大连市第4届高等数学竞赛试题

2024年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学四模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，x，，则()A.2B.3C.4D.52.若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则()A.0B.2C.D.3.某种酸奶每罐净重单位：服从正态分布随机抽取1罐，其净重在179g与之间的概率为()注：若，，，A. B. C. D.4.等差数列的前n项和记为，若，，则()A.51B.102C.119D.2385.过点作圆的切线PA，A为切点，，则的最大值是()A. B. C. D.6.已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，I为的内心，记，，的面积分别为，，，且满足，则双曲线的离心率是()A. B. C.2 D.37.某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：下列结论正确的是()A.该校2023年与2022年的本科达线人数比为6：5B.该校2023年与2022年的专科达线人数比为6：7C.2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了D.2023年该校不上线的人数有所减少8.如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线与直线的夹角为，则点Q的轨迹长度为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，内角A，B，C分别对应边a，b，c则下列命题中正确的是()A.若，则为钝角三角形B.若，，，则的面积为C.在锐角中，不等式恒成立D.若，，且有两解，则b的取值范围是10.已知函数，则下列说法正确的是()A.的极值点为B.的极值点为1C.直线是曲线的一条切线D.有两个零点11.已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是()A.4为的一个周期B.8为的一个周期C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

大连市高等数学竞赛试题B答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】大连市第二十三届高等数学竞赛试卷答案（B）一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，计10分）1. n ⎭⎝∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x xx→-= 1/2 . 3. 0lim x x x +→= 1 . 4. 2cos lim xx t dtx→⎰= 1 .5.若221lim 2,2x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、（本题10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=),0(1),0(1sin)(3x x xx x f 求)(x f '.解 当0≠x 时，xx x f 1sin )(3=为一初等函数，这时;1cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232xx x x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='（6分） 当0=x 时，由于),0(01sin lim )(lim 300f xx x f x x ≠==→→（8分） 所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。

（10分）解：0,1,1x x x ===-为间断点。

（3分） 当0x =时，由于00lim ()lim 1,1||x x x f x x x ++→→==+而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。

（5分） 当1x =时，由于11lim ()lim 1,1||x x x f x x x →→==+所以1x =是可去间断点。

（7分） 当1x =-时， 而1lim (),x f x →-=∞所以1x =-是无穷间断点。

（8分）考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页第 1页曲线)0(316>=x x y 上哪一点处的法线在y 轴上的截距最小？ 3在),(y x 处的法线方程为 )(x X k y Y -=-，因为52x y ='，所以521x k -=，法线方程为 )(215x X x y Y --=-，（4分）整理后为 64545312121212x x X x x x X y Y ++-=+-=，法线在y 轴上的截距为 643121x x b +=。

