函数的图像(学生版)

4.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)， x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相2、用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φy ＝A sin(ωx ＋φ)2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3．由y ＝A sin ωx 的图像得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.[试一试]1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期、振幅、频率和初相分别为__________． 2．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________．4．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 题型二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________.(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．类提通关：如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段． (1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质例3已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．考点四、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质的综合应用例4、如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点，MD ·MN ＝π218.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．课堂练习1．已知ω>0，函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωπx ＋π4的周期比振幅小1，则ω＝________. 2.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．3．函数f (x )＝cosπx2cos π(x －1)2的最小正周期为________． 4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.4.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用作业1．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值为________． 2．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是________．3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．4．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_____________．5.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．6．已知函数f (x )＝cos x ·cos(x －π3)．(1)求f (2π3)的值；(2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合．7．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．8．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 9．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像； 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3．由y ＝A sin ωx 的图像得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.[试一试]1．1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期、振幅、频率和初相分别为__________． 答案：π，2，1π，－π42．把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得函数的解析式为________．答案 y ＝－cos 2x解析 将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)＝－cos2x .3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________． 答案 6解析 由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.4．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (23π)＝3sin(4π3＋φ)，则sin(4π3＋φ)＝1或－1.又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，116π)，∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z⇒k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6<x <2π3，即f (x )在(π6，23π)上单调递减，而在(π12，π6)上单调递增，错误．③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误.考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 解 (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图象：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 0 1 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 02－2(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 考点二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________.(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________． 答案 (1)2 π3(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析 (1)∵f (x )(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，∴T ＝2πω＝π，ω＝2.∵f (0)＝2sin φ＝3，即sin φ＝32(|φ|<π2)，∴φ＝π3. (2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 思维升华 根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最大值－最小值2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最大值＋最小值2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.类提通关：如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段． (1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．解 (1)由图象知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，N ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. (2)f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－2π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )．[类题通法]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质例3 (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 由－π2≤φ<π2得k ＝0所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)，当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤56π，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小＝－32.思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数； φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小正周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得其对称中心．利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．教师选例考点四、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质的综合应用例4、如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点，MD ·MN ＝π218.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)由已知F (0,1)是线段MD 的中点，可知A ＝2， ∵MD ·MN ＝T 4·T 2＝π218(T 为f (x )的最小正周期)，∴T ＝2π3，ω＝3，∴f (x )＝2sin(3x ＋φ)，设D 点的坐标为(x D,2)，则由已知得点M 的坐标为(－x D ，0)， ∴x D －(－x D )＝14T ＝14×2π3，则x D ＝π12，则点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－π12，0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－φ＝0. ∵0<φ<π2，∴φ＝π4，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (2)由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤3x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π3－π4，2k π3＋π12(k ∈Z )． [类题通法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π，k ∈Z 得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z 得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得x .利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．课堂练习1．已知ω>0，函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωπx ＋π4的周期比振幅小1，则ω＝________. 解析：依题意周期为2πωπ＝3－1＝2，所以ω＝1. 答案：12.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．解析：由图像可得A ＝2，由7π12－π3＝T 4，得T ＝π＝2πω，所以ω＝2，将点⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)，得－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋φ，所以sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－1，所以7π6＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝2×32＝62.答案：623．函数f (x )＝cosπx 2cos π(x －1)2的最小正周期为________． 解析：因为f (x )＝cos πx 2cos π(x －1)2＝cos πx 2cos π2－πx 2＝sin πx 2cos πx 2＝12sin πx ，所以最小正周期为2ππ＝2.答案：24．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.解析：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像可知：T2＝⎝⎛⎭⎫－π3－⎝⎛⎭⎫－23π＝π3， 则T ＝23π.∵T ＝2πω＝23π，∴ω＝3.答案：34.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用作业1．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值为________． 答案 k π＋π4，k ∈Z解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是________． 答案 π，1解析 f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 所以最小正周期为π，振幅为1.3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．答案 [k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2.∴取k ＝0，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .4．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_____________．答案 (－∞，－2]∪[32，＋∞)解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪[32，＋∞)．5.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．答案34解析 取K ，L 中点N ，则MN ＝12， 因此A ＝12. 由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2， ∴f (x )＝12cos πx ， ∴f (16)＝12cos π6＝34. 6．已知函数f (x )＝cos x ·cos(x －π3)． (1)求f (2π3)的值； (2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合． 解 (1)f (2π3)＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π3＝－(12)2＝－14. (2)f (x )＝cos x cos(x －π3)＝cos x ·(12cos x ＋32sin x ) ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＝12cos(2x －π3)＋14. f (x )<14等价于12cos(2x －π3)＋14<14， 即cos(2x －π3)<0， 于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈Z . 解得k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z .故使f (x )<14成立的x 的取值集合为{x |k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z }． 7．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 方法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝22， 所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)， 所以T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 方法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x＝22sin(2x ＋π4)． (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4， 从而f (α)＝22sin(2α＋π4)＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 8．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解 (1)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin(π12t ＋π3)， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3， －1≤sin(π12t ＋π3)≤1. 当t ＝2时，sin(π12t ＋π3)＝1； 当t ＝14时，sin(π12t ＋π3)＝－1. 于是f (t )在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)， 故有10－2sin(π12t ＋π3)>11， 即sin(π12t ＋π3)<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6， 即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．9．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2. (1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2， 所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)． (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3， 所以g (x )∈[－32，1] 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1，所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}.。

