安徽省江南十校2018届高三3月联考数学(理)试题 (5)

2018年安徽省“江南十校”高三联考理科综合能力测试注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两个部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。

如需改动，用橡皮擦净后，再选择其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷和草稿纸上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

5.本试卷共16页。

如遇缺页、漏页、字迹不清等情况，考生需及时报告监考教师。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 S 32 Fe 56 Cu 64 Zn 65第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列有关实验和研究方法，叙述正确的是 A ．绿叶中色素提取的原理是色素在层析液中溶解度越大，在滤纸上扩散越快 B ．盐酸在“观察根尖分生组织细胞的有丝分裂”和“低温诱导植物染色体数目的变化”中的作用原理相同C ．萨顿用假说演绎法证实了基因在染色体上D ．探究酵母菌的呼吸方式可以用是否产生二氧化碳予以确定2．小肠上皮细胞跨膜运输葡萄糖的过程如图所示，判断下列说法正确的是3．已知与人体血红蛋白合成有关的一对等位基因是Hb A 和Hb S 。

只有纯合子（Hb S Hb S ）患镰刀型细胞贫血症，患者大多于幼年期死亡。

只含一个致病基因的个体不表现镰刀型细胞贫血症，并对疟疾具有较强的抵抗力。

以下说法不正确．．．的是 A ．该致病基因的出现是基因突变的结果，可以用显微镜检测镰刀型细胞贫血症 B ．杂合子不易感染疟疾，显性纯合子易感染疟疾组织液 小肠上皮细胞 肠腔 高Na + 低Na + 高Na + 低K + 高K + 低葡萄糖 低葡萄糖 高葡萄糖C．基因Hb A和Hb S不可能存在于一个染色体组中D．非洲某流行疟疾的地区消灭疟疾后，Hb A基因频率会上升4．科学家在癌细胞培养液中加入维生素C（实验组）以研究其对癌细胞生长的影响。

江淮十校2018届高三第三次联考数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}M x x x =+-<，2{|1,}N y y x x R ==-∈，则M N =I （ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|12}x x << C ．{|11}x x -≤< D ．{|12}x x ≤< 2.已知2018()54im ni i +=-(,)m n R ∈，则关于复数z m ni =+的说法，正确的是（ ）A ．复数z 的虚部为4-B ．z =C ．54z i =-+D ．复数z 所对应的点位于复平面的第四象限 3.已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度4.下列命题中，真命题是（ ）A ．x R ∀∈，有ln(1)0x +>B ．22sin 3sin x x+≥(,)x k k Z π≠∈ C ．函数2()2xf x x =-有两个零点 D ．1a >，1b >是1ab >的充分不必要条件 5.若0.33a =，ln 2b =，2log cos6c π=，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6.若双曲线C ：22221x y m n-=的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C 0y ±=D ．0x ±=7.执行如图所示的程序框图，当输入的[0,5]x ∈时，输出的结果不大于75的概率为（ ）A ．13 B ．23 C ．34 D ．168.已知实数x ，y 满足不等式组220210320x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，若直线(1)y k x =+把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则k =（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．349.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提出如下问题：“今有刍童，下广两丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈，问积几何？”翻译成现代文是“今有上下底面皆为长方形的草垛，下底（指面积较小的长方形）宽2丈，长3丈；上底（指面积较大的长方形）宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？”现将该几何体的三视图给出如图所示，则该几何体的体积为（ ）立方丈. A ．532B ．24C ．27D ．1862+ 10.若直角坐标系内A 、B 两点满足：（1）点A 、B 都在()f x 图象上；（2）点A 、B 关于原点对称，则称点对(,)A B 是函数()f x 的一个“和谐点对”，(,)A B 与(,)B A 可看作一个“和谐点对”.已知函数22(0)()2(0)x x x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“和谐点对”有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11.设函数()xf x e x =-，()g x ax b =+，如果()()f x g x ≥在R 上恒成立，则a b +的最大值为（ ）A ．eB ．13e + C ．1 D ．1e -12.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（ ）A ．14400B ．28800C ．38880D ．43200第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.已知1a =r ，2b =r ，且(2)a b b +⊥r r r，则向量a r 与向量b r 的夹角是 ．14.在23(1)(1)(1)x x x +++++10(1)x +⋅⋅⋅++的展开式中，2x 的系数是 ．15.设P 为曲线1C 上的动点，Q 为曲线2C 上的动点，则称PQ 的最小值为曲线1C 、2C 之间的距离，记作12(,)d C C .若1C ：20xe y -=，2C ：ln ln 2x y +=，则12(,)d C C = ． 16.在ABC ∆中，设b ，c 分别表示角B ，C 所对的边，AD 为边BC 上的高.若AD BC =，则cb的最大值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项的和23122n T n n =+，且*213log 0()n n a b n N ++=∈. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项的和n S .18.四棱锥A BCDE -中，//EB DC ，且EB ⊥平面ABC ，1EB =，2DC BC AB AC ====，F 是棱AD 的中点.（1）证明：EF ⊥平面ACD ； （2）求二面角B AE D --的余弦值.19.近年电子商务蓬勃发展，2017年某购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并回答能否有99%的把握认为“购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？（2）若将频率视为概率，某人在该购平台上进行的3次购物中，设对商品和快递都满意的次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望EX .附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）20.已知离心率为2的椭圆C 焦点在y 轴上，且椭圆4个顶点构成的四边形面积为4，过点(0,3)M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B . （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点）.求当AB <时，实数λ的取值范围.21.已知函数()ln ax f x x=. （1）若()f x 在点22(,())e f e 处的切线与直线20x y +=垂直，求函数()f x 的单调递减区间； （2）若方程()1f x =有两个不相等的实数解1x 、2x ，证明：122x x e +>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线OM ：0(0)θαρ=≥平分曲线2C ，且与曲线1C 交于点A ，曲线1C 上的点B 满足2AOB π∠=，求AB .23.