第12章数的开方
12.1平方根与立方根（1）
知识技能目标
1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点；
2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性；
3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧；
4.以旧引新，以新带旧，从旧知识引进新知识，讲新知识时尽可能复习一些旧知识．
教学重点与难点
通过实际问题的研究，认识平方根；正确区分平方根与算术平方根的关系；会用计算器求任意正数的算术平方根.
教学过程
一、创设情境
问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？
问题2 已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长．
(学生探索，回答问题)
二、探究归纳
问题1解设正方形纸片的边长为x cm，依题意有：x2＝25，
求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长．
因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所以x＝5．
答正方形纸片的边长为5cm．
这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．
问题2解设圆的半径为R cm，依题意有：
πR2=16π，即R2=16，
求出满足R2＝16的R的值即可求出圆的半径．
因42＝16，(－4)2＝16，故满足R2＝16的R的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以数R＝4．答圆的半径为4cm．
这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16．
刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x的值．
概括如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）．三、实践应用
例1求100的平方根．
解 因为102＝100，(-10)2
＝100，除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10. 学生试一试：
(1) 144的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？ (3)
25
4
的平方根是什么？(4)－4有没有平方根？为什么？ 请学生也编三道求平方根的题目，并给出解答．与同学交流，你发现了什么？ 1．平方根的性质：
问(1) 正数的平方根是什么？． 问(2) 0的平方根是什么？ 问(3) 负数有平方根吗？为什么？ 请同学概括数的平方根的性质． 2.一个非负数a 的平方根的表示法． 3.开平方．
求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方． 例2 将下列各数开平方：(1)49， (2)1.69．
分析 开方运算就是求平方根，我们可以通过平方运算来解决．
例3 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由． (1)－64；(2)0；(3)(－4)2． 四、作业 P4 1
12.1平方根与立方根（2）
知识技能目标
1.引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示方法基础上，专门讨论算术平方根的概念及其表示方法；
2.对于a 表示的算术平方根中的a 的条件和a 的本身的意义作合理性的说明，例如：面积为
a (a ＞0)的正方形的边长为a ，从而直观形象地说明算术平方根约定的合理性；
3.针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中． 教学重点与难点
1.理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；
2.体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，进一步熟练地进行平方根与算术平方根的运算；
3.用计算器求一个非负数的算术平方根． 教学过程 一、创设情境
1.在(-5)2、-52、52中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有平方根？为什么？
2.0.49的平方根记作____＝____；
3.的正的平方根记作36
13
1
＝ ； 4.说出平方根的概念和性质． 二、探究归纳 1.算术平方根：
9的平方根是 ，9的正的平方根是 ，39=表示的意义是什么？ 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根．记作a ，读作“a 的算术平方根”． 这里应强调两点：
(1)这里的a 不仅表示开平方运算，而且表示正值的根．
(2)这里a 中有两个“正”字，即被开方数必须为正，算术平方根也是正的．
0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0．即00=．从以上可知，当a 是正数或是0时，a 表示a 的算术平方根． 例1 求100的算术平方根． 解 因为102=100，
所以100的算术平方根是10．即10100=． 例2 求下列各数的平方根和算术平方根： (1) 36 ； (2) 2.89 ； (3) 9
71
． 3
497134916971
)3(=±=±=±所以，因为． 例3 求下列各式的值：
．； ； ； ；9005
1
36.0314120
)5(432425)4(36
232
4)3(25
21
4
)2(625)1(2222--+?--±-
2.用计算器求一个非负数的算术平方根． 例4 用计算器求下列各数的算术平方根： (1) 529； (2) 1225； (3) 44.81． 三、实践应用
1.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？
2.求下列各数的平方根和算术平方根：
．
；；；
；；；0169
144
256101.040025.0121 3.求下列各式的值，并说明它们各表示的意义：
4.用计算器计算：
(1)676； (2)8784.27； (3)225.4（精确到0.01）． 四、作业 P4 3 P7 4
12.1平方根与立方根（3）
知识技能目标
1.在学习了平方根的概念的基础上学习立方根的概念，重点放在讨论立方的概念，立方根的个数的唯一性及立方根的求法；
2.在学生对数的立方根的概念及个数的唯一性有了一定的理解的基础上，提出数的立方根与数平方根的区别；
3.渗透特殊──一般──特殊的思想方法．通过特例研究等式)0(33>-=-a a a ，运用归纳的思想方法，让学生理解“一个负数的立方根是它的绝对值的立方根的相反数”，运用这一关系式求一个负数的立方根． 教学重点与难点
1.掌握立方根的概念，掌握由立方运算，求一个数的立方根的方法；
2.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别；
3.会用计算器求数的立方根． 教学过程 一、创设情境 计算下列各题：
． ， ， ，，３3333)4.0(4.00)2(2--
强调指出 上述各题都是已知一个数，求这个数的立方，即a 3＝x ．其中，已知数a 叫底数，它可为正数，也可为负数，也可是零；x 叫做a 的三次幂，同样可为正数，可为负数，也可是零．这种运算是乘方运算，是已知底数、指数，求幂的运算．
问题 现有一只体积为216 cm 3
的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？
解 设正方体纸盒的棱长为x cm ，则
2163=x ，
因为63
＝216，所以x ＝6．
答 正方体的棱长应为6 cm ．
二、探究归纳
问 这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题？从这里可以抽象出一个什么数学概念？
答 已知乘方指数和3次幂，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”．即x 3＝a ，a 是已知数，求x ．
1.立方根的概念：
如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）． 试一试
(1)27的立方根是什么？(2)－27的立方根是什么？ (3)0的立方根是什么？
请学生也编三道求立方根的题目，并给出解答． 2.立方根的表示方法： 3.开立方：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求． 三、实践应用
例1 求下列各数的立方根： (1)
27
8
； (2)-125； (3)-0.008； (4)0． 根据上述练习提问：
(1)一个正数有几个立方根？是否任何负数都有立方根？如都有，一个负数有几个立方根？0的立方根是什么？
启发学生得出立方根的性质，并通过下表与平方根的有关性质进行比较．
(2)一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？ 例2 用计算器求下列各数的立方根： (1)1331； (2)－343； (3)9.263．
分析 用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键．若被开方数为负数，“－”号的输入可以按
，也可以按
．
四、作业 P7 1.2.5
12.2实数与数轴（1）
知识技能目标
1.了解实数的意义，能对实数进行分类；
2.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数；
3.会比较两个实数的大小． 教学重点与难点
1.通过探索，使学生从数和形两方面体会到无理数可以在数轴上找到一个对应点,从而认识到实数和数轴上的点一一对应；
2.通过计算器辅助，能比较两个无理数的大小．
教学过程
一、创设情境
1.做一做：(1)用计算器求2；(2)利用平方关系验算所得结果．
这里，我们用计算器求得2=1.414213562，再用计算器计算 1.414213562的平方，结果是
1.999999999，并不是2，只是接近2．这就是说，我们求得的2的值，只是一个近似值．
2.如果用计算机计算2，结果如何呢？
阅读课本第15页的计算结果，在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，2不是有理数．那么，2是怎样的数呢？
二、探究归纳
1.回顾有理数的概念．
(1)有理数包括整数和分数；
(2)任何一个分数写成小数形式，必定是有限小数或者无限循环小数．
2.无理数的概念．
与有理数比较, 2计算结果是无限不循环小数，所以2不是有理数．类似地，35、圆周率π等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数．
无限不循环小数叫做无理数
有理数和无理数统称为实数
三、实践应用
1.试一试：你能在数轴上找到表示2的点吗？
如图，将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为2．
这就是说，边长为1的正方形的对角线长是2，利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示2的点，如图所示：
例1试估计3+2与π的大小关系．
提问：若将本题改为“试估计－(3+2)与－π的大小关系” ，如何解答?
