坐标系中的平行四边形

坐标系中的一些常见结论一、知识点梳理1、坐标系中的平行四边形 写出下列各图中的点的坐标标出各图中点的坐标，并找出规律总结：两组对角上的点，从数值上满足以下关系：对角上点的坐标的和，等于另外一组对角上点的坐标的和。

从这个结论我们可以得出以下结论：如果一个平行四边形，三个顶点分别为112233(,),(,),(,)a b a b a b ，那么第四点坐标44(,)a b 有： 41234123,a a a a b b b b =+-=+-或41324132,a a a a b b b b =+-=+-或42314231,a a a a b b b b =+-=+-比如，一个平行四边形的三个顶点为(1,2),(3,4),(5,6)，那么第四个顶点坐标可能有三个： (135,246)+-+-或(153,264)+-+-或(351,462)+-+-即第四个顶点坐标可能为(1,0)-或(3,4)或(7,8)这个结论在之后的很多动点问题中都有涉及，请大家理解，并且记住。

2、坐标系中，中点的表示在坐标系中标出以下各点，并观察，写出它们中点的坐标。

(1,2),(5,4) (1,3),(5,1)-你能得出什么结论？结论：坐标系中，两点坐标为1122(,),(,)a b a b ，那么它们的中点坐标为：1212(,)22a ab b ++3、坐标系中，两条平行线的表达式之间的关系请参照第一页，算出每个平行四边形对边所在直线对应的一次函数，比较它们的k 的关系。

结论：在同一个坐标系中，平行的两条直线，它们的k 相等。

特殊情况：如果两个直线k 都不存在，那么它们也是平行的。

4、坐标系中，知道两点求过这两点的直线的表达式如果一条直线经过点(,),(,)a b c d ，那么这个直线的表达式为：()() d b y x a b c a c a-=-+≠-5、坐标系中，两点之间距离的表示：如果一线段端点为(,),(,)a b c d，那么这条线段长度为：6、坐标系中，两直线垂直，那么这两直线所对应的一次函数表达式的k关系为：121k k=-或者12,k k一个为0，另一个不存在。

平行四边形对点坐标关系（线段平移规律）平行四边形的综合性习题较多，平行四边形的相对两点坐标关系是解决平行四边形存在问题的一种万能方法，这种方法避免了画图不全面而容易丢解的弊端，是一种好的方法！教学过程如下：题目：平面直角坐标系中，已知点 M（2,3），N（-3,4），P（-2，-1 ），请求出点 Q 的坐标，使得以 M N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形。

由于此题的四边形的顶点顺序没有明确给出，所以此题就会出现多种情况，学生遇到的难点会有两个，一个是考虑问题不周，造成丢解；一个是问题考虑全面，但是求解困难，为此，借助几何画板帮助学生更快地找到解决问题的方法。

几何画板演示：平面直角坐标系中线段 AB, A（ 2,1）B（ 3,4 ），将线段AB进行平移, 即左移4个单位长度，上移 2个单位长度，得到线段 CD （ A、B、C D四个点的坐标在画板中要标注好，便于发现坐标之间的关系）如此平移之后，利用平移的性质可知四边形ABCD为平行四边形，通过坐标平移规律引导学生发现平行四边形四个顶点的坐标关系。

由于只进行了一次平移，学生很难发现，所以利用几何画板再进行不断地演示，直至学生发现：平行四边形相对两点的横、纵坐标之和均相等这一规律。

在发现规律的过程中，几何画板的演示起到了帮助加速学生发现规律的作用。

在发现及归纳规律之后，引导学生利用数学知识进行验证，即利用三角形全等的知识进行证明！在学生通过几何画板的“形”的直观，发现猜想，到利用数学知识验证所得的猜想正确后，还要引导学生总结三个定点构成平行四边形问题可以通过分类讨论的思想，利用对点坐标的关系快速求解，就省去了画图的步骤，从而全面快速解决问题！情况一：NP为相对的两个顶点情况二：NM为相对的两个顶点情况三：NQ为相对的两个顶点。

《平面直角坐标系中的平行四边形》课后反思《平面直角坐标系中的平行四边形》课后反思北京三中王颖平面直角坐标系中图形位置的确定，是综合性较强、难度较大的一类问题，也是中考中的热点问题。

为了可以提高复习课的效率，保证课堂实效，结合我班学生的特点，本课的设计将图形位置的确定定位在了平行四边形这个特殊图形的位置确定上，分解出了综合题中的几何模型【引例】，铺垫到位，总结了作图定位的依据和方法。

