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一元二次方程应用题增长率下降率

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实际问题与一元二次方程(增长率问题)

实际问题与一元二次方程(增长率问题)

第一季度的营业额为 10+10(1+x)+10(1+x)2万元. 列方程，得 10+10(1+x)+10(1+x)2=33.1 解方程，得 x1=0.1,x2=-3.1(不合题意，舍去) 答：年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1 吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在 生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成 本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
审、设、列、解、验、答． 2．假设平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数
是a，增长(或降低)n次后的量是b，那么有： a(1±x)n＝b(常见n＝2)．
3．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成 本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．
作业布置 1.课堂作业:课本P22： 习题21.3第4、7题； 2.家庭作业：《名师测控》P15---16页。
2.如果第n年后的总产量为M，那么有下面等
式：
a(1±x)n-1 ＝M.
.
[问题1]某企业2013年盈利1500万元，2015年实 现盈利2160万元.从2013年到2015年，如果该 企业每年盈利的年增长率相同，求：
〔1〕该企业平均每年的增长率. 〔2〕假设该企业盈利的年增长率继续保持不变，
预计2016年盈利多少万元？ 解(1)设年平均增长率为 x，那么 2014年盈利 1500(1+x)万元；2015年盈利
实际问题与一元二次方程
增长率问题
选择适当的方法解以下方程：
〔1〕1500(1+x)2=2160
〔2〕10+10(1+x)+10(1+x)2=33.1
一元二次方程增长率应用题

一元二次方程增长率应用题

一元二次方程增长率应用题一、增长率问题的基本公式1. 若初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的量为b，则b = a(1 + x)^n。

2. 若初始量为a，平均降低率为x，降低n次后的量为b，则b=a(1 - x)^n。

二、例题解析（一）正向增长率问题例1：某工厂去年1月份的产值为100万元，由于受市场经济的影响，2、3月份的产值逐月下降，平均每月下降率为x。

（1）写出3月份产值y（万元）关于x的函数关系式；（2）如果3月份产值为81万元，求x的值。

解析：1. （1）1月份产值为100万元，2月份产值是在1月份产值基础上下降x，则2月份产值为100(1 - x)万元。

3月份产值是在2月份产值基础上又下降x，所以3月份产值y = 100(1 - x)(1 - x)=100(1 - x)^2。

2. （2）已知3月份产值为81万元，即y = 81，那么100(1 - x)^2=81。

- 首先将方程两边同时除以100得到(1 - x)^2=(81)/(100)。

- 然后开平方可得1 - x=±(9)/(10)。

- 当1 - x=(9)/(10)时，x = 1-(9)/(10)=(1)/(10)=0.1 = 10%；- 当1 - x=-(9)/(10)时，x = 1+(9)/(10)=1.9（增长率不能大于1，舍去）。

