指数函数与相关复合函数

高中数学备课教案指数与对数函数的复合函数与方程高中数学备课教案指数与对数函数的复合函数与方程一、复合函数的概念及性质在数学中，复合函数是将一个函数的输出作为另一个函数的输入的过程。

指数函数和对数函数是数学中的重要函数，它们可以进行函数的复合运算。

下面我们来探讨指数函数与对数函数的复合函数及相关的性质。

1. 复合函数的定义设函数f(x)和g(x)分别是定义在实数集上的两个函数，那么当g(x)的定义域包含f(x)的值域时，可以定义函数h(x) = (g∘f)(x)。

其中g∘f表示复合函数，读作g合成f。

2. 复合函数的性质（1）结合律：对于函数f(x)、g(x)和h(x)，有(h∘g)∘f = h∘(g∘f)。

（2）单位元：对于任何函数f(x)，有f(x)∘i(x) = i(x)∘f(x) = f(x)，其中i(x)为恒等函数。

（3）逆元：对于任何函数f(x)，它的逆函数是一个有限或无限集合，即(f∘f^(-1))(x) = (f^(-1)∘f)(x) = x。

二、指数函数与对数函数的复合函数1. 指数函数与对数函数的定义指数函数通常表示为f(x) = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。

对数函数通常表示为g(x) = logₐ(x)，其中a为常数且大于0且不等于1。

2. 指数函数与对数函数的复合函数（1）指数函数与对数函数的复合设f(x) = a^x，g(x) = logₐ(x)，那么复合函数可以表示为h(x) =logₐ(a^x) = x。

（2）对数函数与指数函数的复合设f(x) = a^x，g(x) = logₐ(x)，那么复合函数可以表示为h(x) =a^(logₐ(x)) = x。

三、指数函数与对数函数的复合函数的图像分析1. 复合函数的图像变换通过分析复合函数的图像变换，我们可以更好地了解指数函数与对数函数的复合函数。

对于h(x) = (g∘f)(x)，由于对数函数和指数函数在图像上是互为镜像，所以复合函数的图像与指数函数和对数函数的图像呈镜像关系。

平陆中学高三年级理科数学学案《指数与指数函数》学习目标1. 能够准确熟练进行知识点梳理；2. 能够熟练进行指数运算，保证每一步骤的正确性；3. 会画指数函数及指数型函数的图象，并且会根据图象熟练总结指数函数的性质，进而可以运用性质解决几类问题；4. 能够分析与指数函数相关的复合函数的性质，达到解决问题的目的。

学习重点理解指数函数的图象和性质学习难点掌握指数函数的应用以及求解相关复合函数的性质的方法 学习过程一．知识梳理1．根式 (1)根式的概念①若 ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数． ②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒ x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn＝ (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a －m n ＝ ＝ (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ③0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ．(2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝ (a >0，r ，s ∈Q )． ②(a r )s ＝ (a >0，r ，s ∈Q )． ③(ab )r ＝ (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象及性质判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4（π－4）4＝π－4.( )(2)n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( ) (3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (4)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( )(5)若a m >a n ，则m >n .( )(教材习题改编)有下列四个式子： ① 3（－8）3＝－8；②（－10）2＝－10； ③4（3－π）4＝3－π；④2 018（a －b ）2 018＝a －b .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2018·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A ．y ＝1－x B ．y ＝|x －2| C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x )函数f (x )＝1－e x 的值域为________．(教材习题改编)若指数函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．三．典例分析例题一. 化简下列各式：(1)0.027－13－⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0； (2)⎝⎛⎭⎫56a 13b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)12·ab .【方法总结】例题二. 若方程|3x －1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________．【方法总结】1.指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．2. 指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)比较指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质． 例题三.(1) 比较指数幂的大小已知a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝2－43，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则下列关系式中正确的是( ) A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c(2) 解简单的指数方程或不等式设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(3)研究指数型函数的性质函数y ＝(12)x 2＋2x －1的值域是( )A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0，4]D ．[4，＋∞) 【方法总结】四．巩固练习1. 化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝⎛⎭⎫27125－13－⎝⎛⎭⎫2790.5； (2)⎝⎛⎭⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.2. (1) 函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2) 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．3．已知函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间[－2，2]上单调递减，则m 的取值范围为________．五．课堂小结六．作业㈠.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． ㈡基础达标1．化简4a 23·b －13÷⎝⎛⎭⎫－23a －13b 23的结果为( )A ．－2a 3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab2．(2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数3．(2018·湖北四市联考)已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )4．若2x 2＋1≤⎝⎛⎭⎫14x －2，则函数y ＝2x 的值域是( )A ．[18，2)B ．[18，2]C ．(－∞，18]D ．[2，＋∞)5．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]6．化简：⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5＝________． 7．(2018·陕西西安模拟)若函数f (x )＝a x －2－2a (a >0，a ≠1)的图象恒过定点⎝⎛⎭⎫x 0，13，则函数f (x )在[0，3]上的最小值等于________．8．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________． 9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．10．已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )． (1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件．1．(2018·河南濮阳检测)若“m >a ”是函数“f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．12．(2017·高考全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) 3．若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x<1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．5．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 6．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．。