例2 如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗?如果再将所有的无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗? 四、作业 P11 1.2.3
12.2实数与数轴（2）
知识技能目标
1.了解有理数的相反数和绝对值等概念、运算法则和运算律在实数范围内仍然适用；
2.能利用运算法则进行简单运算． 教学重点与难点
有理数中的相反数、倒数和绝对值等概念与运算法则和运算律在实数范围内仍成立，让学生体会到这是一种知识的迁移． 教学过程 一、创设情境 1.复习提问：
(1)用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律． (2)用字母表示有理数的加法交换律和结合律． (3)平方差公式？完全平方公式？
(4)有理数的相反数是什么？不为0的数的倒数是什么？有理数的绝对值等于什么？ 二、探究归纳
在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用． 三、实践应用 例1 计算：
23322
--π
（结果精确到0.01）．
解 用计算器求得2332-≈－0.778539072, 于是2332-≈0.778539072, 所以
23322
--π
≈1.570796327－0.778539072
＝0.792257255 四作业
1.借助计算器计算下列各题：
(1)211-； (2)22111 1-；
(3)222111 111-； (4)222 2111 111 11-
. 仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律？你能解释这一规律吗？与同学交流一下想法．并用所发现的规律直接写出下面的结果：
13.1.1同底数幂的乘法
教学目标： 知识与技能目标：
1、巩固同底数幂的乘法法则，学生能灵活地运用法则进行计算;
2、了解同底数幂乘法运算性质，并能解决一些实际问题;
3、能根据同底数幂的乘法性质进行运算（指数指数字） 过程与分析目标：
1、经历探索同底数幂的乘法运算的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力;
2、在了解同底数幂的乘法运算的意义的基础上，“发现” 同底数幂的乘法性质，培养学生观察、概括和抽象的能力;
3、能用字母式子和文字语言表达这一性质，知道它适用于三个和三个以上的同底数幂相乘. 情感与态度目标：在推导“性质”的过程中，培养学生观察、概括与抽象的能力. 教学重点： 熟悉同底数幂的乘法性质、幂的意义和乘法运算律等内容
教学难点：区分幂的意义与乘法的意义，发展学生的推理能力和有条理的表达能力. 教学过程：
一、创设情境，激发兴趣
某地区在退耕还林期间，有一块长m 米，宽a 米的长方形林区增长了n 米，加宽了b 米，用不同的方法表示这块林区现在的面积便可以得到一个等式
（m+n ）(a+b)=ma+mb+na+nb
提出问题：
1、扩大后的林区面积是多少？
2、你知道上面的等式蕴含着什么样的运算法则吗？ 教师活动：操作投影仪，引导，启发. 学生活动：观察，主动探索，回答.
教学方法和媒体：投影显示创设情境，讨论，交流. 二、回顾
1、什么叫做乘方？
2、n
a 表示的意义是什么？ 三、计算观察，探索规律
做一做：（1）4
3
22?=（2×2×2）×（2×2×2×2）=()
2
（2）4
355?= _______________ =()
5 （3）5
3a a ?= ______________ =()
a
提出问题：（1）这几道题目有什么共同特点？
（2）请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？ 教师活动：提出问题，引导规律. 学生活动：书面练习，讨论，探究，回答.
教学方法与媒体：投影显示：“做一做”的题目，合作交流.
即：同底数幂相乘，通过利乘方的意义推导出：底数不变，指数相加，概括出幂的第一个运算法则. （可让学生自行概括） 四、举例应用. 例1：计算：
（1）103
×104
； （2）a ? a
3
（3）a ? a 3?a
5
（4） 2
2x x x +?(补充)
思路点拨：
（1）计算结果可以用幂的形式表示. 如7
4
3
101010=?，但是如果计算较简单也可以计算出得数.
（2）注意a 是a 的一次方，提醒学生不要漏掉这个指数1，2
2
x x +得22
x ，提醒学生应该用合并同类项.
五、随堂练习 ，巩固新知 课本P19页练习 1、2. 教师活动：引导、巡视. 学生活动：自主合作学习. 教学方法：合作交流，自主探究.
六、作业布置 课本第23页习题13.1第1题.
13.1.2幂的乘方
教学目标：
知识与技能目标：使学生掌握幂的乘方法则，并能运用式子表示.
过程与分析目标：经历自主探索、让学生明确幂的乘方法则是依据乘方的意义和同底数幂的乘法法则推导而来的，学会运用法则进行幂的乘方运算.
情感态度与价值观：培养学生数学符号感，和勇于建构的精神. 教学重点：
重点：幂的乘方法则的应用 教学难点：
幂的乘方与同底数幂的乘法运算性质区别，发展推理能力和有条理的表达能力. 关键是利用教材内容安排的特点，把幂的乘方的学习与同底数幂的乘法紧密结合起来. 教学过程： 一、回顾
1、什么叫做乘方？什么叫幂？
2、口述幂的乘法法则. 二、计算观察，探索规律
做一做：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空： （1）（23）2＝23×23＝2（ ）； （2）（32）3＝32×32×32＝3（ ）； （3）（a 3）4＝a 3? a 3? a 3? a 3＝a （ ）； 提出问题：
（1）同学们通过上述这几道题的计算 ？观察一下，这几道题目有什么共同特点？ （2）请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？
教师活动：组织学生进行思考与交流，让学生通过讨论、争议、探求出规律. 学生活动：书合作学习. 教学方法：合作探究
()
6232
3222==?，()
==?323
2
3362，()
12434
3
a a a ==?.
提出问题：根据上述的探索所得的规律，完成下面的填空：()n
m a =()a
概括：
（a m ）n ＝
个
）（n m
m m a a a ???????＝a 个
＋＋＋n m
...m m =a
mn
有()
mn n
m
a a =（m 、n 为正整数）
教师活动：提出问题，引导、启发. 学生活动：自主探索、讨论、回答. 教学方法：合作交流.
三、举例应用：
例2 计算：（1）（103）5 ；（2）（b 3）4 解：（1）（103）5＝103×5＝1015 （2）（b 3）4＝b 3×4＝b 12
四、随堂练习，巩固新知
1、P74练习1、2题.
2、补充练习：()
103
2
22x x x x +??-
五、作业布置：P23 习题13.1 第2、3题.
13.1.3 积的乘方
教学目标：
知识与技能目标：理解掌握和运用积的乘方法则.