2013年新课标数学40个考点总动员 考点07 函数的图像（学生版）【高考再现】热点一．函数图像的识别1.（2012年高考（四川理））函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是2.（2012年高考（山东理））函数xx xy --=226cos 的图像大致为3.（2012年高考（江西文））如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA 与OB 的夹角为6π,以A为圆心,AB 为半径作圆弧 BDC 与线段OA 延长线交与点C ．甲.乙两质点同时从点O 出发,甲先以速度1(单位:ms)沿线段OB 行至点B,再以速度3(单位:ms)沿圆弧 BDC 行至点C后停止,乙以速率2(单位:m/s)沿线段OA 行至A 点后停止.设t 时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t)的图像大致是【点评】本题考查余弦定理、三角函数的图像、分段函数的综合运用，体现了考纲中要求了解简单的分段函数并能进行简单的应用以及对综合能力的要求，来年考查的核心仍是综合能力，考查知识点可以千变万化，难度较大.4．(2012年高考湖北卷文科6)已知定义在区间（0，2）上的函数()y f x =的图像如图所示，则-(2-)y f x =的图像为( )【方法总结】1.“看图说话”常用的方法有：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.3.为了正确地作出函数的图象，必须做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数 函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程. 热点二 函数图像的应用5. （2012年高考（上海春））记函数()y f x =的反函数为1().y fx -=如果函数()y f x =的图像过点(1,0),那么函数1()1y f x -=+的图像过点（ ）A ．(0,0)B ．(0,2)C ．(1,1)D ．(2,0)6.（2012年高考（湖南理））已知两条直线1l :y =m 和2l : 8=21y m +(m >0),1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A,B ,2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,,a b 当m 变化时,ba的最小值为 （ ）A ．B ．C ．D ．7．（2012年高考（天津理））已知函数2|1|=1xyx--的图象与函数=2y kx-的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是______________.8.（2012年高考（天津文））已知函数211xyx-=-的图像与函数y kx=的图像恰有两个交点,函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+<≤---≥+=--=1,111,111112x x x x x x x x y ，,做出函数的图象,要使函数y 与kx y =有两个不同的交点,则直线kx y =必须在蓝色或黄色区域内,如图,则此时当直线经过黄色区域时)2,1(B ,k 满足21<<k ,当经过蓝色区域时,k 满足10<<k ,综上实数的取值范围是10<<k 或21<<k .【方法总结】【考点剖析】 一．明确要求会运用函数图象理解和研究函数的性质. 函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具，是数形结合的基础，是高考考查的热点，复习时，应重点掌握几种基本初等函数的图象，并在审题、识图上多下功夫，学会分析“数”与“形”的结合点，把几种常见题型的解法技巧理解透彻． 二．命题方向三．规律总结 一条主线数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置，而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段，不可本末倒置．两个区别(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称．(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．三种途径【基础练习】1．(人教A版教材习题改编)为了得到函数y＝lg x＋310的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )．A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度3.（经典习题）已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为( )．A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)4. （课本习题改编）若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．5. (2012·海淀一模)函数f (x )＝x ＋1x图象的对称中心为________．【名校模拟】 一．基础扎实3.（山东省济南市2012届高三3月（二模）月考理）函数y =lg1|1|x |的大致图象为4.(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)下面哪一个图形可以作为函数的图象( )5．（山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试文）函数xy 2lo g =的图象大致是[w~ww@%.zzstep#.&com]7．（湖北钟祥一中2012高三五月适应性考试理）已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤)1(log )1(551＞x x x x 则函数y=f(1—x)的大致图象是8．(湖北省八校2012届高三第一次联考文)已知指数函数(01)xy a a a =>≠且图像上任意一点00(,)P x y 处导数值均小于0，则函数log |23|a y x =-的大致图像为（ ）二．能力拔高10. (2012届高三年级第二次综合练习文)已知函数22, ,()42, x m f x x x x m >⎧=⎨++≤⎩的图象与直线y x =恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．[1,2)-C ．[1,2]-D ．[2,)+∞12. （山东省济南市2012届高三3月（二模）月考文）设函数y =f (x )与函数y =g (x )的图象如右图所示，则函数y =f (x ) ·g (x )的图象可能是13．(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度三．提升自我15. (2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二) 理)已知定义域为R 的函数()x f 是奇函数，当0≥x 时，()=x f |2a x -|-2a ，且对∈x R ，恒有()()x f x f ≥+1，则实数a 的取值范围为A ．[0，2]B ．[-21，21] C ．[-1，1] D ．[-2，0]【原创预测】1.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴 对称的点共有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对。

