4.2.2指数函数应用题

§4.2.2指数函数的图象与性质一学习目标1.掌握指数函数的图象与性质.（直观想象）2.会应用指数函数的图象进行平移、伸缩、对称变换.（数形结合）3.能借助指数函数的性质比较大小.（数据分析）4.能借助指数函数的单调性解简单的指数不等式（数学运算）二知识回顾1．指数幂的运算性质a r a s＝a r＋s；(a r)s＝a rs；(ab)r＝a rb r(a>0，b>0，r，s∈R)．2．指数函数及其性质三新知运用1概念：一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.2指数函数的图象与性质R3常用结论（1）．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，⎝⎛⎭⎫－1，1a.（2）如图所示是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．例1判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)（1） y=2x与y=21−x是R上的增函数.（× ）（2）若0.1a>0.1b,则a>b.（× ）(3)指数函数y＝a x与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(√)(4)若a m<a n(a>0，且a≠1)，则m<n.(×)题型一指数函数的图象及应用例1 指数函数①y=a x,②y=b x,③y=c x,④y=d x的图象如图所示,则a,b,c,d与1的大小关系为（B）.A. a<b<1<c<dB. b<a<1<d<cC. 1<a<b<c<dD. a<b<1<d<c[解析]由图象可知③③的底数必大于1,①②的底数必小于1.作直线x=1,在第一象限内直线x=1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数,则1< d<c,b<a<1,从而可知a,b,c,d与1的大小关系为b<a<1<d<c.例2 函数f(x)=a x−b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是（D）.A. a>1,b<0B. a>1,b>0C. 0<a<1,b>0D. 0<a<1,b<0 [解析]由图象可知函数f(x)单调递减,所以0<a<1,又0<f(0)<1,所以0<a−b<1=a0,即−b>0,b<0,故选D.方法总结对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．题型一直接法比较大小例1已知a＝0.30.2，b＝0.30.1，c＝0.30.3，则a，b，c的大小关系为()A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a答案 C解析 由y ＝0.3x 为减函数，得0<c ＝0.30.3<a ＝0.30.2<0.30.1＝b <0.30＝1， 例2 设233344443,,332a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >b >a D ．b >c >a答案 C解析 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫43x为增函数， 所以23344433⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a <b ， 又因为函数y ＝34x 为增函数， 所以33444332⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b <c ，故c >b >a . 例3比较下列各组中两个值的大小.①1.7−2.5,1.7−3;②1.70.3,1.50.3;③1.70.3,0.83.1.方法总结比较幂的大小时，若两数的底数相同则构造指数函数进行比较；若两数的指数相同则构造幂函数进行比较；若底数和指数均不相同，则借助中间值来比较.题型二 简单的指数不等式的解法例4．已知关于x 的不等式⎝⎛⎭⎫13x －4≥3－2x，则该不等式的解集为( ) A ．[－4，＋∞) B ．(－4，＋∞) C ．(－∞，－4) D ．(－4,1]答案 A解析 不等式⎝⎛⎭⎫13x －4≥3－2x ，即34－x ≥3－2x ， 由于y ＝3x 是增函数，所以4－x ≥－2x ，解得x ≥－4， 所以原不等式的解集为[－4，＋∞)．变式：将上式的底改为底数a ，求该不等式的解集.方法总结解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式,再利用指数函数的单调性化为常规的不等式来求解,注意底数对不等号方向的影响.课堂练习例1 设a =(12)34,b =(15)34,c =(12)12,则a ,b ,c 的大小关系为 c >a >b .（用“> ”连接）例2解关于x 的不等式:a 2x+1≤a x−5(a >0,且a ≠1). 例3. 下列结论正确的是（ D ）.A. 2.72.5>2.73B. 0.62<0.63C. π2<π√2D. 0.90.3>0.90.5[解析]∵y =0.9x 在定义域上是减函数,0.3<0.5,∴0.90.3>0.90.5.[解析]（1）∵4x <42−3x ,∴x <2−3x ,∴x <12.（2）③当0<a <1时,∵a 2x+1≤a x−5,∴2x +1≥x −5,解得x ≥−6. ③当a >1时,∵a 2x+1≤a x−5,∴2x +1≤x −5,解得x ≤−6.综上所述,当0<a <1时,不等式的解集为{x|x ≥−6};当a >1时,不等式的解集为{x|x ≤−6}.例4 已知函数f (x )=3x (x ∈R ),g (x )=−(13)x(x ∈R )，则函数f (x )的图象和g (x )的图象（ C ）.A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y =x 对称 [解析]在f (x )=3x (x ∈R )的图象上任取一点(a,b )，则3a =b ，因为g (−a )=−(13)−a=−3−1×(−a )=−3a =−b ，所以点(−a,−b )在g (x )=−(13)x(x ∈R )的图象上，则函数f (x )的图象和g (x )的图象关于原点对称.例5. 已知a =0.60.5,b =0.40.5,c =0.40.6，则（ A ）.A. a >b >cB. c >a >bC. a >c >bD. b >c >a例6 已知指数函数f (x )的图象过点P (3,8),且函数g (x )的图象与f (x )的图象关于y 轴对称,又g (2x −1)<g (3x ),求x 的取值范围.[解析]设f (x )=a x (a >0,且a ≠1),因为f (3)=8,所以a 3=8,即a =2,所以f (x )=2x , 又因为g (x )与f (x )的图象关于y 轴对称,所以g (x )=(12)x,因此由g (2x −1)<g (3x ) ,即(12)2x−1<(12)3x,得2x −1>3x ,解得x <−1 ,故x 的取值范围是(−∞,−1).例7. 写出一个同时具有下列两个性质的函数:f(x)=2x（答案不唯一）.①f(x)f(y)=f(x+y);②f(x)在R上为增函数.[解析]指数函数f(x)=a x满足f(x)f(y)=f(x+y),且当f(x)=a x,a>1时,函数单调递增,所以满足条件的一个函数f(x)=2x.课堂小结1指数函数的图象与性质2指数函数的简单应用（1）一般地,比较幂大小的方法如下:（1）对于同底数不同指数的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断;（2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断;（3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断.（2）解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式,再利用指数函数的单调性化为常规的不等式来求解,注意对底数进行分类讨论。

指数函数应用举例明确目标指数函数在自然科学和经济生活中有着广泛的应用，要了解指数函数的实际应用举例，能够应用指数函数的性质解决简单的实际问题。

合作交流例1 某市2008年国内生产总值为20亿元，计划在未来10年内，平均每年按8％的增长率增长，分别预测该市2013年与2018年的国内生产总值（精确到0.01亿元）例2 设磷-32经过一天的衰变，其残留量为原来的95.27％.现有10g磷-32，设每天的衰变速度不变，经过14天衰变还剩下多少克（精确到0.01g）？探究展示由上面两例题中的函数解析式都可以写成y=ca x的形式，其中c>0为常数，底a>0且a1≠.函数模型y=ca x叫做指数模型.当a>1时,叫做指数增长模型;当0<a<1时, 叫做指数衰减模型.例3 服用某种感冒药,每次服用的药物含量为,随着时间的变化，体内的药物含量为其中以小时为单位。

问服药4小时后，体内药物的含量为多少？8小时后，体内药物的含量为多少？拓展训练1我国工农业总平均值计划从2000年到2020年翻两番，设平均增长率为ｘ则（）A ()191x+=4 B ()201x+=3 C ()201x+=2 D ()201x+=42一种产品的年产量原来是ａ，计划使年产量平均每年比上一年增加ｐ，则年产量ｙ随着年数ｘ变化的关系为3某市2004年有常住人口54万，如果人口按每年1.2％的增长率增长，那么2010年该市常住人口约为多少万人（精确到0.01万）？4某放射性物质，每经过一年残留量是原来的89.64％，每年的衰变速度不变，问100g这样的物质，经过8年衰变还剩下多少克（精确到0.01g）？5某种细菌在培养过程中，每一小时分裂一次(一个分裂成两个)，经过5小时后，这种细菌可由一个繁殖成多少个?。

第四章指数函数与对数函数4.2指数函数例1已知指数函数()x f x a =（0a >，且1a ≠），且(3)πf =，求(0)f ，(1)f ，(3)f -的值.分析：要求(0)f ，(1)f ，(3)f -的值，应先求出()x f x a =的解析式，即先求a 的值.解：因为()x f x a =，且(3)πf =，则3πa =，解得13πa =，于是3()πxf x =.所以，0(0)π1f ==，13(1)πf ==11(3)ππf --==.例2（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A 地景区的门票价格为150元，比较这15年间A ，B 两地旅游收入变化情况.（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？解：（1）设经过x 年，游客给A ，B 两地带来的收入分别为()f x 和()g x ，则()1150(10600)f x x =⨯+，()10002781.11x g x =⨯⨯.利用计算工具可得，当0x =时，(0)(0)412000f g -=.当10.22x ≈时，(10.22)(10.22)f g ≈.结合图可知：当10.22x <时，()()f x g x >，当10.22x >时， ()()f x g x <.当14x =时，(14)(14)347303g f -≈.这说明，在2001年，游客给A 地带来的收入比B 地多412000万元；随后10年，虽然()()f x g x >，但()g x 的增长速度大于()f x ；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有()()f x g x =，这时游客给A 地带来的收入和B 地差不多；此后，()()f x g x <，游客给B 地带来的收入超过了A 地；由于()g x 增长得越来越快，在2015年，B 地的收入已经比A 地多347303万元了.（2）设生物死亡x 年后，它体内碳14含量为()h x .如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么157301()2xh x ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当10000x =时，利用计算工具求得1000057301(10000)0.302h ⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭.所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%.例3比较下列各题中两个值的大小：（1） 2.51.7，31.7；（2）0.80.8；（3）0.31.7， 3.10.9.分析：对于（1）（2），要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（3），0.31.7和 3.10.9不能看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用函数 1.7x y =和0.9x y =的单调性，以及“0x =时，1y =”这条性质把它们联系起来.解：（1） 2.51.7和31.7可看作函数 1.7x y =当x 分别取2.5和3时所对应的两个函数值.因为底数1.71>，所以指数函数 1.7x y =是增函数.因为2.53<，所以 2.531.7 1.7<.（2）同（1）理，因为00.81<<，所以指数函数0.8x y =是减函数.因为>0.80.8<.（3）由指数函数的性质知0.301.7 1.71>=， 3.100.90.91<=，所以0.3 3.11.70.9>.例4如图，某城市人口呈指数增长.（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系.解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.4.2.1指数函数的概念练习1.