选修4-5：不等式选讲 设函数()1()f x x x R =-∈.（1）求不等式(1)()5f x f x -+≤的解集；（2）若不等式()()(2)3g x f x f x a =+-≥的解集是R ，求正整数a 的最小值.江淮十校2018届高三第三次联考 数学（理科）参考答案及解析一、选择题1-5: CBADA 6-10: CCBAB 11、12：DC二、填空题13.34π14. 1652 16. 12三、解答题17.解析：（1）112a T ==，131(1)n n n a T T n n -=-=->，所以*31()n a n n N =-∈，得233log 0n n b +=1()2n n b ⇒=.（2）1(31)2n n n n c a b n ==-⨯，所以123111258222n S =⨯+⨯+⨯1(31)2nn +⋅⋅⋅+-⨯， 所以23411112582222n S =⨯+⨯+⨯11(31)2n n ++⋅⋅⋅+-⨯.错位相减得12311112332222n S =⨯+⨯+⨯1113(31)22n n n ++⋅⋅⋅+⨯--⨯，1231111111313()2222222n n n n S +-=+++⋅⋅⋅+--1111315353(1)22222n n n n n ++-+=---=-. 所以3552n nn S +=-.18.解析：（1）取AC 中点M ，连接FM 、BM ，∵F 是AD 中点，∴//FM DC ，且112FM DC ==.又因为//EB DC ，∴//FM EB .又∵1EB =，∴FM EB =，∴四边形FMBE 是平行四边形.∴//EF BM ，又BC AB AC ==，∴ABC ∆是等边三角形，∴BM AC ⊥，∵EB ⊥平面ABC ，//EB DC ，∴CD ⊥平面ABC ，∴CD BM ⊥，∴BM ⊥平面ACD ，∴EF ⊥平面ACD .（2）取AC 中点N ，则AN BC ⊥，AN ⇒⊥平面BCD ，以N 为原点建立如图所示的直角坐标系.各点坐标为A ，(0,1,0)B -，(0,1,0)C ，(2,1,0)D ，(1,1,0)E -，1(1,2F .可得BA =u u u r ，(1,0,0)BE =u u u r ，(EA =-u u u r ，(1,2,0)ED =u u u r；设平面ABE 的法向量1111(,,)n x y z =u r ，则1100n BA n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r得111300y zx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 取1(0,3,1)n =-u r，设平面ADE 的法向量2222(,,)n x y z =u u r ，则2200n EA n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u ru u r u u u r得222223020x y z x y ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩， 取2(2,1,3)n =--u u r， 于是1233cos ,31413n n --<>=+⨯++u r u u r6=-，注意到二面角B AE D --是钝角，因此，所求二面角的余弦值就是64-.19.解析：（1）22⨯列联表：对快递满意 对快递不满意 合计对商品满意 80 60 140 对商品不满意40 20 60 合计1208020022200(80204060)1406012080K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯100 1.5963=≈，由于1.59 6.635<，所以没有99%的把握认为“购者对商品满意与对快递满意之间有关系”. （2）每次购物时，对商品和快递都满意的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3. 3327(0)()5125P X ===；1232354(1)()()55125P X C ==⨯=； 22132336(2)()()55125P X C ==⨯=；3303238(3)()()55125P X C ==⨯=. X 的分布列为：所以012125125125EX =⨯+⨯+⨯31255+⨯=.或者：由于2(3,)5X B :，则26355EX =⨯=.20.解析：（1）设椭圆的方程为22221x y b a +=，由题意可知22234c e a ==，得2214b a =，2a b =；又顶点构成四边形的是菱形，面积24S ab==，所以2a =，1b =，椭圆方程为2214y x +=. （2）设直线AB 的方程为3y kx =+或0x =，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ， 当AB 的方程为0x =时，4AB =>.当AB 的方程为3y kx =+时，由题设可得A 、B 的坐标是方程组22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解. 消去y 得22(4)650k x kx +++=，所以22(6)20(4)0k k ∆=-+>，即25k >， 则12264k xx k -+=+，12254x xk ⋅=+，1212(3)(3)y y kx kx +=+++2244k=+， 因为AB =<<， 解得216813k -<<，所以258k <<. 因为OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r，即112233(,)(,)()x y x y x y λ+=+，所以当0λ=时，由0OA OB +=u u u r u u u r ，得122604k x x k -+==+，1222404y y k +==+， 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在： 当0λ≠时，12326(4)x x k x k λλ+-==+，123224(4)y y y k λλ+==+， 因为点33(,)P x y 在椭圆上，所以222261241(4)4(4)k k k λλ⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，化简得22364kλ=+，因为258k <<，所以234λ<<，则(2,2)λ∈-U . 综上，实数λ的取值范围为(2,2)-U . 21.解析：（1）()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞U ，2(ln 1)'()ln a x f x x -=，21'()44a f e ==可得2a =， 令2(ln 1)'()0ln a x f x x-=<得(0,1)(1,)x e ∈U ，所以()f x 的单调递减区间是(0,1)和(1,)e . （2）由2211ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩12121212ln ln ()ln ln ()x x a x x x x a x x -=-⎧⇒⎨+=+⎩1212ln ln x x a x x -⇒=-，∵12x x +>21212ln ln 2x x e x x >⇔+>，只需证1212ln ln ()x x a x x +=+121212ln ln ()2x x x x x x -=+>-，不妨设12x x >，即证1122122()ln x x x x x x ->+，令121x t x =>， 只需证2(1)ln 1t t t ->+，令2(1)()ln 1t g t t t -=-+4ln 21t t =+-+， 则214'()0(1)g t t t =->+2(1)4t t ⇔+>2(1)0t ⇔->在(1,)+∞上恒成立； 所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0(1)g t g t >=>，即证.22.解析：（1）曲线1C 的直角坐标方程是2213x y +=，化成极坐标方程为22312sin ρθ=+； 曲线2C的直角坐标方程是22(1)(4x y -+-=.（2）曲线2C 是圆，射线OM 过圆心，所以方程是(0)3πθρ=≥，代入22312sin ρθ=+得265A ρ=， 又2AOB π∠=，所以22B ρ=，因此AB ==23.解析：（1）不等式(1)()215f x f x x x -+=-+-≤，解得14x -≤≤，所以解集是[1,4]-. （2）()()(2)g x f x f x a =+-121x x a =-+--，注意到a 是正整数，有112a +≤，所以32,11(),12132,2x a xag x a x xax a x⎧⎪-++<⎪+⎪=-≤≤⎨⎪+⎪-->⎪⎩，令()3g x≥，解得7a≥，所以正整数a的最小值是7.。

