向量数量积的坐标运算

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式学习目标：1.掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算．(重点)2.能运用数量积表示两个向量的夹角．计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 (1)向量内积的坐标运算：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. (2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0. 2．向量的长度、距离和夹角公式 (1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |(2)两点间的距离：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|(3)两向量的夹角：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则cos 〈a ，b思考：与向量a ＝(a 1，a 2)同向的单位向量的坐标如何表示？ [提示] 由于单位向量a 0＝a|a |，且|a |＝a 21＋a 22，所以a 0＝a |a |＝1a 21＋a 22(a 1，a 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫a 1a 21＋a 22，a 2a 21＋a 22，此为与向量a ＝(a 1，a 2)同向的单位向量的坐标． [基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，满足x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ，b 的夹角为0度．( )(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( )(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( ) [解析] (1)因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°. (2)由向量数量积定义可知正确． (3)因为两向量的夹角有可能为180°. [答案] (1)× (2)√ (3)×2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(2,3)，则a·b ＝( ) A ．5 B ．4 C ．－2D ．－1D [a ·b ＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.] 3．若a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)且a ⊥b ，则x ＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3C [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即3x －3＝0，∴x ＝1.] 4．已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝________. [解析] |a |＝32＋x 2＝5，∴x 2＝16.即x ＝±4.[答案] ±4[合 作 探 究·攻 重 难]平面向量数量积的坐标运算(1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，且a·b ＝－1，则x 的值等于( ) A.12 B ．－12 C.32D ．－32(2)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,2)，则a·b ＝________，a·(a －b )＝________. (3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b·c ＝5，则向量c ＝________.[思路探究] 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．[解析] (1)因为a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，所以a·b ＝(1,2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1，解得x ＝－32.(2)a·b ＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a －b )＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4. (3)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b·c ＝5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97，y ＝47，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47.[答案] (1)D (2)1 4 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47[规律方法]1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a ；(a ＋b )(a －b )＝|a|2－|b|2； (a ＋b )2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2.2．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．3．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充． 1．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3,4)，向量c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( )【导学号：79402095】A ．(－15,12)B ．0C ．－3D ．－11C [依题意可知，a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.] 向量的模的问题(1)设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|2a －b|等于( ) A ．4 B ．5 C ．3 5D ．4 5(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，则|a ＋b|＝________，|a －b|＝________. [思路探究] (1)两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的坐标表示：x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)已知a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.[解析](1)由a∥b，得y＋4＝0，y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4 5.故选D.(2)由题意知，a＋b＝(－2,4)，a－b＝(4,0)，因此|a＋b|＝25，|a－b|＝4.[答案](1)D(2)25 42．已知向量a＝(2x＋3,2－x)，b＝(－3－x,2x)(x∈R)，则|a＋b|的取值范围为________．[解析]∵a＋b＝(x，x＋2)，∴|a＋b|＝x2＋(x＋2)2＝2x2＋4x＋4＝2(x＋1)2＋2≥2，∴|a＋b|∈[2，＋∞)．[答案][2，＋∞)向量的夹角与垂直问题[探究问题]1．设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？[提示]cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.2．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，当a与b的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？[提示]∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∴|a|＝2，|b|＝1＋λ2，a·b＝λ－1.∵a ，b 的夹角α为钝角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0，∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．(1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2)D ．(－2,2)(2)已知a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋mb )⊥(a －b )，则实数m 为何值？ [思路探究] (1)可利用a ，b 夹角为锐角⇔⎩⎨⎧a·b>0a ≠λb 求解．(2)可利用两非零向量a ⊥b ⇔a·b ＝0来求m .[解析] (1)当a 与b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B.[答案] B(2)a ＋mb ＝(3＋2m,4－m )，a －b ＝(1,5)，因为(a ＋mb )⊥(a －b )，所以(a ＋mb )·(a －b )＝0，即(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0，所以m ＝233. [规律方法]1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积． (2)求模．利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模．(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22求3．若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.【导学号：79402096】[解析] 2a －3b ＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k －3，－6)． 因为2a －3b 与c 的夹角为钝角， 则(2k －3，－6)·(2,1)<0且不反向， 即4k －6－6<0， 解得k <3.当2a －3b 与c 反向时，k ＝－92， 所以k 的范围是k <3且k ≠－92.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12 C.12D ．1D [由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a ·b ＝2－x ＝1，故x ＝1.] 2．已知a ＝(－2,1)，b ＝(x ，－2)，且a ⊥b ，则x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2A [由题意，a ·b ＝(－2,1)·(x ，－2)＝－2x －2＝0，解得x ＝－1.故选A .] 3．若a ＝(3，－1)，b ＝(x ，－2)，且〈a ，b 〉＝π4，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．4D ．－4A [∵a ·b ＝|a |·|b |cos π4， ∴3x ＋2＝10×x 2＋4×22，解得x ＝1或x ＝－4. 又∵3x ＋2>0， ∴x >－23，故x ＝1.]4．设a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)且a ⊥b ，则x ＝________. [解析] ∵a ⊥b ， ∴a ·b ＝0. 即x ＋2(x ＋1)＝0. 解得x ＝－23. [答案] －235．已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)， 求：(1)a·b ；(2)(a ＋b )2；(3)(a ＋b )·(a －b )． [解] (1)因为a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)， 所以a·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5. (2)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， 所以(a ＋b )2＝|a ＋b|2＝42＋(－3)2＝25. (3)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， a －b ＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)， (a ＋b )·(a －b )＝(4，－3)·(2,1)＝8－3＝5.。