过程与分析目标：经历探索积的乘方运算法则的过程，明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得来的. 理解积的乘方的运算法则，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力.
情感态度价值观：培养学生类比思想，通过对三个幂的运算法则的选择和区别达到领悟的目的，同时体会数学的应用价值.
教学重点： 积的乘方法则的理解与应用 . 教学难点：
弄清幂的运算的根据，避免各种不同运算法则的混淆. 突出幂的运算法则的基础性，注意区别与联系.
教学过程：
一、 回顾与思考
1、 口述同底数幂的运算法则.
2、 口述幂的乘方运算法则.
3、
计算： （1） ()3
4
x (2) a 2
a
? (3) 3
4x x ?
二、计算观察，探索规律
做一做：（1）()2
ab =(ab)·(ab)=(aa)·(bb)=()()
b
a
(2) ()3
ab = = =()()
b
a
(3) ()4
ab = = =()()
b
a
提出问题：（1）同学们通过上述这几道题的计算 、观察一下，你能得到什么规律？（2）如果设n 为正整数，将上述的指数改成n 即：()n
ab ,其结果是什么呢？
教师活动：提出问题，引导，启发. 学生活动：计算、观察、讨论、回答.
教学方法与媒体：投影显示问题，学生自主探索，讨论交流. 三、举例应用 例3 计算： （1）（2b ）3； （2）（2×a 3）2 （3）（－a ）3；
（4）（－3x ）4
解：
（1）（2b ）3＝23b 3＝8b 3； （2）（2×a 3）2＝22×（a 3）2＝4×a 6 （3）（－a ）3＝（－1）3?a 3＝－a 3 （4）（－3x ）4＝（－3）4 ? x 4＝81 x 4 教师活动：组织、讲例、提问
学生要求：口答、板演. 教学方法：讲议结合，讨论交流.
四、随堂练习，巩固提高：P75页 练习1、2题. 教师活动：巡视、关注中等水平学生和中下水平学生.
五、全课小结,提高认识
积的乘方（ab ）n ＝ a n b n （n 为正整数），使用范围：底数是积的乘方. 方法：把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
六、作业 P23页 习题 13.1 第4、5题.
13.1.4幂的运算巩固练习
教学目标：
知识与技能目标：使学生对同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方有一个正确的理解，注意它们的区别.
过程与分析目标：经历自主、合作探索、获得幂的运算的各种感性的认识，百而在理性上获得运算法则.
情感与态度目标：培养学生主动建构、辩析是非的能力，同时形成一定的思维批判性. 教学重点：
教学中应把这三个运算法则探索过程作为重点. 教学难点：
正确使用这三个幂的运算法则. 教学关键：
对三个幂的运算法则的理解和区分. 教学过程： 一、回顾
4、 口述幂的三个运算法则：
5、 这三个幂的运算法则有什么联系和区别？ 二、参与其中，主动探究 例1：计算－2
x ·()2
x -·()3
2
x -－210
x
解：略
例2：下列计算错在哪里？并加以改正：
（1）()2
xy =x 2y (2) ()43xy =124
4y x
(3) (
)
2
37x
-=－492
x (4) 3
27??
?
??-x =－2243-3x （5） 4
5
x x ?=20
x （6） ()
52
3x x =
例3 计算()()3
23
2
23y x y x ?
解法一：(
)()3
23
2
2
3y x y x ? 解法二：()()3
23
2
23
y x y x ?
=6
946y x y x ? =()
3
223+y x
=649
6++y x
=()
5
32y x
=10
15
y x =10
15
y x 三、随堂练习 计算： 1、3
3
+?n x x 2、n 32·1
33
+n
3、()
n
m
a 2- 4、()[]3
2
a -
5、3
245??
?
??-y x 6、()
n
c ab 23
2-
7、()
[
]()[]()
n
n
n y x y x y x 532
-+-?-
四 、全课小结
正确理解和掌握幂的运算法则，熟练掌握计算方法，注意观察算式的特征. 五、作业布置：课时作业优化设计.
13.1.5同底数幂的除法
教学目标：
知识与技能目标：理解同底数幂的除法法则，并能应用.
过程与分析目标：经历探索同底数幂的除法运算的过程，进一步体会幂的意义，学会简单的整式除法运算.
情感与态度目标：培养有条理的思考表达能力，体会同底数幂的除法法则的算理，体会数学内涵与价值.
教学重点： 掌握同底数幂的除法法则 教学难点： 理解同底数幂的除法法则
教学过程：
一、回顾交流，迁移知识
1.教师提问：前面我们学过了哪些幂的运算法则呢？（提问一位学生） 学生回答： （1）n
m n m a
a a +=? (2) ()
mn n
m
a a =
（3）()m
m m
b a ab =(m 、n 均为正整数)
问题思考：一种数码照片的文件大小是8
2 k ，一个存储量为62M(1M=10
2K)的移动存储
器能够存储多少这样的数码相片？
这个存储器的容量为62×102=162K,它能在顾储这种数码相片的数量为162÷82,怎样计算162÷82呢？
思路点拨：根据除法是乘法的逆运算.
教师活动：引导学生思考，关注学生的思维方法，鼓励和请一些学生发表自己的看法. 学生活动：小组合作，分析，根据除法是乘法的逆运算，求解，或由乘方的意义切入. 同学之间互相交流，形成共识 继续探究.
问题提出：根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律： （1）()
5553
5
=÷ （2）()
1010103
7
=÷ （3）()
a
a a =÷36
学生活动：在完成前面的问题探究以后，有了感情认识，然后再进行填空，加深理解寻找规律.
教师活动：在学生自探究的基础上，进一步进行归纳. 2.形成法则
同底数幂的除法法则：
(1) 字母表示：n
m n
m
a
a a -=?（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n ）
(2) 文字叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减. 二、范例学习 1、例4，计算
（1）3
8a a ÷ (2) ()()3
10
a a -÷- (3) ()()4
7
22a a ÷
教师活动：启发引导学生完成例4（让学生上台演示），教师再归纳总结运算方法. 学生活动：先独立完成例4，再从中小结出运算法则的方法，踊跃上台. 2、问题探究：
（1）分别根据除法的意义填空，你能得出什么结论？ ① 2
2
33÷=（ ） ② 2
21111÷=（ ） ③ =÷m
m
a
a ( )
学生活动：完成探究，从中小结出规律. 教师归纳：任何不等于0的数的0次幂都等于1. 教师活动： 请你完成下面题目：
(1) x 为何值时，()0
1-x =1？
(2) x 为何值时，()0
13-x =1？
学生活动：通过分析可知（1）x-1≠0 x=1 ， （2） 3x-1≠0 x ≠1/3 三、随堂练习
1.课堂练习P23第1、2题
2.探究时空
一种液体每升含有12
10个有害细胞，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行实验，发现1滴菌剂可以杀死8
10此种细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，要这种杀菌剂多少滴？你是怎么计算的？
四、课堂总结：
1、同底数幂的除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减，10
=a （a ≠0）
（1）使用范围：两个幂的底数相同，且是相除关系，被除式的指数大于或等于除式的指数. （2）使用方法：商中幂的底数不变，指数相减；当幂的指数相等时，商等于1. 2、注意的问题：
（1）性质对于三个或三个以上的同底数幂相除仍然成立.