教学内容—二次函数的概念及特殊二次函数的图像知识精要二次函数的概念：形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数。

定义域是一切实数。

特殊二次函数的图像函数对称轴顶点 开口方向 最值 ()20y ax a =≠ y 轴 原点 a>0,图像开口向上,顶点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点.()20y ax c a =+≠ y 轴(0，c)c()()20y a x m a =+≠m x -=()0,m -)0()(2≠++=a k m x a ym x -= ),(k m -k值 函数的图象及性质＞0⑴开口向上，并且向上无限伸展； ⑵当x ＝时，函数有最小值；当x ＜时，y 随x 的增大而减小；当x ＞时，y 随x 的增大而增大．＜0⑴开口向下，并且向下无限伸展； ⑵当x ＝时，函数有最大值； 当x ＜时，y 随x 的增大而增大；当x ＞时，y 随x 的增大而减小．图像平移规律: 左加右减，上加下减。

热身练习1. 以下哪些是二次函数？①213y x =- ②()5y x x =-③21321y x x =++④213122y x x =++⑤223y x x =+ ⑥37y x =+2. 抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ． 3. 当m= 时，抛物线mm x m y --=2)1(开口向下．4. 已知函数1222)(--+=k k x k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y 随x 的增大而增大．5. 已知函数72)3(--=mx m y 是二次函数，则m 的值为 ，已知二次函数()2224mmy m x x +=++-是关于x 的二次函数，则满足条件的m 的值 。

6. 将抛物线2y ax bx c =++向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到23127y x x =++，则a = ，b = ，c = 。

7. 将抛物线向上平移2个单位后得到抛物线251y x =+，那么将原抛物线向右平移3个单位得到的解析式为（ ）A. ()2531y x =--B.()2531y x =-+C. ()2531y x =++D.()2531y x =+- 8. 若抛物线2y ax =与四条直线1,2,1,2x x y y ====围成的正方形有公共点，则a 的取值范围为（ ）A. B. C. D.9. 某果园有100棵橙子树，每一颗树平均结果600个。

