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第四章_线性空间_S1_线性空间的概念[1][1]资料.

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1.1线性空间

1.1线性空间

Ⅱ 求 （1）基I到基II的过渡矩阵； （2）向量 31 23 在基I下的坐标以及在自然基 e1 , e 2 下的坐标； T （3）向量 4,1,2 在基（I）下的坐标.
24
, e3
1.3 线性子空间 定义1.8 设V为数域P上的线性空间，W是线性空间V的 非空子集，若W关于V中的线性运算也构成数域P上的 线性空间，则称W是V的线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V，显然由中单个零向量构成的子 集是的子空间，称为的零子空间,记为{0}；V本身也是 V的子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间.的其它 子空间称为V的非平凡子空间. 若WＶ，且WＶ，称Ｗ是Ｖ的真子空间。
例1.2 1. n维向量空间Rn按照向量的加法以及向量与实数的数乘 都构成实线性空间. 2.全体 mn实矩阵，在矩阵的加法及数乘两种运算下构成一个 实线性空间，记为Rmn. 3.区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的加法及数与函数 的乘法构成一个实线性空间，记为C[a,b]. 4.全体次数小于 n的多项式连同零多项式，按照多项式的加法 与数乘构成一个实线性空间，记为 Pn[x]. 5.齐次线性方程组 AX=0的全体解向量，在向量的加法及数乘 两种运算下构成一个线性空间，也就是通常所说的解空间； 注：非齐次线性方程组AX=b的全体解向量，在上述两种运算下 不构成一个线性空间.
4.向量组
1,2 ,L ,m线性相关当且仅当其中至少
有一个向量是其余向量的线性组合。
11
5.向量组 1 ,2 ,L , m 线性无关，而 , 1 , 2 ,L , m 线性相关，则可以由向量组 表示。
1,2 ,L ,m
唯一 线性
6.线性无关组不含零向量，等价的含零向量的向量组必定 线性相关。 7. 如果向量组 1 , 2 ,L , 线性无关，并且可由向量组 s 线性表示，则 s t 8.等价的线性无关向量组必定含有相同个数的向量.

6.1线性空间的概念.

6.1线性空间的概念.
n 1
[ a , b ]上的全体连续实函数对于通常定义的 函数的加法与数乘函数运算构成数域 R 上的 线性空间 C[a, b] 实系数的齐次线性方程组的解的全体构成实数 域上的线性空间 仅由 n 维零向量构成的集合也构成实数域上的 线性空间
例 非通常意义下的加法与数乘运算下的 线性空间
V R , P R def. a, b R , a b a b
2
定义加法为通常意义下的加法； 定义数乘为
k ( x1 , x2 ) (kx1 ,0)
则 V 不构成线性空间 例 n 次的多项式，不构成线性空间
2 线性空间的性质 零元素是唯一的 每个元素的负元素是唯一的 0 0 , (1) , k 0 0 若 k 0 k 0 or 0
T

定义 设 V 是数域 P 上的线性空间， , ,, V
1 2 s
令
k11 k2 2 k s s ki P, i 1,2,, s L 1 , 2 , , s
称 L 1 , 2 ,, s 为由 , ,, 生成的
则称V 为数域 P 上的线性空间
例如 全体 n 维实向量对于通常定义的加法与数乘 运算构成数域 R 上的线性空间 R
n
全体 m n实矩阵对于通常定义的加法与数乘 运算构成数域 R 上的线性空间 R mn 全体 次数不超过 n 次的变量x 的实系数多项式 对于通常定义的函数的加法与数乘函数运算构 成数域 R 上的线性空间 R[ x]
第四章 线性空间
§ 4.1 线性空间的概念
1 线性空间的概念 定义 ( 数域 ) 若P 是一数集，P包含数0与1，且对 加法、减法、乘法与除法（0 不做除数） 封闭，则称 P 是一个数域。 例如，全体实数R、全体复数C、全体有理数Q

