向量加减法数乘的坐标运算习题

向量运算法则练习题(附答案)以下是向量运算法则的练题及其答案。

1. 向量相加已知向量A = (3, 4) 和向量B = (5, -2)，求向量C = A + B 的值。

解答:向量C的值为：(3+5, 4+(-2)) = (8, 2)2. 向量相减已知向量D = (6, 2) 和向量E = (3, -1)，求向量F = D - E 的值。

解答:向量F的值为：(6-3, 2-(-1)) = (3, 3)3. 向量数量乘法已知向量G = (2, -3)，求向量H = 3G 的值。

解答:向量H的值为：(3 * 2, 3 * (-3)) = (6, -9)4. 向量点乘已知向量I = (1, -2) 和向量J = (3, 4)，求向量K = I · J 的值。

解答:向量K的值为：(1 * 3) + (-2 * 4) = 3 - 8 = -55. 向量夹角已知向量L = (2, 2) 和向量M = (-1, 3)，求向量L和向量M的夹角的余弦值。

解答:设向量L和向量M的夹角为θ，则向量L·向量M = |L| * |M| * cos(θ)向量L·向量M = (2 * -1) + (2 * 3) = -2 + 6 = 4|L| = √(2^2 + 2^2) = √(4 + 4) = √8|M| = √((-1)^2 + 3^2) = √(1 + 9) = √104 = √8 * √10 * cos(θ)cos(θ) = 4 / (√8 * √10) ≈ 0.89以上是向量运算法则的练习题及其答案。

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第六章平面向量及其应用6.3.3平面向量加、减运算坐标表示一、基础巩固等于 【详解】因为12AB AD AD DE AE +=+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，6．已知(5,4)a =r ，(3,2)b =r ，则与23a b -r r 平行的单位向量为( )A ．525,55æöç÷ç÷èøB ．525,55æöç÷ç÷èø或525,55æö--ç÷ç÷èøC ．(1,2)或(1,2)--D ．(1,2)【答案】B【详解】解：∵(5,4)a =r ，(3,2)b =r ，23(1,2)a b \-=r r ，22|23|125a b \-=+=r r ，则与23a b -r r 平行的单位向量为15(23)(1,2)5|23|a b a b ±×-=±-r r r r ，化简得，525,55æöç÷ç÷èø或525,55æö--ç÷ç÷èø．7．在矩形ABCD 中， 5AB =，3BC =，P 为矩形内一点，且52AP =，若(),AP AB AD R l m l m =+Îuuu r uuu r uuu r ，则53l m +的最大值为（ ）A ．52B ．102C ．334+D ．6324+【答案】B【详解】由题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A ，()5,0B ，()0,3D ，设(),P x y ，则(),AP x y =uuu r ，()5,3AB AD l m l m +=uuu r uuu r ，8．已知点P 分12PP uuuu v 的比为23-，设A ．2-B ．3(7,8)，u u u r解得432x y ì=ïíï=î，所以4,23P æöç÷èø，当点P 靠近点2P 时，122PPPP =uuu r uuur ，则()()24124x x y y ì=-ïí-=-ïî，解得833x y ì=ïíï=î，所以8,33P æöç÷èø，11．（多选）已知向量1(1,2)e =-u r ，2(2,1)e =u u r ，若向量1122a e e l l =+r u r u u r ，则可使120l l <成立的a r 可能是 （ ）A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(−1,0)D ．(0,−1)【答案】AC【详解】11221212=(2,2)a e e l l l l l l =+-++r u r u u r 若(1,0)a =r ,则12122120l l l l -+=ìí+=î,解得1212,55l l =-=,120l l <,满足题意;若(0,1)a =r ,则12122021l l l l -+=ìí+=î,解得1221,55l l ==,120l l >,不满足题意;因为向量(1,0)-与向量(1,0)共线,所以向量(1,0)-也满足题意.12．（多选）已知向量(,3)a x =v ，(3,)b x =-v ，则下列叙述中，不正确是（ ）A ．存在实数x ，使a bv v P B ．存在实数x ，使()a b a +v v P v C ．存在实数x ，m ，使()ma b a+v P v v D ．存在实数x ，m ，使()ma b b +v P vv 【答案】ABC【详解】由a b r r P ，得29x =-，无实数解，故A 中叙述错误；(3,3)a b x x +=-+r r ，由()a b a +r r r ∥，得3(3)(3)0x x x --+=，即29x =-，无实数解，故B 中叙述错误；(3,3)ma b mx m x +=-+r r ，由()ma b a +r r r ∥，得(3)3(3)0m x x mx +--=，即29x =-，无实数解，故心中叙述错误；由()ma b b +r r r ∥，得3(3)(3)0m x x mx -+--=，即()290m x +=，所以0m =，x ÎR ，故D 中叙述正确．二、拓展提升13．如图，已知ABCD Y 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别是(2,1)-，(1,3)-，(3,4)，求顶点D 的坐标．【答案】(2,2)【详解】解：设顶点D 的坐标为(,)x y ．(2,1)A -Q ，(1,3)B -，(3,4)C ，(1(2),31)(1,2)AB \=----=uuu r ，(3,4)DC x y =--uuu r ，又AB DC =uuu r uuur，所以(1,2)(3,4)x y =--．即13,24,x y =-ìí=-î解得2,2.x y =ìí=î所以顶点D 的坐标为(2,2)．由平行线分线段成比例得：1234h MB h AB ==，1122132142MNC ABC h NC S h NC NC S h BC BC h BC D D ´´==×=×´´89NC BC \=，89NC BC \=uuu r uuu r ，8（1）求点B，点C的坐标；（2）求四边形OABC的面积.【答案】（1）533,,,222 B Cæöæç÷çç÷çèøè。

6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示A 级必备知识基础练1.向量a=(2,3),b=(1,-1),则2a+b=( ) A.10B.(5,5)C.(5,6)D.(5,7)2.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c 等于( ) A.(-2,6) B.(-4,0) C.(7,6)D.(-2,0)3.(多选题)下列各对向量不共线的是( ) A.a=(2,3),b=(3,-2) B.a=(2,3),b=(4,-6) C.a=(√2,-1),b=(1,√2) D.a=(1,√2),b=(√2,2)4.已知四边形ABCD 的三个顶点为A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则顶点D 的坐标为( ) A.(2,72)B.(2,-12)C.(3,2)D.(1,3)5.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c ∥(2a+b),则λ= .6.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,m),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-1),若点A,B,C 在同一条直线上,且m=2n,则m+n= .7.已知a=(x+3,x 2-3x-4),A(1,2),B(3,2). (1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,求x 的值; (2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥a,求x 的值.8.如图,已知在△AOB 中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 与BC 相交于点M,求点M 的坐标.B 级关键能力提升练9.已知点A(√3,1),B(0,0),C(√3,0),∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于点E,设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCE ⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ等于( ) A.2B.12C.-3D.-1310.设向量a=(a 1,b 1),b=(a 2,b 2),定义一种运算“ ”,向量a b=(a 1,b 1) (a 2,b 2)=(a 2b 1,a 1b 2).已知m=2,12,n=(π3,0),点P(x,y)在y=sin x 的图象上运动,点Q 在y=f( OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +n(其中O 为坐标原点),则y=f(x)的最小值为 ( )A.-1B.-2C.2D.1211.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(3,1),B(-2,2),C(-1,4). (1)以线段AB,AC 为邻边作平行四边形ACDB,求向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标; (2)设实数t 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t OC⃗⃗⃗⃗⃗ )∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求t 的值.12.如图所示,设点P(x,y)是线段P 1P 2上不同于P 1,P 2的点,且满足|P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ,即P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ叫做点P 分有向线段P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的比,点P 叫做有向线段P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的以λ为定比的定比分点.求点P 的坐标,并思考P 1,P 2中点的坐标公式.参考答案6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示1.B ∵向量a=(2,3),b=(1,-1),∴2a+b=(5,5),故选B.2.D ∵a-3b+2c=0,∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),即{2x -5+9=0,2y +6-6=0,∴{x =-2,y =0,即c=(-2,0).故选D. 3.ABC A,B,C 中各对向量均不满足向量共线定理,D 中b=√2a,两个向量共线.4.A 设顶点D 的坐标为(x,y).因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y-2),且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{2x =4,2y -4=3,所以{x =2,y =72,所以选A. 5.122a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c ∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=12.6.9或92AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2). 因为A,B,C 共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, 所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①又m=2n,②解①②组成的方程组得{m =6,n =3或{m =3,n =32. 所以m+n=9或m+n=92.7.解(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a, 所以{x +3=2,x 2-3x -4=0,解得x=-1.(2)因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥a,所以x 2-3x-4=0,解得x=-1或4.8.解因为OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(0,5)=(0,54),所以C (0,54). 因为OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(4,3)=(2,32),所以D (2,32).设M(x,y),则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y-5),CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y -54),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,74),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,32)-(0,5)=(2,-72).因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以-72x-2(y-5)=0,即7x+4y=20. ①因为CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CB⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以74x-4(y -54)=0,即7x-16y=-20. ②联立①②,解得的坐标为(127,2).9.C 如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴|EC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1tan60°=√33.∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ<0,∴|λ|=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗||CE ⃗⃗⃗⃗⃗|=√3√33=3.∴λ=-3.10.B 由题意知,点P 的坐标为(x,sin OP⃗⃗⃗⃗⃗ +n=(12x ,2sinx)+(π3,0)=(12x +π3,2sinx).又因为点Q 在y=f(x)的图象上运动,所以点Q 的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin (2x -2π3).所以函数y=f(x)的最小值为-2.11.解(1)由向量加法的平行四边形法则知, AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-5,1)+(-4,3)=(-9,4). (2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-5,1)-(-t,4t)=(t-5,1-4t),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,4)-(-2,2)=(1,2). 因为(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以(t-5)×2=1-4t, 解得t=116.12.解设P(x,y),P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则根据题意,得(x-x 1,y-y 1)=λ(x 2-x,y 2-y), 即{x -x 1=λ(x 2-x ),y -y 1=λ(y 2-y ),当λ≠-1时,解得{x=x1+λx21+λ,y=y1+λy21+λ.则点P的坐标为x1+λx21+λ,y1+λy21+λ.当λ=1时,点P的坐标为x1+x22,y1+y22,这就是线段P1P2的中点坐标公式.。

