湘教版高中数学必修一学案函数的概念和性质

湘教版高一数学必修一学案摘要：一、引言二、湘教版高一数学必修一的课程目标三、湘教版高一数学必修一的主要内容1.函数的基本概念2.函数的性质3.函数的图像和解析式4.函数的应用四、学习建议和策略五、总结正文：【引言】湘教版高一数学必修一学案是高中数学学习的基础课程，为学生进入更高层次的数学学习打下坚实的基础。

本篇文章将对湘教版高一数学必修一的课程目标、主要内容和学习建议进行详细的阐述。

【湘教版高一数学必修一的课程目标】湘教版高一数学必修一的课程目标是使学生掌握函数的基本概念、性质、图像和解析式，学会运用函数解决实际问题，培养学生抽象思维、逻辑推理和空间想象能力，提高学生的数学素养。

【湘教版高一数学必修一的主要内容】湘教版高一数学必修一主要包括以下内容：1.函数的基本概念：函数的定义、函数的表示法、函数的值域、函数的定义域和对应关系等。

2.函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性等。

3.函数的图像和解析式：函数图像的绘制、函数解析式的求解等。

4.函数的应用：通过函数解决实际问题，如最值问题、方程求解、不等式求解等。

【学习建议和策略】针对湘教版高一数学必修一的学习，建议学生：1.养成良好的学习习惯，及时复习巩固所学知识。

2.注重基础知识的学习，打牢基本功。

3.加强练习，通过大量的例题和习题巩固所学知识，提高解题能力。

4.学会总结和归纳，形成自己的解题方法和技巧。

5.培养自己的抽象思维和空间想象能力，提高自己的数学素养。

【总结】总之，湘教版高一数学必修一学案是高中数学学习的基础课程，对于学生的后续学习和长远发展具有重要意义。

函数的单调性与最值新课程标准解读核心素养1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性数学抽象2.理解单调性的作用和实际意义逻辑推理、数学运算3.借助函数图象,会用符号语言表达函数的最大值、最数学抽象、数学运算小值,理解它们的作用和意义第一课时函数的单调性德国著名的心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试,得到了有趣的数据．数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图：[问题] (1)当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？(2)“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学的观点进行解释？知识点函数的单调性1．增函数、减函数前提设函数f(x)的定义域为D,I是D的一个非空的子集条件如果对于I上任意两个值x1,x2,当x1<x2时条件都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2) 图示结论f (x )是区间I 上的增函数,也称f (x )在区间I 上单调递增f (x )是区间I 上的减函数,也称f (x )在区间I 上单调递减2．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数或减函数,那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间I 叫作y ＝f (x )的单调区间．1．对区间I 的要求函数的单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分．2．x 1,x 2的三个特征 (1)同区间性,即x 1,x 2∈I ；(2)任意性,即不可用区间I 上的两个特殊值代替x 1,x 2； (3)有序性,即需要区分大小,通常规定x 1<x 2.1．判断正误．(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)所有函数在定义域上都具有单调性．( )(2)因为f (－1)<f (2),所以函数f (x )在[－1,2]上单调递增．( )(3)定义在(a ,b )上的函数f (x ),如果∃x 1,x 2∈(a ,b ),当x 1<x 2时,有f (x 1)<f (x 2),那么f (x )在(a ,b )上单调递增．( )(4)如果函数f (x )在区间I 1上单调递减,在区间I 2上也单调递减,那么f (x )在区间I 1和I 2上就一定是减函数．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．下列函数f (x )中,满足对任意x 1,x 2∈(0,＋∞),当x 1<x 2时,都有f (x 1)＞f (x 2)的是________(填序号)．①f (x )＝x 2；②f (x )＝1x；③f (x )＝|x |；④f (x )＝2x ＋1. 答案：②3．函数y ＝f (x )的图象如图所示,其增区间是________．答案：[－3,1]4．函数f (x )＝－x 2－2x 的单调递增区间是________． 答案：(－∞,－1]函数单调性的判定与证明[例1] (链接教科书第80页例1)已知函数f (x )＝1x 2－1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )在(1,＋∞)上单调性,并用定义加以证明． [解] (1)由x 2－1≠0,得x ≠±1, 所以函数f (x )＝1x 2－1的定义域为{x |x ∈R ,且x ≠±1}． (2)函数f (x )＝1x 2－1在(1,＋∞)上单调递减． 证明：设x 1和x 2是区间(1,＋∞)上任意两个实数,且x 1<x 2, 则f (x 2)－f (x 1)＝1x 22－1－1x 21－1＝（x 1－x 2）（x 1＋x 2）（x 21－1）（x 22－1）. 由x 1,x 2∈(1,＋∞),得x 1>1,x 2>1, 所以x 21－1>0,x 22－1>0,x 1＋x 2>0. 又x 1<x 2,所以x 1－x 2<0,于是（x 1－x 2）（x 1＋x 2）（x 21－1）（x 22－1）<0,即f (x 1)>f (x 2), 所以,函数f (x )＝1x 2－1在(1,＋∞)上单调递减．利用定义证明函数单调性的4步骤[跟踪训练]1．(多选)下列函数在(－∞,0)上为增函数的是( ) A ．y ＝|x |＋1B ．y ＝|x |xC ．y ＝－x 2|x |D ．y ＝x ＋x|x |解析：选CD y ＝|x |＋1＝－x ＋1(x <0)在(－∞,0)上为减函数；y ＝|x |x＝－1(x <0)在(－∞,0)上既不是增函数也不是减函数；y ＝－x 2|x |＝x (x <0)在(－∞,0)上是增函数；y ＝x＋x|x |＝x －1(x <0)在(－∞,0)上也是增函数,故选C 、D. 2．证明函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上单调递减．证明：设x 1,x 2是区间(0,1)上任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－1x2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝（x 1－x 2）（－1＋x 1x 2）x 1x 2. ∵0<x 1<x 2<1,∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1,则－1＋x 1x 2<0, ∴（x 1－x 2）（－1＋x 1x 2）x 1x 2>0,即f (x 1)>f (x 2),∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上单调递减.求函数的单调区间[例2] 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象,并指出函数的单调区间．[解] y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋4，x ≥0，－（x ＋1）2＋4，x <0.函数图象如图所示．函数在(－∞,－1],[0,1]上单调递增,函数在[－1,0],[1,＋∞)上单调递减．所以函数的单调增区间是(－∞,－1]和[0,1],单调减区间是(－1,0)和(1,＋∞)．[母题探究](变条件)将本例中“y ＝－x 2＋2|x |＋3”变为“y ＝|－x 2＋2x ＋3|”,如何求解？ 解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋3|的图象如图所示．由图象可知其单调递增区间为[－1,1],[3,＋∞)；单调递减区间为(－∞,－1),(1,3)．求函数单调区间的2种方法法一：定义法：即先求出定义域,再利用定义法进行判断求解； 法二：图象法：即先画出图象,根据图象求单调区间．[注意] (1)如果函数f (x )在其定义域内的两个区间A ,B 上单调性相同,则两个区间用“,”或“和”连接,不能用“∪”连接；(2)书写单调区间时,若函数在区间的端点处有定义,则写成闭区间、开区间均可,但若函数在区间的端点处无定义,则必须写成开区间．[跟踪训练]1．(多选)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象,则下列关于函数f (x )的说法正确的是( )A ．函数在区间[－5,－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性解析：选ABD 若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间,不能用“∪”连接．故选A 、B 、D.2．求函数f (x )＝1x －1的单调减区间． 解：函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞,1)∪(1,＋∞), 设x 1和x 2是区间(－∞,1)上任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1（x 1－1）（x 2－1）.因为x 1<x 2<1,所以x 2－x 1>0,x 1－1<0,x 2－1<0, 所以f (x 1)－f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞,1)上单调递减,同理函数f (x )在(1,＋∞)上单调递减． 综上,函数f (x )的单调递减区间是(－∞,1),(1,＋∞).函数单调性的应用[例3] ((－∞,3]上单调递增,则实数a 的取值范围是________；(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞,＋∞)上的增函数,且f (2x －3)>f (5x －6),则实数x 的取值范围为________．[解析] (1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下,要使f (x )在(－∞,3]上单调递增,只需－(a ＋1)≥3,即a ≤－4.∴实数a 的取值范围为(－∞,－4]．(2)∵f (x )在(－∞,＋∞)上是增函数,且f (2x －3)>f (5x －6), ∴2x －3>5x －6,即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞,1)． [答案] (1)(－∞,－4] (2)(－∞,1)[母题探究]1．(变条件)若本例(1)的函数f (x )在(1,2)上是单调函数,求a 的取值范围． 解：由题意可知－(a ＋1)≤1或－(a ＋1)≥2,即a ≤－3或a ≥－2. 所以a 的取值范围为(－∞,－3]∪[－2,＋∞)．2．(变条件)若本例(2)的函数f (x )是定义在(0,＋∞)上的减函数,求x 的范围． 解：由题意可知,⎩⎪⎨⎪⎧2x －3>0，5x －6>0，2x －3<5x －6，解得x >32.∴x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.1．利用单调性比较大小或解不等式的方法(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上；(2)在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f ”脱掉,使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．2．已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法(1)将参数看成已知数,求函数的单调区间,再与已知的单调区间比较,求出参数的取值范围；(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组),解不等式(组)求出参数的取值范围．[跟踪训练]1．若函数f (x )在(－∞,－1]上是增函数,则下列关系式中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)<f (－2)B ．f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－2)C ．f (－2)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32D ．f (－2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1) 解析：选D ∵f (x )在(－∞,－1]上是增函数,且－2<－32<－1,∴f (－2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)．故选D. 2．若f (x )是定义在[0,＋∞)上的减函数,则不等式f (x )<f (－2x ＋8)的解集是________．解析：依题意,得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，－2x ＋8≥0，x >－2x ＋8，解得83<x ≤4.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤83，4复合函数y ＝f (g (x ))的单调性[典例] 已知函数f (x )＝2x －1,x ∈[2,6]． (1)判断此函数在x ∈[2,6]上的单调性； (2)根据(1)的判断过程,归纳出解题步骤． 提示：(1)函数f (x )＝2x －1可分解为函数y ＝2u和函数u ＝x －1. 因为x ∈[2,6],所以u ∈[1,5],显然函数u ＝x －1在x ∈[2,6]上单调递增,函数y ＝2u在u ∈[1,5]上单调递减,由复合函数的单调性,知f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上单调递减． (2)解题步骤为：先求函数的定义域,接着分解复合函数,再判断每一层函数的单调性,最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性．[结论] 复合函数的单调性：一般地,对于复合函数y ＝f (g (x )),单调性如表所示,简记为“同增异减”.g (x )f (x )f (g (x ))增 增 增 增 减 减 减 增 减 减减增判断函数f (x )＝x ＋2x －1,x ∈[3,8]上的单调性．解：∵函数f (x )＝（x －1）＋3x －1＝1＋3x －1,可分解为函数f (x )＝1＋3u 和函数u ＝x －1.因为x ∈[3,8],所以u ∈[2,7],显然函数u ＝x －1在x ∈[3,8]上单调递增,函数f (u )＝1＋3u 在u ∈[2,7]上单调递减,由复合函数的单调性,知f (x )＝x ＋2x －1在x ∈[3,8]上单调递减．1.如图是函数y ＝f (x )的图象,则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由题图,可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B. 2．函数f (x )在R 上是减函数,则有( ) A ．f (3)<f (5) B ．f (3)≤f (5) C ．f (3)>f (5)D ．f (3)≥f (5)解析：选C 因为函数f (x )在R 上是减函数,3<5,所以f (3)>f (5)． 3．(多选)下列四个函数中在(－∞,0]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x B ．f (x )＝－x 2C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝1x －1解析：选AD 通过观察各函数的图象(图略),易知f (x )＝－x 2,f (x )＝x ＋1在(－∞,0]上单调递增,f (x )＝x 2－2x ,f (x )＝1x －1在(－∞,0]上单调递减． 4．已知函数f (x )＝xx －1.(1)求f (f (3))的值；(2)判断函数f (x )在(1,＋∞)上的单调性,并用定义法证明． 解：(1)因为f (3)＝33－1＝32, 所以f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝3232－1＝3. (2)函数f (x )在(1,＋∞)上单调递减．证明：设x 1和x 2是区间(1,＋∞)上任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－1－x 2x 2－1＝x1（x2－1）－x2（x1－1）（x1－1）（x2－1）＝x2－x1（x1－1）（x2－1）,由x1,x2∈(1,＋∞),得(x1－1)(x2－1)>0, 由x1<x2,得x2－x1>0,所以f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)．由单调性的定义可知,f(x)＝xx－1在(1,＋∞)上单调递减．。

