三角形重心的应用

引言概述：在几何学中，三角形是研究的重要对象之一。

而三角形四心定理是关于三角形内四个特殊点的定理，它们分别是三角形的重心、外心、内心和垂心。

这个定理不仅有着重要的理论价值，而且在实际应用中也有广泛的应用。

本文将详细介绍三角形四心定理以及相关的证明。

正文内容：一、重心（G）重心是三角形内部三条中线的交点，也称为质心。

重心的坐标可以通过三个顶点的坐标求得。

设三角形的顶点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），则重心的坐标为G（(x₁+x₂+x₃)/3，(y₁+y₂+y₃)/3）。

大点1：重心的性质小点1：重心与顶点的连线成比例小点2：重心与重心连线中点的连线平行于底边小点3：重心是内心和外心连线的中点大点2：重心的应用小点1：稳定平衡问题小点2：质心的分割线小点3：质心的建模应用二、外心（O）外心是可以通过三角形的三个顶点构造出的唯一圆的圆心。

外心到三角形的每个顶点距离相等。

大点1：外心的性质小点1：外心是垂直平分线的交点小点2：外心到各顶点的距离相等小点3：外心是三角形内切圆的圆心大点2：外心的应用小点1：计算三角形的外接圆半径小点2：设计圆形邮票小点3：构造圆锥曲线三、内心（I）内心是可以通过三角形的三条内切圆的切点构造出的唯一点。

大点1：内心的性质小点1：内心到三边的距离相等（接切性质）小点2：内心是角平分线的交点小点3：内心是三角形外角平分线的交点大点2：内心的应用小点1：计算三角形的内切圆半径小点2：解决三角形的内接问题小点3：优化布局问题四、垂心（H）垂心是通过三角形的三条高的交点构造出的唯一点。

大点1：垂心的性质小点1：垂心是中线的垂直平分线的交点小点2：垂心到各边的距离相等小点3：垂心是三角形外心的反演点大点2：垂心的应用小点1：计算三角形的三条高的长度小点2：解决三角形与圆的位置关系问题小点3：优化三角形的面积总结：三角形四心定理是几何学中重要的定理，包括重心、外心、内心和垂心。

三角形的垂心外心和重心三角形的垂心、外心和重心三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有丰富的性质和特点。

其中，垂心、外心和重心是三角形内的三个重要点，它们在许多几何问题中起着重要的作用。

本文将对三角形的垂心、外心和重心进行详细介绍，以及它们的性质和应用。

一、垂心垂心是指三角形三条高的交点，通常用H表示。

在任何三角形中，三条高（垂直于对边，并经过对边顶点的切线）的交点都是唯一的，这一点被称为垂心。

垂心的特点如下：1. 垂心到三角形三边的距离是相等的。

也就是说，垂心到三角形任意一边的距离都相等。

2. 垂心和三个顶点之间的连线都是垂直的。

也就是说，垂心到三个顶点之间的线段都是垂直的。

3. 垂心趋于三角形的边缘时，它会接近于三角形的外接圆。

二、外心外心是指三角形外接圆的圆心，通常用O表示。

外接圆是能够完全包围三角形的圆，通过三角形的三个顶点。

外心的特点如下：1. 外心到三角形三个顶点的距离都相等。

2. 外心到三角形三个顶点的连线都相等，也就是说，外心到三个顶点之间的距离都相等。

3. 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，也就是说，外心到三角形的每条边都是相等距离。

4. 三角形的外心是垂心和重心连线的中点，也就是说，连接垂心和重心的线段经过外心。

三、重心重心是指三角形三条中线的交点，通常用G表示。

中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

重心的特点如下：1. 重心将每条中线划分为2:1的比例。

也就是说，从重心出发到达对边中点的距离是从重心到顶点的距离的两倍。

2. 重心到三角形三个顶点的距离之和最小。

3. 连接重心和垂心的线段被称为Euler线，它经过外心。

4. 重心位于三角形内部的2/3处，到三角形每条边的距离都小于到相应顶点的距离。

以上是关于三角形的垂心、外心和重心的基本性质。

这三个重要点在求解三角形的面积、判定三角形的形状以及解析几何中都有广泛应用。

研究它们的性质和关系，有助于深入理解三角形的结构和性质，进一步拓展数学几何的知识。

三角形重心概念(一)
三角形重心概念简述
什么是三角形重心?
三角形重心是指三角形内部的一个特殊点，它由三角形的三条中
线的交点所确定。

中线是连接三角形顶点与对应边中点的线段，而重
心则是这三条中线的交点。

重心的性质
•三角形的三条中线与重心共点，即重心是三角形三条中线的交点；•重心将每条中线分为相应部分的比例相等，即从重心到三角形对边的距离与对应中线长度的比值相等；
•重心到三角形三个顶点的距离之和最小；
•重心内外的三个小三角形面积之和等于原三角形面积的三分之一。

重心的应用
三角形重心是几何学中一个常见而重要的概念，它在许多几何问
题中都有广泛的应用。

•质心：三角形中的重心也称为质心，它是三角形的重要几何中心之一。

质心具有诸多性质和应用，例如在质心坐标系下，三角形
的重心成为坐标原点，方便进行计算和研究。

•结构分析：重心可以用于分析物体的力学性质和结构稳定性。

对于均匀分布的物体，其重心位于几何中心，可以帮助确定物体受力和平衡的情况。

•曲线设计：重心可以用于绘制曲线和设计图形。

通过合理设置重心的位置，可以使曲线或图形在视觉上更加平衡和美观。

总结
三角形重心是一个重要的几何概念，它具有许多性质和应用。

重心不仅能帮助我们理解三角形的结构和性质，还可以在力学、曲线设计等领域发挥重要作用。

三角形重心性质及应用三角形的重心是三条中线的交点，也是三个顶点与对应中线交点的连线所形成的三角形中的重心。

三角形重心有很多特点和应用。

首先，三角形的重心坐标性质。

假设三角形的三个顶点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，那么重心的坐标可以表示为G(x, y)，其中x=(x1+x2+x3)/3，y=(y1+y2+y3)/3。

这个性质可以很容易地通过几何推导得到，也可以通过向量运算证明。

这个性质可以用来计算三角形的重心坐标。

其次，三角形的重心与重心连线。

三角形的重心与三个顶点分别连线，可以得到三条中线。

中线是三角形的一个特殊的线段，它连接了一个顶点与对应的底边的中点。

三角形的重心恰好是三条中线的交点，因此可以通过重心连线来确定重心的位置。

再次，三角形的重心与面积。

三角形的重心将三角形划分为六个小三角形，其中每个小三角形的面积都相等。

这个性质可以用于求三角形的重心坐标。

设三角形的重心坐标为G(x, y)，且已知三个顶点的坐标为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，则可以通过面积的性质得到x=(Ax1+Ax2+Ax3)/3、y=(Ay1+Ay2+Ay3)/3。