省江南十校2018届高三3月综合素质检测理科综合试题可能用到的相对原子质量：H-1 Li-7C-12N-14 O-16 Na-23 Al-27 S-32 Fe-56 As-75一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列关于细胞结构和功能的叙述正确的是A.在线粒体除了能利用葡萄糖进行有氧呼吸外，还能进行其他生理过程B.液泡主要存在于植物细胞中，其含有各种营养物质和各种色素C.若把人的红细胞离体培养在无氧环境中，将会影响红细胞对离子的吸收D.溶酶体和高尔基体在行使其功能时，可能伴随膜组分的更新2.下列两图表示遗传信息在生物大分子间的传递规律，①②③④⑤⑥分别表示结构或物质。

以下有关说确的是A.图1、图2所示的生理过程完全相同B.图1表示细菌细胞基因的表达过程，图2表示酵母菌细胞和基因的表达过程C.图2信息反映多个核糖体完成一条多肽链的合成，有利于提高蛋白质的合成速率D.图一中表示过程的方向是从右向左，②③④⑤表示正在合成的4条多肽链3.某精原细胞（2N=8）的DNA分子双链均用15N标记后置于含14N的培养基中培，经过连续两次细胞分裂后，检测子细胞中的情况。

下列推断吧正确的是A．若进行有丝分裂，则含15N染色体的子细胞所占比例不唯一B．若子细胞中的染色体都含15N，则细胞分裂过程中不一定发生基因重组C．若子细胞中有的染色体不含15N，则细胞分裂过程中不可能发生等位基因的分离D．若进行减数分裂，则第二次分裂后期每个细胞中含14N的染色体有8条4.下图为横放萌发后的玉米种子，据图分析种子萌发过程中激素调节的相关容，以下描述正确的是A.在黑暗环境中一段时间后，根、茎分别出现不同的向性，此时生长受到抑制的是A、D侧B.玉米种子萌发初期，赤霉素含量增加，促进了淀粉的水解为种子的萌发提供物质和能量C.玉米种子萌发成幼苗过程中只受赤霉素和生长素的调节作用是调节作用的原理相同D.根、芽合成的生长素能从C运输到D、从A运输到B，反映了生长素极性运输的特点5.如图为某遗传病的家系图（黑色表示患者，Ⅱ—4不含致病基因）下列说确的是A.若该致病基因为核基因，则该病为伴X显性遗传B. 若该致病基因为质基因，则Ⅲ-4的致病基因来自Ⅰ-1C.Ⅱ-1和Ⅱ-2再生一个孩子，正常的概率为50%D.若该致病接因为核基因，则Ⅲ-5和一个正常女性婚配，子女中带有致病基因的概率为50%6.下列有关生物学现象的叙述正确的是A.三倍体植物不能由受精卵发育而来，但经一定浓度秋水仙素处理后可产生可育后代B.神经系统的某些结构既能释放神经递质也能产生激素C.生物进化的实质是种群基因频率的改变，是由基因突变和基因重组引起的D.激素与靶细胞作用后就被降解，因而体液调节作用时间相对较短7．化学的应用无处不在，下列有关叙述错误的是（）A．做衣服用的蚕丝、棉、麻灼烧时均不会产生特殊气味B．豆腐素有“植物肉”之美称，“卤水点豆腐”是胶体的聚沉过程C．氮化硅瓷可用于汽车发动机中，它是一种新型无机非金属材料D．变色眼镜“光致变色”,是因为掺进了微量光敏感物质(如溴化银)8．设阿伏加德罗常数的值为N A,下列有关叙述正确的是（）A．室温下,1LpH=13的Ba(OH)2溶液中含有OH-的数目为0.2N AB．密闭容器中．0.2mol NO和0.1mol O2充分反应后,分子总数为0.2N AC．7.8gNa2S和7.8gNa2O2中含有阴、阳离子总数均为0.3N AD．0.02molNa与0.1mol/L的盐酸充分反应，转移的电子数为0.01N A9．异丁香酚可作为合成香料的原料,其结构简式如下图所示。

安徽“江南十校”2019年高三3月联考（数学理）扫描版含解析2018年安徽省“江南十校”高三联考数学(理科)参考答案及评分标准一. 选择题(1) B 【解析】i a a i a i )21()2())(21(-++=+-,由复数的定义有:⎩⎨⎧≠-=+02102a a ,∴2-=a .(2)A 【解析】由集合M 得,2122<-<-x 所以有2321<<-x ,由集合N 得1>x 故N M =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<231x x . (3) C 【解析】由412=+a ,那么3=a ,∴33232===a c e .(4) B 【解析】23232343516C A C A ⋅-=⋅.(5)Ｂ【解析】由题设, ,12)(2≤-=x x f 那么当1-≤x 或1≥x 时,22)(x x f M-=;当11<<-x 时, 1)(=x f M .∴1)0(=Mf .(7)B 【解析】由三视图可知.(8)C 【解析】考查函数)(x f 的特征图象可得:)()()(a f b f c f >>正确.(9)D 【解析】设两个根依次为)(,βαβα<.而函数)(x f y =的零点为23,2ππ,那么由图象可得:2322,232πππβαπβαπ+==+<<<.∴可求2365cos ,65-==∴=ππαm .(10)C 【解析】符合题意的直线在如图中的阴影区域内， 可求得320≤<k 或2-<k 、 二、填空题(11)34【解析】将直线与圆化成普通方程为:16,02222=+=-+y x y x ,进而可求得.(12)75【解析】由频率分布直方图得:75500)10005.01001.0(=⨯⨯+⨯.(13)4【解析】当1=n 时,S T S T ≤==,9,1;当2=n 时,S T S T ≤==,10,3;当3=n 时,S T S T ≤==,13,9;当4=n 时,,22,27==S T 不满足S T ≤,∴输出4=n . (14)2【解析】法一:取AD 的中点M ,连接OM .那么.212121121)(110)()(=⨯⨯+=+≤∙+=+∙+=∙+∙++=∙+∙+∙+∙=+∙+=∙OMAB OD OA AB AB OD AB OA AB OD DC OA DC AB OD OA AB OA DC OD OB OC法二:设θ=∠BAx ,那么)20(),cos sin ,(cos ),sin ,cos (sin πθθθθθθθ≤≤++C B ,22sin 1cos sin sin cos cos sin )sin ,cos (sin )cos sin ,(cos 22≤+=+++=+∙+=∙∴θθθθθθθθθθθθθOB OC (15)①④⑤ 三、解答题(16)解：(Ⅰ)由题意)sin(2)(2ϕ++=x m x f又函数)(x f 的最大值为2,且0>m ,那么2,222=∴=+m m ……………………………………………………….2分∴)4sin(2cos 2sin 2)(π+=+=x x x x f由Zk k x k ∈+≤+≤+,232422πππππ………………………………………….4分 ∴Zk k x k ∈+≤≤+,45242ππππ 故函数)(x f 的单调递减区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,452,42ππππ…………………6分(Ⅱ)212222cos 22222=-≥-+=-+=ac ac ac ac ac c a ac b c a B ，当且仅当c a =时取等号、30,21cos 1π≤<∴≥>∴B B ……………………………….