高中数学湘教版教案
教学内容：函数的概念和性质
教学目标：学生能够掌握函数的定义及其性质，能够应用函数解决实际问题。

教学重点：函数的定义、函数的性质
教学难点：函数的应用
教学准备：教材《高中数学湘教版》第一册，课件，黑板、彩笔、作业等
教学过程：
一、导入新课
教师通过引入函数的实际问题，引发学生对函数的兴趣，导入新课。

二、讲解函数的定义
1. 教师简要介绍函数的定义，即对不同的自变量，对应唯一的一个因变量。

2. 通过例题讲解，让学生更好地理解函数的定义。

三、探讨函数的性质
1. 教师向学生介绍函数的奇偶性、周期性等性质。

2. 通过例题分析，让学生掌握函数的性质。

四、实际应用
1. 教师带领学生应用函数解决实际生活中的问题，提高学生的实际运用能力。

2. 学生进行练习，并讨论解题方法。

五、总结归纳
1. 教师对函数的定义、性质及应用进行总结归纳，确保学生理解透彻。

2. 复习本节课内容，做好内容梳理。

六、作业布置
布置相关作业，巩固和加深学生对函数的理解和掌握。

教学反思：本节课通过引入实际问题，让学生更容易理解函数的概念和性质，通过例题讲解和实际应用，加深了学生对函数的理解和掌握。

在后续的教学中，应更加注重学生的实际应用能力，提高学生对函数的运用能力。

1．2函数的概念和性质1．2.1对应、映射和函数第二课时函数的概念在现实生活中，我们可能会遇到下列问题：(1)某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)随时间的变化如下表：(2)一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y＝4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？(3)下图为某市一天24小时内的气温变化图．①上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？②在什么时刻，气温为0℃？③在什么时段内，气温在0℃以上？如何用集合语言来阐述上述3个问题的共同特点？1．函数的定义设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数，记作f：A→B或者y＝f(x)(x∈A，y∈B)．2．函数的定义域、值域在函数的定义中，集合A叫作函数的定义域，与x∈A对应的数y叫x的像，记作y＝f(x)，由所有x∈A的像组成的集合叫作函数的值域．3．函数的三要素为定义域，对应法则，值域．举出几个有关函数的例子，并用定义加以描述，指出函数的定义域和值域．[提示](1)下表记录了几个不同气压下水的沸点.，值域是{81,100,121,152,179}．(2)如图是匀速直线运动路程s随时间变化的函数关系图，它的定义域是{t|t≥0}，值域是{s|s≥0}．[例1](1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.[思路点拨]可根据函数的定义直接判断．[解](1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且x不一定为整数，故此对应关系不是A到B的函数；(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数.1．若集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A 到B 的函数f ：A →B 的是( )解析：选D A 中的对应不满足函数的存在性，即存在x ∈A ，但B 中无与之对应的y ；B 、C 均不满足函数的唯一性，只有D 正确．2．下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( )A ．A ＝R ，B ＝R ，x 2＋y 2＝1 B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1解析：选B A 错误，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A ，在B 中找不到与之相对应的数．D 错误，－1∈A ，在B 中找不到与之相对应的数.[例2] 已知f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．求： (1)f (0)及f ⎝⎛⎭⎫ f ⎝⎛⎭⎫12的值； (2)f (1－x )及f (f (x ))．[思路点拨] 将f (x )中的x 分别赋值或式子，代入1－x1＋x 中化简即得．[解] (1)f (0)＝1－01＋0＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝1－121＋12＝13， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫13＝1－131＋13＝12. (2)f (1－x )＝1－(1－x )1＋(1－x )＝x2－x (x ≠2)．f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－1－x 1＋x 1＋1－x 1＋x ＝x (x ≠－1).3．已知函数f (x )＝x 2－2x ，求： (1)f (－2)； (2)f ⎝⎛⎭⎫1＋1x (x ≠0)； (3)若f (x )＝3，求x 的值． 解：(1)f (－2)＝(－2)2－2·(－2)＝8. (2)f ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－2⎝⎛⎭⎫1＋1x＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1x －2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1x －1＝1x2－1(x ≠0)． (3)若f (x )＝3，则x 2－2x ＝3，x ＝－1或x ＝3.1．若f (x )＝1x 的定义域为M ，g (x )＝|x |的定义域为N ，令全集U ＝R ，则M ∩N ＝( ) A ．M B ．N C ．∁R MD ．∁R N解析：选A M ＝{x |x >0}，N ＝R ，∴M ∩N ＝M . 2．下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )解析：选B 根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B 不正确． 3．下列各对函数中，图象完全相同的是( ) A ．y ＝x 与y ＝(3|x |)3 B ．y ＝(x )2与y ＝|x | C ．y ＝xx 与y ＝x 0D ．y ＝x ＋1x 2－1与y ＝1x －1解析：选C 若函数的图象相同，则是相同的函数．对于A ，y ＝(3|x |)3＝|x |，所以对应关系不同；对于B ，y ＝(x )2＝x (x ≥0)，所以两函数定义域与对应关系均不同；对于C ，y ＝xx ＝1(x ≠0)，而y ＝x 0＝1(x ≠0)，定义域与对应关系均相同，是相同的函数；对于D ，y ＝x ＋1x 2－1＝x ＋1(x ＋1)(x －1)＝1x －1，其中x 2≠1，即x ≠±1，而y ＝1x －1中x ≠1，定义域不同，不是相同函数．4．已知f (x )＝11＋x，g (x )＝x 2＋2，则f (2)＝________，f [g (2)]＝________. 解析：f (2)＝11＋2＝13，g (2)＝22＋2＝6， ∴f [g (2)]＝f (6)＝11＋6＝17.答案：13 175．已知函数f (x )＝x 2－x ，若f (a )＝2，则a 的值是________． 解析：f (a )＝(a )2－a ＝2.即(a －2)(a ＋1)＝0，a ＝4. 答案：4通过这节课的学习，你对函数符号“y ＝f (x )”有了哪些新的认识？对应关系f 是表示定义域和值域的一种对应关系，与所选择的字母无关．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为：x 是自变量，它是对应关系所施加的对象；f 是对应关系，它既可以是解析式，也可以是图象、表格或文字描述．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”．f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，表示的是变量．虽然f (x )＝x 2和f (x －1)＝x 2等号右边的表达式都是x 2，但是，由于f 施加的对象不同(一个为x ，而另一个为x －1)，因此两个函数的解析式是不同的．一、选择题1．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是( )解析：选D 由函数的定义可以判断只有D 正确．2．函数f (x )定义在区间[－2,3]上，则y ＝f (x )的图象与直线x ＝2的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定解析：选B ∵2∈[－2,3]，由函数的定义可知，y ＝f (x )的图象与x ＝2只能有一个交点． 3．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( ) A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x解析：选C 对选项C ，当x ＝4时，y ＝83>2不合题意，故选C.4．下列说法错误的是( )A ．函数定义域中的任一元素在其值域中都有它的对应B ．函数的定义域是无限集，则值域也是无限集C ．定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 答案：B 二、填空题5．已知函数f (x )＝x 2＋|x －2|，则f (1)＝________. 解析：∵f (x )＝x 2＋|x －2|， ∴f (1)＝12＋|1－2|＝1＋1＝2. 答案：26．若f (2x )＝x 3，则f (1)＝________. 解析：令2x ＝1，则x ＝12，∴f (1)＝(12)3＝18.答案：18三、解答题7．已知函数f (x )＝x 2＋x －1，求： (1)f (2)； (2)f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1；(3)若f (x )＝5，求x 的值． 解：(1)f (2)＝4＋2－1＝5. (2)f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1＝⎝⎛⎭⎫1x ＋12＋⎝⎛⎭⎫1x ＋1－1 ＝1x 2＋3x＋1. (3)f (x )＝5，即x 2＋x －1＝5. 由x 2＋x －6＝0得x ＝2或x ＝－3. 8．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值；(2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值；(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019的值． 解：(1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1， f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1， ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝1. ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝2 018.。

