在坐标系中构造平行四边形

坐标系中的一些常见结论一、知识点梳理1、坐标系中的平行四边形 写出下列各图中的点的坐标标出各图中点的坐标，并找出规律总结：两组对角上的点，从数值上满足以下关系：对角上点的坐标的和，等于另外一组对角上点的坐标的和。

从这个结论我们可以得出以下结论：如果一个平行四边形，三个顶点分别为112233(,),(,),(,)a b a b a b ，那么第四点坐标44(,)a b 有： 41234123,a a a a b b b b =+-=+-或41324132,a a a a b b b b =+-=+-或42314231,a a a a b b b b =+-=+-比如，一个平行四边形的三个顶点为(1,2),(3,4),(5,6)，那么第四个顶点坐标可能有三个： (135,246)+-+-或(153,264)+-+-或(351,462)+-+-即第四个顶点坐标可能为(1,0)-或(3,4)或(7,8)这个结论在之后的很多动点问题中都有涉及，请大家理解，并且记住。

2、坐标系中，中点的表示在坐标系中标出以下各点，并观察，写出它们中点的坐标。

(1,2),(5,4) (1,3),(5,1)-你能得出什么结论？结论：坐标系中，两点坐标为1122(,),(,)a b a b ，那么它们的中点坐标为：1212(,)22a ab b ++3、坐标系中，两条平行线的表达式之间的关系请参照第一页，算出每个平行四边形对边所在直线对应的一次函数，比较它们的k 的关系。

结论：在同一个坐标系中，平行的两条直线，它们的k 相等。

特殊情况：如果两个直线k 都不存在，那么它们也是平行的。

4、坐标系中，知道两点求过这两点的直线的表达式如果一条直线经过点(,),(,)a b c d ，那么这个直线的表达式为：()() d b y x a b c a c a-=-+≠-5、坐标系中，两点之间距离的表示：如果一线段端点为(,),(,)a b c d，那么这条线段长度为：6、坐标系中，两直线垂直，那么这两直线所对应的一次函数表达式的k关系为：121k k=-或者12,k k一个为0，另一个不存在。

直角坐标系中平行四边形对角线法则【直角坐标系中平行四边形对角线法则】一、引言在数学中，直角坐标系是一种常见的坐标系统，用于描述平面上的点和图形。

平行四边形是一个重要的几何形状，在直角坐标系中，我们可以利用平行四边形对角线法则来计算其对角线的长度和方向。

本文将深入探讨直角坐标系中平行四边形对角线法则的原理和应用，以帮助读者更好地理解和运用这一概念。

二、基础知识回顾在讨论平行四边形对角线法则之前，我们先回顾一下直角坐标系的基础知识。

在直角坐标系中，平面上的任意一点可以用一对有序实数来表示，通常表示为(x, y)，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y 轴上的位置。

直角坐标系中有两条互相垂直的直线，称为坐标轴，用来确定平面上点的位置。

三、平行四边形对角线法则的原理平行四边形是一个有四个边和四个角的四边形，其中相对的两边是平行的。

平行四边形的对角线是连接相对顶点的线段。

平行四边形对角线法则是指，平行四边形的对角线互相平分，并且对角线的和向量等于零向量。

四、平行四边形对角线法则的应用1. 平行四边形对角线长度的计算根据平行四边形对角线法则，平行四边形的对角线互相平分，所以对角线长度相等。

给定平行四边形的两条边的坐标，可以使用直线的长度公式来计算对角线的长度。

对于平行四边形ABCD，已知A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)，则对角线AC的长度为√((x1-x3)^2 + (y1-y3)^2)。