……………9分12,3)4sin(2)(ππ=∴=+=B B B f ……………………..………...……12分(17)解：(Ⅰ)由题163=a ,又823=-a a ,那么2,82=∴=q a∴12+=n n a …………………………………………………………….….....4分(Ⅱ)1411(3)log 2, (624)n n n n n n n b S b b +++==∴=+⋅⋅⋅+=分 )311(34)3(41+-=+=n n n n S n922)31211131211(34311...613151214111(341...111321<+-+-+-++=+-++-+-+-=++++∴n n n n n S S S S n …………………………………………………………………………………….10分 所以正整数k 可取最小值3…………………………………………..…….………...12分 (18)解：(Ⅰ)依题意，ξ的可能取值为20，0，—10，…………………………1分ξ的分布列为……………………………………………………………………………..………4分 1051)10(5105320=⨯-+⨯+⨯=ξE 〔万元〕…………………………….…6分 (Ⅱ)设η表示100万元投资投资“低碳型”经济项目的收益，那么η的分布列为20502030-=-=a b a E η……………………………………………….……10分依题意要求102050≥-a ，∴153≤≤a ……………………………………….…12分注：只写出53≥a ，扣1分. (19)解:(Ⅰ)证明：方法一，如图，分别取AD 、CD 的中点P 、Q ，连接FP ，EQ.∵△ADF 和△CDE 是为2的正三角形， ∴FP ⊥AD,EQ ⊥CD,且FP=EQ=3.又∵平面ADF 、平面CDE 都与平面ABCD 垂直， ∴FP ⊥平面ABCD ,EQ ⊥平面ABCD ,∴FP ∥QE 且FP=EQ ，∴四边形EQPF 是平行四边形，∴EF ∥PQ.……………………….……..４分 ∵PQ 是ACD ∆的中位线，∴PQ ∥AC,∴EF ∥AC ………………………………………………………………..……..6分方法二，以A 点作为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，过点A垂直于xOy 平面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如下图、 根据题意可得，A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,2,3)，F(0,1,3)，G(1,0,3).…………………………………………..………………..４分 ∴AC =〔2，2，0〕，=(1，1，0)，那么AC =2，∴AC ∥，即有AC ∥FE ……………………………………………..……..6分 (Ⅱ)33833232=+=+=--ADEGF CDE ABG ABCDEFG V V V 四棱锥三棱柱多面体 (12)分(20)解：(Ⅰ)令x x f x h -=)()(，那么01)()(''<-=x f x h ，故)(x h 是单调递减函数,所以，方程0)(=x h ，即0)(=-x x f 至多有一解， 又由题设①知方程0)(=-x x f 有实数根，所以，方程0)(=-x x f 有且只有一个实数根…………………………………..4分 (Ⅱ)易知，)1,0()21,0(2121)('⊆∈-=x x g ，满足条件②； 令)1(32ln 2)()(>+--=-=x xx x x g x F ， 那么12)(,0252)(22<+-=>+-=e e F e e F ，…………………………………..7分 又)(x F 在区间[]2,e e 上连续，所以)(x F 在[]2,e e 上存在零点0x ，即方程0)(=-x x g 有实数根[]20,e e x ∈，故)(x g 满足条件①，综上可知，M x g ∈)(……….……………………………...……….….…………9分 (Ⅲ)不妨设βα<，∵0)('>x f ,∴)(x f 单调递增， ∴)()(βαf f <,即0)()(>-αβf f ，令x x f x h -=)()(，那么01)()(''<-=x f x h ，故)(x h 是单调递减函数， ∴ααββ-<-)()(f f ,即αβαβ-<-)()(f f ， ∴αβαβ-<-<)()(0f f ， 那么有220122012)()(<-+-≤-<-βαβαβαf f (14)分(21)解:〔Ⅰ〕设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ,那么由题意知1=c , 又∵,1=∙即.2,1))((222=∴-==-+a c a c a c a ∴1222=-=c a b ,故椭圆的方程为:1222=+y x ……………………………………….…………….2分(Ⅱ)设),(),,(),,(),,(Q Q P P N N M M y x Q y x P y x N y x M .那么由题意+=+,即22222222)()()()()()()()(Q M Q M P N P N Q N Q N P M P M y y x x y y x x y y x x y y x x -+-+-+-=-+-+-+-整理得,0=--++--+Q N P M Q M P N Q N P M Q M P N y y y y y y y y x x x x x x x x即0))(())((=--+--Q P M N Q P M N y y y y x x x x所以21l l ⊥…………………………………………………………………..….…..6分(注:证明21l l ⊥,用几何法同样得分)①假设直线21,l l 中有一条斜率不存在,不妨设2l 的斜率不存在,那么可得x l ⊥2轴, ∴2,22==PQ MN ,故四边形MPNQ 的面积22222121=⨯⨯==MN PQ S …….…….…….7分 ②假设直线21,l l 的斜率存在,设直线1l 的方程:)0)(1(≠-=k x k y ,那么由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(1222x k y y x 得,0224)12(2222=-+-+k x k x k设),(),,(2211y x N y x M ,那么1222,12422212221+-=+=+k k x x k k x x12)1(2212)22(4)124(14)(1122222222212212212++=+--++=-++=-+=k k k k k k kx x x x k x x k MN…………………………………………………………………………………….9分 同理可求得，222)1(22k k PQ ++=………………………….………….……….10分 故四边形MPNQ 的面积:1916211242)1(2212)1(222121222222±=⇔≥+++=++⨯++⨯==k kk k k k k MN PQ S 取“=”,综上，四边形MPNQ 的面积S 的最小值为916…………….………………….……13分。