与指数函数有关的复合函数问题高三复合函数是数学中一个重要的概念，它可以用来描述多个函数之间的关系。

指数函数是一类特殊的函数，具有形如y=a^x的表达式，其中a是正实数且不等于1。

本文将探讨与指数函数有关的复合函数问题。

一、复合函数的概念复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而定义一个新的函数。

通常用符号f(g(x))表示，表示先对输入x应用函数g，再将结果作为f的输入。

例如，考虑两个函数f(x)=2x和g(x)=x^2，将g的输出作为f的输入可以表示为f(g(x))=2(g(x))=2(x^2)=2x^2。

这个新的函数可以理解为先将x平方再乘以2。

二、指数函数的复合函数问题在处理与指数函数有关的复合函数问题时，我们可以将指数函数作为内层函数或外层函数。

1.内层函数是指数函数考虑一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个指数函数。

例如，g(x)=2^x。

我们希望先计算g(x)，然后将结果作为f的输入。

例如，假设f(x)=x^2，我们可以计算f(g(x))=f(2^x)=(2^x)^2=2^(2x)。

这个复合函数的定义域是所有实数。

2.外层函数是指数函数考虑一个复合函数f(g(x))，其中f(x)是一个指数函数。

例如，f(x)=3^x。

我们希望先计算外层函数f(x)，然后将结果作为g的输入。

例如，假设g(x)=x+1，我们可以计算f(g(x))=3^(x+1)。

这个复合函数的定义域是所有实数。

三、解题方法解决与指数函数有关的复合函数问题时，可以考虑以下几种方法：1.直接计算法根据复合函数的定义和指数函数的性质，直接对复合函数进行计算。

将内外层函数分别展开，然后根据指数函数的乘法、除法和幂运算等性质进行简化。

2.参数化法通过引入参数，将复合函数转化为一个等价的简化形式。

例如，对于复合函数f(g(x))=3^(x+1)，令u=x+1，则可以将它表示为f(u)=3^u。

这样，原来的问题就转化为了计算函数f(u)。

3．3 指数函数的图像和性质 第1课时 指数函数的图像与性质●三维目标1．知识与技能理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用． 2．过程与方法培养学生数形结合的意识，提高学生观察、分析、归纳的思维能力． 3．情感、态度与价值观通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问、善于探索的思维品质．●重点难点重点：指数函数的概念、图像和性质及其应用． 难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用．教学时，要让学生体会其中隐含的函数关系，引导学生通过y ＝2x 和y ＝(12)x 两个函数，感受到这两个函数中的指数幂具有的共性：可以写为y ＝a x 的形式．在学习指数函数的性质时，建议尽可能地引导学生通过观察图像，自己归纳概括出指数函数的性质．为了使学生能够主动研究指数函数的图像和性质，教师可以充分利用信息技术提供互动环境，先引导学生随意地取a 的值，并在同一个平面直角坐标系内画出它们的图像，然后再通过底数a 的连续动态变化展示函数图像的分布情况，这样就会使学生比较容易地概括出指数函数的性质．●教学建议为充分贯彻新课程理念，使教学过程真正成为学生学习过程，让学生体验数学发现和创造的历程，本节课拟采用直观教学法、启发发现法、课堂讨论法等教学方法．以多媒体演示为载体，启发学生观察思考，分析讨论为主，教师适当引导点拨，让学生始终处在教学活动的中心．●教学流程从指数概念的扩充过程引出指数函数的概念，并完成例1及变式训练⇒通过描点法做出函数y＝2x和y＝(12)x的图像，观察两个函数图像的特征⇒通过例2及其变式训练，加深对指数函数的认识⇒通过多媒体课件展示当底数a取不同的值时函数图像，让学生直观感知底数对图像的影响⇒通过例3及其变式训练，让学生初步掌握函数的图像和性质⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第40页)课标解读1.理解指数函数的概念．2．通过具体指数函数的图像，体会指数函数图像与底数a的关系．(重点易混点)3．掌握指数函数的图像与性质及其简单应用．(难点) 【问题导思】已知函数y＝2x，y＝(13)x.1．上面两个关系式是函数式吗？【提示】是．2．这两个函数形式上有什么共同点？【提示】底数为常数，指数为自变量．函数y＝a x叫作指数函数，自变量x在指数位置上，底数a是一个大于0且不等1的常量．【问题导思】1．试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝(12)x(x∈R)的图像【提示】2．两函数图像有无交点？【提示】有交点，其坐标为(0,1)．3．两函数图像与x轴有交点吗？【提示】没有交点，图像在x轴上方．4．两函数的定义域是什么，值域是什么？【提示】定义域是R，值域是(0，＋∞)．5．两函数的单调性如何？【提示】y＝2x是增函数，y＝(12)x是减函数．a>10<a<1 图象性质定义域：R值域：(0，＋∞)过点(0,1)，即x＝0时，y＝1x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1是R上的增函数是R上的减函数(见学生用书第40页)指出下列函数哪些是指数函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝(－4)x ；(5)y ＝πx ；(6)y ＝4x 2；(7)y ＝x x ；(8)y ＝(2a －1)x (a >12，且a ≠1)．