函数的概念与表示自主学习1．映射的定义：设,A B 是两个非空集合，如果按照对应法则f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A B →．2．一一映射：对于从集合A 到集合B 的映射，若B 中的任意一个元素在A 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的映射叫作从集合A 到集合B 的一一映射．3．象与原象：对于给定的一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈，元素a 与元素b 对应，那么元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．设原象a 组成的集合为M ，则有M A =，设与原象a 对应的象b 组成的集合为N ，则N B ⊆．4．函数的概念：如果A 、B 都是非空的数集，那么从集合A 到集合B 的映射f ：A B →叫做A 到B 的函数．原象的集合A 叫做函数的定义域，象的集合叫做函数的值域．5.函数的三要素：定义域；值域；对应法则．在这三要素中，值域可以由定义域和对应法则唯一确定，故可以说函数只有两要素．两个函数是同一个函数的条件是：它们的三要素均相同．教材透析知识点1 映射是特殊的对应，其特殊性在于，它只能是“一对一” 或“多对一”的对应．故判断一个对应是不是映射的方法是：首先检验集合A 中的每一个元素是否在集合B 中都有象，然后看集合A 中每一个元素的象是否唯一．知识点2 函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A 和集合B 只能是非空数集．函数是映射，但是映射不一定是函数；函数不一定都有解析式．知识点3 当且仅当两个函数的三要素均相同时，才是同一个函数．知识点4 函数定义域一般有两种形式：即自然定义域和限定定义域．对于来自于实际问题中的函数，其定义域要符合问题的实际，属于限定定义域；自然定义域是函数自身的自变量的取值范围，有以下几种情况：①分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于零；③对数的真数和底数大于零，且底数不等于1；④指数式中，指数为零时，底数不能为零．典例剖析【题型1】求函数值【例1】如果函数3f x x a =+（）（）对任意x R ∈都有11f x f x +=--（）（），试求22f f +（）（-）的值. 【解析】∵对任意x R ∈，总有11f x f x +=--（）（）f ， ∴当0x =时应有1010f f +=--（）（）， 即11f f =-（）（），∴(1)0f =.又∵3f x x a =+（）（），∴31f x =+（1）（）， 故有310a +（）＝得1a =-，∴31f x x =-（）（）. ∴3333222121)13)26f f +=--（）（-）（）+(-＝+(-＝- . 【点评】这是一个抽象函数的求值问题，关键是有一只条件确定a 的值，求出函数解析式．【变式与拓展】1. （2006年安徽卷）函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若()15,f =-则((5))f f = . 【解析】由1(2)()f x f x +=得1(4)()(2)f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则11((5))(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+．【题型2】 求函数解析式【例2】设()f x 是定义在R 上的函数，对一切x R ∈均有20f x f x ++=（）（），当1<1x -≤时，21f x x =-（），求当13x <≤时，函数()f x 的解析式. 【解析】设13x <≤，则1<21x --≤，又对任意的x ，有 20f x f x ++=（）（），∴2f x f x +=-（）（）， ∴2[22]f x f x f x -=--+=-（）（）（）， 又1<21x --≤时，222125f x x x -=--=-（）（）， ∴2251<3f x f x x x =--=-+≤（）（）（）.【变式与拓展】2. 如果[]21f f x x =-（），求一次函数()f x 的解析式.【解析】设f x kx b =+（），则2]f f x kf x b k kx b b k x kb b =+=++=++［（）（）（）. 由于该函数与21y x =-是同一个函数，∴22k =且1kb b +=-，∴k =当k =1b =；当k =b=1+1b =∴()1f x =+()1f x =++【题型3】 分段函数【例3】如右图，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点（起点）向A 点（终点）移动，设点P 移动的路程为x ，ABP ∆的面积为()y f x =.B（1）求ABP∆的面积与P移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.【解析】（1）这个函数的定义域为(0,12) .当04x<≤时，1422S f x x x==⨯=（）；当4<8x≤时，8S f x==（）；当8<12x<时，14122122422S f x x x x==⨯⨯-=-=-（）（）（）.∴这个函数的解析式为2(0,4]()8(4,8]242(8,12)x xf x xx x∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩（2）其图形如图所示：由图知，()y f x=的最大值为8 .【点评】这是一个分段函数的球解析式问题，要注意在不同条件下列出对应的关系式，最后结果要写成分段函数的形式，注意自变量的取值范围．【变式与拓展】3. 函数()|1|f x x=-|的图象是【解析】函数化简得11()11x xf xx x-≥⎧=⎨-<⎩，所以选B.能力训练一、选择题1．（2006湖北）设()xxxf-+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛xfxf22的定义域为（ B ） A. ()()4,00,4Y- B. ()()4,11,4Y--C. ()()2,11,2Y-- D. ()()4,22,4Y--2. 已知函数331()xf x-=的定义域是R，则实数a的取值范围是（ B ）A.a＞13a> B.120a-<≤ C. 120a-<< D.13a≤24 6 81012O xy24683.（2004湖北）已知f （x x+-11）=2211x x +-，则f （x ）的解析式可取为（ ）A.21xx+ B. 221x x -+ C. 212x x+ D. 21x x -+ 4.（2009江西）函数y =的定义域为 （ D ）A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-U5.某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是 （ D ）A.10%B.15%C.18%D.20% 6．（2006年广东）函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是 ( B )A.),31(+∞-B.)1,31(- C.)31,31(- D.)31,(--∞ 二 填空题7．函数y =22++-x x 的定义域为[1,2]-，值域为3[0,]2.8．（2004浙江文）已知10()00x f x x ≥⎧=⎨<⎩则不等式()2xf x x +≤的解集是{|1}x x ≤.9．（2006年辽宁）设0(),0x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g =12.10.设函数f （x ）=2(1)1()41x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的x 的取值范围是,2010∞U （--］［，］. 三 解答题11. ( 2006年重庆)已知定义域为R 的函数()f x 满足22(())()f f x x x f x x x -+=-+， （1）若(2)3f =，求f (1)；又若(0)f a =，求()f a ；（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式. 【解析】（1）因为对任意x R ∈，有22(())()f f x x x f x x x -+=-+，所以22((2)22)(2)22f f f -+=-+，又由(2)3f =，得22(322)3221f -+=-+=，即(1)1f =. 若(0)f a =，则22(00)00f a a -+=-+，即()f a a = . （2）因为对任意x R ∈，有22(())()f f x x x f x x x -+=-+， 又因为有且只有一个实数0x ，使得00()f x x =，所以对任意x R ∈，有20()f x x x x -+= 在上式中令0x x =，有20000()f x x x x -+=又因为00()f x x =，所以2000x x -=，故00x =或01x =.若00x =，则2()0f x x x -+=，即2()f x x x =-.但方程2x x x -=有两个不同实根，与题设条件矛质，故00x ≠.若01x =，则有2()1f x x x -+=，即2()1f x x x =-+，易验证该函数满足题设条件. 综上，所求函数为2()1f x x x =-+()x R ∈.12.某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min 以内收费0.2元，超过3 min 的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min 按1 min 计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min 以内、1到2 min 以内、2到3 min 以内、3到4 min 以内的次数之比为4:3:1:1. 问：根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m 到m +1 min 以内指含m min ，而不含m +1 min ） 【解析】设小灵通每月的费用为1y 元，全球通的费用为2y 元，分别在1 min 以内、2 min 以内、3 min 以内、4 min 以内的通话次数为4x 、3x 、x 、x ，则125430.20.1251.9y x x x x x x =++++⨯+=+（）， 2102(0.240.430.60.8)10 6.8y x x x x x =+⨯+⨯++=+ .令12y y ≥，即251.910 6.8x x +≥+，解得153.064.9x ≤≈. ∴总次数为43112 3.0655.1+++⨯⨯=（）.故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.第二节 函数的单调性自主学习1. 增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <〔或都有12()()f x f x >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数()y f x =在某个区间上是增函数（或减函数），就说()f x 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间. 2. 函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f （x ），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减. （2）定性刻画：对于给定区间上的函数f （x ），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减. （3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.3. 讨论复合函数单调性的根据：设()y f u =，()u g x =，[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数.（1）若()y f u =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与()u g x =的增减性相同； （2）若()y f u =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =的增减性与()u g x =的增减性相反. 4.判断函数单调性的方法：定义法，导数法，图像法，特殊值法（主要用于解选择题或填空题）.5.函数单调性的应用：比较函数值的大小，求某些函数的值域，解证某些不等式，讨论根的分布等.教材透析1 判断函数单调性：（1）定义法：给定区间D 上的函数()f x ，若对12,x x D ∈，且12x x <，都有12()()f x f x <（或12()()f x f x >）则称函数()f x 在D 上是增函数（或减函数）.与定义等价的判断方法：12,x x D ∈，若1212()()0f x f x x x ->- （或1212(()())()0f x f x x x -->），则称函数在D 上是增函数.2.导数法：给定区间D 上的函数()f x ，求其导数()f x '，对于x D ∈，若()0(0)f x '><， 则函数()f x 在D 上是增函数（或减函数.3.函数的单调区间：函数的单调区间可能是连续的，也可能是分散的，分散的单调区间中间用“，”分开，如1y x=的减区间(,0)-∞，(0,)+∞，不能写成(,0)(0,)-∞+∞U . 4.函数的最值：函数的最值是是函数值域中的特殊值，故求函数最值的方法与求值域的方法差不多，要考虑取“=”的条件是否满足.典例剖析【题型1】函数单调性的判断与证明【例1】定义在R 上的函数()f x ，(0)0f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的a 、b R ∈，有()()()f a b f a f b +=⋅.（1）求证：(0)1f =； （2）求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >； （3）求证：()f x 是R 上的增函数； （4）若2()(2)1f x f x x ⋅>－，求x 的取值范围. 【解析】（1）证明：令0a b ==，则2(0)(0)f f =，又(0)0f ≠，∴(0)1f =.（2）证明：当0x <时，0x ->，∴(0)()()1f f x f x =⋅-=， ∴f （－x ）=1()0()f x f x -=>，又0x ≥时，()10f x ≥>， ∴x R ∈时，恒有()0f x >.（3）证明：设12x x <，则210x x ->，∴2211211()[()]()()f x f x x x f x x f x =-+=-⋅.∵210x x ->，∴211f x x ->（）， 又1()0f x >，∴2111()()()f x x f x f x -⋅>， ∴21()()f x f x >，∴()f x 是R 上的增函数.（4）解：由2()(2)1f x f x x ⋅>－，(0)1f =，得2(3(0)f x x f >－)，又()f x 是R 上的增函数，∴230x x ->，∴03x <<.【点评】解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“2211()[()]f x f x x x =-+”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.【变式与拓展】 1. 设函数)0(1)(2>-+=a ax x x f ，求证：当且仅当1a ≥时，()f x 在),0[+∞内为单调函数；【解析】a x x x f -+='1)(2Θ，①当1a ≥1a ≤<≤，∴()[0,)f x +∞在上单调递减，②当01a <<时，由()0f x '<，得00x x ≤<⇒≤<；由()0f x '>得x x >⇒>；∴当01a <<时，()f x 在上为减函数，在)+∞上为增函数，∴当01a <<时，()f x 在 ),0[+∞上不是单调函数.综上，当且反当1a ≥时，()f x 在),0[+∞上为单调函数.【题型2】 利用单调性讨论参数的范围【例2】已知函数1()()f x m x x =+）的图象与函数11()()24h x x x=++的图象关于点(0,1)A 对称.（1）求m 的值；（2）若()()4ag x f x x=+在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）设(,)P x y 为函数()h x 图象上一点，点P 关于A 的对称点为00(,)Q x y ，则有0x x =-，且02y y =-.∵点00(,)Q x y 在1()()f x m x x=+上， ∴0001()y m x x =+. 消去0x 、0y 代入，得12()y m x x -=--， 整理，得1()2y m x x =++，∴m =14m =.（2）∵11()()4ag x x x+=+，设1x 、2(0,2]x ∈，且12x x <，则12121212(1)1()()()04x x a g x g x x x x x -+-=->对一切x 1、x 2∈（0，2］恒成立. ∴121)0x x a +<-(对一切1x 、2(0,2]x ∈恒成立. ∴由1214a x x +>≥，得3a >． 【变式与拓展】2 .（2004广东）设函数()|1|(0)f x x =->，证明：当0a b <<，且()()f a f b =时，1ab >. 【证明】()f x 在(0,1]上是减函数，在(1,)+∞上是增函数.由0a b <<且()()f a f b =，得01a b <<<且1111a b -=-，即112a b+=⇔2a b ab +=≥1ab >.【题型3】 函数的值域或最值【例3】（2006江苏）设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为()g a . （1）设t =，求t 的取值范围，并把()f x 表示为t 的函数()m t ；（2）求g (a )；（3）试求满足)1()(a g a g =的所有实数a .【解析】（1）∵x x t -++=11，∴要使t 有意义，必须01≥+x 且01≥-x ，即11≤≤-x .∵]4,2[12222∈-+=x t ，且0≥t ……① ∴t 的取值范围是]2,2[. 由①得：121122-=-t x ，∴t t a t m +-=)121()(2a t at -+=221，]2,2[∈t .（2）由题意知)(a g 即为函数)(t m a t at -+=221，]2,2[∈t 的最大值， ∵直线a t 1-=是抛物线)(t m a t at -+=221的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论： （1）当0>a 时，函数)(t m y =，]2,2[∈t 的图象是开口向上的抛物线的一段，由01<-=at 知)(t m 在]2,2[∈t 上单调递增，故)(a g )2(m =2+=a ；（2）当0=a 时，t t m =)(，]2,2[∈t ，有)(a g =2；（3）当0<a 时，，函数)(t m y =，]2,2[∈t 的图象是开口向下的抛物线的一段，若at 1-=]2,0(∈即22-≤a 时，)(a g 2)2(==m ，若a t 1-=]2,2(∈即]21,22(--∈a 时，)(a g aa a m 21)1(--=-=， 若a t 1-=),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时，)(a g )2(m =2+=a .综上所述，有)(a g =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(2)2122(,21)21(2a a a a a a . （3）当21->a 时，)(a g 2+=a 223>>；当2122-≤<-a 时，)22,21[∈-a ，]1,22(21∈-a ，∴aa 21-≠-， )(a g 2)21()(221=-⋅->--=a a a a ，故当22->a 时，)(a g 2>； 当0>a 时，01>a ，由)(a g )1(a g =知：2+a 21+=a ，故1=a ；当0<a 时，11=⋅a a ，故1-≤a 或11-≤a ，从而有2)(=a g 或2)1(=ag ，要使)(a g )1(ag =，必须有22-≤a ，221-≤a ，即222-≤≤-a ，此时，2)(=a g )1(ag =。