大连市高等数学竞赛a类试题解答大连市高等数学竞赛A类试题通常涵盖基础数学知识，包括但不限于微积分、线性代数、概率论与数理统计等。

以下是一些可能的题目类型及其解答方法的概述：1. 极限问题：- 极限是高等数学中的核心概念。

解决极限问题通常需要使用极限的定义、夹逼定理、洛必达法则等方法。

2. 导数与微分问题：- 导数是研究函数局部变化率的工具。

求导数通常使用基本初等函数的导数公式、链式法则、乘积法则、商法则和复合函数的求导法则。

3. 积分问题：- 积分是求和的极限形式，分为不定积分和定积分。

解决积分问题可以使用换元积分法、分部积分法、有理函数积分法等。

4. 级数问题：- 级数是无穷序列的和。

判断级数的收敛性可以使用比值判别法、根值判别法、交错级数判别法等。

5. 多元函数微分问题：- 多元函数微分涉及到偏导数和方向导数。

解决这类问题需要理解多元函数的几何意义和偏导数的计算方法。

6. 线性代数问题：- 线性代数问题通常涉及矩阵运算、线性方程组的解法、特征值和特征向量的计算等。

7. 概率论问题：- 概率论问题可能包括随机事件的概率计算、条件概率、独立性、随机变量及其分布等。

8. 数理统计问题：- 数理统计问题可能包括样本数据的描述、参数估计、假设检验等。

解答这些题目时，需要具备扎实的数学基础和良好的逻辑推理能力。

在解答过程中，要注意审题，明确题目要求，合理运用数学工具和公式，逐步推导出答案。

同时，要注意检查计算过程，确保答案的准确性。

如果遇到难题，可以尝试从不同角度思考，或者使用数学软件辅助计算。

大连市第三届大学生高等数学竞赛试题1.（10分）求2.（10分）设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，且满足f(1)-2,求证在（0，1）内至少存在一点，使得f＇()= —。

3.（10分）设函数f(x)具有一阶、二阶导数，f(0)=f(1)=0,且证明：4.（10分）求函f(x)= 在[0，2]上的最大值与最小值。

5.（10分）设函数f(x)在区间（0，1）上可微，且0＜f＇(ｘ)≤１，f(0)=0证明6.（10分）已知f(t)=(tg(tg(tg,求f＇（１）。

7.（10分）试求的和函数，并计算8.（10分）一均质链条挂在一个无摩擦的钉子上，运动开始时，链条的一边垂下8米，另一边垂下10米，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？9.（10分）设f(x)=a1sin(x)+a2sin2x+…+a n sinnx,且|f(x)|≤｜sinx｜求证：| a1+a2+…+a n|≤１10.（10分）设半径为R的球的球心在半径为a的定球面上，问R为何值时，夹在定球内部的表面积最大，并求出最大的表面积的值。

大连市第四届大学生高等数学竞赛试题1、设x=g(y)为y=f(x)的反函数，求。

2、设f(x)在（+）上有连续导函数，求其中L是从点A（3，）到点B(1,2)的直线段。

3、设f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数，求证在（a,b）内存在,使得=（b-a）f()+(b-a) 。

4、设f(x)= 定义A(x)=令A= A(1)+ A()+…+ A()+…,试证：＜Ａ＜１５、设f(x)在（+）上有三阶连续导数，且等式f(x+h)=f(x)+hf’(x+)(0<<1)中，与h无关，则f(x)必为一个一次函数或二次函数。

6、函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0,试证由g(x)=所定义的g(x)有一阶连续导数。

7、若函数f(x)在[0,1]上二次可微，且f(0)=f(1), ||≤１，试证：｜｜≤在［０，１］上成立。

大连市第四届大学生高等数学竞赛试题1、 设x=g(y)为y=f(x)的反函数，求))(''')('')(')(('''表示、、用x f x f x fy g 。

2、 设f(x)在（+∞-∞，）上有连续导函数，求 ⎰-++L dy xy f y yx dx y xy f y )1)(()(1222 其中L 是从点A （3，32）到点B(1,2)的直线段。

3、 设f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数，求证在（a,b ）内存在ξ,使得⎰ba dx x f )(=（b-a ）f(2b a +)+241(b-a)3 )(''ξf 。

4、 设f(x)= )0(1)1ln(>++x xx 定义A(x)= ⎰x dt t f 0)( 令A= A(1)+ A(21)+…+ A(n 1)+…,试证：247＜Ａ＜１５、设f(x)在（+∞-∞，）上有三阶连续导数，且等式f(x+h)=f(x)+hf ’(x+h θ)(0<θ<1)中，θ与h 无关，则f(x)必为一个一次函数或二次函数。

6、 函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0,试证由 g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0)0('0)(x f x x x f 所定义的g(x)有一阶连续导数。

7、 若函数f(x)在[0,1]上二次可微，且f(0)=f(1), |)(''x f |≤１，试证：｜)('x f ｜≤21在［０，１］上成立。

８、设a(x)，b(x)，c(x)和d(x)都是x 的多项式， 试证：()⎰x dx x c x a 1)()(()⎰xdx x d x b 1)()(-()⎰x dx x d x a 1)()(()⎰x dx x c x b 1)()( 可被（x-1）4除尽。