【思路探究】 紧扣指数函数的定义，能否转化为y ＝a x (a >0且a ≠1)的形式．【自主解答】 (1)(5)(8)为指数函数，(2)是幂函数；(3)是－1与指数函数y ＝4x 的乘积；(4)中底数－4<0，所以它不是指数函数，(6)中指数不是x ，(7)中底数x 不是常数．一般地，函数y ＝a x 叫作指数函数，其中a 是一个大于零且不等于1的常数，x 是自变量，正确完成例1需要准确理解指数函数的定义．严格对比指数函数的定义是解决好本题的关键．已知指数函数f (x )＝(a 2－8)a x 的图像过点(－1，13)．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求f (－13)的值．【解】 (1)∵f (x )＝(a 2－8)a x 为指数函数， ∴a 2－8＝1.①又∵图像过点(－1，13)，∴f (－1)＝13.②联立①②得a ＝3， ∴f (x )＝3x .(2)f (－13)＝3－13＝133＝393.设f (x )＝3x ，g (x )＝(13)x .(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图像；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？ 【思路探究】 建系→列表→描点→连线【自主解答】 (1)函数f (x )与g (x )的图像如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝(13)－1＝3；f (π)＝3π，g (－π)＝(13)－π＝3π；f (m )＝3m ，g (－m )＝(13)－m ＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图像关于y 轴对称．1．指数函数的图像根据底数不同分为两类：(1)当0<a <1时，指数函数y ＝a x 是定义域R 上的减函数； (2)当a >1时，指数函数y ＝a x 是定义域R 上的增函数．2．不论底数取何值，指数函数的图像恒过点(0,1)．即要求指数型函数过定点，只需让指数位置等于0即可．(1)指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图像如图3－3－1所示，则( )图3－3－1A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <1 (2)函数y ＝15x 的图像是( )【解析】 (1)结合图像易知0<a <1，b >1.(2)因为指数函数y ＝15x 的底数15>1，所以函数y ＝15x 是R 上的增函数，排除A 、C ；又因为当x ＝0时，y ＝1，即图像过点(0,1)，故选B.【答案】 (1)C (2)B比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5,1.73； (2)2.3－0.28,0.67－3.1.【思路探究】 (1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)利用中间量1比较大小． 【自主解答】 (1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7， 故构造函数y ＝1.7x ，则函数y ＝1.7x 在R 上是增函数． 又2.5<3，所以1.72.5<1.73.(2)(中间量法)由指数函数的性质，知 2．3－0.28<2.30＝1,0.67－3.1>0.670＝1，所以2.3－0.28<0.67－3.1.比较指数式大小的方法1．单调性法：比较同底数幂的大小，可构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．2．中间量法：比较不同底且不同指数幂的大小，常借助于中间值1进行比较．利用口诀“同大异小”，判断指数幂和1的大小．(1)下列不等关系中，正确的是( ) A ．(12)23<1<(12)13 B ．(12)13<(12)23<1C ．1<(12)13<(12)23D ．(12)23<(12)13<1(2)(2013·长沙高一检测)设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 3>y 2D ．y 1>y 2>y 3【解析】 (1)∵函数y ＝(12)x 在R 上是减函数，而0<13<23，∴(12)23<(12)13<(12)0，即(12)23<(12)13<1. (2)从形式上看，三个幂式的底数和指数各不相同，但根据指数的运算性质可得，y 1＝40.9＝(22)0.9＝21.8，y 2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝(2－1)－1.5＝21.5.因为指数函数y ＝2x (x ∈R)是增函数，所以21.8>21.5>21.44，即y 1>y 3>y 2. 【答案】 (1)D (2)C第2课时 指数函数的图像与性质的应用●三维目标1．知识与技能(1)掌握和指数函数有关的简单图像变换．(2)能根据指数函数的性质解决有关函数单调性、奇偶性的讨论问题． (3)注意指数函数的底数的讨论． 2．过程与方法(1)通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生成为一个会与别人共同学习的人．