第四章 微专题5 与指数函数、对数函数有关的复合函数

高中数学备课教案指数与对数函数的复合函数与方程高中数学备课教案指数与对数函数的复合函数与方程一、复合函数的概念及性质在数学中，复合函数是将一个函数的输出作为另一个函数的输入的过程。

指数函数和对数函数是数学中的重要函数，它们可以进行函数的复合运算。

下面我们来探讨指数函数与对数函数的复合函数及相关的性质。

1. 复合函数的定义设函数f(x)和g(x)分别是定义在实数集上的两个函数，那么当g(x)的定义域包含f(x)的值域时，可以定义函数h(x) = (g∘f)(x)。

其中g∘f表示复合函数，读作g合成f。

2. 复合函数的性质（1）结合律：对于函数f(x)、g(x)和h(x)，有(h∘g)∘f = h∘(g∘f)。

（2）单位元：对于任何函数f(x)，有f(x)∘i(x) = i(x)∘f(x) = f(x)，其中i(x)为恒等函数。

（3）逆元：对于任何函数f(x)，它的逆函数是一个有限或无限集合，即(f∘f^(-1))(x) = (f^(-1)∘f)(x) = x。

二、指数函数与对数函数的复合函数1. 指数函数与对数函数的定义指数函数通常表示为f(x) = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。

对数函数通常表示为g(x) = logₐ(x)，其中a为常数且大于0且不等于1。

2. 指数函数与对数函数的复合函数（1）指数函数与对数函数的复合设f(x) = a^x，g(x) = logₐ(x)，那么复合函数可以表示为h(x) =logₐ(a^x) = x。

