三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质70409

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是(((=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++ 。

若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；范 例(一例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(ACAB++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心A CB1e 2e P解析：因为AB是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心AB(x 1C(x 2,yx H Q G D EF解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

重心含义：三条中线交点
性质：重心分中线所成比为2:1 (可作为判断方 法) GA GB GC 0 G为三角形重心 PG 1 ( PA PB PC ) 3
OP OA ( AB AC)
C A' G A B
P轨迹通过三角形重心
M
P
B A O C
三.“垂心”的向量表示 垂心含义：三条高的交点
PA PB PB PCAC OP OA AB cos B AC cos C P轨迹通过三角形垂心 (0， )
A
P
C E M H F O B
B
C P
A
四.“内心”的向量表示
内心含义：三角形内切圆的圆心 性质：（1）内心到三条边距离相等
（2）三个角的角平分线交点为内心
aGA bGB cGC 0
AB AC OP OA AB AC
B
G为三角形内心 P的轨迹通过三角形内心
C
c I G A
a
O
P
b
C
A
B
五.向量与平行四边形相关的几何表示
D
C
a
A
b
B
a b a b
(a b) (a b) 0
一.“外心”的向量表示
外心含义：三角形外接圆的圆心
性质：（1）三条中垂线交点 （2）外心到三角形三个顶点的距离相等
GA GB GC
GA GB GC
2 2 2
G为三角形外心
(GA GB) AB (GB GC) BC (GC GA) CA 0
二.“重心”的向量表示
四边形为矩形
四边形为菱形

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
1.内心：
（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

（2）性质：到三边距离相等。

2外心：
（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

（2）性质：到三个顶点距离相等。

3 重心：
（1）三条中线的交点。

（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

4 垂心：三条高所在直线的交点。

5 重心 : 三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．
6 垂心 : 三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.
7内心 : 三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
8外心 : 三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．。

三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心。

二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量||||(AC AB AP =λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心。

三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 表示。

性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心。

结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心。

四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 表示。

性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=。

三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心.垂心.外心及心坎.当三角形是正三角形时,四心重合为一点,统称为三角形的中间.一.三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心,即外接圆圆心.ABC ∆的重心一般用字母O 暗示.性 质：1.外心到三极点等距,即OC OB OA ==.2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边,即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆地点的平面内一点,知足⋅+=⋅+=⋅+)()()(,则点O 为ABC ∆的外心.二.三角形的心坎定 义：三角形三条角等分线的交点叫做三角形的心坎,即内切圆圆心.ABC ∆的心坎一般用字母I暗示,它具有如下性质：性 质：1.心坎到三角形三边等距,且极点与心坎的连线等分顶角.2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径．3.向量性质：设()+∞∈,0λ,则向量)||||(AC AB AP =λ,则动点P 的轨迹过ABC ∆的心坎.三.三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母H 暗示.性 质：1.极点与垂心连线必垂直对边,即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,.2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆地点的平面内一点,知足⋅=⋅=⋅,则点O 为ABC ∆的垂心.结论2：若点O 为△ABC 地点的平面内一点,知足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+, 则点O 为ABC ∆的垂心.四.三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母G 暗示.性 质：G 的连线必等分对边.2.重心定理：三角形重心与极点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三极点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=.4.向量性质：（1）=++;（2）)(31++=.。

三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC的重心一般用字母O表示。

性质：1.外心到三顶点等距，即OA= OB=OC。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB .3.向量性质：若点O为ABC所在的平面内一点，满足(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC，则点O为ABC的外心。

二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝1三角形的周长内切圆的半径．23.向量性质：设(0,+)，则向量AP=( AB + AC )，则动| AB | | AC |点P的轨迹过ABC的内心。

三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC的重心一般用字母H表示。

性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB。

2.向量性质：结论1 ：若点O为ABC所在的平面内一点，满足OA OB=OB OC=OC OA，则点O 为ABC的垂心。

2 2 2 2 2 2结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足OA2+BC2= OB2+CA2=OC2+AB2，则点O 为ABC的垂心。

四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC的重心一般用字母G表示。

性质：1.顶点与重心G的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GA = 2GD,GB = 2GE,GC = 2GF3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．4.向量性质：（1）GA+GB+GC=0；2）PG = 1(PA+PB+PC)即x =x A+x B+x C, y G =y A + y B + y C3。

