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组合变形习题集

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9-2 矩形截面钢杆如图所示，用应变片测得杆件上下表面的线应变分别为33110,0.410a b εε--=⨯=⨯，材料的弹性模量210GPa E =。

要求：（1）试绘制横截面的正应力分布图； （2）确定拉力P 及偏心距δ的大小。

题9-2图δP m=147.04FN+=Mζζ解：（1）外力分析判变形：杆所受外力与轴线平行，杆件发生拉弯组合变形。

（2）内力分析判危险面：杆各横截面上具有相同的轴力和弯矩。

N F P M P δ==,（3）应力分析确定拉力P 及偏心距δ的大小：轴力引起均匀分布的正应力，横截面上还有弯曲正应力。

应力分布如图所示。

932932=21010110+=0.0050.0250.0050.025/618.38kN 1.785=210100.410=0.0050.0250.0050.025/6N aa z Nb b z F M P P E A W P F M P P E A W δσεδδσε--⎧=⨯⨯⨯=+⎪⨯⨯=⎧⎪→⎨⎨=⎩⎪=⨯⨯⨯=-⎪⨯⨯⎩-mm 147.04 62.99 210.03 84.05（4）将拉力P 及偏心距δ代入上式，计算得到：147.0462.99147.0462.99210.03147.0462.9984.05NF M a a σσσσ==→=+==-=MPa ,MPaMPa,MPa正应力分布如图所示。

.9-5 构架如图所示，梁ACD 由两根槽钢组成。

已知a=3m,b=1m,F=30kN 。

梁材料的许用应力[σ]=170MPa 。

试选择槽钢的型号。

69.28M kN ·m)(d )(c )F N kN)+30-(a )解：〈1〉外力分析：梁的计算简图如图(b)所示，外力在纵向对称面内与轴斜交，故梁AC 段发生拉弯组合变形。

对A 取矩BC 杆所受压力为：3(31)3010()0sin 30()08030.5A CB CB m F F a a b F F +⨯⨯=→-+=→==⨯∑oN kN2〉内力分析： 轴力图、弯矩图如图。

C 左截面轴力和弯矩同时达到最大，是危险面。

max69.28kN ,30kN m N F M==⋅（3）应力分析判危险点：由于发生的是发生拉弯组合变形，加之截面有有两个对称轴，危险面的上边缘具有最大拉应力，比下边缘的最大压应力的绝对值大，上边缘上各点正应力最大。

（4）强度计算选择槽钢的型号：[]33max max69.28103010170MPa 2222N z zM F A W A W σσ+⨯⨯=+=+≤= 1）忽略轴力项的正应力，仅由弯曲项选槽钢的型号：333010170MPa 88.242z zW W ⨯≤→≥cm 。

查表可知，的2321.95cm ,108.3cm z A W == 2）对所选槽钢进行校核：[]33max4669.2810301015.781138.504154.29170MPa 221.95102108.310σσ+--⨯⨯=+=+=≤=⨯⨯⨯⨯故，所选择16号槽钢能满足强度要求。

9-7 图示钢板的一侧切去深为40mm 的缺口，受力P=128kN 。

试求：（1）横截面AB 上的最大正应力。

(2)若两侧都切去深为40mm 的缺口，此时最大应力是多少?不计应力集中的影响。

ζζFN=15+M ζm=P δ题9-7图解：（1）求一个缺口时处横截面AB 上的最大正应力①外力分析判变形：杆所受外力不过缺口处AB 截面形心，杆件在缺口处发生拉弯组合变形。

②内力分析判危险面：杆缺口处各横截面上具有相同的轴力和弯矩。

0.3600.3600.040128kN 128() 2.56kN m()22N F P M P δ-====⨯-=⋅↵, ③应力分析：轴力引起均匀分布的正应力，横截面上还有弯曲正应力。

