平面直角坐标系1

平面直角坐标系一、知识点概述1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、已知点的坐标找出该点的方法：分别以点的横坐标、纵坐标在数轴上表示的点为垂足，作x轴y轴的的垂线，两垂线的交点即为要找的点。

3、已知点求出其坐标的方法：由该点分别向x轴y轴作垂线，垂足在x轴上的坐标是改点的横坐标，垂足在y轴上的坐标是该点的纵坐标。

4、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0；第二象限：（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0；第三象限：（-，-）点P（x,y），则x＜0,y＜0；第四象限：（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0；5、坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。

两坐标轴的点不属于任何象限。

6、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号7、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。

8、点P（x,y）的几何意义：点P（x,y）到x轴的距离为|y|，点P（x,y）到y轴的距离为|x|。

9、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）；将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）；将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）；将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

专题-----平面直角坐标系（1）一、知识点梳理：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。

水平方向的数轴称为x轴或横轴，竖直方向的数轴称为y轴或纵轴，它们统称为坐标轴。

公共原点O称为坐标原点。

在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反之，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示。

这样的有序实数对叫做点的坐标。

两条坐标轴将平面分成的4个区域成为象限，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限。

坐标轴上的点不属于任何象限。

1、任意一点的位置都可以用______________来表示，坐标平面内的点与_________是一一对应的。

2、平面直角坐标系的定义：3、平面直角坐标系中点的坐标的特点：（1）象限内的点：A、象限内的点：（不包括在坐标轴上）B、坐标轴上的点：x轴上点的纵坐标是______，y轴上点的横坐标是______，原点处点的坐标为(___，___)。

4、平面直角坐标系中的点P（a、b）：关于x轴的对称点：___________________________________；关于y轴的对称点：___________________________________；关于原点的对称点：___________________________________；5、平移变换与点的坐标的关系：点(a，b)向右平移m个单位长度，向上平移n个单位长度得到点(_______，_______)；点(a，b)向左平移m个单位长度，向下平移n个单位长度得到点(_______，_______)；将点向上、向右平移，在原来坐标的基础上分别把纵坐标、横坐标加上平移的单位长度；讲点向下、向左平移，在原来坐标的基础上分别把纵坐标、横坐标减去平移的单位长度；6、两点间的距离：PP=当两点所在的直平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离212线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2-x1|或|y2-y1|．二、例题讲解：例1．已知第二象限内的点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点P的坐标是 ( )A．(3，4) B．(－3，4) C．(4，3) D．(－4，3)例2．如果点P(m＋3，2m＋4)在y轴上，那么点P的坐标为 ( )A．(－2，0) B．(0，－2) C．(1，0) D．(0，1)例3．将点P向左平移2个单位,再向上平移1个单位得到P′(-1，3)，则点P的坐标是__________。