（二）连续两年增长率问题例2：某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元。

该公司缴税的年平均增长率为多少？解析：设该公司缴税的年平均增长率为x。

1. 前年缴税40万元，去年缴税是在前年基础上增长x，则去年缴税40(1 + x)万元。

2. 今年缴税是在去年基础上又增长x，所以今年缴税40(1 + x)(1 + x)=40(1 + x)^2万元。

3. 已知今年缴税48.4万元，则40(1 + x)^2=48.4。

- 方程两边同时除以40得(1 + x)^2=1.21。

- 开平方得1 + x=±1.1。

增长率问题与一元二次方程

增长率问题与一元二次方程


为
.
练习
3、一批上衣原来每件500元 第一次降价 销售甚慢 第二次大幅度降价的百分率是第一次的2倍 ,结果 以 每件240元的价格迅速售出 求每次降价的百分率
500(1-x)(1-2X)=240
四、巩固深化，拓展练习
1. 某电脑公司2000年的各项经营收 入中，经营电脑配件的收入为600万元 ，占全年经营总收入的40%，该公司预 计2002年经营总收入要达到2160万元， 且计划从2000年到2002年，每年经营总 收入的年增长率相同，问2001年预计经 营总收入为多少万元？
a (1 x) b
n
其中增长取+ 降低取－ 7
6
链接中考
（2010年天津）青山村种的水稻2007年平均每公顷 8000kg，2009年平均每公顷产9680kg,求该村水稻 每公顷产量的年平均增长率
解：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率x 8000（ 1+x)2=9680 解这个方程得：（1+x）2=1.21 1+x=±1.1 X1=0.1=10% x2=-2.1（不合题意，舍去）
今年比去年增长了20%，应理解为； 今年是去年的（1+20%）倍 所以:今年的产量=去年的产量x(1+20%)
2、一件价格为200元的商品连续两次两次降价， 每次降价的百分数为15% 降价后的商品价格是多少 分析；第一次降价后的商品价格为原来的 （1-15%）倍 即 第一次为200x（1-15%） 第二次为第一次的（1-15%）倍， 即第二次为200 x（1-15)x（1-15%） =200x(1-15%)2
解：设甲商场的月平均利润率为x． 根据题意得：200(1+x)2=242 解得 X1=0.1=10％ x2=－2.1 (不合题意,舍去）
人教版初三数学上册一元二次方程的应用—增长率(下降率)问题

人教版初三数学上册一元二次方程的应用—增长率(下降率)问题

【学习过程】 一、自主学习： （一）复习巩固 1、解下列方程：(1)25)5(2=+x (2) 4122=++x x2、解应用题的一般步骤： 审、 设、列、解、检验、答（二）自主探究知识点：增长（降低）率中的数量关系(看视频：“增长率问题”)探究（课本P19-20）：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?思考：你是如何理解下降额与下降率的？它们之间的联系与区别是什么？分析: 甲种药品成本的年平均下降额为乙种药品成本的年平均下降额为乙种药品成本的年平均下降额较大，但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率。

解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为元，两年后甲种药品成本为元，依题意，得解方程，得答:甲种药品成本的年平均下降率约为.算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少?比较：两种药品成本的年平均下降率。

思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?（三）归纳总结： 1、原有量原有量—现有量增长率=2、平均增长率公式：nx a )1(±=现有量其中 a 是增长（或降低）的原有量，x 是平均增长率（或降低率），n 是增长（或降低）的次数。

（四）、自我尝试：练习1：青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200 kg ，2003年平均每公顷产8450 kg ，求水稻每公顷产量的年平均增长率.练习2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？三、课堂检测：1、某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为2、由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤12元连续两次降价a %后售价下调到每斤5元，下列所列方程中正确的是（ ）A ．12（1+a %）2=5B ．12（1-a %）2=5C ．12（1-2a %）=5D ．12（1-a 2%）=53、据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m 2，2013年同期将达到8200/m 2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x ，根据题意，所列方程为3某人在银行存了400元钱，一年后连本带息又自动转存一年，两年后到期后连本带息一共取款484元，设年利率为x ，则列方程为：，则年利率是 。

重新初三3.31学生版一元二次方程的应用平均增长率(降低率)问题

重新初三3.31学生版一元二次方程的应用平均增长率(降低率)问题


2.一种蛋糕原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率
都为x，则x满足(
)
A．16(1＋2x)＝25
B．25(1－2x)＝16
C．16(1＋x)2＝25
D．25(1－x)2＝16
3.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设
该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
初三数学
数学专题1：***************
一元二次方程的应用
平均增长率（降低率）问题
新课引入
2018年
价格（平均 增长率10％
100
价格（平均 增长率10％）
100
价格（平均 增长率x）
a
2019年
2020年
新课引入
2018年
数量（平均 降低率10％）
100
数量（平均 降低率10％）
100
1、平均增长（降低）率公式
a(1 x)2 b
2、注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般
用 直接开平方法
再见！
为
4.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月 份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，
(1) 求3月份到5月份营业额的月平均增长率． （2）假设6月份营业额的增长率与前两个月的月平均增长率相 同，请你预测6月份该商场的营业额？
挑战自我
5. 商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价 格比两个月前下降了36％， 问平均每月降价的百分率？
例3:某机械厂七月份生产零件12000个，第三季度
生产零件57000个，该厂八月份，九月份平均每月 的增长率是多少？
第二十一章 第12课 一元二次方程的应用(3)(增长率问题)