江淮十校2018届高三第三次联考数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}M x x x ，2{|1,}N y y x x R ，则M N （）A ．{|21}x xB ．{|12}x xC ．{|11}x xD ．{|12}x x 2.已知2018()54i m ni i (,)m n R ，则关于复数z m ni 的说法，正确的是（）A ．复数z 的虚部为4B ．41z C ．54z i D ．复数z 所对应的点位于复平面的第四象限3.已知函数()sin()(0)3f x x最小正周期为，为了得到函数()cos g x x 的图象，只要将()f x 的图象（）A ．向左平移12个单位长度B ．向右平移12个单位长度C ．向左平移512个单位长度D ．向右平移512个单位长度4.下列命题中，真命题是（）A ．x R ，有ln(1)0xB ．22sin 3sin xx (,)x k k Z C ．函数2()2x f x x 有两个零点D ．1a ，1b 是1ab 的充分不必要条件5.若0.33a ，ln 2b ，2log cos6c ，则（）A ．a b cB ．b a cC ．c a bD ．b c a6.若双曲线C ：22221x y m n 的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是（）A ．20x yB ．20x yC ．30x yD ．30x y7.执行如图所示的程序框图，当输入的[0,5]x 时，输出的结果不大于75的概率为（）A ．13 B ．23C ．34D ．168.已知实数x ，y 满足不等式组220210320xy xy x y ，若直线(1)y k x 把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则k （）A ．14B ．13 C ．12D ．349.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提出如下问题：“今有刍童，下广两丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈，问积几何？”翻译成现代文是“今有上下底面皆为长方形的草垛，下底（指面积较小的长方形）宽2丈，长3丈；上底（指面积较大的长方形）宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？”现将该几何体的三视图给出如图所示，则该几何体的体积为（）立方丈.A ．532B ．24 C ．27D ．186210.若直角坐标系内A 、B 两点满足：（1）点A 、B 都在()f x 图象上；（2）点A 、B 关于原点对称，则称点对(,)A B 是函数()f x 的一个“和谐点对”，(,)A B 与(,)B A 可看作一个“和谐点对”.已知函数22(0)()2(0)x xx x f x x e ，则()f x 的“和谐点对”有（）A ．1个 B．2个 C ．3个 D ．4个11.设函数()x f x e x ，()g x ax b ，如果()()f x g x 在R 上恒成立，则a b 的最大值为（）。

