 令x 2=2，可得n ⃗ =(2,1,2)， ∴cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=79，易知二面角A −MN −D 为钝二面角， 则二面角A −MN −D 的余弦值为−79．【解析】(1)利用线面平行的判定定理即可证得；(2)建立空间直角坐标系，利用两点之间距离公式求出MN 的长最小时，各点的坐标，再利用空间向量求面面角，即可得解．本题考查了线面平行的证明以及二面角的求解，属于中档题．19.【答案】解：(1)由PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA⃗⃗⃗⃗⃗ ，知焦点F(1,0)是PA 的中点， 又抛物线C ：y 2=4x 关于x 轴对称，所以PA ⊥x 轴，所以直线l 的方程x =1，代入y 2=4x 得，y =±2， 所以P(1,−2)或P(1,2)；(2)设点P(x 0,y 0)(y 0≠0)，A(x 1,y 1)(y 1≠0)， 由PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得λ=−y0y 1①， 设直线l ：x =my +1与抛物线C ：y 2=4x 联立得y 2−4my −4=0， 所以Δ=16(m 2+1)>0，y 0y 1=−4②， 由①②可得λ=y 024，设点B(x 2,y 2)，由PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =μEB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得μ=−yy 1③，直线PB ：x =ny +a 与抛物线C ：y 2=4x 联立得y 2−4ny −4a =0， 所以需要满足Δ=16(n 2+a)>0，y 0y 2=−4a④， 由③④可得μ=y 024a，又λ=4μ， 所以y 024=4×y 024a， 因为y 0≠0，解得a =4，此时Δ=16(n 2+a)=16(n 2+4)>0， 所以a 的值为4．【解析】(1)根据抛物线的对称性可以判断PA ⊥x 轴，进而解出答案；(2)设出点的坐标和直线PA ，PB 的方程，将直线方程代入抛物线方程并化简，进而根据平面向量间的关系及根与系数的关系得到λ，μ间的关系．本题考查了直线与抛物线的相交的综合问题，也考查了转化思想，属于中档题．20.【答案】解；(1)①记“从盒子中先后任意飞出两只昆虫，恰有1只蜜蜂”为事件A ，设盒子中蜜蜂的只数为x(x ∈N ∗)， 则P(A)=C x 1C 8−x 1C 82=47，解得x =4，故蜜蜂共有4只；②随机变量X 的取值为0，1，2，3，P(X =0)=C 43C 83=456=114，P(X =1)=C 41C 42C 83=2456=37，P(X =2)=C 42C 41C 83=2456=37， P(X =3)=C 43C 83=114，故X 的分布列为：E(X)=1×37+2×37+3×114=32．(2)记“任意飞出两只昆虫，至少有1只是蝴蝶”为事件B ，则事件B −为“任意飞出两只昆虫，其中没有蝴蝶”， P(B)=1−P(B −)=1−C n 2C 2n2=1−n−12(2n−1)=34+14(2n−1)(n ≥4,n ∈N)，当n =4时，．P(B)max =34+128=1114．【解析】(1)①设盒子中蜜蜂的只数为x(x ∈N ∗)，则由题意可得C x 1C 8−x 1C 82=47，从而可求出x ；②由题意可得随机变量x 的取值为0，1，2，3，然后求出各自对应的概率，从而可得分布列和数学期望，(2)记“任意飞出两只昆虫，至少有1只是蝴蝶”为事件B ，则可得P(B)=1−P(B −)=1−C n 2C 22(n ≥4,n ∈N)，化简后可求得其最大值．本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=2a −1−2a x +1x 2=(2a−1)x 2−2ax+1x 2=[(2a−1)x−1](x−1)x 2， ①若a ≤12，当x ∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x ∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．②若12<a <1，当x ∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x ∈(1,12a−1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减： 当x ∈(12a−1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．③若a =1，则f′(x)=(x−1)2x 2≥0，f(x)在x ∈(0,+∞)单调递增．④若a >1，当x ∈(0,12a−1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x ∈(12a−1,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减： 当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上：当a ≤12时，f(x)单增区间为(0,1)，f(x)单减区间为(1,+∞)；当12<a <1时，f(x)单增区间为(0,1)，(12a−1,+∞)；f(x)单减区间为(1,12a−1)； 当a =1时，f(x)单增区间为(0,+∞)，f(x)无单减区间；当a >1时，f(x)单减区间为(0,12a−1)，(1,+∞)；f(x)单减区间为(12a−1,1)． (2)由(1)可知当12<a <1时，f(x)在x =12a−1时取得最小值f(12a−1)， 要证：f(x)>2(a−1)(a 3+1)2a−1对x ∈(1,+∞)恒成立，等价于求证：f(12a−1)>2(a−1)(a 3+1)2a−1，即证：1−2aln 12a−1−(2a −1)>2(a−1)(a 3+1)2a−1，设g(x)=lnx −(x −1)(x >1)，则g′(x)=1x −1=1−x x<0，所以g(x)<g(1)=0，即lnx <x −1(x >1)， 所以ln 12a−1<12a−1−1=2−2a2a−1，则1−2aln 12a−1−(2a −1)>1−2a ⋅2−2a 2a−1−(2a −1)=2(a−1)2a−1，而12<a <1，则2(a−1)2a−1<0， 所以2(a−1)2a−1>2(a−1)(a 3+1)2a−1， 即得f(12a−1)>2(a−1)(a 3+1)2a−1，所以f(x)>2(a−1)(a 3+1)2a−1对x ∈(1,+∞)恒成立．