（2）幂的底数和指数可以是具体数，也可以是整式（均不等于零） 五、布置作业
1、课本P23页习题13.1第6，7，8题
2、选用课时优化作业设计.
13.2.1 单项式与单项式相乘
教学目标：
知识与技能目标：能正确区别各单项式中的系数，同底数的不同底幂的因式，学会运用单项式与单项式乘法运算规律，总结法则.
情感与态度目标：经历探索单项式乘法法则的探索，理解单项式乘法中，系数与指数不同计算方法，正确应用单项乘法步聚进行计算，能熟练地进行单项式与单项式相乘和含有加减混合运算.
情感态度与价值观：培养学生自主、探究、类比、联想的思想，体会单项式相乘的运算规律，认识数学思维的严密性.
教学重点：
对单项式运算法则的理解和应用 教学难点：
尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律. 教学过程： 一、回顾与思考
1.口述幂的运算的三个法则.
2.幂的运算的三个法则的区别与联系.
3.提问：（1）22
3a a
n ?+= ;(2) ()
m
a 32
= ;(3) ()3
323n
b a -=
二、计算观察，探索规律
计算：（1）5
352x x ? （2）(
)
z xy y x 2
5
2
23-?
教师活动：操作投影仪，启发引导. 学生活动：主动探索，逐步认识.
5352x x ?=（2×5）（2x ·3x ）=105x
()
z xy y x 25223-?=[（3×（－2）（2x ·x ）·（5y ·2y ）·z=－6z y x 73
通过两式计算，可以引导学生归纳出：
1、 系数相乘作为积的系数.
2、 相同字母的因式，应用同底数幂的运算法则，底数不变，指数相乘.
3、 只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式.
4、 单项式与单项式的积仍是单项式. 三、举例应用
例1 计算：
（1）3x 2y ? （－2xy 3）；（2）（－5a 2b 3）? （－4b 2c ） 解：（1）3x 2y ? (-2xy 3)
= [3 ? (-2)] ? （x 2 ? x ）? （y ? y 3） ＝ －6x 3y 4
（2）（－5a 2b 3）? （－4b 2c ） ＝[（－5）? (－4)] ? a 2? （b 3 ? b 2）? c
＝20a 2b 5c
例2：卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×103米/秒，则卫星运 行3×102秒所走的路程约是多少？ 解： 7.9×103×3×102＝23.7×105＝2.37×106
答：卫星运行3×102秒所走的路程约是2.37×106米. 四、创设问题情境加深理解
问题讨论：1、a ·a 可以看作是边长为a 的正方形的面积，则a ·ab 又怎样理解呢？ 2、想一想，你会说明a ·b ，3a ·2a,以及3a ·5ab 的几何意义吗？ 教师活动：操作媒体，投影仪，提问.
学生活动：观察、讨论、回答. 五、随堂练习 P25 练习1、2、3. 六、全课小结，提高认识
1.本节内容是单项式乘以单项式，重点是放在对运算法则的理解和应用上，请问：你能归纳出单项式乘以单项式的运算法则吗？
2、在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意什么？
七、作业：P28页 习题 13.2 1、2题.
13.2.2 单项式与多项式相乘
教学目标：
知识与技能目标：使学生能按步骤进行简单的单项式与多项式相乘的运算.
过程与分析目标：经历探究单项与多项式相乘的方法，体验单项式与多项式的乘法运算规律，总结运算法则，认识到单项式与多项式相乘，结果仍是多项式，积的项数与因式中多项式的项数相同.
情感与态度目标：培养学生合作交流的思想，体验单项式与多项式相乘的内涵 教学重点：
掌握单项式与多项式的运算方法 教学难点：
对单项式乘以多项式法则的理解和领会 教学过程： 一、情境导入
1.教师引导学业生复习单项式×单项式法则.
整式的乘法实际上就是: 单项式×单项式; 单项式×多项式; 多项式×多项式.
前面我们已经学过单项式乘以单项式，今天我们来学习单项式×多项式 2、口述下列各题
（1）（－5x ）·（32
x ） （2）（－3x ）·（－x ） （3）
23231xy xy ? （4）－5m ·（－mn 3
1
） 3、什么叫多项式
教师活动：操作投影，提出问题 学生活动：思考、回答
教学方法和媒体：投影显示口答题互动交流. 二、计算观察，探索规律
1、 做一做
（1）
()
b a a 53222-? （2） m （a ＋b ＋
c ）
教师活动：操作投影，提出问题 学生活动：计算观察 三、例题讲解： 例：计算 (
)()
32
2
532ab ab
a
-?-
补充例题：－3()
2222
1031xy y x x y xy x -?-??
?
??-? 本题化简，实际上就是做完乘法后，再合并同类项. 四、课堂练习：课本P26练习第1，2题 五、全课小结，提高认识
1、单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
2、单项式与多项式相乘，应注意（1）“不漏乘”；（2）注意“符号”.
五、作业布置
教材28页习题13.2中第3、4、5题.
13.2.3 多项式与多项式相乘
教学目标：
知识与技能目标：理解并掌握多项式乘以多项式的法则.
过程与分析目标：经历探索多项式与多项式相乘的过程，通过导图，理解多项与多项式的结果，能够按多项式乘法步骤进行简单的多项式乘法的运算，达到熟练进行多项式的乘法运算的目的.
情感与态度目标：培养数学感知，体验数学在实际应用中的价值，树立良好的学习态度.
教学重点：
多项式乘以多项式法则的形成过程以及理解和应用
教学难点：
多项式乘以多项式法则正确使用
教学过程：
一、情境导入
1.教师引导学业生复习单项式×多项式运算法则.
整式的乘法实际上就是
单项式×单项式
单项式×多项式
多项式×多项式
本章导图问题：某地区在退耕还林期间，有一块原长为m米，宽为a米的长方形林区增长了n 米，加宽了b米，请你表示这块林区现在的面积.组织讨论：如图，计算此长方形的面积有几种方法？
如何计算？小组讨论，你从计算中发现了什么？
由于（m＋n）（a＋b）和（ma＋mb＋na＋nb）表示同一个量，
故有（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb
二、探索法则与应用.
根据乘法分配律，我们也能得到下面等式：
（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb
在学生发言的基础上，教师总结多项式与多项式的乘法法则并板书法则.
让学生体会法则的理论依据：乘法对加法的分配律.
多项式乘以多项式先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
三、例题讲解巩固练习
例4 计算
（1）（x+2）(x+3) （2）（3x－1）（2x＋1）
例5计算：
（1）（x－3y）（x＋7y）（2）（2x＋5y）（3x-y）
教师活动：讲解范例，提出问题
学生活动：参与例题的解答、探索、理解.