下列图象中，有可能表示指数函数的是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的图象与性质选择．【详解】由于0x y a =>（0a >，且1a ≠），所以A ，B ，D 都不正确，故选C.【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，属于基础题．如指数函数图象恒过点(0,1)，值域是(0,)+∞．2.已知函数(),y f x x =∈R ，且(0.5)(1)(0.5)(0)3,2,2,,2(0)(0.5)(0.5(1))f f f n f f f f n ====- ，*n ∈N ，求函数()y f x =的一个解析式.【答案】()34x f x =⨯【解析】【分析】用连乘法求(1),(2),(3)f f f ，然后用归纳法归纳一个结论．【详解】由己知得，(1)(0.5)(1)4(0)(0)(0.5)f f f f f f =⋅=，2(2)(0.5)(1)(1.5)(2)4(0)(0)(0.5)(1)(1.5)f f f f f f f f f f =⋅⋅⋅=，3(3)(0.5)(1)(1.5)(2)(2.5)(3)4(0)(0)(0.5)(1)(1.5)(2)(2.5)f f f f f f f f f f f f f f =⋅⋅⋅=，()4(0)x f x f ∴=，又(0)3,()34x f f x =∴=⨯.【点睛】本题考查指数函数的解析式，由于只知道一些函数值，并不知道函数的形式，因此可用归纳法思想归纳一个结论．3.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）【答案】6.16倍【解析】【分析】根据平均增长率问题可得．【详解】设现在的蓝藻量为a ，经过30天后的蓝藻量为y ，则30(1 6.25%)y a =+，301.0625 6.16ya∴=≈，∴经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的6.16倍.【点睛】本题考查平均增长率问题，平均增长率问题的函数模型是(1%)x y a p =+．4.2.2指数函数的图象和性质练习4.在同一直角坐标系中画出函数3xy =和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，并说明它们的关系.【答案】见解析【解析】【分析】根据指数函数图象与性质作图，由图观察对称性．【详解】3xy =和13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图，3x y =和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称【点睛】本题考查指数函数的图象，属于基础题．5.比较下列各题中两个值的大小：（1）226,7；（2） 3.5 2.30.3,0.3--；（3）0.5 1.21.2,0.5.【答案】（1）<；（2）>；（3）>【解析】【分析】（1）由函数2y x =的单调性比较；（2）由函数0.3x y =的单调性比较；（3）与中间值1比较．【详解】（1）函数2y x =在(0,)+∞上是增函数，22067,67<<∴< .（2）函数0.3x y =在R 上为减函数，3.5 2.33.5 2.3,0.30.3---<-∴> .（3）0.50 1.200.5 1.21.2 1.21;0.50.51, 1.20.5>=<=∴> .【点睛】本题考查比较幂的大小，同底数的幂可利用指数函数的单调性比较，不同底数的幂可借助中间值为1比较大小．6.体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.【答案】见解析【解析】【分析】定义域是[0,)+∞．是增函数，开始图象较平缓，后来急剧上升，结合指数函数图可得．【详解】经时间x ，癌细胞数量为y ，图象如图.【点睛】本题考查增长问题，考查指数函数的应用．习题4.2复习巩固7.求下列函数的定义域：（1）32x y -=；（2）213x y +=；（3）512xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（4）10.7x y =.【答案】（1）R ；（2）R ；（3）R ；（4）{|0}x x ≠.【解析】【分析】根据指数幂成立的条件即可求函数的定义域．【详解】解：（1）函数32x y -=的定义域为R ；（2）函数213x y +=的定义域为R ；（3）函数512xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ；（4）要使函数10.7x y =有意义，则0x ≠，则函数10.7x y =的定义域为{|0}x x ≠．【点睛】本题主要考查指数型函数的定义域，属于基础题．8.一种产品原来的年产量是a 件，今后m 年内，计划使产量平均每年比上一年增加%p ，写出年产量y （单位：件）关于经过的年数x 的函数解析式.【答案】()*(1%),x y a p x x m=+∈≤N 【解析】【分析】由题意可知函数模型为指数型，由此可得函数解析式．【详解】解：由题意，今后m 年内，年产量随时间变化的增长率为1%p +，又原来的年产量是a 件，∴()*(1%),x y a p x x m =+∈≤N ．【点睛】本题主要考查函数模型的建立，属于基础题．9.比较满足下列条件的m ，n 的大小：（1）22m n <；（2）m n 0.20.2<；（3）(01)n m a a a <<<；（4）(1)m n a a a >>.【答案】（1）m n <；（2）m n >；（3）m n >；（4）m n >.【解析】【分析】根据指数函数的单调性即可比较大小．【详解】解：（1）∵函数2x y =在R 上单调递增，且22m n <，∴m n <；（2）∵函数0.2x y =在R 上单调递减，且m n 0.20.2<，∴m n >；（3）∵函数()01xy a a =<<在R 上单调递减，且(01)n m a a a <<<，∴m n >；（4）∵函数()1xy a a =>在R 上单调递增，且(1)m n a a a >>，∴m n >．【点睛】本题主要考查根据指数函数的单调性比较大小，属于基础题．10.设函数0()(1)xf x Q r =+，且(10)20.23,(11)23.26f f ==.（1）求函数()f x 的增长率r ；（2）求(12)f 的值.【答案】（1）0.15；（2）26.75.【解析】【分析】（1）由题意得100110(1)20.23(1)23.26Q r Q r ⎧+=⎨+=⎩，由此可求得答案；（2）代入解析式即可求出(12)f ．【详解】解：（1）由已知得100110(1)20.23(1)23.26Q r Q r ⎧+=⎨+=⎩，解得00.155r Q ≈⎧⎨≈⎩.所以增长率r 约为0.15.（2）由（1）知，()5(10.15)x f x =+，∴1212(12)5(10.15)51.1526.75f =⨯+=⨯≈.【点睛】本题主要考查指数的运算，属于基础题．综合运用11.求下列函数可能的一个解析式：（1）函数()f x 的数据如下表：x012()f x3.504.205.04（2）函数()g x 的图象如图：【答案】（1）()0.70 3.50f x x =+；（2）1()42xg x ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）通过描点可以判断函数可以近似看成一次函数，设()f x ax b =+，再代入其中两点即可算出答案；（2）由图象可知函数模型为指数型，设()x g x k a =⋅，代入两点坐标即可求出答案．【详解】解：（1）设()f x ax b =+.把(0,3.50),(1,4.20)代入得，3.504.20b a b =⎧⎨=+⎩，解得0.703.50a b =⎧⎨=⎩，()0.70 3.50f x x ∴=+为可能的解析式；（2）设()x g x k a =⋅，将(1,2),(1,8)-代入，得128ka ka -=⎧⎨=⎩，解得124a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴1()42xg x ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭为一个可能的解析式．【点睛】本题主要考查根据图象建立合适的函数模型，属于开放性的基础题．12.比较下列各题中两个值的大小：（1）0.83，0.73；（2）0.10.75-，0.10.75；（3） 2.71.01， 3.51.01；（4） 3.30.99， 4.50.99.【答案】（1）0.830.73>；（2）0.10.75-0.10.75>；（3） 2.71.01< 3.51.01；（4） 3.30.99 4.50.99>.【解析】【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小.【详解】（1）由3x y =单调递增，0.80.7>，所以0.830.73>；（2）由0.75x y =单调递减，0.10.1-<，所以0.10.75-0.10.75>；（3）由 1.01x y =单调递增，2.7 3.5<，所以 2.71.01< 3.51.01；（4）由0.99x y =单调递减，3.3 4.5<，所以 3.30.99 4.50.99>.13.当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后，那么用一般的放射性探测器能测到碳14吗？【答案】能【解析】【分析】碳14的含量呈指数型变化，由此可得出结论．【详解】解：由题意，经过九个“半衰期后”，碳14的含量为911125121000⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以能探测到．【点睛】本题主要考查指数函数的应用，属于基础题．14.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a （单位：元），每期利率为r ，本利和为y （单位：元），存期数为x .（1）写出本利和y 关于存期数x 的函数解析式；（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.【答案】（1）(1)x y a r =+.（2）1117.68y ≈（元）.【解析】【分析】（1）根据题意，结合复利的含义，分析可得本利和y 随x 变化的函数关系式；（2）根据（1）的函数表达式，代入数据即可计算5期后的本利和．【详解】解：（1）根据题意可得(1)x y a r =+；（2）由（1）可知，当5x =时，51000(1 2.25%)y =+51000 1.022111.5768≈=⨯，∴5期后的本利和约为1117.68元．【点睛】本题主要考查指数函数的应用，属于基础题．拓广探索15.已知函数()||12x f x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过原点，且无限接近直线2y =但又不与该直线相交.（1）求该函数的解析式，并画出图象；（2）判断该函数的奇偶性和单调性.【答案】（1）||2122x y ⎛⎫=- ⎪⎭+⎝，图象见解析；（2）()f x 为偶函数，()f x 在(,0]-∞上为减函数，在[0,)+∞上为增函数.【解析】【分析】（1）由函数图象过原点可得0a b +=，又由图象无限接近直线2y =可得2b =，由此可求出函数的解析式，去掉绝对值再结合指数函数图象特征即可画出函数图象；（2）利用奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性，去掉绝对值得()122,02122,02xx x f x x -⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，根据单调性的性质即可求得函数的单调性．【详解】解：（1）由题意知，0,2a b b +==，2a ∴=-，()||1222x f x ⎛⎫∴=- ⎪⎝+⎭，∴()122,02122,02xx x f x x -⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，图象如图：（2）∵||1()222x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴1()222x f x -⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭122()2xf x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()f x ∴为偶函数，又()122,02122,02xx x f x x -⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，∴()f x 在(,0]-∞上为减函数，在[0,)+∞上为增函数．【点睛】本题主要考查指数函数图象的应用，属于基础题．16.已知f (x )=a x ，g (x )=1xa ⎛⎫ ⎪⎝⎭(a >0，且a ≠1).（1）讨论函数f (x )和g (x )的单调性；（2）如果f (x )<g (x )，那么x 的取值范围是多少？【答案】（1）答案见解析；（2）当a >1时，x 的取值范围是(,0)-∞；当0<a <1时，x 的取值范围是(0,)+∞.【解析】【分析】（1）由题意按照a >1、0<a <1分类，结合指数函数的性质即可得解；（2）由题意转化条件得0()()1x f x g x a a <⇔<=，按照a >1、0<a <1分类，结合指数函数的性质即可得解.【详解】（1）当a >1时，f (x )=a x 是R 上的增函数，由于0<1a <1，所以g (x )=1xa ⎛⎫ ⎪⎝⎭是R 上的减函数；当0<a <1时，f (x )=a x 是R 上的减函数，由于1a >1，所以g (x )=1xa ⎛⎫ ⎪⎝⎭是R 上的增函数；（2）()201()()11xx x x f x g x a a a a a ⎛⎫<⇔<⇔<⇔<= ⎪⎝⎭，当a>1时，x<0；当0<a<1时，x>0.-∞；∴当a>1时，x的取值范围是(,0)+∞.当0<a<1时，x的取值范围是(0,)【点睛】本题考查了指数函数图象与性质的应用，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题.。