3．1 函数3．1.1 对函数概念的再认识教材要点要点一函数的概念(1)非空性：函数定义中的集合A，B必须是两个非空实数集．(2)任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值．(3)单值性：每一个自变量有唯一的函数值与之对应．(4)方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系．要点二两个函数相等两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等．状元随笔由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均取数值)之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y和它对应．要点三常见函数的定义域和值域1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为________，值域是________．2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是__________，当a＞0时，值域为__________________，当a＜0时，值域为__________________．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( )(4)两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数．( )2．下列可作为函数y＝f(x)的图象的是( )的定义域是( )3．函数y＝√x−1A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|x＞1}D．{x|x＜1}4．若f(x)＝x－√x+1，则f(3)＝________．题型1 函数关系的判断例1 (1)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积(2)设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤2}，能表示从集合A到集合B的函数关系的是( )方法归纳(1)判断所给对应是否为函数的方法 ①首先观察两个数集A ，B 是否非空；②其次验证对应关系下，集合A 中x 的任意性，集合B 中y 的唯一性，既不能没有数y 对应数x ，也不能有多于一个的数y 对应x .(2)根据图形判断对应是否为函数的方法步骤 ①任取一条垂直于x 轴的直线l ； ②在定义域内平行移动直线l ；③若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．跟踪训练1 (1)(多选)已知集合M ＝{－1，1，2，4}，N ＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y ＝x 2，②y ＝x ＋1，③y ＝x －1，④y ＝|x |.其中不能构成从M 到N 的函数的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④(2)图中所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4题型2 求函数的定义域 例2 (1)函数f (x )＝√1−x +1x+3的定义域为( )A ．{x |－3＜x ≤0}B ．{x |－3＜x ≤1}C ．{x |x ＜－3或－3＜x ≤0}D ．{x |x ＜－3或－3＜x ≤1}(2)函数f (x )＝(x −12)0＋√x +2的定义域为( )}A．{x|x≥−2且x≠12B．{x|x≥－2}}C．{x|x＞−2且x≠12D．{x|x＞－2}方法归纳求给出解析式的函数的定义域的基本步骤常见函数的定义域(1)f(x)为整式型函数时，定义域为R；(2)由于分式的分母不为0，所以当f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；(3)由于偶次根式的被开方数非负，所以当f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数为非负的实数的集合；(4)函数y＝x0中的x不为0；(5)如果函数是由一些简单函数通过四则运算构成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集．跟踪训练2 (1)函数f(x)＝√−x的定义域为( )2x2−3x−2A．{x|x≤0}}B．{x|x≤−12}C．{x|x≤0且x≠−12＜x≤0}D．{x|−12的定义域为________．(2)函数y＝√x+3x−2题型3 两个函数是相等函数的判断例3 (多选)下列各组函数是相等函数的是( )A．f(x)＝√−2x3与g(x)＝x·√−2xB ．f (x )＝x 与g (x )＝√x 2C ．f (x )＝x 0与g (x )＝1xD ．f (x )＝x 2－x ＋1与g (t )＝t 2－t ＋1方法归纳判断相等函数的三个步骤和两个注意点(1)判断相等函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3 下列函数中与函数y ＝x 2是相等函数的是( ) A ．u ＝v 2B ．y ＝x ·|x |C ．y ＝x 3x D ．y ＝(√x )4题型4 函数值与函数的值域例4 (1)设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x+2，求： ①f (2)，f (a ＋3)，g (a )＋g (0)(a ≠－2)； ②g (f (2))，f (g (2))． (2)求下列函数的值域． ①y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]； ②y ＝2xx+1； ③y ＝x －√1−2x .方法归纳1．函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．2．求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b±√cx+d(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．跟踪训练4 (1)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )A．y＝√x B．y＝√xC．y＝1xD．y＝x2＋1(2)已知函数f(x)＝x+1x+2.求f(2)；f(f(1))．易错辨析忽略参数取值范围致误例5 若函数f(x)＝√mx2−mx+2的定义域为R，则实数m的取值范围是________．解析：函数f(x)＝√mx2−mx+2的定义域为R，即mx2－mx＋2＞0恒成立．当m＝0时，易知成立，当m≠0时，需满足{m＞0，Δ=m2−8m＜0，∴0＜m＜8，综上所述，0≤m＜8.答案：0≤m＜8易错警示课堂十分钟1．下列各图中，一定不是函数图象的是( )2．函数f (x )＝√1−3xx的定义域为( )A ．{x|x ≤13}B ．{x|x ＜13}C ．{x|0＜x ≤13}D ．{x|x ≤13且x ≠0}3．下列各组函数中，表示相等函数的是( ) A ．f (x )＝√x 2，g (x )＝(√x )2B ．f (x )＝√x 2，g (x )＝|x |C ．f (x )＝1，g (x )＝x 0D ．f (x )＝x+1x 2−1，g (x )＝1x−14．已知函数f (x )＝11+x ，又知f (t )＝6，则t ＝________． 5．已知函数f (x )＝1x+1+√x +2.(1)求f (x )的定义域； (2)若a ＞0，求f (a －1)的值．第三章 函数的概念与性质3．1 函数3．1.1 对函数概念的再认识新知初探·课前预习要点一实数集 唯一确定 x 要点三 1．R R 2．R [4ac−b 24a，+∞) (−∞，4ac−b 24a][基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．解析：由函数的定义可知D 正确． 答案：D3．解析：要使函数y ＝√x−1有意义，则必须{x −1≥0，√x −1≠0.∴x >1，故选C. 答案：C4．解析：f (3)＝3－√3+1＝3－2＝1. 答案：1题型探究·课堂解透例1 解析：(1)对B ，集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数的定义；对C ，集合A 中的元素0取倒数没有意义，在集合B 中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D ，A 集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.(2)A 中，函数的值域为{y |0≤y ≤2}，不满足条件；B 中，函数的值域为{y |0≤y ≤2}，不满足条件；C 中，在0≤x <2内，一个x 有两个y 与之对应，不满足条件；D 中，每个x 都有唯一确定的y 与之对应，是函数关系．故选D.答案：(1)A (2)D跟踪训练1 解析：(1)①中，当x ＝4时，y ＝42＝16∉N ，故不能构成函数．②中，当x ＝－1时，y ＝－1＋1＝0∉N ，故不能构成函数；③中，当x ＝－1时，y ＝－1－1＝－2∉N ，故不能构成函数；④中，当x ＝±1时，y ＝|x |＝1∈N ，当x ＝2时，y ＝|x |＝2∈N ，当x ＝4时，y ＝|x |＝4∈N ，故构成函数．故选ABC.(2)根据函数的概念可知③④是函数的图象．故选B. 答案：(1)ABC (2)B例2 解析：(1)要使函数f (x )有意义， 则{1−x ≥0，x +3≠0，解得x ≤1且x ≠－3， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≤1且x ≠－3}，即{x |x ＜－3或－3＜x ≤1}．故选D. (2)要使函数f (x )有意义，则{x ≠12，x +2≥0，解得x ≥－2且x ≠12，故选A. 答案：(1)D (2)A跟踪训练2 解析：(1)要使函数f (x )有意义， 则{−x ≥0，2x 2−3x −2≠0，解得x ≤0且x ≠－12，故选C. (2)∵函数解析式为y ＝√x+3x−2， ∴x ＋3≥0且x ≠2， ∴x ≥－3且x ≠2.答案：(1)C (2){x |x ≥－3且x ≠2}例3 解析：A 中，定义域都是(－∞，0]，但解析式不相同；B 中，g (x )＝√x 2＝|x |与f (x )＝x 解析式不同；C 、D 是相等函数．答案：CD跟踪训练3 解析：函数y ＝x 2的定义域为R ，对于A 项，u ＝v 2的定义域为R ，对应法则与y ＝x 2一致，则A 正确；对于B 项，y ＝x ·|x |的对应法则与y ＝x 2不一致，则B 错误；对于C 项，y ＝x 3x 的定义域为{x |x ≠0}，则C 错误；对于D 项，y ＝(√x )4的定义域为{x |x ≥0}，则D 错误；故选A.答案：A例4 解析：(1)①f (2)＝2×22＋2＝10；f (a ＋3)＝2(a ＋3)2＋2＝2a 2＋12a ＋20；g (a )＋g (0)＝1a+2+12；②g (f (2))＝g (10)＝110+2＝112；f (g (2))＝f (14)＝2×(14)2＋2＝178.(2)①因为x ∈(－1，3]，所以－12≤－4x <4，所以－9≤3－4x <7， 所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]的值域是[－9，7)． ②因为y ＝2xx+1＝2(x+1)−2x+1＝2－2x+1≠2，所以函数y ＝2x x+1的值域为{y |y ≠2}． ③设√1−2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1−t 22，所以y ＝1−t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋1)＝－12(t ＋1)2＋1，因为t ≥0，所以y ≤12，所以函数y ＝x －√1−2x 的值域为(−∞，12].跟踪训练4 解析：(1)A 中，由x ≥0得y ＝√x ≥0，∴y ＝√x (x ≥0)的值域为[0，＋∞)，A 不符合；B 中，设√x ＝t ，由x >0得t ＝√x >0，由y ＝1t (t >0)的图象知其值域为(0，＋∞)，B 符合；C 中，由y ＝1x (x ≠0)的图象知，y ＝1x 的值域为(－∞，0)∪(0，+∞)，C 不符合；D 中，y ＝x 2＋1≥1，值域为[1，＋∞)，不符合．(2)①f (2)＝2+12+2＝34； ②∵f (1)＝1+11+2＝23；∴f (f (1))＝f (23)＝23+123+2＝58.答案：(1)B (2)见解析[课堂十分钟]1．解析：对于A 选项，由图象可知，存在x 同时对应两个函数值y ，A 选项中的图象不是函数图象；对于B 选项，由图象可知，每个x 有唯一的函数值y 与之对应，B 选项中的图象是函数图象；对于C 选项，由图象可知，每个x 有唯一的函数值y 与之对应，C 选项中的图象是函数图象；对于D 选项，由图象可知，每个x 有唯一的函数值y 与之对应，D 选项中的图象是函数图象．故选A.答案：A2．解析：要使f (x )有意义，只需满足{1−3x ≥0，x ≠0，即x ≤13且x ≠0.故选D.11 答案：D3．解析：对于选项A ：f (x )＝√x 2的定义域为R ，g (x )＝(√x )2的定义域为[0，＋∞)，定义域不同不是相等函数，故A 不正确；对于选项B ：f (x )＝√x 2＝|x |，g (x )＝|x |是相等函数，故B 正确；对于选项C ：f (x )＝1定义域为R ，g (x )＝x 0＝1，定义域为{x |x ≠0}，定义域不同不是相等函数，故C 不正确；对于选项D ：f (x )＝x+1x 2−1的定义域为{x |x ≠±1}，g (x )＝1x−1的定义域为{x |x ≠1}，定义域不同不是相等函数，故D 不正确；故选B.答案：B4．解析：由f (t )＝6，得11+t ＝6，即t ＝－56.答案：－565．解析：(1)由{x +1≠0x +2≥0，解得x ≥－2且x ≠－1，故f (x )的定义域为{x |x ≥−2且x ≠−1}；(2)若a >0，f (a －1)＝1a−1+1+√a −1+2＝1a +√a +1.。