此外，三角形重心的应用还有很多。

其中之一是三角形质心定理。

根据三角形的重心定义，可以推导出质心与顶点的距离满足d(G, A):d(G, B):d(G, C)=2:2:1。

这个性质可以用于解决一些几何问题，例如求质心到某一点的距离比例等。

此外，三角形重心还可以用于求解三角形的面积。

根据面积的定义，可以得到三角形的面积等于底乘以高的一半。

对于任意一个三角形ABC，以重心G为底可以得到一个位于底边上的高。

因此，可以通过底边的长度与高的长度来计算三角形的面积。

最后，三角形的重心还可以用于设计平衡结构。

在工程中，有时候需要设计一个三角形结构，使得结构保持平衡。

此时，可以选择使得结构的重心和支点重合，从而达到平衡的效果。

三角形的重心的性质（二）引言概述：三角形的重心是一个重要的概念，它不仅在几何学中起到重要的作用，还在实际生活和工程领域中有广泛的应用。

本文旨在进一步探讨三角形的重心的性质，并详细讨论重心与三角形各个要素之间的关系。

正文：一、重心的定义与性质1. 重心定义：三角形的重心是三条中线的交点，即重心是连接三角形各个顶点与中点的线段的交点。

2. 重心的位置：重心位于三角形三边中线上，与各边的长度成1:2的比例。

3. 重心的性质：重心把三角形分成三个等面积的小三角形。

4. 重心与垂心的关系：重心是垂心与质心的连接线上的一点。

二、重心与三角形各顶点之间的关系1. 重心与顶点距离：重心到各个顶点的距离相等。

2. 重心与顶点连线的中点：重心与顶点连接线的中点是三角形重心到该顶点的中点。

3. 重心与顶点连线的比例关系：重心与顶点连接线的比例为2:1。

4. 重心与顶点连线的夹角关系：重心所在的直线与通过重心的三角形顶点连线的角度相等。

三、重心与三角形边的关系1. 重心与边的距离关系：重心到三角形任意一条边的距离是到其他两条边距离的平均值。

2. 重心与边长的比例关系：重心与边所在中线长度的比例是3:1。

3. 重心与边的延长线相交：重心与三角形边的延长线相交于重心本身。

四、重心与面积的关系1. 重心与面积的比例关系：重心到三角形各个顶点线段的距离之积等于与重心到三角形各个顶点连线之积的3倍，即三角形的面积与重心之间存在1:3的比例关系。

2. 重心分割面积：重心将三角形分割成三个面积相等的小三角形。

五、重心的应用场景1. 三角形质心的判断与计算：重心是最容易计算的质心之一，可以通过三角形顶点坐标的平均值得到重心坐标。

2. 工程设计中的应用：重心在结构设计、平衡力分析等领域有重要作用，能够帮助工程师合理布局结构，并评估结构的稳定性。

3. 地理测量中的应用：三角形重心可以用于确定地理区域的位置和形状，帮助进行地图制作和空间测量分析。

三角形重心概念三角形是几何学中的基本形状之一，它由三条边和三个角组成。

在三角形中，重心是一个重要的概念，它被定义为连接三角形的三条中线的交点。

在本文中，我们将探讨三角形重心的性质、计算方法及其在实际生活和数学中的应用。

让我们来了解一下三角形重心的定义。

在一个三角形ABC中，中线是连接边AB、BC和CA的中点的线段。

当这三条中线交于一点G时，我们将这个点称为三角形的重心。

可以用符号表示为：G。

接下来，我们将探讨三角形重心的一些基本性质。

1.三角形重心是三条中线的交点。

中线是连接三角形的顶点到相对边中点的线段。

对于任何一个三角形，三条中线都会相交于同一个点，即重心。

2.重心将每条中线划分为2:1的比例。

也就是说，从重心到三角形的顶点的长度是从重心到中点的长度的两倍。

这个性质对任何三角形都成立。

3.重心将三角形的面积划分为1:3的比例。

也就是说，从三角形的每个顶点到重心的距离与从重心到相对边的距离的比例为1:3。

这意味着，从重心到三角形的顶点的距离比从重心到相对边的距离更远。

4.如果一个三角形的三边长度相等（等边三角形），那么它的重心将位于三角形的内部，并与每个顶点的距离相等。

以上是三角形重心的一些基本性质。

接下来，我们将看一下如何计算三角形的重心坐标。

对于一个三角形ABC，我们可以使用以下公式来计算重心的坐标（x，y）：x = (xA + xB + xC) / 3y = (yA + yB + yC) / 3其中(xA, yA)，(xB, yB)和(xC, yC)是三角形顶点A、B和C的坐标。

现在，让我们来看一些实际生活和数学中的应用。

在实际生活中，三角形的重心有一些实用的应用。

例如，在建筑和工程中，我们需要计算物体的质心，以确定物体的平衡和稳定性。

三角形也经常用于测量和制图。

重心可以用来确定三角形的中心位置，并用于计算其他属性，如面积和周长。

在数学中，三角形的重心是研究三角形性质的重要概念之一。

它在许多几何问题中发挥着重要的作用，并成为解决计算问题的关键。

A B C DE F G 三角形的五心及其应用重心、垂心、外心、内心、旁心一、 重心：三角形三条中线交于一点，这一点叫做三角形的重心．性质：三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的二倍． GA ＝2GD ，GB ＝2GE ，GC ＝2GF重心和三顶点的连线三等分三角形的面积，即 S ∆GAB ＝S ∆GBC ＝S ∆GAC ＝31S ∆ABC S ∆AGF ＝S ∆BGF ＝S ∆BGD ＝S ∆CGD ＝S ∆CGE ＝S ∆AGE ＝61S ∆ABC三角形的三条中位线四等分三角形的面积，即S ∆AEF ＝S ∆BDF ＝S ∆CDE ＝S ∆DEF ＝41S ∆ABC 三角形的重心总在三角形内部．二、 垂心：三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心．本图中有六个四点共圆：（A 、F 、H 、E ）；（B 、D 、H 、F ）； （C 、D 、H 、E ）；（A 、B 、D 、E ）；（B 、C 、E 、F ）； （C 、A 、F 、D ）。

可以证明：AH ·HD ＝BH ·HE ＝CH ·HF 三角形的垂心位置因三角形形状不同而不同． 锐角三角形垂心在三角形内部；直角三角形垂心在直角顶点上；钝角三角形垂心在三角形外部． 三、 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做三角形的外心（即：外接圆圆心）性质：外心到三顶点的距离相等。

OA=OB=OC. 锐角三角形外心在三角形内部；直角三角形外心在斜边中点；钝角三角形外心在三角形外部．四、 内心：三角形的三条内角平分线相交于一点，这一点叫做三角形的内心（即内切圆圆心）.性质：内心到三边距离相等。