应力分布如图所示，最大拉应力出现在缺口处AB 截面的上边缘。

33666max212810 2.5610+=401015105510MPa 0.3200.0100.0100.320/6N z F M A W σ⨯⨯=+=⨯+⨯=⨯⨯⨯ （2）两侧有对称缺口时的应力： 此时杆将发生轴向拉压变形。

3612810=Pa 45.7MPa (360240)1010N F A σ-⨯==-⨯⨯⨯9-9 如图所示，轴上安装两个圆轮，P 、Q 分别作用在两轮上，并沿竖直方向。

轮轴处于平衡状态。

若轴的直径d=110mm, 许用应力[σ]=60MPa 。

试按第四强度理论确定许用荷载P 。

PM Z 图M T 图1.95P-P(e )(d )(c )(b )+解：（1）外力分析，判变形。

力P 、Q 向轴线平移，必附加引起扭转的力偶，受力如图所示；平移到轴线的外力使轴在铅锤面平面内上下弯曲。

外力沿竖直方向与轴异面垂直，使轴发生弯扭组合变形。

1) 由于轴平衡，故::()010.502xm F P Q Q P =→-⨯+⨯=→=∑2) 将轴进行简化，计算简图如图所示，研究铅垂面内梁的求其约束反力()0 1.5 3.550 1.31.5 3.550 1.7()0A B B A A B m F Q P F F PP Q F F P m F ⎧=--+==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨++-===⎩⎩⎪⎩∑∑ (2)内力分析，判危险面：扭矩图、弯矩图如图所示，C 的右截面是危险面：,max 2.25P P z T M M == (3) 应力分析：z M 使C 横截面上下边缘点弯曲正应力最大，同时又有最大的扭转剪应力，故C 的右截面上下边缘点是强度理论的危险点。

（4）按第四强度理论求许可荷载[]646010 2.91kN 3232r zP σσ===≤=⨯→≤9-11 传动轴如图所示，C 轮受铅垂力P 1作用，直径D 1=200mm, P 1=2kN ；E 轮受水平拉力P 2作用，D 2=100mm 。

轴材料的许用应力[σ]=80MPa 。

已知轮轴处于平衡状态。

要求（1）画出轴的扭矩图和弯矩图。

（2）试按第三强度理论设计轴的直径，单位为mm 。

M Z 图（N·m）(b )(c )(e )(d )(a)M T 图(f )M y 图(g )z解：（1）外力分析，判变形。

与轴异面垂直的外力P 1、P 2向轴线平移，必附加引起扭转的力偶3110.2210200N m 22D P ⋅=⨯⨯=⋅；力平移后使轴发生方位难确定的平面弯曲，总之轴发生弯扭组合变形。

(2)内力分析，判危险面： 将轴进行简化，计算简图如图（b ）、（d ）、（f ）所示，扭矩图、弯矩图如图（c ）、（e ）、（g ）所示，B 的左截面合成弯矩最大是危险面。

max M 200N m T =⋅，max m)B M M -==⋅ (3) 按第三强度理论设计轴的直径d[]63801048.16mm 3232r zd σσ==≤=⨯→≥补充1： 简支折线梁受力如图所示，截面为25cm ×25cm 的正方形截面，试求此梁的最大正应力。

P/2解：（1）外力分析，判变形。

由对称性可知，A 、C 两处的约束反力为P/2 ，主动力、约束反力均在在纵向对称面内，简支折线梁将发生压弯组合变形。

(2)内力分析，判危险面：从下端无限靠近B 处沿横截面将简支折线梁切开，取由右边部分为研究对象，受力如图所示。

梁上各横截面上轴力为常数，B 横截面具有最大弯矩，故B 横截面为压弯组合变形危险面。

,max 244249.6(k 28cos )22y N P M P F ϕ=⨯=⨯=⋅=⨯=..N m)N(3)应力分析，判危险点，如右所示图由于截面为矩形，而D 1 D 2是压弯组合变形的压缩边缘，故危险面上D 1 D 2边缘是出现最大压应力。