新教材湘教版2019版数学必修第一册第3章知识点清单目录第3章函数的概念与性质3. 1 函数3. 2 函数的基本性质3. 2. 1 函数的单调性与最值3. 2. 2 函数的奇偶性3. 1 函数一、函数的概念1. 函数的有关概念2. 两个函数相等两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U 都有f(x)=g(x)时，叫作相等. 也就是说，即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么它们不是同一个函数.二、表示函数的方法三、简单的分段函数一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数.四、已知函数解析式求定义域 (1)如果函数的解析式是整式，那么在没有特殊说明的情况下，函数的定义域是实数集R.(2)如果函数解析式中含分式或0次幂，那么函数的定义域应使分母或0次幂的底数不为零.(3)如果函数解析式中含偶次根式，那么函数的定义域应使偶次根式有意义.(4)如果函数解析式是由几部分式子混合运算后构成，那么函数的定义域应使各部分式子都有意义，定义域为各部分自变量取值集合的交集.(5)由实际背景确定的函数，其自变量的值不仅要使解析式本身有意义，还要考虑自变量的实际意义.五、求抽象函数的定义域 1. 求抽象函数的定义域应明确的几点(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围.(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的取值范围.(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在相同的对应关系f下的取值范围相同.2. 抽象函数定义域的求解方法(1)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，实质是已知φ(x)的取值范围为A，求x 的取值范围.(2)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，实质是已知x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围，此范围就是f(x)的定义域.(3)已知f(φ(x))的定义域为C，求f(g(x))的定义域，实质是已知φ(x)中的x的取值范围为C，求出φ(x)的取值范围D，再令g(x)的取值范围为D，求出g(x)中x的取值范围，此范围就是f(g(x))的定义域.六、函数的求值问题 1. 求自变量的值为a时的函数值的方法(1)已知函数f(x)的解析式时，只需用常数a替换解析式中的x并进行计算，即得f(a) 的值.(2)已知函数f(x)与g(x)的解析式，求f(g(a))的值，应遵循由内到外的原则.注意：用来替换解析式中x的常数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义. 2. 已知函数值a，求自变量的对应值的方法(1)已知函数f(x)的解析式时，列方程f(x)=a并求解，即可得到函数值为a时自变量的对应值.(2)已知函数f(x)与g(x)，求f(g(x))=a中的x的值时，可以由内到外，也可由外到内进行求解.七、函数解析式的求法 1. 当函数类型已知时，可采用“先设后求，待定系数”法来求其解析式. 解题步骤如下：(1)设出含有待定系数的解析式. 如一次函数解析式设为f(x)=ax+b(a≠0)；反比例函数解析式设为f(x)=k(k≠0)；二次函数解析式可根据条件设为x①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，②顶点式：f(x)=a(xh)2+k(a≠0)，③交点式：f(x)=a(xx1)(xx2)(a≠0).(2)根据已知条件列出关于待定系数的方程或方程组.(3)解方程或方程组，得到待定系数的值.(4)将所求待定系数的值代入所设的解析式并化简整理.2. 函数类型未知时，可根据条件选择以下方法求其解析式.(1)代入法：已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式，通常把g(x)作为一个整体替换f(x) 中的x.(2)换元法：已知f(g(x))是关于x的函数，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此将x用含t的式子表示，得出x=h(t)，将x=h(t)代入f(g(x))，得到f(t)的解析式，再用字母x替换字母t，便可得到f(x)的解析式.(3)配凑法：将所给函数的解析式f(g(x))通过配方、凑项等方法，使之变形为关于g(x)的函数解析式，然后把g(x)整体代换为x，即得所求函数解析式，这里的g(x)可以是整式、分式、根式等.)或f(x)的关系式，可根据已知条件再构造出另外(4)消元法(方程组法)：已知f(x)与f(1x一个等式，二者组成方程组，通过解方程组求出f(x).(5)赋值法：依题目的特征，可对变量赋特殊值，由特殊到一般寻找普遍规律，从而根据找出的一般规律求出函数解析式. 此方法主要适用于抽象函数求解析式.八、如何理解与解决分段函数问题 1. 正确理解分段函数(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数.(2)处理分段函数的求值问题时，一定要明确自变量的取值属于哪一个区间.(3)分段函数的定义域是各段的“定义域”的并集，其值域是各段的“值域”的并集.(4)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量在区间端点处的取值情况. 2. 分段函数的求值策略(1)已知自变量的值求函数值的步骤：①确定自变量属于哪一个区间；②代入相应段的解析式求值. 当出现f(f(x0))(x0为自变量的某个值)的形式时，应从内到外依次求值.(2)已知函数值求对应的自变量的值，可分别利用各段函数的解析式求得自变量的值，但应注意检验各段求出的值是否在本段函数的定义域内. 也可先判断每一段上的函数值的范围，确定相应的解析式后再求解.3. 2 函数的基本性质3. 2. 1 函数的单调性与最值一、函数的最值1. 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集. 如不加说明，我们认为I是个区间.2. 如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=a处取到最大值M=f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点.3. 如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=b处取到最小值N=f(b)，称N为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点.4. 最大值和最小值统称为最值.二、函数的单调性具有(严格的)单调性，区间I叫作y=f(x)的单调区间.三、函数单调性的判断与证明 1. 利用定义证明函数f(x)在给定的区间I上的单调性的一般步骤第一步：取值，设x1，x2是区间I内的任意两个值，且x1<x2.第二步：作差，即f(x1)f(x2)(或f(x2)f(x1)).第三步：变形，通过因式分解、配方、分母有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.第四步：判断正负，确定f(x1)f(x2)(或f(x2)f(x1))的正负，当正负不确定时，需进行分类讨论.第五步：下结论，指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性.注意：第一步强调取值的任意性；第二步也可以用作商法比较；第三步是关键，在变形时一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个非负数的和的形式.2. 函数单调性的等价变形>0⇔f(x)在I上是增函数；任取x1，x2∈I，且x1≠x2，那么(x1x2)·[f(x1)f(x2)]>0⇔f(x1)−f(x2)x1−x2(x1x2)[f(x1)f(x2)]<0⇔f(x1)−f(x2)<0⇔f(x)在I上是减函数.x1−x23. 常见函数的单调性由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合，得到函数y=f(g(x))，其单调性的判断方法如下表：相异时单调递减.四、函数单调性的应用 1. 利用函数的单调性解不等式(1)利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的概念，将符号f“脱掉”，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.(2)解有关抽象函数的不等式问题的一般步骤：①将不等式化为f(x1)<f(x2)的形式，其中x1，x2在f(x)的定义域D内；②若函数f(x)是D上的增函数，则x1<x2，若函数f(x)是D上的减函数，则x1>x2.2. 利用函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)利用单调性的定义：在单调区间内任取x1，x2，且x1<x2，由f(x1)f(x2)<0(或f(x1)f(x2)> 0)恒成立求参数的取值范围.(2)利用具体函数本身所具有的特征：如根据二次函数的图象的对称轴相对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式，解不等式求参数的取值范围.注意：若某个函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的.根据分段函数的单调性求参数的取值范围时，一般从两方面考虑：一方面，每个分段区间上的函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面，要考虑分界点处函数值之间的大小关系，由此列出另外的式子，从而解得参数的取值范围.五、求二次函数最值的常见类型及解法 1. 求二次函数的最大(小)值有两种类型：一种是函数的定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；另一种是函数的定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论.2. 求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m，n]上的最值一般分为以下几种情况：(1)若b2a 在区间[m，n]内，则最小值为f(−b2a)，最大值为f(m)，f(n)中的较大者.(2)若b2a<m，则f(x)在区间[m，n]上单调递增，最大值为f(n)，最小值为f(m).(3)若b2a>n，则f(x)在区间[m，n]上单调递减，最大值为f(m)，最小值为f(n).3. 2. 2 函数的奇偶性一、偶函数、奇函数的定义1. 用图象特征描述函数的奇偶性(1)如果F(x)的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，就称F(x)是偶函数.(2)如果F(x)的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，就称F(x)是奇函数.2. 用数学符号语言描述函数的奇偶性(1)如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义，并且F(x)=F(x)成立，则称F(x)为偶函数.(2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义，并且F(x)=F(x)成立，则称F(x)为奇函数.二、如何判断函数的奇偶性 1. 判断函数奇偶性的常见方法(1)定义法：(2)图象法：2. 分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，必须判断每一段函数是否都具有相同的奇偶性，也可以作出函数图象，结合对称性判断.三、函数奇偶性的应用 1. 由函数的奇偶性求参数(1)函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.(2)若函数解析式中含参数，则根据f(x)=f(x)或f(x)=f(x)求参数的值；若定义域的表示中含参数，则根据定义域关于原点对称，利用关于原点对称的区间端点值之和为0求参数的值.2. 由函数的奇偶性求函数值由函数的奇偶性求函数值时，若函数具有奇偶性，则利用f(x)=f(x)或f(x)=f(x)求解；若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值.3. 由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤(1)在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间.(2)把x对称转化到已知解析式的区间上，利用已知的解析式进行代入.(3)利用函数的奇偶性把f(x)改写成f(x)或f(x)，从而求出f(x).四、函数奇偶性与单调性的综合应用 1. 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.2. 利用函数的奇偶性与单调性比较不同单调区间内的函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内，然后利用单调性比较.3. 利用函数的奇偶性与单调性解决不等式问题时，一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的单调性列出不等式(组)，要注意函数的定义域对参数的影响.。