平面向量的坐标运算〔典型例题〕[教学重点]理解平面向量的坐标表示及它们之间的一一对应关系；掌握平面向量的加法、减法、实数与向量积的坐标运算法那么；能够判断向量的平行或由向量的平行求解向量的坐标.[教学难点]理解平面向量的坐标表示是几何问题代数化的根底，将求解的几何图形问题，放置在直角坐标系下，通过向量的坐标运算到达求解的目的，是本章内容的重要思想方法和具体应用.[典型例题]例1、A、B、C、D是平面直角坐标系中任意位置上四个不同点，求证:.解:设A、B、C、D四点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), (x3, y3), (x4, y4)，那么由向量的坐标表示可得:再由向量和的坐标运算得例2．ΔABC内一点G，使得，D是BC中点，求证:点G是ΔABC的重心，且.解:如下图建立直角坐标系:设A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), G(x, y)那么由∴即∴即(x-x1, y-y1)=(x2+x3-2x, y2+y3-2y)∴x-x1=x2+x3-2x, y-y1=y2+y3-2y∴x2+x3=3x-x1, y2+y3=3y-y1由∴∴即将x2+x3=3x-x1,y2+y3=3y-y1代入∴∴即，且必有∴A、G、D三点共线，即中线AD过G点.同理可证AC、AB边上中线也必过G点.故G是ΔABC的重心.例3．设向量，假设，求使成立的实数λ和x的值.解:由向量的坐标运算法那么∵∴∴由∴，即.例4．如图，直角ΔABE的直角边为AB、AE，以AB、AE为边在ΔABE外部作正方形ABCD 和正方形AEFG，连结CE交AB于N点，连结BF交AE于M点，证明AM=AN.解:此题除了用平面几何的方法求证，可用平面向量知识及运算求证.如图建立坐标系设AE边长为a，AB边长为b, 那么E(a, 0), B(0, -b), F(a, a),C(-b, -b).设M(x, 0), N(0, y)那么，∵，∴ab-(a+b)x=0∴,即，由，且，∴(a+b)(y+b)-b2=0, ∴,即，∴，∴AM=AN.课外练习：1．假设点P(2,3),Q(3,a),R(4,b)共线，那么有〔〕.A、a=4,b=5B、b-a=1C、2a-b=3D、a-2b=32．点A(-1,-2), ，那么C点坐标为〔〕.A、(0, 1)B、(1, 3) C 、(0, -1) D、(3, 1)3．ΔABC中，顶点B(1,1), C(2, -6), D是BC边上一点，假设ΔABD的面积是ΔABC面积的，那么点D的坐标为〔〕.A、B、C、D、4．a、b、c是两两不相等的实数，那么点A(a+b，c), B(b+c，a), C(c+a，b)的位置关系满足〔〕.A、在同一条直线上B、是RtΔ的三个顶点C、是等边Δ的三个顶点D、是钝角Δ的三个顶点5．ΔABC中，A(3, 6), B(0, 0), C(6,2)，过AB边上一点D作BC的平行线，交AC于E点，假设ΔADE的面积是梯形DECB面积的，求D、E两点坐标.参考答案：1.C2.A3.D4.A5. 解:由DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC，∵ΔADE面积是梯形DECB面积∴ΔADE面积是ΔABC面积，∴，∴，设D(x1, y1), E(x2, y2)∴,,,由x1-3=-1, y1-6=-2∴x1=2, y1=4.由x2-3=1, , ∴x2=4, ,∴.。