4.2.2 指数函数的图像和性质（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高一专题练习）函数e xy -=(e 是自然底数)的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据指数函数的图像与性质即可得出答案.【详解】解析 10ee e 0xxx x y x -⎧⎛⎫≥⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎪<⎩，，， 函数exy -=为偶函数，且过()0,1，e0xy -=>，函数在(),0∞-上递增，在()0,∞+上递减，故C 符合. 故选：C.2．（2022·全国·高一课时练习）函数①x y a =；②xy b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54313，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54313，12B 354，12，13C ．12，13354D ．13，12，543【答案】C【分析】由直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b 即可求解. 【详解】解：直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而5113423>>>， 所以a ，b ，c ，d 的值分别是12，13，3，54，故选：C.3．（2022·全国·高一课时练习）函数327x y =- ） A ．(3⎤-∞⎦ B ．()3-∞C ．[)3,+∞D ．()3,+∞【答案】C【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案. 【详解】由题意得3270x -≥，即333x ≥，解得3x ≥． 故选：C.4．（2022·河南开封·高一期末）已知函数()1232,1,,14,x x f x x x ⎧-⎪=⎨⎪<⎩则函数()f x 值域是（ ）A ．(],2-∞B ．(]2,2-C ．(]1,4D ．(],4∞-【答案】B【分析】结合分段函数的单调性来求得()f x 的值域.【详解】当1x 时，32x y =-单调递增，值域为(]2,1-；当14x <时，12y x =单调递增，值域为(]1,2，故函数值域为(]2,2-. 故选：B5．（2022·全国·高一课时练习）若函数()2021x x f x x ππ-=-+，则不等式(1)(24)0f x f x ++-≥的解集为（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞ C ．(0,1] D ．[1,1]-【答案】A【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可 【详解】()f x 的定义域为R ,因为()2021(2021)()x x x x f x x x f x ππππ---=-=--+=--， 所以()f x 是奇函数，所以不等式(1)(24)0f x f x ++-≥可化为(1)(42)f x f x +≥-， 因为,,2021x x y y y x ππ-==-=在R 上均为增函数， 所以()f x 在R 上为增函数， 所以142x x +≥-，解得1≥x ， 故选：A.6．（2022·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）已知0.130.12,0.3,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a c b <<【答案】C【分析】根据指数函数的单调性比较大小．【详解】∵0.3x y =是减函数，30.10>>，所以30.10.30.31<<， 又0.121>， ∴b c a <<． 故选：C ．7．（2022·四川宜宾·高一期末）已知a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b > C ．22a b > D ．a b >【答案】B【分析】根据给定条件，举例说明判断A ，C ，D ；利用指数函数单调性判断B 作答. 【详解】取1,2a b ==-，满足a b >，显然有11a b>、22a b <、a b <成立，即选项A ，C ，D 都不正确； 指数函数2x y =在R 上单调递增，若a b >，则必有22a b >，B 正确. 故选：B8．（2022·全国·高一专题练习）已知0.30.80.81.6, 1.6,0.7a b c ===，则（ ） A ．c a b << B ．a b c << C ．b c a >> D ．a b c >>【答案】A【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法即可得出答案. 【详解】解： 1.6x y =是增函数，故0.30.81.6 1.6a b =<=， 而0.30.81.610.7c >>=，故c a b <<. 故选：A.9．（2022·全国·高一课时练习）若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在区间[]22-,上的最大值和最小值的和为103，则a 的值为（ ） A ．13B 3C 3D 33【答案】D【分析】分01a <<与1a >两种情况，结合函数单调性表达出最值，列出方程，求出a 的值.【详解】当01a <<时，函数()xf x a =在[]22-,上为减函数， 则()()()()22max min 110223f x f x f f a a +=-+=+=，解得：33a =， 当1a >时，函数()xf x a =在[]22-,上为增函数， 则()()()()22max min 110223f x f x f f a a +=+-=+=，解得：3a =． 综上，33a =或3． 故选：D10．（2022·全国·高一）已知函数()()201xf x a a =-<<，则函数的图像经过（ ）．A ．第一、二、四象限B ．第二、三、四象限C ．第二、四象限D ．第一、二象限【答案】B【分析】根据指数函数的单调性和函数图象的平移变换即可得出结果. 【详解】因为01a <<，所以函数()x f x a =的图象经过一、二象限，又()2x f x a =-的图象是由()x f x a =的图象沿y 轴向下平移2个单位得到， 所以函数()2x f x a =-的图象经过二、三、四象限，如图，故选：B11．（2022·湖北武汉·高一期末）函数y x a =+与x y a =，其中0a >，且1a ≠，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据y x a =+单调递增可排除AC ，再根据y x a =+与y 轴交点位置可排除B. 【详解】0a >，则y x a =+单调递增，故排除AC ；对于BD ，x y a =单调递减，则01a <<，∴y x a =+与y 轴交于0和1之间，故排除B. 故选：D.12．（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知130440.6,,5a b c a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a c b << C ．c b a << D ．a b c <<【答案】B【分析】根据中间值1比较大小即可.【详解】解：根据题意，01c a ==，134450.61,154a b -⎛⎫=<==> ⎪⎝⎭，所以a c b <<．故选：B ．二、多选题13．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()33x xf x -=-，则（ ）A ．()f x 的值域为RB ．()f x 是R 上的增函数C ．()f x 是R 上的奇函数D ．()f x 有最大值【答案】ABC【分析】()()30,x g x ∞=∈+，而()()3,0xh x ∞-=-∈-得到()f x 的值域为R ，判断A 正确，D 错误，根据增函数加增函数还是增函数进行判断B 选项，根据函数奇偶性定义判断得到C 选项.【详解】()()30,x g x ∞=∈+，而()()3,0xh x ∞-=-∈-，所以()33x x f x -=-值域为R ，A 正确，D 错误； 因为()3x g x =是递增函数，而()3xh x -=-是递增函数，所以()33x x f x -=-是递增函数，B 正确；因为定义域为R ，且()()33x xf x f x --=-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，C 正确；故选：ABC三、填空题14．（2022·全国·高一课时练习）若0a >且1a ≠，则函数()43x f x a -=+的图像恒过的定点的坐标为______．【答案】()4,4【分析】任意指数函数一定过定点(0,1)，根据该性质求解.【详解】令40x -=，得4x =，所以()0434f a =+=，所以函数()43x f x a -=+的图像恒过定点()4,4．故答案为：()4,415．（2022·湖南·岳阳市第四中学高一阶段练习）函数()42xf x a -=+（0a >且1a ≠）恒过一定点________ .【答案】()4,3【分析】令40x -=，求出x 的值后，再代入函数解析式，即可得解.【详解】令40x -=可得4x =，则()0423f a =+=，因此，函数()f x 的图象恒过定点()4,3.故答案为：()4,3.16．（2022·广东广州·高一期末）函数1()211xf x x =--的定义域为______． 【答案】[)()0,11,+∞【分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.【详解】根据题意，由2101x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得0x ≥且1x ≠，因此定义域为[)()0,11,+∞.故答案为：[)()0,11,+∞.17．（2022·上海市延安中学高一期末）函数()23xy x =<的值域为___________.【答案】(0,8)【分析】根据指数函数的性质，结合自变量范围求值域. 【详解】由3x <，又2x y =递增， ∴函数值域为(0,8). 故答案为：(0,8).四、解答题18．（2022·河北·元氏县第四中学高一开学考试）已知函数21()2x f x -=．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并证明； （3）解不等式()f x 4≥．【答案】（1）R ；（2）详见解析；（3）{|3x x ≥或3}x ≤-. 【分析】（1）由指数函数的定义域可得解；（2）由()()f x f x -=可知函数为偶函数； （3）利用对数函数的单调性可知212242x-≥=，得212x -≥，从而得解.【详解】（1）易知函数()212x f x -=，x R ∈. 所以定义域为R . （2）由()()()221122x xf x f x ----===，从而知()f x 为偶函数；（3）由条件得212242x-≥=，得212x -≥，解得3x ≥或3x ≤-.所以不等式的解集为：{|3x x ≥或3}x ≤-.【点睛】本题主要考查了指数型函数的定义域，奇偶性及解指数不等式，属于基础题. 19．（2022·全国·高一课时练习）已知x 满足311x ≥+，求函数142x x y +=-的最大值及最小值． 【答案】max 8y =，min 1y =-【分析】先求x 的范围，再通过换元法求最值.【详解】由311x ≥+可得：201x x -≥+可得：(]1,2x ∈-，令2x t =，(]1,2x ∈-， 则()222(2)22211x x y t t t =-⨯=-=--，1,42t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当1t =即0x =时，min 1y =-；当4t =即2x =时，max 8y =．20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之和为7．(1)求a 的值；(2)证明：函数()()()F x f x f x =--是R 上的增函数． 【答案】(1)2a = (2)证明见解析【分析】（1）根据()1(1)xf x a a =+>单调性代入计算即可；（2）根据定义法证明函数为增函数即可. （1）因为()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上单调递增，所以函数()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之和为()()207f f +=，所以20117a a +++=，解得2a =±，又因为1a ＞，所以2a =． （2）由（1）知，()()()22x x F x f x f x -=--=-， 任取12,x x ∈R ，且12x x <，则 ()()()()1122122222x x x x F x F x ---=--- 1221112222x x x x =-+- 121221222222x x x x x x -=-+⋅()122112212x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为12x x <，所以12220x x -<，211102x x ++>，所以()()120F x F x -<，即()()12F x F x <，所以()()()F x f x f x =--是R 上的增函数． 