四、课堂练习：P28页第1、2题
五、课堂总结
多项式与多项式相乘，应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项相乘结果，利用乘法分配律来理解（m ＋n ）（a ＋b ）相乘的结果，导出多项式乘法的法则
六、作业布置 教材28页习题13.2中第6、7题.
13.2.4 整式的乘法巩固练习
教学目标： 知识与技能目标：
使学生对本节包含的三部分单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的法则有一个较好的领悟 过程与方法目标：
让学生在实践、探索与讨论中建构知识体系，熟练运用它们进行计算，感知知识形成过程中的依据，正确运用法则. 情感与态度目标：
形成良好的合作意识，和积极地探究意识，感受整式乘法的法则，形成数感 教学重点： 对整式乘法的法则的理解和应用 教学难点： 正确地应用法则进行计算
教学过程： 一、 回顾
1、 口述单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的法则.
2、 应用这些法则应注意些什么？ 二、 参与其中主动探究
例1 计算 (
)
3
223
32313??
?
??-?-bc a b a 解：略
例2 计算 ()
y xy xy xy ???
?
??-??? ??--2
22331913
解：略 例3 计算 ()()
222433112421x x x x x x -??
?
??-+--??? ?? 解：略
例4：计算[xy （1－x ）－2x （y －2
1）]·()2
32y x - 解：略
例5：计算 2
2x －（x －1）（2x ＋1）－3（x ＋1）（x －1） 解：略 三、课堂总结
1、幂的运算法则是习整式乘法的基础，运用多项乘法法则进行多项式乘法的关键是熟练地进行单项式乘法.
2、注意知识发生的过程，从知识发生的过程中理解并切实掌握性质，注意“转化”的思想与方法.
四、作业布置
（1）（4m －7n ）（5m －8n ）；
（2）（x －5）（x ＋3）－（x －1）（x ＋2）－2（x －3）（x ＋5）； （3）（x ＋3）（x ＋4）－x （x －1）－6； （4）??? ??+???
??-y x y x 2345234
5
；
（5）??
? ??+??? ??--
y x y x 2.0612.061. 13.3.1 两数和乘以它们的差
教学目标： 知识与技能目标：
1．学生掌握两数和乘以它们的差公式，会推导两数和乘以它们的差公式，并能运用公式进行简单的计算.
2．了解两数和乘以它们的差公式的几何背景. 过程与分析目标：
经历探究两数和乘以及两数的差的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法辩证思想，掌握两数和乘以这两数的差的公式结构特征，并能正确应用. 情感与态度目标：
形成自主、探究意识，树立良好的学风，体验知识的严密性，发展数感. 教学重点：
对两数和乘以它们的差公式的理解，掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，熟练运用两数和乘以它们的差公式进行简单计算. 教学难点：
理解两数和乘以它们的差公式的几何意义及特点，理解公式中字母的广泛含义，代数推理能力的培养. 教学过程：
一、 创设情境 教师活动：提出问题
（1）(a ＋b)(a －b); （2）（x ＋3）(x －3) 并思考下列问题：
1、 等式左边的两个多项式有什么特点？
2、 等式右边的多项式有什么规律？
3、 你能用上面的规律直接计算下列各式吗？ （1）(a ＋2)(a －2) （2）(3a ＋1)(3a －1)
4、 你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？
5、 你有什么不清楚的问题想问老师吗？
第十一章 数的开方 11.1平方根与立方根（1） 【教学目标】：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某些数的平方根。 【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。 难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】： 一、 提出问题，创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm 2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2、已知圆的面积是16πcm 2，求圆的半径长。 要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、 自学提纲： 1、 你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？ 2、 看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？ 3、 25的平方根只有5吗？为什么？ 4、 会求110的平方根吗？试一试 5、 －4有平方根吗？为什么？ 6、 想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 7、 根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 8、 什么叫开平方？ 三、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果，老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。 ② 概括：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 如52＝25，（－5）2＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③ 根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a （a ≥0）的平方根的运算，叫做开平方。 四、 知识应用 1、 求下列各数的平方根 ① 49 ②1.69 ③81 16 ④（－0.2）2 2、 将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③（－ 5 3）2 五、 测评 1、 说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③125 4 2、 求未知数x 的值 ①（3x ）2＝16 ②（2x -1）2=9 六、 小结：
八年级上册知识点 第11章 数的平方 11.1平方根与立方根 一、平方根的概念 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 二、平方根的性质 1. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 2. 0有一个平方根，就是它本身。 3. 负数没有平方根。 三、算术平方根 正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作，读作“根号a ”；另一个平方根是它的相反数，即-。因此，正数a 的平方根可以记作±，其中a 称为被开方数。 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 四、平方根与算术平方根的区别与联系 1. 概念不同； 2. 表示方法不同； 3. 个数及取值不同。 五、开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。 六、立方根 1. 概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根。 2. 性质：任何数（正数、负数和0）的立方根只有一个。 3. 表示：数a 的立方根，记作，读作“三次根号a ”。其中a 称为被开方数，3是根指 数。 4. 一个正数只有一个正的立方根，一个负数只有一个负的立方根，0的立方根是0。 七、开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 11.2实数 一、无理数 1. 无线不循环小数叫做无理数。 2. 无理数与有理数的区别 （1）有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。 （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 二、实数及其分类 1. 实数的概念 有理数和无理数统称为实数，即实数包括有理数和无理数。 a a a 3a
2. 实数的分类 （1）按概念分类 正整数 整数 0 有理数 负整数 正分数 分数 实数 负分数 正有理数 无理数 负有理数 （2）按正负分类 正整数 正有理数 正实数 正分数 正无理数 实数 0 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数 三、实数与数轴上点的关系 实数与数轴上的点意义对应。 四、实数的有关概念 1.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 ?? ???<-=>=0,0,00,a a a a a a 2.一个数的绝对值是非负数，即a≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零．两个相反数的绝对值相等． 第12章 整式的乘除 12.1幂的运算 12.1.1同底数幂的乘法
第17章 分式 §17.1.1 分式的概念 教学目标： 1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。 教学重点： 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点： 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 教学过程： 一、做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括： 形如 B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式，分式. 三、例题： 例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） x 1； （2）2 x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -. 解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式a S 中，a ≠0；在分式n m -9中，m ≠n. 例2 当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1） 11－x ； （2）3 22 +-x x . 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1. 所以，当x ≠1时，分式 1 1 －x 有意义. （2）分母23+x ≠0，即x ≠-2 3 . 所以，当x ≠-23时，分式3 22 +-x x 有意义. 四、练习： P5习题17.1第3题（1）（3） 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 2 38y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 4522--x x x x 235-+2 3+x
初二(上)数学期末测试题（华东师大版） (满分100分 考试时间100分钟) 一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分, 满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。） 1. 以下四家银行行标中，不是旋转对称图形的有 （ ） 2. 如图1所给的4个正方形网格图形中，黑色部分只用．．平移可以得到的有（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 64的平方根是（ ） A. 4 B. 4± C. 8 D. 8± 4. 8a 可以写成（ ） A. 44a a + B. a 4·a 2 C. 62 ()a - D. (-a)7·(-a) 5. 下列计算正确的是（ ）. A. ()()2555a a a +-=- B. () 2222x x x x +÷=+ C. ()2 222a b a ab b +=-+ D. ()()2 2 a b b a b a ---=- 6. 若2 6(3)(2)x kx x x +-=+-，则k 的值为（ ） A. 2 B. –2 C. 1 D. –1 7. 下列四边形中，两条对角线不一定相等的是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形 8. 已知ΔABC 的三边分别是3,4,5cm cm cm ,则ΔABC 的面积是( )2 cm A. 6 B. 7.5 C. 10 D. 12 9. 如图2，在菱形ABCD 中，6cm,8cm AC BD ==，则菱形AB 边上的高CE 的长是（ ） A. 24 5 cm B. 48 5 cm C. 5cm D. 10cm