(2)通过探索、比较复杂函数与简单初等函数的关系，培养学生利用化归思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过讨论比较复杂的函数的单调性、奇偶性，使学生感知知识之间的有机联系，感受数学的整体性，感受并体会数学中的化归思想的巨大作用及其在生活中对处理生活琐事的指导作用，激发学生的学习兴趣．(2)在教学过程中，通过学生的相互交流，增强学生数学交流能力，合作学习的能力，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质．●重点难点重点：讨论含有指数式的比较复杂的函数的单调性和奇偶性．难点：将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题． 讨论含有指数式的比较复杂的函数的单调性和奇偶性是本课的教学重点．将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题以及在解决具体实际问题中目标函数模型的确立、目标函数的定义域的确立是本课的教学难点．●教学建议判断复合函数的单调性时常按照定义进行，并且首先要判断定义域是否关于原点对称．有时也可将所给函数转化为两个或多个基本初等函数的复合函数，进而通过讨论每个基本初等函数的单调性确定所求复合函数的单调性．判断复合函数的奇偶性时，往往要进行通分，这样可以得到比较对称的形式，同时在证明函数的单调性或求函数的值域时往往要进行常数分离．另外，结合图形往往使得解题更加的简单，特别是在分析题目时，图形有助于我们的思考，找到解题思路．解决具体实际问题时，为了更快、更准确地确定目标函数模型，可以先由特殊的情况开始，多列举几种情形，分析、观察、寻找其中的规律，确立目标函数模型，同时也应根据具体问题的实际意义确定函数的定义域．●教学流程复习指数函数的图像与性质和复合函数的相关知识⇒通过指数函数的图像，利用图像的变换得到和指数函数相关的函数图像⇒完成例1及其变式训练，掌握函数的三种常见变换⇒师生合作交流，得出和指数函数相关的复合函数的单调性问题⇒通过例2及其变式训练，使学生加深对复合函数单调性的认识⇒合作探究和指数函数相关的函数奇偶性问题，完成例3及其变式训练，深化对知识的理解⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第42页)课标解读1.理解并掌握指数函数的图像和性质．(重点)2．掌握函数图像的简单变换．(易混点)3．能运用指数函数的有关性质去研究指数型函数的性质．(难点)【问题导思】若已知函数f(x)＝2x的图像．1．如何得到f(x)＝2x－1的图像？【提示】向右平移1个单位．2．如何得到f(x)＝2x－2的图像？【提示】向下平移2个单位．3．如何得到f (x )＝(12)x 的图像？【提示】 作f (x )＝2x 关于y 轴的对称图像． 4．如何得到f (x )＝－2x 的图像？【提示】 将f (x )＝2x 的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴下方． 1．平移变换(1)左右平移：y ＝f (x )――→a >0，左移a 个单位a <0，右移|a |个单位y ＝f (x ＋a ) 特征：左加右减：(2)上下平移：y ＝f (x )――→k >0，上移k 个单位k <0，下移|k |个单位y ＝f (x )＋k 特征：上加下减． 2．对称变换(1)y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； (2)y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； (3)y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． 3．翻折变换(1)y ＝f (x )――→y 轴左侧部分去掉，保留y 轴右侧部分，把y 轴右侧部分以y 轴为对称轴翻折到y 轴左侧 y ＝f (|x |)．(2)y ＝f (x )――→x 轴下侧部分去掉，保留x 轴上侧部分，把x 轴下侧部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上侧 y ＝|f (x )|.(见学生用书第43页)函数图像的作法利用函数f (x )＝(12)x 的图像，作出下列函数的图像：(1)f (x ＋1)；(2)－f (x )；(3)f (－x )．【思路探究】 作出y ＝(12)x的图像→明确f (x )与f (x ＋1)， －f (x )，f (－x )图像间 的关系――→平移变换对称变换分别得出图像【自主解答】 作出f (x )＝(12)x 的图像，如图所示：(1)f (x ＋1)的图像：需将f (x )的图像向左平移1个单位得f (x ＋1)的图像，如图(1)． (2)－f (x )的图像：作f (x )的图像关于x 轴对称的图像得－f (x )的图像，如图(2)． (3)f (－x )的图像：作f (x )的图像关于y 轴对称的图像得f (－x )的图像，如图(3)．1．利用已知的函数图像作图，主要运用图像的平移、对称等变换，平移变换需分清楚向何方向移，要移多少个单位，如(1)；对称变换需分清对称轴是什么，如(2)(3)．2．利用变换作图，一般步骤是： 选基函数→写出变换过程→画图像函数y ＝2|x |的图像是( )【解析】 法一 由于y ＝2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x ≥0，12x x <0，所以A 正确． 