９、设a 、b 、c 为实常数，函数f(x)=ax 2+bx+c ，当|x|≤１时满足｜f(x)｜≤１，试证：当|x|≤１时有｜)('x f ｜≤４。

辽宁历年数学竞赛试题及答案试题一：1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7 \)，求\( f(-1) \)的值。

2. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的两个根，求\( a^2 + b^2 \)的值。

3. 计算\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)。

答案一：1. 将\( x = -1 \)代入函数\( f(x) \)，得\( f(-1) = 2(-1)^3 -3(-1)^2 + 5(-1) - 7 = -2 - 3 - 5 - 7 = -17 \)。

2. 根据韦达定理，\( a + b = -5 \)，\( ab = 6 \)。

则\( a^2 +b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (-5)^2 - 2(6) = 25 - 12 = 13 \)。

3. 计算定积分，\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} \)。

试题二：1. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 =\left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 \)。

2. 已知圆的方程为\( x^2 + y^2 = 4 \)，求过点\( P(2, 3) \)且与圆相切的直线方程。

3. 已知\( \sin A = \frac{3}{5} \)，\( \cos A = \frac{4}{5} \)，求\( \tan A \)的值。

答案二：1. 根据立方和公式，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。

根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2} \)。

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内是（）A.严格单调递增B.严格单调递减C.常数函数D.无法确定2.设函数f(x)=x^33x，则f(x)的极大值点为（）A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=33.设函数f(x)=e^x，则f(x)的n阶导数为（）A.e^xB.ne^xC.(n-1)e^xD.e^(x+n)4.设函数f(x)=ln(x)，则f(x)在x=1处的二阶导数值为（）A.1B.0C.-1D.无限大5.设函数f(x)=sin(x)，则f(x)的泰勒展开式的前三项为（）A.xx^3/6B.x+x^3/6C.xx^3/3D.x+x^3/3二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内单调递增。

（）2.函数f(x)=x^33x在x=0处取得极大值。

（）3.函数f(x)=e^x的n阶导数仍为e^x。

（）4.函数f(x)=ln(x)在x=1处的二阶导数值为0。

（）5.函数f(x)=sin(x)的泰勒展开式的前三项为xx^3/6。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内是______。

2.函数f(x)=x^33x的极大值点为______。

3.函数f(x)=e^x的n阶导数为______。

4.函数f(x)=ln(x)在x=1处的二阶导数值为______。

5.函数f(x)=sin(x)的泰勒展开式的前三项为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1.简述罗尔定理的内容及其应用。