第十六章分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：，，，. 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间 小时，所以=. 3. 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点 和不同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x的取值范围. [提问]如果题目为：当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m为何值时，分式的值为0？ （1）（2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1
六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ， 2. 当x取何值时，下列分式有意义？ （1）（2）（3） 3. 当x为何值时，分式的值为0？ （1）（2） (3) 七、课后练习 1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件个，做80个零件需小时. （2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时. (3)x与y的差于4的商是 . 2．当x取何值时，分式无意义？ 3. 当x为何值时，分式的值为0？ 八、答案： 六、1.整式：9x+4, , 分式： , ， 2．(1）x≠-2 （2）x≠ （3）x≠±2 3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1 七、1．18x, ,a+b, ,; 整式：8x, a+b, ; 分式：, 2． X = 3. x=-1 课后反思：
八年级数学上册复习提纲 第11章数的开方 §11.1平方根与立方根 一、平方根 1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根） 即：若x2=a，则x叫做a的平方根。 2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。 二、算术平方根 1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a ≥0。 三、平方根和算术平方根是记号：平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a） 即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。 其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。 四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。 五、立方根 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根） 即：若x3=a，则x叫做a的立方根。 2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。 3、立方根的记号：3a（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。 3a中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。 六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。 七、注意事项： 1、“±a”、“a”、“3a”的实质意义：“±a”→问：哪个数的平方是a；“a”→问：哪个非负数的平方是a；“3a”→问：哪个数的立方是a。 2、注意a和3a中的a的取值范围的应用。 如：若3 x有意义，则x取值范围是。（∵x-3≥0，∴x≥3）
第11章数的开方 11.1平方根与立方根（1） 【教学目标】：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某些数的平方根。 【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。 难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】： 一、提出问题，创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2、已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长。 要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、自学提纲： 1、你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？ 2、看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？ 3、25的平方根只有5吗？为什么？ 4、会求110的平方根吗？试一试 5、－4有平方根吗？为什么？ 6、想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 7、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 8、什么叫开平方？ 三、能力、知识、提高
同学们展示自学结果，老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。 ② 概括：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 如52＝25，（－5）2＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③ 根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a （a ≥0）的平方根的运算，叫做开平方。 四、 知识应用 1、求下列各数的平方根 ① 49 ②1.69 ③81 16 ④（－0.2）2 2、将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③（－5 3 ）2 五、 测评 1、说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③125 4 2、求未知数x 的值 ①（3x ）2＝16 ②（2x -1）2=9 六、 小结： 1、什么叫做平方根？ 2、一个正数的平方根有几个？零的平根有几个？负数的平方根呢？
第17章 分式 §17.1.1 分式的概念 教学目标： 1、知识与技能：经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 的意义。 2、过程与方法：使学生能正确地判断一个代数式是否是分式，能通过回忆 分数的意义，类比地探索分式的意义。 3、情感态度与价值观：渗透数学中的类比，分类等数学思想。 教学重点： 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点： 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 教学过程： 一、做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括： 形如B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的 分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式， 分式. 三、例题： 例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） x 1； （2）2 x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -. 解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式a S 中，a ≠0；在分式n m -9中，m ≠n. 例2 当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）11－x ； （2）3 22 +-x x . 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1. 所以，当x ≠1时，分式1 1 －x 有意义. （2）分母23+x ≠0，即x ≠-2 3 . 所以，当x ≠-23时，分式3 22 +-x x 有意义. 四、练习：
2013年华师大版八年级数学下册教案(全册) 四川省射洪中学八年级数学下册教案华师大版第17章分式 §com 分式的概念 教学目标 1经历实际问题的解决过程从中认识分式并能概括分式 2使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3能通过回忆分数的意义类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件渗透数学中的类比分类等数学思想 教学重点 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件 教学难点 能通过回忆分数的意义探索分式的意义 教学过程 一做一做 1面积为2平方米的长方形一边长3米则它的另一边长为_____米 2面积为S平方米的长方形一边长a米则它的另一边长为________米 3一箱苹果售价p元总重m千克箱重n千克则每千克苹果的售价是___元二概括 形如 AB是整式且B中含有字母B≠0 的式子叫做分式其中A叫做分式的分
子B叫做分式的分母 整式和分式统称有理式即有理式整式分式 三例题 下列各有理式中哪些是整式哪些是分式 1 2 3 4 解属于整式的有24属于分式的有13 注意在分式中分母的值不能是零如果分母的值是零则分式没有意义例如在分式中a≠0在分式中m≠n 当取什么值时下列分式有意义 1 2 分析要使分式有意义必须且只须分母不等于零 解 1分母≠0即≠1 所以当≠1时分式有意义 2分母2≠0即≠- 所以当≠-时分式有意义 四练习 P5习题171第3题13 1．判断下列各式哪些是整式哪些是分式 9x4 2 当x取何值时下列分式有意义 1 2 3 3 当x为何值时分式的值为0
1 2 3 五小结 什么是分式什么是有理式 六作业 P5习题171第12题第3题24 七教学反思 §com 分式的基本性质 教学目标 1掌握分式的基本性质掌握分式约分方法熟练进行约分并了解最简分式的意义 2使学生理解分式通分的意义掌握分式通分的方法及步骤 教学重点 让学生知道约分通分的依据和作用学会分式约分与通分的方法 教学难点 1分子分母是多项式的分式约分 2几个分式最简公分母的确定 教学过程httpx kb1com 1分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变 用式子表示是 其中M是不等于零的整式 与分数类似根据分式的基本性质可以对分式进行约分和通分
第12章数的开方 12.1平方根与立方根（1） 知识技能目标 1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点； 2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性； 3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧； 4.以旧引新，以新带旧，从旧知识引进新知识，讲新知识时尽可能复习一些旧知识． 教学重点与难点 通过实际问题的研究，认识平方根；正确区分平方根与算术平方根的关系；会用计算器求任意正数的算术平方根. 教学过程 一、创设情境 问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2 已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长． (学生探索，回答问题) 二、探究归纳 问题1解设正方形纸片的边长为x cm，依题意有：x2＝25， 求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长． 因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所以x＝5． 答正方形纸片的边长为5cm． 这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25． 问题2解设圆的半径为R cm，依题意有： πR2=16π，即R2=16， 求出满足R2＝16的R的值即可求出圆的半径． 因42＝16，(－4)2＝16，故满足R2＝16的R的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以数R＝4．答圆的半径为4cm． 这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16． 刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x的值． 概括如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）．三、实践应用 例1求100的平方根．