,m a xm a x3324362.561109.610Pa 0.0409763.6864MPa 3.727MPa 1251025106z N zM F A W σ---=+⨯⨯=+=+=⨯⨯⨯补充2：水塔盛满水时连同基础总重量为G ，在离地面H 处，受一水平风力合力为P 作用，圆形基础直径为d ,基础埋深为h ，若基础土壤的许用应力[σ]=300kN/m 2，试校核基础的承载力。

kN解：（1）外力分析，判变形。

主动力、约束反力均在在纵向对称面内左右弯，基础及盛满水的水塔的重量使结构发生轴向压缩变形，而风荷载使其发生左拉右压弯曲。

结构发生压弯组合变形。

(2)内力分析，判危险面：基础底部轴力、弯矩均达到最大值，故该横截面为压弯组合变形的危险面。

,max315+36018108(k610(kyNM PF G=⨯=⨯=⋅==⨯（）N m)N)(3)应力分析，判危险点，如右所示图由于截面为圆形，中性轴是左右对称的水平直径所在线上，最右边点压弯组合变形的压缩边缘将出现最大压应力。

（4）强度计算。

[],m a xm a x6323-61010810--Pa-212.21-50.93kPa263.14kPa300kPa 66432zNzMFA Wσσππ-=⨯⨯===≤=⨯⨯补充3：求图示具有切槽杆的最大正应力。

1kN解：（1）外力分析，判变形。

P与缺口轴线平行不重合，所以发生双向偏心拉伸。

(2)内力分析，判危险面：从缺口处沿横截面将梁切开，取由右边部分为研究对象，将集中力作用点在端部平移到与缺口对应的形心位置，受力如图所示。

可先将集中力向前水平平移2.5mm,则附加My；再将力向下平移5mm，则附加Mz。

梁上各横截面上轴力、弯矩均为常数。

332.510 2.5(5105(1(kyzNM PM PF P=⨯⨯=⋅=⨯⨯=⋅==N m)N m)N)(3)应力分析，判危险点，如右所示图整个横截面上均有N引起的均布的拉应力，My引起后拉前压的弯曲应力，Mz引起上拉下压的弯曲应力，点于D2点三者可以均引起拉应力，可代数相加。

226991000 2.55=Pa10551051010101066206060MPa140MPayN zy zMF MA W Wσ---++=++⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++=补充4：矩形截面悬臂梁受力如图所示。

确定固定端截面上中性轴的位置，应力分布图及1、2、3、4四点的应力值。

解：（1）外力分析，判变形。

5kN作用下构件在xy平面内上下弯曲；25kN作用下构件发生轴向压缩的同时，还将在xz平面内前后弯曲。

结构将发生双向偏心压缩组合变形。

(2)内力分析，判危险面：5kN 作用下构件将使M z 在固定端面达到最大值弯矩,max 50000.63000N m z M =⨯=⋅;25kN 作用下使构件各横截面具有相同的内力，3325000N ,25102510625N m N y F M -==⨯⨯⨯=⋅。

故该固定端横截面为偏心压缩的危险面。

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工程力学习题集（二）

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组合变形思考题1.何谓组合变形？如何计算组合变形杆件横截面上任一点的应力？2.何谓平面弯曲？何谓斜弯曲？二者有何区别？3.何谓单向偏心拉伸（压缩）？何谓双向偏心拉伸（压缩）？4.将斜弯曲、拉（压）弯组合及偏心拉伸（压缩）分解为基本变形时，如何确定各基本变形下正应力的正负？5.对斜弯曲和拉（压）弯组合变形杆进行强度计算时，为何只考虑正应力而不考虑剪应力？6.什么叫截面核心？为什么工程中将偏心压力控制在受压杆件的截面核心范围内？习题1.如图所示木制悬臂梁在水平对称平面内受力F1＝1.6ｋＮ，竖直对称平面内受力F2＝0.8KN的作用，梁的矩形截面尺寸为9×18，，试求梁的最大拉压应力数值及其位置。