（2）对数函数与指数函数的复合设f(x) = a^x，g(x) = logₐ(x)，那么复合函数可以表示为h(x) =a^(logₐ(x)) = x。

三、指数函数与对数函数的复合函数的图像分析1. 复合函数的图像变换通过分析复合函数的图像变换，我们可以更好地了解指数函数与对数函数的复合函数。

对于h(x) = (g∘f)(x)，由于对数函数和指数函数在图像上是互为镜像，所以复合函数的图像与指数函数和对数函数的图像呈镜像关系。

(名师选题)全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点梳理单选题1、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（）附：lg2≈0.3010A．10%B．20%C．50%D．100%答案：B分析：根据题意，计算出log24000log21000的值即可；当SN =1000时，C=Wlog21000，当SN=4000时，C=Wlog24000，因为log24000log21000=lg4000lg1000=3+2lg23≈3.60203≈1.2所以将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了20%，故选：B.小提示：本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.2、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为ℎ=m⋅a t．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg2≈0.3，结果取整数）（）A．23天B．33天C．43天D．50天答案：B分析：根据题设条件先求出m 、a ，从而得到ℎ=120⋅2110t ，据此可求失去50%新鲜度对应的时间.{10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20⇒{a 10=2,m =120，故a =2110，故ℎ=120⋅2110t ， 令ℎ=12，∴2t10=10,∴t 10lg2=1，故t =100.3≈33，故选：B.3、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69 答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解. ∵I (t )=K 1+e −0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t ∗−53)=19，所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C.小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.4、设f(x)=log 2(1x+a +1)是奇函数，若函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y =x 对称，则g(x)的值域为（ ）A ．(−∞,−12)∪(12,+∞)B ．(−12,12)C ．(−∞,−2)∪(2,+∞)D ．(−2,2) 答案：A分析：先求出f(x)的定义域，然后利用奇函数的性质求出a 的值，从而得到f(x)的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出g(x)的值域． 因为f(x)=log 2(1x+a +1)，所以1x+a+1=1+x+a x+a>0可得x <−a −1或x >−a ，所以f(x)的定义域为{x|x <−a −1或x >−a}，因为f(x)是奇函数，定义域关于原点对称，所以−a −1=a ，解得a =−12，所以f(x)的定义域为(−∞,−12)∪(12,+∞)，因为函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y =x 对称， 所以g(x)与f(x)互为反函数，故g(x)的值域即为f(x)的定义域(−∞,−12)∪(12,+∞). 故选：A .5、用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ） A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.4 答案：B分析：利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得.依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7∈(0.68,0.72)，且满足|0.72-0.68|<0.1， 所以所求的符合条件的近似值为0.7. 故选：B6、设函数f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|，则f （x ）（ ） A ．是偶函数，且在 (12，+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在 (−12，12)单调递增C ．是偶函数，且在(−∞，−12)单调递增 D ．是奇函数，且在 (−∞，−12)单调递增 答案：B分析：先求出f (x )的定义域结合奇偶函数的定义判断f (x )的奇偶性，设t ＝|2x+12x−1|，则y ＝ln t ，由复合函数的单调性判断f (x )的单调性，即可求出答案.解：由{2x +1≠02x −1≠0，得x ≠±12．又f （﹣x ）＝ln |﹣2x +1|﹣ln |﹣2x ﹣1|＝﹣（ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|）＝﹣f （x ）， ∴f （x ）为奇函数，由f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|＝ln |2x+12x−1|，∵2x+12x−1=1+22x−1=1+1x−12．可得内层函数t ＝|2x+12x−1|的图象如图，在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减，在（−12，12）上单调递增， 又对数式y ＝lnt 是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f （x ）在（−12，12）上单调递增， 在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减．故选：B ．7、下列式子的互化正确的是（ ） A ．6√y 2=y 13(y <0)B ．x −13=−√x 3(x ≠0)C ．x−54=√(1x )54(x >0)D ．−√x =(−x )12(x >0)答案：C解析：根据根式与分数指数幂的互化可逐项分析. 根据分数指数幂的运算可知，√y 26=|y|13=−y 13(y <0)，x−13=√x3x ≠0)，x−54=√(1x )54(x >0)，−√x =−(x )12(x >0)，故选：C8、若函数y =(m 2−m −1)⋅m x 是指数函数，则m 等于（ ） A ．−1或2B ．−1 C ．2D ．12 答案：C分析：根据题意可得出关于实数m 的等式与不等式，即可解得实数m 的值. 由题意可得{m 2−m −1=1m >0m ≠1 ，解得m =2. 故选：C.9、已知函数f (x )=log a (x −b )（a >0且a ≠1，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）A ．a >0，b <−1B ．a >0，−1<b <0C ．0<a <1，b <−1D ．0<a <1，−1<b <0 答案：D分析：根据函数图象及对数函数的性质可求解.因为函数f (x )=log a (x −b )为减函数，所以0<a <1又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以x =1+b >0，即b >−1 又因为函数图象与y 轴有交点，所以b <0，所以−1<b <0， 故选：D10、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名 答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可. 由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，90050=18，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题. 11、下列函数中是偶函数且在区间(0,+∞)单调递减的函数是（ ） A ．f(x)=1|x |B ．f(x)=(13)xC ．f(x)=lg |x |D ．f(x)=x −13答案：A分析：利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论． 解：f(x)=1|x |是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减，满足条件；f(x)=(13)x是非奇非 偶函数，不满足条件；f(x)=lg |x |是偶函数，但在区间(0,+∞)上单调递增，不满足条件； f(x)=x −13是奇函数不是偶函数，不合题意.故选：A ．12、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞) 答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围. 令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x=0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1，则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件； 当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点， 则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x的图象没有交点，因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ， 所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)， 故选：B. 填空题13、计算：e ln2+(log 23)⋅(log 34)=________. 答案：4分析：根据换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可. e ln2+(log 23)⋅(log 34)=2+lg3lg2×lg4lg3=2+log 24=2+2=4，所以答案是：414、函数y =a x−1+1图象过定点A ，点A 在直线mx +ny =3(m >1,n >0)上，则1m−1+2n最小值为___________. 答案：92##4.5分析：根据指数函数过定点的求法可求得A (1,2)，代入直线方程可得(m −1)+2n =2，根据1m−1+2n =12(1m−1+2n )((m −1)+2n)，利用基本不等式可求得最小值. 当x =1时，y =a 0+1=2，∴y =a x−1+1过定点A (1,2)， 又点A 在直线mx +ny =3上，∴m +2n =3，即(m −1)+2n =2， ∵m >1，n >0，∴m −1>0，∴1m−1+2n =12(1m−1+2n )((m −1)+2n)=12(5+2nm−1+2(m−1)n)≥ 12(5+2√2nm−1⋅2(m−1)n)=92（当且仅当2nm−1=2(m−1)n ，即m =53，n =23时取等号），∴1m−1+2n 的最小值为92. 所以答案是：92.15、函数f(x)=lnx+x2−3的零点个数为________．答案：1分析：解法一，将函数f(x)=lnx+x2−3的零点转化为函数y=lnx与y=3−x2图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，可得答案；解法二，利用零点存在定理结合函数的单调性，可得答案.解法一：令f(x)=0，可得方程lnx+x2−3=0，即lnx=3−x2，故原函数的零点个数即为函数y=lnx与y=3−x2图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数y=3−x2与y=lnx的图象只有一个交点，故函数f(x)=lnx+x2−3只有一个零点，所以答案是：1解法二：∵f(1)=ln1+12−3=−2<0，f(2)=ln2+22−3=ln2+1>0，∴f(1)f(2)<0，又f(x)=lnx+x2−3的图象在(1,2)上是不间断的，∴f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)=lnx+x2−3在(0,+∞)上是单调递增的，∴函数f(x)的零点有且只有一个，所以答案是：116、已知0<a <1，化简：√a 43−2a +a 23=______． 答案：a 13−a 23分析：根据指数幂的基本运算结合指数函数的性质即可求解.解：√a 43−2a +a 23=√(a 23−a 13)2=|a 23−a 13|，因为0<a <1，23>13，所以a 23<a 13，所以√a 43−2a +a 23=a 13−a 23．所以答案是：a 13−a 23.17、函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为___________.答案：(3,+∞)分析：利用对数型复合函数性质求解即可. 由题知：x 2−5x +6>0，解得x >3或x <2. 令t =x 2−5x +6，则y =log 12t 为减函数.所以t ∈(−∞,2)，t =x 2−5x +6为减函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为增函数，t ∈(3,+∞)，t =x 2−5x +6为增函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为减函数.所以函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为(3,+∞).所以答案是：(3,+∞) 解答题18、已知函数f (x )=1−2a |x |+1(a >0，a ≠1)． （1）判断f(x)的奇偶性并证明；（2）若f(x)在[−1,1]上的最大值为13，求a 的值． 答案：（1）偶函数；证明见解析；（2）a =2．解析：（1）利用奇偶函数的定义证明；（2）讨论去绝对值，并分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的单调性，求函数的最大值，建立方程，求a的值.解：（1）f(x)的定义域为R，又f(−x)=1−2a|−x|+1=1−2a|x|+1=f(x)⇒f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数；（2）因为f(x)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递减，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递增，f(x)max=f(1)=1−2a+1=13⇒a=2，当−1≤x<0，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a−x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递增，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递减，f(x)max=f(−1)=1−2a+1=13⇒a=2，综上，a=2．小提示：关键点点睛：本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值，求参数的取值范围，本题的关键是求函数的单调性，关键是利用函数是偶函数，先去绝对值，再利用复合函数的单调性求函数的单调性，从而确定函数的最值.19、设函数f(x)=|4mx−x2|+n(m,n∈R).（1）当m=−12，n=−15时，解方程f(2x)=0.（2）若m为常数，且函数f(x)在区间[0,2]上存在零点，求实数n的取值范围.答案：（1）x=log23；（2）答案见解析.解析：（1）由已知条件得出f(x)=|x2+2x|−15，则方程f(2x)=0即为|2x(2x+2)|=15，解方程即可；（2）由f(x)=0在区间[0,2]上存在零点，得出方程x|4m−x|=−n在[0,2]上有解，令ℎ(x)={x 2−4mx,x≥4m−x2+4mx,x<4m，则ℎ(x)=−n在[0,2]上有解，分类讨论m≤0、m>0时n的取值范围求并集即可.解：（1）当m=−12，n=−15时，f(x)=|−2x−x2|−15=|x2+2x|−15，所以方程f(2x)=0即为|2x(2x+2)|=15，解得：2x=3或2x=−5(舍)，所以x=log23.（2）函数f(x)在区间[0,2]上存在零点，即方程x|4m−x|=−n在[0,2]上有解，设ℎ(x)={x2−4mx,x≥4m−x2+4mx,x<4m，则ℎ(x)=−n在[0,2]上有解，①当m≤0，则ℎ(x)=x2−4mx，x∈[0,2]，且ℎ(x)在[0,2]上单调递增，所以ℎ(x)min=ℎ(0)=0，ℎ(x)max=ℎ(2)=4−8m，则当0≤−n≤4−8m时方程有解，则8m−4≤n≤0；②当m>0，ℎ(x)={x2−4mx,x≥4m−x2+4mx,x<4m，ℎ(x)在[0,2m]上单调增，[2m,4m]上单调减，[4m,+∞)上单调增；1)、若2m≥2，即m≥1时，ℎ(x)max=8m−4，ℎ(x)min=0，则当0≤−n≤8m−4时，原方程有解，此时4−8m≤n≤0；2)、若2m<2≤4m，即12≤m<1时，ℎ(x)max=ℎ(2m)=4m2，ℎ(x)min=ℎ(0)=0，则当0≤−n≤4m2，原方程有解，此时−4m2≤n≤0；3）、当0<m<12，ℎ(x)min=0，ℎ(x)max=max{ℎ(2m),ℎ(2)}=max{4m2,4−8m}，若4m2≥4−8m，即−1+√2≤m<12时ℎ(x)max=4m2，则当0≤−n≤4m2，原方程有解，则−4m2≤n≤0；若4m 2<4−8m ，即0<m <−1+√2，ℎ(x)max =4−8m ，则当0≤−n ≤4−8m ，原方程有解，则8m −4≤n ≤0；综上所述：当m <−1+√2，f(x)在区间[0,2]上存在零点，则实数n 的取值范围为[8m −4,0]；当−1+√2≤m <1，f(x)在区间[0,2]上存在零点，则实数n 的取值范围为[−4m 2,0]；当m ≥1，f(x)在区间[0,2]上存在零点，则实数n 的取值范围为[4−8m,0].小提示：思路点睛：函数在闭区间有零点问题，构造新函数结合其单调性，根据闭区间上最值研究原函数零点的存在性（1）代入参数值求解方程，注意其中换元后定义域范围；（2）函数在闭区间有零点：构造含已知参数的新函数并结合闭区间，讨论参数研究零点的存在性求目标参数的范围；20、（1）已知函数g (x )=(a +1)x−2+1(a >0)的图像恒过定点A ，且点A 又在函数f (x )=log √3(x +a )的图像上，求不等式g (x )>3的解集；（2）已知−1≤log 12x ≤1，求函数y =(14)x−1−4(12)x +2的最大值和最小值.答案：（1）(3,+∞)；（2）y min =1，y max =54.分析：（1）结合指数函数性质首先求a 的值，再解指数不等式；（2）通过换元，设t =(12)x，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值. （1）由题意知定点A 的坐标为(2,2)，∴2=log √3(2+a )解得a =1.∴g (x )=2x−2+1.∴由g (x )>3得，2x−2+1>3.∴2x−2>2.∴x −2>1.∴x >3.∴不等式g (x )>3的解集为(3,+∞).（2）由−1≤log 12x ≤1得12≤x ≤2令t =(12)x ，则14≤t ≤√22， y =4t 2−4t +2=4(t −12)2+1.∴当t =12，即(12)x =12，x =1时，y min =1， 当t =14，即(12)x =14，x =2时，y max =54. 小提示：本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解．。