【解析】(1)对函数ff(x)=(2a −1)x −2alnx −1x ,a ∈R ，求导后对a 进行分类讨论，根据导数和单调性的关系，即可求得函数f(x)的单调性． (2)要使f(x)>2(a−1)(a 3+1)2a−1对x ∈(1,+∞)恒成立，只需要f(x)min >2(a−1)(a 3+1)2a−1，即可证明该问题，利用导数法证明此f(12a−1)>2(a−1)(a 3+1)2a−1成立即证．求解不等式能恒成立问题常用的方法：(1)函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．22.【答案】解：(1)∵ρ=|sinθ|+|cosθ|，∴ρ2=|ρsinθ|+|ρcosθ|， ∵{ρ2=x 2+y 2x =ρcosθy =ρsinθ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=|x|+|y|(x,y 不同时为0)．(2)当x >0，y >0时，得曲线C 的第一象限内的直角坐标方程：x 2+y 2=x +y ，配方得(x −12)2+(y −12)2=12，则曲线C 在第一象限内的图形由一个直角边为1的等腰直角三角形和一个半径为√22的半圆组成，易知，曲线C 在第一象限内的围成的图形面积为12+π4， 由对称性可知，曲线C 围成的图形的面积为2+π．【解析】(1)根据已知条件，结合极坐标公式，即可求解．(2)先计算出第一象限图形的面积，再结合对称性，求出整个图形的面积． 本题主要考查极坐标方程的应用，考查数形结合的能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)当a =2时，则|2x +2|+|2x −1|≥4，当x <−1时，不等式化为−4x −1≥4，解得x ≤−54， 当−1≤x <12时，不等式化为3≥4，不成立， 当x ≥12时，不等式化为4x +1≥4，解得x ≥34，综上所述，不等式f(x)+g(x)≥4的解集为{x|x≤−54或x≥34}．(2)∵存在x0∈R，使得f(x0)<4−g(x0+a)，∴|2x0+a|<4−|2x0+2a−1|成立，∴(|2x0+a|+|2x0+2a−1|)min<4，由绝对值不等式可知，|2x0+a|+|2x0+2a−1|≥|2x0+a−2x0−2a+1|=|−a+ 1|，即|a−1|<4，故a的取值范围为(−3,5)．【解析】(1)当a=2时，则|2x+2|+|2x−1|≥4，再分类讨论，求其并集，即可求解．(2)根据已知条件，结合绝对值不等式公式，即可求解．本题主要考查绝对值不等式的求解，考查分类讨论的思想，属于中档题．第21页，共21页。

安徽江南十校2024年高三数学试题联合模拟考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3B ．13-C ．12-D ．1-2．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）A ．21313 B ．413C ．277D ．473．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．4．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()//2c a b +，则λ=（ ） A ．2-B ．1-C ．12-D ．125．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ）A ．1y x =-B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+6．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2B ．3C ．2D ．37．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()UB A =( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}68．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．239．已知α，β是两平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则不正确命题是（ ） A ．若m ⊥α，n //α，则m ⊥n B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若l ⊥α，l //β，则α⊥βD ．若α//β，l ⊄β，且l //α，则l //β10．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）． A ．(1)k n k -+B ．(1)k n k --C ．()n n k -D ．()k n k -11．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定12．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题“江南十校”高三联考数学试题（理科）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第II 卷时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}22530A x x x =--≤，{}2B x Z x =∈≤，则A B ⋂中的元素个数为(A)2(B)3(C)4(D)5（2）若复数z 满足11z i i i -=-+（），则z 的实部为(A)121(C)1(D)12（3）“=0a ”是“函数1()sin f x x a x=-+为奇函数”的 (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件（4）已知l 是双曲线22:124x y C -=的一条渐近线，P 是l 上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF ⋅=，则P 到x 轴的距离为(A)3(C)2(D)3（5）在平面直角坐标系xOy 中，满足221,0,0x y x y +≤≥≥的点(,)P x y 的集合对应的平面图形的面积为4π；类似的，在空间直角坐标系O xyz -中，满足2221x y z ++≤，0,0,0x y z ≥≥≥的点(,,)P x y z 的集合对应的空间几何体的体积为 (A)8π(B)6π(C)4π(D)3π （6）在数列}{n a 中，12n n a a +-=，n S 为}{n a 的前n 项和.