题1图2.矩形截面悬臂梁受力如图所示，Ｆ通过截面形心且与ｙ轴成角，已知F ＝1.2ｋN，ｌ＝2ｍ，，材料的容许正应力［σ］＝10MPa，试确定ｂ和ｈ的尺寸。

题2图3.承受均布荷载作用的矩形截面简支梁如图所示，ｑ与ｙ轴成角且通过形心，已知ｌ＝4ｍ，ｂ＝10ｃｍ，ｈ＝15ｃｍ，材料的容许应力［σ］＝10MPa，试求梁能承受的最大分布荷载。

题3图4.如图所示斜梁横截面为正方形，a＝10ｃｍ，F＝3ｋN作用在梁纵向对称平面内且为铅垂方向，试求斜梁最大拉压应力大小及其位置。

题4图5.柱截面为正方形，边长为ａ，顶端受轴向压力F作用，在右侧中部挖一个槽（如图），槽深。

求开槽前后柱内的最大压应力值。

题5图6.砖墙及其基础截面如图，设在1ｍ长的墙上有偏心力F＝40kN的作用，试求截面1-1和2-2上的应力分布图。

题6图7.矩形截面偏心受拉木杆，偏心力F＝160kN，ｅ＝5cm，［σ］＝10MPa，矩形截面宽度ｂ＝16cm，试确定木杆的截面高度ｈ。

题7图8.一混凝土重力坝，坝高Ｈ＝30ｍ，底宽Ｂ＝19ｍ，受水压力和自重作用。

已知坝前水深Ｈ＝30ｍ，坝体材料容重，许用应力[]＝10MPa，坝体底面不允许出现拉应力，试校核该截面正应力强度。

组合变形例题

组合变形例题



F A C b
h
0.5L
L0
d
D L
材料力学
本章结束
A
5 kN
C
B
D
2 kN 5 kN
300 500
2 kN
500
(a)
1.5 kN A m
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
5 kN
12 kN
(b)
T
1.5 kN m
如图c、d、e、f 所示
x (c )
1.5 kN A m
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
M C (1.5) 2 (2.1) 2 2.58 kNm
M
2.58 kNm 2.48 kNm
因此，得：
x (e)
d 72 mm
(f) x
直径为20mm的圆截面水平直角折杆，受垂直力P=0.2kN，已知［σ］=170MPa 试用第三强度理论确定ａ的许可值。
解：内力图： 危险截面：A
Tmax Pa 0.2a M max 2Pa 0.4a
所以起重机架的最大起重量取决于杆AC的强度，为
Fmax 26.7 kN
图示横梁AC~立柱CD结构，均由Q235钢制成，C、D两处均为球 铰。在跨度中点受竖向载荷F作用。已知： (1) 横梁AC的L=4000mm，b=60mm，h=120mm，材料许用应力 [ ]=160MPa。 (2) 立柱CD直径d=20mm, L0=500mm；材料参数为 E=200GPa, 许 用应力 [ ] 160MPa , p 100, s 60 , cr (3041.12 ) MPa，稳 定安全系数 nst 4 。 试确定此横梁~立柱结构的许用载荷。
精选题10组合变形

精选题10组合变形

组合变形1. 偏心压缩杆，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心的距离e 和中性轴到形心的距离d 之间的关系有四种答案：(A) e d =； (B) e d >； (C) e 越小，d 越大； (D) e 越大，d 越大。

答：C2. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为max1σ、max 2σ和max 3σ，现有下列四种答案：(A)max1max 2max 3σσσ==； (B)max1max 2max 3σσσ>=； (C)max 2max1max 3σσσ>=； (D)max1max3σσσ<=max2。