内心、外心、重心、垂心定义及性质总
结
内心、外心、重心、垂心，听起来是不是有点抽象？其实它们就像是几颗星星，各自闪烁却又紧密相连。

首先，内心指的是一个三角形内部的重心，能够很好地代表这个三角形的“平均位置”。

想象一下，就像在一块蛋糕的中心，哪里最甜，在哪里就是内心。

再说外心，顾名思义，它就是三角形外部的一个点，能与三角形的三个顶点连成等边三角形，真是个神奇的概念。

外心的存在就像一位默默无闻的英雄，虽然不在三角形的内部，但却和三角形息息相关。

它总是与角度相关，能够让我们更好地理解三角形的对称性。

接着我们来聊聊重心。

重心是三角形的一个重要概念，大家知道吗？重心就像那颗能量源泉，位于三角形三个顶点连线的交点。

这个位置就是三角形的“心脏”，它的特性在于重心的存在让三角形在任何方向上的稳定性都达到了极致。

换句话说，重心让三角形不管怎样摆放都能保持平衡，简直是个天生的调和者。

最后，我们来看看垂心。

垂心是个有趣的角色，它是三角形各边延长线与对顶角的交点。

想象一下，如果三角形是个舞台，垂心就是那颗最闪亮的
明星。

它的作用在于能够通过高度来实现与三角形的某种关系，真的是个不可或缺的元素。

每当我们把这四个概念结合在一起，便能更深入地了解三角形的奥秘。

总结起来，内心、外心、重心、垂心，这四个概念就像一场精彩的表演，彼此辉映。

它们不仅仅是几何中的抽象符号，更是我们理解空间和形状的钥匙。

无论是学习数学，还是在日常生活中，掌握这些概念都能让我们更加从容自信。

就像一首动听的旋律，每一个音符都不可或缺，让我们一起在这片数学的天地中畅游吧！。

三角形的五心几何性质一．重心三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。

重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3,（Y1+Y2+Y3)/3。

二．垂心三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心.1、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.2、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

垂心的坐标A（x1，y1)B(x2，y2)C(x3,y3)，垂心H（x0，y0）用斜率是负倒数关系Kbc=y3—y2/x3—x2 Kah=y1—y0/x1—x0 Kah=-1/Kbc得到方程(y3—y2）/（x3-x2)=-（x1-x0）/(y1—y0）同理可得方程（y2-y1）/（x2-x1)=-(x3-x0）/（y3—y0)解出x0，y0即可，三．内心三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。

1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

2、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N,则有AO：ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC）：BC3、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心,∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R, 则BQ/QC=c/b， CP/PA=a/c，BR/RA=a/b.4、△ABC中,A（x1，y1）,B（x2，y2)，C(x3，y3），那么△ABC内心坐标是：（ax1/(a+b+c）+bx2/(a+b+c）+cx3/(a+b+c），ay1/(a+b+c）+by2/（a+b+c）+cy3/（a+b+c))．法一:向量法设:在三角形ABC中,三顶点的坐标为：A（x1，y1）,B（x2,y2），C(x3,y3） BC=a,CA=b,AB=c内心为I（X，Y）则有aMA+bMB+cMC=0（三个向量）MA=（X1—X,Y1—Y）MB=（X2-X，Y2—Y)MC=(X3—X，Y3-Y）则:a（X1—X）+b（X2-X)+c(X3-X）=0，a(Y1—Y)+b(Y2—Y)+c（Y3—Y）=0∴X=（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)，Y=（aY1+bY2+cY3)/（a+b+c）∴I（（aX1+bX2+cX3）/（a+b+c),（aY1+bY2+cY3)/（a+b+c）)几何法：设A（x1，y1）B（x2，y2)C（x3，y3）,AB=c,BC=a,AC=b，内心为I,AI交BC于D，BI交AC于E，CI交AB 与F由平面几何性质得BD/DC=c/b，AF/FB=b/a,AE/EC=c/a由梅捏劳斯定理得到AF/FB*BC/CD＊DI/IA=1b/a*（b+c）/b＊DI/IA=1 DI/IA=a/(b+c) DI=IA＊a/(b+c)BD=c/b*DC D (（x2+c/b＊x3）/(1+c/b）,（y2+c/b＊y3)/（1+c/b）)（bx2+cx3/b+c,by2+cy3/b+c)I Xi=[(bx2+cx3)/(b+c）+a/(b+c）＊x1］/［1+a/（b+c)］ Yi=[（cy2+by3）/(b+c)+a/（b+c)＊y1］/[1+a/（b+c）]I((ax1+bx2+cx3）/(a+b+c),(ax1+bx2+cx3）/（a+b+c)）四．外心三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。

三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质三角形是几何学中的基础概念之一，具有丰富的性质和特点。

其中，重心、外心、垂心和内心是三角形重要的特殊点，它们在三角形的研究和计算中起着重要的作用。

本文将介绍三角形重心、外心、垂心和内心的向量表示及其性质。

一、三角形重心的向量表示及性质重心是三角形三条中线的交点，记为G。

设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。

则三角形重心G的向量表示为：G = (a + b + c)/3重心G的性质如下：1. 重心到三角形各顶点的向量和为0向量，即AG + BG + CG = 0。

2. 重心将中线分成2:1的比例，即AG : GM = 2:1，BG : GN = 2:1，CG : GP = 2:1，其中M、N、P分别为中线BC、AC、AB的中点。

