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三角形的重心与外心三角形是几何学中最基本的多边形之一，在三角形的研究中，重心和外心是两个重要的概念。
本文将详细介绍重心和外心的定义、性质以及计算方法。
一、重心重心是指三角形内部所有三条中线所交的一点，通常表示为G。
在任意三角形ABC中，以A、B、C三个顶点为起点，分别向对边中点引垂线，这三条垂线交于一点G，即为三角形的重心。
重心的坐标可以通过以下公式计算得出：G(x,y) = [(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3]二、重心的性质1. 重心将三角形划分为六个三角形，其中三个小三角形的质心与重心重合。
2. 重心到三角形三个顶点的距离比例为2:1，即AG：BG：CG=2:1。
3. 重心是三角形内部离三条边最近的点。
4. 如果三角形的三边长度相等，则重心与内心、外心重合。
5. 重心是三角形垂心、内心和外心的连线的交点之一。
三、外心外心是指三角形外接圆的圆心，通常表示为O。
在任意三角形ABC 中，取三个角的外角平分线，这三条外角平分线的交点即为三角形的外心。
计算三角形外心的坐标比较复杂，可以利用外接圆的性质来简化计算。
由于外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，因此可以通过求解三角形两边的垂直平分线的交点来确定外心的坐标。
四、外心的性质1. 外心是三角形外接圆的圆心，外接圆的半径等于三角形的外接圆半径。
2. 外心与三个顶点的连线相等，即OA=OB=OC。
3. 外心是三角形三条高的交点之一。
4. 如果三角形是等边三角形，则外心与重心、内心重合。
五、计算方法1. 重心的计算方法已在前文中提及，即取三个顶点的坐标的平均值。
2. 外心的计算方法可以通过以下步骤进行：（1）计算三边的中垂线斜率，分别记作k1，k2，k3；（2）计算三边中点的坐标，分别记作M1，M2，M3；（3）计算三条中垂线的方程，分别为L1：y = k1x + b1，L2：y = k2x + b2，L3：y = k3x + b3；（4）求解方程组 L1与L2，L2与L3的交点，即为外心的坐标。
三角形重心性质及应用三角形的重心是三条中线的交点，也是三个顶点与对应中线交点的连线所形成的三角形中的重心。
三角形重心有很多特点和应用。
首先，三角形的重心坐标性质。
假设三角形的三个顶点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，那么重心的坐标可以表示为G(x, y)，其中x=(x1+x2+x3)/3，y=(y1+y2+y3)/3。
这个性质可以很容易地通过几何推导得到，也可以通过向量运算证明。
这个性质可以用来计算三角形的重心坐标。
其次，三角形的重心与重心连线。
三角形的重心与三个顶点分别连线，可以得到三条中线。
中线是三角形的一个特殊的线段，它连接了一个顶点与对应的底边的中点。
三角形的重心恰好是三条中线的交点，因此可以通过重心连线来确定重心的位置。
再次，三角形的重心与面积。
三角形的重心将三角形划分为六个小三角形，其中每个小三角形的面积都相等。
这个性质可以用于求三角形的重心坐标。
设三角形的重心坐标为G(x, y)，且已知三个顶点的坐标为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，则可以通过面积的性质得到x=(Ax1+Ax2+Ax3)/3、y=(Ay1+Ay2+Ay3)/3。
此外，三角形重心的应用还有很多。
其中之一是三角形质心定理。
根据三角形的重心定义，可以推导出质心与顶点的距离满足d(G, A):d(G, B):d(G, C)=2:2:1。
这个性质可以用于解决一些几何问题，例如求质心到某一点的距离比例等。
此外，三角形重心还可以用于求解三角形的面积。
根据面积的定义，可以得到三角形的面积等于底乘以高的一半。
对于任意一个三角形ABC，以重心G为底可以得到一个位于底边上的高。
因此，可以通过底边的长度与高的长度来计算三角形的面积。
最后，三角形的重心还可以用于设计平衡结构。
在工程中，有时候需要设计一个三角形结构，使得结构保持平衡。
此时，可以选择使得结构的重心和支点重合，从而达到平衡的效果。
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
三角形的重心是什么三角形的重心是三角形三条中线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
重心的性质1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6.三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC ²+CA²)。
7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP+AC/AQ=3。
8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。
9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA²+PB²+PC²=GA²+GB ²+GC²+3PG²。
顺口溜三条中线必相交，交点命名为重心；重心分割中线段，线段之比二比一。
三角形的五心1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
5、旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
三角形重心的坐标公式三角形的重心是一个三角形内部的点，它由三角形的三个顶点的位置决定。
它在三角形的三条中线的交点处，中线是三角形的两个顶点和相应边中点之间的线段。
设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。