法二 y ＝2|x |――→偶函数对称变换――→保留y 轴右侧部分，并对y 轴右侧部分翻折到左边y ＝2|x |，知选A. 【答案】 A与指数函数有关的复合函数(1)y ＝3x 2－2x ＋7；(2)y ＝4x －2·2x ＋5.【思路探究】 将复合函数写成y ＝f (u )，u ＝φ(x )的形式，然后利用复合函数的单调性求解．【自主解答】 (1)函数的定义域为R ，对u ＝x 2－2x ＋7＝(x －1)2＋6，当x ≥1时，u 为增函数，x ≤1时，u 为减函数，又3>1，∴函数y ＝3x 2－2x ＋7的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．(2)令2x ＝t ，则t 是x 的增函数，y ＝t 2－2t ＋5＝(t －1)2＋4，当t ≥1，即2x ≥1，即x ≥0时，y 是t 的增函数；当t ≤1，即2x ≤1，即x ≤0时，y 是t 的减函数；又函数的定义域为R ，∴函数y ＝4x －2·2x ＋5的单调增区间是[0，＋∞)，减区间是(－∞，0]．1．求函数的单调区间，首先求函数的定义域，对复合函数的单调性，应注意y ＝f (u )与u ＝g (x )单调性的一致性和相反性． 2．在复合函数中，一般情况下，如果两个函数都是增函数或都是减函数，则复合函数是增函数；如果两个函数一增一减，则复合函数为减函数，简称“同增异减”．(1)函数y ＝(12)x 2－3x ＋2的单调增区间是________． (2)y ＝(2－1)－x 2＋2x ＋3的单调增区间是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(1,3)D ．(－1,1)【解析】 令u ＝x 2－3x ＋2＝(x －32)2－14，令y ＝(12)u 在定义域内是减函数，而求y ＝(12)x 2－3x ＋2的增区间，只需求u 的减区间，∴x ∈(－∞，32]． (2)函数y 的定义域为R ，u ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；x ≥1时，u 是减函数，又0<2－1<1，∴y 的增区间为(1，＋∞)．【答案】 (1)(－∞，32] (2)A指数函数的综合问题已知函数f (x )＝2x ＋2ax ＋b ，且f (1)＝52，f (2)＝174. (1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)判断并证明函数f (x )在[0，＋∞)上的单调性，并求f (x )的值域．【思路探究】 (1)将两个已知条件代入解析式即可求a ，b ；(2)求出函数的定义域，再依据奇偶性的判断方法求解；(3)依据单调性的证明步骤给出过程，再依据单调性求值域．【自主解答】 (1)∵⎩⎨⎧ f1＝52，f2＝174，∴根据题意得⎩⎨⎧ f 1＝2＋2a ＋b ＝52，f 2＝22＋22a ＋b ＝174，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. 故a ，b 的值分别为－1,0.(2)由(1)知f (x )＝2x ＋2－x ，f (x )的定义域为R ，关于原点对称．因为f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)设任意x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1＋2－x 1)－(2x 2＋2－x 2)＝(2x 1－2x 2)＋(12x 1－12x 2)＝(2x 1－2x 2)·2x 1＋x 2－12x 1＋x 2. 因为x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，所以2x 1－2x 2<0,2x 1＋x 2>1，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数．当x ＝0时，函数取得最小值，为f (0)＝1＋1＝2，所以f (x )的值域为[2，＋∞)．1．指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义． 2．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．设a 为实数，f (x )＝a －22x＋1(x ∈R)． (1)证明f (x )在R 上为增函数；(2)试确定a 的值，使f (x )为奇函数．【解】 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(a －22x 1＋1)－(a －22x 2＋1) ＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1. 由于指数函数y ＝2x 在R 上为增函数，且x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，即2x 1－2x 2<0.又由2x >0，得2x 1＋1>0,2x 2＋1>0.所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在R 上为增函数．(2)若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即a －22－x＋1＝－(a －22x ＋1)． 变形得2a ＝22－x ＋1＋22x ＋1＝2·2x2－x ＋1·2x ＋22x ＋1＝22x ＋12x ＋1＝2. 解得a ＝1.所以当a ＝1时，f (x )为奇函数.。