答：C3.重合）。

立柱受沿图示a-a(A)斜弯曲与轴向压缩的组合； (B)平面弯曲与轴向压缩的组合； (C)斜弯曲； (D)平面弯曲。

答：B4. (A) A 点； (B) B 点； (C) C 点； (D) D 点。

答：C5. 图示矩形截面拉杆，中间开有深度为/2h 的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处最大正应力将是不开口杆的 倍： (A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。

答：C6. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为max1σ、max 2σ和max 3σ，现有下列四种答案：(A)max1max 2max3σσσ<<； (B)max1max 2max3σσσ<=； (C)max1max3max 2σσσ<<； (D)max1max 3max 2σσσ=<。

答：C7. 正方形等截面立柱，受纵向压力F移至B 时，柱内最大压应力的比值max maxA B σσ(A) 1:2； (B) 2:5； (C) 4:7； (D) 5:2。

答：C8. 图示矩形截面偏心受压杆，其变形有下列四种答案：(A)轴向压缩和平面弯曲的组合； (B)轴向压缩、平面弯曲和扭转的组合； (C)缩和斜弯曲的组合；(D)轴向压缩、斜弯曲和扭转的组合。

中南大学材料力学--组合变形答案

中南大学材料力学--组合变形答案

组合变形答案一、概念题1.A ；2.A ；3.D ；4.C ；5.B ；6.A ；7.C ；8.D ；9.C ；10.C11.略12. 13σσσ=-=二、计算题1截面形心和惯性矩计算：126459.5240.484.8810z z mmz mm I mm ===⨯1-1 截面上的内力：28857.6.12N M Py N mF P kN ====2max 1max 26.8[]32.3[]t Nt Zc Nc ZF Mz MPa A I F Mz MPa A I σσσσ=+=<=-+=< 安全2设切口深度为x ，则偏心距为：x /23112100.005(0.04)P t F A x σ⨯==-322121020.005(0.04)6t xMx W σ⨯⨯==⨯-61210010t t σσσ=+≤⨯ 得 212864000.00521x x x m -+== 3 2642()()P A hP F M PP A W bh bh bh σ⨯=-+=-+=-A 点的应力状态为单向压缩应力状态 454522AP bh σσσ-===-4545451122()()P P E E bh bh εσυσυ-=-=+2(1)Ebh P αευ=-4 过O 点横截面上的应力232324202()()P hP F M P P A W d d d σπππ⨯=+=+= 28T P M P W d τπ== O 点的应力状态为二向应力状态：0x y y σσσττ===220xa P E d E σεπ== 2452452454518cos 90sin 90222cos90sin 902214()x yx y xy x y x yxy b P d Pd P E d Eσσσσστπσσσσστπεσυσπ--+-=+---=+-=+-==-=- 5a 点的应力状态为二向应力状态：32412.710P P P F F F A d σπ===⨯ 3216 5.1010e T P P M M F W dτπ===⨯33031203593030120cos 60sin 6013.91022cos 240sin 240 1.24102211()(13.90.3 1.24)1014.331020010x y x y xy P x y x yxy P P F F F E σσσσστσσσσστεσυσ-+-=+-=⨯+-=+-=-⨯=-=+⨯⨯=⨯⨯2107 2.107.P e F N M N m ==采用第三强度理论校核强度31334.33[]r MPa σσσσ=-==< 安全 61） 计算954920.46.163.68491.1408.9293.75252.3488.66Pz Py Ay By Az Bz P m N m nF N F NF NF NF N F N =====-===-2） 作计算简图3） 作内力图4） 危险截面为A 截面： max max max 20.46.28.08.21.28.T z y M N mM N m M N m===-5）危险点于A 截面的边缘a 点，a 点的应力状态为二向应力状态：2.87MPa σ==2160.83eTP M M MPa W dτπ===max 3.1min 0.2212313max 23.100.22 1.662x yMPaMPaMPaMPaMPaMPaσσσσσσσστ-+=±====--== 6）采用第三强度理论校核强度313 3.32[]r MPa σσσσ=-==< 安全。