若1050S =，则数列1{}n n a a ++ 的前10项和为(A)100(B)110(C)120(D)130（7）设D 是ABC ∆所在平面内一点，2AB DC =，则(A)12BD AC AB =-(B)12BD AC AB =- (C)32BD AC AB =-(D)32BD AC AB =- （8）执行如图所示的程序框图，如果输入的50t =，则输出的n = (A)5(B)6(C)7(D)8 （9）已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为4π，且对x R ∀∈，有()()3f x f π≤成立，则()f x 的一个对称中心坐标是(A)2(,0)3π-(B)(,0)3π-(C)2(,0)3π(D)5(,0)3π （10）若,x y 满足约束条件230,40,1,2x y x y y x ⎧⎪-≥⎪+-≤⎨⎪⎪≥⎩则z y x =-的取值范围为(A) []2,2-(B)1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C)[]1,2-(D)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（11）某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为(A)416π++(B)516π++(C)416π++(D)516π++ （12）已知函数21()ln 2f x a x x bx =-+存在极小值，且对于b 的所有可能取值，()f x 的极小值恒大于0，则a 的最小值为 (A)3e -(B)2e - (C)e -(D)1e-侧视图32正视图俯视图第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动.已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人.为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N =.（14）5(2)x y -的展开式中，23x y 的系数为.（15）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P Q 、 两点，若=PQ a ，AP PQ ⊥，则椭圆C 的离心率为.（16）已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，1=1a ，2=(1)n n S n a +，若存在唯一的正整数n 使得不等式2220n n a ta t --≤成立，则实数t 的取值范围为.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. (17)(本小题满分12分)如图，平面四边形ABCD中，AB =，AD =，CD =，30CBD ∠=，120BCD ∠=，求 （Ⅰ）ADB ∠；（Ⅱ）ADC ∆的面积S .(18)(本小题满分12分)如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形EFBD 为等腰梯形，//EF BD ，12EF BD =，平面⊥EFBD 平面ABCD .（Ⅰ）证明：DE //平面ACF ;（Ⅱ）若梯形EFBD 的面积为3，求二面角A BF D --的余弦值.(19)(本小题满分12分)第31届夏季奥林匹克运动会将于8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率中国俄罗斯1 2 3 4 5ABDCA都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX .(20)(本小题满分12分)已知抛物线2:2C y px =经过点(2,2)M ，C 在点M 处的切线交x 轴于点N ，直线1l 经过点N 且垂直于x 轴.（Ⅰ）求线段ON 的长；（Ⅱ）设不经过点M 和N 的动直线2:l x my b =+交C 于点A 和B ，交1l 于点E ，若直线MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列，试问：2l 是否过定点？请说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数2()=21xf x e ax ax +--.（Ⅰ）当1=2a 时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设函数()()g x f x '=，讨论()g x 的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有-∞和+∞的区间）.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.(22)(本小题满分10分) 选修41 :几何证明选讲如图，过O 外一点E 作O 的两条切线EA EB 、，其中A B 、为切点，BC 为O 的一条直径，连CA 并延长交BE 的延长线于D 点. （Ⅰ）证明：ED BE =；（Ⅱ）若3AD AC =,求:AE AC 的值.(23)(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，），（），，（33233ππB A ，圆C 的方程为θρcos 2=（Ⅰ）求在平面直角坐标系xOy 中圆C 的标准方程； （Ⅱ）已知P 为圆C 上的任意一点，求ABP ∆面积的最大值.(24)(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数12)(--=x x x f ，记1)(->x f 的解集为M . （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）已知M a ∈,比较12+-a a 与a1的大小. “江南十校”高三联考OB AC数学（理科）试题参考答案与评分标准（1）B 【解析】132A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}0,1,2A B ⋂=，A B ⋂中有3个元素，故选B （2）A 【解析】由11z i i i-=-+（），得z ===+，z 的实部为12，故选A （3）C 【解析】()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称当=0a 时，1()sin f x x x=-， 111()sin()sin (sin )()()f x x x x f x x x x-=--=-+=--=--，故()f x 为奇函数； 反之，当1()sin f x x a x=-+为奇函数时，()()0f x f x -+=又11()()sin()sin 2()f x f x x a x a a x x-+=--++-+=-，故=0a 所以“=0a ”是“函数1()sin f x x a =-+为奇函数”的充要条件，故选C（4）C 