二次函数与指数函数的复合问题一、复合函数的概念与意义复合函数是函数中的一种特殊形式，它由两个或多个函数的组合而成。

在数学中，我们常常遇到二次函数和指数函数的复合问题，这不仅在高中数学中有所涉及，也在实际生活中有广泛的应用。

本文将从基本概念、性质、求解方法等方面进行探讨，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

二、二次函数与指数函数的基本概念二次函数是指函数表达式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数且a不等于零。

指数函数则是以底数为常数的指数幂的函数形式，例如f(x) = a^x，其中a为常数，且a不等于零和一。

这两种函数在数学中都有重要的地位和应用。

三、二次函数与指数函数的复合当二次函数和指数函数进行复合时，我们需要先将x代入二次函数中，得到一个新的函数，再将这个函数作为指数函数的底数或指数，从而得到复合函数。

具体而言，可以将二次函数的输出值作为指数函数的底数，得到f(g(x)) = a^(ax^2 + bx + c)，或者将指数函数的值作为二次函数的自变量，得到g(f(x)) = ax^2 + bx + c^x。

四、二次函数与指数函数的复合性质1. 复合函数的定义域：当二次函数和指数函数进行复合时，首先要注意定义域的限制。

由于指数函数定义域是实数集，而二次函数的定义域可以是全体实数，所以在实际应用中需要根据情况确定复合函数的定义域。

2. 复合函数的值域：复合函数的值域也需要根据具体的函数形式来确定。

对于f(g(x)) = a^(ax^2 + bx + c)来说，其值域由指数函数的性质来决定；而对于g(f(x)) = ax^2 + bx + c^x来说，则需要根据二次函数和指数函数的性质来判断。

3. 复合函数的图像：复合函数的图像往往与原函数的图像有所差异。

在绘制复合函数的图像时，可以先绘制二次函数的图像，再在该图像的基础上进行变换，得到复合函数的图像。

五、求解要求解二次函数与指数函数的复合问题，一般可以采用以下方法：1. 数值法：通过利用数值计算方法，先给出自变量的取值范围，然后逐个计算对应的函数值，以获得函数的解。