第二十一章 第12课 一元二次方程的应用(3)(增长率问题)


解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，由题意，得 1＋x＋x(1＋x)＝64， 解得：x＝7 或 x＝－9(舍去)，∴x＝7. 答：每轮传染中平均一个人传染了 7 个人； (2)把 x＝7 代入，得 64x＝64×7＝448(人) 答：如果不及时控制，第三轮又将有 448 人被传染．
11．某种植物主干长出若干数目的分支，每个分支长出相同数 目的小分支，主干、分支、小分支的总数为 241，要求每个分支长 出多少个小分支．若设主干有 x 个分支，依题意列方程正确的是 ( B)
PPT课程
主讲老师:
第二十一章 一元二次方程
第12课 一元二次方程的应用(3)(增长率问题)
1．某药品两年前的价格为 200 元，现在价格为 128 元，求该 药品价格年平均下降率．
解：设该药品价格年平均下降率为 x. 200(1－x)2＝128 解得：x1＝0.2，x2＝1.8 (舍去) 答：该药品价格年平均下降率为 20%.
2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是 否突破 600 人？
解：(1) 设平均一个人传染了 x 人 则 1×(1＋x)2＝64 解得；x1＝7，x2＝－9 (舍去) 答：平均一个人传染了 7 人．
谢谢！
5．某厂一月份生产某机器 100 台，计划二、三月份共生产 280 台．设二、三月份每月的平均增长率为 x，根据题意列出的 方程是_1_0_0_(_1_＋__x)_＋__1_0_0_(_1_＋__x_)2_＝__2_8_0____.
6．某种植物的主干长出若干个枝干，每个枝干又长出同样数 目的小分支，主干、枝干、小分支的总数目为 13，设主干 长出 x 个枝干，则列方程为_1_＋__x_＋__x_2_＝__1_3______.
一元二次方程应用题增长率下降率

一元二次方程应用题增长率下降率


3、某果园今年栽种果树200棵，现计划扩大种植面 积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百 分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为1400棵， 求这个百分数。
解：设这个百分数为X
由题意得：200+200(1+x)+200(1+x)2=1400
可得(1+x)2+(1+x)-6=0
1+x=2或1+x=-3(舍去)
__2_6_0_(_1_+_X_)_2_万平方公里。（用代数式表示）
分析：
2620013年
增长 260X10%
2014年
增长：
260+260X10%= 260(1+10%)
260(1+10%2) X6100%(1+X26)02(1=+130%1)2+ 260(1+10%) X10% =
2015年 260(1+10%)x(1+10%)
1．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012 年屋顶绿化面积要达到2880平方米．设平均每年的增长率为x，
那么可列方程为_________。A
A、2000(1+x)2=2880
B、2000x2=2880
C、2000(1+x%)2=2880
D、 2000(1+x)2000(1+x)2=2880
260(1+10%)2
例1.某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000 吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月 增长的百分率是多少?
分析:则2月份比一月份增产__5_0_0_0_x__ 吨. 2月份的产量是 ____5_0_0_0_(1_+__x_) ___吨 3月份比2月份增产__5_0_0_0_(_1_+_x_)_x_ 吨 3月份的产量是 ___5_0_00_(_1_+_x_)2__ 吨
八年级下册数学第八章 一元二次方程 平均增长率(降低率)问题

八年级下册数学第八章 一元二次方程 平均增长率(降低率)问题


(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且 每个销售点每月平均销售量最多为0.32万千克，如果 要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月 份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
解：设再增加 y 个销售点，
根据题意得，3.6＋0.32y≥3.6×(1＋20%)，
解得
9 y≥4.
去)． 答：每次下降的百分率为20%.
(2)若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的 手机售价为多少元？
解：1600×(1－20%)＝1280(元)． 答：若9月份继续保持相同的百分率降 价，则这种品牌的手机售价为1280元．
4 【中考·东营】为加快新旧动能转换，提高公司经济效 益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降 价促销，使生产的电子产品能够及时售出．根据市场 调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可 售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5 个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种 电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可 获利32000元？
设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a， 则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a， 今 年 上 半 年 两 公 司 总 经 济 收 益 为 1.5a×3n×(1 ＋ 20%)＋an×(1＋4×20%)＝7.2na， 去 年 下 半 年 两 公 司 总 经 济 收 益 为 1.5a×3n ＋ an ＝ 5.5na， 故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之 比为(5.5na)：(7.2na)＝55：72.
5 【中考·玉林】某养殖场为了响应党中央的扶贫政策， 今年起采用“场内＋农户”养殖模式，同时加强对蛋 鸡的科学管理，使蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和 五月份的产蛋量分别是2.5万千克与3.6万千克，现假 定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
2024八年级数学下册第8章8.6一元二次方程的应用2平均增长降低率问题习题课件鲁教版五四制