1．函数的概念：在某一变化过程中，有两个量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系． 2．函数的三种表示方法：（１）列表法：把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成表格来表示函数的方法． （２）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30S t =，2S R π=． （３）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法． 3．函数自变量的取值范围的确定：函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： （１）整式：自变量的取值范围是任意实数．（２）分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数． （３）根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． （４）零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数．注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类． 4．函数图像：（1）函数图象的概念：对于一个函数，如果把自变量x 和函数y 的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象．一次函数图像及性质知识回顾（2）函数图象的画法：①列表； ②描点； ③连线． （3）函数解析式与函数图象的关系：由函数图象的定义可知，图象上任意一点(),P x y 中的x ，y 都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．一、一次函数的概念一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数．（1）一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．（2）当，时，是正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．二、一次函数的图象（1）一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．（2）由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．（3）由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线． 三、一次函数的性质1．一次函数图象的位置y kx b =+k b 0k ≠y kx b =+0b =0k ≠y kx =y kx b =+0k ≠k b ()00，()1k ，0b ≠()0b ，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，y kx b =+()x y ，l l ()x y ，y kx b =+l y kx b =+y kx b =+l y kx b =+y kx b =+知识讲解一次 函数，符号0b =图象性质 随的增大而增大 随的增大而减小在一次函数中：（1）当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限． （2）当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限． 当0b =时，图象过原点．反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．2．一次函数图象的增减性 在一次函数中：（1）当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大； （2）当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．【例1】在下列等式中，y 是x 的函数的有（ ）223201x y x y -=-=，，||||y x y x x y ===，，．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例2】图中，表示y 是x 的函数图象是（ ）()0k kx b k =+≠k b 0k >0k <0b >0b <0b =0b >0b <Ox yyx OOx yyx OOx yyxOy x y x y kx b =+0k >0k <0b >y x 0b <y x y kx b =+k b y kx b =+0k >y kx b =+y x 0k <y kx b =+y x 同步练习【例3】已知346=0x y +-，用含x 的代数式表示y 为 ；用含y 的代数式表示x 为 ．【例4】某商店进一批货，每件6元，售出时，每件加利润0.8元，如售出x 件，应收货款y 元，那么y与x 的函数关系式是______________，自变量x 的取值范围是______________．【变式练习】电话每台月租费28元，市区内电话（三分钟以内）每次0.20元，若某台电话每次 通话均不超过3分钟，则每月应缴费y （元）与市内电话通话次数x 之间的函数关系式是________________ ．【例5】已知函数223y x =+，当11x =-时，相对应的函数值1y ＝______；当52-=x 时，相对应的函数值2y ＝______； 当3x m =时，相对应的函数值3y ＝______．反过来，当11y =时，自变量x =______．【例6】已知,6xy =根据表中 自变量x 的值，写出相对应的函数值． x … 4-3-2-1-21-0 21 1234… y …【例7】求出下列函数中自变量x 的取值范围．（1）52+-=x x y （2）324-=x xy （3）32+=x y（4）12-=x x y （5）321x y -= （6）23++=x x y（7）10+=x x y （8）|2|23-+=x x y （9）x x y 2332-+-=【例8】写出等腰三角形中一底角的度数y 与顶角的度数x 之间的函数关系．【变式练习】已知：等腰三角形的周长为50cm ，若设底边长为xcm ，腰长为ycm ，求y 与x 的函数解析式及自变量x 的取值范围．【变式练习】用40m 长的绳子围成矩形ABCD ，设AB xm =，矩形ABCD 的面积为2Sm ，（1）求S 与x 的函数解析式及x 的取值范围；（2）写出下面表中与x 相对应的S 的值： x (8)99.51010.51112…S…（3）猜一猜，当x 为何值时，S 的值最大？（4）想一想，如果打算用这根绳子围成的面积比（3）中的还大，应围成么样的图形？并算出相应的面积．同步课程˙一次函数图像及性质 【例9】2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离S （千米）与行进时间t （小时）的函数大致图像，你认为正确的是（ ）【变式练习】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车的速度继续匀速行驶，下面是行使路程s （米）关于时间t （分）的函数图象，那么符合这个同学行使情况的图像大致是（ ）【变式练习】如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁到O 点的距离为S ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）【例10】边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为( )OO O Ottt tSSSSDCBADCBAO O O O yyyyx xxx O O O O ttt tSSSSDCBABAO【变式练习】如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP ∆的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）【例11】如果 A B 、两人在一次百米赛跑中，路程S (米)与赛跑的时间t (秒)的关系如图所示,则下列说法中正确的是 ( )A ．A 比B 先出发 B ．A B 、两人的速度相同 C ．A 先到达终点 D .B 比A 跑的路程多【变式练习】如下图左，甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到距离A 地18km 的B 地，他们离出发地的距离S （km ）和行驶时间t (h )之间的函数关系的图象如图所示.根据图中提供的信息，符合图象描述的说法是（ ）A ．甲在行驶的过程中休息了一会B ．乙在行驶的过程中没有追上甲C ．乙比甲先到了B 地D .甲的行驶速度比乙的行驶速度大DCBAOOOOtttt SSSSDCBADCBA3311123131yyyyxxxO O O O tSO BA【变式练习】如上图右，某校八年级同学到距学校千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程(千米)与所用时间(分钟)之间的函数图象，则以下判断错误的是( )A ．骑车的同学比步行的同学晚出发分钟B ．步行的速度是千米/时C ．骑车同学从出发到追上步行同学用了分钟D ．