与指数函数有关的复合函数问题高三复合函数是数学中一个重要的概念，它可以用来描述多个函数之间的关系。

指数函数是一类特殊的函数，具有形如y=a^x的表达式，其中a是正实数且不等于1。

本文将探讨与指数函数有关的复合函数问题。

一、复合函数的概念复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而定义一个新的函数。

通常用符号f(g(x))表示，表示先对输入x应用函数g，再将结果作为f的输入。

例如，考虑两个函数f(x)=2x和g(x)=x^2，将g的输出作为f的输入可以表示为f(g(x))=2(g(x))=2(x^2)=2x^2。

这个新的函数可以理解为先将x平方再乘以2。

二、指数函数的复合函数问题在处理与指数函数有关的复合函数问题时，我们可以将指数函数作为内层函数或外层函数。

1.内层函数是指数函数考虑一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个指数函数。

例如，g(x)=2^x。

我们希望先计算g(x)，然后将结果作为f的输入。

例如，假设f(x)=x^2，我们可以计算f(g(x))=f(2^x)=(2^x)^2=2^(2x)。

这个复合函数的定义域是所有实数。

2.外层函数是指数函数考虑一个复合函数f(g(x))，其中f(x)是一个指数函数。

例如，f(x)=3^x。

我们希望先计算外层函数f(x)，然后将结果作为g的输入。

例如，假设g(x)=x+1，我们可以计算f(g(x))=3^(x+1)。

这个复合函数的定义域是所有实数。

三、解题方法解决与指数函数有关的复合函数问题时，可以考虑以下几种方法：1.直接计算法根据复合函数的定义和指数函数的性质，直接对复合函数进行计算。

将内外层函数分别展开，然后根据指数函数的乘法、除法和幂运算等性质进行简化。

2.参数化法通过引入参数，将复合函数转化为一个等价的简化形式。

例如，对于复合函数f(g(x))=3^(x+1)，令u=x+1，则可以将它表示为f(u)=3^u。

这样，原来的问题就转化为了计算函数f(u)。

(名师选题)2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点归纳总结(精华版)单选题1、基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天答案：B分析：根据题意可得I(t)=e rt=e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，根据e0.38(t+t1)=2e0.38t，解得t1即可得结果.因为R0=3.28，T=6，R0=1+rT，所以r=3.28−16=0.38，所以I(t)=e rt=e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t+t1)=2e0.38t，所以e0.38t1=2，所以0.38t1=ln2，所以t1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天.故选：B.小提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.2、已知函数f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，若函数g(x)=f(x)−m恰有两个零点，则实数m不可能．．．是（）A．−1B．0C．1D．2答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m的零点，转化为函数y=f(x)与函数y=m的交点，数形结合即可求出参数m的取值范围；解：因为f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示，函数g(x)=f(x)−m的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m=0有两个实数根，即f(x)=m，即函数y=f(x)与函数y=m有两个交点，由函数图象可得m≤0或m=1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3、已知f(x)＝a−x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是（）A ．a >0B ．a >1C ．a <1D ．0<a <1 答案：D分析：把f (－2)，f (－3)代入解不等式，即可求得．因为f (－2)＝a 2， f (－3)＝a 3，f (－2)>f (－3)，即a 2>a 3，解得：0<a <1． 故选：D4、函数f (x )={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若函数g (x )=f (x )−t (t ∈R )有3个不同的零点a ，b ，c ，则2a +2b +2c 的取值范围是（ ）A ．[16,32)B ．[16,34)C ．(18,32]D ．(18,34) 答案：D分析：作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，利用图象得出a,b,c 的性质、范围，从而可求得结论．作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，如图， 则1−2a =2b −1，4<c <5，2a +2b =2，2c ∈(16,32)，所以18<2a +2b +2c <34． 故选：D ．小提示：关键点点睛：本题考查函数零点问题，解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标，从而可通过作出函数图象与直线，得出零点的性质与范围．5、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.6、已知函数y=a x、y=b x、y=c x、y=d x的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（）A．b+d>a+c B．b+d<a+c C．a+d>b+c D．a+d<b+c答案：B分析：如图，作出直线x =1,得到c >d >1>a >b ，即得解.如图，作出直线x =1,得到c >d >1>a >b ， 所以b +d <a +c . 故选：B7、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是（ ） A ．(1,+∞)B ．(12，1)C ．(13，12)D ．(14，13) 答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0， 所以f(12)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增，所以函数f(x)的零点所在的区间是(12，1)，故选：B ．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题. 8、若n <m <0，则√m 2+2mn +n 2−√m 2−2mn +n 2等于（ ） A ．2m B ．2n C ．−2m D ．−2n 答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|m+n|−|m−n|，∵n<m<0，∴m+n<0，m−n>0，∴原式=−(m+n)−(m−n)=−2m．故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.9、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A10、如图所示，函数y=|2x−2|的图像是（）A．B．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x−2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0. 故选：B.11、函数y =2x −2−x （ ） A ．是R 上的减函数 B ．是R 上的增函数C ．在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数D ．无法判断其单调性 答案：B分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数，指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数，故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选：B.12、满足函数f (x )=ln (mx +3)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是（ ） A ．−4<m <−2B ．−3<m <0C ．−4<m <0D ．−3<m <−1 答案：D分析：根据复合函数的单调性，求出m 的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行求解即可．解：若f(x)=ln(mx+3)在(−∞,1]上单调递减，则满足m<0且m+3>0，即m<0且m>−3，则−3<m<0，即f(x)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是−3<m<−1，故选：D．双空题13、已知函数f(x)=2−x2+2x,x∈[0,3]，则该函数的最大值为__________，最小值为_________.答案： 2 18分析：先求g(x)=−x2+2x值域，再根据y=2x单调性求f(x)最值.因为函数g(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1在[0,1)上单调递增，在(1,3]上单调递减，且g(0)=0,g(3)=−3，g(1)=1∴g(x)∈[−3,1]，因为函数y=2x单调递增，∴18≤2g(x)≤2，即函数f(x)的最大值为2，最小值为18.所以答案是：2；18小提示：本题考查函数最值、指数函数单调性、二次函数值域，考查基本分析求解能力，属基础题.14、已知函数f(x)={log0.5x,x>0x2+2x,x≤0，那么f(2)=_________;当函数y=f(x)−a有且仅有三个零点时，实数a的取值范围是__________.答案：−1−1<a<0解析：由f(2)=log0.52可得结果，函数y=f(x)−a有且仅有三个零点，即函数y=f(x)的图象与y=a的图象仅有三个交点，作出函数y=f(x)的图象，根据图象可得答案.f(2)=log0.52=−1函数y=f(x)−a有且仅有三个零点，即函数y=f(x)的图象与y=a的图象仅有三个交点.作出函数y =f (x )的图象,如图.由图可知，当−1<a <0时，函数y =f (x )的图象与y =a 的图象有三个交点. 所以函数y =f (x )−a 有且仅有三个零点时，实数a 的取值范围是−1<a <0 所以答案是： −1 ； −1<a <015、2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足N =N 0⋅2− t 5730（N 0表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：log 23≈1.6,log 25≈2.3） 答案： 12 4011分析：（1）根据衰变规律，令t =5730，代入求得N =12N 0；（2）令N =35N 0，解方程求得t 即可.当t =5730时，N =N 0⋅2−1=12N 0 ∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12令N =35N 0，则2−t 5730=35 ∴−t 5730=log 235=log 23−log 25≈−0.7∴t =0.7×5730=4011 ∴良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间 故答案为12；4011小提示：本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.16、已知函数f(x)={2xlog2x (x<1)(x≥1)，则f(8) = _________，若直线y=m与函数f(x)的图象只有1个交点，则实数m的取值范围是_________．答案： 3 {0}∪[2,+∞)解析：根据自变量范围代入对应解析式，求得f(8)；作出函数f(x)图象，再结合图象确定参数取值范围.f(8)=log28=3，作出函数f(x)的图象，如图所示，若直线y=m与函数f(x)的图象只有1个交点，则m≥2或m=0，所以答案是：3，{0}∪[2,+∞)小提示：本题考查求分段函数值以及根据函数零点个数求参数，考查综合分析求解能力，属中档题.17、若实数a，b满足log a2=blog23=1,则a=__________，3b=__________．答案： 2 2解析：根据对数的运算法则和概念求解．