2024八年级数学下册第8章8.6一元二次方程的应用2平均增长降低率问题习题课件鲁教版五四制


(3)该厂第二季度的总加工量． 【解】六月份的加工量为50 ×2.1＝105(吨)， 五月份的加工量为105－46.68 ＝58.32(吨)． 设从三月份到五月份加工量逐月下降的百分率为y. 由题意得50×1.44×(1－y)2＝58.32， 解得y1＝0.1＝10%，y2＝1.9(不合题意，舍去)，
(2)若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手 机每部售价为多少元？ 【解】1 600×(1－20%)＝1 280(元)． 答：若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌 的手机每部售价为1 280元．
5 【2023·济南历城区期末】某农机厂四月份生产零件50 万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度 平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( ) A．50(1＋x)2＝182 B．50＋50(1＋x)＝182 C．50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会 超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5 月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待 游客人数最多是多少万人？
【解】设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由题 意可得2.125＋10a≤2.5(1＋25%)，解得a≤0.1. 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
(2)若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的 方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降 价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售 出多少件后，方可进行第二次降价？
【解】设第一次降价售出 a 件，则第二次降价售出(20－a) 件．由题意得[60(1－10%)－40]a＋(48.6－40)×(20－a)≥200， 解得 a≥5257.∵a 为整数，∴a 的最小值是 6. 答：第一次降价至少售出 6 件后，方可进行第二次降价．
一元二次方程的应用(增长率)教案

一元二次方程的应用(增长率)教案

（1）求平均每次下调的百分率。
（2）小华准备到李伟处购买5吨 该蔬菜，因数量多，李伟决定在给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元。
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。
处理方法：
1.先让学生独立思考；
2.运用师生互动核对答案解决疑难。
3.师生互动还不能解决的问题教师适当的点拨和讲解。
教学难点
理解平均增长（或降低）率与增长（或降低）率的平均值的区别。
自
学
指
导
自学教材P49动脑筋，例1并思考以下问题
1、某经济开发区今年七月份工业产值达40亿元，八月份产值达50亿元，预计九月份产值要达到60亿元，则八月份比七月份增长的百分率为；九月份比八月份增长的百分率为。
2、某商品原销写）
（1）若先下降10％后单价为；再下降10％后单价为；（2）若下降20％后单价为；
3、某人购买某种债券2000元，两年后获利420元，则这种债券的年利率是。
4、你是如何理解：“平均增长（或降低）率？
师生
互动
时
教师
预设
的
问题
和
处理
方法
一．教师整合的问题：
先让学生把小组讨论还不能解决的问题都提出来，并记录，然后实行整合。
课 题
一元二次方程的应用—增长（或降低）率问题
课时
1课时
1、利用一元二次方程解决增长（或降低）率问题。
2、理解平均增长（或降低）率问题的公式： ， 期中为基础量， 为增长（或降低）率， 为增长（或降低）的次数， 为增长（或降低）后的量。
3、培养学生分析问题，解决问题水平
教学重点
利用列一元二次方程解决增长（或降低）率问题。
人教版初三数学上册21.3实际问题与一元二次方程---平均增长(下降)率问题

