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第六章线性空间(Linear Space)引言线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的抽象和推广。
我们知道，在解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线性方程组的解的理论。
现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论，可以在相当广泛的领域内得到应用．事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域，同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义。
§1 集合·映射一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用Îa M表示a是集合M的元素，读为：a属于M.用a MÏ表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M.所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.设M是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成{}=.M a a|具有的性质不包含任何元素的集合称为空集，记作j .如果两个集合M 与N 含有完全相同的元素，即a M Î当且仅当a N Î，那么它们就称为相等，记为M N =.如果集合M 的元素全是集合N 的元素，即由a M Î可以推出a N Î，那么M 就称为N 的子集合，记为M N Ì或N M É.两个集合M 和N 如果同时满足M N Ì和N M Ì.，则M 和N 相等.设M 和N 是两个集合，既属于M 又属于N 的全体元素所成的集合称为M 与N的交，记为M N I .属于集合M 或者属于集合N 的全体元素所成的集合称为M 与N 的并，记为M N U .二、映射设M 和M ¢是两个集合，所谓集合M 到集合M ¢的一个映射就是指一个法则，它使M 中每一个元素a 都有M ¢中一个确定的元素a ¢与之对应.如果映射s 使元素a M ⅱÎ与元素a M Î对应，那么就记为()a a s ¢=,a ¢就为a 在映射s 下的像，而a 称为a ¢在映射s 下的一个原像.M到M 自身的映射，有时也称为M 到自身的变换.关于M 到M ¢的映射s 应注意： 1）M 与M ¢可以相同，也可以不同；2）对于M 中每个元素a ，需要有M ¢中一个唯一确定的元素a ¢与它对应； 3）一般，M ¢中元素不一定都是M 中元素的像； 4）M 中不相同元素的像可能相同； 5）两个集合之间可以建立多个映射.集合M 到集合M ¢的两个映射s 及t ，若对M 的每个元素a 都有()()a a s t =则称它们相等，记作s t =..例1 M 是全体整数的集合，M ¢是全体偶数的集合，定义()2,n n n Ms =?,这是M 到M ¢的一个映射.例2 M 是数域P 上全体n 级矩阵的集合，定义1()||,A A A M s =?.这是M 到P 的一个映射.例3 M 是数域P 上全体n 级矩阵的集合，定义2(),a aE a P s =?.E是n 级单位矩阵，这是P 到M 的一个映射. 例4 对于()[]f x P x Î,定义(())()f x f x s ¢=这是[]P x 到自身的一个映射.例5 设M ，M ¢是两个非空的集合，0a 是M ¢中一个固定的元素，定义0(),a a a M s =?.这是M 到M ¢的一个映射.例6 设M 是一个集合，定义(),a a a M s =?.即s 把M 的每个元素都映到它自身，称为集合M 的恒等映射或单位映射，记为1M .例7 任意一个定义在全体实数上的函数()y f x =都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.对于映射可以定义乘法,设s 及t 分别是集合M 到M ¢，M ¢到M ⅱ的映射，乘积t s 定义为()()(()),a a a Mt s t s =?,即相继施行s 和t 的结果，t s 是M 到M ⅱ的一个映射.对于集合M 到M ¢的任何一个映射s 显然都有11M M s s s¢==.映射的乘法适合结合律.设,,s t y 分别是集合M 到M ¢，M ¢到M ⅱ，M ⅱ到M ⅱ?的映射，映射乘法的结合律就是()()y t s y t s =.设s 是集合M 到M ¢的一个映射，用()M s代表M 在映射s 下像的全体，称为M 在映射s 下的像集合.显然()M M s ¢Ì.如果()M M s ¢=，映射s 称为映上的或满射.如果在映射s 下，M 中不同元素的像也一定不同，即由12a a ¹一定有12()()a a s s ¹,那么映射s就称为11-的或单射.一个映射如果既是单射又是满射就称11-对应或双射.对于M 到M ¢的双射s 可以自然地定义它的逆映射，记为1s -.因为s 为满射，所以M ¢中每个元素都有原像，又因为s 是单射，所以每个元素只有一个原像，定义当1(),()a a a a s s -ⅱ==.显然，1s -是M ¢到M 的一个双射，并且111,1M M s s s s --¢==.不难证明，如果,s t 分别是M 到M ¢，M ¢到M ⅱ的双射，那么乘积t s 就是M 到M ⅱ的一个双射.§2 线性空间(Linear Space )的定义与简单性质一、线性空间的定义.