位置：不论三角形形状如何，内心总在三角形内部！ 注意三角形顶点到切点的线段长的计算，如下页图，△ABC 的内切圆⊙I 与△ABC 的三边分别切于D 、E 、F 三点．三边分别用a 、b 、c 表示, )(21c b a s ＋＋＝, 用r 表示内切圆⊙I 的半径．三角形面积：S ∆＝srAE ＝AF ＝s －a , BF ＝BD ＝s －b , CD ＝CE ＝s －c ； tan2A ＝a s r －；tan 2B ＝b s r －；tan 2C＝c s r －．ABCD E F AB CDE F H★ 当△ABC 为Rt △时, 四边形IDCE 为正方形， CD ＝CE ＝r ∴ r ＝s －c ＝2cb a －＋； tan ＝c b a ＋；tan ca b B ＋＝2． AE ＋BD ＝AB （AB 为Rt △ABC 外接圆直径） CD ＋CE ＝2 r （2r 为内切圆直径） ∴Rt △的两条直角边的和为 2 R ＋2 r .（外接圆直径＋内切圆直径） 三角形面积：S Rt ∆ABC ＝AF ·BF五、 旁心：三角形一个内角的平分线和其他两个外角的平分线相交于一点，这一点叫做三角形的旁心。

三角形的重心是什么三角形的重心是三角形三条中线的交点。

当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

重心的性质1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。

5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

6.三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC ²+CA²)。

7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP+AC/AQ=3。

8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。

9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA²+PB²+PC²=GA²+GB ²+GC²+3PG²。

顺口溜三条中线必相交，交点命名为重心；重心分割中线段，线段之比二比一。

三角形的五心1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。

2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

该点叫做三角形的外心。

3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。

4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

5、旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

了解三角形的内心和重心三角形是几何学中的基本概念之一，它具有许多重要的性质和特点。

本文将探讨三角形的内心和重心，了解它们的定义、性质和应用。

一、三角形的内心内心是指三角形内部到三边距离之和最小的点，记作I。

内心是三角形三角形内接圆的圆心，这个圆被称为内切圆。

内切圆与三角形的三条边相切，且切点分别为三角形的三个顶点。

1. 性质（1）内心到三角形三条边的距离相等，且这个距离等于内切圆的半径。

（2）内心是三角形三条角平分线的交点。

（3）内心到三角形的三个顶点连线的中点连成的线段是内心到三边切点的垂直平分线。

2. 应用内心是三角形一些重要性质的基础，例如三角形的众多重心、垂心等都和内心相关。

内心与三角形面积、角平分线、三边中线等概念密切相关。

二、三角形的重心重心是三角形三条中线的交点，记作G。

三角形的中线是连接三角形顶点与对边中点的线段。

1. 性质（1）重心将中线分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。

（2）从重心到三角形的三个顶点的距离之和最小。

（3）重心内接于三角形内侧的六个小三角形的面积之和等于整个三角形面积的2/3。

2. 应用重心是三角形的重要几何中心之一，它与三角形的其他几何中心（例如内心、外心、垂心）有密切的联系。

重心在实际应用中有许多用途，例如在结构设计、力学分析和流体力学等领域具有重要的作用。

三、总结通过了解三角形的内心和重心，我们可以深入了解三角形的性质和结构。

内心是三角形内接圆的圆心，具有重要的几何特性和应用意义；重心是三角形的中线交点，与其他几何中心相互联系，对三角形的结构和性质起到重要作用。

因此，研究三角形的内心和重心对于理解和应用几何学具有重要意义。

我们可以利用它们的性质和特点，解决实际问题，推动数学与工程学科的发展。

通过进一步的研究和探索，我们可以发现更多有关三角形的奇妙性质和应用价值。

直角三角形重心知识点总结一、重心的概念重心是一个几何形状的质心，表征着这个形状的整体重量的几何中心。

在直角三角形中，三条中线的交点就是重心，位于三角形的内部。

重心是一个三角形的重要性质，能够帮助我们研究三角形的性质和相关定理。

二、重心的性质1. 重心将三角形分成三个面积相等的三角形2. 重心到顶点的距离是中线到所在边中点距离的二分之一3. 重心到对边中点的距离是重心到这条边的距离的二分之一4. 重心到任一顶点的距离是重心到非对角顶点中点的距离的二分之一5. 重心同时在三条中线上三、如何求直角三角形的重心通常我们可以通过以下几种方法来求解直角三角形的重心：1. 根据重心的定义来求解2. 利用中线长度关系来求解3. 利用坐标方法来求解下面我们就分别来看一下这几种方法的具体步骤。

四、根据重心的定义来求解在直角三角形中，重心就是三条中线的交点，所以我们可以通过以下步骤来求解：1. 先找到直角三角形的三个顶点A、B、C2. 根据中位线的定义，找到AB、BC、AC的中点D、E、F3. 用直线相交的方法求解出重心G这种方法简单直接，但是需要保证我们能够准确地找到中点和重心的坐标。

五、利用中线长度关系来求解在直角三角形中，三条中线的长度关系是：AG^2 = 2 * BG^2 = 2 * CG^2。

我们可以通过这个关系来求解重心。

具体步骤如下：1. 先找到直角三角形的三个顶点A、B、C2. 根据中位线长度关系，求解出重心G的坐标这种方法相对简单，只需要比较中线长度关系即可求解出重心的坐标。

六、利用坐标方法来求解在直角三角形中，我们可以利用坐标方法来求解重心的坐标。

具体步骤如下：1. 已知直角三角形的三个顶点A、B、C的坐标2. 分别求得AB、BC、AC的中点D、E、F的坐标3. 利用中点和重心的关系，求解出重心G的坐标这种方法是最直接的，只需要根据坐标计算的方法，即可求解出重心的坐标。

七、直角三角形重心的应用1. 利用重心来求解三角形的面积直角三角形的重心可以将三角形分成三个面积相等的三角形，利用这一性质，我们可以通过重心来求解三角形的面积。

三角形的重心与垂心三角形是解析几何学中一个重要的概念，它由三个点组成，而在三角形中，有两个特殊的点，一个是重心，另一个是垂心。

本文将就三角形的重心与垂心展开探讨并说明它们的性质和作用。

一、三角形的重心重心是指三角形三条中线的交点，它被平分为三个部分。

设三角形的三个顶点分别为A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y₃)，则重心G(x, y)的坐标可以通过以下公式求得：x = (x₁ + x₂ + x₃) / 3y = (y₁ + y₂ + y₃) / 3重心是三角形内部的一个点，在几何形状的分析中具有重要的作用，它具有以下几个性质：1. 重心位于三角形三条中线的交点，且到三角形的三个顶点距离相等，这意味着重心到三个顶点的距离相等，体现了平衡的概念。