2.简述拉格朗日中值定理的内容及其应用。

3.简述泰勒公式的内容及其应用。

4.简述牛顿-莱布尼茨公式的内容及其应用。

5.简述高斯-赛德尔迭代法的内容及其应用。

2024 年第四届章鱼杯联考(高中组)数学注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效。

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 方程logx(x+2024) = 2 的实数解的个数是A.0B.1C.2D.32.记i 为虚数单位，n为正整数，若(3+ 4i)ⁿ位于复平面的第四象限，则 n的最小值为A.4B.5C.6D.73. 若三次函数 f(x) 满足 f(0) =0,f(1)= 1,f'(0)=3,f'(1) = 9, 则 f(3)=A.38B.171C.460D.9654. 设p是q 的充分不必要条件，-p是 -rr的必要不充分条件，则A. p是qVr的充分不必要条件；B. p是q∧r的充分不必要条件;C. p是q∧r的必要不充分条件；D. p是q∨r的必要不充分条件.�����⃗+OOOO�����⃗|的最小5. 设 A 在曲线yy=ll ll ll−ll²+3ll−1上, B在直线y=2x-3上,O为坐标原点,则|OOOO值是OO.√55OO.2√55CC.3√55DD.4√556. 一次铁人三项比赛中，每名参赛选手须在指定的游泳池里游 20 个来回，然后骑车 10 公里，最后跑 3 公里. 已知共有 n名选手参赛，由于场地条件限制，游泳池内只能同时容纳一名选手(即上一名选手上岸时下一名选手方可下水)，骑车与跑步则无限制. 记序号为i 的选手游泳、骑车、跑步所用时长的期望分别为si，bᵢ，rᵢ.为了使得总完赛时间(即从 1 号选手下水到n号选手跑完的总时长) 尽可能短，应采取的策略是A. 让 sᵢ越大的选手越早出发B. 让 sᵢ越小的选手越早出发C. 让bbᵢ+rr;越大的选手越早出发D.让bbᵢ+rrᵢ越小的选手越早出发7.给定k∈R, 若∃m>0, ∀x,y∈R 满足 cosx+kcosy=1,均有|y|≥m,则k的范围是A.(-∞,0)∪(2,+∞)B.(-∞,0]∪[2,+∞)C. [0,2]D.(0,2)8. Enigma机是二战时用来加密和解密的设备，其中插线板是整套密码系统的一环，原理如下：有26 根接线柱对应26 个英文字母，另有k条导线，每条导线的两端接在某两根不同的接线第四届章鱼杯高中组·数学第1页( 共 5 页)柱上，每根接线柱上至多连一条导线，以此交换输入的文字中有导线相连的接线柱处的字母.例如, k=2时, 设O 与P 相连, G 与S 相连, 输入文字 BIGOCTOPUS, 则交换 O 与P, 交换 G 与S, 故输出 BISPCTPOUG. 设不同的接线方法数为 ak: 若 ak 越大则这套密码系统越安全. 要使安全性最高，k 应该取 A.7 B.9C.11D.13二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9. 记集合 A ={n∈ N ₊|正n 边形可用尺规作出}, 熟知3,4,5∈ A, 7,9,11 ∉ A, 则以下角中能被尺规作出的是 A.21° B.25° C.48° D.62° 10.下列关于异面直线的断言正确的是A.给定异面直线 a,b, 定长线段 AB,CD 分别在a,b 上滑动, 则四面体 ABCD 的体积不变;B.设 a,b 为异面直线, 夹角为θ, 点A 在a 上, 点B 在b 上, |AB|=l, AB 与a,b 的夹角分别是 90°和α，则a ，b 之间的距离为ll �1−cos 2ααsin 2θθ;C. 设 a ，b 为异面直线，则空间内存在某些点 P ，使得过 P 的直线不可能与 a ，b 均相交；D.存在两两异面的直线 a,b,c 和相交直线 m,n, m 与a,b,c 均相交, n 与a,b,c 均相交.11.有n 个进程(n≥3) q ₁，q ₂，···，qn 要访问一个数据库，不同进程之间、 同一进程在不同时刻是否尝试访问数据库是相互独立的，且每一秒每个进程尝试访问数据库的概率均为¹/n. 若某一秒恰有一个进程访问数据库，则访问成功，否则访问失败. 以下是一个 n =4 的样例：记 Xi(t) 为 qi 在前 t 秒成功访问数据库的次数，e 为自然对数的底，[x] 表示不小于实数 x 的最小整数，下列说法正确的是三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知正七边形 ABCDEFG 的外接圆为(ll −1)²+(yy −2)²=3,且 A 为该圆上距离坐标原点最远的点，则关于这七个点的回归直线方程为 ； 设 CG ，AD 交于 Q ，则 QQQQDDQQ=¯.13. 设{a ₁,a ₂,. ..,a ₉} = {1,2,...,9}, 且 aa₂ᵢ₋₁>aa₂ᵢ<aa₂ᵢ₊₁,∀ii ∈1,2,3,4,则满足要求的数列 {aa ll }1≤ll≤9的个数是 .第四届章鱼杯高中组·数学 第2 页( 共 5 页)A.若n=4, 则∑ii=14PP (XX ii (1)=0)=2764;OO .tteeee<QQ�XX 1(tt )�<tt2ee；411CC .PP (XX 1([eell ])=0)≤1ee;DD .PP ��eeii=1{XX ii (2[eell ][ln ll ])≥1}�≥1−1ee14. 设双曲线Γ:ll²−3yy²=−3,A(0,2), B,C 在Γ上且直线 BC 经过 A. 设 lB, lc 分别为Γ在 B,C 处的切线, 点D 满足OODD⟂ll BB,CCDD⊥ll CC,, 则 D 的轨迹方程是 ;若 D 的横纵坐标均为正整数，且二者之和大于 2024，则 D 可以是 (写出个即可)四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (13 分)双五棱锥是由两个侧面均为边长为 1的正三角形的五棱锥上下拼接而成的，如图所示.(1) 求双五棱锥的内切球半径；(2) 求分别位于拼接面(正五边形) 两侧的相邻的两个正三角形构成的二面角的余弦值.16. (15 分)校乒乓球锦标赛共有 2ⁿ位运动员参加. 第一轮，运动员们随机配对，共有2ⁿ⁻¹场比赛，胜者进入第二轮，负者淘汰. 第二轮在同样的过程中产生2ⁿ⁻²名胜者. 如此下去，直到第 n 轮决出总冠军.实际上，在运动员之间有一个不为比赛组织者所知的水平排序，在这个排序中ll₁最好，x₂次之，…，x₂n最差. 假设任意两场比赛的结果相互独立，不存在平局，且∀1≤ii<jj≤2ⁿ,当x₁与xj 比赛时, ;llᵢ获胜的概率为 p，其中12<pp<1.(1) 求最后一轮比赛在水平最高的两名运动员.ll₁与ll₂之间进行的概率.(2) 证明:∀1≤ii≤2ⁿ−1,llᵢ为总冠军的概率大于llᵢ₊₁为总冠军的概率.第四届章鱼杯高中组·数学第 3页( 共 5页)17世纪德国天文学家约翰内斯·开普勒提出描述行星运动的三大基本定律：(a) 行星绕太阳运动的轨道为椭圆(圆可视为特殊的椭圆)，太阳位于椭圆的一个焦点上，所有行星的轨道可近似看成在同一平面内；(b) 行星在其椭圆轨道上的相等时间内，与太阳连线所扫过的面积相等. (c) 行星的公转周期的平方与它们的椭圆轨道长轴的立方成正比.开普勒三定律为我们理解行星运动提供了重要的基础，并且被广泛应用于天体力学和行星轨道计算中。

