电路理论 第八章

i, Im , I , u, Um , U
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8.3 相量法的基础
在线性电路中，如果激励都是同一频率的正弦量， 在线性电路中 ， 如果激励都是同一频率的正弦量 ， 则电路中的电压电流都是与电源频率相同的正弦量， 则电路中的电压电流都是与电源频率相同的正弦量 ， 根据正弦量的三要素， 只要确定这些电压电流的幅值 根据正弦量的三要素 ， 或有效值） 及初相位即可。 与复数形式比较， （ 或有效值 ） 及初相位即可 。 与复数形式比较 ， 复数 正好可以这两个要素， 故尝试用复数表示正弦量。 正好可以这两个要素 ， 故尝试用复数表示正弦量 。
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正弦电流电路 所有的激励和响应均为同频率正弦量的稳态(线性) 所有的激励和响应均为同频率正弦量的稳态(线性) 电路称为正弦稳态电路，简称正弦电路或交流电路。 电路称为正弦稳态电路，简称正弦电路或交流电路。 研究正弦电路的意义 1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。 占有十分重要的地位。
Im = 2I
i(t) = Im cos(ωt +Ψ ) = 2I cos(ωt +Ψ )
1 U = Um 2 或 Um = 2 U
U=380V Um≈537V
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同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
若交流电压有效值为 U=220V 其最大值为 Um≈311V
R
W = RI T
2
W = ∫ R (t)dt i 0
2
T
I =
def
1 T
∫
T
0
i (t )d t
2
U =
def
1 T
∫
T
0
u (t ) d t
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2
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正弦电流、 正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(ω t+Ψ )
I =
def
1 T
∫
T
0
i (t )d t
2
1 2 T Im 则 I= Im ⋅ = = 0.707Im T 2 2
正弦量的相量表示
F(t) = 2Ie 无物理意义 = 2Icos(ω +Ψ ) + j 2Isin(ω +Ψ ) t t e[ 对 F(t) 取实部 R F(t)] = 2Icos(ωt +Ψ ) =i(t)
造一个复函数 是一个正弦量 有物理意义 这说明以下结论： 这说明以下结论：
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ejθ =cosθ +jsinθ =1∠θ
旋转因子
复数 ejθ =cosθ +jsinθ =1∠θ ,任何复数乘以 ejθ =1∠θ 只需将这个复数逆时针转 θ 角即可 Im + jF F 特殊旋转因子 特殊旋转因子 π θ= , 2 Re π 0 j π π 2 e = cos + j sin =+ j −F − jF 2 2
0
θ1
θ2 F2
Re
θ −θ2 1
F |F | 1 = 1 F |F | 2 2
F1F2等于把 1的模扩大到|F2|倍后再逆时针方向转 θ 2角 等于把F 的模扩大到 倍后再逆时针方向转 F1/F2等于把F1的模缩小到 等于把 的模缩小到1/|F2|倍后再顺时针方向转 θ 2角 倍后再顺时针方向转 复数
j(ωt+ ) Ψ
任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。 任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。
i = 2Icos(ωt +Ψ ) ↔ F(t) = 2Ie
F(t) 还可以写成
•
j(ωt+ ) Ψ
复常数
jψ
& F(t) = 2Ie ejωt = 2Iejωt
其中
正弦量对 应的相量
复数若用代数式进行， 复数若用代数式进行，要注意 j2 =－1
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模相除 角相减
例1
解
| a = F | cosθ 5∠ +10∠−25 =? 47 b =|F|sinθ 原 =(3.41+ j3.657) +(9.063− j4.226) 式
o o
=12.48∠−2.61o =12.47− j0.569
=180.2+ j126.2+2.238+ j6.329
=182.5+ j132.5 = 225.5∠ o 36
3.复数乘除的几何意义 3.复数乘除的几何意义 F1F2 Im
旋转因子 Im
F1
θ2
F1 θ2 F2
F1 | F2 |
F /| F | 1 2
θ2
F1 / F2
