二维正态随机变量的线性组合的独立性

1４ 二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布·中心极限定理一、设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()(==Y E X E ，16)(=X D ，25)(=Y D ，并且12),cov(=Y X ，求),(Y X 的联合概率密度．解：已知0==y x μμ，416==x σ，525==y σ，53),cov(),(===y x Y X Y X r σσ．从而 2516)53(1122=-=-r ，5412=-r ． 进一步按公式])())((2)([)1(21222222121),(y y y x y x x x y y x r x r y x e r y x f σμσσμμσμσπσ-+-------=，可得),(Y X 的联合概率密度为 )2550316((322522321),(y xy x e y x f +--=π．二、设随机变量X 与Y 独立，并且)1,0(~N X ，)2,1(~2N Y ．求随机变量32+-=Y X Z 的概率密度．解：由题设，有0)(=X E ，1)(=X D ，1)(=Y E ，4)(=Y D ．又根据关于数学期望的定理和方差的定理以及独立正态随机变量线性组合的分布，我们有2)3()()(2)32()(=+-=+-=E Y E X E Y X E Z E ．8)3()()(4)32()(=++=+-=D Y D X D Y X D Z D ．且)8,2())(,)((~N Z D Z E N Z =，故随机变量32+-=Y X Z 的概率密度为16)2(82)2(2241821)(--⨯--==z z Z e e z f ππ )(+∞<<-∞z ．三、台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X (mm)表示轴的直径，随机变量Y (mm)表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在3~1(mm)之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．解：由题设，知随机变量X 与Y 是独立的，且)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ．设X Y Z -=根据独立正态随机变量线性组合的分布，我们有 )5.0,2()3.0)1(4.0,50)1(52(~2222N N Z =⨯-+⨯-+．根据题目假设，我们知道当31≤-=≤X Y Z 时，轴与轴衬可以配套使用．于是所求概率为1)2(2)2()2()25.022()5.0235.025.021()31(-Φ=-Φ-Φ=≤-≤-=-≤-≤-=≤≤Z P Z P Z P 9544.019772.02=-⨯=．四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求：（1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率；（2） 任一时刻有不少于80台车床在工作的概率．解：设ξ表示“任一时刻正在工作的车床数”，则)8.0,100(~B ξ．808.0100=⨯=ξE ． 16)8.01(8.0100=-⨯⨯=ξD ．（1）)5.2()5.1()168070()168086()8670(1,01,01,01,0-Φ-Φ=-Φ--Φ≈<<ξP 927.019938.09332.0)]5.2(1[)5.1(1,01,0=-+=Φ--Φ=（2）)16800()168080([1)800(1)80(1,01,0-Φ--Φ-≈<<-=≥ξξP P )20()0(2)20()0(11,01,01,01,0Φ-Φ-=-Φ+Φ-=5.015.02=--=．五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问：（1） 保险公司亏本的可能性是多大？（2） 保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？解：设X 表示“一年内死亡的人数”，则)006.0,10000(~B X ．60006.010000=⨯=EX ． 84.59)006.01(006.010000=-⨯⨯=DX ．（1）)84.596012084.596084.59600(1)1200(1)12100001000(-≤-≤--≈≤≤-=⨯>ξP X P X P 0)7.7(22)]7.7()7.7([11,01,01,0=-=---≈ΦΦΦ．即保险公司不可能亏本．（2）)84.591084.596084.5960()700()5000010001210000(≤-≤-=≤≤=≥-⨯X P X P X P9032.01)756.7()293.1()756.7()293.1(≈-Φ+Φ=-Φ-Φ≈． 即保险公司一年利润不少于50000元的概率为9032.0．。

《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑=§5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。