骑车的同学和步行的同学同时达到目的地【例12】下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1） （2） （3）（4） （5） （6）【变式练习】下列函数中，是正比例函数的是（ ）A ．2y x =B ．x y 21=C ．2y x =D ．21y x =-【例13】若23y x b =+-是正比例函数，则的值是（ ）A ．0B ．23-C ．23 D ．【变式练习】已知，当m 取何值时，y 是x 的正比例函数？乙甲2.520.5O tS60545030y （千米）x （分钟）l2l1O 61l 2l y x 3062015x y +=-5xy =-21y x =--35x y =--()()212y x x x =---21x y -=b 32-2(1)1y m x m =-+-【变式练习】已知函数(为常数)是正比例函数，则_________．【例14】函数2y x =-的图象一定经过下列四个点中的（ ）A ．点()12，B ．点()21-，C ．点1(1)2-， D ．点1(1)2-，【变式练习】已知正比例函数(，为常数)，经过点(24)，，以下哪个点不在该正比例函数图图象上( )A ．点(24)--，B ．点(00)，C ．点(12)，D ．点(12)-，【例15】一次函数y x =-的图象平分（ ）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限【例16】若直线y kx =经过点()53A -，，则k ＝______．如果这条直线上点A 的横坐标A x =13-，那么它的纵坐标A y ＝______．【例17】已知与x 成正比例，当时，，求与x 之间的函数关系式，并判断它是不是正比例函数．【变式练习】已知z m y =+，m 是常数，y 是x 的正比例函数，当2x =时，1z =；当3x =时，1z =-，求z 与x 的函数关系．【变式练习】已知与（m n ，为常数）成比例，试判断y 与x 成什么函数关系？1(2)k y k x -=-k k =y kx =0k ≠k 2y -3x =1y =y y m +x n +【例18】下面哪个正比例函数的图象经过一、三象限（ ）A ．B ．C ．D ．【变式练习】如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（ ）A ．B ．C ．D ．【例19】已知一次函数(为常数)的图象经过一、二、三象限，求取值范围 ．【变式练习】已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围是__________．【例20】如果直线不经过第四象限，那么 （填“”、“”、“”）．【变式练习】若一次函数2(1)12ky k x =-+-的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是_______．【例21】一次函数21y x =--的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式练习】若，，则经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限()23y x =-()3.14πy x =-π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()526y x =-y kx b =+y 00k b >>，00k b ><，00k b <>，00k b <<，(3)(2)y k x k =-+-k k (5)1y a x a =-+-a yxO y ax b =+ab 0≥≤=0ab >0bc <a ay x b c=-+【变式练习】直线1y kx b =+过第一、二、四象限，则直线2y bx k =-不经过第____象限．【例22】关于x 的一次函数21y kx k =++的图像可能正确的是（ ）【例23】函数y ax b =+和y bx a =+在同一坐标系中的可能是（ ）【变式练习】如图所示，直线l 1：y ax b =+和l 2：-y bx a =在同一坐标系中的图象大致是（ ）【例24】下列表示一次函数与正比例函数图象中，一 定不正确的是（ ）A BC D DCBAy yyyxxxxDCBAO O OO y yyyxxxxy mx n =-y mnx =(m n 、为常数，0mn ≠且）OxyOxyOxyOxy【例25】已知函数y kx b =+的函数图像如左图，则2y kx b =+的图像可能是（ ）【例26】已知一次函数，若随的减小而减小，则该函数的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【例27】已知点都在直线上，则大小关系是（ ） A ． B ．C ．D ．不能比较【变式练习】已知一次函数的图象过点()03，与()21，，则这个一次函数随的增大而 ．【例28】已知一次函数()122y m x m =-+-，函数随的增大而减小，且其图像不经过第一象限，则m 的取值范围是___________．【例29】下列说法正确的是（ ）A ．若一次函数()212y m x m =-++的图象与y 轴交点纵坐标是3，则1m =±B ．若点()()111222P x y P x y ，、，在直线y kx b =+()0k <上，且12x x >，那么12y y >C ．若直线y kx b =+经过点()()11A m B m -，，，，当1m <-时，该直线不经过第二象限D ．直线y kx k =+必经过点()10-，【例30】一次函数321+-=x y 的图象与y 轴的交点坐标是______，与x 轴的交点坐标是______． 一般的，一次函数y kx b =+与y 轴的交点坐标是______，与x 轴的交点坐标是______．y kx k =+y x ()()1242y y -，，，122y x =-+12y y ，12y y >12y y =12y y <y x y x 11-1-1-1-1O O O DCBA1111yxO yyyyxxxx同步课程˙一次函数图像及性质【变式练习】一次函数21)2y m x m =-++（的图像与y 轴的交点坐标是3，则m 的值是_______．【例31】已知一次函数y ax b =+的图像经过点()01，，它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则a的值为_________．【例32】函数2y x =的图象与y 轴交于______，而函数23y x =-的图象与y 轴交于______点．因此，函数23y x =-的图象可以看作由直线2y x =向______平移______个单位长度而得到． 当0b ＞时，直线y kx b =+可由直线y kx =向________平移______而得到； 当0b ＜时，直线y kx b =+可由直线y kx =向________平移______而得到．【变式练习】（1）将直线向右平移2个单位所得的直线的解析式是______________．（2）直线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，求所得到的直线的解析式．【习题1】正比例函数y kx =的图象是经过原点的一条（ ）A ．射线B ．双曲线C ．线段D ．直线【习题2】函数在________条件下，是的一次函数；在_________条件下，与成正比例函数．【习题3】已知是一次函数，求它的解析式．【习题4】已知函数)2()12(232+--=-n xm y m ．（1）当m n 、为何值时，其图象是过原点的直线；2y x =22y x =+()2211m y m xmn -=-+y x y x 1(2)2m y m x m -=-++课后练习同步课程˙一次函数图像及性质（2）当m n 、为何值时，其图象是过()04，点的直线； （3）当m n 、为何值时，其图象是一条直线且y 随x 的增大而减小．【习题5】（1）如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么( )A ．，B ．，C ．，D ．，（2）已知一次函数的图象经过(，)和(，)两点，且,，则( )A ．B ．，C ．，D ．（3）已知一次函数，若随的减小而减小，则该函数的图象经过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限（4）如图，一次函数的图象大致是( )【习题6】如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数，，，的图像分别是，，，；那么，，，的大小关系是_________________．y kx b =+y 0k >0b >0k >0b <0k <0b >0k <0b <y kx b =+1x 1y 2x 2y 12x x <12y y <0k >0k <0b >0k <0b <0k <y kx k =+y x 1y ax a=+DC B A OO O O yyyyxxxx 1y k x =2y k x =3y k x =4y k x =1l 2l 3l 4l 1k 2k 3k 4k同步课程˙一次函数图像及性质【习题7】将32y x =-先向左平移3个单位，在向上平移2个单位得到函数解析式为 ；将2433y x =-+先向下平移1个单位，在向右平移2个单位得到的函数解析式为 ．【习题8】点()()P a b Q c d ，、，在一次函数5y x =+的函数图像上，则()()a c d b c d ---的值为______．O yxl 4l 3l 2l 1。