第六章 6.2.3向量的数乘运算【基础篇】题型1 向量的数乘的定义与运算法则 1．已知λ∈R ，则下列结论正确的是( ) A ．|λa |＝λ|a | B ．|λa |＝|λ|a C ．|λa |＝|λ||a |D ．|λa |>02．若a ，b 为已知向量，且 23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，则c ＝________.题型2 向量的数乘的应用3．如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，AG →＝2GD →，则用向量AB →，AC →表示BG →为( )A .BG →＝－23AB →＋13AC →B .BG →＝－13AB →＋23AC →C .BG →＝23AB →－13AC →D .BG →＝23AB →＋13AC →4．如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，DC 的中点，AD →＝m ，BC →＝n ，则EF →＝( ) A .12m ＋12n B .23m ＋13n C.34m ＋14nD .13m ＋23n题型3 向量共线的判定5．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，且a ，b 不共线，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线6．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若2OA →＋3OC →＝2OD →＋3OB →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形7．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，其中e 1，e 2不共线．问是否存在实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？题型4 向量共线定理的应用8．如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是BN 上一点．若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A .911B .211C .311D .1119．在△ABC 中，点D 在边BC 的延长线上，且BC →＝3CD →.若AO →＝xAB →＋(1－x)AC →，－13<x<0，则点O 在( ) A ．线段BC 上 B ．线段CD 上 C ．线段AC 上D ．线段AD 上10．在△ABC 中，点D 满足AD →＝16AB →＋12AC →，直线AD 与BC 交于点E ，则|CE →||CB →|的值为( ) A .12 B .13 C .14D .1511．设e 1，e 2是空间内两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋ke 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝________．【提升篇】1．在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，则( ) A .AO →＝AB →＋AD → B .AO →＝12(AB →＋AD →)C .AO →＝AB →－AD → D .AO →＝12(AB →－AD →)2．已知向量a ，b 不共线．若向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，则λ的值为( ) A ．1 B ．0C ．－1D ．±13．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，已知PTAP ＝5－12，则( )A .CT →＝3－52CA →＋3－52CE →B .CT →＝5－12CA →＋5－12CE →C .CT →＝3－54CA →＋3－54CE →D .CT →＝3－54CA →＋5－12CE →4．已知O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心5．(多选)[重庆南开中学2022质量检测]已知点P 是△ABC 的中线BD 上一点(不包含端点)且AP →＝xAB →＋yAC →，则下列说法正确的是( ) A ．x ＋2y ＝1B ．2x ＋y ＝1C ．2x ＋4y ≥2 2D ．log 2x ＋log 2y≥－36．(多选)[山东师范大学附属中学2022高一月考]已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且PA →＋2PB →＋3PC →＝0.若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．向量PA →与PC →可能平行 B ．点P 在线段EF 的延长线上 C ．点P 在线段EF 上 D ．PE ∶PF ＝2∶17．已知M 是△ABC 所在平面内的一点．若满足6AM →－AB →－2AC →＝0，且S △ABC ＝λS △ABM ，则实数λ的值是________．8．[山东历城二中、章丘四中等校2022高一联考]在△ABC 中，点P 满足BP ＝2PC ，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AB →＝λAM →，AC →＝μAN →(λ>0，μ>0)，求1λ＋1μ的最小值．9．已知e 1，e 2是平面上两个不共线的向量，且AB →＝k e 1－4e 2，CD →＝－e 1＋k e 2，BD →＝e 1＋2e 2.(1)若AB →，CD →方向相反，求k 的值； (2)若A ，C ，D 三点共线，求k 的值．答案及解析1.【答案】C【详解】当λ<0时，|λa |＝λ|a |不成立，A 错误；|λa |是一个非负实数，而|λ|a 是一个向量，B 错误；当λ＝0或a ＝0时，|λa |＝0，D 错误．故选C. 2.【答案】1213b －839a【详解】∵23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，∴83a －2c ＋15c －12b ＝0，化简得13c ＝12b －83a ，∴c ＝1213b －839a . 3.【答案】A【详解】由题意可得BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋23AD →＝BA →＋23×12(AB →＋AC →)＝BA →＋13AB →＋13AC →＝13AC→－23AB →.故选A. 4.【答案】A【详解】由已知可得CF →＋DF →＝0，EA →＋EB →＝0，由平面向量的加法可得⎩⎪⎨⎪⎧EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →，上述两个等式相加可得2EF →＝AD →＋BC →＝m ＋n ，则EF →＝12(m ＋n )．故选A. 5.【答案】B【详解】∵AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，且a ，b 不共线，∴BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b .∵AB →＝a ＋5b ，∴BD →＝AB →，即BD →与AB →共线，则A ，B ，D 三点共线，故选B. 6.【答案】B【详解】∵2OA →＋3OC →＝2OD →＋3OB →，∴2(OA →－OD →)＝3(OB →－OC →)，∴2DA →＝3CB →，∴四边形ABCD 一定是梯形．故选B.7.【答案】由题意得d ＝λa ＋μb ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2， 若d 与c 共线，则存在实数k ≠0，使d ＝kc ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，解得λ＝－2μ. 故存在实数λ，μ，且λ＝－2μ，使d 与c 共线． 8.【答案】D【详解】由题意可得AC →＝5AN →，则AP →＝mAB →＋211×5AN →＝mAB →＋1011AN →.因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋1011＝1，即m ＝111.9.【答案】B【详解】由向量共线定理可知O ，B ，C 三点共线． ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3AD →－3AC →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.又∵－13<x <0，∴点O 在线段CD 上，且不与C ，D 两点重合．10.【答案】C【解析】设AE →＝λAD →＝λ6AB →＋λ2AC →，则CE →＝AE →－AC →＝λAD →－AC →＝λ6AB →＋λ2AC →－AC →＝λ6AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2－1AC →， CB →＝AB →－AC →，且CE →，CB →共线，设CE →＝kCB →， 则λ6AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2－1AC →＝k (AB →－AC →)， 所以⎩⎨⎧λ6＝k ，λ2－1＝－k ，所以λ6＝1－λ2，解得λ＝32，此时CE →＝14AB →－14AC →，所以CE →＝14CB →，故|CE →||CB →|＝14.故选C. 11.【答案】1【详解】依题意，CD →＝e 1＋2e 2， 故AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 已知A ，B ，D 三点共线，可设AD →＝λAB →， 则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋ke 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧7＝λ，k ＋6＝kλ，解得k ＝1.1.【答案】B【详解】如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，由平行四边形法则得AB →＋AD→＝AC →＝2AO →，所以AO →＝12(AB →＋AD →)．故选B.2.【答案】C【详解】∵向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，∴(a ＋λb )∥(b ＋λa )．由向量共线的充要条件可知，存在一个实数m ，使得a ＋λb ＝m (b ＋λa )，即(1－mλ)a ＝(m －λ)b .∵a 与b 不共线，∴1－mλ＝m －λ＝0，可得m ＝λ.∴1－λ2＝0，λ＝±1.当λ＝1时，向量a ＋b 与b ＋a 是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去．∴λ＝－1.3.【答案】A【详解】设AP ＝1，则PT ＝5－12＝TS ，CP ＝1＋5－12＝5＋12＝CS ， CT →＝CA →＋AT →＝CA →＋25－1TS →＝CA →＋25－1(CS →－CT →)＝CA →＋25－1(1＋5－122＋5－12CE →－CT →)＝CA→＋CE →－5＋12CT →，所以5＋32CT →＝CA →＋CE →，所以CT →＝3－52CA →＋3－52CE →. 故选A. 4.【答案】B【详解】AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，设∠BAC 的平分线为AD ，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为AD → 的方向． 又∵λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在射线AD 上移动． ∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 5.【答案】AC【详解】因为AP →＝xAB →＋yAC →，所以AP →＝xAB →＋2yAD →.又B ，P ，D 三点共线，所以x ＋2y ＝1，所以选项A 正确，选项B 错误．x ＋2y ＝1，所以2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥2 2x ·22y ＝2 2x＋2y＝2 2(当且仅当x ＝12，y ＝14时等号成立)，所以选项C 正确．因为x ＋2y ＝1≥2 2xy ，所以xy ≤18⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝12，y ＝14时等号成立， 所以log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )≤log 218＝－3，所以选项D 错误．故选AC. 6.【答案】CD【详解】点P 为△ABC 所在平面内一点，E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则P A →＋PC →＝2PE →，PB →＋PC →＝2PF →，而P A →＋2PB →＋3PC →＝0，即(PA →＋PC →)＋2(PB →＋PC →)＝0，于是得2PE →＋4PF →＝0，即EP →＝2PF →，所以点P 在线段EF 上，且PE ∶PF ＝2∶1，即点P ，A ，C 不共线，则向量PA →与PC →不可能平行，A 不正确，B 不正确，C 正确，D 正确．故选CD .7.【答案】3【详解】如图，记2AM →＝AN →.∵AN →－AB →＋2AN →－2AC →＝0， ∴BN →＝2NC →，S △ABC ＝32S △ABN .又∵S △ABM ＝12S △ABN ，∴S △ABC ＝3S △ABM ，∴λ＝3.8.【答案】【详解】连接AP ，如图．∵△ABC 中，BP →＝BA →＋AP →，PC →＝PA →＋AC →， 点P 满足BP →＝2PC →， ∴－AB →＋AP →＝2(AC →－AP →)， ∴AP →＝23AC →＋13AB →.又∵AB →＝λAM →，AC →＝μAN →(λ>0，μ>0)， ∴AP →＝2μ3AN →＋λ3AM →.又∵M ，P ，N 三点共线， ∴2μ3＋λ3＝1，λ>0，μ>0， ∴1λ＋1μ＝⎝⎛⎭⎫1λ＋1μ·⎝⎛⎭⎫2μ3＋λ3＝2μ3λ＋λ3μ＋1≥2 2μ3λ·λ3μ＋1＝2 23＋1, 当且仅当2μ3λ＝λ3μ，即⎩⎪⎨⎪⎧μ＝3（2－2）2，λ＝3（2－1） 时取“＝”，则1λ＋1μ的最小值为2 23＋1. 9.【答案】(1)由题意知，AB →∥CD →，则存在λ∈R ，使得AB →＝λCD →，即k e 1－4e 2＝λ(－e 1＋k e 2)，整理得(k ＋λ)e 1＝(kλ＋4)e 2. 由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋λ＝0，kλ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，k ＝2. 又AB →，CD →方向相反，则λ＝－2，k ＝2，故k 的值为2.(2)由题意知，AD →＝AB →＋BD →＝(k ＋1)e 1－2e 2.由A ，C ，D 三点共线得，存在μ∈R ，使得AD →＝μCD →，即(k ＋1)e 1－2e 2＝μ(－e 1＋k e 2)，整理得(k ＋μ＋1)e 1＝(kμ＋2)e 2. 由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋μ＋1＝0，kμ＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，μ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，μ＝1.综上，k ＝1或k ＝－2.。

