向量组的秩
向量组秩的定义
向量组秩的求法及相关结论
向量组秩的定义
满足
12,,,αααr 定义：设有向量组，A 记作.
A R =r 在中选取个向量
A r (1) 向量组无关;
012:,,,αααr A (2) 向量组中任意个向量(若存在)都线性相关，A 1r +则称向量组是向量组的一个最大线性无关向量0A A 组，简称最大无关组.最大无关组所含向量个数称r 为向量组的秩，A
1230ααα，
+-=例：向量组123123:303112,,ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
A 注：全部由零向量组成的向量组没有最大无关组，
规定这样的向量组的秩为零.
2A R =该向量组的秩为.为最大无关组，12,αα13,αα，23
,αα
注：1. 一个向量组的最大无关组是向量组中所
含向量个数最多的线性无关的子组之一.
2.一个向量组的最大无关组不一定是惟一的．
3.一个向量组与它的最大无关组是等价的．
证：线性相关，
12,,,,r αααα
向量组是向量组的部分组，
0A A 故组可由0A 组线性表示.A 对中任一向量，αA 从而组可由组线性表示.
0A A 从而可由线性表示，α12,,,r ααα
部分组，且满足
推论：（最大无关组的等价定义）线性表示，
设向量组是向量组的一个012:,,
,r A αααA (1) 向量组线性无关；
012:,,,r A ααα(2) 向量组的任一向量都能由向量组A 0A 则向量组是向量组的一个最大无关组.
A 0A
证：于是有设是中任意个向量，
121,,,,r r ββββ+1r +A 它们都能由组线性表示，
0A ()()12112,,,,,,,,r r r R R r ββββααα+≤=所以中任意个向量线性相关.A 1r +
的一个最大无关组及秩. 例：求维向量的全体构成的向量组n 1212,,,n n n a a a a a a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪==∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭α
解121000100,0,,0001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e e 线性无关，.n R n =维单位坐标向量n 12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αn ∀∈，α1122,n n a a a =+++e e e
123412412
3422023 0
570
x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪
+-=⎨⎪--+=⎩例：设齐次线性方程组12123434231001x x c c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的通解是，
试求全体解向量构成的向量组的秩．
S
解
2R .
S =1122
c c ξξx =+{}112212c c c c ξξ,S x ==+∈
，
线性无关,12ξξ
,1212
3434231001x x c c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
通解是
向量组秩的求法及相关结论
111213143421
22232431
3233
34a a a a a a a a a a a a ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ()
1234,,,αααα=T
1T 2T 3
βββ⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
回顾，
的列向量组，A 1234,,,αααα的行向量组.
T T T 123,,βββA
定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于
证它的行向量组的秩.
设，，()R r A =12(,,)m ααα=A 阶子式.
r 0r D ≠所在的列构成的矩阵的秩为,r D r r n r ⨯r 此列线性
无关；又因为中所有阶子式均为零，A +1r A 所以中先证明：矩阵的秩等于它的列向量组的秩.任意个列向量构成的矩阵的秩小于，
+1r (1)n r ⨯+r
+1r 故此列线性相关.所在的列构成的列向
r D r A 量组的一个最大无关组，所以列向量组的秩为.
r 也等于它的行向量组的秩.
的秩等于的列向量组的秩，T
A T
A 的列向量组就是的行向量组，T
A A 而，
()()T
R R =A
A 所以矩阵的秩
例：求向量组的一个最大无关组, 并用最大123451241611314,,,,0002210203ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解无关组表示其它向量.设，
12345(,,,,)ααααα=A 并将矩阵化为行最简形.
A
10
20301
102~
00
01100
00r ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
-
⎪⎝⎭
1241611314000221
02
03⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪- ⎪⎝⎭A ()12345βββββ,,,,,B =()3R .A ==B
故由
所以线性无关，
124,,ααα()()124124,,,,r
αααβββ可知，
()124,,3R ααα=从而是列向量组的一个最大无关组.