指数函数及其性质
一、学习目标：
1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；
2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域；
3.掌握比较同底数幂大小的方法；
4. 培养学生数学应用意识。

二、学法指导：自主学习
三、教学过程：
（一）复习：的图象和性质
（二）新课讲解：
求下列函数的定义域、值域：
⑴⑵⑶
分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围
解（1）由x-1≠0得x≠1
所以，所求函数定义域为{x|x≠1}
由，得y≠1
所以，所求函数值域为{y|y>0且y≠1}
说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令，考察指数函数y=,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理
（2）由5x-1≥0得
所以，所求函数定义域为{x|}
由≥0得y≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
（3）所求函数定义域为R
由>0可得+1>1
所以，所求函数值域为{y|y>1}
通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性
四、课堂小练
五、课堂小结：本节课学习了以下内容：指数形式的函数定义域、值域的求法
六、学习感悟
七、作业：
- 1 - / 1。

函数的概念与表示自主学习1．映射的定义：设,A B 是两个非空集合，如果按照对应法则f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A B →．2．一一映射：对于从集合A 到集合B 的映射，若B 中的任意一个元素在A 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的映射叫作从集合A 到集合B 的一一映射．3．象与原象：对于给定的一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈，元素a 与元素b 对应，那么元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．设原象a 组成的集合为M ，则有M A =，设与原象a 对应的象b 组成的集合为N ，则N B ⊆．4．函数的概念：如果A 、B 都是非空的数集，那么从集合A 到集合B 的映射f ：A B →叫做A 到B 的函数．原象的集合A 叫做函数的定义域，象的集合叫做函数的值域．5.函数的三要素：定义域；值域；对应法则．在这三要素中，值域可以由定义域和对应法则唯一确定，故可以说函数只有两要素．两个函数是同一个函数的条件是：它们的三要素均相同．教材透析知识点1 映射是特殊的对应，其特殊性在于，它只能是“一对一” 或“多对一”的对应．故判断一个对应是不是映射的方法是：首先检验集合A 中的每一个元素是否在集合B 中都有象，然后看集合A 中每一个元素的象是否唯一．知识点2 函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A 和集合B 只能是非空数集．函数是映射，但是映射不一定是函数；函数不一定都有解析式．知识点3 当且仅当两个函数的三要素均相同时，才是同一个函数．知识点4 函数定义域一般有两种形式：即自然定义域和限定定义域．对于来自于实际问题中的函数，其定义域要符合问题的实际，属于限定定义域；自然定义域是函数自身的自变量的取值范围，有以下几种情况：①分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于零；③对数的真数和底数大于零，且底数不等于1；④指数式中，指数为零时，底数不能为零．典例剖析【题型1】求函数值【例1】如果函数3f x x a =+（）（）对任意x R ∈都有11f x f x +=--（）（），试求22f f +（）（-）的值. 【解析】∵对任意x R ∈，总有11f x f x +=--（）（）f ， ∴当0x =时应有1010f f +=--（）（）， 即11f f =-（）（），∴(1)0f =.又∵3f x x a =+（）（），∴31f x =+（1）（）， 故有310a +（）＝得1a =-，∴31f x x =-（）（）. ∴3333222121)13)26f f +=--（）（-）（）+(-＝+(-＝- . 【点评】这是一个抽象函数的求值问题，关键是有一只条件确定a 的值，求出函数解析式．【变式与拓展】1. （2006年安徽卷）函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若()15,f =-则((5))f f = . 【解析】由1(2)()f x f x +=得1(4)()(2)f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则11((5))(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+．【题型2】 求函数解析式【例2】设()f x 是定义在R 上的函数，对一切x R ∈均有20f x f x ++=（）（），当1<1x -≤时，21f x x =-（），求当13x <≤时，函数()f x 的解析式. 【解析】设13x <≤，则1<21x --≤，又对任意的x ，有 20f x f x ++=（）（），∴2f x f x +=-（）（）， ∴2[22]f x f x f x -=--+=-（）（）（）， 又1<21x --≤时，222125f x x x -=--=-（）（）， ∴2251<3f x f x x x =--=-+≤（）（）（）.【变式与拓展】2. 如果[]21f f x x =-（），求一次函数()f x 的解析式.【解析】设f x kx b =+（），则2]f f x kf x b k kx b b k x kb b =+=++=++［（）（）（）. 由于该函数与21y x =-是同一个函数，∴22k =且1kb b +=-，∴k =当k =1b =；当k =b=1+1b =∴()1f x =+()1f x =++【题型3】 分段函数【例3】如右图，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点（起点）向A 点（终点）移动，设点P 移动的路程为x ，ABP ∆的面积为()y f x =.B（1）求ABP∆的面积与P移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.【解析】（1）这个函数的定义域为(0,12) .当04x<≤时，1422S f x x x==⨯=（）；当4<8x≤时，8S f x==（）；当8<12x<时，14122122422S f x x x x==⨯⨯-=-=-（）（）（）.∴这个函数的解析式为2(0,4]()8(4,8]242(8,12)x xf x xx x∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩（2）其图形如图所示：由图知，()y f x=的最大值为8 .【点评】这是一个分段函数的球解析式问题，要注意在不同条件下列出对应的关系式，最后结果要写成分段函数的形式，注意自变量的取值范围．【变式与拓展】3. 函数()|1|f x x=-|的图象是【解析】函数化简得11()11x xf xx x-≥⎧=⎨-<⎩，所以选B.能力训练一、选择题1．（2006湖北）设()xxxf-+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛xfxf22的定义域为（ B ） A. ()()4,00,4Y- B. ()()4,11,4Y--C. ()()2,11,2Y-- D. ()()4,22,4Y--2. 已知函数331()xf x-=的定义域是R，则实数a的取值范围是（ B ）A.a＞13a> B.120a-<≤ C. 120a-<< D.13a≤24 6 81012O xy24683.（2004湖北）已知f （x x+-11）=2211x x +-，则f （x ）的解析式可取为（ ）A.21xx+ B. 221x x -+ C. 212x x+ D. 21x x -+ 4.（2009江西）函数y =的定义域为 （ D ）A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-U5.某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是 （ D ）A.10%B.15%C.18%D.20% 6．（2006年广东）函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是 ( B )A.),31(+∞-B.)1,31(- C.)31,31(- D.)31,(--∞ 二 填空题7．函数y =22++-x x 的定义域为[1,2]-，值域为3[0,]2.8．（2004浙江文）已知10()00x f x x ≥⎧=⎨<⎩则不等式()2xf x x +≤的解集是{|1}x x ≤.9．（2006年辽宁）设0(),0x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g =12.10.设函数f （x ）=2(1)1()41x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的x 的取值范围是,2010∞U （--］［，］. 三 解答题11. ( 2006年重庆)已知定义域为R 的函数()f x 满足22(())()f f x x x f x x x -+=-+， （1）若(2)3f =，求f (1)；又若(0)f a =，求()f a ；（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式. 【解析】（1）因为对任意x R ∈，有22(())()f f x x x f x x x -+=-+，所以22((2)22)(2)22f f f -+=-+，又由(2)3f =，得22(322)3221f -+=-+=，即(1)1f =. 若(0)f a =，则22(00)00f a a -+=-+，即()f a a = . （2）因为对任意x R ∈，有22(())()f f x x x f x x x -+=-+， 又因为有且只有一个实数0x ，使得00()f x x =，所以对任意x R ∈，有20()f x x x x -+= 在上式中令0x x =，有20000()f x x x x -+=又因为00()f x x =，所以2000x x -=，故00x =或01x =.若00x =，则2()0f x x x -+=，即2()f x x x =-.但方程2x x x -=有两个不同实根，与题设条件矛质，故00x ≠.若01x =，则有2()1f x x x -+=，即2()1f x x x =-+，易验证该函数满足题设条件. 综上，所求函数为2()1f x x x =-+()x R ∈.12.