向量要求层次重难点平面向量的相关概念B①理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．②理解向量的几何表示．向量的线 性运算向量加法与减法C ① 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．② 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含．③ 了解向量线性运算的性质及其几何意义．向量的数乘 C 两个向量共线B（一） 知识内容⑴ 向量的概念：在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量．有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点．例如，力就是既有大小和方向，又有作用点的向量．有些量只有大小和方向，而无特定的位置．例如，位移、速度等，通常把后一类向量叫做自由向量．高中阶段学习的主要是自由向量，以后我们说到向量，如无特别说明，指的都是自由向量．是可以任意平行移动的．向量不同于数量，数量之间可以进行各种代数运算，可以比较大小，两个向量不能比较大小．⑵ 向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量.的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：AB ，注意起点在前，终点在后．⑶ 相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．可根据右图的正六边形，或根据下题平行四边形讲解相等向量．POE DCBA例题精讲高考要求板块一：向量的基本概念向量的概念、加减、数乘B已知E、F、G、H分别是平行四边形ABCD边AB、DC、BC、AD的中点，O为对角线AC与BD的交点，分别写图中与DF，BH，AO相等的向量．解：DF FC GO OH AE EB========BH HC AG GD=AO OC⑷向量共线或平行：通过有向线段AB的直线，叫做向量AB的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a平行于向量b，记作a∥b．说明：共线向量的方向相同或相反，注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形．⑸零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0．零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行．⑹用向量表示点的位置：任给一定点O和向量a，过点O作有向线段OA a=，则点A相对于点O 位置被向量a所唯一确定，这时向量OA又常叫做点A相对于点O的位置向量．⋅=．AB AC3（二）典例分析：【例1】给出命题⑴零向量的长度为零，方向是任意的.⑵若a，b都是单位向量，则a＝b.⑶向量AB与向量BA相等.⑷若非零向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点共线.以上命题中，正确命题序号是（）A．⑴ B．⑵ C．⑴⑶ D．⑴⑷【例2】下列命题中正确的有：( )⑴四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB DC=；⑵向量AB与BA是两平行向量；⑶向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上；⑷单位向量不一定都相等；⑸a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线； ⑹平行向量的方向一定相同；【变式】 平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．λ∃∈R ，b a λ=D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=【例3】 ⑴设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则0a a a =⋅；②若a 与0a 平行，则0a a a =⋅；③若a 与0a 平行且1a =，则0a a =．上述命题中，假命题个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3⑵若非零向量a ，b 满足a b b -=，则（ ）A ．22b a b >-B ．22b a b <-C ．22a a b >-D ．22a a b <-【变式】 给出下列命题：①若a b =，则a b =；②若A B C D ，，，是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a b =，b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是a b =且a b ∥； ⑤若a b ∥，b c ∥，则a c ∥；其中正确的序号是 ．【例4】 如图所示，1A ，2A ，3A ，…，8A 是O 的8个等分点，以1A ，2A ，…，8A 及O 这9个点中任意两个为起始点和终点的向量中，模等于半倍的向量有多少个？【变式】 （海淀区2008-2009学年度第一学期期末试卷）如图，在正方形ABCD 中，下列描述中正确的是（ ）A ．AB BC =B ．AB CD =C ．2AC AB = D．AB BC AB BC +=-A 35A D CBA（一） 知识内容1. 向量的加法：a+babbabb aba a+b CCOBa+b b+ccbaa+b+c⑴ 向量加法的三角形法则：已知向量,a b ，在平面上任取一点A ，作AB a =，BC b =，再作向量AC ，则向量AC 叫做a 和b 的和（或和向量），记作a b +，即a b AB BC AC +=+=． ⑵ 向量求和的平行四边形法则：① 已知两个不共线的向量a ，b ，作AB a =，AD b =，则A ，B ，D 三点不共线，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC a b =+，这个法则叫做向量求和的平行四边形法则． ② 向量的运算性质：向量加法的交换律：a b b a +=+ 向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++关于0：00a a a +=+= ⑶ 向量求和的多边形法则：已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．2. 向量的减法：dcbaa+b+c+dbacda-b baO⑴ 相反向量：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量，记作a -． 零向量的相反向量仍是零向量．⑵ 差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．推论：一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记“终点向量减始点向量”．⑶ 一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量板块二：向量的加减运算（三）典例分析：【例5】 设P 是ABC △所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A ．0PA PB += B ．0PC PA += C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++=【变式】 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）A ．AB DC = B ．AD AB AC += C ．AB AD BD -= D ．0AD CB +=【例6】 D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =（ ）A ．12BC BA -B ．12BC BA -- C ．12BC BA -+D ．12BC BA +.【例7】 设D ，E ，F ，分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC ( ) A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【例8】 根据图示填空：⑴ a b += ；⑵ e b d ++= ．【例9】 化简下列各式：⑴ 7()8()a b a b +--； ⑵ 12(2)(432)6a b c a b c +---+【例10】 如图，D ，E ，F 分别是ABC ∆的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ）A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=DCBAFE DCBA【例11】 已知O A B ，，是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =( )A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+【例12】 如图所示，E F 、是四边形ABCD 的对角线AC BD 、的中点，已知,AB a CD c ==，求向量EF ．【例13】 已知O A B ，，是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（ ）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+【例14】 已知任意四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，求证：1()2EF AB DC =+．【例15】 ⑴ 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．⑵ 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设对角线AC =a ，BD =b ，用a ，b 表示BC ，AB ．CAAC【例16】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、ODOE ．【例17】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +⑵在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．【变式】 证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．OCA【变式】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．ONM CBA【变式】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的点．且1BF a FC a =-，1DE bEC b=-， 若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．FB【变式】 设正六边形ABCDEF 的对角线,AC CE 分别被内点,M N 分成为AM CNr AC CE==，如果,,B M N 共线，求r 的值．【变式】 证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．（一） 知识内容3. 数乘向量：定义：实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作a λ，且a λ的长a a λλ=<教师备案> 判断正误：已知λμ∈R ，．①()a b a b λλλ+=+；（√） ②()a a a λμλμ+=+；（√） ③()()a a λμλμ=；（√） ④()()a b a b λμλμ+=++．（×）4. 向量共线的条件⑴ 平行向量基本定理：如果a b λ=，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且0b ≠，则一定存在唯一的一个实数λ，使a b λ=．⑵ 单位向量：给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量．如果a 的单位向量记作0a ，由数乘向量的定义可知0a a a =或0a a a=．（三）典例分析：【例18】 设12,e e 是不共线的向量，已知向量1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若A B D 、、三点共线，求k 的值．OCBA板块三：向量的数乘与共线【变式】 设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知a b +与c 共线，且b c +与a 共线，则b a c ++= ．【变式】 已知,a b 是不共线的向量，25AB a b =+，8BC a b =-+，3()CD a b =-，则A B D 、、C 、四点中共线的三点是___________【变式】 设,a b 是不共线的两个向量，已知22(2)AB ka k b =+-，BC a b =+，2CD a b =-，若A B D、、三点共线，求k 的值．【变式】 证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．ODCBA【例19】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点,若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．F CBA【变式】 如图，在∆ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是（ ） A ．23BG BE = B ．2CG GF =C ．12DG AG =D ．121332DA FC BC +=【变式】 已知五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、H 分别是MN 和PQ 的中点，求证：KH 平行且等于14AE .ED CBA MNP Q K HGFEDC BA【变式】 如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AD 、CD 的中点，BE 、BF 与对角线AC 分别交于点R 和点T ．求证AR RT TC ==．(向量法)TRF E D CB A【变式】 四边形ABCD 中，E ，F ，M ，N 分别为BC ，AD ，BD ，AC 的中点，O 为MN 的中点，试用向量的方法证明：O 也是EF 的中点．FEO MNDCB A【变式】 ⑴在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a =，BD b =，则AF =( )A ．1142a b +B ．2133a b +C ．1124a b +D ．1233a b +⑵如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD xAB y AC =+， 则x = ，y = ．OF E DCBA【变式】 若等边ABC ∆的边长为23，平面内一点M 满足1263CM CB CA =+，则MA = ，MB = ．（用CB ，CA 向量表示） FECBA M三角形有五心：内心、外心、垂心、重心和旁心，这里我们用向量这个工具来研究三角形的前四心，有些地方涉及到数量积，老师可以根据情况先补充数量积的知识，或将这些地方跳过去以后再讲．板块四：三角形有五心相关证明60︒45︒EDBCA⑴内心：过点A ，方向平行于向量()(0)||||AB ACAB AC λλ+≠的直线过ABC ∆的内心(BAC ∠的角分线所在直线)；||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为ABC ∆的内心；⑵外心：PA PB PC ==⇔P 为ABC ∆的外心；⑶垂心：PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心（先补充数量积的相关知识） ⑷重心：0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心．另外：在ABC ∆中，G 为平面上任意一点，有1()3GO GA GB GC =++⇔O 为ABC ∆的重心1()()()()03GO GA GB GC GA GO GB GO GC GO =++⇒-+-+-=，即0OA OB OC ++=，知O 为ABC ∆的重心；若O 为ABC ∆的重心，则11()(3)33GA GB GC GO OA OB OC ++=+++20OA OB OC OA OE ++=+=，故1()3GA GB GC GO ++=.【例20】 在OAB ∆中，M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，P 为,ON AM 交点，利用向量证明23AP AM =，即重心为中线的一个三等分点．【变式】 ⑴已知3()2(2)4()0m a m a m a b -++-+-=，则m =⑵已知a ，b 方向相同，且3a =，7b =，则2a b -=【变式】 若O 是ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的（ ）Ａ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心【变式】 （2003年天津）O 是平面内一定点，A ,B ,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[0,)λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心【变式】 若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则内角C 的大小为____OEDC BA【变式】 已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且设AM xAB =，AN y AC =，则113x y+=．NMGCBA【变式】 非正ABC △的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，求实数m 的值．【变式】 如图，设G 为OAB ∆的重心，过G 的直线与,OA OB 分别交于P 和Q ，已OP hOA =，OQ kOB =，OAB ∆与OPQ ∆的面积分别为S 和T ．求证：⑴113h k+=；⑵4192S T S ≤≤．【例21】 已知任意四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，求证：1()2EF AB DC =+．E BBAMG QP O【例22】 如图所示，E F 、是四边形ABCD 的对角线AC BD 、的中 点，已知,AB a CD c ==，求向量EF ．A【变式】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a =，BD b =，则AF =（ ）A ． 1142a b +B ． 2133a b +C ． 1124a b +D ． 1233a b +【变式】 已知点M 是ABC ∆的重心，,MA a MB b ==，用,a b 表示,,AB AC BC ．FEDCBAM【变式】 M 、N 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的靠近A 的三等分点．求证：13MN BC =，且MN ∥BC ．【变式】 已知矩形ABCD 中，宽为2，长为AB a =，BC b =，AC c =，试作出向量a b c ++，并求其长度．OFE DCBA【变式】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为 ．ONMCBA。