江淮十校2018届高三第三次联考数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}M x x x =+-<，2{|1,}N y y x x R ==-∈，则M N =I （ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|12}x x << C ．{|11}x x -≤< D ．{|12}x x ≤< 2.已知2018()54im ni i +=-(,)m n R ∈，则关于复数z m ni =+的说法，正确的是（ ）A ．复数z 的虚部为4-B ．z =C ．54z i =-+D ．复数z 所对应的点位于复平面的第四象限 3.已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度4.下列命题中，真命题是（ ）A ．x R ∀∈，有ln(1)0x +>B ．22sin 3sin x x+≥(,)x k k Z π≠∈ C ．函数2()2xf x x =-有两个零点 D ．1a >，1b >是1ab >的充分不必要条件 5.若0.33a =，ln 2b =，2log cos6c π=，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6.若双曲线C ：22221x y m n-=的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C 0y ±=D ．0x ±=7.执行如图所示的程序框图，当输入的[0,5]x ∈时，输出的结果不大于75的概率为（ ）A ．13 B ．23 C ．34 D ．168.已知实数x ，y 满足不等式组220210320x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，若直线(1)y k x =+把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则k =（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．349.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提出如下问题：“今有刍童，下广两丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈，问积几何？”翻译成现代文是“今有上下底面皆为长方形的草垛，下底（指面积较小的长方形）宽2丈，长3丈；上底（指面积较大的长方形）宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？”现将该几何体的三视图给出如图所示，则该几何体的体积为（ ）立方丈. A ．532B ．24C ．27D ．1862+ 10.若直角坐标系内A 、B 两点满足：（1）点A 、B 都在()f x 图象上；（2）点A 、B 关于原点对称，则称点对(,)A B 是函数()f x 的一个“和谐点对”，(,)A B 与(,)B A 可看作一个“和谐点对”.已知函数22(0)()2(0)x x x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“和谐点对”有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11.设函数()xf x e x =-，()g x ax b =+，如果()()f x g x ≥在R 上恒成立，则a b +的最大值为（ ）A ．eB ．13e + C ．1 D ．1e -12.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（ ）A ．14400B ．28800C ．38880D ．43200第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.已知1a =r ，2b =r ，且(2)a b b +⊥r r r，则向量a r 与向量b r 的夹角是 ．14.在23(1)(1)(1)x x x +++++10(1)x +⋅⋅⋅++的展开式中，2x 的系数是 ．15.设P 为曲线1C 上的动点，Q 为曲线2C 上的动点，则称PQ 的最小值为曲线1C 、2C 之间的距离，记作12(,)d C C .若1C ：20xe y -=，2C ：ln ln 2x y +=，则12(,)d C C = ． 16.在ABC ∆中，设b ，c 分别表示角B ，C 所对的边，AD 为边BC 上的高.若AD BC =，则cb的最大值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项的和23122n T n n =+，且*213log 0()n n a b n N ++=∈. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项的和n S .18.四棱锥A BCDE -中，//EB DC ，且EB ⊥平面ABC ，1EB =，2DC BC AB AC ====，F 是棱AD 的中点.（1）证明：EF ⊥平面ACD ； （2）求二面角B AE D --的余弦值.19.近年电子商务蓬勃发展，2017年某购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并回答能否有99%的把握认为“购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？（2）若将频率视为概率，某人在该购平台上进行的3次购物中，设对商品和快递都满意的次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望EX .附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）20.已知离心率为2的椭圆C 焦点在y 轴上，且椭圆4个顶点构成的四边形面积为4，过点(0,3)M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B . （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点）.求当AB <时，实数λ的取值范围.21.已知函数()ln ax f x x=. （1）若()f x 在点22(,())e f e 处的切线与直线20x y +=垂直，求函数()f x 的单调递减区间； （2）若方程()1f x =有两个不相等的实数解1x 、2x ，证明：122x x e +>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线OM ：0(0)θαρ=≥平分曲线2C ，且与曲线1C 交于点A ，曲线1C 上的点B 满足2AOB π∠=，求AB .23.选修4-5：不等式选讲 设函数()1()f x x x R =-∈.（1）求不等式(1)()5f x f x -+≤的解集；（2）若不等式()()(2)3g x f x f x a =+-≥的解集是R ，求正整数a 的最小值.江淮十校2018届高三第三次联考 数学（理科）参考答案及解析一、选择题1-5: CBADA 6-10: CCBAB 11、12：DC二、填空题13.34π14. 1652 16. 12三、解答题17.解析：（1）112a T ==，131(1)n n n a T T n n -=-=->，所以*31()n a n n N =-∈，得233log 0n n b +=1()2n n b ⇒=.（2）1(31)2n n n n c a b n ==-⨯，所以123111258222n S =⨯+⨯+⨯1(31)2nn +⋅⋅⋅+-⨯， 所以23411112582222n S =⨯+⨯+⨯11(31)2n n ++⋅⋅⋅+-⨯.错位相减得12311112332222n S =⨯+⨯+⨯1113(31)22n n n ++⋅⋅⋅+⨯--⨯，1231111111313()2222222n n n n S +-=+++⋅⋅⋅+--1111315353(1)22222n n n n n ++-+=---=-. 所以3552n nn S +=-.18.解析：（1）取AC 中点M ，连接FM 、BM ，∵F 是AD 中点，∴//FM DC ，且112FM DC ==.又因为//EB DC ，∴//FM EB .又∵1EB =，∴FM EB =，∴四边形FMBE 是平行四边形.∴//EF BM ，又BC AB AC ==，∴ABC ∆是等边三角形，∴BM AC ⊥，∵EB ⊥平面ABC ，//EB DC ，∴CD ⊥平面ABC ，∴CD BM ⊥，∴BM ⊥平面ACD ，∴EF ⊥平面ACD .（2）取AC 中点N ，则AN BC ⊥，AN ⇒⊥平面BCD ，以N 为原点建立如图所示的直角坐标系.各点坐标为A ，(0,1,0)B -，(0,1,0)C ，(2,1,0)D ，(1,1,0)E -，1(1,2F .可得BA =u u u r ，(1,0,0)BE =u u u r ，(EA =-u u u r ，(1,2,0)ED =u u u r；设平面ABE 的法向量1111(,,)n x y z =u r ，则1100n BA n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r得111300y zx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 取1(0,3,1)n =-u r，设平面ADE 的法向量2222(,,)n x y z =u u r ，则2200n EA n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u ru u r u u u r得222223020x y z x y ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩， 取2(2,1,3)n =--u u r， 于是1233cos ,31413n n --<>=+⨯++u r u u r6=-，注意到二面角B AE D --是钝角，因此，所求二面角的余弦值就是64-.19.解析：（1）22⨯列联表：对快递满意 对快递不满意 合计对商品满意 80 60 140 对商品不满意40 20 60 合计1208020022200(80204060)1406012080K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯100 1.5963=≈，由于1.59 6.635<，所以没有99%的把握认为“购者对商品满意与对快递满意之间有关系”. （2）每次购物时，对商品和快递都满意的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3. 3327(0)()5125P X ===；1232354(1)()()55125P X C ==⨯=； 22132336(2)()()55125P X C ==⨯=；3303238(3)()()55125P X C ==⨯=. X 的分布列为：所以012125125125EX =⨯+⨯+⨯31255+⨯=.或者：由于2(3,)5X B :，则26355EX =⨯=.20.解析：（1）设椭圆的方程为22221x y b a +=，由题意可知22234c e a ==，得2214b a =，2a b =；又顶点构成四边形的是菱形，面积24S ab==，所以2a =，1b =，椭圆方程为2214y x +=. （2）设直线AB 的方程为3y kx =+或0x =，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ， 当AB 的方程为0x =时，4AB =>.当AB 的方程为3y kx =+时，由题设可得A 、B 的坐标是方程组22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解. 消去y 得22(4)650k x kx +++=，所以22(6)20(4)0k k ∆=-+>，即25k >， 则12264k xx k -+=+，12254x xk ⋅=+，1212(3)(3)y y kx kx +=+++2244k=+， 因为AB =<<， 解得216813k -<<，所以258k <<. 因为OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r，即112233(,)(,)()x y x y x y λ+=+，所以当0λ=时，由0OA OB +=u u u r u u u r ，得122604k x x k -+==+，1222404y y k +==+， 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在： 当0λ≠时，12326(4)x x k x k λλ+-==+，123224(4)y y y k λλ+==+， 因为点33(,)P x y 在椭圆上，所以222261241(4)4(4)k k k λλ⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，化简得22364kλ=+，因为258k <<，所以234λ<<，则(2,2)λ∈-U . 综上，实数λ的取值范围为(2,2)-U . 21.解析：（1）()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞U ，2(ln 1)'()ln a x f x x -=，21'()44a f e ==可得2a =， 令2(ln 1)'()0ln a x f x x-=<得(0,1)(1,)x e ∈U ，所以()f x 的单调递减区间是(0,1)和(1,)e . （2）由2211ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩12121212ln ln ()ln ln ()x x a x x x x a x x -=-⎧⇒⎨+=+⎩1212ln ln x x a x x -⇒=-，∵12x x +>21212ln ln 2x x e x x >⇔+>，只需证1212ln ln ()x x a x x +=+121212ln ln ()2x x x x x x -=+>-，不妨设12x x >，即证1122122()ln x x x x x x ->+，令121x t x =>， 只需证2(1)ln 1t t t ->+，令2(1)()ln 1t g t t t -=-+4ln 21t t =+-+， 则214'()0(1)g t t t =->+2(1)4t t ⇔+>2(1)0t ⇔->在(1,)+∞上恒成立； 所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0(1)g t g t >=>，即证.22.解析：（1）曲线1C 的直角坐标方程是2213x y +=，化成极坐标方程为22312sin ρθ=+； 曲线2C的直角坐标方程是22(1)(4x y -+-=.（2）曲线2C 是圆，射线OM 过圆心，所以方程是(0)3πθρ=≥，代入22312sin ρθ=+得265A ρ=， 又2AOB π∠=，所以22B ρ=，因此AB ==23.解析：（1）不等式(1)()215f x f x x x -+=-+-≤，解得14x -≤≤，所以解集是[1,4]-. （2）()()(2)g x f x f x a =+-121x x a =-+--，注意到a 是正整数，有112a +≤，所以32,11(),12132,2x a xag x a x xax a x⎧⎪-++<⎪+⎪=-≤≤⎨⎪+⎪-->⎪⎩，令()3g x≥，解得7a≥，所以正整数a的最小值是7.。