因为log a2=1，所以a=2，因为blog23=1，所以log23b=1，所以3b=2．所以答案是：2；2．小提示：本题考查对数的概念与运算法则，属于基础题．解答题18、给出下面两个条件：①函数f(x)的图象与直线y=−1只有一个交点；②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数f(x)的解析式确定.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)−f(x)=2x−1，且______.(1)求f (x )的解析式；(2)若对任意x ∈[19,27]，2f (log 3x )+m ≤0恒成立，求实数m 的取值范围； (3)若函数g (x )=(2t −1)f (3x )−2×3x −2有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.答案：(1)选①f (x )=x 2−2x ，选②f (x )=x 2−2x(2)(−∞,−16](3){−√3+12}∪(12,+∞) 分析：（1）利用已知条件求出a 、b 的值，可得出f (x )=x 2−2x +c .选①，由题意可得出f (1)=−1，可得出c 的值，即可得出函数f (x )的解析式；选②，由根与系数的关系求出c 的值，即可得出函数f (x )的解析式；（2）ℎ=log 3x ，ℎ∈[−2,3]，由参变量分离法可得出m ≤[−2f (ℎ)]min ，结合二次函数的基本性质可求得实数m 的取值范围；（3）令n =3x >0，所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根，对实数t 的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数n 的不等式组，综合可解得实数t 的取值范围.（1）解：因为二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (x +1)−f (x )=2x −1，f (x +1)−f (x )=a (x +1)2+b (x +1)+c −ax 2−bx −c =2ax +a +b =2x −1，所以{2a =2a +b =−1 ，解得{a =1b =−2，所以f (x )=x 2−2x +c . 选①，因为函数f (x )的图象与直线y =−1只有一个交点，所以f (1)=1−2+c =−1，解得c =0， 所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x .选②，设x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则|x 1−x 2|=2，且Δ=4−4c >0，可得c <1， 由根与系数的关系可知x 1+x 2=2，x 1x 2=c ，所以|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4−4c =2，解得c =0，所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x .（2）解：由2f (log 3x )+m ≤0，得m ≤−2f (log 3x )，当x ∈[19,27]时，log 3x ∈[−2,3]，令ℎ=log 3x ，则ℎ∈[−2,3]， 所以对任意x ∈[19,27]，2f (log 3x )+m ≤0恒成立，等价于m ≤−2f (ℎ)在ℎ∈[−2,3]上恒成立， 所以m ≤[−2f (ℎ)]min =−2f (−2)=−16，所以实数m 的取值范围为(−∞,−16].（3）解：因为函数g (x )=(2t −1)f (3x )−2×3x −2有且仅有一个零点， 令n =3x >0，所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根， 因为f (x )=x 2−2x ，所以(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根， 当2t −1=0，即t =12时，方程可化为−2n −2=0，解得n =−1，不符合题意； 当2t −1>0，即t >12时，函数y =(2t −1)x 2−4tx −2的图象是开口向上的抛物线，且恒过点(0,−2)， 所以方程(2t −1)n 2−4tn −2=0恒有一个正实根；当2t −1<0，即t <12时，要使得(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根， {∆=16t 2+8(2t −1)=02t 2t−1>0 ，解得t =−√3+12. 综上，实数t 的取值范围为{−√3+12}∪(12,+∞). 19、设函数f (x )=log m x （m >0且m ≠1）的图像经过点(3,1).（1）解关于x 的方程f 2(x )+(m −1)f (x )+1−m 2=0；（2）不等式[1+f (x )]⋅[a −f (x )]>0的解集是(13,9)，试求实数a 的值. 答案：（1）x =9或x =181；（2）a =2.分析：(1)根据给定条件求出m 值，并代入方程，再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出f (x )范围，换元借助一元二次不等式即可得解.（1）由已知得f(3)=1，即log m3=1，则m=3，于是得f(x)=log3x，方程f2(x)+(m−1)f(x)+1−m2=0⇔f2(x)+2f(x)−8=0，从而得f(x)=2或f(x)=−4，即log3x=2或log3x=−4，x=9或x=181，所以原方程的根为x=9或x=181；（2）依题意，函数f(x)=log3x中，x∈(13,9)，从而得log3x∈(−1,2).又[1+f(x)]⋅[a−f(x)]>0⇔(log3x+1)⋅(log3x−a)<0，令log3x=t，即一元二次不等式(t+1)⋅(t−a)<0的解集为(−1,2)，因此有-1，2是关于t的方程(t+1)⋅(t−a)=0的两根，则a=2，所以实数a的值为2.20、已知f(x)=(log12x)2−2log12x+4，x∈[2 , 4]．（1）设t=log12x，x∈[2 , 4]，求t的最大值与最小值；（2）求f(x)的值域．答案：（1）最大值-1，最小值-2；（2）[7，12]解析：（1）t=log12x，x∈[2，4]，可得t在x∈[2，4]上是减函数，即可得出．（2）f(x)=t2−2t+4=(t−1)2+3=g(t)，可得g(t)在t∈[−2，−1]单调递减，即可得出值域．（1）t=log12x，x∈[2，4]，∴t在x∈[2，4]上是减函数，∴x=2时t有最大值log122=−1；x=4时t有最小值log124=−2．（2）f(x)=t2−2t+4=(t−1)2+3=g(t)，∴g(t)在t∈[−2，−1]单调递减，∴t=−2（即x=4)，取得最大值，g(−2)=12．t=−1（即x=2)，取得最小值，g(−1)=7．所以函数f(x)的值域[7，12]．小提示：利用换元法求函数值域是常用的方法也是重要方法.。

第四章 指数函数与对数函数知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根是负数，当n 为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：(1)当n a =；当n ,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)na =3.分数指数幂的意义：)0,,,1m na a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)r s r s a a a += (2)()r srsa a = (3)()rr rab a b =知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 2.指数函数函数性质：1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞. 2.对数函数性质：1．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数()y f x =在一个区间[]a b ，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0f a f b <，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点()0x a b ∈，，使()00f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数()f x 在区间[],a b 上有()()0f a f b ⋅>，()f x 在(,)a b 内也可能有零点，例如2()f x x =在[]1,1-上，2()23f x x x =--在区间[]2,4-上就是这样的．故()f x 在(),a b 内有零点，不一定有()()0f a f b ⋅<．③若函数()f x 在区间[],a b 上的图象不是连续不断的曲线，()f x 在(),a b 内也可能是有零点，例如函数1()1f x x=+在[]2,2-上就是这样的． （2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程()0f x =，方程()0f x =无实根则函数无零点，方程()0f x =有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与()y g x =的图象交点的横坐标．2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数()y f x =定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度. 第一步：在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使()0f a 与()0f b 异号，即()()000f a f b ⋅<，零点位于区间[]00,a b 中.第二步：取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122x a b a a b =+-=+. 计算()0f x 和()0f a ，并判断：①如果()00f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()000f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==；③如果()()000f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b == 第三步：取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122x a b a a b =+-=+. 计算()1f x 和()1f a ，并判断：①如果()10f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()110f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==；③如果()()110f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b ==；……继续实施上述步骤，直到区间[],n n a b ，函数的零点总位于区间[],n n a b 上，当n a 和n b 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x =的近似零点，计算终止.这时函数()y f x =的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()() <0f a f b ．（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根． 知识点六：函数的实际应用求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果. 第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言)⇒数学问题(数量关系与函数模型)⇒建模(数学语言)⇒求模(求解数学问题)⇒反馈(还原成实际问题的解答).类型一：指数、对数运算 例1.计算(1) 2221log log 12log 422-； (2)33lg 2lg 53lg 2lg5++； (3)222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++；(4)lg0.7lg20172⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好. 【答案】(1)12-；(2)1；(3)3；(4)14。