高中学生学科素质训练高一数学同步测试（9）—向量的加减法、实数与向量的乘积一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）1．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于（ ）A ．+B ．+C ．DH +D ．GH +2．下列说法正确的是 （ ） A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量的长度为0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 -+等于（ ）A ．B ．4C ．4D ．4 4．已知向量与反向，下列等式中成立的是（ ） A ．||||||-=- B ．||||-=+C ．||||||-=+D ．||||||+=+5．在 ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）A ．=+B ．=-C ．=-D ．=-6．下列各量中是向量的是（ ） A ．质量 B ．距离C ．速度D ．电流强度7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （ ）A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 8．若),,(,,,R ∈=+μλμλ不共线则（ ）A ．==,B ．o ==μ,C ．o ==,λD ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(21[31--+的结果是（ ）A ．-2B ．-2C ．-D ．-10．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量。

其中正确的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③11．若2121,,PP P OP λ===，则等于 （ ）A ．b a λ+B ．b a +λC ．)1(λλ-+D ．λλλ+++111 12．已知ABCD 为菱形，则下列各式中正确的个数为 （ ）①=②||||=③||||+=-④||4||||22=+2A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．21,e e 不共线，当k= 时，2121,e k e b e e k a +=+=共线. 14．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,-=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .16．已知,,的模分别为1、2、3，则||++的最大值为 .三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、 B 、D 三点共线，求k 的值.18．已知△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是.=++19．已知向量,,32,32212121e e e e e e 与其中+=-=不共线向量,9221e e -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量与μλ+=共线？20．试证：以三角形三边上的中线为边可以作一个三角形.21．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使 21λλ+=.22．一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行3000千米到达13地，然后向C 地飞行，设C 地恰在A 地的北偏东30°，并且A 、C 两地相距3000千米，求飞机从B 地向C 地飞行 的方向和B 、C 两地的距离.高一数学同步测试（9）参考答案一、1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 9．B 10．B 11．D 12．C二、13．1± 14．120° 15．菱形 16．6三、17．k=－818．设P 、Q 、R 分别是BC 、CA 、AB 的中点，则.3,,3231,3231,3231000000重合与故可知则为重心设反之故O O OC OB OA OO O O O O =++==++=++=+++=+=+=19．μλμλμλμλμλ2.,,2933222-=∈-=⎩⎨⎧-=+-=+只要故存在解之R k k即可.20．如图，=++===则,,λ)()(21=+++++=++故证21．如图，作PE ∥AB ，PD ∥AC ，则21==λλ=+=+=+∴21λλ 22．（1）3000千米 （2）正东方向。

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知向量，且，则的值为A．B．C．5D．13【答案】B【解析】由题意结合向量共线的充要条件可得：2×6-（-3）x=0，解得x=-4故=（-2，3），由模长公式可得故选C【考点】１．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；２．平面向量共线（平行）的坐标表示．2.已知向量＝(5，－3)，＝(－6，4)，则＝( )A．(1，1)B．(－1，－1)C．(1，－1)D．(－1，1)【答案】D【解析】根据向量坐标运算法则，＝(5，－3)＋(－6，4)＝(－1，1)，选D【考点】平面向量坐标运算.3.平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则 .【答案】2.【解析】由题意得：，选D.法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得【考点】向量的夹角及向量的坐标运算.4.已知△ABC的顶点分别为A(2,1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，则点D的坐标为()A．(－，)B．(，－)C．(，)D．(－，－)【答案】C【解析】设点D的坐标为(x，y)，∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC，∴⊥，又C，B，D三点共线，∴∥.又＝(x－2，y－1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，∴，解方程组得x＝，y＝，∴点D的坐标为(，)．5.在平面直角坐标系中，，，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解法一：设点，易知点为第二象限，且有，，因此可得，解得，故选A；解法二：由于，不妨设点，则，而，，故点的坐标为，故选A.【考点】1.平面向量；2.三角函数的定义；3.诱导公式6.已知，,如果∥，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，即.【考点】向量平行的充要条件.7.（2012•广东）若向量，向量，则=（）A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）【答案】A【解析】∵向量，向量，∴，∴=（﹣4，﹣7）﹣（﹣2，﹣3）=（﹣2，﹣4）．故选A．8.已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．25【答案】C【解析】∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．9.若向量，则( )A．(1，1)B．（-1，-1）C．(3，7)D．（-3，-7）【答案】B【解析】解：所以选B．【考点】向量的运算．10.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，将直线方程代人，整理得，，所以，，．由于点在圆上，所以，，解得，，故选．【考点】直线与圆的位置关系，平面向量的坐标运算．11.已知向量，，若，在向量上的投影相等，且，则向量的坐标为 .【答案】【解析】设，由已知有，即，即，即①，由已知，即②，①②联立得，即.【考点】向量的运算.12.已知平面向量，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，故选B.【考点】平面向量的坐标运算13.已知平面向量，，. 若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，，由于，则，解得，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.共线向量14.已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为________．【答案】【解析】设D(x，y)，则由＝2，得(4，3)＝2(x，y－2)，得解得15.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝________．【答案】(－3，－5)【解析】由题意，得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．16.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，求m的值．【答案】m＝－1.【解析】a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1，2)．∵ (a＋b)∥c，∴，∴ m＝－1.17.已知a＝(sin α，sin β)，b＝(cos(α－β)，－1)，c＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠kπ＋(k∈Z)．(1)若b∥c，求tan α·tan β的值；(2)求a2＋b·c的值．【答案】（1）－3（2）－1【解析】(1)若b∥c，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0，∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，∵α，β≠kπ＋ (k∈Z)，∴tan αtan β＝－3.(2)a2＋b·c＝sin2α＋sin2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2＝sin2α＋sin2β＋cos2αcos2β－sin2αsin2β－2＝sin2α＋cos2αsin2β＋cos2αcos2β－2＝sin2α＋cos2α－2＝1－2＝－1.18.在平面直角坐标系中，点，，若向量，则实数（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因为，故，即，解得.【考点】1、向量的坐标运算；2、向量垂直.19.向量，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.【考点】平面向量的减法运算20.在平面直角坐标系中，若点，，，则________．【答案】【解析】.【考点】向量的坐标运算及向量的模.21.已知平面向量，，则向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量的坐标运算22.已知正方体的棱长为，，点N为的中点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0，a），N（a，0，），(a,a，0)，设M（x，y，z），因为，所以（x-0，y-0，z-a）=（a-x，a-y，0-z）即，解得，即M（,,），所以=，故选A.【考点】空间向量的坐标运算和向量的模.23.已知平面向量，，且，则向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，则，所以，故选A.【考点】平面向量的坐标运算24.已知向量，，则在方向上的投影等于．【答案】【解析】，cos<>=,所以在方向上的投影等于 cos<>= =.【考点】1.向量的坐标运算；2.向量的夹角公式；3.向量的模.25.设，向量，，，且，∥，则= ．【答案】15【解析】由，∥得，．【考点】1.向量的数量积；2.共线向量的充要条件；3.向量的坐标运算26.已知两点，向量，若，则实数的值为( )A．-2B．﹣l C．1D．2【答案】B【解析】由已知得，所以由得，，解得.【考点】向量垂直的坐标表示27.已知平面向量，，且，则的值为 .【答案】【解析】.【考点】平面向量数量积运算.28.设，，若，则____________.【答案】【解析】因为，所以，即，解得.【考点】平面向量垂直的坐标表示29.已知向量，若，则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得，所以.【考点】向量的坐标运算.30.设，，若，则实数________．【答案】【解析】因为，又，所以，答案，.【考点】平面向量坐标运算、平面向量数量积.31.已知双曲线：，若存在过右焦点的直线与双曲线相交于两点且，则双曲线离心率的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为过右焦点的直线与双曲线相交于两点且，故直线与双曲线相交只能如图所示的情况，即A点在双曲线的左支，B点在右支，设，右焦点，因为，所以，由图可知，，所以故，即，即，选C.【考点】平面向量的坐标运算、双曲线性质、双曲线离心率、不等式的性质.32.设，，若，则实数________．【答案】【解析】因为，又，所以，答案，.【考点】平面向量坐标运算、平面向量数量积.33.若，则 .【答案】(3，4)【解析】．【考点】向量的坐标运算.34.已知向量，，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，解得，，所以，，，，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积35.如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设扇形所在的圆的半径为1，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，，则，由题意可得,令，则在不是单调函数，从而在一定有解，即在时有解，可得，即，经检验此时此时正好有极大值点．【考点】1.向量的坐标运算;2.函数的性质.36.已知向量，，若，则=（）A．-4B．-3C．-2D．-1【答案】B【解析】由.故选B.【考点】向量的坐标运算37.已知点( )A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A【考点】本题考查单位向量的定义和坐标运算。