§1平面直角坐标系1.坐标系(1)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.(2)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论. 2.平面直角坐标系的作用平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合. 3.平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换.(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 【思维导图】【知能要点】1.回顾坐标系有关概念，体会坐标系的作用.2.了解建立坐标系的方法和原则.3.坐标伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.题型一平面直角坐标系坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起过划时代的作用.坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.【例1】如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得|PM|＝2|PN|，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程.分析本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：|PM|＝2|PN|，即|PM|2＝2|PN|2，结合图形由勾股定理转化为|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12).设P(x，y)，由距离公式写出代数关系式，化简整理可得. 解以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0).由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1).设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0).【反思感悟】本题求点的轨迹，考查建坐标系和数形结合思想，利用勾股定理、两点间距离公式等知识，巧妙探求动点P满足的条件.1.一种作图工具如图①所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图②所示的平面直角坐标系. 试求曲线C 的方程.解 设点D (t ，0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎨⎧（x 0－t ）2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1.即⎩⎨⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0. 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0， 于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y 2.代入x 20＋y 20＝1， 可得x 216＋y 24＝1，即所求的曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.【例2】 如图所示，四边形ABCD 的四个顶点坐标分别为 A (－1，3)，B (－3，－2)，C (4，－2)，D (3，4)，求四边形ABCD 的面积.分析 本例是帮助同学们进一步了解点的坐标.点的坐标还可以表示点到坐标轴的距离(点A (a ，b )到x 轴的距离为|b |，到y 轴的距离为|a |)，从而得出某些我们需要的线段的长度.将四边形ABCD 分割成两个三角形和一个梯形，其中BE 的长度等于B 到y 轴的距离减去A 到y 轴的距离，AE 的长度为A 到x 轴的距离加上B 到x 轴的距离，依此类推可以求出DF ，CF ，EF 的长度，从而求出四边形ABCD 的面积.解 作AE ⊥BC ，DF ⊥BC .垂足分别为E 、F .S △ABE ＝12·BE ·AE ＝2×52＝5；S △CDF ＝CF ·DF 2＝1×62＝3； S 梯形AEFD ＝（AE ＋DF ）·EF 2＝（5＋6）×42＝22， 所以四边形ABCD 的面积为5＋22＋3＝30.【反思感悟】 本例是坐标系在几何图形中的应用，在求面积时要尽量利用图形中的垂直关系，将原图形分割求得面积.2.一直角梯形的上、下底边分别为12和15，两腰分别为33和6，选择适当的坐标系，表示各顶点坐标及较短对角线的长.解 如图所示，以D 为原点，CD 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，33)，B (12，33)，C (15，0)，D (0，0)， |BD |＝319.题型二 坐标伸缩变换平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标的伸缩变换，学习中可结合坐标间的对应关系理解.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，在同一坐标系下对坐标进行伸缩变换，展示了坐标法思想.在伸缩变换下，直线仍然变为直线，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，而椭圆可以变为圆，圆可以变为椭圆.【例3】 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的图形.(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.分析 根据变换公式，分清新旧坐标即可.解 (1)由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，得⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.将其代入5x ＋2y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x ′＋3y ′＝0. 经过伸缩变换后，直线仍然是直线. (2)将⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′代入x 2＋y 2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x ′214＋y ′219＝1.经过伸缩变换后，圆变成了椭圆.【反思感悟】 伸缩变换要分清新旧坐标，直接利用公式即可，变换后的新坐标用x ′，y ′表示.3.伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程.解 设P (x ，y )为曲线C 上任意一点.把⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y 代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1.故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1. 【例4】 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.分析 求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或椭圆.解 设变换为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，可将其代入第二个方程，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.与4x 2＋9y 2＝36比较，将其变为436x 2＋936y 2＝1，即19x 2＋14y 2＝1，比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，μ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，即将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1.【反思感悟】 对于图形的伸缩变换问题，只要搞清新旧坐标，区别x ，y 和x ′，y ′，比较公式中的系数即可.4.在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足图像变化的伸缩变换. 解 x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －422－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为 (x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②两式得x ′－2＝x －42，y ′＝3y .故所求伸缩变换为：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .1.已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程. 