例 1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.10 按平行四边形法则所定义的向量的加法是V 3的一个运算; 20 解析几何中规定的实数与向量的乘法是R ×V 3到V 3的一个运算. 30由知道, 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.例2. 数域P 上m n ´矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.定义1 令V 是一个非空集合，P 是一个数域.在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法addition ；这就是说给出了一个法则，对于V 中任意两个元素a 与b ,在V 中都有唯一的一个元素g 与它们对应,称为a 与b 的和sum ,记为g a b =+.在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法scalar multiplication ；这就是说，对于数域P 中任一个数k 与V 中任一个元素a ,在V 中都有唯一的一个元素d 与它们对应,称为k 与a 的数量乘积scalar multiple ,记为k d a=.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域P 上的线性空间.加法满足下面四条规则：:1) a b b a +=+；Commutative law2) ()()a b g a b g ++=++；Associative law3) 在V 中有一个元素0,V a "?,都有0a a +=（具有这个性质的元素0称为V的零元素a zero vector ）； 4) ,,0V V sta b ab "??=(b称为a 的负元素additive inverse ).数量乘法满足下面两条规则： 5) 1a a =; 6) ()()k l kl a a =;数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) ()k l k l a a a +=+; 8) ）(;k k k a b a b +=+在以上规则中，,k l 等表示数域P 中任意数；,,a b g 等表示集合V 中任意元素. 注：1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算(linear operation)．2．线性空间的元素也称为向量(vector )，当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间也称为向量空间(vector space )．但这里的向量不一定是有序数组．以下用黑体的小写希腊字母,,,a b g L代表线性空间V中的元素，用小写拉丁字母,,,a b c L代表数域P中的数.3.由特殊到一般，由具体到抽象，把具体的代数对象用公理化方法统一在一个数学模型下，是数学研究的一种基本思想方法。
§2 线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质引例1在第三章§2中，我们讨论了数域P 上的n 维向量 空间P n ，定义了两个向量的加法和数量乘法：而且这两种运算满足一些重要的规律,如引例2数域P 上的一元多顶式环P[x ]中，定义了两个多 项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算 同样满足上述这些重要的规律，即(),(),()[],,f x g x h x P x k l P∀∈∀∈()()()()f xg x g x f x +=+(()())()()(()())f x g xh x f x g x h x ++=++()()()()k l f x kl f x =1()()f x f x =()(())0f x f x +-=()0()f x f x +=()()()()k l f x kf x lf x +=+(()())()()k f x g x kf x kg x +=+12121122(,,,)(,,,)(,,,)n n n n a a a b b b a b a b a b +=+++1212(,,,,,)(,,)n n k a a a ka k ka ka P =∈αββα+=+()()αβγαβγ++=++0αα+=()0αα+-=,,,,n P k l P αβγ∀∈∀∈1αα=()()k l kl αα=()k l k l ααα+=+()k k k αβαβ+=+一.线性空间的定义设V 是一个非空集合，P 是一个数域，在集合V 中定义了一种代数运算，叫做加法：即对在V 中 都存在唯一的一个元素r 与它们对应，称r 为αβ与的和，记为r αβ=+；在P 与V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即,,V k P α∀∈∀∈在V 中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为k α与的数量乘积，记为.k δα=如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V 为数域P 上的线性空间：加法满足下列四条规则：,,V αβγ∀∈ ①αββα+=+②()()αβγαβγ++=++③在V 中有一个元素0，对,0V ααα∀∈+=有（具有这个性质的元素0称为V 的零元素）④ 对,V α∀∈都有V 中的一个元素β，使得0αβ+=;(β称为α的负元素）数量乘法满足下列两条规则 :⑤ 1αα= ⑥()()k l kl αα= 数量乘法与加法满足下列两条规则：注：1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算． 