和苑学习吧（初二数学下4） 一、函数概念：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，我们就说x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．（唯一性，同二元一次方程的区别） 1、下列解析式中，不属于函数关系的式子是（ ） A 、y=1-x (x ≥1) B 、 y=-1-x (x ≥1) C 、y=1-x (x 《1) D 、 y=±1-x (x ≥1) 2、在C=R π2的圆周长公式中， 是常量， 是变量， 是自变量。 二、自变量的取值范围：（1）分母不为零。（2）偶次方根被开方数大于或等于零。（4）零指数幂底数不为零。（3）应用问题里的实际情况。 3、函数3-=x y 中自变量x 的取值范围是 。函数1 32--=x x y 自变量的取值范围 为： ；函数0)2(1-+=x x y 中自变量x 的取值范围是 。 三、函数解析式：（利用列方程的思想找到相等关系，在整理成函数形式y=..........，最后根据自变量取值范围的方法找出自变量的取值范围） 4、某公司现年产量为100万件，计划以后每年增加2万件，则年产量y （万件）与年数（x ）的函数关系式是 ； 5、某文具店出售书包和文具盒，书包每个定价30元，文具盒每个定价5元，该店制定了两种优惠方案：（1）买一个书包赠送一个文具盒子；（2）全部总价九折付款。某班须购8个书包，文具盒若干（不少于8个），设购买文具盒数为x （个），付款为y （元） （1）分别求出两种优惠方案中，y 与x 之间的函数关系式： （2）若购买文具盒60个，两种方案中哪一种更省钱？ 四、直角坐标系中的点的特点： （1）点),(y x P 在第一象限，则0,0>>y x ，即),(++。 （2）点),(y x P 在第二象限，则0,0>
第十一章数的开方 11.1平方根与立方根（1） 【教学目标】：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某些数的平方根。 【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。 难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】： 一、提出问题，创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2、已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长。 要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、自学提纲： 1、你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？ 2、看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？ 3、25的平方根只有5吗？为什么？ 4、会求110的平方根吗？试一试 5、－4有平方根吗？为什么？ 6、想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 7、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 8、什么叫开平方？ 三、能力、知识、提高 同学们展示自学结果，老师点拔 ①情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。 ②概括：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。 如52＝25，（－5）2＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。 ⑤0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 ⑦求一个数a（a≥0）的平方根的运算，叫做开平方。 四、知识应用 1、求下列各数的平方根 ①49 ②1.69 ③④（－0.2）2 2、将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③（－）2 五、测评 1、说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③ 2、求未知数x的值 ①（3x）2＝16 ②（2x -1）2=9 六、小结： 1、什么叫做平方根？ 2、一个正数的平方根有几个？零的平根有几个？负数的平方根呢？ 3、平方和开平方运算有什么区别和联系？ 区别：①平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂。而在开平方运算中，已知的是指数和幂，求的是底。 ②平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的，在开平方运算中，开方的数的结果不一定是唯一的。 联系：二者互为逆运算。 七、布置作业 1、P第1题 2、（选做）已知：x是49的平方根，y是1的平方根，求： ①2x+1 ②(x+y)2 11.1 平方根与立方根（2） 【教学目标】：1、引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根概念的意义和平方根的表示方法基础上，讨论算术平方根的概念及其表示方法。 2、会用计算器求一个非负数的算术平方根 【教学重、难点】：重点：了解数的算术平方根的概念，会用“”表示一个数的平方根和算术平方根。 难点：对的理解。特别是a的取值的理解。 【教具应用】：教师：计算器、小黑板 学生：计算器 【教学过程】：
八年级华师大版数学（下）分式第16章 16.1分式及基本性质§一、分式的概念A中含有字母，那么式子B、B表示两个整式，并且1、分式的定义：如果A B叫做分式。 2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：）分式是两个整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分数线（1）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式（2起除号和括号的作用；）分母不能为零。3的分母一定要含有字母才是分式；（、分式有意义、无意义的条件3 ；（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0 。（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0 4、分式的值为0的条件：A的条。即，使=00当分式的分子等于，而分母不等于0时，分式的值为0B A=0，B≠0。件是：、有理式5 整式和分式统称为有理式。整式分为单项式和多项式。?式单项?整式??分类：有理式项项多????分式??? 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。二、分式的基本性质、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零1 1 的整式，分式的值不变。 AA·MA÷M用式子表示为： = = ，其中M（M≠0）为整式。 MBB·÷MB2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都
乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。 3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（3）约分一定要把公因式约完。 三、分式的符号法则： －aaa-aa-aa（1） = =－；（2） = ；（3）－ = b-bb-bb-bb§16.2分式的运算 一、分式的乘除法 1、法则： （1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。
华东师大版八年级上册数学教案全册 第12章数的开方 12.1平方根与立方根（1） 教学目的 1.知识与能力：从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点；从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性； 2.过程与方法：扣住定义去思考问题，重视解题技巧； 3.情感态度与价值观：以旧引新，以新带旧。 重点、难点 1．重点：通过实际问题的研究，认识平方根；会用计算器求任意正数的算术平方根。 2．难点：正确区分平方根与算术平方根的关系。 教学过程 一、创设情境 问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2 已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长． (学生探索，回答问题) 二、探究归纳 问题1解设正方形纸片的边长为xcm，依题意有：x2＝25， 求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长． 因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所以x＝5． 答正方形纸片的边长为5cm． 这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25． 问题2解设圆的半径为R cm，依题意有： πR2=16π，即R2=16， 求出满足R2＝16的R的值即可求出圆的半径． 因42＝16，(－4)2＝16，故满足R2＝16的R的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以数R ＝4． 答圆的半径为4cm． 这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16． 刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x的值． 概括如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）．在上述例1问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根．又因为(－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一个平方根．这就是说，25的平方根有两个：5与－5．在上述例2问题中，因为42＝16，所以4是16的一个平方根．又因为(－4)2＝42＝16，所以－4也是16的一个平方根．这就是说，16的平方根有两个： 4与－4．所以，根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根． 三、实践应用 例1 求100的平方根． 解因为102＝100，(-10)2＝100，除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10. 学生试一试：
第17章分式 (2) §17.1 分式及其基本性质 (2) 1.分式的概念 (2) 2.分式的基本性质 (3) §17.2分式的运算 (5) 1.分式的乘除法 (5) 2.分式的加减法 (6) 阅读材料 (8) §17.3可化为一元一次方程的分式方程 (9) §17.4零指数幂与负整指数幂 (12) 1.零指数幂与负整指数幂 (12) 2.科学记数法 (13) 小结 (14) 复习题 (15)
第17章 分 式 现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。如果设原来每天能装配x 台机器，那么不难列出方程： 326306=-+x x 这个方程左边的式子已不再是整式，这就涉及到分式与分式方程的问题. §17.1 分式及其基本性质 1.分式的概念 做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是______元； 形如 B A (A 、 B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式(fraction ). 其中 A 叫做分式的分子(numerator ),B 叫做分式的分母（denominator ）. 整式和分式统称有理式（rational expression ）, 即有 有理式 整式， 分式. 例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） x 1；（2） 2 x ；（3） y x xy +2；（4） 3 3y x -. 解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.