第四章 线性空间 S1 线性空间的概念

第四章 线性空间 S1 线性空间的概念

1
定理2 充分性的证明过程也是解线性方程组的一般 规则. 当r<n时，解向量依赖于n-r个参数.
因而方程组(1)有无穷多解. 当r＝n时方程
组(1)只有唯一解. 定理3 非齐次线性方程组 (1)：
当 rA rB 时，无解；
当 rA rB n 时，有唯一解；
当 rA rB n 时有无穷多解.
齐次线性方程组 Ax 0
R(A) n Ax 0只有零解; R(A) n Ax 0有非零解.
5
预备概念：
解集合：一个线性方程组的全体解向量构成的集合.
§3.3.1齐次线性方程组的基础解系
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1 a22 x2
a2n xn 0
的“+”和“·”不同.
• 要证明某非空集合V 对于给定的两种运算能构成数 域F上的线性空间，需逐条验证“+”和“·”的封闭 性及运算规律(1)—(8)成立；要否定某非空集合V 对于给定的两种运算不能构成数域F上的线性空间， 只须说明加法或数乘运算不封闭，或(1)—(8)中有 一条不满足即可.
• 给定V及F，一般可用多种不同的方法定义出不同的 线性空间.
最简形
1
0
b11
b1 ,n r
0 A~
0
1
br1
br
,nr
0
0 0
15
（2）得出 R(A) r，同时也可知方程组的一
个基础解系含有n r 个线性无关的解向量．
由于
Ax
0
x1 b11 xr1 b1,nr xn
xr br1 xr1 br ,nr xn
1
0
b1 ,n r

线性空间的定义

线性空间的定义
线性空间是代数中一个核心且抽象的概念，对于理解代数在空间上的作用具有基础性意义。线性空间，又称为向量空间，必须包含由线性运算所规定的代数结构。这主要通过集合与满足一定运算规律的代数运算来实现，以便于进行数学研究。在引入正式定义之前，我们通过熟悉的例子如几何空间中的向量、n维向量和矩阵来阐述其共同点子中，我们可以抽象出线性空间的定义。具体来说，设V是一个非空集合，F是数域，对V中任意两个元素定义加法和数量乘法运算，满足一系列规则，则称V为F上的线性空间。进一步地，我们探讨了线性空间的结构，指出其由基所决定，而维数在研究有限维线性空间结构中起着关键作用。最后，通过多个实例，如矩阵空间、函数空间和多项式空间，来加深对线性空间概念的理解和应用。

线性空间线性空间的定义及性质知识预备集合笼统的说

线性空间线性空间的定义及性质知识预备集合笼统的说

第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。

集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。

★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。

比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。

实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。

1．线性空间的定义：设V是一个非空集合，其元素用zx,,等表示；K是一个数域，y其元素用m,等表示。

如果V满足[如下8条性质，分两类]:k,l（I）在V中定义一个“加法”运算，即当Vx∈，时，有唯一的和y+（封闭性），且加法运算满足下列性质:x∈yV（1）结合律z=+)()(；+y+zxyx+（2）交换律x+；=yyx+（3）零元律存在零元素O，使x+；x=O（4）负元律 对于任一元素V x ∈，存在一元素V y ∈，使O y x =+，且称y 为x 的负元素，记为)(x -。

则有O x x =-+)(。

（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当K k V x ∈∈,时，有唯一的V kx ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质: （5）数因子分配律 ky kx y x k +=+)(； （6）分配律 lx kx x l k +=+)(； （7）结合律 x kl lx k )()(=； （8）恒等律 x x =1； 则称V 为数域K 上的线性空间。

注意以下几点：1）线性空间是基于一定数域来的。

同一个集合，对于不同数域，就可能构成不同的线性空间，甚至对有的数域能构成线性空间，而对其他数域不能构成线性空间。

2）两种运算、八条性质。

数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则是抽象的、形式的。

3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性是否满足。

线性代数课件-线性空间

线性代数课件-线性空间

0 1
0
0.
4．如果 0，则 0 或 0 . 证明 又
1
假设 0 , 那么
1

0 0.

1

.
ka1 kA 0
且
kb1 0
0 kc1
ka1 kb1 kc1 0,
即 kA W2 , 故W2是R 23的子空间.
例3
n次多项式的全体 Q[ x ]n { p a n x n a 1 x a 0 a n , , a 1 , a 0 R, 且 a n 0}
对于通常的多项式加法 和乘数运算不构成向量 空 间.
0 p 0 x n 0 x 0 Q[ x]n
. Q[ x]n 对运算不封闭
a1 b1 c1 0, a2 b2 c2 0,
于是
a1 a2 A B 0
b1 b2 0
0 c1 c2
满足
即
a1 a2 b1 b2 c1 c2 0,
A B W2 , 对任意k R有
01 01 02 02 01 02.
2．负元素是唯一的．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
证明 假设 有两个负元素 与 ，那么
0, 0. 则有 0
0 .
向量 的负元素记为 .