某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min 以内收费0.2元，超过3 min 的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min 按1 min 计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min 以内、1到2 min 以内、2到3 min 以内、3到4 min 以内的次数之比为4:3:1:1. 问：根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m 到m +1 min 以内指含m min ，而不含m +1 min ） 【解析】设小灵通每月的费用为1y 元，全球通的费用为2y 元，分别在1 min 以内、2 min 以内、3 min 以内、4 min 以内的通话次数为4x 、3x 、x 、x ，则125430.20.1251.9y x x x x x x =++++⨯+=+（）， 2102(0.240.430.60.8)10 6.8y x x x x x =+⨯+⨯++=+ .令12y y ≥，即251.910 6.8x x +≥+，解得153.064.9x ≤≈. ∴总次数为43112 3.0655.1+++⨯⨯=（）.故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.第二节 函数的单调性自主学习1. 增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <〔或都有12()()f x f x >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数()y f x =在某个区间上是增函数（或减函数），就说()f x 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间. 2. 函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f （x ），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减. （2）定性刻画：对于给定区间上的函数f （x ），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减. （3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.3. 讨论复合函数单调性的根据：设()y f u =，()u g x =，[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数.（1）若()y f u =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与()u g x =的增减性相同； （2）若()y f u =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =的增减性与()u g x =的增减性相反. 4.判断函数单调性的方法：定义法，导数法，图像法，特殊值法（主要用于解选择题或填空题）.5.函数单调性的应用：比较函数值的大小，求某些函数的值域，解证某些不等式，讨论根的分布等.教材透析1 判断函数单调性：（1）定义法：给定区间D 上的函数()f x ，若对12,x x D ∈，且12x x <，都有12()()f x f x <（或12()()f x f x >）则称函数()f x 在D 上是增函数（或减函数）.与定义等价的判断方法：12,x x D ∈，若1212()()0f x f x x x ->- （或1212(()())()0f x f x x x -->），则称函数在D 上是增函数.2.导数法：给定区间D 上的函数()f x ，求其导数()f x '，对于x D ∈，若()0(0)f x '><， 则函数()f x 在D 上是增函数（或减函数.3.函数的单调区间：函数的单调区间可能是连续的，也可能是分散的，分散的单调区间中间用“，”分开，如1y x=的减区间(,0)-∞，(0,)+∞，不能写成(,0)(0,)-∞+∞U . 4.函数的最值：函数的最值是是函数值域中的特殊值，故求函数最值的方法与求值域的方法差不多，要考虑取“=”的条件是否满足.典例剖析【题型1】函数单调性的判断与证明【例1】定义在R 上的函数()f x ，(0)0f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的a 、b R ∈，有()()()f a b f a f b +=⋅.（1）求证：(0)1f =； （2）求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >； （3）求证：()f x 是R 上的增函数； （4）若2()(2)1f x f x x ⋅>－，求x 的取值范围. 【解析】（1）证明：令0a b ==，则2(0)(0)f f =，又(0)0f ≠，∴(0)1f =.（2）证明：当0x <时，0x ->，∴(0)()()1f f x f x =⋅-=， ∴f （－x ）=1()0()f x f x -=>，又0x ≥时，()10f x ≥>， ∴x R ∈时，恒有()0f x >.（3）证明：设12x x <，则210x x ->，∴2211211()[()]()()f x f x x x f x x f x =-+=-⋅.∵210x x ->，∴211f x x ->（）， 又1()0f x >，∴2111()()()f x x f x f x -⋅>， ∴21()()f x f x >，∴()f x 是R 上的增函数.（4）解：由2()(2)1f x f x x ⋅>－，(0)1f =，得2(3(0)f x x f >－)，又()f x 是R 上的增函数，∴230x x ->，∴03x <<.【点评】解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“2211()[()]f x f x x x =-+”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.【变式与拓展】 1. 设函数)0(1)(2>-+=a ax x x f ，求证：当且仅当1a ≥时，()f x 在),0[+∞内为单调函数；【解析】a x x x f -+='1)(2Θ，①当1a ≥1a ≤<≤，∴()[0,)f x +∞在上单调递减，②当01a <<时，由()0f x '<，得00x x ≤<⇒≤<；由()0f x '>得x x >⇒>；∴当01a <<时，()f x 在上为减函数，在)+∞上为增函数，∴当01a <<时，()f x 在 ),0[+∞上不是单调函数.综上，当且反当1a ≥时，()f x 在),0[+∞上为单调函数.【题型2】 利用单调性讨论参数的范围【例2】已知函数1()()f x m x x =+）的图象与函数11()()24h x x x=++的图象关于点(0,1)A 对称.（1）求m 的值；（2）若()()4ag x f x x=+在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）设(,)P x y 为函数()h x 图象上一点，点P 关于A 的对称点为00(,)Q x y ，则有0x x =-，且02y y =-.∵点00(,)Q x y 在1()()f x m x x=+上， ∴0001()y m x x =+. 消去0x 、0y 代入，得12()y m x x -=--， 整理，得1()2y m x x =++，∴m =14m =.（2）∵11()()4ag x x x+=+，设1x 、2(0,2]x ∈，且12x x <，则12121212(1)1()()()04x x a g x g x x x x x -+-=->对一切x 1、x 2∈（0，2］恒成立. ∴121)0x x a +<-(对一切1x 、2(0,2]x ∈恒成立. ∴由1214a x x +>≥，得3a >． 【变式与拓展】2 .（2004广东）设函数()|1|(0)f x x =->，证明：当0a b <<，且()()f a f b =时，1ab >. 【证明】()f x 在(0,1]上是减函数，在(1,)+∞上是增函数.由0a b <<且()()f a f b =，得01a b <<<且1111a b -=-，即112a b+=⇔2a b ab +=≥1ab >.【题型3】 函数的值域或最值【例3】（2006江苏）设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为()g a . （1）设t =，求t 的取值范围，并把()f x 表示为t 的函数()m t ；（2）求g (a )；（3）试求满足)1()(a g a g =的所有实数a .【解析】（1）∵x x t -++=11，∴要使t 有意义，必须01≥+x 且01≥-x ，即11≤≤-x .∵]4,2[12222∈-+=x t ，且0≥t ……① ∴t 的取值范围是]2,2[. 由①得：121122-=-t x ，∴t t a t m +-=)121()(2a t at -+=221，]2,2[∈t .（2）由题意知)(a g 即为函数)(t m a t at -+=221，]2,2[∈t 的最大值， ∵直线a t 1-=是抛物线)(t m a t at -+=221的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论： （1）当0>a 时，函数)(t m y =，]2,2[∈t 的图象是开口向上的抛物线的一段，由01<-=at 知)(t m 在]2,2[∈t 上单调递增，故)(a g )2(m =2+=a ；（2）当0=a 时，t t m =)(，]2,2[∈t ，有)(a g =2；（3）当0<a 时，，函数)(t m y =，]2,2[∈t 的图象是开口向下的抛物线的一段，若at 1-=]2,0(∈即22-≤a 时，)(a g 2)2(==m ，若a t 1-=]2,2(∈即]21,22(--∈a 时，)(a g aa a m 21)1(--=-=， 若a t 1-=),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时，)(a g )2(m =2+=a .综上所述，有)(a g =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(2)2122(,21)21(2a a a a a a . （3）当21->a 时，)(a g 2+=a 223>>；当2122-≤<-a 时，)22,21[∈-a ，]1,22(21∈-a ，∴aa 21-≠-， )(a g 2)21()(221=-⋅->--=a a a a ，故当22->a 时，)(a g 2>； 当0>a 时，01>a ，由)(a g )1(a g =知：2+a 21+=a ，故1=a ；当0<a 时，11=⋅a a ，故1-≤a 或11-≤a ，从而有2)(=a g 或2)1(=ag ，要使)(a g )1(ag =，必须有22-≤a ，221-≤a ，即222-≤≤-a ，此时，2)(=a g )1(ag =。