向量的数量积坐标运算向量的数量积，也称为点积或内积，是一种在向量空间中定义的操作，其结果是一个标量。

对于两个n维向量A和B，其数量积可以表示为A·B，也可以写作A·B = |A||B|cos θ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ是A和B之间的夹角。

此外，数量积也可以通过坐标运算来计算。

假设向量A = (a1, a2, ..., an)，向量B = (b1, b2, ..., bn)，则向量A和B的数量积可以表示为：A·B = a1b1 + a2b2+ ... + an*bn这个公式可以理解为，向量A和B的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。

数量积的坐标运算具有许多重要的性质和应用。

首先，数量积满足交换律和分配律，即A·B = B·A和(A+B)·C = A·C + B·C。

其次，数量积可以用来计算两个向量的夹角，通过公式θ = arccos((A·B) / (|A||B|))，其中arccos表示反余弦函数。

此外，数量积还可以用来判断两个向量的方向，如果A·B > 0，则A和B的夹角小于90度，方向大致相同；如果A·B < 0，则A和B的夹角大于90度，方向大致相反；如果A·B = 0，则A和B垂直，方向垂直。

在实际应用中，向量的数量积被广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。

例如，在物理学中，向量的数量积可以用来计算力所做的功、两个力的夹角等；在工程学中，向量的数量积可以用来计算向量的投影、判断向量的方向等；在计算机科学中，向量的数量积可以用来实现各种向量运算和算法。

总之，向量的数量积是一种重要的向量运算，它不仅可以通过坐标运算来计算，而且具有许多重要的性质和应用。

通过掌握数量积的计算方法和性质，我们可以更好地理解向量的概念和应用，为实际应用提供有力支持。

平面向量的数量积和叉积的坐标表示平面向量是在二维平面上具有大小和方向的量，可以用有向线段表示。

在平面向量的运算中，数量积和叉积是常见的两种运算方式，它们在坐标表示中有着独特的形式和应用。

一、数量积的坐标表示数量积又称为点积或内积，表示两个向量之间的相对关系。

设有两个平面向量A和B，它们的数量积可以用如下公式表示：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角。

在坐标表示中，平面向量可以用其坐标表示成分的形式表示，设向量A的坐标表示为(A1, A2)，向量B的坐标表示为(B1, B2)，则向量A 和B的数量积可以表示为：A·B = A1B1 + A2B2换句话说，数量积等于两个向量对应坐标分量之积的算术和。

这个表达式表示了平面向量数量积的坐标表示。

二、叉积的坐标表示叉积又称为向量积或外积，表示两个向量之间的垂直关系。

设有两个平面向量A和B，它们的叉积可以用如下公式表示：A×B = |A||B|sinθn其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角，n为垂直于A和B所在平面的单位向量。

在坐标表示中，平面向量可以用其坐标表示成分的形式表示，设向量A的坐标表示为(A1, A2)，向量B的坐标表示为(B1, B2)，则向量A和B的叉积可以表示为：A×B = (0, 0, A1B2 - A2B1)其中，叉积的坐标表示是一个三维向量，第一个分量和第二个分量都为0，只有第三个分量与A和B的坐标分量有关。

这个表达式表示了平面向量叉积的坐标表示。

三、数量积和叉积的应用1. 数量积的应用：- 判断两个向量是否相互垂直，若A·B=0，则向量A和向量B垂直。

- 计算两个向量之间的夹角，通过A·B = |A||B|cosθ可以求得夹角θ的值。

- 判断向量的方向，若A·B>0，则A和B的夹角小于90度，A在B的同向；若A·B<0，则A和B的夹角大于90度，A在B的反向。