21．（2022·湖南·高一课时练习）在同一直角坐标系内作出函数3x y =与3x y -=的图象. 【答案】作图见解析【分析】直接在平面直角坐标系中作出两个指数函数的图象即可. 【详解】解：作出函数3x y =与3x y -=的图象如下图所示：22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数1,0()21,0xx f x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩（1）在给出的坐标系中画出函数()f x 的图象． （2）根据图象写出函数的单调区间和值域．【答案】（1）图见解析；（2）函数()f x 的单调递增区间为(,0]-∞，单调递减区间为[0,)+∞，值域为(,1]-∞. 【解析】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出所求分段函数的图象； （2）根据图象观察可知即可得出结果.【详解】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出分段函数1,0()21,0xx f x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩的图象为：（2）由函数的图像可知，函数()f x 的单调递增区间为(,0]-∞ 单调递减区间为[0,)+∞， 函数()f x 的值域为(,1]-∞23．（2022·广东·东莞市石龙中学高一期中）已知定义域为R 的函数()2122x xf x a =-+是奇函数. (1)求实数a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明；(3)若对任意的R x ∈，不等式()()2240f x mx f x -++>成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1(2)函数在定义域内单调递增，证明见解析(3)()4242，-【分析】（1）由()f x 是奇函数可得()00f =，求出a 的值，再验证此时()f x 是奇函数； （2）()f x 先分离常数，再判断其单调性，利用定义证明函数()f x 在R 上单调递增；（3）利用()f x 的奇偶性和单调性将不等式变成224x mx x ->--，再利用二次函数恒成立求出实数m 的取值范围. （1）因为函数的定义域为R ，所以()110012f a =-=+，∴1a =. 经检验当1a =时，有()()f x f x -=-，所以1a =.()211111111212212221x x x xf x +-=-=--=-+++， 函数在定义域内单调递增，证明如下：设12x x >，所以()()()()12212112112*********x x x x x x f x f x --=-=++++，因为1222x x >，所以()()12f x f x >，所以函数()f x 在R 上单调递增. （3）∵()f x 是奇函数，由已知可得()()()22244f x mx f x f x ->-+=--224x mx x ->--，则2240x mx -+>，∴∆<0，故24240m -⨯⨯<，4242m -<<.∴实数m 的取值范围为()4242，-. 24．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数(0x y a a =>且1)a ≠在[]1,2上最大值和最小值的和为12，令()3x x f x a =+．(1)求实数a 的值.(2)并探究()()1f x f x +-是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由； (3)解不等式：()()2121f x f x -+<． 【答案】(1)3a = (2)是定值，证明见解析 (3)1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由单调性得最大值与最小值的和，从而求得a 值； （2）由（1）所得参数值，直接计算()(1)f x f x +-可得； （3）根据（2）的结果化简不等式求得1()2f x <，再解之可得． （1）因为函数(0x y a a =>且1)a ≠在[]1,2上为单调函数，所以212a a +=，解得3a =或4a =-．因为0a >且1a ≠，所以3a =；由（1）得， ()333xx f x =+，所以()()1133331333333333x x x x x x x f x f x --+-=+=+++++⨯3313333x x x=+=++；（3）由（2）得，()()11f x f x -=-，且()0f x >，所以()()()2211f x f x f x <--=，所以 ()12f x <，所以31233x x<+，整理得，33x <，解得12x <， 所以原不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【能力提升】一、单选题1．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数1()323xx f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2()(2)4f a f a +->，则实数a的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(),2(1,)-∞-+∞ C ．()2,1- D ．(1,2)-【答案】B【分析】构造函数()()2g x f x =-，可证得()g x 是奇函数，且在R 上单调递增. 2()(2)4f a f a +->可化为()()220g a g a +->，进而可解得结果.【详解】令1()()233xxg x f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，（R x ∈），则()11()()23333xxxx g x f x g x --⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()g x 是奇函数；又13,3xxy y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭都是R 上增函数，所以()g x 在R 上单调递增.所以2()(2)4f a f a +->可化为()()220g a g a +->，进而有()()22g ag a >-，所以220a a +->， 解得2a <-或1a >. 故选：B.2．（2022·全国·高一课时练习） 若存在正数x ，使得关于x 的不等式()31xx a -<成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．()0,+∞【答案】C【分析】问题转化为13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭在()0,+∞上能成立，根据右侧的单调性求值域，进而求参数范围.【详解】由题意知13xx a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立，即13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭成立．令()13xf x x ⎛-⎫⎪⎝⎭=，显然()f x 在()0,+∞上单调递增，所以0x ∀>，()()01f x f >=-， 所以实数a 的取值范围是()1,-+∞． 故选：C二、多选题3．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函数()2+1x xf x a =（0a >，1a ≠），则下列说法正确的是（ ）A ．函数图象关于y 轴对称B ．函数的图像关于(0,0)中心对称C ．当1a >时，函数在(0,)+∞上单调递增D ．当01a <<时，函数有最大值，且最大值为2a 【答案】AD【分析】根据函数奇偶性可判断A,B,由复合函数的单调性可判断C,D.【详解】()2+1x xf x a=的定义域为{}0x x ≠，当0x ≠时，则()()22+1+1==()x x xxf x aaf x ---=，故()f x 是偶函数，因此图象关于y 轴对称，故A 正确，B 错误， 当0x >时，()2+11x x xxf x a a+==，令1u x x=+，则()u f u a =， 当1a >时，()u f u a =单调递增，1u x x=+在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，由复合函数的单调性可知:()2+11x x xxf x a a+==在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，故C 错误，当01a <<时，当0x >时， 由于()uf u a =单调递减，1u x x=+在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，故()2+11x x x x f x a a +==在01x <<上单调递增，在1x >上单调递减，故当1x =时，()f x 取最大值，且最大值为2(1)f a =，当0x <时，由于()f x 是偶函数，故最大值为()21f a -=，故D 正确，故选：AD4．（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在[]1,1-上的函数()2943x xf x =-⋅+⋅，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的单调递减区间是[]0,1B ．()f x 的单调递增区间是[]1,1-C ．()f x 的最大值是()02f =D ．()f x 的最小值是()16f =-【答案】ACD【分析】首先换元，设3x t =，[]1,1x ∈-，()2224212y t t t =-+=--+，再结合复合函数的单调性，判断AB ；根据函数的单调性，再判断函数的最值，判断CD.【详解】设3x t =，[]1,1x ∈-，则3x t =是增函数，且1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又函数()2224212y t t t =-+=--+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,3上单调递减，因此()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，故A 正确，B 错误；()()max 02f x f ==，故C 正确；()1019f -=，()16f =-，因此()f x 的最小值是6-，故D 正确． 故选:ACD ．三、填空题5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数8()3f x x a x=++关于点(0,12)-对称，若对任意的[1,1]x ∈-，2(2)0x x k f ⋅-≥恒成立，则实数k 的取值范围为_______.【答案】11k ≥【分析】由2(2)0xxk f ⋅-≥得(2)2x xf k ≥使得不等式一边是参数k ，另一边是不含k 关于x 的式子，分离参数.【详解】由83y x x=+为奇函数，可得其图像关于(0,0)对称，所以f x （）的图像关于(0,)a 对称，由题目可知函数8()3f x x a x=++关于点(0,12)-对称，可得12a =-， 对任意的[1,1]x ∈-，2(2)0x x k f ⋅-≥恒成立8[1,1],2(3212)02x x xx k ⇔∀∈-⋅-⋅+-≥恒成立， 即8232122x xxk ⋅≥⋅+-在[1,1]x ∈-恒成立， 所以28123(2)2x x k ≥-+，令12x t =，由[1,1]x ∈-，可得1[,2]2t ∈， 设2233()81238()42h t t t t =-+=--，当2t =时，h t （）取得最大值11， 所以k 的取值范围是11k ≥. 故答案为：11k ≥.【点睛】①分离参数法：遇到类似()()k f x g x ⋅≥或()()k f x g x +≥等不等式恒成立问题，可把不等式化简为()k h x ≥或()k h x ≤的形式，达到分离参数的目的，再求解y h x =（）的最值处理恒成立问题；②恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论.四、解答题6．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知实数a 大于0，定义域为R 的函数3()13x x af x a =++是偶函数.(1)求实数a 的值并判断并证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性；(2)对任意的t ∈R ，不等式()()212f t f t m -≥-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)1a =，()f x 在()0,∞+上单调递增，证明见解析； (2)14m =.