人教版初三数学上册21.3实际问题与一元二次方程---平均增长(下降)率问题

若若 原原来来为为aa,,平平均均降增低长率率是是xx,,降增低长后后的的量量为为bb
则则 第 第11次 次增 降长 低后后的的量量是是aa((11+-xx))==bb 第第22次次降增低长后后的的量量是是aa(1(1-x+)x2)=2b=b
………… 第第nn次 次增 降长 低后 后的 的量量是是aa((11+-xx))nn==bb
这就是重要的增长率公式.
例2：
某产品原来每件600元，由于连续两次降价， 现价为384元，如果两个降价的百分数相同， 求每次降价的百分数。
分析：解设：每次降价的百分数是x。
原价
600
第一次价格 第二次价格
600（1-x) 600(1-x)2
根据题意列方程： 600(1-x)2=384
解之得：x1=0.2 x2=1.8（舍去） 答：每次降价的百分数是20%
2.某工厂1月份的产值是a万元， 2月份的产值比1月 份增加的百分数为x，那么2月份的产值是 a(1+x) 万元，若3月份的产值较2月份增加的百分数为x,那么 3月份的产值产值是 a(1+x)2
二.新课
两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2
例1.某商店6月份的利润是2500元，要使8月份 的利润达到3600元，平均每月增长的百分率 是多少？
（1）解这类问题列出的方程一般 用 直接开平方法
中考衔接：
1.某电脑公司2013年的各项经营收入中，经营 电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入 的40 ％，该公司预计2015年经营总收入要达到 2160万元，且2013年到2015年，每年经营总收 入的年增长率相同，问2014年预计经营总收入 为多少万元？
人教版数学九年级上

八年级一元二次方程应用题

一元二次方程的应用一、平均增长（下降）率问题变化前数量×（1 x ）n ＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg ，2003年平均每公顷产8450kg ，求水稻每公顷产量的年平均增长率。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是多少？二、花边、路宽问题1.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长为8m ，宽为5m. 如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2，那么花边有多宽？2.一块长方形草地的长和宽分别为20m 和15m ，在它四周外围环绕着宽度相等的小路. 已知小路的面积为246 m 2，求小路的宽度.3.新园小区计划在一块长为40米，宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路(两条纵向、一条横向，且横向、纵向互相垂直)， 其余部分种花草.若要使甬路的面积占矩形场地面积的6511. 则甬路宽为多少米？三．面积问题1.同乐小区的物业管理部门为了美化环境，在小区靠墙的一侧设计了一处长方形花圃(墙长25m)，三边外围用篱笆围起，栽上蝴蝶花，共用篱笆40m ，(1) 花圃的面积能达到180m 2吗？(2) 花圃的面积能达到200m 2吗？(3) 花圃的面积能达到250m 2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．2．将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?四．商品销售问题售价—进价=利润 单件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额1.某水果超市经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

现该商品要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ A B C D2．新新商场以16元/件的价格购进一批衬衫，根据市场调查，如果以20元/件的价格销售，每月可以售出200件；而这种衬衫的售价每上涨1元就少卖10件.现在商场经理希望销售该种衬衫月利润为1350元，而且，经理希望用于购进这批衬衫的资金不多于1500元，则该种衬衫该如何定价？此时该进货多少？3.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。

一元二次方程应用题经典题型汇总含答案

一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.二、商品定价例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？三、储蓄问题例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）四、趣味问题例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？五、古诗问题例5读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？六、象棋比赛例6象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.七、情景对话例7春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？八、等积变形例8将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.九、动态几何问题例9如图4所示，在△ABC中，∠C＝90?/SPAN>，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.十、梯子问题例10一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？十一、航海问题例11如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛D和小岛F相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）十二、图表信息例12如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，•完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n 2 3 4 5 6使用的纸片张数（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.①当n＝2时，求S1∶S2的值；②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.十三、探索在在问题例13将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.。