【解析】12(F F ，不妨设l 的方程为y =，设00()P x由21200000(,),)360PF PF x x x ⋅=-⋅=-=得0x =P 到x 02=，故选C（5）B 【解析】所求的空间几何体是以原点为球心，1为半径的球位于第一卦限的部分，体积为3141836ππ⨯⨯=，故选B（6）C 【解析】1{}n n a a ++的前10项和为12231011a a a a a a +++++=12101112()a a a a a +++-102102120S =+⨯=，故选C（7）D 【解析】1322BD AD AB AC CD AB AC AB AB AC AB =-=+-=--=-，故选D（8）B 【解析】第一次运行后1,3,2===n a s ；第二次运行后2,5,5===n a s ；第三次运行后3,9,10===n a s ；第四次运行后4,17,19===n a s ；第五次运行后5,33,36===n a s ；第六次运行后6,65,69===n a s ；此时不满足t s <，输出6=n ，故选B（9）A 【解析】由)sin()(ϕω+=x x f 的最小正周期为π4，得21=ω.因为()()3f x f π≤恒成立，所以max ()()3f x f π=，即12()232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，由2πϕ<，得3πϕ=，故)321sin()(π+=x x f .令1()23x k k Z ππ+=∈，得22()3x k k Z ππ=-∈，故()f x 的对称中心为))(0,322(Z k k ∈-ππ，当0=k 时，()f x 的对称中心为)0,32(π-，故选A（10）B 【解析】作出可行域，设直线:l y x z =+，平移直线l ，易知当l 过30x y -=与40x y +-=的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线212y x =相切时z 取得最小值由212z y xy x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y 得：2220x x z --=，由480z ∆=+=，得12z =-，故122z -≤≤，故选B （11）D 【解析】由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为16242=⨯⨯，两个底面面积之和为3232212=⨯⨯⨯；半圆柱的侧面积为ππ44=⨯，两个底面面积之和为ππ=⨯⨯⨯21212，所以几何体的表面积为32165++π，故选D（12）A 【解析】2()a x bx af x x b x x-++'=-+=因为()f x 存在极小值，所以方程20x bx a -++=有两个不等的正根故12122+0040x x b x x a b b a ⎧=>⎪⋅=->⇒>⎨⎪∆=+>⎩由()0f x '=得1x =，2x =，分析易得()f x 的极小值点为1x ，因为b >1x == 211111()=()ln 2f x f x a x x bx =-+极小值 2221111111ln ln 22a x x x a a x x a =-+-=+-设21()ln (02g x a x x a x =+-<<，则()f x 的极小值恒大于0等价于()g x 恒大于0因为2()0a a x g x x x x+'=+=<，所以()g x在单调递减故3()02g x g a a >=≥，解得3a e ≥-，故3min a e =-，故选A （13）200【解析】由题意可得360060=2400+3600+6000N，故200N =（14）40-【解析】23x y 的系数为40)1(23235-=-⨯⨯C（15）【解析】不妨设点P 在第一象限，由对称性可得22PQ a OP ==，因为AP PQ ⊥在Rt POA ∆中，1cos 2OP POA OA ∠==，故60POA ∠=，易得1()4P a ，代入椭圆方程得：116316122=+b a ，故222255()a b a c ==-，所以离心率552=e（16）21t -<≤-或112t ≤<【解析】2n ≥时，11(1)22n n n n n n a na a S S --+=-=-整理得11n n a an n -=-，又1=1a ，故n a n =不等式2220n n a ta t --≤可化为：2220n tn t --≤设22()2f n n tn t =--，由于2(0)20f t =-≤，由题意可得22(1)120(2)4220f t t f t t ⎧=--≤⎪⎨=-->⎪⎩，解得21t -<≤-或112t ≤< (17)【解析】（Ⅰ）在BCD ∆中，由正弦定理得：sin 3sin CD BD BCD CBD =⋅∠==∠，…………………2分在ABD ∆中，由余弦定理得：222cos2AD BD AB ADBAD BD+-∠=⋅ ==分所以45ADB ∠=…………………6分（Ⅱ）因为30CBD ∠=，120BCD ∠=，所以30CDB ∠=因为6sin sin(4530)ADC ∠=+=分所以1sin 2SAD CD ADC =⋅⋅∠12=⨯=……12分 （18）【解析】（Ⅰ）设AC BD 、的交点为O ，则O 为BD 的中点，连接OF由BD EF BD EF 21,//=，得OD EF OD EF =,//中国俄罗斯1 2 3 4 56 8 2 814 3 7 6 2所以四边形EFOD 为平行四边形，故OF ED //……3分 又⊄ED 平面ACF ,⊂OF 平面ACF 所以DE //平面ACF …6分（Ⅱ）方法一：因为平面⊥EFBD 平面ABCD ，交线为BD ，AO BD ⊥ 所以AO ⊥平面EFBD ，作BF OM ⊥于M ，连AM AO ⊥平面BDEF ，AO BF ∴⊥，又=OM AO O ⋂ BF ∴⊥平面AOM ，AM BF ⊥∴,故AMO ∠为二面角A BF D --的平面角.……………………8分取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥因为1()2EFBD S EF BD OP =⨯+⨯梯形132OP =⨯⨯= 所以2=OP .由122PF OB ==，得2BF OF ===因为1122FOB S OB OP OM BF ∆=⋅=⋅所以OB OP OM BF ⋅==AM ==…………10分 所以2cos 3OM AMO AM ∠==故二面角A BF D --的余弦值为23………12分方法二：取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥，又平面⊥EFBD 平面ABCD ，交线为BD ，故OP ⊥平面ABCD ，如图，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.