向量运算练习题集1. 向量概念总结：向量是具有大小和方向的量，常表示为箭头。

记作a⃗，其中a表示向量名称，⃗表示向量符号。

2. 向量的表示方法：a) 用坐标表示：设向量a⃗的起点为原点O，终点为点P(x,y)，则记作a⃗=(x,y)。

b) 用分量表示：设向量a⃗与坐标轴正方向的夹角分别为α和β，则a⃗=a1⃗i+a2⃗j，其中a1和a2分别是向量在x轴和y轴上的投影。

3. 向量的运算法则：a) 向量的加法：设向量a⃗的终点为点P，向量b⃗的终点为点Q，则a⃗+b⃗的终点为点R，连接O和R，得到新的向量c⃗，即c⃗=a⃗+b⃗。

b) 向量的减法：设向量a⃗的终点为点P，向量b⃗的终点为点Q，则a⃗-b⃗的终点为点R，连接O和R，得到新的向量c⃗，即c⃗=a⃗-b⃗。

c) 向量的数乘：设向量a⃗的终点为点P，则k⃗a⃗的终点为点Q，其中k为实数，连接O和Q，得到新的向量b⃗，即b⃗=k⃗a⃗。

4. 向量运算的性质：a) 交换律：a⃗+b⃗=b⃗+a⃗b) 结合律：(a⃗+b⃗)+c⃗=a⃗+(b⃗+c⃗)c) 数乘结合律：k⃗(a⃗+b⃗)=k⃗a⃗+k⃗b⃗d) 数乘分配律：(k+m)⃗a⃗=k⃗a⃗+m⃗a⃗5. 向量运算的练习题：练习题1：已知向量a⃗=(3,4)，b⃗=(5,-2)，计算a⃗+b⃗。

解答：将向量a⃗和b⃗的坐标分量相加，得到新的向量c⃗=(3+5,4+(-2))=(8,2)。

练习题2：已知向量a⃗=(1,2)，b⃗=(3,-1)，计算a⃗-b⃗。

解答：将向量a⃗和b⃗的坐标分量相减，得到新的向量c⃗=(1-3,2-(-1))=(-2,3)。

练习题3：已知向量a⃗=(2,3)，计算2⃗a⃗。

解答：将向量a⃗的坐标分量乘以系数2，得到新的向量b⃗=(2×2,3×2)=(4,6)。

练习题4：已知向量a⃗=(3,1)，b⃗=(2,-2)，计算3⃗a⃗+2⃗b⃗。

解答：将向量a⃗和b⃗的坐标分量乘以各自对应的系数，然后相加，得到新的向量c⃗=(3×3+2×2,1×3+(-2)×2)=(13,-1)。

1 / 3三、向量数乘运算及其几何意义一、知识回顾：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个 ，记作 ，它的模与方向规定如下： １）||a λ= ；2） λ＞０时,a λ的方向与 的方向相同；当λ＜０时, a λ的方向与 的方向相反； 实数与向量的积的运算律：运算律：()a λμ= ； ()a λμ+= ； ()a b λ+= .2．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得二、沙场练兵：1．已知向量a = e 1-2 e 2，b =2 e 1+e 2, 其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6 e 1-2 e 2的关系为（ ） A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．无法确定2．已知向量e 1、e 2不共线，实数(3x -4y )e 1＋(2x -3y )e 2 =6e 1+3e 2 ,则x －y 的值等于 （ ） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．23．若AB =3a , CD =－5a ,且||||AD BC =,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 4．AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD =a ,BE =b ,那么BC 为（ ）A ．32a ＋34bB ．32a －32bC ．32a －34bD ． －32a ＋34b5．已知向量a ,b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b 共线的条件是 （ ） ①2a -3b =4e 且a +2b = -3e ②存在相异实数λ ，μ，使λa -μb =0③x a +y b =0 (其中实数x , y 满足x +y =0) ④已知梯形ABCD ，其中AB =a ,CD =b A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④*6．已知△ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，若PA PB PC AB ++=，则（ ） A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上 D ．P 在线段BC 上二、填空题7．若|a |=3,b 与a 方向相反,且|b |=5,则a = b8．已知向量e 1 ,e 2不共线，若λe 1－e 2与e 1－λe 2共线,则实数λ=9．a ,b 是两个不共线的向量，且AB =2a ＋k b ,CB =a ＋3b ,CD =2a －b ,若A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值可为*10．已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ,CD =5a ＋6b －8c 对角线AC 、BD 的中点为E 、F ，则向量EF =三、解答题11．计算：⑴(－7)×6a =⑵4(a ＋b )－3(a －b )－8a =⑶(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )=12．如图，设AM 是△ABC 的中线，AB =a , AC =b ,求AM13．设两个非零向量a 与b 不共线,⑴若AB =a ＋b ,BC =2a ＋8b ,CD =3(a －b ) ,求证：A 、B 、D 三点共线; ⑵试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.*14．设OA ,OB 不共线,P 点在AB 上,求证:OP =λOA +μOB 且λ+μ=1(λ, μ∈R).四、平面向量基本定理及坐标表示（1）一、知识回顾：1．平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线．．．向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使： ，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的 。

