三角形外心内心重心垂心与向量性质
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三角形“四心”向量形式的充要条件应用1.O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心,则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r⇔G 为ABC ∆的重心. 2.O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆ 故C tan B tan A tan =++3.O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆:::: 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4.O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=⋅引进单位向量,使条件变得更简洁。
如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ,O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。
若O 是ABC ∆的内心,则c b a S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ruu u r u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线);例1.O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足++=λ,[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的( )(A )外心(B )内心(C )重心(D )垂心 解析:因为AB是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和, 又AP OA OP =-,则原式可化为)(21e e AP +=λ,由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠,那么在ABC ∆中,AP 平分BAC ∠,则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2. H 是△ABC 所在平面内任一点,HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥,BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. (反之亦然(证略))例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的(D )A .外心B .内心C .重心D .垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4. G 是△ABC 所在平面内一点,GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右,图中GE GC GB =+连结BE 和CE ,则CE=GB ,BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点,AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0,得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=,故G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略)) 例5. P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0,即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.(反之亦然(证略))例6 若O 为ABC ∆内一点,0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r,则O 是ABC ∆ 的( )A .内心B .外心C .垂心D .重心解析:由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r,如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形,则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r ,由平行四边形性质知12OE OD =u u u r u u u r,2OA OE =,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D 。
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1. 0 是 AABC 的重心O OA + OB + dc = 0; 若 0 是AABC 的重心,则 == S AAOB =故 O X + 6B +OC = 0.P G = i -4- 评刀-4- A 。
) =G 为 AABC 的重心.2. 0 是 AABC 的垂心» dA OB = OB OC = OC OA .若。
是AABC (非直角三角形)的垂心,则S △HOC : S^Aoc : S DB = tan A :tan B : tan C故 tan AOA + tan BOB + tan COC = 63.0是AABC 的外心o IOAI=IOBI=IOCI (或。
^七而七成?)若 0 是 AABC 的外心则 S ABOC : S 印疝 S^OB =sinZBOC :sinZAOC :sinZAOB =sin2A: sin2B: sin2C故 sin2AOA + sin2BOB + sin2COC = 6 4. 0 是内心AABC 的充要条件是I ABI AC , IBAI IBCI ICAI ICBI■ . . —♦ —* —*引进单位向量,使条件变得更简洁。
如果记AB ,BC ,CA 的单位向量为勺弟2夹3,则刚才。
是AABC 内心的充要条件也可以是aOA + bOB + cOC = 0。
若。
是AABC 的内心,则°ABOC :^AAOC 5 °A.XOB故 aOA + bOB + cOC = OggsinAOA + sinBOB + sinCOC = 6.| AB | PC+ \BC\PA+\CA\PB = QO P 是 AABC 的内心;向量"(辎 + 等)(膈°)所在直线过即。
的内心(是ZBAC 的角平 |AB| |AC| 分线所在直线);(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1.、是*上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 矛=函+人(雪+里K(A )外心(B )内心(C )重心(D )垂心T R解析:因为端是向量布的单位向量设屈与京方向上的单位向量分别为6和。