一元二次方程—增长率问题

所以 x1=0.1 x2=-2.1(不合题意,舍去) 答:平均每年增长的百分率为10% 。
练习 1.某公司计划经过两年把某种商品
的生产成本降低19%，那么平均每年需 降低百分之几?
例5.某商场将进货价为30元的台灯以 40元售出，平均每月能售出600个． 调查表明：单价在60元以内，这种台 灯的售价每上涨1元，其销售量就将 减少10个。为了实现平均每月1万元 的销售利润，这种台灯的售价应定位
在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油 1980kg已知花生出油率的增长率是产量增长率的1/2，求新 品种花生的增长率.
解: 设该厂今年产量的月平均增长率为x,根据题意,得
6(1 x)2 61 x 0.66
x2 x 0.11 0
x 1 1.44 11.2 ,
2
2
x1
1 1.2 2
10%;
x2
1 1.2 2
1.1
0(不合题意, 舍去).
答 : 该厂今年产量的月平均增长率为10%.
练习 1.某校去年对实验器材的投入为2万元，预计今 明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年 在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列 方程为_____________.
例4. 平阳按“九五”国民经济发展规划要从 2001年到2003年增长21%，求平均每年增长的 百分率． （提示：基数为2001年的社会总产值，可视为 a）解：设每年增长率为x，2001年的总产值为a，
由题意得： a(1+x) 2 =a+21%a (1+x) 2 =1.21 1+x =1.1 或 1+x =-1.1
练习 1.李立购买了1500元的债券,定期1年,到期兑 换后他用去了435元,然后把其余的钱又购买 了这种债券定期1年(利率不变),再到期后他 兑换得到1308元.设这种债券的年利率为x， 则列方程为____________.

数学人教版九年级上册一元二次方程的应用—增长率(下降率)问题

【学习过程】 一、自主学习： （一）复习巩固 1、解下列方程：(1)25)5(2=+x (2) 4122=++x x2、解应用题的一般步骤： 审、 设、列、解、检验、答（二）自主探究知识点：增长（降低）率中的数量关系(看视频：“增长率问题”)探究（课本P19-20）：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?思考：你是如何理解下降额与下降率的？它们之间的联系与区别是什么？分析: 甲种药品成本的年平均下降额为乙种药品成本的年平均下降额为乙种药品成本的年平均下降额较大，但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率。

解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为元，两年后甲种药品成本为元，依题意，得解方程，得答:甲种药品成本的年平均下降率约为.算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少?比较：两种药品成本的年平均下降率。

思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?（三）归纳总结： 1、原有量原有量—现有量增长率=2、平均增长率公式：nx a )1(±=现有量其中 a 是增长（或降低）的原有量，x 是平均增长率（或降低率），n 是增长（或降低）的次数。

（四）、自我尝试：练习1：青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200 kg ，2003年平均每公顷产8450 kg ，求水稻每公顷产量的年平均增长率.练习2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？三、课堂检测：1、某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为2、由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤12元连续两次降价a %后售价下调到每斤5元，下列所列方程中正确的是（ ）A ．12（1+a %）2=5B ．12（1-a %）2=5C ．12（1-2a %）=5D ．12（1-a 2%）=53、据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m 2，2013年同期将达到8200/m 2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x ，根据题意，所列方程为3某人在银行存了400元钱，一年后连本带息又自动转存一年，两年后到期后连本带息一共取款484元，设年利率为x ，则列方程为：，则年利率是 。