3. 重心是三角形内切圆和外接圆的同一个圆心。

二、三角形外心的向量表示及性质外心是三角形三条垂直平分线的交点，记为O。

设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。

则三角形外心O的向量表示为：O = (a⊥ + b⊥ + c⊥)/3其中，a⊥、b⊥、c⊥分别表示向量a、b、c的垂直平分线的向量。

外心O的性质如下：1. 外心到三角形各顶点的距离相等，即OA = OB = OC。

2. 外心是三角形外接圆的圆心，且外接圆的半径为OA、OB、OC中的一个。

三、三角形垂心的向量表示及性质垂心是三角形三条高线的交点，记为H。

设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。

则三角形垂心H的向量表示为：H = (a⊥ + b⊥ + c⊥)/3其中，a⊥、b⊥、c⊥分别表示向量a、b、c的高线的向量。

垂心H的性质如下：1. 垂心到三角形各顶点的距离相等，即HA = HB = HC。

2. 垂心是三角形内接圆的圆心，且内接圆的半径为HA、HB、HC中的一个。

四、三角形内心的向量表示及性质内心是三角形三条角平分线的交点，记为I。

三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心;当三角形是正三角形时,四心重合为一点,统称为三角形的中心;一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心,即外接圆圆心;ABC ∆的重心一般用字母O 表示;性 质：1.外心到三顶点等距,即OC OB OA ==;2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边,即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(,则点O 为ABC ∆的外心;二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心;ABC ∆的内心一般用字母I 表示,它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角;2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ,则向量||||(AC AB AP =λ,则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心;三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心;ABC ∆的重心一般用字母H 表示;性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边,即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,;2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则点O 为ABC ∆的垂心;结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点,满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+, 则点O 为ABC ∆的垂心; 四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心;ABC ∆的重心一般用字母G 表示;性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边;2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍;即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：10=++GC GB GA ； 2)(31PC PB PA PG ++=;。

三角形外心内心重心垂心与向量性质第一篇：三角形外心内心重心垂心与向量性质三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

∆ABC的重心一般用字母O表示。

性质：1.外心到三顶点等距，即OA=OB=OC。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB.3.向量性质：若点O为∆ABC所在的平面内一点，满足(OA+OB)⋅BA=(OB+OC)⋅CB=(OC+OA)⋅AC，则点O为∆ABC 的外心。

二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

∆ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝1⨯三角形的周长⨯内切圆的半径．23.向量性质：设λ∈(0,+∞)，则向量AP=λ(点P的轨迹过∆ABC的内心。

AB|AB||AC|+AC)，则动三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。

∆ABC的重心一般用字母H表示。

性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB。

2.向量性质：结论1：若点O为∆ABC所在的平面内一点，满足OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则点O为∆ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足OA+BC=OB+CA=OC+AB，则点O为∆ABC的垂心。

222222四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。

∆ABC的重心一般用字母G表示。

性质：1.顶点与重心G的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GA=2GD,GB=2GE,GC=2GF 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即xG=xA+xB+xCy+yB+yC,yG=A.334.向量性质：（1）GA+GB+GC=0；（2）PG=1(PA+PB+PC)。

向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。

重心：ABC ∆中、每条边上所对应的中线的交点；垂心：ABC ∆中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：ABC ∆中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）； 外心：ABC ∆中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。

一、重心1、O 是ABC ∆的重心⇔0=++OC OB OA 若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC ∆=∆=∆=∆31故0=++OC OB OA , )(31PC PB PA PG ++=⇔G 为ABC ∆的重心. 2、P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=.证明：∵G 是△ABC 的重心∴=++⇒=++，即++=3 由此可得)(31++=.（反之亦然（证略））3、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.例 1 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆的（ ）A ．内心B ．外心 C ．垂心 D ．重心二、垂心1、O 是ABC ∆的垂心⇔•=•=•若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则 故tan tan tan =++C B A 2、H 是面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC的垂心. 由⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理⊥，⊥.故H 是ABC ∆的垂心. （反之亦然（证略））3、P 是ABC △所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图1.4、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．例 2 P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心三、内心1、O 是ABC∆的内心的充要条件是0=⎫⎛•=⎫⎛•=⎫⎛•OC OB OA 引进单位向量，使条件变得更简洁。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用1. 0 是AABC 的重心 O OA+OB + OC=0=AAOe = AAOB若0 是AABC 的重心，则“g AAX一故OA+OB + OC = 0；PC = 4-(戸N + RS + OG 为A4BC的心.ABoe △ABC2. 0 是AABC的垂心o OA OB =OB OC = OC・OA ；若0是AABC （非宜角三角形）的垂心，则^ABOC：S MO"S DB = tan A：taii B：taii C 故tan AOA + tan BOB + tan COC= 03. 0 是AABC的外心o lOAimOBITOCI (或dX? =OB^ =OC^)若0 是AABC 的外心则'ABOC：S^OB = sinZBOCtsinZAOC ：slnZAOB = $ln2A ; sIn2B:sln2C故sInZAOA + slnlBOB + sInZCOC =CAI CAI ICBI4. 0是内心AABC的充要条件是6^"珞-篦川页务-壬引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记而,，不的单位向量为引，则刚才0是IBCIAABC 内心的充要条件可以写成OA. (Cj+63)= OB.(e,+€2)= 00.(62+63) = 0AABC内心的充要条件也可以是aOA + bOB+cOC = 0 。