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1 .O 是 ABC 的重心OAOB OC0 ;SB OCSAOCSAOB1 S AB COA OB OC 0 ;若 O 是 ABC的重心,则3故 u u uru u uru u ur u u urG 为 ABC 的重心 .PG1( PAPBPC )32 .O 是 ABC的垂心OA OB OB OC OCOA ;若 O 是ABC(非直角三角形 ) 的垂心,则SBOC :SAOC :SAOBtan A : :tan B tan C故 tan A OAtan BOBtan C OC 03 .O 是ABC的外心| OA | | OB | | OC | (或 OA222OBOC ):S:SAOBsin::AOBsin 2A : sin 2B : sin 2C若 O 是 ABC 的外心则 SBOCAOCBOC sinAOC sin故 sin 2A OAsin 2BOBsin 2C OC4 . O 是内心OA( AB AC ) OB( BABC) OC( CACB) 0ABC的充要条件是| AB | AC | BA | | BC | | CA|| CB |引进单位向量,使条件变得更简洁。
如果记 AB ,BC ,CA 的单位向量为 e 1,e 2, e3,则刚才 O 是ABC内心的充要条件可以写成OA (e 1 e 3 ) OB (e 1 e 2 )OC (e 2 e 3 ) 0, O 是ABC 内心 的充 要条 件也 可以是aOAbOBcOC。
若 O 是 ABC 的 内心 ,则S BOC : S AOC : SAOBa :b : c故aOA bOB cOC 0或 sin A OA sin BOB sin COC0;uuur uuur uuur uuur uuur uuur r P 是 ABC 的内心 ; e 1A| AB | PC | BC | PA |CA | PB 0e 2uuur uuur向量 ( AB AC)( 0) 所在直线过 ABC 的内心 ( 是BAC 的角平BCuuur uuur| AB | | AC |分线所在直线 ) ;P( 一) 将平面向量与三角形内心结合考查例 1 . O 是 平 面 上 的 一 定 点 , A,B,C 是 平面上 不 共 线的 三个 点 , 动 点 P满 足OP OA(ABAC) ,0, 则 P 点的轨迹一定通过 ABC 的( )(A )外心( B)内心( C)重心( D )垂心解析:因为AB uuur uuuruuure1和 e2,又是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为ABOP OA AP ,则原式可化为AP(e1e2 ) ,由菱形的基本性质知AP 平分BAC ,那么在ABC 中, AP 平分BAC ,则知选 B.(二 )将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2 .H 是△ABC 所在平面内任一点,HA HB HB HC HC HA点H是△ABC的垂心.由 HA HB HB HC HB ( HC HA ) 0HB AC 0HB AC ,同理 HC AB , HA BC .故H是△ABC的垂心.(反之亦然(证略))例 3.( 湖南 )P是△ABC 所在平面上一点,若PA PB PB PC PC PA ,则P是△ABC的(D)A .外心B.内心C.重心 D .垂心解析 :由PA PB PB PC得 PA PB PB PC 0 .即PB (PA PC)0,即PB CA 0则 PB CA,同理 PA BC , PC AB所以 P 为 ABC 的垂心 . 故选 D.(三 )将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4 .G 是△ABC 所在平面内一点,GA GB GC =0点G是△ABC的重心 .证明作图如右,图中 GB GC GE连结 BE 和 CE,则 CE=GB ,BE=GC BGCE 为平行四边形 D 是 BC 的中点, AD 为 BC 边上的中线 .将 GB GC GE 代入 GA GB GC =0,得 GA EG =0GA GE2GD ,故G是△ABC的重心.(反之亦然(证略))例 5 .P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心PG1PC ) .(PA PB3证明PG PA AG PB BG PC CG3PG(AG BG CG ) ( PA PB PC )∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC =0AG BG CG =0,即 3PG PA PB PC由此可得 PG 1 (PA PB PC) .(反之亦然(证略))3uuur uuur uuur r例 6 若 O 为ABC 内一点,OA OB OC 0 ,则O是ABC的()A .内心B.外心C.垂心 D .重心uuur uuur uuur r uuur uuur uuur解析:由 OA OB OC0 得 OB OC OA ,如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形,则uuur uuur uuur uuur1 uuur2 OE ,同理可证其它两边上的这个性OB OC OD ,由平行四边形性质知OE OD , OA2质,所以是重心,选 D 。
三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1.0是的重心;若0是的重心,则故;为的重心.2.0是的垂心;若0是(非直角三角形)的垂心,则故3.0是的外心(或)若0是的外心则故4. 0是内心的充要条件是引进单位向量,使条件变得更简洁。
如果记的单位向量为,则刚才0是内心的充要条件可以写成,0是内心的充要条件也可以是。
若0是的内心,则故;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线);xx 例(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1. O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P 点的轨迹一定通过的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心解析:因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为,又,则原式可化为,由菱形的基本性质知AP平分,那么在xx,AP平分,贝卩知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2. H是厶ABC所在平面内任一点,点H是厶ABC的垂心.由,同理,.故H是厶ABC的垂心.(反之亦然(证略))例3.(xx)P 是厶ABC所在平面上一点,若,则P是厶ABCF(D )A.外心B.内心C.重心D.垂心解析: 由. 即贝S所以P为的垂心.故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4. G是厶ABC所在平面内一点,=0点G是厶ABC的重心.证明作图如右,图中连结BE和CE贝S CE=GB BE=GCBGCE平行四边形D是BC的中点,AD为BC边上的中线.将代入=0,得=0,故G是厶ABC的重心.(反之亦然(证略))例5. P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC的重心.证明••*是厶ABC的重心/• =0=0,即由此可得. (反之亦然(证略))例6 若为内一点, ,则是的()A.内心B.外心C.垂心D.重心解析:由得,如图以OB OC为相邻两边构作平行四边形,贝卩,由平行四边形性质知,,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D。
向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。
重心:ABC 中、每条边上所对应的中线的交点;垂心:ABC 中、每条边上所对应的垂线上的交点;内心:ABC 中、每个角的角平分线的交点(内切圆的圆心);外心:ABC 中、每条边上所对应的中垂线的交点(外接圆的圆心)。