2. 重心将三角形分为三个相等的小三角形，每个小三角形的面积相等。

3. 当三角形的形状改变时，重心的位置也会相应改变，但仍然位于三角形内部。

4. 如果将三角形看作是一个物体，则该物体在重心处具有平衡的作用，即当物体在重心处支点转动时，平衡不会被破坏。

重心在实际应用中也有广泛的用途，比如在建筑、航空航天、机械设计等领域，经常需要考虑到物体的平衡性，而重心的概念可以帮助工程师进行结构设计和分析。

二、三角形的垂心垂心是指三角形三条高的交点，它的坐标称为H(x, y)。

对于任意一个三角形ABC，垂心的坐标可以通过以下公式求得：x = (a²x₁ + b²x₂ + c²x₃) / (a² + b² + c²)y = (a²y₁ + b²y₂ + c²y₃) / (a² + b² + c²)其中，a、b、c分别为三角形的边长，(x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)分别为三角形的三个顶点坐标。

垂心也是三角形中的一个重要点，它具有以下几个性质：1. 垂心是三条高的交点，即从垂心到三角形的三个顶点的线段互相垂直。

三角形的重心知识点详解2024人教版三角形的重心是几何学中的一个重要概念，它不仅在理论上有着丰富的性质和应用，而且在实际生活中也有广泛的应用。

本文将详细介绍三角形重心的定义、性质、计算方法及其应用，帮助读者全面理解这一重要知识点。

一、三角形重心的定义三角形的重心是指三角形三条中线的交点。

中线是从一个顶点到对边中点的线段。

重心具有以下几个重要特点：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

这意味着重心将每条中线分成两部分，其中靠近顶点的部分是靠近对边中点部分的两倍。

2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。

这表明重心将三角形分成了三个面积相等的小三角形。

3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。

这意味着重心是三角形内到三个顶点距离的平方和最小的点。

二、三角形重心的性质三角形重心具有许多重要的性质，这些性质在几何学中有着广泛的应用。

以下是一些主要性质：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

这一性质可以通过中线定理证明。

2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。

这一性质可以通过面积公式证明。

3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。

这一性质可以通过向量法或解析几何的方法证明。

4. 重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

这一性质可以通过均值不等式证明。

5. 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。

这一性质可以通过坐标几何的方法证明。

三、三角形重心的计算方法计算三角形重心的方法有很多种，以下是几种常见的方法：1. 坐标法：在平面直角坐标系中，设三角形的三个顶点坐标分别为((x_1, y_1))、((x_2, y_2))和((x_3, y_3))，则重心的坐标为：这一公式表明重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均。

2. 向量法：设三角形的三个顶点分别为(mathbf{A})、(mathbf{B})和(mathbf{C})，则重心(mathbf{G})的向量表示为：这一公式表明重心的向量是三个顶点向量的算术平均。