江淮十校2018届高三第三次联考数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}M x x x =+-<，2{|1,}N y y x x R ==-∈，则MN =（ ）A ．{|21}x x -≤<B ．{|12}x x <<C ．{|11}x x -≤<D ．{|12}x x ≤< 2.已知2018()54i m ni i +=-(,)m n R ∈，则关于复数z m ni =+的说法，正确的是（ ）A ．复数z 的虚部为4-B ．z =C ．54z i =-+D ．复数z 所对应的点位于复平面的第四象限3.已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度4.下列命题中，真命题是（ ）A ．x R ∀∈，有ln(1)0x +>B ．22sin 3sin x x+≥(,)x k k Z π≠∈ C ．函数2()2x f x x =-有两个零点 D ．1a >，1b >是1ab >的充分不必要条件5.若0.33a =，ln 2b =，2log cos6c π=，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6.若双曲线C ：22221x y m n-=的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C 0y ±=D ．0x = 7.执行如图所示的程序框图，当输入的[0,5]x ∈时，输出的结果不大于75的概率为（ ）A ．13 B ．23 C ．34 D ．168.已知实数x ，y 满足不等式组220210320x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，若直线(1)y k x =+把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则k =（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．349.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提出如下问题：“今有刍童，下广两丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈，问积几何？”翻译成现代文是“今有上下底面皆为长方形的草垛，下底（指面积较小的长方形）宽2丈，长3丈；上底（指面积较大的长方形）宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？”现将该几何体的三视图给出如图所示，则该几何体的体积为（ ）立方丈.A ．532B ．24C ．27 D．18+10.若直角坐标系内A 、B 两点满足：（1）点A 、B 都在()f x 图象上；（2）点A 、B 关于原点对称，则称点对(,)A B 是函数()f x 的一个“和谐点对”，(,)A B 与(,)B A 可看作一个“和谐点对”.已知函数22(0)()2(0)x x x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“和谐点对”有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11.设函数()x f x e x =-，()g x ax b =+，如果()()f x g x ≥在R 上恒成立，则a b +的最大值为（ ）A．13e + C ．1 D ．1e -12.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（ ）A ．14400B ．28800C ．38880D ．43200第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.已知1a =，2b =，且(2)a b b +⊥，则向量a 与向量b 的夹角是 ．14.在23(1)(1)(1)x x x +++++10(1)x +⋅⋅⋅++的展开式中，2x 的系数是 ． 15.设P 为曲线1C 上的动点，Q 为曲线2C 上的动点，则称PQ 的最小值为曲线1C 、2C 之间的距离，记作12(,)d C C .若1C ：20xe y -=，2C ：ln ln 2x y +=，则12(,)d C C = ． 16.在ABC ∆中，设b ，c 分别表示角B ，C 所对的边，AD 为边BC 上的高.若AD BC =，则cb的最大值是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项的和23122n T n n =+，且*213log 0()n n a b n N ++=∈. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项的和n S . 18.四棱锥A BCDE -中，//EB DC ，且EB ⊥平面ABC ，1EB =，2DC BC AB AC ====，F 是棱AD 的中点.（1）证明：EF ⊥平面ACD ； （2）求二面角B AE D --的余弦值.19.近年电子商务蓬勃发展，2017年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？（2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和快递都满意的次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望EX .附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）20.的椭圆C 焦点在y 轴上，且椭圆4个顶点构成的四边形面积为4，过点(0,3)M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B .（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=（O 为坐标原点）.求当AB <时，实数λ的取值范围.21.已知函数()ln ax f x x=. （1）若()f x 在点22(,())e f e 处的切线与直线20x y +=垂直，求函数()f x 的单调递减区间； （2）若方程()1f x =有两个不相等的实数解1x 、2x ，证明：122x x e +>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线OM ：0(0)θαρ=≥平分曲线2C ，且与曲线1C 交于点A ，曲线1C 上的点B 满足2AOB π∠=，求AB .23.选修4-5：不等式选讲 设函数()1()f x x x R =-∈.（1）求不等式(1)()5f x f x -+≤的解集；（2）若不等式()()(2)3g x f x f x a =+-≥的解集是R ，求正整数a 的最小值.江淮十校2018届高三第三次联考 数学（理科）参考答案及解析一、选择题1-5: CBADA 6-10: CCBAB 11、12：DC二、填空题13.34π 14. 1652 三、解答题17.解析：（1）112a T ==，131(1)n n n a T T n n -=-=->，所以*31()n a n n N =-∈，得233log 0n n b +=1()2nn b ⇒=.（2）1(31)2n n n n c a b n ==-⨯，所以123111258222n S =⨯+⨯+⨯1(31)2nn +⋅⋅⋅+-⨯， 所以23411112582222n S =⨯+⨯+⨯11(31)2n n ++⋅⋅⋅+-⨯.错位相减得12311112332222n S =⨯+⨯+⨯1113(31)22n n n ++⋅⋅⋅+⨯--⨯，1231111111313()2222222n n n n S +-=+++⋅⋅⋅+--1111315353(1)22222n n n n n ++-+=---=-. 所以3552n nn S +=-.18.解析：（1）取AC 中点M ，连接FM 、BM ，∵F 是AD 中点，∴//FM DC ，且112FM DC ==.又因为//EB DC ，∴//FM EB .又∵1EB =，∴FM EB =，∴四边形FMBE 是平行四边形.∴//EF BM ，又BC AB AC ==，∴ABC ∆是等边三角形，∴BM AC ⊥，∵EB ⊥平面ABC ，//EB DC ，∴CD ⊥平面ABC ，∴CD B M ⊥，∴BM ⊥平面ACD ，∴EF ⊥平面ACD .（2）取AC 中点N ，则AN BC ⊥，AN ⇒⊥平面BCD ，以N 为原点建立如图所示的直角坐标系.各点坐标为A ，(0,1,0)B -，(0,1,0)C ，(2,1,0)D ，(1,1,0)E -，1(1,2F .可得(0,1BA =，(1,0,0)BE =，(1,1EA =-，(1,2,0)ED =；设平面ABE 的法向量1111(,,)n x y z =，则1100n BA n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11100y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取1(0,)n =，设平面ADE 的法向量2222(,,)n x y z =，则2200n EA n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22222020x y x y ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩，取2(2,1,n =-，于是12cos ,n n <>== 注意到二面角B AE D --是钝角，因此，所求二面角的余弦值就是.19.解析：（1）22⨯列联表：22200(80204060)1406012080K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1001.5963=≈， 由于1.59 6.635<，所以没有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”. （2）每次购物时，对商品和快递都满意的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3. 3327(0)()5125P X ===；1232354(1)()()55125P X C ==⨯=；22132336(2)()()55125P X C ==⨯=；3303238(3)()()55125P X C ==⨯=.X 的分布列为：所以012125125125EX =⨯+⨯+⨯31255+⨯=. 或者：由于2(3,)5X B ，则26355EX =⨯=.20.解析：（1）设椭圆的方程为22221x y b a +=，由题意可知22234c e a ==，得2214b a =，2a b =；又顶点构成四边形的是菱形，面积24S ab ==，所以2a =，1b =，椭圆方程为2214y x +=. （2）设直线AB 的方程为3y kx =+或0x =，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ， 当AB 的方程为0x =时，4AB =>.当AB 的方程为3y kx =+时，由题设可得A 、B 的坐标是方程组22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解. 消去y 得22(4)650k x kx +++=，所以22(6)20(4)0k k ∆=-+>，即25k >，则12264k x x k -+=+，12254x x k ⋅=+，1212(3)(3)y y kx kx +=+++2244k =+， 因为AB =<<解得216813k -<<，所以258k <<. 因为OA OB OP λ+=，即112233(,)(,)()x y x y x y λ+=+， 所以当0λ=时，由0OA OB +=，得122604k x x k -+==+，1222404y y k+==+， 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在： 当0λ≠时，12326(4)x x k x k λλ+-==+，123224(4)y y y k λλ+==+， 因为点33(,)P x y 在椭圆上，所以222261241(4)4(4)k k k λλ⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦， 化简得22364kλ=+，因为258k <<，所以234λ<<，则(2,(3,2)λ∈-. 综上，实数λ的取值范围为(2,(3,2)-.21.解析：（1）()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞，2(ln 1)'()ln a x f x x -=，21'()44a f e ==可得2a =，令2(ln 1)'()0ln a x f x x-=<得(0,1)(1,)x e ∈，所以()f x 的单调递减区间是(0,1)和(1,)e . （2）由2211ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩12121212ln ln ()ln ln ()x x a x x x x a x x -=-⎧⇒⎨+=+⎩1212ln ln x x a x x -⇒=-，∵12x x +>21212ln ln 2x x e x x >⇔+>， 只需证1212ln ln ()x x a x x +=+121212ln ln ()2x x x x x x -=+>-，不妨设12x x >，即证1122122()ln x x x x x x ->+，令121xt x =>， 只需证2(1)ln 1t t t ->+，令2(1)()ln 1t g t t t -=-+4ln 21t t =+-+， 则214'()0(1)g t t t =->+2(1)4t t ⇔+>2(1)0t ⇔->在(1,)+∞上恒成立； 所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0(1)g t g t >=>，即证.22.解析：（1）曲线1C 的直角坐标方程是2213x y +=，化成极坐标方程为22312sin ρθ=+； 曲线2C的直角坐标方程是22(1)(4x y -+=. （2）曲线2C 是圆，射线OM 过圆心，所以方程是(0)3πθρ=≥，代入22312sin ρθ=+得265A ρ=， 又2AOB π∠=，所以22B ρ=，因此AB ==. 23.解析：（1）不等式(1)()215f x f x x x -+=-+-≤，解得14x -≤≤，所以解集是[1,4]-.（2）()()(2)g x f x f x a =+-121x x a =-+--，注意到a 是正整数，有112a +≤，所以32,11(),12132,2x a xag x a x xax a x⎧⎪-++<⎪+⎪=-≤≤⎨⎪+⎪-->⎪⎩，令()3g x≥，解得7a≥，所以正整数a的最小值是7.。