函数的概念与性质一、学习要求①了解映射的概念，理解函数的概念；②了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数单调性奇偶性的方法； ③了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数；④理解分数指数幂的概念，掌握有理数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质； ⑤理解对数函数的概念、图象和性质；⑥能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题．二、两点解读重点：①求函数定义域；②求函数的值域或最值；③求函数表达式或函数值；④二次函数与二次方程、二次不等式相结合的有关问题；⑤指数函数与对数函数；⑥求反函数；⑦利用原函数和反函数的定义域值域互换关系解题．难点：①抽象函数性质的研究；②二次方程根的分布．三、课前训练1．函数2log )(2-=x x f 的定义域是 （ D ）（A ）),3(+∞ （B ）),3[+∞ （C ）),4(+∞ （D ）),4[+∞2．函数)0(1ln >+=x x y 的反函数为 （ B ）（A ）)(1R x ey x ∈=+ （B ）)(1R x e y x ∈=- （C ）)(1R x e y x ∈=+ （D ）)1(1>=-x e y x 3．设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x e x g x 则=))21((g g 21 ． 4．设1,0≠>a a ，函数x a x f -=)(是增函数，则不等式0)75(log 2>+-x x a 的解集为 (2,3)四、典型例题例1 设x x x f -+=22lg )(，则)2()2(xf x f +的定义域为 （ ） （A ）)4,0()0,4(Y - （B ）)4,1()1,4(Y --（C ）)2,1()1,2(Y -- （D ）)4,2()2,4(Y -- 解：∵在x x x f -+=22lg )(中，由022>-+xx ，得0)2)(2(<-+x x ， ∴22<<-x ，∴在)2()2(x f x f +中，4114,11,44,222,222<<-<<-⇒⎩⎨⎧>-<<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-x x x x x xx 或或． 故选B例2 已知⎩⎨⎧≥<+-=1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （ ）（A ）)1,0( （B ）)31,0( （C ）)31,71[ （D ）)1,71[ 解：∵)(x f 是),(+∞-∞上的减函数，当1≥x 时，x x f a log )(=，∴10<<a ；又当1<x 时，a x a x f 4)13()(+-=，∴013<-a ，∴31<a ，且1log 41)13(a a a ≥+⨯-，解得：71≥a ．∴综上，3171<≤a ，故选C 例3 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f 解：∵函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+， ∴)()(11)2(1)22()4(x f x f x f x f x f ==+=++=+，即)(x f 的周期为4， ∴5)1()5(-==f f ，∴)45()5())5((+-=-=f f f f 51)1(1)21(1)1(-==+-=-=f f f 例4 设3()log (6)f x x =+的反函数为1()f x -,若]6)([1+-m f ×27]6)([1=+-n f ，则()f m n += 2解：,63)(1-=-x x f ,63)(,63)(11-=-=∴--n m n f m f,27333]6)([]6)([11==⋅=+⋅+∴+--m m n m n f m f∴m +n =3，f (m +n )=log 3(3+6)=log 39=2（另解∵11333log (()6)log (()6)log 273m n f m f n --+=+++==,∴3()log 92f m n +==）例5 已知βα,是关于x 的方程042)3(22=++++k x k x 的两个实根，则实数k 为何值时，α大于3且β小于3？解：令42)3(2)(2++++=k x k x x f ，则方程042)3(22=++++k x k x 的两个实根可以看成是抛物线)(x f 与x 轴的两个交点（如图所示）， 故有：0)3(<f ，所以：042)3(69<++++k k ， 解之得：831-<k 例6 已知函数x a x y +=有如下性质:如果常数0>a ,那么该函数在],0(a 上是减函数,在),[+∞a 上是增函数．如果函数)0(2>+=x xx y b的值域为),6[+∞，求b 的值； 解：函数)0(2>+=x x x y b 的最小值是b 22，则b 22＝6，∴9log 2=b ；。