2. 平行四边形对角线方向的计算根据平行四边形对角线法则，对角线的和向量等于零向量。

给定平行四边形的两条边的坐标，可以使用向量的加法和等于零向量的性质来求解对角线的方向。

在平行四边形ABCD中，向量AB + 向量CD =零向量。

可以利用这一关系来计算对角线的方向。

五、个人观点与总结直角坐标系中平行四边形对角线法则是解决平行四边形相关问题的重要工具。

通过理解和应用这一法则，我们可以准确计算平行四边形的对角线长度和方向。

坐标系中平行四边形顶点坐标规律亲爱的朋友们，大家好！今天我要和大家聊一聊一个很有趣的问题，那就是在坐标系中如何找到平行四边形的顶点。

这个问题听起来可能有点复杂，但其实只要我们掌握了一些基本的规律和方法，就能轻松解决。

那么，让我们一起来探索一下这个有趣的话题吧！我们要明确一点，那就是在坐标系中，平行四边形是由四个点组成的。

这四个点分别是平行四边形的四个顶点，它们分别位于不同的行和列上。

为了方便起见，我们可以将这四个点分别用字母A、B、C和D表示。

接下来，我们要分析的是这些点的坐标规律。

我们可以观察到，这四个点的横坐标都是相等的。

也就是说，无论我们在坐标系中选择哪个点作为参考，其他三个点的横坐标都是相同的。

这是因为平行四边形的对边平行，所以它们的横坐标是相等的。

然后，我们再来看看这四个点的纵坐标。

同样地，这四个点的纵坐标也是相等的。

这是因为平行四边形的对角线互相平分，所以我们可以将每个角平分到两条对角线上，这样每个角上的点的纵坐标就是相等的。

现在我们已经找到了这四个点的坐标规律：横坐标相等，纵坐标相等。

那么，我们应该如何根据这些规律来确定平行四边形的顶点呢？其实，这个问题的答案很简单。

我们只需要在坐标系中画出一个平行四边形，然后根据上述规律来确定它的顶点就可以了。

具体来说，我们可以先确定一个顶点，比如点A。

然后，我们可以观察它与另外三个顶点的关系，通过计算可以得出第三个顶点的位置。

同样地，我们可以依次计算出第四个顶点的位置。

通过这种方法，我们就可以准确地确定出平行四边形的所有顶点了。

这个过程虽然看起来有些繁琐，但是只要我们熟练掌握了坐标系的规律，就能够轻松地解决这类问题。

总的来说，找到平行四边形的顶点并不难，关键在于我们需要掌握一些基本的数学规律。

只要我们按照上述方法进行操作，就能够准确地找出平行四边形的顶点位置。

希望大家能够通过这篇文章的学习，提高自己的数学能力，更好地应对各种复杂的问题！。

坐标系中的平行四边形的知识平行四边形是几何学中一个常见的形状，它具有独特的性质和特点。

在坐标系中，平行四边形的性质可以通过坐标的运算和几何知识来得到详细描述。

平行四边形的定义平行四边形是一个具有两对边平行的四边形。

在坐标系中，平行四边形可以通过坐标点表示，其中相邻的两个点构成一条边，而相对的两个点之间的线段是平行的。

平行四边形的性质包括对角线互相平分、相对边平行等。

平行四边形的判定在坐标系中，可以通过坐标点的斜率来判定平行四边形。

如果四个点的斜率相等，则这四个点构成的四边形是平行四边形。

斜率的计算方法为两点之间纵坐标的差值除以横坐标的差值。

平行四边形的性质1.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，并且中点连线是平行四边形的对边之一。

2.相邻角互补：平行四边形的相邻内角互补，也就是说相邻角的和为180度。

3.临角相等：平行四边形的临角相等，也就是相对边之间的角相等。

4.相对边平行：平行四边形的相对边是平行的。

5.对角线长：对角线长相等。

平行四边形的性质应用平行四边形的性质在几何推导和解题中有着广泛的应用。

通过利用平行四边形的性质，可以简化几何问题的计算和分析。

在坐标系中，通过有效地利用平行四边形的知识，可以更快速地解决复杂的几何问题。

总结在坐标系中，平行四边形是一个重要的几何形状，具有多种性质和特点。

通过对平行四边形的定义、判定和性质进行深入了解，可以更好地应用几何知识解决问题。

平行四边形的知识不仅在数学领域有着重要意义，也可以延伸到其他学科和实际生活中，为我们提供更多的思维方式和解决问题的途径。

西安爱知中学第十一届校本教研备课组公开课教案年级初三备课组数学组姓名霍高峰坐标系中平行四边形存在性问题探究教学设计课堂练习：1、如图，二次函数x x y 31322—=的图象经过△AOB 的三个顶点，其中A(-1，m )，B(n,n ) ． （1）求A 、B 的坐标；（2）在坐标平面上找点C ，使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形． ①这样的点C 有几个？ ②能否将抛物线x x y 31322—=平移后经过A 、C 两点？若能，求出平移后经过A 、C 两点的一条．．抛物线的解析式；若不能，说明理由．2、如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．xyBAO C《坐标系中平行四边形问题探究》教学反思一直以来，关于在坐标系中，特别在二次函数中讨论平行四边形存在性问题困扰自己，有时自己觉得非常简单的方法对于学生却如同天书一般困难，思考再三，根据平行四边形的图形特点，总结了利用表示坐标的方法解决平行四边形问题的方法。

坐标法不是探讨和论证线段的相等、三角形的全等……，而是用动态的观点看待几何图形——把平行四边形看成是由一条线段平移而成，用数的运算来描述图形的变化——用坐标表示平移，其本质是用几何变换去认识几何图形，用代数方法来解决几何问题，体现的是解析几何的思想、数形结合的思想、几何变换的思想．坐标法的思路：先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标）．根据平行四边形的对角线互相平分这一特征，借助中点坐标公式，探索出平行四边形对角线端点坐标关系，顺利写出第四个顶点的坐标．最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性．坐标法的特点：①不会遗漏．坐标法回避了对复杂图形的相互关系的分析；②不需证明．坐标法直接写出第四个点的坐标，跨越了复杂的推理过程，回避了繁琐的证明；③不限条件．坐标法适用范围广，无论定点在什么位置、无论动点在哪几条曲线上、在什么曲线上，都可以探索，真正是以不变应万变．坐标法实际就是要用代数的方法研究几何问题，加强数形之间的联系，突出数形结合的思想．这启发我们在日常的教学活动中，要加强对新课程的研究，渗透新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、几何变换的思想，引导学生从不同的角度思考问题，这样才能从教材简单的例、习题中获得解决问题的新方法、新思想，才能引导学生重视教材，同时培养学生探索的能力和创新的意识．从本节课学生的情况来看，学生对于这种方法接受容易，学习的兴趣也得到提升，在课堂中能够积极发言，探讨遇到的问题。