【分析】（1）利用偶函数的性质求a ，利用单调性的定义证明函数()f x 的单调性即可； （2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可. （1）因为()313x x a f x a =++为偶函数，且()3113133x x x xa f x a a a ---=++=+⋅+⋅，所以()()f x f x =-，解得1a =±，又0a >，所以1a =,()1313xx f x =++；设120x x >>，则()()()121212121211131313313333x x x x x x x x f x f x ⎛⎫-=++---=-- ⎪⋅⎝⎭，因为120x x >>，所以12330x x ->，1212121133101103333x xx x x x ⋅>⇒<<⇒->⋅⋅，所以()()()()12120f x f x f x f x ->⇒>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增. （2）因为()f x 为定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，()()212f t f t m -≥-，所以212t t m -≥-，平方得()22344140t m t m +-+-≥，又因为对任意R t ∈不等式恒成立，所以()()224443140m m ∆=--⨯⨯-≤，解得14m =. 7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()240,12x x a af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)当()1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2a = (2)()1,1- (3)10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用函数是奇函数(0)0f =求解a 即可．（2）利用指数函数的值域以及不等式的性质求解即可．（3）利用函数恒成立，参变分离，利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可． （1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()002420022a a a f a a a -+-===++，解得2a =， 当2a =时，()2121x x f x -=+，此时()()21122112x xx x f x f x -----===-++，所以2a =时，()2121x x f x -=+是奇函数.所以2a =； （2）由（1）可得()2121221212121x x x x x f x -+-===-+++，因为20x >，可得211x +>，所以10121x<<+， 所以22021x-<-<+， 所以211121x-<-<+， 所以函数()f x 的值域为()1,1-； （3）由()220x mf x +->可得()22xmf x >-，即122221x x xm ->+-⋅，可得()()212122x xx m +->-对于()1,2x ∈恒成立， 令()211,3xt -=∈，则()()2121t t t t m t -=-++>，函数21y t t=-+在区间()1,3单调递增，所以221013133t t -+<-+=，所以103m ≥， 所以实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】求不等式恒成立问题常用分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ．(1)求a b +的值；(2)当3x ≤-时，函数11xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，求实数t 的取值范围．【答案】(1)103a b += (2)36t <【分析】（1）将点M N 、代入函数()f x ，即可求出a b 、的值，则可求出答案；（2）当3x ≤-时，函数11xy a b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方可等价于当3x ≤-时，不等式13203x x t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立，利用参变分离可得当3x ≤-时，min1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，易知函数1323x y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，由此即可求出答案. （1）∵函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ，∴319ba ba =⎧⎨=⎩∴29a =，∴3a =-（舍）或3a =，13b =，∴103a b +=； （2）由（1）得当3x ≤-时，函数133xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，即当3x ≤-时，不等式13203xx t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立，亦即当3x ≤-时，min 1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．设()()13233xg x x x ⎛⎫=+-≤- ⎪⎝⎭，∵13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，2y x =-在(],3-∞-上单调递减，∴()1323xg x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，∴()()min 336g x g =-=， ∴36t <．9．（2022·全国·高一单元测试）已知指数函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图像过点3,8⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)设函数()()1=-g x f x ，求()g x 的定义域；(2)已知二次函数()h x 的图像经过点()0,0，()()121+=-+h x h x x ，求函数()()f h x 的单调递增区间． 【答案】(1)[)0,+∞ (2)[)1,+∞【分析】（1）根据条件求出()f x 解析式，再列出不等式即可求得()g x 定义域. （2）由待定系数法求得()h x 解析式，再根据复合函数的单调性即可得到结果. （1）由题意知318a =，解得12a =，所以()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()112xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得0x ≥．所以()g x 的定义域为[)0,+∞．（2）设()()20h x mx bx c m =++≠，则()()()()()221112h x m x b x c mx m b x m b c +=++++=+++++，()()22121h x x mx b x c -+=+-++，由()()121+=-+h x h x x ， 得221m b b m b c c +=-⎧⎨++=+⎩，解得12m b =-⎧⎨=⎩，则()22h x x x c =-++， 又()00h c ==，所以()()22211h x x x x =-+=--+，所以()22h x x x =-+在[)1,+∞上单调递减，又()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，所以函数()()f h x 的单调递增区间为[)1,+∞．10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上的最大值与最小值之和为20，记()2x x a f x a =+．(1)求a 的值；(2)求证：()()1f x f x +-为定值； (3)求12200201201201f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【答案】(1)4a = (2)证明见解析 (3)100【分析】（1）函数x y a =在[]1,2上单调，得到220a a +=，排除5a =-，得到答案. （2）()442xx f x =+，代入数据计算得到()()11f x f x +-=，得到证明.（3）根据()()11f x f x +-=，两两组合计算得到答案. （1）解：因为函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上的最大值与最小值之和为20，且函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上单调，所以当1x =和2x =时，函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上取得最值，即220a a +=， 解得4a =或5a =-（舍去），所以4a =． （2）解：由（1）知，4a =，所以()442xx f x =+，故()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅．（3）解：由（2）知，()()11f x f x +-=，因为12001201201+=，21191201201+=，，1001011201201+=， 所以12200201201201f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12001192012012020121f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1001011100100201201f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()221x xf x a a =+-（0a >，且1a ≠），求函数()f x 在[)0,+∞上的值域．【答案】答案见解析．【分析】应用换元法，令x t a =则()()212g t t =+-，讨论1a >、01a <<，注意定义域的范围，结合二次函数性质判断g t 单调性，根据单调性求值域即可.【详解】令x t a =，则()f x 可化为()()222112g t t t t =+-=+-．当1a >，0x ≥时，1t ≥，又g t 在[)1,+∞上单调递增， ∴()()12g t g ≥=，即()2f x ≥；当01a <<，0x ≥时，01t <≤，又g t 在(]0,1上单调递增， ∴()12g t -<≤，即()12f x -<≤．综上，当1a >时，函数()f x 在[)0,+∞上的值域是[)2,+∞； 当01a <<时，函数()f x 在[)0,+∞上的值域是1,2．12．（2022·全国·高一课时练习）对于函数1()2(1)+=-x a f x a （0a >且1a ≠）．(1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)当24a <<时，求函数()f x 在[][]3,11,3--⋃上的最大值和最小值． 【答案】(1)奇函数(2)最大值为11(1)12f a =+-，最小值为11(1)12f a -=---．【分析】（1）利用奇函数的定义判断可得答案；．（2）利用单调性的定义判断可得函数()f x 为减函数，再由奇偶性可得答案. （1）由题意得11()12x f x a =+-， 由10x a -≠，得0x ≠，∴函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称， 又11111()()121212x xx x a f x f x a a a --=+=+=--=----， ∴函数()f x 为奇函数； （2）任取1x ，2(0,)x ∈+∞且12x x <，则()()12121111x x f x f x a a -=-=--()()211211x x x x a a a a ---，∵120x x <<，当24a <<时，2101x x a a a >>=， ∴120x x a a ->，110x a ->，210x a ->， ∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递减．又函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，∴当24a <<时，函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，(0,)+∞， 即函数()f x 在区间[1,3]和[3,1]--上单调递减． ∴当13x ≤≤时，max 11()(1)012f x f a ==+>-，min 311()(3)012f x f a ==+>-， 当31x -≤≤-时，max ()(3)(3)0f x f f =-=-<，min ()(1)(1)0f x f f =-=-<， ∴函数()f x 在[3,1][1,3]--上的最大值为11(1)12f a =+-， 最小值为11(1)12f a -=---． 13．（2022·湖南常德·高一期末）已知()12f x x x -=+-．