随机点分布程序

知识点3.7两个随机变量和的分布例1设随机变量(X,Y)的分布律如下表所示，求X−Y的分布律.YX−2−10−11121123121 22121123212212解YX−2−10−11121123121 22121123212212概率112112312212112212212(X,Y)−1,−2−1,−1−1,012,−212,−13,−23,0等价于概率)2,1(−−121)1,1(−−121)0,1(−123⎪⎭⎫ ⎝⎛−2,21122⎪⎭⎫ ⎝⎛−1,21121)2,3(−122)0,3(122101252353(X,Y)|X −Y|结论若二维离散型随机变量的联合分布律为P(X=x i,Y=y j)=p ij,(i,j=1,2,⋯),则随机变量函数Z=g X,Y的分布律为P{Z=z k}=P{g(X,Y)=z k}=෍p ij,k=1,2,⋯.z k=g(x i,y j)两个随机变量和的分布连续型随机变量和的情况xyOzy x =+知识点3.7设(X,Y)的密度函数为f(x,y), 则Z =X +Y 的分布函数为F Z z =P Z ≤z =P X +Y ≤z=න−∞+∞න−∞z−yf x,y d x d y=x=u−yන−∞+∞න−∞zf(u −y,y)d u d y=න−∞zන−∞+∞f(u −y,y)d y d u.由此可得Z 的密度函数为f Z (z)=න−∞+∞f(z −y,y)d y.由于X 与Y 对称,则f Z (z)=න−∞+∞f(x,z −x)d x.当X,Y 独立时,f Z (z)也可表示为f Z (z)=න−∞+∞f X (z −y)f Y (y)d y或f Z (z)=න−∞+∞f X (x)f Y (z −x)dx.卷积公式解例2设两个相互独立的随机变量X 与Y 都服从标准正态分布,求Z =X +Y 的密度函数.由于f X x =12πe −x 22,−∞<x <+∞,f Y (y)=12πe −y 22,−∞<y <+∞,由公式f Z (z)=න−∞+∞f X (x)f Y (z −x)d x,得f Z (z)=න−∞+∞12πe −x 22e −(z−x)22d x =12πe−z 24න−∞+∞e−x−z 22d x=t=x−z 212πe −z 24න−∞+∞e−t 2d t=12πe −z 24.即Z 服从N(0,2)分布.P{Z =z k }=P{g(X,Y)=z k }=෍z k =g(x i ,y j )p ij ,k =1,2,⋯.1.两个离散型随机变量函数Z =g X,Y 的分布2.两个连续型随机变量和Z =X +Y 的分布f Z (z)=න−∞+∞f(z −y,y)dy =න−∞+∞f(x,z −x)dx.当X,Y 独立时,f Z (z)=න−∞+∞f X (z −y)f Y (y)dy =න−∞+∞f X (x)f Y (z −x)dx.小结。

随机变量及其分布知识点总结随机变量是数学中的一个基本概念,描述了一个随机事件的可能结果。

在概率论和统计学中,随机变量的分布是研究随机变量性质的重要工具。

本文将总结随机变量及其分布的相关知识,包括随机变量的定义、表示、分布、期望、方差等。

一、随机变量的定义随机变量是一种描述随机事件可能的变量,通常用符号 $X$ 表示。

随机变量的取值可以是离散的或连续的。

离散的随机变量只取有限或可数个取值,而连续的随机变量则取无限个取值。

二、随机变量的表示随机变量的表示通常用概率密度函数 $f_X(x)$ 或概率质量函数$g_X(x)$ 表示。

概率密度函数是描述随机变量取值分布的函数,通常用$f_X(x)$ 表示。

概率质量函数是描述随机变量离散程度的函数,通常用$g_X(x)$ 表示。

三、随机变量的分布随机变量的分布描述了随机变量取值的概率分布。

离散分布描述了随机变量只取有限或可数个取值的概率分布,连续分布描述了随机变量取无限个取值的概率分布。

1. 离散分布离散分布通常用 $P(X=x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。

离散分布的概率质量函数通常用 $g_X(x)$ 表示。

例如,正态分布的概率质量函数为:$$g_X(x) = frac{sqrt{2pi}}{x!}e^{-frac{(x-1)^2}{2}}$$2. 连续分布连续分布通常用 $P(X leq x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。

连续分布的概率质量函数通常用 $f_X(x)$ 表示。

例如,均匀分布的概率质量函数为: $$f_X(x) = begin{cases}1, & x in [0,1],0, & x in [1,2],end{cases}$$四、期望和方差随机变量的期望是随机变量的取值的总和。

离散分布的期望通常用$E(X)$ 表示,连续分布的期望通常用 $E[X]$ 表示。

期望的概率质量函数通常用$f_X(x)$ 表示。