因为1()2EFBD S EF BD OP=⨯+⨯梯形132OP =⨯⨯=所以2=OP , )2,220(),00,2(),0,20(),00,2(，，，，F C B A -因此(2,20),(0,2AB BF =-=-，…8分 设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =由00n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得002y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令1z =，则(2,2,1)n = 因为AO BD ⊥，所以AO ⊥平面EFBD ，故平面BFD 的法向量为(2,0,0)OA =………10分于是22cos ,32OA n OAn OA n⋅<>===⋅ 由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角A BF D --的余弦值为2312分 C(19)【解析】（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下 …………………3分通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散。

2025届安徽省“江南十套”高三六校第一次联考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．52D ．722．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．33．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．600104．已知全集U =R ，集合{}1A x x =<，{}12B x x =-≤≤，则()UA B =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}12x x ≤≤C ．{}11x x -≤≤D ．{}1x x ≥-5．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．3106．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点KPF ∠的平分线与x 轴交于(,0)m ，则m 的最大值为( )A ．322-B ．233-C ．23-D ．22-7．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．2809．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ）A ．2B ．5C ．1D ．310．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x +=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x+=11．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出的v 值为( )A ．10922⨯-B ．10922⨯+C ．11922⨯+D ．11922⨯-12．i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15B ．－3C ．3D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

卜人入州八九几市潮王学校江南十校2021届高三数学第一次联考〔2021江南十校一模，扫描〕理2021年“江南十校〞高三联考数学(理科)参考答案及评分H Y一.选择题 (1)B 【解析】i a a i a i )21()2())(21(-++=+-,由复数的定义有:⎩⎨⎧≠-=+02102a a ,∴2-=a . (2)A 【解析】由集合M 得,2122<-<-x 所以有2321<<-x ,由集合N 得1>x 故N M =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<231x x . (3)C 【解析】由412=+a ,那么3=a ,∴33232===a c e . (4)B 【解析】23232343516C A C A ⋅-=⋅. (5)Ｂ【解析】由题设,,12)(2≤-=x x f 那么当1-≤x 或者1≥x 时,22)(x x f M -=; 当11<<-x 时,1)(=x f M .∴1)0(=M f .(6)D 【解析】假设q p ∧q p ,(7)B 【解析】由三视图可知.(8)C 【解析】考察函数)(x f 的特征图象可得:)()()(a f b f c f >>正确.(9)D 【解析】设两个根依次为)(,βαβα<.而函数)(x f y =的零点为23,2ππ,那么由图象可得:2322,232πππβαπβαπ+==+<<<.∴可求2365cos ,65-==∴=ππαm . (10)C 【解析】符合题意的直线在如图中的阴影区域内，可求得320≤<k 或者2-<k ． 二．填空题(11)34【解析】将直线与圆化成普通方程为:16,02222=+=-+y x y x ,进而可求得.(12)75【解析】由频率分布直方图得:75500)10005.01001.0(=⨯⨯+⨯.(13)4【解析】当1=n 时,S T S T ≤==,9,1;当2=n 时,S T S T ≤==,10,3;当3=n 时,S T S T ≤==,13,9;当4=n 时,,22,27==S T 不满足S T ≤,∴输出4=n .(14)2【解析】法一:取AD 的中点M ,连接OM .那么.法二:设θ=∠BAx ,那么)20(),cos sin ,(cos ),sin ,cos (sin πθθθθθθθ≤≤++C B , (15)①④⑤三．解答题(16)解：(Ⅰ)由题意又函数)(x f 的最大值为2,且0>m ,那么2,222=∴=+m m ……………………………………………………….2分 ∴)4sin(2cos 2sin 2)(π+=+=x x x x f 由Z k k x k ∈+≤+≤+,232422πππππ………………………………………….4分 ∴Z k k x k ∈+≤≤+,45242ππππ 故函数)(x f 的单调递减区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,452,42ππππ…………………6分 (Ⅱ)212222cos 22222=-≥-+=-+=ac ac ac ac ac c a ac b c a B ， 当且仅当c a =时取等号．30,21cos 1π≤<∴≥>∴B B ……………………………….