八年级数学下册教案 第16章 分式 16.1.1 分式的概念 教学目标： 1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。 教学重点： 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点： 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 教学过程： 一、做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括： 形如B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式，分式. 三、例题： 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）x 1； （2）2x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -. 解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式a S 中，a ≠0；在分式n m -9 中，m ≠n. 当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）11－x ； （2）322 +-x x . 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1. 所以，当x ≠1时，分式11 －x 有意义. （2）分母23+x ≠0，即x ≠-23 . 所以，当x ≠-23时，分式322 +-x x 有意义. 四、练习： P5习题16.1第3题（1）（3） 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54 -m , 238y y -，91 -x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 五、小结： 什么是分式？什么是有理式？ 4 522--x x x x 235-+23+x x x 57+x x 3217-x x x --221
八年级上 第 11章 数的开方 1．平方根 （1）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。 即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根 （2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 其中：正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”， 另一个平方根是它的相反数，即a - 。 因此，正数a 的平方根可以记作a ± 。a 称为被开方数。 # 0的平方根只有一个，就是0，记作00=。 负数没有平方根。 （3）求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。 2．立方根 （1）如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根。 即：如果a x =3 ，那么x 叫做a 的立方根 数a 的立方根，记作3a ，读作“三次根号a ”，其中a 称为被开方数，3称为根指数。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 （3）任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个。 ` 正数有一个正的立方根。 负数有一个负的立方根。 0的立方根是0。 3.无理数 无限不循环小数叫做无理数。 实数 有理数和无理数统称为实数。 实数与数轴上的点一一对应。 第 12章 整式的乘除 1．幂的运算 （1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 《 n m n m a a a +=?（m 、n 为正整数）
(2)幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ()mn n m a a =（m 、n 为正整数） (3)积的乘方 积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ()n n n b a ab =（n 为正整数） (4)同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减。（m 、n 为正整数，m>n ，a 0≠） 2.整式的乘法 [ （1）单项式与单项式相乘 将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。 （2）单项式与多项式相乘 将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。 （3）多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 （a+b ）(m+n)=am+bm+an+bn 3.乘法公式 (1)平方差公式：两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。 ()()22b a b a b a -=-+ ^ (2)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。 ()2222b ab a b a ++=+ ()222 2b ab a b a +-=- 4．整式的除法 （1）单项式除以单项式 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 （2）多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 5．因式分解 （1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。 （2）公因式： # 多项式ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称之为公因式。 （3）提取公因式法： 把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式m 和（a+b+c ）的乘积，这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。 （4）公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法成为公式法。 （5）十字相乘法：ab x b a x +++)(2 =))((b x a x ++（a 、b 是常数） 公式特点：
华东师大版八年级数学上册全册教案 第十二章 数的开方 12.1平方根与立方根（1） 【教学目标】：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某些数的平方根。 【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。 难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】： 一、提出问题，创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2、已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长。 要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、自学提纲： 1、你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？ 2、看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？ 3、25的平方根只有5吗？为什么？ 4、会求100的平方根吗？试一试 5、－4有平方根吗？为什么？ 6、想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 7、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 8、什么叫开平方？ 三、能力、知识、提高 同学们展示自学结果，老师点拔 ①情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。 ②概括：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。 如52＝25，（－5）2＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。 ⑤0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方 根。 ⑦求一个数a（a≥0）的平方根的运算，叫做开平方。 四、知识应用 1、求下列各数的平方根 16
华东师大版数学八年级上册 13.3等腰三角形（第1课时） --教学设计 数计1301班 姓名:张菲 学号:1351010124 小组签字:
义务教育数学课程标准(2011年版)对本节内容的要求:了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两底角相等. 一、教材分析 华东师大版:《等腰三角形的性质》是三角形一章中的重要内容。本节课是在小学掌握了等腰三角形，中学掌握了全等三角形的基础上进行的，主要学习等腰三角形“等边对等角”的性质。等腰三角形的性质在平面图形和空间立体图形的证明和计算中有着广泛的应用，在实际生活的建筑、测量、设计等方面也有其独特的应用。等腰三角形性质的认识和学习，可以从学生周边熟悉的事物入手，让学生观察和动手体验等腰三角形性质的存在，通过细心观察和动手实践认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，感受到数学活动充满着探索性和创造性。与人教版和北师大版相比,该版本中'等腰三角形的性质'为’三角形全等的判定’的后一节,有利于学生在证明等腰三角形性质时想到使用两三角形全等的知识. 对比人教版:在人教版中,《等腰三角形》是“八年级数学（上）”第十二章轴对称中第三节的内容。本课安排在轴对称的认识后，更着重于强调等腰三角形的性质与轴对称的认识的联系，起到知识的链接与开拓的作用。等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛。这一单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，尤其是等腰三角形的性质和判定，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据。. 对比北师大版:等腰三角形为北师大版八年级下册第一章”三角形的证明”中第一节内容,以七年级下册”认识三角形”一节中对等腰三角形的初步认识为基础,着重强调对等腰三角形性质的证明过程.从”平行线的证明”引出对三角形的相关证明,意在逐步培养学生的逻辑思维能力。与华东师大和人教版教材不同,在北师大版中等腰三角形的性质二即”三线合一”性质以推论的形式给出. 教材地位和作用：本节内容既是三角形全等知识的深化和应用，又是学习线段的垂直平分线、轴对称图形、四边形等其他数学知识的基础，还是证明角相等、线段相等的依据。因此，本节内容在教材中处于非常重要的位置，起着承前启后的作用。 二、学情分析 :初二的学生是中学阶段身心发展变化较大的一个年级，处于青春期的学生，情绪、情感都有明显的不稳定因素，但是学生对于用新知识、新观点来认识周边的世界非常感兴趣.因此，教师要激发学生学习兴趣，营造一个使学生有机会自己动手、亲自体验新知识的氛围。在学生对等腰三角形、全等三角形相关知识已经掌握的基础上，让每位学生都能在数学学习中有所发现、有所发展，改变以往过于注重基础知识传授而忽略学生情感发展的倾向，让学生从动手实验入手，发现、猜想、证明、探究等腰三角形的性质，并逐步懂得联系生活实际。 三、教学目标 1、知识与技能：①了解等腰三角形的概念；②探索并证明等腰三角形的性质定理；③运用等腰三角形的性质进行有关计算。 2、过程与方法：①观察等腰三角形的对称性，发展形象思维，提高观察、分析、归纳问题的能力；②通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，发展合情推理能力和演绎推理能力；③通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展运用意识。 3、情感态度与价值观：通过对图形的观察、发现，产生好奇心和求知欲；通过学习证明“等边对等角”这一性质，增加学习数学命题的自信心，提高学习兴趣。 四、教学重、难点