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.若向量则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵∴.【考点】向量的运算.2.（2013•重庆）OA为边，OB为对角线的矩形中，，，则实数k= _________．【答案】4【解析】由于OA为边，OB为对角线的矩形中，OA⊥AB，∴=0，即==（﹣3，1）•（﹣2，k）﹣10=6+k﹣10=0，解得k=4，故答案为 43.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．4.已知两点，，若，则点的坐标是 .【答案】【解析】设点的坐标是，则由得即点的坐标是.【考点】向量坐标运算5.已知=（3，4），=（2，3），=（5，0），则||•（）=（）A．（12，3）B．（7，3）C．（35，15）D．（6，2）【答案】C【解析】∵=（3，4），=（2，3），=（5，0），∴||=5，+=（7，3），∴||•（）=5（7，3）=（35，15）故选C．6.已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．25【答案】C【解析】∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．7.在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||<，则||的取值范围是()A．(0，]B．(，]C．(，]D．(，]【答案】D【解析】因为⊥，所以可如图建立直角坐标系，设O(x，y)，||=a，||=b，因为=+，所以P(a，b)因为||=||=1，所以由知，点O在以点（a，0)为圆心，1为半径的圆上，所以同理由得，．所以．又由得，而由可得，，即，所以．综上所述，即．8.已知向量若，则m=______.【答案】-3【解析】根据向量加法的坐标运算得，，因为，故，故填-3【考点】向量加法向量共线9.已知平面向量，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，故选B.【考点】平面向量的坐标运算10.若向量a＝(2，3)，b＝(x，－9)，且a∥b，则实数x＝________．【答案】－6【解析】a∥b，所以2×(－9)－3x＝0，解得x＝－6.11.已知A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且＝3，＝2，求点M、N及的坐标．【答案】(9，－18)．【解析】∵ A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)，∴＝(1，8)，＝(6，3)，∴＝3＝(3，24)，＝2＝(12，6)．设M(x，y)，则有＝(x＋3，y＋4)，∴ M点的坐标为(0，20)．同理可求得N点的坐标为(9，2)，因此＝(9，－18)．故所求点M、N的坐标分别为(0，20)、(9，2)，的坐标为(9，－18)．12.在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)满足p∥q，则C＝________．【答案】【解析】由p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)且p∥q，得4S＝a2＋b2－c2，即2abcosC＝4S＝2absinC，所以tanC＝1.又0＜C＜π，所以C＝.13.平面向量，，满足，，，，则的最小值为．【答案】【解析】设,,,，，,由得：,最小值是.【考点】1.向量的坐标表示；2.向量的代数公式；3.二次函数求最值.14.若向量，，且与垂直，则实数的值为．【答案】或【解析】由已知得：.【考点】平面向量.15.设向量，，则向量在向量上的投影为 .【答案】【解析】向量在向量上的投影为.【考点】向量运算.16.如图，已知圆，四边形ABCD为圆的内接正方形，E,F分别为边AB,AD的中点，当正方形ABCD绕圆心转动时，的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为圆的半径为2，所以正方形的边长为.因为.所以==.所以.故选B.【考点】1.向量的和差.2.向量的数量积.3.由未知线段转化为已知线段.4.化归思想.17.在平面直角坐标系中，点，，若向量，则实数_____．【答案】4【解析】，因为，故，即，解得.【考点】1、向量的坐标运算；2、向量垂直.18.向量，，且，则锐角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1、平行向量；2、三角函数的求值.19.在平面直角坐标系中，已知向量若，则x=( ) A．-2B．-4C．-3D．-1【答案】D【解析】∵，∴，则，所以，又，∴，．【考点】1、向量的坐标运算；2、向量共线的坐标表示.20.已知正方体的棱长为，，点N为的中点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0，a），N（a，0，），(a,a，0)，设M（x，y，z），因为，所以（x-0，y-0，z-a）=（a-x，a-y，0-z）即，解得，即M（,,），所以=，故选A.【考点】空间向量的坐标运算和向量的模.21.若向量，，则___________．【答案】【解析】.【考点】平面向量的坐标运算22.已知正边长等于，点在其外接圆上运动，则的最大值是 .【答案】【解析】可以考虑建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以，显然，所以的最大值是.【考点】平面向量综合运算.23.已知，且与共线，则y= .【答案】【解析】因为与共线，所以，解得.【考点】平面向量共线的坐标运算24.已知，且与共线，则y= .【答案】【解析】因为与共线，所以，解得.【考点】平面向量共线的坐标运算25.已知向量，且，则实数的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，向量，且，所以，，选C.【考点】平面向量的坐标运算，共线向量.26.在平面直角坐标系中，已知点，若，则实数的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，在平面直角坐标系中，点，所以，，又，所以，，选C.【考点】平面向量的概念，共线向量.27.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】建立如图所示坐标系，不妨设，则，所以，，由与向量的夹角大于，得，即，故答案为.【考点】平面向量的坐标运算，平面向量的数量积、夹角、模.28.设，，若，则实数________．【答案】【解析】因为，又，所以，答案，.【考点】平面向量坐标运算、平面向量数量积.29.平行四边形中，=（1，0），=（2，2），则等于（）A．4B．-4C．2D．-2【答案】A【解析】由,所以.故选A.【考点】1.向量的加减运算；2.向量的数量积30.已知向量，，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，解得，，所以，，，，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积31.已知向量，向量，则的最大值和最小值分别为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以；.【考点】本小题主要考查平面向量坐标运算，求向量的模.32.设，向量且，则= ．【答案】【解析】由,得，所以.【考点】向量垂直的坐标表示.33.若向量，则向量与的夹角的余弦值为 .【答案】【解析】，，两向量的夹角的余弦为.【考点】向量的加、减、数量积运算.34.在ΔABC中，=600，O为ΔABC的外心，P为劣弧AC上一动点，且（x,y∈R)，则x+y的取值范围为_____.【答案】[1,2]【解析】如图建立直角坐标系，O为坐标原点，设C（1,0），，，则，，，即，，解得，，又，，.【考点】向量坐标运算、三角函数.35.已知向量，，若，则=（）A．-4B．-3C．-2D．-1【答案】B【解析】∵，∴.∴，即，∴.故选B.【考点】向量的坐标运算36.如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60°，∠ABD=45°，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆的半径为1，以作为坐标原点建立坐标系，则,,，,,,，,因为，所以，所以，，所以.【考点】向量运算点评：本题关键是建立坐标系，求出向量坐标，利用向量相等解题是关键，属中档题.37.已知：为单位向量，，且，则与的夹角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，且，所以与的夹角是，故选D。

考点36 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算【答案】−3【解析】由a =(2，1)，b =(1，−2)，可得ma ＋nb =(2m ，m )＋(n ，−2n )=(2m ＋n ，m −2n )，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝5，从而m −n =−3. 【点睛】（1）要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．（2）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．，－1)、c ＝(－1，2)，则向量c 等于( )A ．－12a ＋32bB ．32a －12bC ．12a －32bD ．－32a ＋12b 【答案】C【解析】c =12a －32b ＝(12－32，12＋32)＝(－1，2)，故选C ．2．已知向量a ＝(2，4)、b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( )A ．(5，7)B ．(5，9)C ．(3，7)D ．(3，9)【答案】A【解析】2a －b ＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)，故选A.3．已知()5,3AB =-，()1,3C -，2CD AB =，则点D 的坐标是A ．()11,3-B ．()9,3-C ．()9,3D ．()4,0【答案】B【解析】设点D (x ，y )，所以CD =（x +1，y −3），2AB =（10，−6）， 所以11036x y +=⎧⎨-=-⎩，解之得x =9，y =−3.所以点D 的坐标为（9，−3）. 故答案为B.【名师点睛】（1）本题主要考查向量的坐标表示和运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. （2）()()1122,,,,A x y B x y 则()2121,AB x x y y =--.4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →＝________.【答案】(－3，－5)【解析】AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．5．（1）设向量a 、b 的坐标分别是(－1，2)、(3，－5)，求a ＋b ，a －b ，2a ＋3b 的坐标；（2）设向量a 、b 、c 的坐标分别为(1，－3)、(－2，4)、(0，5)，求3a －b ＋c 的坐标．【解析】（1）a ＋b ＝(－1，2)＋(3，－5)＝(－1＋3，2－5)＝(2，－3)；a －b ＝(－1，2)－(3，－5)＝(－1－3，2＋5)＝(－4，7)；2a ＋3b ＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(－2＋9，4－15)＝(7，－11)．（2）3a －b ＋c ＝3(1，－3)－(－2，4)＋(0，5)＝(3，－9)－(－2，4)＋(0，5)＝(3＋2＋0，－9－4＋5)＝(5，－8)．6．已知点()()()2,4,3,1,3,4A B C ----，设向量,,AB BC CA ===a b c .（1）若m n =+a b c ，求实数,m n 的值；（2）若2,3CN CM =-=b c ，求向量MN 的坐标.。