新教材人教A版2019版数学必修第一册第四章知识点清单目录第四章指数函数与对数函数4. 1 指数4. 2 指数函数4. 3 对数4. 4 对数函数4. 5 函数的应用（二）第四章 指数函数与对数函数4. 1 指数一、根式1. n 次方根(1)定义：一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N *.(2)表示：注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作√0=0.2. 根式(1)定义：式子√a n 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质(其中n>1，且n∈N *)： ①(√a n )n =a.②当n 为奇数时， √a n n =a ；当n 为偶数时， √a n n =|a|={a ，a ≥0，−a ，a <0.二、分数指数幂1. 正数的正分数指数幂： a m n =√a m n (a>0，m ，n∈N *，n>1).2. 正数的负分数指数幂： a −mn =1a m n =√a mn (a>0，m ，n∈N *，n>1). 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.三、实数指数幂1. 一般地，无理数指数幂a α(a>0，α为无理数)是一个确定的实数. 这样，指数幂a x (a>0)中指数x 的取值范围就从整数逐步拓展到了实数. 实数指数幂是一个确定的实数.四、实数指数幂的运算性质1. a r a s = a r+s(a>0，r ，s∈R)；2. (a r )s =a rs (a>0，r ，s∈R)；3. (ab)r =a r b r (a>0，b>0，r∈R).4. 拓展：a r a s =a r-s (a>0，r ，s∈R). 五、根式与分数指数幂的化简、求值1. 运用根式的性质解题时的注意点(1)分清根式是奇次根式还是偶次根式：n>1，且n 为奇数时，( √a n )n =√a n n=a ，a 为任意实数；n>1，且n 为偶数，a ≥0时，(√a n )n 才有意义，且(√a n )n =a ；n>1，且n 为偶数，a 为任意实数时， √a n n 均有意义，且√a n n =|a|.(2)注意变式、整体代换，以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立方公式的运用，必要时要进行分类讨论.2. 根式与分数指数幂化简、求值的技巧(1)将根式化为幂的形式，小数指数幂化为分数指数幂，负指数幂化为正指数幂的倒数.(2)底数是小数的，要先化成分数；底数是带分数的，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于利用指数幂的运算性质.注意：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.六、指数幂的条件求值问题解决指数幂的条件求值问题的一般方法——整体代换法1. 将已知条件或所求代数式进行恰当变形，从而通过“整体代换法”求出代数式 的值. 整体代换法是数学变形与计算常用的方法，分析观察条件与所求代数式的 结构特点，灵活运用恒等式是关键.2. 常用的变形公式如下：(1)a±2a 12b12+b=(a12±b12)2；(2)(a 12+b12)(a12-b12)=a-b；(3)a 32+b32=(a12+b12)(a-a12b12+b)；(4)a 32-b32=(a12-b12)(a+a12b12+b).4. 2 指数函数一、指数函数的概念1. 一般地，函数y=a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量,定义域是R.二、指数函数的图象和性质指数函数y=a x(a>0，且a≠1)0<a<1 a>1图象定义域R值域(0，+∞)性质过定点过定点(0，1)，即x=0时，y=1单调性在R上是减函数在R上是增函数函数值的变化当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1对称性y=a x与y=(1a)x的图象关于y轴对称三、与指数函数有关的函数的定义域、值域问题1. 与指数函数有关的函数的定义域、值域的求法(1)函数y=a f(x)的定义域与f(x)的定义域相同；(2)求函数y=a f(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y=a x的单调性确定函数y=a f(x)的值域；(3)求函数y=f(a x)的定义域，需先确定y=f(u)的定义域，即u的取值范围，亦即a x的取值范围，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值范围，即y=f(a x)的定义域；(4)求函数y=f(a x)的值域，需先利用函数u=a x的单调性确定其值域，即u的取值范围，再确定函数y=f(u)的值域，即y=f(a x)的值域. (以上a均满足a>0，且a≠1)四、与指数函数有关的函数的单调性问题1. 形如y=a f(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的判断方法：当a>1时，函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=a f(x)的单调递增(减)区间；当0<a<1时，函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=a f(x)的单调递增(减)区间.2. 形如y=f(a x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的判断方法：通过内层函数u=a x的值域确定外层函数y=f(u)的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性.五、指数幂的大小比较1. 比较指数幂大小的方法（1）底数形同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断（2）底数不同，指数相同：利用幂函数的单调性来判断（3）底数不同，指数不同：通过中间量来比较六、指数方程与不等式的解法1. 指数方程的解法(1)对于a f(x)=b(a>0，且a≠1)型的指数方程，通常将方程两边化为同底数幂的形式，用指数相等进行求解.(2)解复杂的指数方程时，常用换元法转化为解一元二次方程. 用换元法时要特别 注意“元”的范围，用一元二次方程求解时，要注意对二次方程根的取舍.2. 简单指数不等式的解法(1)形如a f(x)>a g(x)的不等式，可借助y=a x (a>0，且a ≠1)的单调性求解；(2)形如a f(x)>b 的不等式，可将b 化成以a 为底数的幂的形式，再借助y=a x (a>0，且a ≠1)的单调性求解；(3)形如a x >b x 的不等式，可借助函数y=a x 与y=b x (a ，b>0，且a ，b ≠1)的图象求解.4. 3 对数一、对数的概念1. 对数的概念：一般地，如果a x =N(a>0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2. 常用对数与自然对数（1）以10为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记为lg N ；（2）以e(e=2. 718 28…)为底的对数称为自然对数，并把log e N 记为ln N.3. 对数与指数的关系当a>0，a ≠1时，a x =N ⇔x=log a N ，这是指数式与对数式互化的依据. 相关结论如下：(1)负数和0没有对数；(2)log a 1=0，log a a=1(a>0，且a ≠1)；(3) log a N a =N ，log a a N =N(a>0，且a ≠1，N>0).二、对数的运算性质1. 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)log a(MN)=log a M+log a N；(2)log a MN=log a M-log a N；(3)log a M n=nlog a M (n∈R).三、对数换底公式1. 对数换底公式：log a b=log c blog c a(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).2. 相关结论：log a b=1log b a ，log a n b m=mnlog a b(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；n≠0).四、对数的运算1. 利用对数的运算性质求值的关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的关系2. 对于复杂的算式，可先化简再计算. 化简的常用方法：①“拆”，将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”，将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.3. 在利用换底公式进行化简、求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，一般可以选择以10为对数式的底数进行换底.4. 利用换底公式化简与求值的思路：(1)用对数的运算性质进行部分运算→换成同一底数.(2)统一换为常用对数(或自然对数、指定底的对数) →化简、求值.五、对数运算性质的综合应用1. 在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义和运算性质，尤其要注意条件和待求式之间的关系.2. 解决对数应用问题时，首先要理解题意，弄清关键词及字母的含义，然后恰当设未知数，建立数学模型，最后转化为对数问题求解.4. 4 对数函数一、对数函数的概念1. 一般地，函数y=log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞).二、对数函数的图象与性质对数函数y=log a x(a>0，且a≠1)0<a<1 a>1图象定义域(0，+∞)值域R性质过定点过定点(1，0)，即x=1时，y=0单调性在(0，+∞)上是减函数在(0，+∞)上是增函数函数值的变化当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0对称性y=log a x与y=log1ax的图象关于x轴对称三、反函数1. 一般地，指数函数y=a x(a>0，且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0，且a≠1)互为反函数. 它们的定义域与值域正好互换.2. 拓展：(1)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同.当a>1时，函数y=a x在R上是增函数，函数y=log a x在(0，+∞)上是增函数；当0<a<1时，函数y=a x在R上是减函数，函数y=log a x在(0，+∞)上是减函数. (2)互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称.四、不同函数增长的差异五、对数函数的图象及其应用1. 对数型函数图象过定点问题：求函数y=m+log a f(x)(a>0，且a≠1，f(x)>0)的图象所过定点时，只需令f(x)=1，求出x，即得定点为(x，m).2. 根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y=1与所给图象相交，比较交点的横坐标即得各个底数的大小关系.3. 函数图象的变换规律(1)一般地，函数y=f(x+a)+b(a，b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.六、与对数函数有关的函数的定义域、值域问题1. 对数型函数的定义域(1)求对数型函数的定义域，要注意真数大于0，即在y=log a f(x)(a>0，且a≠1)中应首先保证f(x)>0；(2)若底数中也含有变量，则底数应大于0且不等于1.2. 求对数型函数值域的常用方法(1)直接法：根据函数解析式的特征，从函数自变量的范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数的值域.(2)配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(log a x)]2+nf(log a x)+c(m≠0，a>0，且a≠1))时，可以用配方法求函数的值域.(3)单调性法：根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域.(4)换元法：求形如y=log a f(x)(a>0，且a≠1，f(x)>0)的函数的值域的步骤：①换元，令u=f(x)，利用函数的图象和性质求出u的范围；②利用y=log a u的单调性、图象求出y的取值范围.七、与对数函数有关的函数的单调性1. 求与对数函数有关的函数的单调性的要点(1)单调区间是定义域的子集.(2)若a>1，则y=log a f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；若0<a<1，则y=log a f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反.八、比较对数值的大小1. 比较对数值大小常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性进行比较.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较.(3)底数和真数都不同的，找中间量比较.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.九、解对数不等式1. 对数不等式的常见类型及解题方法(1)形如log a f(x)>log a b的不等式，借助函数y=log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论；(2)形如log a f(x)>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=log a a b)，再借助函数y=log a x的单调性求解；(3)形如log f(x)a>log g(x)a的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用图象求解.十、几种常见的函数模型的选择1. 常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是增长速度不变，可称为“直线上升”.(2)指数函数模型y=a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型y=log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓，可称为“对数增长”.2. 不同的函数模型能刻画现实生活中不同的变化规律(1)线性函数模型适合描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数模型适合描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数、幂函数模型适合描述增长速度平缓的变化规律.因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.4. 5 函数的应用（二）4. 5. 1 函数的零点与方程的解4. 5. 2 用二分法求方程的近似解一、函数的零点1. 函数的零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2. 方程、函数、函数图象之间的关系：方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.二、函数零点存在定理1. 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.三、用二分法求函数y=f(x)零点的近似值1. 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2. 用二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.(2)求区间(a，b)的中点c.(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)<0 (此时x0∈(a，c))，则令b=c；③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a=c.(4)判断是否达到精确度ε：若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4.四、一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题1. 设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a>0)的两个实数根,,令f(x)=ax 2+bx+c (a>0)，则x 1，x 2的分布情况如下表： 根的分布 图象等价条件 x 1<x 2<k 0,f (k)0,b 2a k ⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪-<⎩k<x 1<x 2 0,f (k)0,b 2a k ⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪->⎩m<x 1<k<x 2<nf (m)0,f (k)0,f (n)0>⎧⎪<⎨⎪>⎩x 1，x 2∈(k 1，k 2)12120,f (k )0,f (k )0,b k k 2a ∆≥⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<-<⎪⎩ 只有一根在(k 1，k 2)内120,b k k 2a ∆=⎧⎪⎨<-<⎪⎩ 或f(k 1)·f(k 2)<0五、函数零点个数的判断及应用1. 判断函数f(x)的零点个数的主要方法 (1)转化为解相应的方程，根据方程的解进行判断.(2)画出函数y=f(x)的图象，判断它与x 轴的交点个数，从而判断零点的个数.(3)利用函数零点存在定理进行判断，若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点.(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.2. 已知函数f(x)的零点个数求参数范围，通常要对已知条件进行变形，变形的方向：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数解析式尽可能简单.六、用二分法求方程的近似解1. 二分法求方程近似解的适用条件(1)在初始区间内函数图象是连续不断的；(2)函数在初始区间的两个端点的函数值异号，即是变号零点.2. 利用二分法求方程近似解的步骤(1)构造函数，选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.(2)用列表法清晰地表达函数零点所在的区间，依次进行计算.(3)求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(4)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.4. 5. 3 函数模型的应用一、常见的函数模型二、利用函数模型解决实际问题的基本过程三、利用函数模型解决实际问题1. 利用函数模型解决实际问题的步骤(1)审题——弄清题意，分清条件和要求的结论，理顺数量关系；(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的函数模型；(3)求模——推理并求解函数模型；(4)还原——用得到的函数模型描述实际问题的变化规律.2. 建立拟合函数模型解决实际问题函数拟合与预测的一般步骤(1)根据原始数据、表格，绘制散点图；(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据.。