专题11函数图像一、关键能力1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题. 二、教学建议1．学生应掌握图象的平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；2．函数图象的应用很广泛，研究函数的性质、解决方程解的个数、不等式的解等都离不开函数的图象，对图象的控制能力往往决定着对函数的学习效果．3．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法． 三、自主梳理 1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―——————―→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――——————―→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――——————→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――——————―→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． ⑤y ＝f (x )―――——————→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ⑥y ＝f (x )――——————―→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (3)翻折变换（☆☆☆）①y ＝f (x )――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图像翻折到左边去y ＝f (|x |)；②y ＝f (x )――――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|．(4)伸缩变换①y ＝f (x ) 至 y ＝f (ax )．②y ＝f (x ) 至 y ＝af (x )．――——————―——————―→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变四、高频考点+重点题型 考点一、作图例1-1（対称、翻折、分段作图）画下列函数图像 (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝x 2－2|x |－1;例1-2.（平移作图）(1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝x ＋2x －1．例1-3（周期、类周期函数作图）定义函数f (x )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--2,)2(2121|,23|84x x f x x 则函数g (x )＝xf (x )－6在区间[1，2n ](n ∈N *)内所有零点的和为( )A ．nB ．2n C.34(2n －1) D.32(2n －1)对点训练1．已知函数()2,101x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤，则下列图象错误的是（ ）A ．()y f x =的图象：B ．()1y f x =-的图象：C ．()y fx =的图象：D ．()y f x =-的图象：对点训练2.（2019年高考全国Ⅱ卷理）设函数的定义域为R ，满足，且当时，．若对任意，都有，则m 的取值范围是A ．B ．C ．D ．考点二、识图例1-1.（由解析式选图像） 【2020·天津卷】函数241xy x =+的图象大致为 （ ）()f x (1) 2 ()f x f x +=(0,1]x ∈()(1)f x x x =-(,]x m ∈-∞8()9f x ≥-9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦A BC D例2-2．（由图像选解析式）（2021·浙江高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+- B ．1()()4y f x g x =-- C ．()()y f x g x = D ．()()g x y f x =例2-3.（实际应用识图像）在2 h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是( )例2-4（两个函数图像对比）在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是()对点训练1.函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为()对点训练2．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）A．y＝||2xexB．y＝2(1)||xx exC ．y ＝|2|xe xD ．y ＝22xe x对点训练3.（2020·江西临川一中模拟） 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O ，O 1，O 2，若一动点P 从点A 出发，按路线A →O →B →C →A →D →B 运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，设P 的运动路程为x ，y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系式为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象为( )对点训练4.（2021·四川高三三模（理））函数()()log a f x x b =--及()g x bx a =+，则()y f x =及y g x 的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．考点三、利用图像解不等式 例3-1（转化为两个图像的上下方）【2020年高考北京】已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞例3-2（图像在x 轴的上下方）函数f (x )是定义域为(－∞，0)∈(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f (3)＝0，若x ·[f (x )－f (－x )]<0，则x 的取值范围为________．对点训练1.（2021·浙江高三专题练习）若关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦对点训练2.函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x<0的解集为________．考点四、利用图像求解方程问题 例4-1.（方程根的个数）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.例4-2．已知12,x x 是方程x2210,log 10x x x +=+=的两个根，则12x x +=对点训练1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f （x －1），x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)对点训练2.若满足225xx +=, 满足()222log 15x x +-=, 则+＝考点五、利用图像研究函数性质 例5-1.（利用图像研究单调性）1x 2x 1x 2x已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)例5-2（利用图像研究函数最值或值域）对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值 _．对点训练1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是_____．对点训练2.（2020·全国高三其他（文））已知函数在区间的值域为，则（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8()()()22241x x f x x x ee x --=--++[]1,5-[],m M m M +=巩固训练 一、单项选择题1．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0，4]上的零点个数为________． A. 4 B. 3 C. 2 D. 62.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A.{x |－1＜x ≤0} B.{x |－1≤x ≤1} C.{x |－1＜x ≤1} D.{x |－1＜x ≤2}3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．4.（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数()f x 与()g x 的部分图象如图1，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（ ）A ．(())y f g x =B ．()()y f x g x =C ．(())y g f x =D ．()()f x yg x =5.（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，6．匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题7．设f (x )的定义域为R ，给出下列四个命题其中正确的是（ ）A ．若y ＝f (x )为偶函数，则y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称；B ．若y ＝f (x ＋2)为偶函数，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；C ．若f (2＋x )＝f (2－x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；D ．若f (2－x )＝f (x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．8．观察相关的函数图象，对下列命题的真假情况进行判断，其中真命题为（ ）A ．10x ＝x 有实数解B ．10x ＝x 2有实数解C ．10x >x 2在x ∈(0，＋∞)上恒成立D ．10x ＝－x 有两个相异实数解．三、填空题9． 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________．10．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x （x >0），－－x （x ≤0）与g (x )＝|x ＋a |＋1的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是________．四、解答题11．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0．(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．12．(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；(2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．。