一元二次方程增长率下降率问题公式

一元二次方程增长率下降率问题公式
在数学中，一元二次方程是指最高次项的系数为非零的二次方程。

可以表示为ax^2+bx+c=0，其中a、b和c是已知实数常数，且a不等于零。

当我们研究一元二次方程的图像时，我们会遇到增长率和下降率的问题。

增长率是指函数值随自变量的增加而增加的速度，而下降率是指函数值随自变量的增加而减少的速度。

为了求解一元二次方程增长率下降率的问题，我们需要使用导数的概念。

导数是用来描述函数在某一点的斜率或变化率的数学工具。

对于一元二次方程f(x) = ax^2 + bx + c，它的导数可以表示为f'(x) = 2ax + b。

根据导数的定义，当x取某一特定值时，f'(x)给出了该点处函数的斜率。

如果f'(x)大于零，表示函数在该点处增长；如果f'(x)小于零，表示函数在该点处下降；如果f'(x)等于零，表示函数在该点处取得极值（最大值或最小值）。

因此，对于一元二次方程增长率下降率的问题，我们可以使用导数来求解。

我们可以将f'(x) = 2ax + b设为0，解出x的值，得到函数在该点处的极值点。

根据极值点的位置，就可以确定函数在该点的增长率和下降率。

总结而言，一元二次方程增长率下降率的问题可以利用导数来求解。

通过求解导数为0的方程，我们可以确定函数的极值点，从而得出函数在该点处的增长率和下降率。

这个过程可以帮助我们更好地理解和分析一元二次方程的图像特点。

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解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后 5000(1-x)元,两年后甲种药品成本 甲种药品成本为_________ 5000(1-x)2 为 _______________ 元,依题意得
解方程,得
x 0.225, x 1.775(不合题意, 舍去)
1 2
5000 (1 x) 3000
2
解方程,得
x 0.225, x 1.775(不合题意, 舍去)
1 2
乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
答：两种药品成本的年平均下降率相同均为 22.5%
2.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低 19%， 那么平均每年需降低百分之几?
解 : 设每年平均需降低的百分数为x, 根据题意, 得
答 : 每年的平均增长率为 10%.
2.某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相 同。已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比 5月份多生产了120000台，求该厂今年产量的月平均增长 率为多少?
解 : 设该厂今年产量的月平均增长率为x, 根据题意, 得
整理得 : 解得 :
25 1225 5 7 x , 50 10 57 57 x1 0.2 20%; x2 1.2 0(不合题意, 舍去). 10 10
练习.1.甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该 公司缴税的年平均增长率为多少?
解 : 设每年平均增长率为x, 根据题意, 得
40(1 x) 48.4.
2
2
解这个方程 : (1 x) 1.21, (1 x) 1.1, x 1 1.1,
x1 1 1.1 10%; x2 1 1.1 0(不合题意, 舍去).
解:设乙商场的月平均利润率为x． 根据题意得：100(1+x)2=144
解得
X1=0.2=20％
x2=－2.2(不合题意,舍去）
3、某果园今年栽种果树200棵，现计划扩大种植面 积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百 分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为1400棵， 求这个百分数。
1、列方程解应用题的一般步骤
（1）审：明确已知、未知 （2）找：相等关系 （3）设：未知数 （4）列：方程 （5）解：方程 （6）检：所求出的解既能是方程成立，
又能使应用题有意义。 （7）答：作答 找准等量关系。 列方程解应用题的关键是__________
2013年2月28日，北京沙尘暴来了，满天黄沙
若原来的量为a ，平均增长率是x ，两次增 长后的量为b ，则： a(1+x) 1、第一次增长后的量为__________ ； 2 a(1+x) 2、第二次增长后的量为_________； 平均增长率问题的规律可表示为 2=b a(1+x) _____________。 3、若其余条件不变，n次增长后的量为b， 则平均增长率问题的规律可表示为 a(1+x)n=b _______________ 。
例1.某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000 吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月 增长的百分率是多少? 5000x 吨. 分析:则2月份比一月份增产________ 2月份的产量是 _______________ 吨 5000(1+x) 5000(1+x)x 吨 3月份比2月份增产____________ 3月份的产量是 ____________ 5000(1+x)2 吨 解:设平均每个月增长的百分率为x，依题意得 5000(1+x)2 =7200 解得， x1=0.2 x2=-2.2 (不合题意), 答:平均每个月增长的百分率是20%.
例2、机动车尾气污染是导致城市空气质量恶化 的主要原因之一．为了解决这个问题，某市试验将现 有部分汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽 车）。按照计划，该市今后两年内将使全市的环保汽 车由目前的325辆增加到637辆，求这种环保汽车平 均每年增长的百分率。