解 (代入法)设A (a ，0)，B (0，b )，M (x ，y )， ∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36.①M 分AB －的比为12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋12×01＋12＝23a ，y ＝0＋12b1＋12＝13b .⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .②将②式代入①式，化简为x 216＋y 24＝1.2.已知B 村位于A 村的正西方向1公里处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m .但在A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？解 解决这一问题的关键，在于确定遗址W 与地下管线m 的相对位置，如图所示，以A 为原点，正东方向和正北方向分别为x 轴和y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (－1 000，0).由W 位于A 的西北方向及|AW |＝400，得W (－2002，2002)，由直线m 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m 的方程是x －3y ＋1 000＝0.于是，点W 到直线m 的距离为|－2002－3·2002＋1 000|2＝100(5－2－6)≈113.6>100，所以，埋设地下管线m 的计划可以不修改.3.阐述由曲线y ＝tan x 得到曲线y ＝3tan 2x 的变化过程，并求出坐标伸缩变换. 解 y ＝tan x 的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝tan 2x ，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y ＝3tan 2x . 设y ′＝3tan 2x ′，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.将其代入y ′＝3tan 2x ′得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .[P 2思考交流]1.在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2，3)，5为半径的圆的方程是什么？ 答 (x －2)2＋(y －3)2＝25.2.在平面直角坐标系中，以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的方程是什么？ 答 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2. [P 5思考交流]我国1990年至2000年的国内生产总值如表1－2(单位：亿元)表1—2特点. 答 统计图从表中统计数据可看到，我国的生产总值年年增长，1994～1997年增长较快，1997～2001年放慢了增长速度，2001年之后又以较快的速度增长. [P 6思考交流]1.观察例3(2)中y ＝sin x 的图像与(1)中y ＝2sin 3x 的图像，讨论它们的关系？答 y ＝sin x 的图像和y ＝2sin 3x 的图像可以通过伸缩变换相互得到： y ＝sin x 的图像――————————————→纵坐标不变横坐标缩短为原来的13得y ＝sin 3x 的图像―——————————―→横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍得y ＝2sin 3x 的图像. y ＝2sin 3x 的图像横坐标不变纵坐标缩短为原来的12得y ＝sin 3x 的图像.纵坐标不变横坐标伸长为原来的3倍得y ＝sin x 的图像 2.试将上述讨论引申为坐标轴单位长度任意伸缩的情况.答 设函数y ＝f (x )与函数y ＝μf (ωx )(其中ω＞0，μ＞0)图像之间的关系为：y ＝μf (ωx )的图像.它们的图像可以通过伸缩变换相互得到. 【规律方法总结】1.建立平面直角坐标系，可以利用未知点满足条件的坐标形式，求点的轨迹方程.2.利用平面直角坐标系，可以将平面图形坐标化，进行证明或计算.3.在伸缩变换中，要分清新旧坐标，然后代入公式比较系数即可.4.在伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0）的作用下，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，圆可以变为椭圆，椭圆可以变成圆，我们可以把圆作为椭圆的特例.一、选择题1.▱ABCD 中三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－1，2)、(3，0)、(5，1)，则点D 的坐标是( ) A.(9，－1) B.(－3，1) C.(1，3)D.(2，2)解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D 点坐标.设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧2－0－1－3＝y －1x －5，2－y －1－x ＝0－13－5. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.，故D (1，3). 答案 C2.要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( )A.向左平移π12个单位 B.向右平移π12个单位 C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位解析 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B. 答案 B3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋4y ′2＝1，则曲线C 的方程为( ) A.25x 2＋36y 2＝1 B.9x 2＋100y 2＝1 C.10x ＋24y ＝1D.225x 2＋89y 2＝1解析 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入x ′2＋4y ′2＝1， 得25x 2＋36y 2＝1，为所求曲线C 的方程.答案 A4.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )A.椭圆B.比原来大的圆C.比原来小的圆D.双曲线 解析 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1λx ′，y ＝1μy ′，(λ，μ不为零). ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1μy ′－b 2＝r 2， 1λ2(x ′－λa )2＋1μ2(y ′－μb )2＝r 2， ∴（x ′－λa ）2（λr ）2＋（y ′－μb ）2（μr ）2＝1.此方程不可能是双曲线.答案 D二、填空题5.△ABC 中，B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为__________.解析 ∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4，即有|AB |＋|AC |＝6>4.∴A 点轨迹为椭圆除去长轴两端点，且2a ＝6，2c ＝4.∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1 (y ≠0).答案 x 29＋y 25＝1 (y ≠0)6.在平面直角坐标系中，方程x 2＋y 2＝1所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后的图形所对应的方程是____________.解析 代入公式，比较可得x ′24＋y ′29＝1.答案 x ′24＋y ′29＝17.y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后曲线方程变为________. 解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′， 代入y ＝cos x 中得：13y ′＝cos 12x ′，即：y ′＝3cos 12x ′.答案 y ′＝3cos 12x ′8.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为________h.解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40，0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2. 求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)， 故|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区的时间为1 h. 答案 1三、解答题9.已知▱ABCD ，求证：|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).