2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间．但这里的向量不一定是有序数组． 3 ．线性空间的判定：若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合就不能构成线性空间．例1 引例1, 2中的 P n , P[x ] 均为数域 P 上的线性空间．例2 数域 P 上的次数小于 n 的多项式的全体，再添上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法构成数域 P 上的一个线性空间，常用 P[x ]n 表示．,,V k P α∀∈∀∈⑦()k l k l ααα+=+⑧()k k k αβαβ+=+11111[]{(),,,}n nn n P x f x a x a x a a a a P ---==+++∈例3 数域 P 上m n ⨯ 矩阵的全体作成的集合,按矩阵的加法和数量乘法，构成数域 P 上的一个线性空间，用m n P ⨯表示．例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个数域P 上的线性空间．例5 全体正实数R ＋，1) 加法与数量乘法定义为：,,a b R k R +∀∈∀∈ log a a b b +=kk a a=2) 加法与数量乘法定义为： ,,a b R k R +∀∈∀∈a b ab +=k k a a = 判断 R +是否构成实数域 R 上的线性空间 . 解：1）R +不构成实数域R 上的线性空间.⊕不封闭，如2112log 122⊕==-∉R ＋．2) R +构成实数域R 上的线性空间．首先，R +≠∅，且加法和数量乘法对R ＋是封闭的. 事实上,,,a b R a b ab R ++∀∈⊕=∈ ,且 ab 唯一确定；,,k a R k R k a a R ++∀∈∀∈=∈ ,且 a k唯一确定． 其次，加法和数量乘法满足下列算律 ① a b ab ba b a ⊕===⊕② ()()()()()()a b c ab c ab c a bc a bc a b c ⊕⊕=⊕===⊕=⊕⊕ ③ 1∈R ＋，11,a a a ⊕==a ∀∈ R ＋，即1是零元； ④ a ∀∈ R ＋，1a ∈R ＋，且111a a a a ⊕==即a 的负元素是1a；⑤11a a a ==a ∀∈R ＋；⑥⑦ ⑧()()()k k k k kk a b k ab ab a b a b ⊕====⊕; ∴R +构成实数域 R 上的线性空间．()()()l l k l k kl k l a k a a a a kl a=====()()()k l k l k l k l a a a a a a k a l a ++===⊕=⊕()()k a k b =⊕例6令 {}()()[],n n V f A f x R x A R ⨯=∈∈即n 阶方阵A 的实系数多项式的全体，则V 关于矩阵的加法和数量乘法构成实数域R 上的线性空间．证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知 ()()(),()()f A g A h A kf A d A +== 其中，,(),()[]k R h x d x R x ∈∈又V 中含有A 的零多项式，即零矩阵0，为V 的零元素. 以 ()f x 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为－()f x ，则 f (A)有负元素－f (A). 由于矩阵的加法与数乘满足其他各条，故V 为实数域R 上的线性空间.二、线性空间的简单性质 1、零元素是唯一的.证明：假设线性空间V 有两个零元素12,o o ，则有 01＝01＋02＝02．2、V α∀∈，α的负元素是唯一的，记为-α. 证明：假设α有两个负元素 β、γ ，则有0,0αβαγ+=+=0()()()0βββαγβαγαβγγγ=+=++=++=++=+=◇ 利用负元素，我们定义减法：()αβαβ-=+- 3、00,00,(1),()k k k k ααααβαβ==-=--=-证明：0(01),αααα+=+=∴两边加上α-即得 0α＝0； ∴两边加上k α-；即得k 0＝0 ;∵(1)1(1)(11)00αααααα+-=+-=-== ∴两边加上－α即得(1);αα-=- ∵()()k k k k αββαββα-+=-+=∴两边加上k β-即得().k k k αβαβ-=- 4、如果k α＝0，那么k ＝0或α＝0.证明：假若0,k ≠则111()()00.k k k k k ααα---==== 练习：1、P273：习题3 1）2）4）2、证明：数域P 上的线性空间V 若含有一个非零向量，则V 一定含有无穷多个向量. 证：设,0V αα∈≠且121212,,,,有k k P k k k k V αα∀∈≠∈1212()0k k k k ααα=-≠又－ 12.k k αα∴≠而数域P 中有无限多个不同的数，所以V 中有无限多个不同的向量 注：只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间. 作业P273 习题3：5）6）7）。