第37讲三次函数的图像与性质三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程与方法具有普遍性,一般性和有效性,可以迁移到其他函数的研究中．本专题主要研究三次函数的单调性,极值,最值,对称性等,并在研究的过程中体会数形结合,分类与整合,化归与转化等思想方法.1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a,b,c,d∈R),设直线l1,l2分别是曲线y＝f(x)的两条不同的切线,若函数f(x)为奇函数,且当x＝1时f(x)有极小值为－4.①求a,b,c,d的值；②若直线l3亦与y＝f(x)相切,且三条不同的直线l1,l2,l3交于点G(m,4),求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)＝x3－tx2＋1,求证：对任意实数t，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行.3.已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．（1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点；（2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式；（3）设0a >，求()y g x =的单调增区间．4.已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在,求出a,b的所有值；若不存在,说明理由．5.已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：33b a >；（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．。

年级：高一辅导科目：数学课时数：课题正切函数和余切函数的图像与性质1、让学生掌握正切函数的图像，性质教学目的2、熟练求出正切函数的周期，单调区间等教学内容【知识梳理】正切函数y tan x x R ，且 x k k z 的图象，称“正切曲线”2余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的图象（余切曲线）正切函数的性质：1．定义域：x | x k , k z ，22．值域： R3．当xk , k k z 时y0 ，当x k, k k z 时y 0224．周期性：5．奇偶性：Ttan x tan x 奇函数6．单调性：在开区间k ,k k z内，函数单调递增22余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的性质：1．定义域：x R且x k , k z2．值域： R，3．当 xk , k k z 时 y 0 ，当 x k, k k z 时 y 0224．周期： T5．奇偶性：奇函数6．单调性：在区间k , k 1上函数单调递减【典型例题分析】例 1、用图象解不等式tan x 3 。