2高三数学复合函数的导数、对数与指数函数的导数人教版【本讲教育信息】 教学内容： 复合函数的导数、对数与指数函数的导数 1. y u2. 本周教学重、难点： 复合函数的求导法则 设u (X )在点x 处有导数u x (x)， y f (u)，则f( (x))在点x 处也有导数，且y x 对数函数的导数 1 f (u)在点x 的对应点u 处有导数 u x 或 f x ( (x)) f (u)(x)y u 3. (1) (lnx) x指数函数的导数 (1) (e x ) e x(2) (log a x) -log a e x (a x ) In a 【典型例题】 ［例1］求下列函数的导数 (1)(4) (x 2 2x)3 1(sin x 2)3 (2) (5) (6) x 3log 3 x(7)e 54x 2 (3) y 3 ax 2 bx c解: (1) (2) 3uue (3)u23u3(x 25 4x 2e (4)y u u v V x(5)(6) (7)ln(x .1cos5x sin2xx 2)22x) (2x 2)6(x8x1(2(ax31 u 3x .1 x 2(x 13x 2 log 31)(x 2 2x)22bx c) 3 (2ax b)23cosv (2x)訥X2)2cosx 2x2x cosx 223(si nx 2)31 x 2)12、1 ^W 1_1_ ■- 1 x 2—(1 2xx 2)]启) ^log 3e x (cos5x) sin 2x cos5x(sin 2x)(1 x 3 2呱儆3) (cos5x )sin 2x5sin5x sin 2x 2cos5x cos2x2(sin 2x)(sin 2x)［例4］曲线y e 2x cos3x 在(o , 1)处的切线与I 的距离为一 5,求I 的方程。

解：y (e 2x ) cos3xe 2x (cos3x)2e 2x cos3x 3( sin 3x)e 2x2e 2x cos3x 3e 2x sin3x•曲线在(0, 1)处的切线的斜率 k y l x 0 2 •切线方程为y 1 2x、 、Im 1| 厂设I 的方程为y 2 x m • d — v 5 • m 4或6当m 4时，I 为：y 2x 4 当m 6时，I 为：y 2x 6其速度为4m 3/min ，设锥形容器的高为8m ，顶口直径为6m ,3hm ，由相似三角形对应边成比例可得水面直径为 hm ，41 32这时水的体积为V -(3h)2 h 3 8由于水面高度h 随时间t 而变化，因而h 是t 的函数h h(t)由此可得水的体积关于时间 t 的导数为V t V h h t(3h 3) h t 9h 2h t6464由假设，注水速度为 4m 3/min92 4 64［例2］若 f (x)x In( x 5)，g(x)In (x1 1解 :f (x)1 g (x)x 5x 1f (x)g(x )111x 5 x 1x 5或 x 1•'两函数定义域为1)解不等式f (x) g (x) . (x 3)2"(x 5)(x 1)x 5 0••• x 5x 1 0解集为(5,)［例3］设曲线y 求切线I 的方程。

幂函数与指数函数的复合与反函数幂函数与指数函数是高中数学中常见的函数类型，它们在数学和实际问题中都具有重要的应用价值。

本文将探讨幂函数与指数函数的复合与反函数，以便更好地理解它们的性质和相互关系。

一、幂函数与指数函数的定义与性质幂函数的定义为：f(x) = x^a，其中a为实数，x为定义域内的任意实数。

指数函数的定义为：g(x) = a^x，其中a>0且a≠1。

幂函数与指数函数都具有以下性质：1. 定义域：幂函数的定义域为实数集R，指数函数的定义域为实数集R。

2. 值域：幂函数的值域取决于参数a的正负性，当a>0时，值域为(0, +∞)，当a<0时，值域为(-∞, 0)，且a为偶数时，值域为[0, +∞)；指数函数的值域为(0, +∞)。

3. 奇偶性：幂函数的奇偶性取决于指数a的奇偶性，当a为偶数时，幂函数为偶函数，当a为奇数时，幂函数为奇函数；指数函数为奇函数。

4. 单调性：幂函数和指数函数在其定义域上具有严格的单调性，幂函数取决于指数a的正负性，指数函数始终单调递增。

5. 对称轴：当a为奇数时，幂函数的对称轴为y轴，幂函数的图像关于y轴对称；指数函数没有对称轴。

6. 渐近线：幂函数和指数函数都没有水平渐近线，当a>1时，幂函数有一条斜渐近线y = 0，斜率为0；当a<1时，幂函数有一条斜渐近线y = 0，斜率为0。

二、幂函数与指数函数的复合幂函数与指数函数可以进行复合运算，即先计算指数函数的结果，再将结果作为幂函数的自变量。

幂函数与指数函数的复合公式如下所示：H(x) = f(g(x)) = (a^x)^b = a^(x*b)其中，H(x)为复合函数，f(x)为幂函数，g(x)为指数函数，a和b为实数。

