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5
检验:(1)当f(-1)=0时，a=1.所以f(x)=x2+x.
令f(x)=0，即x2+x=0，得x=0或x=-1.
方程在[-1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
(2)当f(3)=0时，a= 1 ,
5
此时f ( x) x2 13 x 6 . 55
令f ( x) 0,即x2 13 x 6 0, 55
则f(-1)·f(1)≤0,即a 1 或a 1. 5
3.函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公
共点横坐标的是
（B ）
解析 图B不存在包含公共点的闭区间［a，b］使函 数f（a）·f（b）<0.
4.下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是（ D ） A.f(x)=3x2-4x+5 B.f(x)=x3-5x-5 C.f(x)=mx2-3x+6 D.f(x)=ex+3x-6 解析 对选项D，∵f（1）=e-3<0，f（2）=e2>0， ∴f（1）f（2）<0.
从图象中可以看出当1≤x≤3时， 两图象有一个交点， 因此f(x)=log2(x+2)-x, x∈[1，3]存在零点. 探究提高函数的零点存在性问题常用的办法 有三种:一是用定理，二是解方程,三是用图象.值得 说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是 必要条件.
知能迁移1 判断下列函数在给定区间上是否存
图所示）.
的图象(如
两函数图象有且只有一个交点，即方程f(x)=0有且
只有一个根.
题型三 零点性质的应用
【例3】(12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ e2 (x>0). x
(1)若g(x)=m有零点，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个 相异实根.
2.对函数零点存在的判断中,必须强调: (1)f(x)在［a,b］上连续; (2)f(a)·f(b)<0; (3)在（a,b）内存在零点. 事实上,这是零点存在的一个充分条件,但不必要.
定时检测
一、选择题
1.设f(x)=3x-x2,则在下列区间中，使函数f(x)有零点
的区间是 A.[0，1]
B.[1，2]
给定精确度 ；
第二步，求区间（a，b）的中点x1；
第三步，计算__f_(_x_1_)_： ①若_f_(_x_1_)_=_0，则x1就是函数的零点； ②若_f_(_a_)_·__f_(_x_1_)_<_0，则令b=x1 (此时零点x0∈(a,x1)); ③若_f_(_x_1_)_·__f_(_b_)_<_0_，则令a=x1 (此时零点x0∈(x1,b));
在零点.
（1）f(x)=x3+1; （2） f (x) 1 x, x∈（0，1）.
x 解 （1）∵f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),
令f(x)=0，即(x+1)(x2-x+1)=0,∴x=-1,
∴f(x)=x3+1有零点-1.
（2）方法一
令f(x)=0，得 1
x
1 x2 0,
0,
§2.7 函数与方程 基础知识 自主学习
要点梳理
1.函数的零点 （1）函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使f_(_x_)_=_0__成立的实数x叫 做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
（2）几个等价关系
方程f(x)=0
函数y=f(x)的图象与x__轴___有
交点 y=f(x)有_零__点____.
A.在区间 (1 ,1), (1,e)内均有零点 e
B.在区间 (1 ,1), (1,e)内均无零点 e
C.在区间 (1 ,1) 内有零点，在区间(1,e)内无零点 e
D.在区间 (1 ,1) 内无零点,在区间(1,e)内有零点 e
解析 因为 f (1) • f (1) e
(1 • 1 ln 1) • (1 ln1) 1 ( 1 1) 0,
∴f（x）=x2-3x-18，x∈[1，8]有零点.
(2)方法一 ∵f（1）=log23-1>log22-1=0, f(3)=log25-3<log28-3=0, ∴f（1）· f（3）<0， 故f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1，3]存在零点. 方法二 设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系 中画出它们的图象，
∵f（x）=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2. 其对称轴为x=e，开口向下， 最大值为m-1+e2. 故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时， g(x)与f(x)有两个交点， 即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. ∴m的取值范围是（-e2+2e+1,+∞).
10分 12分
思维启（迪1）可结合图象也可解方程求之. （2）利用图象求解.
解 （1）方法一 ∵ g(x) x e2 2 e2 2 e, x
等号成立的条件是x=e.
故g(x)的值域是[2e，+∞)，
4分
因而只需m≥2e，则 g(x)=m就有零点.
6分
方法二 作出g(x) x e2 的图象如图： x
可知若使g(x)=m有零点，则只需m≥2e.
2
∴ f (x) 1 的零点为 9 , 2 5 .
4
82
题型分类 深度剖析
题型一 零点的判断 【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
(1)f（x）=x2-3x-18，x∈［1，8］； (2)f（x）=log2(x+2)-x，x∈［1，3］. 思维启迪第（1）问利用零点的存在性定理或 直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理 或利用两图象的交点来求解.
思维启该迪问题转化为求函数y=ln x与y=6-2x的 图象的交点个数,因此只需画出图,数形结合即可.
解 在同一坐标系画出 y=ln x与y=6-2x的图象，由 图可知两图象只有一个交点, 故函数y=ln x+2x-6只有一个 零点. 探究提高若采用基本作图法，画出函数y=ln x+ 2x-6的图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y=ln x 与y=6-2x,用数形结合法求交点,则简洁明快.
对于在区间［a，b］上连续不断且_f(_a__)_·__f(_b__)_<_0_的 函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区 间__一__分__为__二__,使区间的两个端点逐步逼近_零__点__,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间［a，b］，验证_f_(_a_)_·__f_(_b_)_<_0__,
知能迁移2 已知函数 f (x) ax x 2(a>1),判断
f(x)=0的根的个数.
x 1
解 设f1(x)=ax (a>1),f2(x)= x 2 , 则f(x)=0的解即为
x 1 f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x)
与f2(x)图象交点的横坐标. 在同一坐标系中，作出函数
f1(x)=ax (a>1)与f2(x)= x 2 3 1 x 1 x 1
2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图
象
与x轴的交 点
____((__xx__1__2,,__00__))__,__
零点个数
__两__个__
__(_x_1_,_0_)_ _一__个__
无交点 _无__
3.二分法 （1）二分法的定义
(3)函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象是连续不
断的一条曲线，并且有__f（__a__）__·_f_（__b__）__<_0,那么函
数y=f(x)在区间(_a_，__b__)__内有零点,即存在c∈(a,b),
使得_f_(_c_)_=_0___，这个__c__也就是f(x)=0的根.
（ D）
C.[-2，-1]
D.[-1，0]
解析 ∵f（-1）=3-1-(-1)2= 1 1 2 0,
3
3
f（0）=30-02=1>0，
∴f（-1）·f（0）<0，
∴有零点的区间是[-1，0].
2.(2009·天津理，4)设函数 f (x) 1 x ln x (x>0),
3
则y=f(x)
（）
探究提高此类利用零点求参数的范围的问题，可 利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构 造两函数图象求解,使得问题简单明了.这也体现了 当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求 参数的范围，一般采用数形结合法求解.
知能迁移3 是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+ (3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个零点, 且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说 明理由. 解 ∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)>0 ∴若实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可. f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1) =4(1-a)(5a+1)≤0. 所以a≤ 1 或a≥1.
第四步，判断是否达到精确度 ：即若|a-b|< ,则
得到零点近似值a（或b）; 否则重复第二、三、四步.
基础自测
1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的
零点是