若o是AABC的内心，则S QM； S4WB = 3： bj c故aOA + b 而 + cOC = OsSsInAOA + sInBOT + sInCOC = 0I丽1疙+|5?1莎+1乙5lP5 = 6oP是AABC的内心;向助鴿+ 所在直线过WC的内心（是ZBAC的角平广n分线所在直线）;（一）将平面向量与三角形内心结合考査例1. 0是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP = OA + 2(AB AC —+）,A € [0,4-3）JOO P点的轨迹一定通过M3C的（）A Cl（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心4 R解析：因为A"_是向量廳的单位向量设廳与疋方向上的单位向量分别为勺和又AB "OP-OA = AP,则原式可化为川>=久2|+勺），由菱形的基本性质知AP平分Z3AC,那么在MBC中，AP平分ZBAC,则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考査“垂心定理”例2. 〃是△磁所在平面内任一点，HA H B^HB HC^HC HA O点〃是△磁的垂心.由蔽帀=帀汞0帀蔽-丽=0 0市益-oo丽丄衣,同理花丄而，HA±^•故〃是△磁的垂心•（反之亦然（证略））例3.（湖南）P是△ABC所在平面上一点，若PA・PB = PB、PC = P CPA,则P是ZkABC的（D ）D.垂心A.外心B.内心C.重心解析：由莎•而=而•尢得莎而一而药=0.即PB・（PA — PC）=（X即PB・C4 = 0则PB丄（X同理PA丄BUPC丄AB所以P为MBC的垂心•故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考査“重心定理”例4. G是△磁所在平面内一点，刃+而+云=0o点G是△磁的重心.线. 证明作图如右，图中^ + GC = GE连结朋和⑦ 则d包，庞曲70 磁F为平行四边形=>e是％的中点，Q为％边上的中将而+云=52代入方+而+炭=0,得^ + ^=0=> ^ = -GE = -2GD,故G是△磁的重心•（反之亦然（证略））例5. P是△磁所在平面内任F G是△磁的重心。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1．O是的重心;若O是的重心，则故;为的重心.2．O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，则故3．O是的外心(或)若O是的外心则故4．O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成，O是内心的充要条件也可以是。

若O是的内心，则故;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；xx 例(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在xx，AP平分，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心.由,同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））例3.(xx)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D ）A．外心B．内心C．重心D．垂心解析:由.即则所以P为的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G是△ABC所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.证明作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.证明∵G是△ABC的重心∴=0=0，即由此可得.（反之亦然（证略））例6 若为内一点，，则是的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。

(四) 将平面向量与三角形外心结合考查例7若为内一点，，则是的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。

向量与三角形内心、外心、重心和
垂心知识的总结
向量：
1. 向量是一种特殊的数学对象，用来表示方向和大小。

它可以是一个有向线段，也可以是一个空间点。

2. 向量的长度代表其大小，向量的方向、旋转角度和起点代表其方向。

3. 两个向量之间可以叠加、减去或者相互积累，得到新的向量。

4. 向量可以用来表示速度、加速度、力等物理量。

三角形内心、外心、重心和垂心：
1. 三角形内心（内切圆心）是三角形内部的一点，它是三条内切线的交点，每条内切线的中点在该点上。

2. 三角形外心（外接圆心）是三角形外部的一点，它是三条外接线的交点，每条外接线的中点在该点上。

3. 三角形重心是三角形内部的一点，它是三条角平分线的交点，每条角平分线的中点在该点上。

4. 三角形垂心是三角形内部的一点，它是三条垂线的交点，每条垂线的中点在该点上。

三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心。

二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量)||||(AC AC AB AB AP +=λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心。

三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 表示。

性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心。

结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心。

四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 表示。

性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=。