变式练习： tan x1。

例 2、作出函数 ytan x , x 0,2 且 x ,3的简图1 tan2 x2 2例 3、求下列函数的定义域。

cot x cot x csc x1、 y2、 ytan x1变式练习：求下列函数的定义域。

（1）y cos x tan x；（2）y log2 (cot x1)1（ 3）y1 tan x例 4、求函数y tan 3x的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性3变式练习：画出函数y cot( x)tan x 的图像，并指出其定义域，值域，最小正周期和单调区间。

2例5、（ 1）求y tan2 x 4tan x1的值域；（ 2）若x,时，y k tan(2x) 的值总不大于零，求实数k 的取值范围。

633变式练习：求函数 y tan2x tan x 1的最大值、最小值，并求函数取得最大值最小值时自变量x 的集合。

第16讲 正弦函数图像性质（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（不用添加内容，也不做修改）一：三角函数的图像和性质 函 数sin y x =cos y x =tan y x =图像定 义 域(),-∞+∞ (),-∞+∞,2x x k x R ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域 []1,1-[]1,1-(),-∞+∞奇偶性 奇函数偶函数奇函数 对称轴 ()2x k k Z ππ=+∈()x k k Z π=∈对称中心 (),0k π,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭,02k π⎛⎫⎪⎝⎭最小正周期2π2ππ单 调 性2k -,2k +22ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦增32k +,2k +22ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦减 []2k ,2k πππ-增 []2k ,2k πππ+减k -,k +22ππππ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增二、图像的平移函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象对函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)＋k (A ．＞．0, ．．ω＞．．0, ．．ϕ．≠．0,．． k ．≠．0)．．,其图象的基本变换有： (1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A 的变化引起的．A ＞1,伸长；A ＜1,缩短． (2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长． (3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．ϕ＞0,左移；ϕ＜0，右移．(4)上下平移(纵向平移变换): 是由k 的变化引起的．k ＞0, 上移；k ＜0,下移1：正弦函数的定义域和值域2:三角函数的单调性和奇偶性3:三角函数图像的变换（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）例1 已知tan 2α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为_______________．例2 为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ）．A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度例3 .已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则ϕ=（ ）．A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π3例 4：函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴是 ，对称中心点是 。