指数函数与对数函数的复合运算指数函数与对数函数是数学中常见的特殊函数，它们之间存在一种重要的关系，即复合运算。

本文将介绍指数函数与对数函数的定义及其性质，同时详细讨论它们的复合运算。

从数学角度出发，深入探究指数函数与对数函数的复合运算，帮助读者更好地理解和应用这两种函数。

一、指数函数的定义及性质指数函数是一种以指数为自变量、底数为常数的函数形式。

常见的指数函数包括y = a^x、y = e^x等，其中a为底数，e为自然对数的底数。

1. 指数函数的定义：对于任意给定的实数a（a>0且a≠1），指数函数y = a^x 定义为满足以下三个条件的函数：（1）对于任意实数x，a^x存在；（2）a^0 = 1；（3）对于任意实数x1、x2，有a^x1 · a^x2 = a^(x1 + x2)。

2. 指数函数的性质：（1）指数函数y = a^x 是一种递增函数。

当a > 1时，函数递增；当0 < a < 1时，函数递减；（2）指数函数的图像在x轴右侧逐渐增大，并经过点（0,1）；（3）指数函数与幂函数的关系：y = a^x 可以看作是 y = x^loga 的反函数。

二、对数函数的定义及性质对数函数是指以底数为常数、真数为自变量的函数形式。

常见的对数函数包括y = loga(x)、y = ln(x)等，其中a为底数，a>0且a≠1。

1. 对数函数的定义：对于任意给定的正实数a（a>1），对数函数y = loga(x) 定义为满足以下条件的函数：（1）对于任意正实数x，loga(x)存在；（2）loga(1) = 0；（3）对于任意正实数x1、x2，有loga(x1 · x2) = loga(x1) + loga(x2)。

2. 对数函数的性质：（1）对数函数y = loga(x) 是 a^x 的反函数，即 loga(a^x) = x；（2）对数函数的图像在第一象限中，呈现递增趋势；（3）常用对数函数y = log10(x)可简记为y = log(x)。