(1)若0[1,1]x ∃∈-时，()00220x xf k -⋅≥，求实数k 的取值范围；(2)设()2xg x e =-若方程2(())30()kf g x k g x +-=有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)(,1]-∞；(2)[14，＋∞）【分析】（1）将含参不等式，进行参变分离()212122x xk ≤+-，转换为二次函数求最值即可求函数最值，得k 的取值范围；（2）将原方程转换为()()22232120x x e k e k --+-++=，利用整体换元2xt e =-，结合二次函数的实根分布即可求解. (1)解： ()220xxf k -⋅≥即()2112222,1222x xx x xk k +-≥⋅≤+-，令11,222xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，记()221F t t t =-+． ∴()()max 21F t F ==，∴1k ≤ 即k 的取值范围是(,1]-∞． (2)解：由()22302xxf e k e ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭得()1222302xx e e k k +-+-+=-， 即()()22232120x x e k e k --+-++=，且20xe -≠，令2x t e =-，则方程化为()()()2231200t k t k t -+++=≠．又方程2(2)302xxf e k e ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，由2x t e =-的图象可知，()()()2231200t k t k t -+++=≠有两个根1t ，2t 且1202t t <<<或1202,2t t <<=．记()()()22312t t k t k ϕ=-+++，则(0)120(2)410k k ϕϕ=+>⎧⎨=-+<⎩ 或(0)120(2)41023022k k kϕϕ⎧⎪=+>⎪=-+=⎨⎪+⎪<<⎩，解得14k >或14k = 综上所述，k 的取值范围是[14，＋∞）．14．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()e e x x f x k -=+为奇函数． (1)求实数k 的值；(2)若对任意的[]20,1x ∈，总存在[)1,x t ∈+∞，使21()1e x t f x -≤成立，求实数t 的取值范围． 【答案】(1)1k =- (2)1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据奇函数满足()00f =求解即可；（2）将不等式转换为对任意的[]20,1x ∈，总存在[)1,x t ∈+∞，使1121e e ex xx t--≤-成立，根据单调性只需“对任意的[]20,1x ∈，21e e et t x t--≤-成立”，故考虑21ex t-的最小值，即2x t -在[]20,1x ∈上的最大值，再分当12t ≥与12t 两种情况讨论即可 (1)（1）因为函数()e e x x f x k -=+为奇函数，故()00e e 010f k k =+=+=，故1k =-，此时()e e x x f x -=-为奇函数，故1k =- (2)因为e x y =为增函数，e x y -=为减函数，故()e e x xf x -=-为增函数，故“对任意的[]20,1x ∈，总存在[)1,x t ∈+∞，使1121e e ex x x t--≤-成立”，即“对任意的[]20,1x ∈， 21e e et tx t--≤-成立”，故考虑21ex t-的最小值，即2x t -在[]20,1x ∈上的最大值.①当12t ≥时，2x t -在20x =时取最大值，故1e e e t tt -≤-，即2e 2t ≤，22ln t ≤，因为ln 2122<，故不成立； ②当12t时，2x t -在21x =时取最大值，11e e et tt --≤-成立，即2e 11e t -≤，即1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为111ln 22e 1⎛⎫+< ⎪⎝⎭，故1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭时满足条件. 综上所述，1e 1ln 21t ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

第4章指数函数与对数函数4.2.2指数函数应用举例新授-自学班级：_____________姓名:_____________【帮你读书】1、指数模型：函数模型x ca y =)1,0,0(≠>>a a c 叫做____________，当1>a 时，叫做____________，当____________时，叫做指数衰减模型.〖练习1〗下列各函数模型中，为指数衰减模型的是（）A .x y 5.02⨯=B .x y 35.07.1⨯=C .x y 26.0⨯=D .x y 03.11.1⨯=〖练习2〗容器里现有纯酒精10L ，每次从中倒出3L 溶液后再加满水，试给出操作次数x 与所剩酒精y 之间的函数解析式，并求出操作6次后，容器中纯酒精的含量（精确到0.01L ）.【技能训练】训练题4.2.2A 组1、选择题：（1）下列各函数模型中，为指数衰减模型的是（）A .x y 09.17.0⨯=B .x y 95.0100⨯=C .xy 35.05.0⨯=D .xy )32(2⨯=（2）一辆价值30万元的汽车，按每年20%的折旧率折旧，设x 年后汽车价值y 万元，则y 与x 的函数解析式为（）；A .x y 2.030⨯=B .x y 8.030⨯=C .x y 2.130⨯=D .xy 3.020⨯=（3）某城市现有人口100万，根据最近20年的统计资料，这个城市的人口自然增长率为1.2%，按这个增长率计算10后这个城市的人口预计有（）万.A .10012.0100⨯=y B .10%)2.11(100+⨯=y C .10%)2.11(100-⨯=y D .102.1100⨯=y2、填空题：（1）某城市2005年国民生产总值为20亿元，计划在今后的10年内，平均每年增长8%，试问：到2015年时，该市的国民生产总值将达到__________亿元（用代数式表示）；（2）一种放射性物质不断变化成其他物质，每过一年剩留量约为原来的84%，现有100g这种物质，11年后还剩____________g（用代数式表示）.3、我国某地区将对现有的3万公顷荒漠化的草地进行治理，从2008年起，当地政府组织牧民种草，每年将荒漠的20%重改为草地，经过3年还有多少公顷需要改造的荒漠（精确到.001）4、某市2012年国民生产总值为13777.9亿元，计划在今后的10年内平均每年增长10%，试问，到2022年，该市的国民生产总值将达到多少亿元(结果精确到0.01)？B组某人从银行贷款100万元，以后每年还款13.5万元，十年还清，问银行贷款的年利率是多少?。

4.2.2 指数函数的图象和性质探究点1 利用指数函数的单调性比较大小 例1 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1. 规律方法比较幂值大小的三种类型及处理方法跟踪训练 比较下列几组值的大小： (1)⎝⎛⎭⎫25－12和(0.4) －32； (2)(－2.5)23和(－2.5)45.探究点2 解简单的指数方程与指数不等式例2求满足下列条件的x的取值范围．(1)3x－1>9x；(2)a－5x>a x＋7(a>0，且a≠1)．规律方法(1)指数方程的类型可分为：①形如a f(x)＝a g(x)(a>0，且a≠1)的方程化为f(x)＝g(x)求解；②形如a2x＋b·a x＋c＝0(a>0，且a≠1)的方程，用换元法求解．(2)指数不等式的类型为a f(x)>a g(x)(a>0，且a≠1)．①当a>1时，f(x)>g(x)；②当0<a<1时，f(x)<g(x)．含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成同底的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解．跟踪训练1．已知(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1－x，求x的取值范围．2．解方程4x＋2x－6＝0.探究点3 指数型函数的单调性例3 判断f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x 的单调性，并求其值域． 互动探究1．(变条件)本例中函数f (x )变为f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2＋2x 试讨论f (x )的单调性．2．(变条件)本例中“x ∈R ”变为“x ∈[－1，2]”．判断f (x )的单调性，并求其值域． 规律方法函数y ＝a f (x )(a >0，a ≠1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性． 跟踪训练 1．函数y ＝2x －1的单调增区间为________．2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫23|1－x |的单调递减区间是________；单调递增区间是________．探究点4 指数函数的实际应用例4 某林区2018年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，预计使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x 年后，该林区的木材蓄积量为y 万立方米，求y ＝f (x )的解析式，并写出此函数的定义域． 规律方法解决指数函数应用题的步骤(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的解析式． (3)解模：运用数学知识解决问题．(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论． 跟踪训练1．某环保小组发现某市生活垃圾年增长率为b ，2018年该市生活垃圾量为a 吨，由此可以预测2028年生活垃圾量为( ) A ．a (1＋10b )吨 B ．a (1＋9b )吨 C ．a (1＋b )10吨D ．a (1＋b )9吨2．为了预防流感，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系为y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)的函数解析式为________；(2)据测定，当药物释放完毕后，空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．达标反馈1．下列判断正确的是( )A ．2.52.5>2.53B ．0.82<0.83C ．π2<π2D ．0.90.3>0.90.52．若函数f (x )＝(2a －1)x 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(1，＋∞) C ．⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(－∞，1)3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，1) 4．若f (x )＝3x ＋1，则( ) A ．f (x )在[－1，1]上单调递减B ．y ＝3x＋1与y ＝⎝⎛⎭⎫13x＋1的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象过点(0，1)D ．f (x )的值域为[1，＋∞)5．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪3x ＋1≤⎝⎛⎭⎫19x －2，x ∈R ，则当x ∈M 时，求函数y ＝2x 的值域． 巩固提升 A 基础达标1．不等式52x >5x－1的解集是( )A ．(－1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－2)2．指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是减函数，则函数g (x )＝(a －2)x 3在R 上的单调性为( ) A ．单调递增B ．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增C ．单调递减D ．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减3．已知a ＝⎝⎛⎭⎫13－1.1，b ＝π0，c ＝30.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a4．函数f (x )＝2x －2－x2是( )A ．偶函数，在(0，＋∞)是增函数B ．奇函数，在(0，＋∞)是增函数C ．偶函数，在(0，＋∞)是减函数D ．奇函数，在(0，＋∞)是减函数5．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1－2（x ≤1），31－x －2（x >1）的值域是( )A ．(－2，－1)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－2，－1]6．已知指数函数y ＝b ·a x 在[b ，2]上的最大值与最小值的和为6，则a ＝________． 7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f (x )＝2|x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．9．已知－1≤x ≤1，求函数y ＝4·3x －2·9x 的最大值．10．已知指数函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，19. (1)求函数f (x )的解析式；(2)已知f (|x |)>f (1)，求x 的取值范围．