……………9分 12,3)4sin(2)(ππ=∴=+=B B B f ……………………..………...……12分 (17)解：(Ⅰ)由题163=a ,又823=-a a ,那么2,82=∴=q a ∴12+=n n a …………………………………………………………….….....4分(Ⅱ)1411(3)log 2,.........................................624n nn n n n n b S b b +++==∴=+⋅⋅⋅+=分所以正整数k 可取最小值3…………………………………………..…….………...12分(18)解：(Ⅰ)依题意，ξ的可能取值为20，0，—10，…………………………1分ξ的分布列为 ξ 20 0 —10 p 35 15 15……………………………………………………………………………..………4分1051)10(5105320=⨯-+⨯+⨯=ξE 〔万元〕…………………………….…6分 (Ⅱ)设η表示100万元HYHY “低碳型〞经济工程的收益，那么η的分布列为η30 -20 p a b20502030-=-=a b a E η……………………………………………….……10分依题意要求102050≥-a ，∴153≤≤a ……………………………………….…12分 注：只写出53≥a ，扣1分. (19)解:(Ⅰ)证明：方法一，如图，分别取AD 、CD 的中点P 、Q ，连接FP ，EQ.∵△ADF 和△CDE 是为2的正三角形，∴FP ⊥AD,EQ ⊥CD,且FP=EQ=3. 又∵平面ADF 、平面CDE 都与平面ABCD 垂直，∴FP ⊥平面ABCD ,EQ ⊥平面ABCD ,∴FP ∥QE 且FP=EQ ， ∴四边形EQPF 是平行四边形，∴EF ∥PQ.……………………….……..４分∵PQ 是ACD ∆的中位线，∴PQ ∥AC,方法二，以A 点作为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，过点A 垂直于xOy 平面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如下列图．根据题意可得，A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,2,3)， F(0,1,3)，G(1,0,3).…………………………………………..………………..４分 ∴AC =〔2，2，0〕，FE =(1，1，0)，那么AC =FE 2， ∴AC ∥FE ，即有AC ∥FE ……………………………………………..……..6分(Ⅱ)33833232=+=+=--ADEG F CDE ABG ABCDEFG V V V 四棱锥三棱柱多面体..........12分 (20)解：(Ⅰ)令x x f x h -=)()(，那么01)()(''<-=x f x h ，故)(x h 是单调递减函数, 所以，方程0)(=x h ，即0)(=-x x f 至多有一解，又由题设①知方程0)(=-x x f 有实数根， 所以，方程0)(=-x x f 有且只有一个实数根…………………………………..4分(Ⅱ)易知，)1,0()21,0(2121)('⊆∈-=x x g ，满足条件②； 令)1(32ln 2)()(>+--=-=x x x x x g x F ， 那么012)(,0252)(22<+-=>+-=e e F e e F ，…………………………………..7分 又)(x F 在区间[]2,e e 上连续，所以)(x F 在[]2,e e 上存在零点0x ，即方程0)(=-x x g 有实数根[]20,e e x ∈，故)(x g 满足条件①，综上可知，M x g ∈)(……….……………………………...……….….…………9分 (Ⅲ)不妨设βα<，∵0)('>x f ,∴)(x f 单调递增， ∴)()(βαf f <,即0)()(>-αβf f ，令x x f x h -=)()(，那么01)()(''<-=x f x h ，故)(x h 是单调递减函数， ∴ααββ-<-)()(f f ,即αβαβ-<-)()(f f ，∴αβαβ-<-<)()(0f f ， 那么有220122012)()(<-+-≤-<-βαβαβαf f ….……………..….14分(21)解:〔Ⅰ〕设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ,那么由题意知1=c , 又∵,1=•FB AF 即.2,1))((222=∴-==-+a c a c a c a ∴1222=-=c a b ,故椭圆的方程为:1222=+y x ……………………………………….…………….2分 (Ⅱ)设),(),,(),,(),,(Q Q P P N N MM y x Q y x P y x N y x M . 那么由题意+=+,即22222222)()()()()()()()(Q M Q M P N P N Q N Q N P M P M y y x x y y x x y y x x y y x x -+-+-+-=-+-+-+- 整理得,0=--++--+Q N P M Q M P N Q N P M Q M PN y y y y y y y y x x x x x x x x 即0))(())((=--+--Q P M N Q P M Ny y y y x x x x 所以21l l ⊥…………………………………………………………………..….…..6分(注:证明21l l ⊥①假设直线21,l l 中有一条斜率不存在,不妨设2l 的斜率不存在,那么可得x l ⊥2轴, ∴2,22==PQ MN ,故四边形MPNQ 的面积22222121=⨯⨯==MN PQ S …….…….…….7分 ②假设直线21,l l 的斜率存在,设直线1l 的方程:)0)(1(≠-=k x k y ,那么 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(1222x k y y x 得,0224)12(2222=-+-+k x k x k设),(),,(2211y x N y x M ,那么1222,12422212221+-=+=+k k x x k k x x …………………………………………………………………………………….9分 同理可求得，222)1(22kk PQ ++=………………………….………….……….10分 故四边形MPNQ 的面积:1916211242)1(2212)1(222121222222±=⇔≥+++=++⨯++⨯==k kk k k k k MN PQ S 取“=〞, 综上，四边形MPNQ 的面积S 的最小值为916…………….………………….……13分。