《平行四边形》题型解读7 直角坐标系中的平行四边形【知识梳理】： 1.总体解题分析思路线：2.常见添辅助线方法：①过平行四边形顶点作坐标轴的垂线段，把点的坐标转化成线段长； ②连接对角线，利用中点坐标公式求解点的坐标；【典型例题】例1.已知如图，平行四边形ABCD 的边AB 在轴上，顶点D 在轴上，AD=4，AB=5，点A 的坐标为（-2，0），则 点B 的坐标为____________, 点C 的坐标为____________, 点D 的坐标为____________ 【解题过程】作CE ⊥x 轴，∵点A 的坐标为（-2，0），∴OA=2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=4,AB=CD=5,∴OB=3,∴BE=2,在Rt △OAD 中，由勾股定理可得OD=2√3,∵∠DAO=∠CBE,OA=BE=2,∠AOD=∠CEB=90º,∴△AOD ≌△BEC,∴CE=OB=2√3,∴B(3,0)、D(0,2√3)、C(5,2√3).例2.如图，在平面直角坐标系中，AB//OC ，A （0，12），B （a,12），C （b,0），且满足b =√a −21+√21−a +16. 动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P 、Q 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动.设运动时间为t （秒）. （1）求B ，C 两点的坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？请求出此时P ，Q 两点的坐标； （3）当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形？并求出P 、Q 两点的坐标.【解题过程】（1）∵b =√a −21+√21−a +16，∴√a −21≥0，√21−a ≥0，∴a=21,∴b=16,∴B(21,12)、C(16,0)； （2）如图1，由题可知：AP=2t,PB=21-2t ，OQ=t,QC=16-t ，∵当四边形PQCB 是平行四边形时，∴PB=QC ，即21-2t=16-t ，解得t=5，此时AP=10,OQ=5，∵AB//OC ，∴点B 、P 的纵坐标相同，∴P(10,12)、Q(5,0)。

平面直角坐标系中求平行四边形点的坐标的公式在平面直角坐标系里，我们常常会遇到平行四边形的问题。

这可是个让人挠头但又充满乐趣的挑战呢！想想看，一个平行四边形就像是一对亲密无间的朋友，永远是两两相对，形影不离。

搞清楚这些点的坐标，并不需要太高深的数学技能，反而有点像跟朋友一起出去玩，简单又有趣。

咱们得明白，平行四边形的对边是平行的，这点可不是说说而已。

比如，你在坐标系中有两个点A（x1, y1）和B（x2, y2），这时候想要找出平行四边形的另外两个点C 和D，那就得聪明一点了。

说到这里，大家是不是有点儿兴奋了？找点的过程就像探险一样，充满惊喜。

要想清楚C和D的坐标，首先要找到平行四边形的“位置”。

有了A 和B，我们就可以简单地用公式来找到C和D。

好吧，接下来就是核心步骤了。

我们来设C点的坐标为(x3, y3)，D点的坐标为(x4, y4)。

C点其实可以用A点和B点来“算”出来。

这样一来，C的坐标就可以表示为C（x1 + k, y1 + m），而D的坐标可以写成D（x2 + k, y2 + m）。

这里的k和m可大可小，想象一下就像加了点糖的茶，喝起来特别好！这样一来，平行四边形的四个点就全部搞定了，真是太简单了。

在这个过程中，记得保持心情愉快哦。

数学不再是枯燥的符号和公式，它就像一场游戏。

想象一下，坐在公园的长椅上，和朋友聊着天，偶尔抬头看看天上的云朵，或许它们的形状就像一个个平行四边形。

只要你用心观察，总能发现生活中的数学。

搞定了坐标的计算，你就是这个领域的小专家。

大家可能会问，这样的公式怎么会有用呢？说实话，平行四边形不仅在课本上出现，在生活中也是无处不在。

你去超市的时候，购物车的形状其实就像一个平行四边形！在家里，桌子、椅子也大多是这类形状。

生活就像一个大拼图，平行四边形就是其中重要的一部分。

每个坐标点就像拼图上的每个小块，缺一不可。

所以，别觉得数学难，实际上它就像一个朋友，静静地待在你身边，随时等着你去发现它的美。