则三角形重心的坐标可以通过以下公式计算：重心横坐标 Gx = (x1 + x2 + x3) / 3重心纵坐标 Gy = (y1 + y2 + y3) / 3这个公式的原理是，对于任意三角形ABC，假设重心为G，则AG的长度为BC中线的两倍，BG的长度为AC中线的两倍，CG的长度为AB中线的两倍。
因此，重心的横坐标是三个顶点横坐标之和的1/3，纵坐标是三个顶点纵坐标之和的1/3，可通过计算得到重心的坐标。
三角形的重心是一个非常重要的点，它具有以下性质：- 重心到三角形的三边距离的平方和最小，即重心到三角形三边的距离的平方和最小。
- 在质心坐标系中，重心的坐标为(1, 1, 1)，即重心到边的距离与坐标轴上单位向量的点积均为1。
- 重心将三角形的内部面积按照三等分。
- 重心是一个凸包上的点，即任意两点之间的线段始终都在重心到该线段的垂直平分线上。
重心是解决三角形相关问题的重要工具，如计算三角形的面积、判断三角形是否重合、确定三角形的相似性等等。
通过计算重心的坐标，可以得到三角形的重心位置，进而进行相关计算。
除了重心的坐标公式，还可以通过其他方法求取三角形的重心，如向量法、矢量法、质心坐标法等。
这些方法都可以得到同样的结果，只是计算的过程和原理略有不同。
总之，三角形的重心是一个特殊的点，它的坐标可以使用上述公式进行计算。
重心具有一些特殊的性质和应用，对于理解和解决三角形相关问题具有重要意义。
一、三角形重心定理 二、三角形外心定理 三、三角形垂心定理 四、三角形内心定理 五、三角形旁心定理 三角形五心定理二、三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A 为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等 三、三角形垂心定理 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
一、三角形重心定理 二、三角形外心定理 三、三角形垂心定理 四、三角形内心定理 五、三角形旁心定理 三角形五心定理二、三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等 三、三角形垂心定理 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
三角形的中心和重心|三角形重心内心中心三角形中心三角形中心三角形只有五种心重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；重心分中线比为1：2；垂心:三角形三条高的交点;内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 外心:三中垂线的交点，是三角形的外接圆的圆心的简称；旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称.当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心.三角形重心重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明。
证明过程又是塞瓦定理的特例。
已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB中点。
证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BO C，再应用从中点得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质及证明方法：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明方法：在▲ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知h1=1/3h 则，S(▲BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(▲ABC)；同理可证S(▲AOC)=1/3S(▲ABC)，S(▲AOB)=1/3S(▲ABC) 所以，S(▲BOC)=S(▲AOC)=S(▲AOB)3、重心到三角形3个顶点距离的和最小。
(等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离和为：(x1-x) +(y1-y) +(x2-x) +(y2-y) +(x3-x) +(y3-y)=3x -2x(x1+x2+x3)+3y -2y(y1+y2+y3)+x1 +x2 +x3 +y1 +y2 +y3 =3(x-1/3*(x 1+x2+x3)) +3(y-1/3(y1+y2+y3)) +x1 +x2 +x3 +y1 +y2 +y3 -1/3(x1+x2+x3) -1/3(y1+y2+y3)显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1 +x2 +x3 +y1 +y2 +y3 -1/3(x1+x2+x3) -1/3(y1+y2+y3) 最终得出结论4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形的重心三角形几心R：实数集Q：有理数集Z：整数集N：自然数集在这些字母后面加+的表示正的部分N+：正自然数集即正整数集Z+：正整数集R+：正实数集在字母右面加*的表示除0以外的部分N*：除了0的自然数集即正整数集Z*：非零整数集R*：非零实数集集合通常表示为大写字母A，B，C……。
而元素通常表示为小写字母a,b,c……。
重心、垂心、内心和外心。
正心是只有等边三角形才具有的，此时这四心合一。
一、重心是三角形三边中线的交点重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
证明：刚才证明三线交一时已证。
6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
二、垂心是三角形的三条高的交点垂心的性质：设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
三角形重心计算公式
