4-2 正态随机变量的线性组合

X
~
N(x
,
2 x
),
Y
~
N ( y
,
2 y
),
则
X
Y
~
N (x
y
,
2 x
2 y
).
推广：
设
X1 , X 2 , X n
相互独立，且
Xi
~
N (i
,
2 i
),
n
n
n
i 1 ,2 ,,n, 则
ci Xi ~ N ( cii , ci2i2 ).
i1
i1
i1
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W 2X Y ~ N(2 ,9).
又因为随机变量Z W 3, 于是
Z 2X Y 3 W 3 ~ N(5 ,9).
由此可知，Z 的概率密度为
fZ (z)
3
1
( z5)2
e 18 ,
2π
z
.
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
若 b 0 则有
求导得
FY
( y)
P( X
y
b
a)FX(y ba),fY
( y)
[FX
(y
b
a)]
1 b
fX
(
y
b
a)
1
e , [
y
( a b 2b2 2
)]2
2 πb
所以Y ~ N(a b ,b2 2). 当b 0 时类似地可证.
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1 fZ ( z) e 3 2
( z 5 ) 2 18
, z .
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
2.设随机变量 X 服从正态分布 N ( , 2 ) , 且二次方程
y 4 y X 0 无实根的概率为 0.5 , 则 _____. 解： 方程 y 2 4 y X 0 无实根就是 16 4 X 0 , 即 X 4, 按题意,有 P( X 4) 0.5 , 即 P( X 4) 0.5. 已知 X ~ N ( , 2 ) , 所以 X 4 4 P( X 4) P( ) ( ), 从而， 4 ( ) 0 .5 , 4 0 , 由此得 4. 因为 (0) 0.5 , 所以应有
i 1
i 1
i 1
前面，我们已经看到： 若X与Y独立，则X与Y不相关， 但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立. 但对下述情形，独立与不相关等价 若(X,Y)服从二维正态分布，则
X与Y独立

X与Y不相关
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
小 结
1. 若 X ~ N ( , 2 )，则当b 0时，
fY ( y) [ FX ( y a )] 1 f X ( y a ) 1 e b b b 2 b
[ y ( a b )]2 2 b 2 2
,
所以Y ~ N (a b , b2 2 ). 当 b 0 时类似地可证.
§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
2 推广： 设 X1 , X 2 , X n 相互独立， 且 X i ~ N ( i , i ),
i 1 , 2 , , n, 则
ci X i ~ N ( ci i , c i i 1 i 1 i 1

(4.20)
对比（4.1）知Y ~ N (a b , b 2 2 ).
定理1表明： 正态随机变量的线性函数仍然是正态随机变量.
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
[定理1] 设随机变量 X 服从正态分布 N ( , 2 ) , 则 X 的线性函数 Y a bX (b 0) 也服从正态分布： 2 2 Y a bX ~ N (a b , b ). [推论] 设随机变量 X N ( , 2 ) 则标准化的 X * X ~ N (0 ,1). 随机变量 1 在定理1中，设 a , b 即得结论.
[定理2] 随机变量 X N ( , 2 ) 的充要条件是


X
*
X

~ N (0 ,1).
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§4.4 正态随机变量的线性函数的分布
[定理3] 设随机变量X 与Y 独立， 并且都服从正态分布：
2 2 X ~ N ( x , x ) , Y ~ N ( y , y ),
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具有概率密度 f ( x)
1
e
( x 20 ) 2 3200
,
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
设Y为三次测量中误差的绝对值不超过30m出现的次数， 则Y服从二项分布B（3,0.4931），
所以， 在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过 30m 的概率为
3 1-P （ 0 ） =1 (1 0.4931) 3
0.8698.

有限理性条件下考虑决策者动态期望的多属性决策方法姜广田【摘要】This paper proposes a method based on cumulative prospect theory to solve the multiple attribute deci-sion making problems with decision maker’ s dynamic aspiration.In this paper, the psychological behavioral fac-tors of decision makers are considered firstly, and the dynamic aspiration of the decision maker with respect to each attribute at different periods is chosen as the reference point.Then, the decision matrix with normal random variables is transformed into the decision matrix of gains or losses relative to each reference point.Furthermore, considering the decision maker’ s different psychological attitudes toward gains and losses in decision maker ’ s mind, the prospect value of each alternative at each phase is calculated based on cumulative prospect theory, and the comprehensive prospect value of each alternative throughout the whole period is calculated .Based on the obtained comprehensive prospect values, a ranking of alternatives is determined.Finally, a numerical example is used to illustrate the feasibility and validity of the proposed method.%有限理性条件下针对带有决策者期望的多属性决策问题，提出一种基于累积前景理论的决策分析方法。