安徽江南十校2019高三3月联考试题-数学理（扫描版）2018年安徽省“江南十校”高三联考数学〔理科〕参考答案【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分、 〔1〕A 、〔2〕D 、〔3〕C 、〔4〕B.〔5〕D 、 〔6〕A 、〔7〕C 、〔8〕A 、〔9〕B.〔10〕D 、【二】填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分、 〔11〕相交、〔12〕π4、〔13〕π34、〔14〕2500、〔15〕①②④ 【三】解答题：本大题共6小题，共75分、 〔16〕〔本小题总分值12分〕 解：〔Ⅰ〕由题可得)3sin(4)(π-=x x f …………………………………………………2分3cos )3sin(4)(+-=∴x x x g π……………………………………………………3分3)cos 3cos (sin 2 3cos )cos 23sin 21(4 2+-=+-=x x x x x x)32sin(2 π-=x ………………………………………………………………6分〔Ⅱ〕方法1：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,12θπx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-∴32,2320πθππx ………………………8分要使函数)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,12θπ上的最大值为2，当且仅当2320ππθ≥-，解得1250πθ≥………………………………………………………………………11分故0θ的最小值为125π…………………………………………………………………12分方法2：设223222πππππ+≤-≤-k x k ，解得)(12512Z k k x k ∈+≤≤-ππππ 得函数)(x g 的增区间为)](125,12[Z k k k ∈+-ππππ………………………………8分 取0=k 得)(x f 的一个增区间]125,12[ππ-，此时)(x f 的从2-增加到2………10分由题可得0θ的最小值为125π…………………………………………………………12分〔17〕〔本小题总分值12分〕 解：〔Ⅰ〕由题可知，所选两人为“最正确组合”的概率)1()6(1221616--==-n n n C C C n n ………3分那么21)1()6(12≥--n n n (4)分化简得0144252≤+-n n ，解得169≤≤n ，故n 的最大值为16……………6分 〔Ⅱ〕由题意得，ξ的可能取值为0，，2…………………………………………7分 那么,2250(226===C C P ）ξ,116)1(21616===C C C P ξ225)2(226===C C P ξ10分∴1225211612250=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………………………………12分 〔18〕〔本小题总分值12分〕证明：〔Ⅰ〕F 、E 分别是BC AD ,上的两点，1==BF AE∴四边形ABFE 为矩形∴折叠后BF EF FC EF ⊥⊥,，即⊥EF 平面BFC连接GF ︒=∠∴===902,1,1EGF AB BF AE 由得GC EG ⊥⊥∴EG 平面CFG …………………………6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知EG FC ⊥EF FC ⊥⊥∴FC 平面ABFEBF FC ⊥∴………………………………………7分方法一：如图建系xyz F -那么A 〔1,0,2〕C 〔0,2,0〕D 〔0,1,2〕设1=()z y x ,,为平面ACD 的法向量，)2,1,0(),0,1,1(-=-=CD AD⎩⎨⎧=+-=+-∴020z y y x 得⎩⎨⎧==zy xy 2、那么令1=z 得)1,2,2(1=n …………………9分又)0,0,1(2=n 为平面CDEF 的法向量，设二面角E CD A --为θ，那么321442=++=，即32cos =θ…12分方法二：延长CD 与FE 的延长线交于P 点，过E 作DP EH ⊥垂足为H 点， z yxA B C DEF GPHE DA连结EH 、AH ，那么EHA ∠为二面角E CD A --的平面角， 设二面角E CD A --为θ，由DE =1，得EP =2，那么EH =52，53,1=∴=AH AE =∠∴AHE cos 32即32cos =θ……………12分〔19〕〔本小题总分值13分〕解:〔Ⅰ〕由题可知1)32(='f ，解得1=a ………1分故x x x x f ln 32)(--=，2)2)(1()(x x x x f --='∴，由0)(='x f 得2=x ………2分3分于是可得：2ln 31 )2()(-==f x f 小……………………………………………………4分解〔Ⅱ〕)0(2332)(222>+-=-+='x x x ax x x a x f ………5分 由题可得方程0232=+-x ax 有两个不等的正实根，不妨设这两个根为21x x 、，并令23)(2+-=x ax x h那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>=+>-=∆02030892121a x x a x x a 〔也可以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>⇒>-->-=∆0)0(0023089h a a a 〕………………………………7分解得890<<a ………8分解〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕xxx x f ln 32)(--=，故)0(23)(23>--=x x x x x F ，)0(263)(2>--='x x x x F …………9分设切点为T ),(00y x ，由于点P 在函数)(x F 的图像上，〔1〕当切点T 不与点)4,1(-P 重合，即当10≠x 时、由于切线过点)4,1(-P ，那么2631402000--=-+x x x y所以)263)(1(423020002030---=+--x x x x x x ，化简得013302030=-+-x x x ，即0)1(30=-x ，解得10=x 〔舍去〕……12分〔2〕当切点T 与点)4,1(-P 重合，即10=x 时、那么切线的斜率5)1(-='=F k ，于是切线方程为015=-+y x综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为015=-+y x ……………13分 〔注：假设没有分“点T 是否与点P 重合”讨论，只要过程合理结论正确，本小题只扣1分〕〔20〕〔本小题总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕证明：由题可知11212-++=n n n a a 那么nn n a a 21211=-+………………………………………………………………2分12211=-∴-+n n n n a a故数列{}n n a 12-是首项和公差都为1的等差数列………………………………4分na n n =∴-1212-=∴n n n a ………………………………………………………………6分 〔Ⅱ〕由12-=n n n a 可知，只需证：12ln ln ln 21-≥+++n n b b b ………………7分证明：〔1〕当1=n 时，左边1122=-=a ，右边1ln ==e ，那么左边≥右边；〔2〕当2≥n 时，由题可知n n n b b b +=+21和0>n b ，那么n n n n b b b b ln 2ln ,121>∴>++……………………………………………………………10分那么1112212ln 2ln 2ln 2ln ----=>>>>n n n n n b b b b …………………………………11分1221)21(1221ln ln ln 121-=--=+++>+++∴-nn n n b b b 综上所述，当+∈N n 时，原不等式成立………………………………………………13分 〔21〕〔本小题总分值13分〕 解:〔Ⅰ〕〔1〕由题可知3322=-+=m m c 双)0,3()0,3(21F F 、-……………………………2〔2〕设点M ),(11y x 、N ),(22y x ，设直线：a x ty -=，代入x y 22=并整理得0222=--a ty y ，所以⎩⎨⎧-==+ay y t y y 222121……………………………………3分2 2)2)(1( )()1( ))((222222121221212121=-=++-+=++++=+++=+=⋅a a a at a t a y y at y y t y y a ty a ty y y x x 故解得2=a ……………………………………………………………………………5分 由〔1〕得3=c ，所以椭圆E 的方程为1422=+y x …………………………6分〔Ⅱ〕判断结果：PB PA ⊥恒成立.................7分 证明：设P ),(0y x ，那么A ),(0y x --，D )21,(00y x -，442020=+y x …………8分将直线AD 的方程00)(4y x x x y y -+=代入椭圆方程并整理得01696)4(20202020022020=-+-+x y x x y x x y x ，..................................................9分由题可知此方程必有一根为0x -、于是解得2202046x y x y x x B ++=，所以220020300020202000042)246(4y x y x y y x y x y x x y y B +-=-++=………………………11分所以002000202020200022002030664642y x y x y x y x y x y y x y x y k PB-=-=+-+-=………………………………12分 故1000-=⨯-=x y y x k k PBPA ，即PB PA ⊥………………………………………13分 解法2：判断结果：PB PA ⊥恒成立………………………………………………7分证明：过点P 作直线AP 的垂线，得与椭圆的另一个交点为B '，所以，要证PB PA ⊥，只要证A 、D 、B '三点共线、设P ),(0y x ，那么A ),(0y x --，D )21,(00y x -，442020=+y x ..................8分将直线B P '的方程00)(y x x y x y +--=代入椭圆方程并整理得 04)(4)(8)4(20220202020022020=-+++-+y y x x y x x x y x ..................................10分由题可知此方程的一根为0x ，解得220203002020202004744)(8y x y x x x y x y x x x B ++=-++='，所以22002030020202003000042)474(y x y x y x y x y x x y x y y B +-=-++⨯-='…………………………11分那么020200020300020202020002020020304)(822)4)(8()42(x y y x x y x y x x y x y x x y y x y x y k B A =++=+-++÷++-='…………12分又00000421x y x x y y k AD =++-=，所以B A AD k k '=，故B D A '、、三点共线、 ∴PB PA ⊥……………………………………………………………………………13分解法3：判断结果：PB PA ⊥恒成立................7分证明：设),(),(011y x P y x B 、，那么),(0y x A --，14,142022121=+=+y x y x ，两式相减得4120212021-=--x x y y ，故4120212021********-=--=--⋅++=⋅x x y y x x y y x x y y k k BP BA ……………………10分又00000421x y x x y y k k AD AB =++-==，代入上式可得000441y x x y k PB -=÷-=…12分 所以1)(000-=-=y x x y k k PBPA ，即PB PA ⊥………………………………………13分。