再把几何图形放在了平面直角坐标系中，对图形顶点的坐标求法进行归纳和总结。

将专题细化，一题多变，充分引申。

我想这种小起点，低跨步的题目情境更易于学生接受综合性强、难度大的问题，上课后，学生感觉自己对这类题的解法有了一定的了解。

在课堂的教学过程中，我关注学生的审题环节，按：条件是什么？条件怎么用？问题是什么？来让学生关注题目中的关键条件，挖掘隐含条件，学会处理条件。

不仅如此，还让学生参与课堂活动，充分展示自己的作品，展示自己的思维轨迹。

在解题之后注重题目的反思和方法小结，且在下一问题中马上应用该知识点，及时发现学生掌握的不好的知识点，再度强调和巩固。

课堂中引导学生进行小组讨论，但学生没有行动起来，可能今天有人听课比较拘谨。

不然，学习氛围会更热烈一些。

为了能明确的听到学生的见解，今天选择了个别回答的形式，也影响了一部分同学回答问题的积极性，但通过回答问题学生的表现，他们都还是在认真跟着老师学习呢。

因时间问题，例3的讲解显然有些太快了，未给学生充分的思考时间，如果再有教具演示就会更直观了，效果会更好！我还在考虑着今后的教学中应该再大胆一些，让学生独立思考，独立做题，独立的表达，充分的发挥学生学习的能动性。

最后，衷心感谢教研员雷老师和三中数学备课组全体老师为我们这次公开课提供的帮助！欢迎大家指出我这节课的不足之处，我会虚心接受的！第二篇：平面直角坐标系实用说课稿3400字《平面直角坐标系》说课稿武威第十九中学邱雪玲《平面直角坐标系》说课稿武威第十九中学邱雪玲尊敬的各位领导、老师们：大家好！非常高兴能有机会向在座的领导、老师们学习，不当之处，请多指教。

巧解中招试题中“平面直角坐标系中的平行四边形”数形结合思想是初中数学教学中非常重要的思想方法之一。

用代数方法研究几何问题能使许多图形问题变得简单，平面直角坐标系就是这样一个有力的工具，近几年各地中招试卷中经常出现把平行四边形放在平面直角坐标系中进行考察，河南省在2009年、2010年的竞赛试题中设计的大题进行考察，学生经常出错并且感觉无从下手。

下面我们就一起来研究一下“平面直角坐标系中的平行四边形”有什么特殊的性质呢？为了研究的方便，我们这里只就第一象限的情形进行证明：图1中，给出平行四边形abcd 的顶点a,b,d 的坐标（如图所示），求出顶点c 的坐标（c 点坐标用含a,b,c,d,e,f 的代数式表示）；解：如图2，分别过点a,b,d ,d 作x轴的垂线，垂足分别为a1，b1,c1,d1分别过a,d作ae⊥bb1于df ⊥cc1，于点f 。

在平行四边形abcd 中，cd=ba，又∵bb1 ∥cc1，∴∠eba+∠abc+∠bcf=∠abc+∠bcf+∠fcd=180°。

∴∠eba=∠fcd。

又∵∠bea=∠cfd=90°，∴△bea≌△cfd。

∴af=df=a-c，be=cf=d-b ．设c（x,y)。

由e-x=a-c，得x =e+c-a．由y-f=d-b，得y=f+d-b。

∴c(e+c-a,f+d-b)。

在其它象限也容易求出顶点c的坐标，我们很容易发现：无论平行四边形abcd处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为a （a,b），b（c,d）,c（m,n）,d（e,f）（如图1）时，则四个顶点的横坐标a,c,m,e,之间的等量关系为m+a=c+e；纵坐标b,a,n,f之间的等量关系为n+b=d+f. 我们可以总结出在”平面直角系中的平行四边形”顶点坐标特点是：对点横坐标之和相等，对点纵坐标之和相等。

例1、（2005年，黑龙江）在平面直角坐标系内，a、b、c三点的坐标分别是（0，0）、（4，0）、（3，2），以a、b、c三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限解：设第四个顶点d的坐标为（x，y），根据题意知分三种情况：（1）以ac为对角线的平行四边形，其中点a与点c为对点，点b与点d为对点。

让我们一起来探索平面直角坐标系中平行四边形的顶点的坐标之间的关系-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1让我们一起来探索平面直角坐标系中平行四边形的顶点的坐标之间的关系。

第一步：数轴上两点连线的中点表示的数自己画一个数轴，如果点A、B分别表示-2、4，则线段AB的中点M表示的数是。

再试几个，我们发现：数轴上连结两点的线段的中点所表示的数是这两点所表示数的平均数。

第二步；平面直角坐标系中两点连线的中点的坐标（如图①）为便于探索，我们在第一象限内取两点A（x1,y1），B（x2,y2）,取线段AB的中点M，分别作A、B到x轴的垂线段AE、BF，取EF的中点N，则MN是梯形AEFB的中位线，故MN⊥x轴，利用第一步的结论及梯形中位线的性质，我们可以得到点M的坐标是（，）（用x1,y1，x2,y2表示），AEFB是矩形时也可以。

我们的结论是：平面直角坐标系中连结两点的线段的中点的横（纵）坐标等于这两点的横（纵）坐标的平均数。

图①?图②第三步：平面直角坐标系中平行四边形的顶点坐标之间的关系（如图②）在平面直角坐标系中画一个平行四边形ABCD，设A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3）,D（x4,y4）,则其对角线交点Q的坐标可以表示为Q（，），也可以表示为Q（，），经过比较，我们可以分别得出关于x1,x2,x3,x4及,y1,y2,y3,y4的两个等式是和。