证明 法一 坐标法 以A 为坐标原点O ，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0，0)，设B (a ，0)，C (b ，c )，则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2，由对称性知D (b －a ，c )，所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2，|AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2，|AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )，|AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ，∴|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).法二 向量法 在▱ABCD 中，AC→＝AB →＋AD →， 两边平方得AC →2＝|AC →|2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD→， 同理得BD →2＝|BD →|2＝BA →2＋BC →2＋2BA →·BC→， 以上两式相加，得|AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)＋2BC →·(AB→＋BA →) ＝2(|AB→|2＋|AD →|2)， 即|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).10.通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换的合成变换.解 先通过平移变换⎩⎨⎧x ′＝x －1，y ′＝x ＋2把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为椭圆x ′29＋y ′24＝1.再通过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝x ′3，y ″＝y ′2把椭圆x ′29＋y ′24＝1变为单位圆x ″2＋y ″2＝1.由上述两种变换合成的变换是⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝13（x －1），y ″＝12（y ＋2）.习题1－1 (第7页)A 组1.由两点式写直线的方程为35x ＋36y －41＝0.2.直线x 6＋y 4＝－2与x 轴、y 轴的交点坐标以及直线的斜率分别为(－12，0)、(0，－8)、－23.3.解 △ABC 是以∠A 为直角的直角三角形，且AB 平行于x 轴，AC 平行于y 轴. ∴∠A 的平分线的斜率为1，所在直线方程为x －y ＋1＝0.BC 所在直线的方程为4x ＋3y －29＝0，解⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，4x ＋3y －29＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝267，y ＝337.∠A 的平分线的长为1227.4.解 法一 由两点式写出直线AB 的方程为3x ＋y －6＝0.将点C (4，－6)代入方程3×4＋(－6)－6＝0，点C 在直线AB 上，∴A 、B 、C 在同一条直线上.法二 ∵k AB ＝－3，k BC ＝－3∴A 、B 、C 三点在同一条直线上.5.解 与x 轴交点 令y ＝0，2x －10＝0，x ＝5，与y 轴交 点令x ＝0，－5y －10＝0，y ＝－2，S △＝12×5×2＝5.6.证明 如图：矩形OABC .设OA ＝a ，OC ＝b ，以O 为原点建立如图所示的直角坐标系.则O 、A 、B 、C 的坐标分别为(0，0)，(a ，0)，(a ，b )，(0，b )|OB |＝a 2＋b 2， |AC |＝b 2＋（－a ）2＝a 2＋b 2，∴|OB |＝|AC |.结论得证.7.解 (1)设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2代入C 、D 两点得⎩⎨⎧（－1－a ）2＋1＝r 2，（1－a ）2＋9＝r 2，解得a ＝2，r ＝10，∴方程为(x －2)2＋y 2＝10(2)设圆心为(0，b )m则5＝|b －6|，b ＝1或11，∴方程为x 2＋(y －1)2＝25或x 2＋(y －11)2＝25.(3)设方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵过A 、B 两点，圆心在2x －y ＝3上，∴⎩⎨⎧（5－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1，r ＝10.∴方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.(4)设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意可得⎩⎨⎧（3－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，b ＝2a ，r ＝|2a －b ＋5|1＋4，解得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝85，r ＝5， ∴圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝5， 图略.8.解 以底边中点为原点，底边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设△ABC ，底边BC ＝8，高为AD ＝5，则B (－4，0)，C (4，0)，D (0，0)，A (0，5)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2则⎩⎨⎧（－4－a ）2＋b 2＝r 2，（4－a ）2＋b 2＝r 2，a 2＋（5－b ）2＝r 2，得a ＝0，b ＝910，r 2＝412100，∴圆方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9102＝1 681100. 9.解 |A 1F 1|＋|A 2F 1|＝2＋14＝16＝2a ，a ＝8，F 1(－6，0)，F 2(6，0)，c ＝6，∴b 2＝28.∴椭圆标准方程为x 264＋y 228＝1.10.解 (1)由题意知a 2＝8，b 2＝5，椭圆方程为x 28＋y 25＝1.(2)由题意知a ＝3b当焦点在x 轴上时a ＝3，b ＝1，椭圆方程：x 29＋y 21＝1；当焦点在y 轴上时b ＝3，a ＝9，椭圆方程：x 29＋y 281＝1.(3)由题意知c ＝23，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，P (5，－6)在椭圆上.∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋6b 2＝1，a 2－b 2＝12，解得a 2＝20，b 2＝8， ∴椭圆方程为x 220＋y 28＝1.11.略B 组1.证明 ∵圆直径的端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 半径为（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）22∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎪⎫y －y 1＋y 222 ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24， x 2－x (x 1＋x 2)＋（x 1＋x 2）24＋y 2－y (y 1＋y 2)＋（y 1＋y 2）42＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24， x 2－x (x 1＋x 2)＋（x 1＋x 2）24－（x 1－x 2）24＋y 2－y (y 1＋y 2)＋（y 1＋y 2）24－（y 1－y 2）24＝0， x 2－x (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 2－y (y 1＋y 2)＋y 1y 2＝0，(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0，∴圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.2.解 由⎩⎨⎧（x －3）2＋（y －5）2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋（y －5）2＝1得x －54＝0，∴直线方程为x －54＝0.3.解 以地球球心与距地最近点所在直线为x 轴，以最近点与最远点的中点为原点建立平面直角坐标系.则2a ＝6 636＋8 196＝14 832，a ＝7 416，a 2＝54 997 056，c ＝8 196－7 416＝780，∴b 2＝54 388 656.∴椭圆方程为x 254 997 056＋y 254 388 656＝1.。