三、幂函数与指数函数的反函数幂函数f(x) = x^a和指数函数g(x) = a^x之间存在着反函数关系。

幂函数f(x) = x^a的反函数为f^{-1}(x) = x^(1/a)，其中a≠0且x≥0。

指数函数与对数函数的复合函数与逆函数指数函数与对数函数是数学中重要的函数之一，它们在实际应用中具有广泛的应用价值。

而复合函数与逆函数则是指数函数与对数函数的特殊性质，它们之间存在着一种相互依赖的关系。

本文将就指数函数与对数函数的复合函数与逆函数进行探讨，旨在帮助读者深入理解这两类函数的性质及其应用。

一、指数函数与对数函数的基本概念及性质指数函数是一个以底数为常数的指数幂的函数，通常用形如y=a^x的形式表示，其中a为底数，x为指数，a>0且a≠1。

对数函数是指数函数的逆运算，它与指数函数的关系为a^loga(x)=x，其中x>0，a>0且a≠1。

指数函数与对数函数具有以下基本性质：1. 指数函数与对数函数的定义域和值域：指数函数y=a^x中，定义域为实数集，值域为正实数集。

对数函数y=loga(x)中，定义域为正实数集，值域为实数集。

2. 指数函数与对数函数的图像：当底数a>1时，指数函数呈现出增长态势，即函数图像随着自变量的增加而不断上升；当0<a<1时，指数函数呈现出衰减态势，即函数图像随着自变量的增加而不断下降；以底数a为底的对数函数的图像则与以底数1/a为底的指数函数的图像关于直线y=x对称。

3. 指数函数与对数函数的特殊值：当x=0时，指数函数的值总是等于1，即a^0=1；当x=1时，指数函数的值总是等于底数本身，即a^1=a；当x=0时，对数函数的值总是等于0，即loga(1)=0；当x=1时，对数函数的值总是等于1，即loga(a)=1。

二、指数函数与对数函数的复合函数复合函数是两个或两个以上的函数通过嵌套运算而形成的一种函数。

指数函数与对数函数也可以进行复合操作，形成复合函数。

以指数函数y=a^x与对数函数y=loga(x)为例，它们的复合函数如下所示：1. 指数函数复合对数函数：y=a^loga(x)，其中a>0且a≠1。

2. 对数函数复合指数函数：y=loga(a^x)，其中a>0且a≠1。

探究指数函数型复合函数作者：李秀兰
来源：《新高考·高二数学》2018年第07期
指数函数与其他代数函数复合后形成复合函数，如y=a f（x）和y=f（ax）（a>0且
a≠1），通过对这些复合函数性质的研究，弄清楚指数函数与其他代数函数之间的联系，明确复合函数的性质与指数函数性质的区别与联系，下面我们不妨对指数型复合函数的图象与性质的应用进行举例说明.
一、与指数有关的复合函数图象
把指数函数y=ax（a>0且a≠1）的图象进行平移、对称，得到复合函数y=f（a x）（a>0
且a≠1）.
例1 把函数y=f（x）的图象向左、向下分別平移2个单位长度，得到函数y=2 x的图象，求f（x）.
分析本题可运用逆向思维，再利用函数图象的平移规律可得.
二、复合函数的性质
1.定义域、值域
点评对于上述两个函数，要先确定出复合过程，同时先求出f（x）的值域，再确定出整
个函数的值域.
2.单调性
点评对于复合函数的单调性，首先要注意该函数的定义域，其次才考虑在其定义域内的
单调性问题.
分析平方展开后重新配方，则可以得到所求函数的形式，然后根据二次函数的知识来确
定最值.
点评这是复合函数求最值问题，为了求得最值，通过换元转化为二次函数，再由二次函
数在区间上的单调性确定最值.
因此，研究指数函数复合函数问题，需要找出函数的复合过程，然后再确定其相关的性质.。