第十四章 三角形重心的性质及应用【基础知识】三角形三条中线的交点称为三角形的重心，三角形的重心有下列有趣的性质：性质1设G 为ABC △的重心，连AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，()22221124AD AB AC BC =+-，且21AG GD =∶∶． 性质2设G 为ABC △的重心，过G 作DE BC ∥交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF AC ∥交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作KH AB ∥交AC 于K ，交BC 于H ，则 （1）23DE FP KH BC CA AB ===；（2）2DE FD KHBC CA AB++=．性质3设G 为ABC △的重心，P 为ABC △内任一点，则 （1）22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++；（2）()2222213z GA GB GC AB BC CA ++++=．证明（1）设D 为BC 边上的中点，则对APG △和DPG △分别应用余弦定理，有 2222AP AG PG AG PG cos AGP =+⋅⋅∠-，2222cos PD DG PG DG PG DGP =+-⋅⋅∠， 而2AG DG =，cos cos AGP DGP ∠=-∠，于是，有22222223AP PD AG DG PG +=++．又PD ，DG 分别是BPC △的BC 边，BGC △的BC 边上的中线，有2222122PD PB PC BC +-=，2222122DG BG CG BC =+-，从而22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++．（2）由性质1，有()2222911424AG AB AC BC =+-，()2222911424BC AB BC AC =+-， ()2222911424CG BC AC AB =+-，此三式相加，整理即得 ()22222213AG BG CG AB BC CA ++=++． 注由此性质即得到三角形中的莱布尼兹公式： ()2222222133AP BP CP PG AB BC CA ++=+++． 性质4设G 为ABC △内一点，G 为ABC △的重心的充要条件是下列条件之一： （1）13GBC GCA GAB ABC S S S S ===△△△△；（2）当点G 在三边BC ，CA ，AB 上的射影分别为D ，E ，F 时，GD GE GF ⋅⋅值最大； （3）当AG ，BG ，CG 的延长线交三边于D ，E ，F 时，AFG BDG CEG S G S ==△△△； （4）过G 的直线交AB 于P ，交AC 于Q 时，3AB ACAP AQ+=； （5）222222333BC GA CA GB AB GC ++=+=．证明（1）必要性：延长AG 交BC 于D ，则D 为BC 中点，有BDA CDA S S =△△，BDG CDG S S =△△，故AGB AGC S S =△△．同理，AGB BGC S S =△△，故13GAB GBC GCA ABC S S S S ===△△△△．充分性：如图14-1，令G 为ABC △内一点，连AG 并延长交BC 于D ，连BG 并延长交AC 于E ．记GAB GBC GCA S S S S ===△△△，BC a =，CA b =，AB c =，1BDG S S =△，2CDG S S =△，BD x =，DG y =．图14-1yxEDABC由11sin 2S xy BDG =⋅∠， ()()()()2111sin sin 180sin 222S a x y CDG a x y BDG a x y BDG =-⋅∠=-⋅⋅︒-∠=-⋅⋅∠，故211S a S x =-． 即2211111S S S a S x S S S +=+==，亦即1S S a=，()2SS a x a =-． 又()11sin 2ABD SS cx B S S a x a =⋅∠=+=+△．()()21sin 22ACD SS b a x C S S a x a=-⋅∠=+=-△．再由正弦定理，得sin 1sin c B b C ⋅∠=⋅∠，于是，由上述两式，有2x a x a x a x +=--，于是2ax =，即 AD 为ABC △的边BC 上的中线．同理，可证BE 为ABC △边AC 上的中线． 故G 为ABC △的重心．注由此性质即可推知三角形的重心到各边的垂线段长与边长成反比． （2）充分性与必要性合起来证．设三角形三内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．记GD x =，GE y =，GF z =，由 12GBC S ax =△，12GAC S by =△，12GAB S cz =△，知2ABC ax by cz S ++=△为定值．由三个正数的平均值不等式，有338327ABC ax by cz ax by cz S ++⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭△≤，即3827ABCS xyz abc △≤．此式当且仅当ax by cz ==时，即G B C G A C G A BS S S ==△△△时等号取得，即G 为ABC △的重心时，结论成立．（3）仅证充公性：如图14-2，设1APF BPD CPE S S S ===△△△，APE S x =△，BPF S y =△，CPD S z =△．图14-2111yx z F EDABCP由111AP y x PD z ++==，111BP z y PE x++==，111CP x z PF y ++==，有 1yz z x +=+，①1zx x y +=+，②1xy y z +=+．③由①-②得()z y x z x x y -+-=-，即 ()()1z x x y z -=-+．④同理()()1x y y z x -=-+，⑤()()1y z z x y -=-+．⑥若x y =代入④得z x =．即有x y z ==，再代入①得1x =，故1x y z ===． 若x y ≠，则y x ≠，z x ≠，由④×⑤×⑥得()()()111z 1x y +++=，⑦而x ，y ，z 为正数，则11x +>，11y +>，11z +>，等式⑦无正数解， 故只有正数解1x y z ===，即证．（4）必要性：如图14-3，设M 为ABC △的边BC 上任一点，直线PQ 分别交AB ，AM ，AC 于P ，N ，Q ，连PM ，QM ．图14-3AB CPQMN则APQ MPQ APM AQMAPQABCS S S S AM AN NM AP AQ AN AN S S AB AC+++===⋅⋅⋅△△△△△△ ABM ACMABC AP AQ S S AB CM AC BM AB AC AP AQ AP BC AQ BC S AB AC⋅+⋅==⋅+⋅⋅⋅△△△． 当N 为ABC △的重心时，M 为BC 中点，有BM MC =，且32AM AN =∶∶，由此即证得结论3AB ACAP AQ+=． 充分性：设ABC △的一边AB 上有1P ，2P 两点，在另一边AC 上有1Q ，2Q 两点．若11223AB AC AB ACAP AQ AP AQ +=+=，则可证得11PQ 与22P Q 的交点G 是ABC △的重心． 事实上，如图14-4，连AG 并延长交BC 于M ，过B ，C 分别作AM 的平行线交直线11PQ ，22P Q 分别于1X ，1Y ，2X ，2Y ，于是，图14-4MY 1Y 2X 1X 2P 1P 2Q 1Q 2ABC G由111111311BP CQ AB AC AP AQ AP AQ ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 有1111111BP CQ BX CY AP AQ AG AG =+=+，即11BX CY AG +=． 同理，22BX CY AG +=．从而1122BX CY BX CY +=+，即1221BX BX CY CY -=-． 亦即1212X X YY =．而1212X X YY ∥，从而易判断1212GX X GYY △≌△．所以11GX GY =．推知BM MC =，即AM 为ABC △的BC 边上的中线，亦即GM 为梯形11BCY X 的中位线．此时112BX CY GM +=．由11BX CY AG +=，故2A G G M =．由此即知G 点为ABC △之重心．即满足3AB ACAP AQ+=的直线PQ 过其重心．（5）必要性：设AD 为BC 边上的中线，G 为ABC △的重心时，由中线长公式（即性质1），有()()222222AD AB CA BC =+-，从而()()222222222212332333BC GA BC AD BC AD AB BC CA ⎛⎫+=+=+=++ ⎪⎝⎭．同理，()22222222333CA GB AB BC CA AB GC +=++=+． 充分性：注意到结论，给定ABC △后，若点G 满足()222213GA GB CA BC -=-为常数，则点G 的轨迹是垂直于直线AB 的一条直线，并且这条直线过ABC △的重心．事实上，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立坐标系，设(),G x y ，则222AG x y =+，()222BG x c y =-+，其中AB c =．因此，由()22222123GA GB cx c CA BC -=-=-，得G 的坐标为2223,6CA BC AB y AB ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即证得前一断言，后一断言可由性质4（4）推证：由AB 上的点P 2223,06CA BC AB AB ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭知AP 的长度，可求得AC 上的线段AQ 的长度为()()2222223cos 3AC CA BC AB APBAC AB AC BC -+=∠+-，故3AB AC AP AQ +=，即证． 性质5设P 是锐角ABC △内一点，射线AP 、BP 、CP 分别交边BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则P 为ABC △重心的充分必要条件是DEF ABC △∽△．证明充分性：如图14-5，设PEF α∠=，CPE β∠=，CPD γ∠=，EBC α'∠=，并分别用A 、B 、C 表示BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠．图14-5α'γβαFEDAB C在DEF △中，对点P 应用角元形式的塞瓦定理，有sin sin sin 1sin sin sin PEF PDE PFDPED PDF PFE ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠，即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβαπ---+-+⋅⋅=--π+++--．在ABC △中，对点P 应用角元形式的塞瓦定理，有sin sin sin 1sin sin sin PBC BAP ACPPBA CAP PCB ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠，即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβα''π---+-+'⋅⋅='''--π+++--． 设()()()()()()sin sin sin sin sin sin B x C x xf x x A B x x βγβββγβπ---+-+=⋅⋅--π+++--．由x ，B x -，B x βγπ---+，A B x βγ-π+++-，C x β-+，0,2x βπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，易知()f x 递增，于是由()()f f αα'=可得αα'=，所以EF BC ∥．同理可得DF AC ∥，DE AB ∥．从而有AF AE FB EC =，AF DC FB BD =，DC ECBD AE=． 所以AF FB =，BD DC =，EC AE =．故P 为ABC △的重心． 必要性：显然（略）．故命题获证，性质6三角形重心G 到任一条直线l 的距离，等于三个顶点到同一条直线的距离的代数和的三分之一． 事实上，若设三顶点A ，B ，C ，重心G ，BC 边的中点M 到直线l 的距离分别为A d ，B d ，C d ，G d ，M d ，则()23G A M G d d d d =+-，()12M B C d d d =+．两式相加，即有 ()13G A B C d d d d =++． 注由此性质可推知：设作一直线使三角形三个顶点到它的距离的代数和为零，则它通过重心．所以这种和为定值的直线与一个以G 为圆心的圆相切． 性质7设G 为ABC △的重心，若222AG BG CG +=，则两中线AD 和BE 垂直；反之，若两中线AD ，BE 垂直，则222AG BG CG +=． 【典型例题与基本方法】例1如图14-6，在ABC △中，G 为重心，P 为形内一点，直线PG 交直线BC ，CA ，AB 于A '，B '，C '．求证：3A P B P C PA GB GC G'''++='''．图14-6G 'P'C 'B'A'ABCGP证明连BG ，GC ，PB ，PC ，分别过G ，P 作GG BC '⊥于G '，作PP BC '⊥于P '，则PP GG ''∥，PP A PGG A G''=''． 又PBC GBC S PP S GG '='△△，有PBC GBC S A P S A G '='△△． 