分析：如果设平均每年增长的百分率为x, 那么一年后这种环保汽车是__________ 325(1+x) 辆， 325(1+x)2 两年后其数量为_____________ 辆，这样 就可以根据题意列出方程____________ 。 325(1+x)2=637
解：设甲商场的月平均利润率为x． 根据题意得：200(1+x)2=242 解得 （1+x)2=1.21 1+x=±1.1
X1=0.1=10％
x2=－2.1 (不合题意,舍去）
答甲商场的月平均利润率10%。 2.乙商场 ： 3月份的利润为100万元,5月份的利润为 144万元,求乙商场的月平均利润率?
请同学们仿照增长率问题的探究填写 若原来的量为a ，平均降低率是x ，两次降低 后的量为b ，平均降低率问题的规律可表示为 _____________。
a(1-x)2=b
1：两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨 乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步, 现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药 品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
B、2000x2=2880 C、2000(1+x%)2=2880 D、 2000(1+x)2000(1+x)2=2880
2．政府为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调一些药品 的价格，某种药品原售价为125元/盒，连续两次降价后售价为 80元/盒，假设每次降价的百分率为x，则可列方程为 125(1-x)2=80 _________________
5(1 x) 51 x 1.2.
2
25 x 2 25 x 6 0.
答 : 该厂今年产量的月平均增长率为20%.
1、某种药品两次降价后，每盒售价从6.4元降 到4.9元，若平均每次降价百分率为x，,则 6.4(1-X) （1）第一次降价后价格为______________ 元； （用含x的代数式表示） 6.4(1-X)2 （2）第二次降价后价格为______________ 元； （用含x的代数式表示） 2=4.9 6.4(1-X) （3）根据题意，列出方____________
解：设每次下降率是x,则 解得
500 (1 x) 405
2
x1 10%,x2 190%(舍去) 答：每次下降率是10%。
n
增长：增长前 （ 1 增长率） 增长后 降低：降低前 （ 1 降低率） 降低后
n
ห้องสมุดไป่ตู้
链接中考
（2010年天津）青山村种的水稻2007年平均每公顷 8000kg，2009年平均每公顷产9680kg,求该村水稻 每公顷产量的年平均增长率
(1 x) 1 19%.
2
解这个方程 : 2 (1 x) 0.81, (1 x) 0.9, x 1 0.9,
x1 1 0.9 10%; x2 1 0.9(不合题意, 舍去).
答 : 每年平均需降低的百分数为10%.
1、平均增长（降低）率问题的规律
有专家警告,如果沙漠化的问题没有改善,北京极有可 能在百年后变成沙漠。
2013年中国沙漠化面积已经达到260万平方公里，若这种情 况得不到改善，平均每年中国的沙漠化面积的增长率为10%， x 则：一年后中国的沙漠化面积将达到 ________ 万平方公里； 260(1+X) 若增长率不变两年后中国的沙漠化面积将达到 260(1+X)2 万平方公里。（用代数式表示） ___________
解：设这个百分数为X
由题意得：200+200(1+x)+200(1+x)2=1400
可得(1+x)2+(1+x)-6=0 1+x=2或1+x=-3(舍去) 所以x=1=100%
列一元二次方程解应用题
4、一件衣服原价500元，连续两次降价后现 价为405元，已知两次的下降率一样，求每次 下降率是多少
解：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率x 8000（ 1+x)2=9680 解这个方程得：（1+x）2=1.21 1+x=±1.1 X1=0.1=10% x2=-2.1（不合题意，舍去） 答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率10%
2、注意： （1）1与x的位置不要调换，增长取“+”, 下降取“-” （2）解这类问题列出的方程一般用 直接开平方法 注意验根，看是否符合实际 意义.
1．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012 年屋顶绿化面积要达到2880平方米．设平均每年的增长率为x， A 那么可列方程为_________。 A、2000(1+x)2=2880
1、某彩电厂今年每个月的产量的增长率都相同。 已知该厂今年4月份的彩电产量为5万台，6月份 的产量为7.2万台。求月增长率
解：设每个月的增长率为x 5（1+x)2=7.2 解这个方程得：（1+x）2=1.44 1+x=±1.2 X1=0.2=20% x2=-2.2（不合题意，舍去）
１．甲商场3月份的利润为200万元,5月份的利润 为242万元. 求甲商场的月平均利润率?
2
甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?
设乙种药品成本的年平均下降率为y,则一年后 6000(1-y)元,两年后甲种药品成本 甲种药品成本为_________ 6000(1-y)2 元,依题意得 为 _______________
6000 (1 y ) 3600
分析：
260 2013年
2014年
增长 260X10%
增长： 260+260X10%= 260(1+10%) 260(1+10%)+ 260(1+10%) X10% = 2015年 260(1+10%)x(1+10%) 260(1+10%)2