三角形的重心是指三条中线的交点，其中中线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
重心的坐标可以通过以下公式计算得出：
重心的x坐标 = (顶点A的x坐标 + 顶点B的x坐标 + 顶点C的x坐标) / 3。
重心的y坐标 = (顶点A的y坐标 + 顶点B的y坐标 + 顶点C的y坐标) / 3。
其中，顶点A、B、C分别是三角形的顶点坐标。
这个公式可以通过对三角形的顶点坐标进行简单的计算得出重心的坐标。
这样就可以得到三角形的重心位置。
另外，重心也可以被认为是三角形内部的质心，它将三角形分割成具有相等质量的三个部分。
这个概念在物理学和工程学中经常被使用。
希望这个回答能够帮助到你理解三角形重心的计算公式。
三角形的重心在我们的数学世界中，三角形是一个基础而重要的图形。
而三角形的重心，作为三角形的一个重要特性，具有着独特的地位和意义。
首先，咱们来聊聊什么是三角形的重心。
简单来说，三角形的重心就是三角形三条中线的交点。
那什么又是中线呢？就是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。
比如说，在三角形 ABC 中，连接顶点 A 和对边 BC 中点的线段就是中线。
那为什么要研究三角形的重心呢？这是因为它有着很多有趣且实用的性质。
重心有一个非常重要的特点，就是它把每条中线都分成了 1 ： 2 的两段。
比如说，假设三角形 ABC 的中线 AD 与重心 G 相交，那么 AG ：GD ＝ 2 ： 1 。
这意味着，如果中线 AD 的长度是 6 ，那么 AG 的长度就是 4 ，GD 的长度就是 2 。
这个比例关系在解决很多与三角形相关的问题时非常有用。
三角形的重心还有一个有趣的性质，就是它到三角形三个顶点的距离的平方和最小。
这可能有点抽象，咱们来举个例子。
想象一下，有一个质量均匀的三角形薄板，如果你用一个手指去支撑它，让它能够保持平衡，那么你手指支撑的那个点大概率就是三角形的重心。
这是因为重心是这个薄板的“平衡点”，从物理的角度也能反映出它的特殊性质。
在实际生活中，三角形重心的概念也有着广泛的应用。
比如在工程设计中，当设计一个三角形的结构时，如果需要找到一个平衡点来保证结构的稳定性，那么重心就是一个关键的参考点。
在物理学中，研究物体的重心对于理解物体的运动和平衡状态也非常重要。
再来说说如何找到三角形的重心。
对于一个给定的三角形，我们只需要画出它的三条中线，它们的交点就是重心。
这个过程并不复杂，但需要我们仔细和准确地作图。
那么，三角形的重心和其他重要的点，比如外心、内心和垂心，又有什么区别和联系呢？外心是三角形外接圆的圆心，也就是三角形三条边的垂直平分线的交点；内心是三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点；垂心则是三角形三条高的交点。
三角形的重心性质在我们学习几何知识的过程中，三角形是一个非常基础且重要的图形。
而三角形的重心，作为三角形的一个重要特性，有着许多有趣且实用的性质。
首先，我们来了解一下什么是三角形的重心。
三角形的重心是三角形三条中线的交点。
中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段。
三角形重心的一个重要性质是，重心到三角形顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1 。
这意味着，如果我们设重心为 G ，顶点为 A 、 B 、 C ，对边中点分别为 D 、 E 、 F ，那么 AG:GD ＝BG:GE ＝ CG:GF ＝ 2:1 。
为了更好地理解这个性质，我们可以通过做一些简单的实验或者画图来直观感受。
比如说，我们可以画一个任意的三角形，然后分别画出三条中线，通过测量线段的长度，就能验证这个比例关系。
这个性质在解决很多与三角形相关的几何问题时非常有用。
三角形的重心还有一个特点，那就是它把三角形的每条中线都分成了长度比为 1:2 的两段。
这进一步说明了重心在三角形中的特殊位置和作用。
另外，从物理学的角度来看，三角形的重心还有着特殊的意义。
如果我们把一个质地均匀的三角形薄板看成一个物理实体，那么它的重心就是这个薄板在平面上能够平衡的点。
比如说，如果我们要让这个三角形薄板在一个支点上保持平衡，那么这个支点就应该在重心的位置上。
这种将几何与物理相结合的理解方式，能够帮助我们更深入地认识三角形重心的性质。
重心的这一性质在实际生活中也有不少应用。
比如在建筑设计中，工程师们需要考虑建筑物结构的重心，以确保建筑物的稳定性。
在机械制造中，零件的重心位置也会影响到其工作性能和稳定性。
再从数学计算的角度来看，假设三角形的三个顶点坐标分别为（x₁, y₁) 、（x₂, y₂) 、（x₃, y₃) ，那么三角形重心的坐标可以通过以下公式计算得出：重心坐标为（（x₁＋ x₂＋ x₃) ／ 3, （y₁＋y₂＋ y₃) ／ 3) 。
这个公式的推导其实并不复杂。
三角形的重心定理及其证明三角形是几何学的基础形状之一，在解决各类几何问题中起到了重要的作用。
本文将介绍三角形的重心定理及其证明，通过分析三角形重心的性质和相关的几何定理，来解释三角形重心定理的本质含义。
一、三角形的重心定理三角形的重心定理是指：三角形的三条中线的交点恰好是三角形的重心。
在数学中，重心是指平面图形各个部分的质量均匀分布时的平衡点，也可以看作是三角形的平衡中心。
二、三角形重心的性质首先，我们需要了解三角形重心的性质，这有助于理解重心定理的证明。
1. 三角形重心所在的三条中线互相平分三角形的中线是指连接三角形顶点和中点的线段，根据性质可知，三角形重心所在的三条中线互相平分。
2. 三角形重心到各顶点的距离比例关系当三角形的三条中线相交于一个点时，这个点就是三角形的重心。
此时，重心到三个顶点的距离满足一个比例关系：GA：GB：GC = 1：1：1，其中GA表示重心到顶点A的距离。
三、三角形重心定理的证明三角形重心定理的证明主要通过构造和几何推理来完成。
假设三角形ABC的三条中线交于点G，我们需要证明点G恰好是三角形的重心。
证明思路如下：1. 先证明G在中线AB上由三角形中线的性质可知，G在中线AB上。