若对于任一数 R与任一元素 V ，总有唯 一的一个元素 V 与之对应，称为 与 的积， 记作
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）．

线性空间的定义与性质

对s1(x)=A1sin(x+B1), s2(x)=A2sin(x+B2)S[x], R,
由于, s1(x)+s2(x) = A1sin(x+B1)+A2sin(x+B2) = (a1cosx+b1sinx)+(a2cosx+b2sinx) = (a1+a2)cosx+(b1+b2)sinx
= Asin(x+B)S[x],
说明1. 凡满足以上八条运算规律的加法及乘数运 算统称为线性运算.
说明2. 向量(线性)空间中的元素称为向量, 但不一 定是有序数组.
说明3. 判别线性空间的方法: 一个集合, 对于定义 的加法和数乘运算不封闭, 或者运算不满足八条性质 的任一条, 则此集合就不能构成线性空间.
线性空间的判定方法: (1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是 通常实数间的加, 乘运算, 则只需检验运算的封闭性.
任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之 对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +.
若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的 元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那 么, 就称V为数域R上的线性空间(或向量空间):
通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法两种运算 满足线性运算规律. 实际上
对p(x)=a0+a1x+···+anxn, q(x)=b0n, R,
p(x)+q(x) = (a0+a1x+···+anxn)+(b0+b1x+···+bnxn ) = (a0+b0)+(a1+b1)x+···+(an+bn)xnP[x]n,

矩阵论学习复习资料


x V = X = 1 x 3
x 2 x1 − x 4 = 0 x − x = 0, x4 2 3
5. 设 V1, V2 分别是
V1 = {(x1, x2 L, x2 ) x1 + x2 +L+ xn = 0, xi ∈K} V2 = {(x1, x2 L, x2 ) xi − xi+1 = 0, xi ∈K}
6. 求下列矩阵的 求下列矩阵的Jordan标准形 标准形
1 0 3 1 −1 1 − 4 −1 0 A = − 3 − 3 3 , B = 7 1 2 − 2 − 2 2 − 7 − 6 −1
7. 求下列矩阵的最小多项式
a O −1 − 2 6 a A = −1 0 3, B = b −1 −1 3 N b
0 0 1 0
b N b a O a
8.设A 是一个 阶方阵，其特征多项式为 设 是一个6阶方阵 阶方阵， 最小多项式为m ƒ(λ)=(λ+2)2(λ-1)4, 最小多项式为 A(λ)=(λ+2)(λ-1)3, λ 求出A的若当标准形 求出 的若当标准形. 的若当标准形 9.对于 阶方阵 ，如果使 m=O成立的最小正整数 对于n 阶方阵A，如果使A 对于 成立的最小正整数 为m，则称 是m次幂零矩阵，证明所有 阶n-1次幂 次幂零矩阵， ，则称A是 次幂零矩阵 证明所有n阶 次幂 零矩阵彼此相似，并求其若当标准形 零矩阵彼此相似，并求其若当标准形. 10. 如果λ1,λ2,…, λs是A 的特征值，则Ak的特征值只能 的特征值， …
矩阵论复习 一. 线性空间 1. 线性空间的概念 2. 线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐 线性空间的基，维数与坐标（ 标变换） 标变换） 3. 线性子空间的概念与运算 (1)定义 (2) 运算（交与和，直和） 定义 运算（交与和，直和）

线性代数中的线性空间和线性映射

线性代数中的线性空间和线性映射线性代数是数学中重要的一门学科，它的研究范围包括向量空间、线性变换、矩阵论等多个方面。

其中，线性空间和线性映射是线性代数的重要概念，本文将从这两个方面入手，探讨它们的定义、性质及应用。

一、线性空间线性空间又称向量空间，是线性代数中的基本概念之一。

它是一个具有加法和数乘运算的集合，满足以下条件：1.对于任意两个向量，其和仍为向量；2.对于任意一个向量和任意一个标量，它们的积仍为向量；3.加法和数乘运算遵从结合律和分配律；4.存在一个零向量，满足加法运算返回自身。

线性空间的定义具有很强的普遍性，它可以适用于实数、复数、函数以及其他更广泛的对象集合。

下面举一个实数向量空间的例子。

考虑一个三维实数向量空间，它包含所有形如 $(x,y,z)$ 的三元组，其中 $x,y,z$ 均为实数。

我们可以定义向量的加法和数乘运算如下：$$(x_1, y_1, z_1) + (x_2, y_2, z_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2,z_1+z_2)$$$$k(x, y, z) = (kx, ky, kz)$$显然，这样定义的加法和数乘运算符合上述线性空间的定义，因此该三维实数向量空间是一个线性空间。