同理PCA GCA S B P S B G '='△△，PAB GAB S C PS C G'='△△． 因G 为重心，有13GAB GBC GBC GCA ABC S S S S S ====△△△△△．故3333PBC PCA PABABC ABC ABCS S S A P B P C P A G B G C G S S S '''++=++='''△△△△△△． 例2如图147-，设ABC △的重心为G ，AG ，BG ，CG 分别交对边于D ，E ，F ，交ABC △的外接圆于A '，B '，C '．求证：1A D B E C FDA EB FC'''++≥．图14-7C 'B 'A 'GF ED AB C证明设BC a =，CA b =，AB c =，这三边上的中线分别记为a m ，b m ，c m ，应用相交弦定理，有22224a A D A D DA BD DC a DA DA DA m ''⋅⋅===． 同理224b B E b EB m '=，224c C F C FC m '=． 则所证不等式等价于2222224a b ca b c m m m ++≥．应用三角形中线公式222222a m b c a =+-等三式，可求出2a ，2b ，2c ，即()22224229b c a a m m m =+-等三式．将其代入上式左边，即证得结论成立．3． 例3如图14-8，过ABC △的重心G 任作一条直线把这个三角形分成两部分，试证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的19．（1979年安徽省竞赛题）图14-8A证明把三角形的每条边三等分，过每一分点作平行于其他两边的直线，这些直线把ABC △分成9个面积相等的小三角形．内部那个交点正好是这个三角形的重心G ．过G 的任一直线把三角形分成两部分，观察这两部分面积之差，显然不超过BEF △的面积，即ABC △面积的19．例4如图14-9，已知P 为ABCD 内一点，O 为AC 与BD 的交点，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，Q 为AN 与DM 的交点，求证：（1）P ，Q ，O 三点在一直线上；（2）2PQ OQ =．图14-9Q P MN DOABC证明连PO ，设PO 与AN ，DM 分别交于点Q '，Q ''．在PAC △中，AO OC =，PN NC =，则Q '为其重心，且2PQ OQ ''=． 在PDB △中，DO BO =，BM M P =，则Q ''为其重心，且2PQ OQ ''''=．这样，Q Q '''≡，并且Q '，Q ''就是AN ，DM 的交点Q ．故P ，Q ，O 在一条直线上，且2PQ OQ =． 例5如图14-10，已知CA AB BD ==，AB 为O 的直径，CT 切O 于P ．求证：APC DPT ∠=∠． 证明连PO 并延长交O 于E ，则PE PC ⊥．连EC ，ED ，并延长PA 交CE 于F ．图14-10DC在Rt CPE △中，CO 为PE 边上的中线，且2CA AO =，即知A 为CPE △的重心，则PF 为CE 边上的中线，从而CF PF =，FCP FPC ∠=∠．又PE 与CD 互相平分，则CPDE 为平行四边形，即有FCP DPT ∠∠=．故CPA FCP DPT ∠=∠=∠． 例6试证：以锐角三角形各边为直径作圆，从相对顶点作切线，得到的六个切点共圆．证明如图14-11，设ABC △的三边分别为a ，b ，c ，O 是以BC a =为直径的圆，AT 切O 于T 点． 连AO ，在AO 上取点G 使2AG GO =，则G 为ABC △的重心．连OT ，GT ，图14-11ABC由AO =，2222cos TG OT OG OT OG TOA =+-⋅⋅∠及cos OT TOA OA ∠=，12OT a =，13OG OA =，有()2222118TG a b c =++为定值．同理，其他五个切点如T 等到重心G 的距离的平方均为()222118a b c ++，由此即证． 例7如图14-12，AD ，BE ，CF 是ABC △的三条中线，P 是任意一点．证明：在PAD △，PBE △，PCF △中，其中一个面积等于另外两个面积的和．（第26届莫斯科奥林匹克题）图14-12G F'E'DFEDABCD 'C 'A '证明设G 为ABC △的重心，直线PG 与AB ，BC 相交，从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A '，C '，D '，E '，F '，易证2AA DD ''=，2CC FF ''=，2EE AA CC '''+=，从而EE DD FF '''=+，故PGE PGD PGF S S S =+△△△．【解题思维策略分析】1．注意中线长公式、莱布尼兹公式的应用例8已知ABC △的三边BC a =，CA b =，AB c =，DEF △是ABC △的任意内接三角形，试以a ，b ，c 表示DEF △的三边平方和的最小值．解首先，证明如下结论：若G 为ABC △内的任意一点，G 到三边BC ，CA ，AB 的距离分别为x ，y ，z ，则当x y z a b c =∶∶∶∶时，222x y z ++的最小值为22224ABCS a b c ++△． 事实上，由柯西不等式()()()222222224ABC a b c xy z ax by cz S ++++++=△≥，当且仅当xy z a b c =∶∶∶∶时取等号，由此即证．如图14-13，设G 为DEF △的重心，则由中线长公式或重心性质3（2），图14-13D 0F 0E 0F EDGABC有()2222129GD DE DF EF ⎡⎤=+-⎣⎦， ()2222129GE DF EF DF ⎡⎤=+-⎣⎦， ()2222129GF EF DF DE ⎡⎤=+-⎣⎦． 三式相加，得()2222223DE EF FD GD GE GF ++=++．从G 点向ABC △的三边BC ，AC ，AB 引垂线，垂足分别为0D ，0E ，0F ， 则()()()2222222222222022212333ABCS DE EF FD GD GE GF DD EE FF GD GE GF a b c ++=+++++++++△≥≥． 下证等号能够取到，设G 为ABC △内一点，G 到BC ，CA ，AB 的距离依次为x ，y ，z ，且满足x y z a b c =∶∶∶∶．过G 分别向三边作垂线，垂足为0D ，0E ，0F ，由0D ，C ，0E ，G 共圆，知00180D GE C ∠+∠=︒，于是00001sin 21sin 2GD E ABCxy D GE S xy S ab ab C ⋅∠==⋅∠△△． 同理，00GE F ABC S yz S bc =△△，00GF D ABC S zx S ca=△△． 因x y z a b c =∶∶∶∶，则x y y z z xa b b c c a==，故000000G D E G E F G F D S S S==△△△，由重心性质4（1），知G 为000D E F △的重心．由此可见，对ABC △的内接000D E F △而言，222200000022212ABCS D E E F F D a b c ++=++△． 因此，所求最小值为222212ABCS a b c ++△． 例9如图14-14，设G 为ABC △的重心，AG ，BG ，CG 的延长线分别交ABC △的外接圆于A '，B '，C '．图14-14'求证：（1）3AG BG CGGA GB GC ++='''； （2）3GA GB GC GA BG CG'''++≥； （3）GA GA '或GB GB '或1GCGC '≤． 证明（1）证法1：设AA '交BC 于D ，则D 为BC 的中点． 由13ABC ABGGBA GBA S S AG GA S S ''=='△△△△，13ABC GAB S BG GB S '='△△，13ABC GAC SCG GC S '='△△，及AGB BGA ''△∽△， AGC CGA ''△∽△，有22GAB GBA S AG S BG ''=△△，22GAC GAC GBA GCA S S AG S S CG ''''==△△△△，从而22222211133ABCABC BGA BGA S S AG BG CG BG CG AG BG CG GA GB GC S AG AG S AG ''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△． 由BDA ADC'△∽△，得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△，所以222222113BGA ABC BGA BGA S S BG CG AG BG CG S AG AG S AG '''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△． 由BDA ADC '△∽△得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△， 所以2222111361818BGA BGD BDA ABC ABC ABC S S S BC AG BC S S S AG AG ''⎛⎫+⎛⎫=+=+⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△△△． 中线长公式或重心性质3（2），有()2222223AG BG CG AB BC CA ++=++ ．从而()()222222222323AG BC AB BC CA AG BG CG +⋅++=++=．故22222211833AG BG CG AG AG BG CG GA GB GC AG BC AG ⋅++++=⋅⋅'''+ ()()222222221832AG AG BG CG AG BG CG AG⋅⋅++=⋅++⋅3=．证法2：令O 为ABC △的外心，由莱布尼兹公式，则()2222219OG R a b c =-++（其中R ，a ，b ，c 分别 ABC △的外接圆半径及三边之长）． 注意到()2222219GA GA GB GB GC GC R OG a b c '''⋅=⋅=⋅=-=++， 于是222AG BG CG AG BG CG GA GB GC GA GA BG GB CG GC++=++''''''⋅⋅⋅ ()()2222222222213319a b c AG BG CGR OG a b c ++++===-++． （2）2113333GA GB GC GA GB GC AG BG CG GA GB GC GA GB GC GA GB GC ''''''⎛⎫⎛⎫++=++⋅++⋅= ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭≥ （3）由（2），知A G AG '或B G BG '或1C G CG '≥，由此即AG GA '或BG GB '或1CGGC '≤，或由（1）也可推得结论成立．2．证明线共点的一条途径例10如图14-15，设O 是ABC △的内切圆，BC ，CA ，AB 上的切点各是D ，E ，F ．射线DO 交EF 于A '，同样可得B '，C '．试证：直线AA '，BB '，CC '共点．图14-15证明连A B '，A C '．易知B ，D ，O ，F 及C ，D ，O ，E 分别共圆，得A OF B '∠=∠，A OE C '∠=∠． 在A OF '△及A OE '△中应用正弦定理，有'sin sin sin sin A F OA OA A EA OF OFA OEA A OE '''===''''∠∠∠∠， 有sin sin sin sin A F A OF B AC A E A OE C AB ''∠∠===''∠∠．从而AB A F AC A E ''⋅=⋅． 又AFE AEF ∠=∠，故有11sin sin 22ABA ACA S AFE A F AEF AC A E S ''''=∠⋅=∠⋅⋅=△△．由此式可知直线AA '必平分BC 边，即AA '必过ABC △的重心，同样可证BB '，CC '，也都过ABC △的重心．故由重心的唯一性，知AA '，BB '，CC '三直线共点于ABC △的重心． 【模拟实战】习题A1．如图14-16，点O 在锐角ABC △内，过O 作EF BC ∥，PQ CA ∥，HG AB ∥，若E F P Q H GB C C A A B ==，试问O 为ABC △的什么心？图14-16OABCEFGHPQ2．如图14-17，M 、N 、P 分别为正ABC △、DCE △、mBEF 的重心．求证：MNP △为正三角形．图14-17FEA BC M NP3．已知ABC △的重心G 和内心I 的连线GI BC ∥．求证：2AB AC BC +=．4．设O 为ABC △的外心，AB AC =，D 是AB 的中点，G 是ACD △的重心．求证：OG CD ⊥． 5．设M 为ABC △的重心，且3AM =，4BM =，5CM =，求ABC △的面积．（1991年上海市初中竞赛题）6．设D 是ABC △的边BC 上的一点，点E ，F 分别是ABD △和ACD △的重心，连接EF 交AD 于点G ，则DGGA的值是多少？ （1991～1992年度广州等五市竞赛题） 7．给定任意ABC △，作这样的直线与三角形相交，使得由A 点到直线的距离等于由B ，C 点到直线的距离的和．证明：所有这样的直线相交于一点．习题B1．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似，其逆亦真．2．在ABC △中，G 为重心，I 为内心，试证：AGI △，BGI △，CGI △中，最大的一个的面积等于其余两介面积的和．3．在锐角ABC △中，O ，G 分别为其外心和重心．若OG AC ∥，求证：tan A ，tan B ，tan C 成等差数列，4．试证：任意三角形的重心到三边距离之和不小于其内心到三边距离之和．。