B 能力提升11．已知f (x )＝a －x (a >0且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(0，1)12．若－1<x <0，a ＝2－x ，b ＝2x ，c ＝0.2x ，则a ，b ，c 的大小关系是________． 13．已知函数f (x )＝a 3－ax(a >0且a ≠1)．(1)当a ＝2时，f (x )<4，求x 的取值范围；(2)若f (x )在[0，1]上的最小值大于1，求a 的取值范围．14．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm 为浓度单位，1 ppm 表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y (ppm)与排气时间t (分钟)之间存在函数关系y ＝c ⎝⎛⎭⎫12mt(c ，m 为常数)． (1)求c ，m 的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm 为正常，问至少排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态？C 拓展探究15．定义：对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“局部奇函数”．(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x －4a (a ∈R )，试判断f (x )是不是定义域R 上的“局部奇函数”，若是，求出所有满足f (－x )＝－f (x )的x 的值；若不是，请说明理由；(2)若f (x )＝2x ＋m 是定义在区间[－1，1]上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．参考答案讲练互动探究点1 利用指数函数的单调性比较大小例1 解：(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y ＝1.5x 的两个函数值，由于底数1.5＞1， 所以函数y ＝1.5x 在R 上是增函数， 因为2.5＜3.2，所以1.52.5＜1.53.2.(2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y ＝0.6x 的两个函数值，因为0＜0.6＜1，所以函数y ＝0.6x 在R 上是减函数， 因为－1.2＞－1.5，所以0.6－1.2＜0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2＞1.70＝1，0.92.1＜0.90＝1， 所以1.70.2＞0.92.1.跟踪训练 解：(1)由于(0.4) －32＝⎝⎛⎭⎫25－32. 因为0<25<1，－12>－32，所以⎝⎛⎭⎫25－12<(0.4) －32. (2)由于(－2.5)23＝2.523，(－2.5)45＝2.545. 因为2.5>1，45>23，所以2.545>2.523，即(－2.5)45>(－2.5)23.探究点2 解简单的指数方程与指数不等式 例2 解：(1)因为3x －1>9x ，所以3x －1>32x ， 又y ＝3x 在定义域R 上是增函数，所以x －1>2x ，所以x <－1.即x 的取值范围是(－∞，－1)． (2)当a >1时，因为a －5x >a x ＋7，所以－5x >x ＋7，解得x <－76；当0<a <1时，因为a－5x>a x ＋7，所以－5x <x ＋7，解得x >－76.综上所述，当a >1时，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－76；当0<a <1时，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－76，＋∞. 跟踪训练 1．解：因为a 2＋a ＋2＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋74＞1，所以y ＝(a 2＋a ＋2)x 在R 上是增函数． 所以x ＞1－x ， 解得x ＞12.所以x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.2．解：设t ＝2x (t ＞0)， 则原方程可化为t 2＋t －6＝0. 即(t ＋3)(t －2)＝0. 解得t ＝－3或t ＝2.又因为t ＝2x ＞0，所以t ＝2， 即2x ＝2＝21， 解得x ＝1.所以方程4x ＋2x －6＝0的解为x ＝1. 探究点3 指数型函数的单调性 例3 解：令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.因为u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增， 又因为y ＝⎝⎛⎭⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减． 因为u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， 所以y ＝⎝⎛⎭⎫13u ，u ∈[－1，＋∞)， 所以0<⎝⎛⎭⎫13u≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3， 所以原函数的值域为(0，3]． 互动探究1．解：函数f (x )的定义域为R . 令t ＝－x 2＋2x ， 则y ＝⎝⎛⎭⎫13t.因为y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在(－∞，＋∞)上是减函数，而t ＝－x 2＋2x 在(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，所以f (x )在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．2．解：由本例解析知，又x ∈[－1，2]，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x (x ∈[－1，2])在[－1，1]上是增函数，在(1，2]上是减函数．因为u ＝x 2－2x (x ∈[－1，2])的最小值、最大值分别为u min ＝－1，u max ＝3，所以f (x )的最大值、最小值分别为f (1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，f (－1)＝⎝⎛⎭⎫133＝127.所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤127，3. 跟踪训练1．【答案】[1，＋∞)【解析】由x －1≥0，得函数的定义域为[1，＋∞)． 令u ＝x －1(x ≥1)，则函数u ＝x －1(x ≥1)为增函数， 故函数y ＝2x －1的单调增区间为[1，＋∞)．2．【答案】[1，＋∞) (－∞，1)【解析】y ＝⎝⎛⎭⎫23|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫23x －1（x ≥1），⎝⎛⎭⎫231－x （x <1），因此它的单调递减区间为[1，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．探究点4 指数函数的实际应用例4 解：现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)万立方米；经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2万立方米； …经过x 年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x 万立方米． 故y ＝f (x )＝200×(1＋5%)x ，x ∈N *. 跟踪训练 1．【答案】C【解析】由2018年到2028年共经历了10年，故可以预测2028年生活垃圾量为a (1＋b )10吨．2．【答案】(1)y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(2)0.6【解析】(1)从图中可以看出：当t ＝0.1时，y ＝1，即可求得方程⎝⎛⎭⎫1160.1－a＝1中的a ＝0.1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1.(2)由题设y ≤0.25，则⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25，即⎝⎛⎭⎫142t －0.2≤14，故2t ≥1.2，所以t ≥0.6，因此从药物释放开始至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．达标反馈1．【答案】D【解析】因为y ＝0.9x 是减函数，且0.5>0.3，所以0.90.3>0.90.5.2．【答案】C【解析】由已知，得0<2a －1<1，得12<a <1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1. 3．【答案】A【解析】由已知得，f (x )的定义域为R .设u ＝1－x ，则y ＝⎝⎛⎭⎫12u.因为u ＝1－x 在R 上为减函数，又因为y ＝⎝⎛⎭⎫12u 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 在(－∞，＋∞)上为增函数，所以选A. 4．【答案】B【解析】f (x )＝3x ＋1在R 上单调递增，则A 错误；y ＝3x ＋1与y ＝3－x ＋1的图象关于y 轴对称，则B 正确；由f (0)＝2，得f (x )的图象过点(0，2)，则C 错误；由3x >0，可得f (x )>1，则D 错误．故选B.5．解：由3x ＋1≤⎝⎛⎭⎫19x －2， 得3x ＋1≤34－2x .因为函数y ＝3x 在定义域R 上是增函数，所以x ＋1≤4－2x ，解得x ≤1.因为函数y ＝2x 是增函数，所以当x ≤1时，2x ≤21＝2，即y ＝2x ≤2.又因为指数函数y ＝2x >0，所以0<y ≤2，即函数y ＝2x 的值域是(0，2]．巩固提升A 基础达标1．【答案】A【解析】由52x >5x －1得2x >x －1，解得x >－1.故选A.2．【答案】C【解析】因为指数函数f (x )＝a x 在R 上是减函数，所以0<a <1.所以－2<a －2<－1，所以函数g (x )＝(a －2)x 3在R 上单调递减，故选C.3．【答案】D【解析】b ＝π0＝1.又30<30.9<31，则1<c <3.a ＝31.1>3，即有a >c >b ，即b <c <a .故选D.4．【答案】B【解析】因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，又因为y ＝2x 是增函数，y ＝2－x 为减函数，故f (x )＝2x －2－x 2为增函数．故选B. 5．【答案】D【解析】当x ≤1时，y ＝3x －1－2单调递增，值域为(－2，－1]；当x >1时，y ＝31－x －2＝⎝⎛⎭⎫13x －1－2单调递减，值域为(－2，－1)．综上函数值域为(－2，－1]．6．【答案】2【解析】由指数函数定义知，b ＝1.故a ＋a 2＝6.又因为a >0，所以a ＝2.7．【答案】19【解析】假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．8．【答案】(－∞，1]【解析】由函数f (x )＝2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≥a ，2－x ＋a ，x ＜a 可得，当x ≥a 时，函数f (x )为增函数，而已知函数f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，所以a ≤1，即a 的取值范围为(－∞，1]．9．解：因为y ＝4·3x －2·9x ＝4·3x －2·(3x )2，令t ＝3x ，则y ＝4t －2t 2＝－2(t －1)2＋2，因为－1≤x ≤1，所以13≤3x ≤3，即t ∈⎣⎡⎦⎤13，3. 又因为对称轴t ＝1∈⎣⎡⎦⎤13，3，所以当t ＝1，即x ＝0时，y max ＝2.10．解：(1)设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)．将点⎝⎛⎭⎫2，19代入得19＝a 2.解得a ＝13. 故f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x .(2)由(1)知f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ，显然f (x )在R 上是减函数，又f (|x |)>f (1)，所以|x |<1，解得－1<x <1.即x 的取值范围为(－1，1)．B 能力提升11．【答案】D【解析】因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x在R 上为单调函数，又f (－2)>f (－3)，所以f (x )为增函数，故有1a>1，所以0<a <1. 12．【答案】b <a <c【解析】因为－1<x <0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x <1，2－x >1，0.2x >1，又因为0.5x <0.2x ，所以b <a <c .13．