一、重心1、 O 是 ABC 的重心OA OB OC 0若 O 是 ABC 的重心,则BOC AOC AOB 1 ABC 故 OA OB OC 0 ,1 (PA 3PG PB PC) G 为 ABC 的重心 .3、 P 是△ ABC所在平面内任一点. G是△ ABC的重心 1 (PA) .2 PG PB PC3证明:PG PA AG PB BG PC CG 3PG ( AG BG CG) (PA PB PC) ∵ G是△ ABC的重心∴ GA GB GC 0 AG BG CG 0,即 3PG PA PB PC由此可得 PG 1 (PA PB PC ) . (反之亦然(证略))33、已知 O 是平面上一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP OA ( AB AC) ,(0,) ,则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的重心 .例 1 若 O 为ABC 内一点, OA OB OC 0 ,则 O 是ABC 的()A.内心 B .外心 C .垂心 D .重心第 1 页共 10 页二、垂心1、 O 是 ABC 的垂心OA OB OB OC OA OC若 O 是 ABC ( 非直角三角形 ) 的垂心,则故 tan AOA tan BOB tanCOC 02、H是面内任一点,HA HB HB HC HC HA 点 H 是△ ABC的垂心 .由 HA HB HB HC HB ( HC HA) 0 HB AC 0 HB AC ,同理 HC AB , HA BC . 故 H 是 ABC 的垂心 . (反之亦然(证略))3、 P 是△ ABC 所在平面上一点,若 PA PB PB PC PC PA ,则 P 是△ ABC 的垂心.由 PA PB PB PC ,得 PB (PA PC ) 0 ,即 PB CA 0 ,所以 PB⊥ CA .同理可证 PC ⊥ AB , PA ⊥ BC .∴ P 是△ ABC 的垂心.如图 1.A CCB PEMHPA FB图 1 O 图⑷4、已知 O 是平面上一定点,A, B, C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足AB AC,(0,) ,则动点 P 的轨迹一定通过OP OAAC cos CAB cos B△ ABC 的垂心.例 2 P 是△ ABC所在平面上一点,若PA PB PB PC PC PA ,则 P 是△ ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心第 2 页共 10 页三、内心1、 O 是ABC 的内心的充要条件是OA AB ACOBBA BC CA CBOCAB AC BA BC CA CB Ae1e2B引进单位向量,使条件变得更简洁。
1 垂心为A ,△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”:定 义:三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质:1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理:三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值. 即3,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质:(1)0=++GC GB GA ;(2))(31PC PB PA PG ++=,5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。
五、三角形“四心”的向量形式:结论1:若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅, 则点O 为ABC ∆的垂心。
结论2:若点O 为△ABC 所在的平面内一点,满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+, 则点O 为ABC ∆的垂心。
结论3:若点G 满足0=++GC GB GA ,则点G 为ABC ∆的重心。
结论4:若点G 为ABC ∆所在的平面内一点,满足)(31OC OB OA OG ++=, 则点G 为ABC ∆的重心。
结论5:若点I 为ABC ∆所在的平面内一点,并且满足0=⋅+⋅+⋅IC c IB b IA a(其中c b a ,,为三角形的三边),则点I 为△ABC 的内心。
结论6:若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(,则点O 为ABC ∆的外心。
结论7:设()+∞∈,0λ,则向量)||||(AC AC AB AB AP +=λ,则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心。
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1.O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心,则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2.O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3.O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆:::: 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4.O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(OC |BC ||BA |(OB AC|AB |(OA =⋅=⋅=⋅引进单位向量,使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ,O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。
若O 是ABC ∆的内心,则c b a S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线);例1.O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足AC AB OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的( )(A )外心(B )内心(C )重心(D )垂心解析:因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和, 又AP OA OP =-,则原式可化为)(21e e AP +=λ,由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠,那么在ABC ∆中,AP 平分BAC ∠,则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2. H 是△ABC 所在平面内任一点,HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥,BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. (反之亦然(证略))例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的(D )A .外心B .内心C .重心D .垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4. G 是△ABC 所在平面内一点,GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右,图中GE GC GB =+连结BE 和CE ,则CE=GB ,BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点,AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0,得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=,故G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略)) 例5. P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0,即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.(反之亦然(证略))例6 若O 为ABC ∆内一点,0OA OB OC ++= ,则O 是ABC ∆ 的( ) A .内心 B .外心 C .垂心 D .重心解析:由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-,如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形,则OB OC OD +=,由平行四边形性质知12OE OD =,2OA OE =,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D 。
三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。
它们的位置可以用向量的形式来描述。
本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。
1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点,用G表示。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3),则重心G的坐标可以通过以下公式得到:G=(A+B+C)/3其向量形式为:OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。
证明:由定义可知,重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。
而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。
因此,重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
根据向量加法的性质,可以得到上述结论。
2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心,找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。
用O表示外心。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3),则外心O的坐标可以通过以下公式得到:O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。
其向量形式为:OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。
证明:设外心为O,连接OA、OB、OC,并设AO的长度为R,BO的长度为R',CO的长度为R''。
根据定义可知,OA,OB,OC都是截圆半径,可以得到以下关系:OA⊥BC,OB⊥AC,OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量,因此上述关系可以写为:OA·BC=0,OB·AC=0,OC·AB=0其中“·”表示点乘。
根据向量的点乘性质可知:OA·(B-C)=0,OB·(C-A)=0,OC·(A-B)=0将向量差展开得:OA·B-OA·C=0,OB·C-OB·A=0,OC·A-OC·B=0进一步展开可得:R^2-R'^2=0,R'^2-R''^2=0,R''^2-R^2=0整理得:R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得:2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知,外心到三角形的每个顶点的距离都相等,因此R=R'=R''。
三 角 形 的“四 心”
所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时,四心重合为一点,统称为三角形的中心。
一、三角形的外心
定 义:三角形三条中垂线的交点叫外心,
即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质:
1.外心到三顶点等距,即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边,即
AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.
3.向量性质:若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足
AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(,则点O 为ABC ∆的外心。
二、三角形的内心
定 义:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆
圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示,它具有如下性质:
性 质:
1.内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积=⨯2
1三角形的周长⨯内切圆的半径. 3.向量性质:设()+∞∈,0λ,则向量||||(
AC AB AP =λ,则动
点P 的轨迹过ABC ∆的内心。
三、三角形的垂心
定 义:三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表
示。
性 质:
1.顶点与垂心连线必垂直对边,
即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.向量性质:
结论1:若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足
OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则点O 为ABC ∆的垂心。
结论2:若点O 为△ABC 所在的平面内一点,满足2
22222AB OC CA OB BC OA +=+=+, 则点O 为ABC ∆的垂心。
四、三角形的“重心”:
定 义:三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母
G 表示。
性 质:
1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理:三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2
倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===
3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值. 即3
,3C B A
G C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质:(1)0=++GC GB GA ;
(2))(3
1PC PB PA PG ++=。