对数函数中的复合函数问题 教学目的：通过一些例题的讲解，对对数函数的性质、图象及与二次函数的复合函数问题进行复习，使学生加深对函数的认识，能够对一些有难度的题进行分析解决。

教学难点：复合函数中定义域、值域以及单调性的求解。

教学过程：先复习对数函数以及性质。

下面我们来做几道例题。

我们在遇到的一些问题中往往对数函数不是单独出现的，它总是和其他函数同时出现，特别是二次函数。

那么如何来解决这类比较复杂的问题呢？把对数函数和二次函数结合起来，最常见的就是复合函数。

下面就先来看这么一道题 例1的单调递增区间是（ ）。

A. B. C. D.分析：由于以1/2为底的对数函数是一个单调减函数，所以要求该函数的单调递增区间，也就是要求该二次函数的单调递减区间。

下面我们就把问题转化为解决二次函数的问题。

对于该二次函数进行配方49)21(222-+=-+x x x ，我们可以很容易看出是一个开口向上的抛物线，则其在x 小于－1/2时为单调递减，x 大于－1/2时为单调递增。

那么该题是否到此为止了呢？其实在此对于上面的二次函数是有范围的，也就是说即x<-2或x>1综上所述，我们应该选择A 。

一般化：对于类似与上面这题的复合函数的单调区间是怎样的．该二次函数图象为一开口向上的抛物线。

抛物线与x 轴有两个交点 抛物线与x 轴只有一个交点 抛物线与x 轴没有交点利用几何画板作图探究并验证：（略）例2若函数的值域为一切实数,求实数的取值范围。

按照通常的做法，要使函数有意义，必须有：对一切实数x都成立，即其实当时，可以看出可见值域并非为R，说明上述解答有误。

要使函数的值域为R，即要真数取遍所有正数，故二次函数的图象与x轴有交点，所以，得或。

故实数a的取值范围为。

我们在考虑这类复合函数问题的时候，要仔细分析各函数的定义域和值域以及复合后的定义域和值域的变化。

以上这两题中的二次函数是作为对数函数的一部分出现的，那么，对数函数作为二次函数的一部分出现时，又该怎样呢？下面来看这几道题：例3若，且，求的最值。

指数函数与对数函数的复合函数与逆函数指数函数与对数函数是数学中重要的函数之一，它们在实际应用中具有广泛的应用价值。

而复合函数与逆函数则是指数函数与对数函数的特殊性质，它们之间存在着一种相互依赖的关系。

本文将就指数函数与对数函数的复合函数与逆函数进行探讨，旨在帮助读者深入理解这两类函数的性质及其应用。

一、指数函数与对数函数的基本概念及性质指数函数是一个以底数为常数的指数幂的函数，通常用形如y=a^x的形式表示，其中a为底数，x为指数，a>0且a≠1。

对数函数是指数函数的逆运算，它与指数函数的关系为a^loga(x)=x，其中x>0，a>0且a≠1。

指数函数与对数函数具有以下基本性质：1. 指数函数与对数函数的定义域和值域：指数函数y=a^x中，定义域为实数集，值域为正实数集。

对数函数y=loga(x)中，定义域为正实数集，值域为实数集。

2. 指数函数与对数函数的图像：当底数a>1时，指数函数呈现出增长态势，即函数图像随着自变量的增加而不断上升；当0<a<1时，指数函数呈现出衰减态势，即函数图像随着自变量的增加而不断下降；以底数a为底的对数函数的图像则与以底数1/a为底的指数函数的图像关于直线y=x对称。

3. 指数函数与对数函数的特殊值：当x=0时，指数函数的值总是等于1，即a^0=1；当x=1时，指数函数的值总是等于底数本身，即a^1=a；当x=0时，对数函数的值总是等于0，即loga(1)=0；当x=1时，对数函数的值总是等于1，即loga(a)=1。

二、指数函数与对数函数的复合函数复合函数是两个或两个以上的函数通过嵌套运算而形成的一种函数。

指数函数与对数函数也可以进行复合操作，形成复合函数。

以指数函数y=a^x与对数函数y=loga(x)为例，它们的复合函数如下所示：1. 指数函数复合对数函数：y=a^loga(x)，其中a>0且a≠1。

2. 对数函数复合指数函数：y=loga(a^x)，其中a>0且a≠1。

指数函数与对数函数的复合与反函数指数函数与对数函数是数学中常见且重要的函数类型。

它们之间存在着复合与反函数的关系。

本文将介绍指数函数与对数函数的基本概念和性质，并详细探讨它们的复合与反函数关系。

一、指数函数的基本概念与性质指数函数是以一个正常数为底数，以变量为指数的函数形式。

常见的指数函数表达式为y=a^x，其中a为底数，x为自变量，y为因变量。

指数函数具有以下几个基本性质：1. 当指数x为零时，指数函数的值始终为1，即a^0=1。

2. 当指数x为正数时，指数函数的值随着x的增大而迅速增大。

3. 当指数x为负数时，指数函数的值随着x的减小而迅速减小。

4. 以e为底数的指数函数被称为自然指数函数，常用的自然指数函数表达式为y=e^x。

以上是指数函数的基本概念与性质，下面我们将继续探讨指数函数与对数函数的复合与反函数关系。

二、指数函数与对数函数的复合关系在数学中，我们可以将指数函数与对数函数进行复合运算，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