三角形的重心
能量储备
（一）定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
（二）性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1；
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.
（三）特殊三角形的重心
1.等腰三角形的重心在底边的高或中线或定角的角平分线上.
2.等边三角形的重心是三边的高或中线或三个角的角平分线交点.
通关宝典
★基础方法点
1.利用三角形重心的性质求面积
例1：如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC 的面积.
解：因为O是△ABC的重心，所以AO∶OD=2∶1 ，所以S△AOB∶S△BOD=2∶1
即S△AOB=2 S△BOD=10
所以S△ABD= S△AOB+ S△BOD=10+5=15 又AD是△ABC的中线
所以S△ABC=2 S△ABD=30．
★★易混易误点
蓄势待发
考前攻略
考查三角形的重心，主要以选择题形式考查，难度适中..
完胜关卡。

三角形的中线与重心三角形是几何学中研究的基本图形之一，它具有许多有趣的性质和特点。

其中，三角形的中线和重心是重要的概念和特征。

本文将深入探讨三角形的中线与重心的定义、性质和应用。

一、中线的定义及性质在三角形中，我们可以将每条边的中点相连，得到三条中线。

中线有以下重要性质：1. 三角形的中线相交于一点：对于任意一个三角形ABC，连接它的三条中线AD、BE、CF，这三条中线分别连接了三角形的对边的中点。

根据经典的中位线定理，我们可以得出结论：三条中线的交点G被称为三角形的重心。

2. 重心的位置：重心G位于三角形中各条中线所围成的小三角形的内部，且离每条中线的距离是从该中线上对边的长度的1/3。

这个性质可以通过向量运算或割线定理进行证明。

3. 重心的性质：重心G将每条中线严格中等分，即AG=GD，BG=GE，CG=GF，这是因为重心到三角形的三个顶点之间的距离是相等的。

二、重心的应用重心作为三角形的特殊点，具有广泛的应用价值。

下面我们将介绍一些与重心相关的重要应用。

1. 三角形的划分：重心将三角形分成六个小三角形，且这些小三角形的面积相等。

因此，在计算三角形面积时，可以先将其划分成几个重心相关的小三角形，再进行计算。

2. 平衡条件：在物理学和工程学中，三角形的重心与物体的质心等价，以重心为基准点可以分析物体在平衡状态下的倾斜情况，对于设计各种机械结构具有重要的参考价值。

3. 稳定性分析：三角形的重心还可以应用于计算物体的稳定性。

对于一个平衡的三角形物体，在保持底边不变的条件下，如果将物体的重心抬高或降低，那么物体将不再平衡。

4. 重心求解：通过利用重心的性质，我们可以推导出求解三角形重心坐标的简单公式。

对于任意一个三角形ABC，设其三个顶点的坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则三角形的重心坐标为G((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3)。