我们的结论是：平面直角坐标系中平行四边形的对角顶点的横（纵）坐标的?。

题型：解答题难度：中档来源：不详第一步：1?第二步：第三步：或X1+x3=x2+x4 y1+y3=y2+y4，的和相等。

解：第一步：故答案为：1，如图：．解：∵MN是梯形AEFB的中位线，AE∥BF，∴E、F的横坐标分别是x1，x2，解：由第三步推出x1+x3=x2+x4y1+y3=y2+y4，故答案为：x1+x3=x2+x4y1+y3=y2+y4，的和相等．画出数轴即可求出第一步；先求出N是EF中点，求出N的横坐标，根据梯形的中位线性质求出纵坐标即可；根据平行四边形性质推出Q是AC和BD的中点，根据以上结论即可求出答案．。

坐标系中的平行四边形的知识平行四边形是几何学中一个常见的形状，它具有独特的性质和特点。

在坐标系中，平行四边形的性质可以通过坐标的运算和几何知识来得到详细描述。

平行四边形的定义平行四边形是一个具有两对边平行的四边形。

在坐标系中，平行四边形可以通过坐标点表示，其中相邻的两个点构成一条边，而相对的两个点之间的线段是平行的。

平行四边形的性质包括对角线互相平分、相对边平行等。

平行四边形的判定在坐标系中，可以通过坐标点的斜率来判定平行四边形。

如果四个点的斜率相等，则这四个点构成的四边形是平行四边形。

斜率的计算方法为两点之间纵坐标的差值除以横坐标的差值。

平行四边形的性质1.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，并且中点连线是平行四边形的对边之一。

2.相邻角互补：平行四边形的相邻内角互补，也就是说相邻角的和为180度。

3.临角相等：平行四边形的临角相等，也就是相对边之间的角相等。

4.相对边平行：平行四边形的相对边是平行的。

5.对角线长：对角线长相等。

平行四边形的性质应用平行四边形的性质在几何推导和解题中有着广泛的应用。

通过利用平行四边形的性质，可以简化几何问题的计算和分析。

在坐标系中，通过有效地利用平行四边形的知识，可以更快速地解决复杂的几何问题。

总结在坐标系中，平行四边形是一个重要的几何形状，具有多种性质和特点。

通过对平行四边形的定义、判定和性质进行深入了解，可以更好地应用几何知识解决问题。

平行四边形的知识不仅在数学领域有着重要意义，也可以延伸到其他学科和实际生活中，为我们提供更多的思维方式和解决问题的途径。

西安爱知中学第十一届校本教研备课组公开课教案年级初三备课组数学组姓名霍高峰坐标系中平行四边形存在性问题探究教学设计课堂练习：1、如图，二次函数x x y 31322—=的图象经过△AOB 的三个顶点，其中A(-1，m )，B(n,n ) ． （1）求A 、B 的坐标；（2）在坐标平面上找点C ，使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形． ①这样的点C 有几个？ ②能否将抛物线x x y 31322—=平移后经过A 、C 两点？若能，求出平移后经过A 、C 两点的一条．．抛物线的解析式；若不能，说明理由．2、如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．xyBAO C《坐标系中平行四边形问题探究》教学反思一直以来，关于在坐标系中，特别在二次函数中讨论平行四边形存在性问题困扰自己，有时自己觉得非常简单的方法对于学生却如同天书一般困难，思考再三，根据平行四边形的图形特点，总结了利用表示坐标的方法解决平行四边形问题的方法。

坐标法不是探讨和论证线段的相等、三角形的全等……，而是用动态的观点看待几何图形——把平行四边形看成是由一条线段平移而成，用数的运算来描述图形的变化——用坐标表示平移，其本质是用几何变换去认识几何图形，用代数方法来解决几何问题，体现的是解析几何的思想、数形结合的思想、几何变换的思想．坐标法的思路：先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标）．根据平行四边形的对角线互相平分这一特征，借助中点坐标公式，探索出平行四边形对角线端点坐标关系，顺利写出第四个顶点的坐标．最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性．坐标法的特点：①不会遗漏．坐标法回避了对复杂图形的相互关系的分析；②不需证明．坐标法直接写出第四个点的坐标，跨越了复杂的推理过程，回避了繁琐的证明；③不限条件．坐标法适用范围广，无论定点在什么位置、无论动点在哪几条曲线上、在什么曲线上，都可以探索，真正是以不变应万变．坐标法实际就是要用代数的方法研究几何问题，加强数形之间的联系，突出数形结合的思想．这启发我们在日常的教学活动中，要加强对新课程的研究，渗透新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、几何变换的思想，引导学生从不同的角度思考问题，这样才能从教材简单的例、习题中获得解决问题的新方法、新思想，才能引导学生重视教材，同时培养学生探索的能力和创新的意识．从本节课学生的情况来看，学生对于这种方法接受容易，学习的兴趣也得到提升，在课堂中能够积极发言，探讨遇到的问题。