构造AG和BG两条线段。
2. 构造ME和AF，使得AF垂直于BC，ME垂直于AC根据垂直于边的性质，我们可以构造出ME垂直于AC以及AF垂直于BC。
连接EF和AM两条线段。
3. 证明AF=ME，证明AM与BC平行由三角形的等腰性质可知，AF=ME，通过几何推理可以证明AM 与BC平行。
4. 构造MF和AH，使得MF垂直于BC，AH垂直于AC根据垂直于边的性质，我们可以构造出MF垂直于BC以及AH垂直于AC。
连接FH和MG两条线段。
5. 证明MF=AH，证明HG与BC平行由三角形的等腰性质可知，MF=AH，通过几何推理可以证明HG 与BC平行。
6. 证明HG与AM重合由于HG与BC平行且与AM重合，所以可以得出HG与AM重合。
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
三角形重心三角形重心是三角形三边中线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
性质证明1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
∴EG=1/2CG证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。
根据重心性质知，OA'=1/3AA'，OB'=1/3BB'，OC'=1/3CC'，过O，A分别作a边上高OH'，AH,可知OH'=1/3AH 则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC；同理可证S△AOC=1/3S△ABC，S△AOB=1/3S△ABC，所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB三角形外心三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上∵l、m分别为线段AB、AC的中垂线∴AF=BF=CF∴BC中垂线必过点F性质编辑设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；（3）钝角三角形的外心在三角形外.（4）等边三角形外心与内心为同一点。
性质2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).性质3：∠GAC+∠B=90°证明：如图所示延长AG与圆交与P（B、C下面的那个点）∵A、C、B、P四点共圆∴∠P=∠B∵∠P+∠GAC=90°∴∠GAC+∠B=90°性质4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC 外心的充要条件是：（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.性质5：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。
§3 三角形的重心基础知识性质1 三角形的重心是三角形三条中线的交点.性质2 设G 为ABC ∆的重心，连AG 并延长交BC 于D ， 则D 为BC 的中点，AG ：GD 2=：1， 且()22224121BC AC AB AD -+=. 性质3 设G 为ABC ∆的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ， 交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ， 过G 作KH ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则 （1）32===AB KH CA FP BC DE ； （2）2=++ABKH CA FP BC DE . 性质4 设G 为ABC ∆的重心，P 为ABC ∆内任一点，则 （1）22222223PG CG BG AG CP BP AP +++=++； （2）()22222231CA BC AB GC GB GA ++=++. 注 三角形中的莱布尼兹公式：()2222222313CA BC AB PG CP BP AP +++=++ 性质5 设G 为ABC ∆内一点，G 为ABC ∆的重心的充要条件是下列条件之一：（了解必要性即可） （1）ABC GAB GCA GBC S S S S ∆∆∆∆===31； （2）当点G 在三边BC 、CA 、AB 上的射影分别为D 、E 、F 时，GF GE GD ⋅⋅值最大； （3）当AG 、BG 、CG 的延长线交三边于D 、E 、F 时，CEG BDG AFG S S S ∆∆∆==； （4）过G 的直线交AB 于P ，交AC 于Q 时，3=+AQACAP AB ； （5）222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+.性质6 设P 是锐角ABC ∆内一点，射线AP 、BP 、CP 分别交边BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则P 为ABC ∆重心的 充分必要条件是DEF ∆∽ABC ∆.例题讲解例1 过ABC ∆的重心G 任作一条直线把这个三角形分成两部分.试证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的91.例2 在ABC ∆中，G 为重心，P 为形内一点，直线PG. 求证：3=''+''+''GC PC G B P B G A P A .例3 如图，M 、N 、P 分别为正ABC ∆、正DCE ∆、正BEF ∆的重心.求证：MNP ∆为正三角形.例4 设O 为ABC ∆的外心，AC AB=，D 是AB 的中点，G 是ACD ∆的重心.求证：CD OG ⊥.ABCBCBCEBF例1 过ABC 的重心G 任作一条直线把这个三角形分成两部分.试证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的91. 证明：如图，作三角形三边的两个三等分点，过三等分点作边的平行线，分该三角形为9个等面积的小三角形。