三、中线与重心的实例分析为了进一步理解中线与重心的性质和应用，我们将分析一个具体的三角形实例。

三角形重心知识点总结在数学的几何世界中，三角形是一个基础且重要的图形，而三角形的重心则是其一个关键的特性点。

下面我们就来详细探讨一下三角形重心的相关知识点。

一、什么是三角形的重心三角形的重心是三角形三条中线的交点。

中线是连接三角形一个顶点和它所对边中点的线段。

当我们画出三角形的三条中线时，会发现它们交于一点，这个点就是三角形的重心。

为了更直观地理解重心，我们可以做一个小实验。

比如，用一块质地均匀的三角形薄板，通过支撑点使薄板保持平衡，这个支撑点大致就是三角形的重心位置。

二、重心的性质1、重心到三角形顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，其对边中点分别为D、E、F，重心为 G。

那么 AG ＝ 2GD，BG ＝ 2GE，CG ＝ 2GF。

2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等这是因为中线将三角形分成面积相等的两部分，而重心位于三条中线的交点处，所以重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。

3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小从数学原理上证明这一性质较为复杂，但我们可以从物理角度来理解。

当一个物体的质量均匀分布在一个三角形的平面上时，其重心就是使物体平衡时支撑点的位置，此时物体的势能最小，也就意味着距离平方和最小。

4、三角形内到三边距离之积最大的点是重心这一性质在一些复杂的几何问题中可能会用到，需要通过数学推导来证明。

三、重心的计算如果已知三角形三个顶点的坐标分别为 A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y₃)，那么重心 G 的坐标可以通过以下公式计算：G(（x₁＋ x₂＋ x₃) ／ 3, （y₁＋ y₂＋ y₃) ／ 3)这个公式的原理是基于重心的定义和向量的知识。

四、重心在实际问题中的应用1、工程设计在建筑结构设计和机械制造中，了解物体的重心位置对于保证结构的稳定性和平衡性至关重要。

2、物理学在研究物体的运动和平衡时，重心的概念经常被用到。

中考重点三角形的中心与垂心中考重点：三角形的中心与垂心三角形是几何学中的基础图形之一，经常在中考题目中出现。

掌握三角形的基本性质是解题的关键，而了解三角形的中心和垂心等重点概念，则更有助于我们理解和解答相关题目。

本文将详细介绍三角形的中心和垂心，并探讨它们的性质及应用。

一、三角形的中心三角形有四个重要的中心，分别是重心、外心、内心和垂心。

在本文中，我们重点介绍三角形的重心和外心。

1. 三角形的重心三角形的重心是三条中线的交点，即三条连接三角形顶点和对边中点的线段。

以三角形ABC为例，假设D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，连接AD、BE、CF，它们的交点G就是三角形ABC的重心。

重心G将三角形的每条中线分成两段，且其中一段比另一段长2倍。

重心具有以下性质：- 重心到三角形顶点的距离比重心到对边的距离长2倍。

- 重心将三角形分成六个小三角形，其中三个顶点分别是G和三角形ABC的顶点，而另外三个顶点分别在三角形ABC的中点上。

- 所有的中线都经过重心，且把三角形分成六个面积相等的小三角形。

2. 三角形的外心三角形的外心是三条垂直平分线的交点，即三角形三个顶点和所在边的垂直平分线的交点。

以三角形ABC为例，假设D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，连接AD、BE、CF，它们的垂直平分线的交点O就是三角形ABC的外心。

外心具有以下性质：- 外心到三个顶点的距离相等，即AO=BO=CO。

- 外心是三角形外接圆的圆心，外接圆的半径等于外心到三个顶点的距离。

- 外接圆上的弧度是三条边所对应的内角的平分线。

二、三角形的垂心三角形的垂心是三条高线的交点，即三角形三个顶点和对边所在直线的交点。

以三角形ABC为例，假设D、E、F分别为BC、AC、AB 上的垂足（垂足是对边到顶点的垂线与对边的交点），它们的交点H 就是三角形ABC的垂心。

垂心具有以下性质：- 垂心到三个顶点的距离不相等，即AH≠BH≠CH。

- 垂心是三角形三条高线的交点，垂心到对边的距离等于垂线段最短的那条高线的长度。

三角形重心的性质及其应用湖南大理学院沈文选71994-2014 China Academic Journal Electronic Publishing House. AU rights reserved.★数学竞赛初级讲座1基础知识三角形三条中线的交点称为三角形的垂心•三角 形重心有卜列有趣性质.性质1设G 为的重心，连结AG 并延K 交BC 于D,则。

为BC 的中点.AD 2=-(AB 2^AC 2)= BC 2,且 AG ： GO =2 ： 1・4性质2设G 为・ABC 的重心过G 作CE //BC反乙设・4BC 的一边AB 上有凡、Pi 两点，在 另一边人(7上有0、02两点.Zf — =— +APi AQ\ APi—=3则Pi Q\与PiQi 的交点G 是■ABC 的重 AQ ：心・G 数学通报》1212号问趣)交AB 干D 、交AQ 于E,过G 作PF//AC 交于P 、 交BC 于几过G 作KH //AB 交AC 于K ,交BC 于DE FP KH 2H •则(1 厂=—=—=一 BC CA AB 32.:<2> DE FP KH BC +C/1 AB3=如+広 APy AQi BPx =(1+砧〉性质3设G 为・ABC 的垂心，过G 的直线交AB ACAB 于几交AC 于Q ，则廿+/iQ =3反之，在・ABC中，若宜线PQ 交AB 于P,交AC 干Q,满足—+ —AP AQ=3则直线PQ 过三角形的遼心.KP BX I +CY | =AG ・ 同理，BX +CK=AG •2 厶从而 BX\+CY\ =BX 2 + CY 2^ 即 BXi-BXz=CY 2-CY I ,亦即 XiX2=/i Y1.而XyX 2// Yi r 2t 从而易判断・GXI X2丝■ GKi Y 2.所以GX\ =GY X .推知BM =MC 、即AM 为■ ABC 的BC 边上的中线，亦即GM 为梯形BCY }X { 的中位线.此时 BX i +CX 1 =2GM ・但BX] ^CYi=AG ,故AG =2GM •由此即知AB ACG 点为■八BC 之垂心，即满+ _ =3的直线过 其垂心•AB CM , AC RM为N 为・ABC 的重心时，M 为肚中点，有BM 性质4 设G 为■ ABC 的垂心，则S ■伽=丄S ・BCG=S ・MG= 3 $ BABC 反之亦然・性质5设G 为・ABC 的重心，UABC 内的点二MC 且AM : AN=3 : Z 由此即证得结论Q 任边BC 、CA . AB 边上的射影分别为D 、E 、F,则当 。