向量的加减和数乘一、单选题（共19题；共38分）1.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且，则（）A. B. C. D.2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则（）A. B. C. D.3.在三棱柱中，若，，，则A. B. C. D.4.空间四边形中，, , ,点在上，且，为中点，则=（）A. B. C. D.5.如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，M是AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B. C. D.6.在直三棱柱中，若，，，则（）A. B. C. D.7.如图，在正方体中，若，则x+y+z的值为（）A. 3B. 1C. -1D. -38.已知空间四边形OABC，，N分别是OA，BC的中点，且，，=c，用a，b，c 表示向量为（）A. B.C. D.9.如图，在三棱柱ABC-A 1B1C1中，为A1C1的中点，若=a，，，则下列向量与相等的是（）A. B. C. D.10.如图，空间四边形OABC中，= ，= ，= ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N 为BC的中点，则=（）A. ﹣+ +B. ﹣+C. + ﹣D. + ﹣11.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若= ，= ，= ，则=（）A. + ﹣B. ﹣+C. ﹣+ +D. ﹣+ ﹣12..如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则等于（）A. B.C. D.13.已知空间四边形，其对角线为，分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是（）A. B.C. D.14.在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{ ，，}可表示为（）A. B. C. D.15.已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用a，b，c 表示，则等于（）A. B. C. D.16.如图，空间四边形OABC中，= ，= ，= ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N 为BC的中点，则=（）A. ﹣+ +B. ﹣+C. + ﹣D. + ﹣17.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若= ，= ，= ，则=（）A. （+ ﹣）B. （+ ﹣）C. （﹣）D. （﹣）18.如图，在四边形ABCD中，下列各式成立的是（）A. ﹣=B. + =C. + + =D. + = +19.如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，则+(+)等于（）A. B. C. D.二、填空题（共2题；共2分）20.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M．设，，，用，，表示向量，则=________．21.如图，三棱锥P﹣ABC中，M是AC的中点，Q是BM的中点，若实数x，y，z满足，则x﹣y+z=________答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】空间向量的加减法【解析】【解答】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，∴α= ，β=﹣1，故答案为：A．【分析】反复的运用向量加法，结合待定系数法，即可得出答案。

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示基础达标一、选择题1.已知向量a ＝(3，5)，b ＝(cos α，sin α)，且a ∥b ，则tan α等于( ) A.35B.53C.－35D.－53解析 由a ∥b ，得5cos α－3sin α＝0，即tan α＝53. 答案 B2.下列向量中，与向量c ＝(2，3)不共线的一个向量p 等于( ) A.(5，4) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 解析 因为向量c ＝(2，3)，对于A ，2×4－3×5＝－7≠0，所以A 中向量与c 不共线. 答案 A3.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A.e 1＝(2，2)，e 2＝(1，1) B.e 1＝(1，－2)，e 2＝(4，－8) C.e 1＝(1，0)，e 2＝(0，－1) D.e 1＝(1，－2)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1解析 选项C 中，e 1，e 2不共线，可作为一组基底. 答案 C4.向量a ＝(1，－2)，|b |＝4|a |，a ∥b ，则b 可能是( ) A.(4，8) B.(8，4) C.(－4，－8)D.(－4，8)解析 由a ∥b 可排除A ，B ，C ，故选D. 答案 D5.向量P A →＝(k ，12)，PB →＝(4，5)，PC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则k 的值为( ) A.－2 B.11 C.－2或11D.2或11解析 AB →＝PB →－P A →＝(4－k ，－7)，BC →＝PC →－PB →＝(6，k －5)，由题知AB →∥BC →，故(4－k )(k －5)－(－7)×6＝0，解得k ＝11或k ＝－2. 答案 C 二、填空题6.设向量a ＝(1，0)，b ＝(1，1)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(6，2)共线，则实数λ＝________.解析 λa ＋b ＝(λ，0)＋(1，1)＝(λ＋1，1)，因为(λa ＋b )∥c ，所以2(λ＋1)－6＝0，解得λ＝2. 答案 27.已知A (2，0)，B (0，2)，若AC→＝13AB →，则点C 的坐标是________. 解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x －2，y )，AB →＝(－2，2)， 所以(x －2，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23，得x ＝43，y ＝23，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，238.设OA→＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数m 的取值范围是________. 解析 ∵A ，B ，C 三点能构成三角形， ∴AB→，AC →不共线. 又∵AB→＝(1，1)，AC →＝(m －2，4)， ∴1×4－1×(m －2)≠0. 解得m ≠6.∴m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠6}.答案 {m |m ∈R 且m ≠6} 三、解答题9.如图所示，在平行四边形ABCD 中，A (0，0)，B (3，1)，C (4，3)，D (1，2)，M ，N 分别为DC ，AB 的中点，求AM→，CN →的坐标，并判断AM →，CN →是否共线.解 由已知可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， 所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52，CN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－52， 由52×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－52×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝0，所以AM →和CN →共线. 10.已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求点M ，N 的坐标.证明 法一 ∵A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA →＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， CB→＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3). ∵CM→＝3CA →，CN →＝2CB →， ∴CM→＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2(6，3)＝(12，6). 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)， CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)， ∴⎩⎨⎧x 1＋3＝3，y 1＋4＝24，⎩⎨⎧x 2＋3＝12，y 2＋4＝6.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝20，⎩⎨⎧x 2＝9，y 2＝2.∴M (0，20)，N (9，2).法二 设O 点为坐标原点， 则由CM→＝3CA →，CN →＝2CB →， 可得OM→－OC →＝3(OA →－OC →)， ON→－OC →＝2(OB →－OC →)， ∴OM→＝3OA →－2OC →，ON →＝2OB →－OC →. ∴OM→＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON→＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2). ∴M (0，20)，N (9，2).能力提升11.平面上有A (2，－1)，B (1，4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC→＝12BC→，连接DC 延长至E ，使|CE →|＝14|ED →|，则点E 的坐标为________. 解析 ∵AC→＝12BC →，∴A 为BC 的中点，AC →＝BA →，设C (x C ，y C )，则(x C －2，y C ＋1)＝(1，－5)， ∴C 点的坐标为(3，－6)，又|CE→|＝14|ED →|，且E 在DC 的延长线上， ∴CE→＝－14ED →， 设E (x ，y )，则(x －3，y ＋6)＝－14(4－x ，－3－y )， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－14（4－x ），y ＋6＝－14（－3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝－7.故点E 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－712.已知向量OA→＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－x ，－3－y ).(1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求x ，y 应满足的条件； (2)若AC→＝2BC →，求x ，y 的值. 解 (1)因为点A ，B ，C 不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线. 由题意得AB →＝(3，1)，AC →＝(2－x ，1－y )，所以3(1－y )＝2－x .所以x ，y 满足的条件为x －3y ＋1＝0. (2)BC→＝(－x －1，－y )， 由AC→＝2BC →得(2－x ，1－y )＝2(－x －1，－y )， 所以⎩⎨⎧2－x ＝－2x －2，1－y ＝－2y ，解得⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－1.即x ，y 的值分别为－4，－1.创新猜想13.(多选题)已知点A (2，1)，B (0，2)，C (－2，1)，O (0，0)，给出下面四个结论，其中正确的有( ) A.OC→与BA →平行 B.AB→＋BC →＝CA → C.OA→＋OC →＝OB →D.AC→＝OB →－2OA → 解析 BA →＝(2，－1)，OC →＝(－2，1)，又2×1－(－1)×(－2)＝0，所以OC →与BA →平行，A 正确.AB→＋BC →＝AC →≠CA →，所以B 不正确. OA→＋OC →＝(0，2)＝OB →，所以C 正确. AC→＝(－4，0)，OB →－2OA →＝(0，2)－(4，2)＝(－4，0)，所以D 正确. 答案 ACD14.(多选题)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(－3，x )，则下列叙述中不正确的是( ) A.存在实数x ，使a ∥b B.存在实数x ，使(a ＋b )∥a C.存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥aD.存在实数x，m，使(m a＋b)∥b解析只有D正确，可令m＝0，则m a＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b.答案ABC。