在数学和统计学领域中，我们经常会遇到正态分布这一重要的概念。

而其中，正态变量相互独立这一性质更是具有深远的影响和重要的实际意义。

在本文中，我们将深入探讨两个正态变量相互独立的充要条件，通过逐步分析和讨论，让读者更好地理解这一概念的内涵和实际应用。

1. 什么是正态分布？让我们简要回顾一下正态分布的基本概念。

正态分布，又称高斯分布，是概率论和统计学中最为重要的概率分布之一。

它的概率密度函数呈钟形曲线，两侧尾部逐渐趋近于水平轴，具有以均值为中心对称的特点。

正态分布在自然界和人类活动中都有着广泛的应用，例如自然界的身高、体重分布，以及金融市场的波动等都可以用正态分布来描述。

2. 两个正态变量相互独立的简单例子接下来，我们用一个简单的例子来说明两个正态变量相互独立的情况。

假设有两个随机变量X和Y，它们分别服从正态分布N(0,1)和N(0,1)，并且它们相互独立。

这意味着两个变量之间不存在任何线性关系，它们的协方差为0。

在这种情况下，我们可以通过数学推导得出它们的联合概率密度函数，进而得出它们相互独立的充分必要条件。

3. 两个正态变量相互独立的充要条件推导根据上述例子，我们可以得出两个正态变量X和Y相互独立的充要条件为它们的协方差为0。

具体来说，如果X和Y相互独立，那么E(XY)= E(X)E(Y)，由此可以推导出cov(X,Y)= 0。

反之，如果cov(X,Y)= 0，那么X和Y是相互独立的。

这一结论可以通过对联合概率密度函数进行数学推导和证明得出。

4. 实际应用与深入理解在实际应用中，两个正态变量相互独立的充要条件为cov(X,Y)= 0这一结论具有重要的意义。

因为它不仅帮助我们理解随机变量之间的独立性，而且在统计推断、回归分析等领域都有着重要的应用。

当我们研究两个变量之间是否存在相关性时，可以通过计算它们的协方差来判断它们是否相互独立，进而选择合适的统计模型和方法进行分析。

从个人角度来看，我认为两个正态变量相互独立的充要条件为cov(X,Y)= 0这一结论是深刻而有启发性的。

二维正态随机变量的线性组合的独立性摘要：正态分布是实际生活中应用最广泛的一种概率分布。

文章讨论了服从二维正态分布的随机变量（X，Y）的线性组合U=aX+bY和V=cX+dY的独立性问题，并基于变换矩阵给出了（U，V）的分布与（X，Y）的分布之间的联系，得到了U和V独立的充要条件，同时，分析了U和V独立的条件下（U，V）的分布。

关键词：二维正态分布；线性组合；独立性；变换矩阵中图分类号：G642.4文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2020）15-0279-02收稿日期：2019-08-01作者简介：邹云蕾，扬州大学数学科学学院。

二维正态分布是概率论中的基础内容，其相关性质和结论能较好地推广到多维正态分布，而多维正态分布在数理统计中具有重要作用，因而掌握二维正态分布的特征性质是非常有必要的。

在教学过程中，很多学生对二维正态分布的性质存在困惑，因而有必要对这部分内容做进一步的探究。

文献[1]讨论了正态随机变量的线性组合的分布，并给出了一系列例子来说明非独立的正态随机变量的线性组合可能不服从正态分布，而非独立的不全为正态随机变量的线性组合可能服从正态分布。

文章将分析二维正态分布的线性组合的独立性。

首先回顾二维正态分布的定义。

定义1[2]若随机变量（X，Y ）的联合概率密度函数为f （x，y ）=12πσ1σ　e（x-μ1）（y-μ2）σ1σ2-∞＜x，y＜+∞，则称（X，Y ）服从参数为μ1，μ2，σ21，σ22，ρ的正态分布，其中σ1＞0，σ2＞0，-1＜ρ＜1，记作（X，Y ）～N （μ1，μ2，σ21，σ22，ρ）。

特别地，二维正态分布的边缘分布服从正态分布且X～N （μ1，σ21），Y～N （μ2，σ22）。

引理1[3-4]设（X，Y ）～N （μ1，μ2，σ21，σ22，ρ），则X与Y相互独立的充分必要条件是ρ=0。

引理2[3-4]设（X，Y ）为二维随机变量且（X，Y ）～N （μ1，μ2，σ21，σ22，ρ），U，V为X，Y的线性组合。

二维正态分布不相关与独立的关系二维正态分布是统计学中常用的概率分布模型之一，用于描述两个随机变量之间的关系。

当两个随机变量服从二维正态分布时，它们的相关性和独立性是两个重要的概念。

相关性描述了两个随机变量之间的线性关系程度。

在二维正态分布中，相关性可以通过相关系数来衡量，取值范围为-1到1。

当相关系数为0时，说明两个随机变量之间不存在线性关系，即它们是不相关的。

不相关意味着一个变量的取值不会对另一个变量的取值产生影响，它们之间的关系是随机的。

独立性是指两个随机变量之间的关系完全不存在。

如果两个随机变量是独立的，那么它们的联合概率分布可以通过各自的边缘概率分布相乘得到。

在二维正态分布中，独立性意味着两个随机变量的联合概率分布可以分解为各自的边缘概率分布的乘积形式。

二维正态分布的不相关与独立之间的关系是，不相关是独立的一个特例。

也就是说，如果两个随机变量是独立的，那么它们一定是不相关的；但是如果两个随机变量不相关，并不能说明它们一定是独立的。

这是因为不相关只描述了线性关系的缺失，而独立则更为严格，要求两个变量之间的关系完全不存在。

为了更好地理解不相关和独立的概念，可以通过一个例子来说明。

假设有一个城市的白天和夜晚的气温分别用随机变量X和Y表示。

如果X和Y服从二维正态分布，并且它们的相关系数为0，那么可以认为白天和夜晚的气温是不相关的。

也就是说，白天的气温的高低并不能预测夜晚的气温的高低，它们之间的关系是随机的。

但是这并不能说明白天和夜晚的气温是独立的。

因为白天和夜晚的气温可能受到其他因素的影响，比如季节变化、地理位置等。

如果这些因素对白天和夜晚的气温有影响，那么它们就不是独立的，即使它们的相关系数为0。

不相关与独立在统计学中有着不同的应用场景。

在建模和预测中，不相关的变量可以简化模型的复杂度，减少冗余信息。

而独立的变量则可以更准确地描述系统的行为和预测结果。

因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择使用不相关还是独立的模型。