除了上述基本性质外，线性空间还有许多衍生的性质，如基和维数的概念等。

具体来说，一个线性空间的基是指它的极大线性无关组，而线性空间的维数是其基的元素个数。

这些概念在矩阵论等应用中有广泛的应用。

二、线性映射线性映射是一种特殊的函数，它将一个向量空间映射到另一个向量空间，并保持加法和数乘运算的线性性。

考虑两个向量空间 $V$ 和 $W$，一个从 $V$ 到 $W$ 的线性映射 $T$ 应该满足以下条件：1.对于任意向量 $u,v\in V$，有 $T(u+v) = T(u) + T(v)$；2.对于任意向量 $u\in V$ 和标量 $k$，有 $T(ku) = kT(u)$；3.存在一个零向量 $0$，满足 $T(0)=0$。

线性空间的定义与简单性质

11 §6.2 线性空间的定义与简单性质
注 ◆ 例 8 中集合 V 满足线性空间定义中的其 他七条公理, 可见第五条虽然比较简单, 但是不可 由其他七条推出.
◆ 在 8 条公理中只有第一条加法满足交换律不 是独立的.
证明 ∵ 2( )＝2 2 ＝(1＋1) ＋(1 ＋1) ＝(1 ＋1 )＋(1 ＋1 )＝(＋ )＋( ＋ )＝ ＋( ＋ )＋ ,
元素 与它们对应，称为 k 与 的数量乘积，记
= k . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那
么 V 称为数域 P 上的线性空间.
加法满足下面四条规则：
1) ；
2) ( ) ( )；
3) 在 V 中有一个元素 0，对于 V 中任一元素
都有
+ 0 =
(具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素) ；
7 §6.2 线性空间的定义与简单性质
例 1 在解析几何中， 平面或空间中一切向量 组成的集合 V, 对于向量的加法及实数与向量的乘 法, 构成实数域上的一个线性空间.
例 2 全体 n 维实向量组成的集合 V, 对于向 量的加法及实数与向量的乘法, 构成实数域上的 一个线性空间.
例 3 全体定义在区间 [a,b]上的连续函数组成 的集合V, 对于函数的加法及实数与连续函数的乘 法, 构成实数域上的一个线性空间. 用 C [a,b] 表示.
八条规则其中前四条是加法的运算律这时称v对加法做成一个加群第五六条是数量乘法算律后两条是分配律表示两种运算之间的联系
高等代数
第六章 线性空间 Linear Space
第二节 线性空间的定义与简单性质
2 §6.2 线性空间的定义与简单性质
一、线性空间的概念
定义 1 设 V 是一个非空集合 , P 是一个数域 . 在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做 加法； 这就是说，给出了一个法则，对于 V 中任
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线性空间的定义
定义1. 设V是一个非空集合，F是一个数域， 在集合V中定义元素之间的加法运算，使得任 意α,β∈V ，都有α+β∈V ；在F与V的元素之 间定义了一个数量乘法运算，使得任意k∈F及 α∈V ，都有kα∈V 。并且加法和数量乘法满 足下列运算规律，则称V为数域F上的线性空间。 【按所定义的线性运算构成数域F上的线性空 间（或者向量空间）】简称V是F上的线性空间， V的元称为向量。
f (x), g(x) C[a,b] 有 f (x) g(x)C[a,b]
kf (x) C[a,b] (k R)
所考虑的对象虽然完全不同，但是它们都有一 个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法两种运 算。当然，随着对象不同，这两种运算定义也不同。
为了抓住它们的共同点，把它们统一起来 研究，因而引入线性空间的概念。
例5 实(复)数域按本身的加法和乘法构成自身上的 一个线性空间。
例6 次数等于n(n≥1)的实系数多项式的全体，对于 多项式的加法和数量乘法，能否构成数域R上的 线性空间?
解：
xn V , xn 1V ， 但
xn (xn 1) 1V
∴V对加法运算不封闭，从而V对于指定的 运算不构成R上的线性空间。
也可以与实数作数量乘法。 不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这
两种运算来描述的。
F1
F 3
F2
所有n阶实矩阵：也定义了加法和数量乘法