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝23－2x <4＝22，则3－2x <2，得x >12，即x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞. (2)y ＝3－ax 在定义域内单调递减，当a >1时，函数f (x )在[0，1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝a 3－a >1＝a 0，得1<a <3.当0<a <1时，函数f (x )在[0，1]上单调递增，f (x )min ＝f (0)＝a 3>1，不成立．综上可得a ∈(1，3)．14．解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c ⎝⎛⎭⎫124m＝64，c ⎝⎛⎭⎫128m ＝32， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝128，m ＝14. 故c ，m 的值分别为128，14. (2)由(1)知y ＝128×⎝⎛⎭⎫1214t ，令128×⎝⎛⎭⎫1214t ≤12，即⎝⎛⎭⎫1214t ≤⎝⎛⎭⎫128，解得t ≥32，即至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．C 拓展探究15．定义：对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“局部奇函数”．(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x －4a (a ∈R )，试判断f (x )是不是定义域R 上的“局部奇函数”，若是，求出所有满足f (－x )＝－f (x )的x 的值；若不是，请说明理由；(2)若f (x )＝2x ＋m 是定义在区间[－1，1]上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围． 解：(1)对于f (x )＝ax 2＋2x －4a (a ∈R )为二次函数，可知a ≠0.方程f (－x )＝－f (x )，即ax 2－2x －4a ＝－ax 2－2x ＋4a ，2a (x 2－4)＝0，所以x ＝±2，所以在定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为“局部奇函数”．(2)法一：f (x )＝2x ＋m ，f (－x )＝－f (x )可化为2x ＋2－x ＋2m ＝0，因为f (x )的定义域为[－1，1]，所以方程2x ＋2－x ＋2m ＝0在[－1，1]内有解，令t ＝2x ，则t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，故－2m ＝t ＋1t， 设g (t )＝t ＋1t，则在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，g (t )∈⎣⎡⎦⎤2，52，即－2m ∈⎣⎡⎦⎤2，52， 所以m ∈⎣⎡⎦⎤－54，－1. 法二：当f (x )＝2x ＋m 时，f (－x )＝－f (x )可化为2x ＋2－x ＋2m ＝0，令t ＝2x ，则t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，故关于t 的二次方程t 2＋2mt ＋1＝0在⎣⎡⎦⎤12，2上有解即可保证f (x )为“局部奇函数”，设f (t )＝t 2＋2mt ＋1.①当方程t 2＋2mt ＋1＝0在⎣⎡⎦⎤12，2上只有一个解或有两个相同的解时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4＝0，12≤－m ≤2，或f ⎝⎛⎭⎫12·f (2)≤0， 解得m ＝－1或m ＝－54， 当m ＝－54时，方程在区间⎣⎡⎦⎤12，2上有两个解，不符合，故m ＝－1. ②当方程t 2＋2mt ＋1＝0在⎣⎡⎦⎤12，2上有两个不相等实根时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4>0，12<－m <2，f ⎝⎛⎭⎫12≥0，f （2）≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >1或m <－1，－2<m <－12，m ≥－54，m ≥－54，故－54≤m ＜－1， 综上，m ∈⎣⎡⎦⎤－54，－1.。

专题4.2 指数函数1、指数函数的概念：一般地，函数x y a = 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a ≠12、指数函数的图象和性质0<a<1a>1图像定义域R , 值域（0，+∞）（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1(2)在R 上是减函数(2)在R 上是增函数性质（3）当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1（3）当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1图象特征函数性质向x 轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 函数图象都在x 轴上方函数的值域为R +图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数共性函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1）自左向右看，图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于1当x>0时,0<y<1;在第二象限内的图象纵坐标都大于1当x<0时,y>10<a<1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x>0时,y>1;在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x<0时,0<y<1a>1图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；注意： 指数增长模型：y=N(1+p)x 指数型函数： y=ka x 3 考点：（1）a b =N, 当b>0时，a,N 在1的同侧；当b<0时，a,N 在1的 异侧。

（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。

掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a 0)进行传递或者利用（1）的知识。

（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。

第四章 指数函数与对数函数4.2.2 指数函数的图像和性质一、选择题1．（2019·全国高一课时练）已知函数f (x )＝a x (0<a <1)，对于下列命题：①若x >0，则0<f (x )<1；②若x <1，则f (x )>a ；③若f (x 1)>f (x 2)，则x 1<x 2.其中正确命题的个数为( )A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】D【解析】因为0<a <1 ，所以函数f (x )=a x 在(―∞,+∞) 上递减，可得③正确；x >0 时，0<f (x )<a 0=1，可得①正确；x <1 时，f (x )>a 0=1，可得②正确；即①②③都正确，故选D.2．（2019·安徽马鞍山二中高一期中考试）若2535a æö=ç÷èø，3525b æö=ç÷èø，2525c æö=ç÷èø，则（）A ．b c a <<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b a c<<【答案】A 【解析】因为25xy æö=ç÷èø在(0,)+¥上单调递减，所以32552255æöæö<ç÷ç÷èøèø，则b c <；又因为25y x =在(0,)+¥上单调递增，所以22553255æöæö>ç÷ç÷èøèø，所以a c >；则b c a <<，故选：A.3．（2019·全国高一课时练）函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数y ＝x ＋a 单调递增．由题意知a >0且a ≠1.当0<a <1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a,在y 轴上的截距大于0且小于1；当a >1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D.4．（2019·全国高一课时练）函数f(x)＝a x―3 ＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,2)D ．(3,2)【答案】D【解析】当x －3＝0，即x ＝3时，＝1；f(3)＝1＋1＝2，故选D.5．（2019·全国高一课时练）函数xx y a x=(01)a <<的图象的大致形状是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为0,0x x x a x xa y x a x ì>==í-<î，且01a <<，所以根据指数函数的图象和性质，(0,)x Î+¥函数为减函数，图象下降；(,0)x Î-¥函数是增函数，图象逐渐上升，故选D.6．（2019·全国高一课时练）函数11()()3x f x -=在区间[2,1]--上的最大值是（）．A.1B.3C.9D.27【答案】D【解析】()[]x 11f x 2,13-æö=--ç÷èø在区间上单调递减,当x=-2时取得最大值为27.二、填空题7．（2019·江苏高一课时练）若指数函数f(x)=(2a +1)x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是__________．【答案】―12<a <0【解析】因为f(x)为减函数，所以0<2a +1<1，解得―12<a <0，填。

第四章 指数函数与对数函数4.2.2 指数函数的图像和性质一、选择题1．（2019·全国高一课时练）已知函数f (x )＝a x (0<a <1)，对于下列命题：①若x >0，则0<f (x )<1；②若x <1，则f (x )>a ；③若f (x 1)>f (x 2)，则x 1<x 2.其中正确命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【答案】D【解析】因为0<a <1 ，所以函数f (x )=a x 在(−∞,+∞) 上递减，可得③正确；x >0 时，0<f (x )<a 0=1，可得①正确；x <1 时，f (x )>a 0=1，可得②正确；即①②③都正确，故选D. 2．（2019·安徽马鞍山二中高一期中考试）若2535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3525b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2525c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】因为25xy ⎛⎫=⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递减，所以32552255⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则b c <； 又因为25y x =在(0,)+∞上单调递增，所以22553255⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c >；则b c a <<，故选：A.3．（2019·全国高一课时练）函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数y ＝x ＋a 单调递增．由题意知a >0且a ≠1.当0<a <1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a,在y 轴上的截距大于0且小于1； 当a >1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D. 4．（2019·全国高一课时练）函数f(x)＝a x−3 ＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,2) D ．(3,2)【答案】D【解析】当x －3＝0，即x ＝3时，＝1；f(3)＝1＋1＝2，故选D.5．（2019·全国高一课时练）函数xx y a x=(01)a <<的图象的大致形状是 A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为0,0x x x a x xa y x a x ⎧>==⎨-<⎩，且01a <<，所以根据指数函数的图象和性质，(0,)x ∈+∞函数为减函数，图象下降；(,0)x ∈-∞函数是增函数，图象逐渐上升，故选D. 6．（2019·全国高一课时练）函数11()()3x f x -=在区间[2,1]--上的最大值是（ ）．A.1B.3C.9D.27【答案】D【解析】()[]x 11f x 2,13-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间上单调递减,当x=-2时取得最大值为27.二、填空题7．（2019·江苏高一课时练）若指数函数f(x)=(2a +1)x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是__________． 【答案】−12<a <0【解析】因为f(x)为减函数，所以0<2a +1<1，解得−12<a <0，填。