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.设函数f(x)在区间(a,b)内连续，且a和b为f(x)的不连续点，则f(x)在(a,b)内必有界的是（）A.无界B.有界C.不确定D.既无界又有界2.设函数f(x)在区间I上可导，且f'(x)>0，则f(x)在I上（）A.单调递减B.单调递增C.常数D.无单调性3.设函数f(x)在区间I上可导，且f'(x)<0，则f(x)在I上（）A.单调递减B.单调递增C.常数D.无单调性4.设函数f(x)在区间I上可导，且f'(x)=0，则f(x)在I上（）A.单调递减B.单调递增C.常数D.无单调性5.设函数f(x)在区间I上可导，且f'(x)单调递增，则f(x)在I 上（）A.单调递减B.单调递增C.常数D.无单调性二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f'(x)≥0。

（）2.若函数f(x)在区间I上单调递减，则f'(x)≤0。

（）3.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f''(x)≥0。

（）4.若函数f(x)在区间I上单调递减，则f''(x)≤0。

（）5.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f'''(x)≥0。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数值为______。

2.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的二阶导数值为______。

3.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的三阶导数值为______。

4.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的四阶导数值为______。

5.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的五阶导数值为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1.请简述泰勒公式的定义及其在数学分析中的应用。

2.请简述拉格朗日中值定理的定义及其在数学分析中的应用。