aij bij aij bij
k aij kaij
n维向量作为特殊的矩阵，也有类似运算规律
定义在区间[a,b]上的连续函数的全体构成集合 C[a,b]:
第四章 线性空间
§4.1 线性空间的概念
§4.1.1 线性空间的定义和例子
一．数域 下面的方程有解吗？
x2 1 0
•在自然数、整数、有理数、实数范围内无解。 •在复数范围内有解：0±i
可见，在不同的讨论范围内，得到的回答不一样。
常见的讨论范围：有理数的全体，实数的全体， 复数的全体。
• 在代数中，我们常把有共同性质的对象一起讨论。 • 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为
数的代数性质。 定义：数域是指这样的数的集合：它至少包 含0和1
两个数，且对数的加、减、乘、除（除数不为零） 四则运算是封闭的（即所得结果仍在该集合中）。
以下用 F(或P) 泛指一般的数域。
Q（有理数），R（实数），C（复数）
二、线性空间的定义
•几个例子
解析几何中，二（三）维向量及其运算 ： 向量的基本属性：可以按平行四边形规律相加，
例7 判别下列集合是否为向量空间 V2{x(1 x2 xn)T | x2 xnR }
解： V2不是向量空间
因为若(1 a2 an)TV2 则2a(2 2a2
2an)TV2
例8. 问当β≠0 时，非齐次的线性方程组AX=β的解 的全体 S {X | AX , X C n} 是否构成线x1性 x2 空S 间？
例3. 定义在区间 [a,b] 上全体实连续函数， 关于通常函数的加法及实数与函数的数量
乘法，构成一个实线性空间，记为C[a,b]。
例4. n元实系数齐次线性方程组的全体解向量（Rn 的一个子集合），按照n维向量的加法及它与实 数的乘法两种运算也构成一个实线性空间，称 为齐次线性方程组的解空间。特别，当齐次线 性方程组只有零解时，它的解空间只有一个 元——零元，只有零元的空间称为零空间。
证：（反证法）若S是线性空间，则 x1, x2 S ，有
A(x1 x2 ) Ax1 Ax2 2b b，于是 x1 x2 S
所以S不是线性空间。
a,
b例9V
设V R , F R，定义 a b ab ，k a ak , k F, 。证明:V对于指定的运算构成数域F上的线性空间。
实数域R上的线性空间简称为实空间，复数域C上 的线性空间简称为复空间。
说明:
• 凡满足以上八条规律的加法及乘的向量不一定是有序数组． • 线性空间的要点是：给定一个非空集合V和一个数
域F，定义两种运算“+”和“·”，且这两种运算满 足运算规律(1)－(8)。 • 线性空间中的加法“+”与数量乘法“·”可能与通常 的“+”和“·”不同。 • 要证明某非空集合V对于给定的两种运算能构成数 域P上的线性空间，需逐条验证“+”和“·”的封闭 性及运算规律(1)—(8)成立；要证明某非空集合V对 于给定的两种运算不能构成数域P上的线性空间， 只须证明加法运算不封闭，或数乘运算不封闭，或 (1)—(8)中有一条不满足即可。 • 给定V及P，一般可用多种不同的方法定义出不同的 线性空间。
设 α、β、γ V，λ、μ F (1) α β β α (2) (α β) γ α ( β γ) (3) 0 V，对α V，都有α 0 α (4) α V，β V，都有α β 0,
称为的负元，记做 。
(5) 1 α α
(6) (α β) α β (7) ( )α α α (8) (α) ()α
(3) 存在零元1R+, 对任意aR+, 有a1=a 1=a; (4) 对任一元素aR+, 存在负元素a-1R+, 有
aa –1= a a –1 =1; (5) 1·a = a1 = a ;
证：由题意，a,b V ，a b abV ， k a ak , k F,
故V对加法和数乘封闭。
下面验证八条线性运算规律: 对任意a, b, cR+, k, lR,
(1) ab = a b = b a = ba ;
(2) (ab)c = (a b)c = (a b)c = a(b c) = a(b c) =a(bc) ;
例1.实数域上的全体m n矩阵，对于 矩阵的加法和数乘运算构成实数域上 的线性空间，记作R m（n 或M mn (R)）.
例2.所有次数不超过n(n是自然数)的实系数多项式 的全体，关于通常多项式的加法以及实数与多项 式的乘法构成一个实线性空间，记作Pn [ x]。 即：Pn[x] ={ p(x) a0 a1x anxn | a0,a1,···,an R }