具体来说，当我们将指数函数y=a^x的输出作为对数函数的输入时，可以得到复合函数y=logₐx。

其中，logₐx表示以底数a为底的对数函数。

对于复合函数y=logₐx来说，它表示的是对数函数与指数函数的反向操作。

当我们已知一个数x的底数为a的指数函数结果y时，可以通过求logₐx来获取底数为a的对数函数的结果。

其中，对数函数的常用性质如下：1. 对于任何底数a，logₐ1=0。

2. 对于任何底数a，logₐa=1。

3. 对于任何底数a，logₐa^x=x。

通过指数函数与对数函数的复合关系，我们可以将复杂的指数运算问题转化为更简单的对数运算问题，从而便于求解。

三、指数函数与对数函数的反函数关系指数函数与对数函数之间存在着一种特殊的关系，即它们互为反函数。

反函数是指两个函数之间的关系，其中一个函数的输入与另一个函数的输出完全相同。

指数函数y=a^x与对数函数y=logₐx互为反函数的关系表示为：1. 当y=a^x时，所得到的反函数为x=logₐy。

4．3.3　对数函数的图象与性质最新课程标准1.通过具体实例，了解对数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．2．知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x互为反函数(a ＞0且a ≠1)．学科核心素养1.了解对数函数的概念．(数学抽象)2．掌握对数函数的图象和性质，并会解决相关的问题．(数学抽象，逻辑推理)3．会解决对数型函数的定义域、值域、单调性等有关的问题．(逻辑推理、数学运算 )第1课时　对数函数的图象与性质(1)教材要点要点一　对数函数的概念对数运算y ＝____________________确定了一个函数，叫作(以a 为底的)对数函数．状元随笔　(1)因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a ＞0，且a≠1.(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)中，log a x 前边的系数必须是1，自变量x 在真数的位置上，否则就不是对数函数．要点二　反函数一般地，指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．要点三　对数函数的图象与性质表达式y ＝log a x (a ＞1)y ＝log a x (0＜a ＜1)图象性质定义域________值域R过点________，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是________在(0，＋∞)上是________状元随笔　底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)y＝log2x2是对数函数．( )(2)对数函数y＝log5x与y＝log15x的图象关于y轴对称．( )(3)对数函数的图象都在y轴的右侧．( )(4)函数y＝a x与函数y＝log a x的图象关于直线y＝x对称．( )2．(多选)若函数y＝log a x的图象如图所示，则a的值可能是( )A．0.3B．1 5C．32 D．π3．函数f(x)＝lg (2x－1)的定义域为( ) A．[12，+∞)B．(12，1) C．(12，+∞)D．[12，1]4．函数y＝log a(x－3)－2的图象过的定点是________．　对数函数的图象问题角度1　图象过定点问题例1　已知函数y＝log a(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．方法归纳解决与对数函数有关的函数图象过定点问题的方法：对任意的a＞0且a≠1，都有log a1＝0，例如，解答函数y＝m＋log a f(x)(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点的问题时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点(x，m)．角度2　对数函数的底与图象变化的关系例2　如图所示的曲线是对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________.方法归纳当0＜a＜1时，对数函数的图象是下降的，而且随着a由大变小，图象下降的速度变慢．当a＞1时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢．角度3　图象的识别问题例3　函数y＝log a|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为( )方法归纳(1)对有关对数函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象是上升还是下降、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点等求解．(2)根据函数解析式确定函数图象的问题，主要是通过不同的角度来确定函数解析式与函数图象的对应关系，如函数的定义域(值域)、单调性，图象是否过定点、图象的对称性等．跟踪训练1　(1)函数y＝x＋a与y＝log a x的图象只可能是下图中的( )(2)图中曲线是对数函数y＝log a x的图象，已知a取√3，43，35，110四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )A．√3，43，35，110B．√3，43，110，35C．43，√3，35，110D．43，√3，110，35(3)函数y＝log a(2x－1)＋2的图象恒过定点P，点P在指数函数f(x)的图象上，则f(－1)＝________．题型2　对数型函数的定义域例4　求下列函数的定义域：(1)y＝logx2−2(x−2)；(2)f(x)＝0√||lg (x＋2)．方法归纳求函数的定义域，首先要分析自变量x 的约束条件，在与对数函数有关的问题中应注意真数大于零，底数大于零且不等于1；其次求解不等式时，要充分应用函数的性质．跟踪训练2　(1)函数y ＝√log 2(2x −1)的定义域为( )A ．(12，+∞) B ．[1，＋∞)C ．(12，1]D ．(－∞，1)(2)函数y ＝log a (x －1)＋log a (1＋x )的定义域为________．　对数型函数的值域与最值问题例5　求函数f (x )＝log 2(4x )log 14x 2，x ∈[12，4]的值域．方法归纳(1)利用对数运算性质化为关于log 2x 的一个二次函数，再通过二次函数的性质求最值．(2)求形如y ＝log a f (x )(a ＞0且a ≠1)的复合函数值域的步骤：①求函数的定义域；②将原函数拆分成y ＝log a u (a ＞0，且a ≠1)，u ＝f (x )两个函数；③由定义域求u 的取值范围；④利用函数y ＝log a u (a ＞0且a ≠1)的单调性求值域．跟踪训练3　已知函数f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．易错辨析　忽视对底数的讨论致误例6　若函数y＝log a x(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________．解析：当a＞1时，函数y＝log a x在[2，4]上是增函数，所以log a4－log a2＝1，即log a 42＝1，所以a＝2.当0＜a＜1时，函数y＝log a x在[2，4]上是减函数，所以log a2－log a4＝1，即log a 24＝1，所以a＝12.综上可知a＝2或a＝12.答案：2或12易错警示易错原因纠错心得忽视对底数a的分类讨论，只考虑了a＞1底数的范围不同决定了对数函数的单调性不的情况，漏掉了0＜a＜1的情况．同，从而影响了在闭区间上的最值．所以一定要对底数进行讨论．课堂十分钟1．(多选)函数f(x)＝log a(x＋2)(0＜a＜1)的图象必过( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数f(x)＝√1−log2(x+2)的定义域为( )A．[－2，0] B．(－2，0)C．(－2，0] D．(－2，＋∞)3．函数f(x)＝x|x|log a x(0＜a＜1)的图象大致为( )4．若函数y＝(a2＋a－5)log a x为对数函数，则f(1)＝________．5．设a＞1，函数f(x)＝log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为12，求实数a的值．4．3.3　对数函数的图象与性质第1课时　对数函数的图象与性质(1)新知初探·课前预习要点一log a x(x>0，a>0且a≠1)要点三(0，＋∞)　(1，0)　增函数　减函数[基础自测]1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．解析：由图象可知函数y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，所以0<a<1.答案：AB3．解析：由对数函数的概念可知2x－1>0，即x>12，故选C.答案：C4．解析：因为对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)恒过定点(1，0)，所以令x－3＝1，即x＝4，此时y＝－2，所以函数y＝log a(x－3)－2过定点(4，－2).答案：(4，－2)题型探究·课堂解透例1　解析：依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝3log32－＝2－＝.答案：例2　解析：由题干图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞1，b＞1，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜1，0＜d＜1.过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.答案：b>a>1>d>c例3　解析：函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1.答案：A跟踪训练1　解析：(1)A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝log a x为减函数，A 错；B中，0＜a＜1，而y＝log a x为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝log a x为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝log a x无意义，也不对．(2)已知图中曲线是对数函数y＝log a x的图象，由对数函数的图象和性质，可得C1，C2，C3，C4的a值从小到大依次为：C4，C3，C2，C1，由a取，，，四个值，故C1，C2，C3，C4的a值依次为，，，.(3)根据题意，令2x－1＝1，得x＝1，此时y＝2，所以定点P的坐标是(1，2)，所以f(x)＝2x，所以f(－1)＝.答案：(1)C　(2)A　(3)例4　解析：(1)由得，所以定义域为(2，＋∞).(2)由得，所以定义域为(－2，－1)∪(－1，0).跟踪训练2　解析：(1)由题意得{x−1>olog(2x−1)≥0即{x>12x≥1故函数的定义域为[1，＋2∞).(2)由题意知{x−1>01+x>0　解得x>1，∴函数y＝log a(x－1)＋log a(1＋x)的定义域为(1，＋∞).答案：(1)B　(2)(1，＋∞)例5　解析：f(x)＝log2(4x)·log\f(1,4＝(log2x＋2)·＝－.设log2x＝t.∵x∈，∴t∈[－1，2]，则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，因此二次函数图象的对称轴为t＝－，∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，∴当t＝－时，y有最大值，且y max＝；当t＝2时，y有最小值，且y min＝－2.∴f(x)的值域为.跟踪训练3　解析：(1)由题意得解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3).(2)因为f(x)＝log a[(1＋x)(3－x)]＝log a(－x2＋2x＋3)＝log a[－(x－1)2＋4]，若0＜a＜1，则当x＝1时，f(x)有最小值log a4，所以log a4＝－2，a－2＝4，又0＜a＜1，所以a＝.若a＞1，则当x＝1时，f(x)有最大值log a4，f(x)无最小值．综上可知，a＝.[课堂十分钟]1．解析：f(x)＝log a(x＋2)(0<a<1)的大致图象如图所示．所以必过第二、三、四象限．答案：BCD2．解析：要使函数有意义，则1－log2(x＋2)≥0得log2(x＋2)≤1，即0＜x＋2≤2，得－2＜x≤0，即函数的定义域为(－2，0].答案：C3．解析：在log a x中x>0，∴y＝x|x|log a x＝log a x(0<a<1)，故选B.答案：B4．解析：由对数函数的定义可知a2＋a－5＝1.解得a＝2或a＝－3(a＝－3舍去)，∴f(x)＝log2x，∴f(1)＝0.答案：05．解析：∵a>1，∴f(x)＝log a x在(0，＋∞)上是增函数．∴最大值为f(2a)，最小值为f(a).∴f(2a)－f(a)＝log a2a－log a a＝，即log a2＝.∴a＝4.11。