一、单选题1. 已知是第二象限角，，则（ ）A．B．C．D．2. 已知复数满足，则的共轭复数为（ ）A ．B．C．D．3. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为（）A．B．C．D．4.若函数的部分图象如图所示,则关于的描述中正确的是A ．在上是减函数B ．在上是减函数C ．在上是增函数D ．在上是增函数5. 已知函数(b ，c 是常数)和定义在上的函数，对于任意的，存在使得，且，则在集合M 上的最大值为( )A．B ．5C ．6D ．86. 深圳是一座志愿者之城、爱心之城．深圳市卫健委为了解防疫期间志愿者的服务时长（单位：小时），对参加过防疫的志愿者随机抽样调查，将样本中个体的服务时长进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．据此估计，7.2万名参加过防疫的志愿者中服务时长超过32小时的约有（）A ．3.3万人B ．3.4万人C ．3.8万人D ．3.9万人7. 已知向量的夹角为，，，则（ ）A．B．C．D．安徽省江南十校2022届高三下学期3月一模理科数学试题(1)安徽省江南十校2022届高三下学期3月一模理科数学试题(1)二、多选题三、填空题四、解答题8. 南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为、，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为、，则命题：“、相等”是命题“、总相等”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. 已知，，，且，则（ ）A．B．C．D．10.已知函数，则（ ）A．B ．的最小正周期为C ．在上单调递减D ．在上单调递增11.已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（ ）A．B ．直线为函数图象的一条对称轴C ．函数在区间上存在3个零点D ．若在区间上的根为，则12. 若将函数f (x )=cos(2x +)的图象向左平移个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．g (x )的最小正周期为πB ．g (x )在区间[0，]上单调递减C ．x =是函数g (x )的对称轴D ．g (x )在[﹣，]上的最小值为﹣13. 若函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为________．14. 如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是______．15.已知数列的前项和为，，，，数列的前项和为，若，则的最小值为______．16.已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．17. 某市为了解“创建文明城市的核心内容”在民众中的熟知度，某部门对该市区10-60岁的人群随机抽取了n 人进行问卷调查，经统计，得到回答正确的数据表及相应的频率分布直方图，结果如下：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组人数的频率第1组[10，20）a 0.5第2组[20，30）18x 第3组[30，40）b 0.9第4组[40，50）90.36第5组[50，60]3y（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值：（2）从第2，3，4组回答正确的人中，用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组各抽取的人数；（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，记其中来自第3组的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.18. 某班为了活跃元旦晚会气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同学甲参加了该游戏.（1）求甲获得奖品的概率；（2）设为甲参加游戏的轮数，求的分布列与数学期望.19. 已知数列满足：，数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和.20.已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.21. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面平面ABCD ，为等边三角形，，，M 是棱上一点，且.(1)求证：平面MBD；(2)求二面角M－BD－C的余弦值.。

安徽省“江南十校”2025届高三第五次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ） A ．22B ．21-C ．2D ．12．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（ ）A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4]3．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x > D ．x R ∀∈，sin 1x >4．函数24y x =-的定义域为A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<5．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.356．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．212+B ．12C ．212-D ．214-7．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B ．21313C ．926D ．313268．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A ．22S ，且3SB ．22S ，且23SC ．22S ，且3SD ．22S ，且23S10．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A ．16B ．12C ．8D ．611．已知函数()eln mxf x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ）A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞12．