0
θ1 Re F ⋅ F = F F θ1 +θ2 1 2 1 2
①加减运算 —— 采用代数式
F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) F1+F2
Im
F1+F2
F2
F1 o 图解法 Re o
F1 Re
F1-F2 -F2
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②乘除运算 —— 采用极坐标式 若 则:
F1=|F1| θ 1 ，F2=|F2| θ 2
(17+ j9) (4+ j6) 220 ∠ 35 + =? 例2 20+ j5 19.24∠ .9o ×7.211∠ .3o 27 56 解 原 =180.2+ j126.2 + 式 20.62∠ .04o 14
o
| F |= a2 +b2 b θ =arctan a
=180.2+ j126.2+6.728∠ 70.16o
结论
(4) i1(t) =5cos( πt −30 ) 100
两个正弦量 (2) i1ϕ ==10−(−π 2) =5π+300) o 进行相位比 (t) 3π 4 cos( πt 4 >180 100 ϕ =5π100ππ−150π 4 较时应满足 i2(t) =10sin( 4−2t = −3) 0 0 (3)i (ti2t(t==cos(100πtt−1 50) 同频率、同 u1) =) 03cos( 0πt +30 ) ) 同频率、 ( ) 1 cos(100π −150 ω ≠ω 10 1 0 0 0 2 0 0 1 ϕ =10cos(200πt ) =120 函数、同符 = −30 −(−150 + 450) 函数、 2 u2(t) ϕ =300 −(−1050) =1350 不能比较相位差 号。 0
F ⋅F = F e ⋅ F e = F F e 1 2 1 2 1 2 = F F θ1 +θ2 1 2
jθ 1
1
jθ1
jθ2
j(θ1+θ2 )
模相乘 角相加
2
F | F |∠ 1 | F | e θ | F | j(θ −θ ) 1 1 1 = = = 1 e F | F |∠ 2 | F | ejθ2 | F | θ 2 2 2 2 |F| = 1 θ −θ2 1 |F| 2
i
o
ψ
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ωt
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ψ
3. 同频率正弦量的相位差 设 u(t)=Umcos(ω t+ψ u), i(t)=Imcos(ω t+ψ i) 相位差 ：ϕ = (ω t+ψ u)- (ω t+ψ i)= ψ u-ψ i
等于两个正弦量初相位之差 即两个波形最近极大值点间的距离（角度） 即两个波形最近极大值点间的距离（角度）
π θ =− , e 2
π j− 2
π π = cos(− ) + j sin(− ) =− j 2 2
θ =±π, ej±π =cos(±π) + j sin(±π) =−1
注意 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。 回 都可以看成旋转因子。 返
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8.2
1. 正弦量
瞬时值表达式
i2(t) = −3cos( πt +300) 100
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4. 周期性电流、电压的有效值 周期性电流、
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变， 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量 其平均效果工程上采用有效值来表示。 其平均效果工程上采用有效值来表示。 周期电流、 周期电流、电压有效值定义 直流I 直流 交流 i R 均方根值
规定 |ϕ | ≤π (180°)
u, i u i
ϕ >0， u超前 ϕ 角，或i 超前i ， 超前
滞后 u ϕ 角, (u 比 i 先到 达最大值) 达最大值)；
Ψ
ωt
ϕ <0， i 超前 u ϕ 角， ， 或u 滞后 i ϕ 角, （i 比 u
先到达最大值）。 先到达最大值）。
o
ψu
ψi ϕ
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f (t ) = ∑ Ak cos(kωt + θ k )
k =1
n
结论
对正弦电路的分析研究具有重要的理 论价值和实际意义。 论价值和实际意义。
返 素
i
T
i(t)=Imcos(ω t+ψ)
0
t
振幅、最大值) (1) 幅值 (振幅、最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率ω 单位： 弧度/ 单位：rad/s ，弧度/秒 每秒变化的弧度值。 每秒变化的弧度值。正弦量一个循环为 2π 弧度