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年安徽省江南十校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＞0}，集合B＝{x|4＜x≤7}，则A∪B＝（）A．（6，7]B．（4，7]C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．（﹣∞，2）∪（3，+∞）2．（5分）已知复数z＝1+i，是z的共轭复数，若•a＝2+bi，b均为实数，则b的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）已知sinα＝，α∈（，），则tan2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，如图，以大星的中心点为原点，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）A．0°B．1°C．2°D．3°5．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）已知F为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点，P为椭圆C上一点，若|OP|＝|OF|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．﹣1D．﹣17．（5分）现有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人（）A．120B．150C．240D．3008．（5分）将数列{3n﹣1}与{2n+1}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的第10项为（）A．210﹣1B．210+1C．220﹣1D．220+19．（5分）已知函数f（x）＝e|lnx|，a＝f（1），b＝f（log2），c＝f（21.2），则（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c10．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则tan A的最大值为（）A．1B．C．D．11．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形A1B1C1D1的中心，P，M，N分别为DD1，AB，BC的中点，则四面体OPMN的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝e log a x﹣（a＞1）没有零点，则实数a的取值范围为（）A．（e，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题江南十校高三上学期期末大联考数学（理）试题第I 卷（选择题，共50分）一、选择题1．设复数z 满足1)2(i z i i =-（＋为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数），则在复平面上复数z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．将甲、乙两名篮球运动员在5场篮球比赛中的得分制成茎叶图如图所示，若x x 甲乙，分别表示甲、乙两名运动员5场比赛的平均得分，则下列结论正确的是A ．x x >甲乙，且甲队员比乙队员成绩稳定B ．x x >甲乙，且乙队员比甲队员成绩稳定C ．x x <甲乙，且甲队员比乙队员成绩稳定D ．x x <甲乙且乙队员比甲队员成绩稳定3．如图，若输入n 的值为4，则输出A 的值为A 、3B 、－2C 、－13 D 、12 4．设{n a }是首项为12-，公差为d （d ≠0）的等差数列，Sn 为其前n 项和， 若S1，S2，S4成等比数列，则d= A 、－1 B 、－12 C 、18 D 、12 5．已知0.12,0.1,sin1a b ln c ===，则A 、a ＞b ＞cB 、a ＞c ＞bC 、c ＞a ＞bD 、b ＞a ＞c6．设函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ＋2）＝2f （x ）＋x ，且当02x ≤<时，()[],[]f x x x =表示不超过x 的最大整数，则f （5.5）＝A ．8.5B ．10.5C ．12.5D ．14.57．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是334x t y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是2sin 3cos ρθθ=，则直线l 被曲线C 截得的弦长为30A B 、6 C 、12 D 、38．设l ，m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是A 、若l ⊥m ，m ＝αβ，则l ⊥α； B 、若l ∥m ，m ＝αβ，则l ∥α；C ｜若α∥β，l 与α所成的角与m 与β所成的角相等，则l ∥m ；D ｜若l ∥m ，α∥β，l ⊥α，则m ⊥β9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A 、44＋πB 、40＋4πC 、44＋4πD 、44＋2π10．已知点A （1，－1），B （4,0），C （2,2）平面区域D 是由所有满足(1,1)AP AB AC a b λμλμ=+≤≤≤≤的点P （x ，y ）组成的区域，若区域D 的面积为8，则4a ＋b 的最小值为A 、5B 、2C 、9D 、5＋2第II 卷二、填空题（25分）11、椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上任意一点P 到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为13，则椭圆的方程为＿＿＿＿12、已知m ＞0，实数x ，y 满足00x y x y m ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，若z ＝x ＋2y 的最大值为2，则实数m ＝＿＿＿＿13、设直线（k ＋1）x ＋（k ＋2）y －2＝0与两坐标轴围成的三角形面积为k S ，则1210S S S +++＝＿＿＿14、已知二项展开式5(1)ax +＝2345123451a x a x a x a x a x +++++，集合A ＝{80，40，32，10}，若(1,2,3,4,5)i a A i ∈=，则a ＝＿＿＿＿＿＿15、已知函数f （x ）＝｜sinx ｜＋｜cosx ｜－sin2x －1（x ∈R ），则下列命题正确的是＿＿＿＿（写出所有正确命题的序号）。