向量的数乘及坐标运算

数学中的向量运算在数学中的向量运算向量是数学中的重要概念，它可以用来描述物理量的大小和方向。

在数学中，向量可以进行各种运算，如加法、减法、数量乘法、点积和叉积等。

本文将详细介绍数学中的向量运算及其应用。

一、向量的定义和表示方法在数学中，向量通常用带箭头上方加粗的小写字母表示，比如`a`。

向量的表示方法有多种，可以用坐标表示，也可以用起点和终点的坐标表示。

例如，向量`a`可以用坐标表示为`(a₁, a₂, a₃)`，也可以用起点和终点的坐标表示为`a(a₁, a₁, a₁) → a(a₂, a₂, a₂)`。

二、向量的加法和减法向量的加法和减法是最基本的向量运算。

向量的加法可以通过将对应的坐标相加来实现。

例如，给定向量`a(a₁, a₂, a₃)`和向量`a(a₁, a₂, a₃)`，它们的和为`a + a = (a₁ + a₁, a₂ + a₂, a₃ + a₃)`。

向量的减法可以通过将对应的坐标相减来实现。

例如，给定向量`a(a₁, a₂, a₃)`和向量`a(a₁, a₂, a₃)`，它们的差为`a - a = (a₁ - a₁, a₂ - a₂, a₃ - a₃)`。

三、数量乘法向量的数量乘法是指将一个标量与向量的每个坐标相乘。

例如，给定标量`a`和向量`a(a₁, a₂, a₃)`，则`aa = (aa₁, aa₂, aa₃)`。

四、点积点积也称为数量积或内积，是向量运算中的一种重要形式。

点积可以通过将对应的坐标相乘再相加来实现。

例如，给定向量`a(a₁, a₂,a₃)`和向量`a(a₁, a₂, a₃)`，它们的点积为`a·a = a₁a₁ + a₂a₂+ a₃a₃`。

点积具有很多重要的性质和应用。

它可以用来计算向量之间的夹角，判断向量的正交性等。

五、叉积叉积也称为向量积或外积，是向量运算中的一种重要形式。

与点积不同，叉积的结果是一个新向量，它的方向垂直于原来的两个向量，大小与原来两个向量构成的平行四边形的面积成正比。

空间向量数量积及坐标运算在空间解析几何中，向量是研究的重要对象之一，而向量的数量积和坐标运算是向量运算中的基本概念。

本文将介绍空间向量的数量积及其坐标运算方法。

一、空间向量的数量积空间中的向量可以用其坐标表示，记作a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2,z2)，其中a、b分别是空间中的两个向量，xi、yi、zi为它们在笛卡尔坐标系中的坐标。

向量的数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应坐标的乘积之和，即：a ·b = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2其中·表示数量积运算。

性质：1.数量积是实数。

2.数量积的结果等于向量乘积和坐标乘积之和。

3.数量积满足交换律：a · b = b · a。

4.数量积满足分配率：(a + b) · c = a · c + b · c。

二、向量的坐标运算1. 向量的加法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的和记为c，则c的坐标为：x = x1 + x2y = y1 + y2z = z1 + z2即向量的和的每个坐标等于对应向量的坐标之和。

性质：1.向量的加法满足交换律：a + b = b + a。

2.向量的加法满足结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。

2. 向量的减法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的差记为c，则c的坐标为：x = x1 - x2y = y1 - y2z = z1 - z2即向量的差的每个坐标等于对应向量的坐标之差。

3. 向量的数乘设k为实数，a = (x, y, z)是空间中的一个向量，ka为向量a的数乘，即ka 的坐标为：x' = k * xy' = k * yz' = k * z性质：1.数乘满足结合律：k(ka) = (k * k')a。

向量的数量积坐标运算原理向量的数量积（也称为点积或内积）是向量运算中的一种重要运算，它用于计算两个向量之间的相似性和夹角。

在三维空间中，向量的数量积可以通过以下公式来表示：A ·B = A * B * cos(θ)其中，A和B是两个向量，A 和B 分别表示它们的模（长度），θ表示A和B 之间的夹角。

向量的数量积可以使用坐标运算来计算。

假设A = (a1, a2, a3)和B = (b1, b2, b3)是两个三维向量，则它们的数量积通过以下公式计算：A ·B = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3在计算数量积时，我们将每个向量的对应坐标相乘，然后将乘积相加，从而得到数量积的结果。

这个过程可以类比于在笛卡尔坐标系中通过向量的投影计算出向量的模和夹角。

为了更好地理解坐标运算原理，我们可以通过一个具体的例子来说明。

假设有两个向量A = (2, 3)和B = (4, 5)，我们可以使用坐标运算来计算它们的数量积。

首先，将向量A和B的对应坐标相乘：A ·B = (2 * 4) + (3 * 5) = 8 + 15 = 23这样，我们得到了向量A和B的数量积为23。

通过计算可以得到，向量A和B 之间的夹角θ约为57.02。

在实际应用中，向量的数量积具有很多重要的性质和应用。

以下是一些常见的性质和应用：1. 平行性：如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直的。

因此，我们可以使用数量积来判断两个向量是否平行。

2. 夹角：通过数量积的公式，我们可以计算出两个向量之间的夹角。

夹角的范围是0到180之间。

3. 正交性：如果两个向量的数量积为0，则它们是正交或垂直的。

因此，我们可以使用数量积来判断两个向量是否正交。

4. 投影：向量的数量积还可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影。

具体而言，如果我们有一个向量A和一个单位向量u，那么向量A在u上的投影可以通过执行数量积A ·u来计算。

坐标向量的运算的所有公式坐标向量的运算是广泛应用在几何、代数、物理等领域的一种数学运算方法，可以用来解决各种复杂的问题。

本文将尝试介绍坐标向量运算的基本公式以及它的应用。

首先，通过研究坐标向量的性质发现，它可以用来表示物理量的运动方向，也可以表示物体的位置。

坐标向量被定义为有向量，可以用来描述方向。

这样，坐标向量可以表示两个物理量之间的运动方向，如势能，速度，加速度等。

其次，坐标向量的运算包括加法运算和乘法运算两种：1.法运算：坐标向量的加法运算是把两个坐标向量相加，得到的结果是另一个坐标向量。

如果用a表示坐标向量，则可用a+b=c的方式表达，其中c表示a和b的和。

2. 乘法运算：坐标向量的乘法运算是把一个坐标向量乘以一个数，得到的结果是另一个坐标向量。

其表示方式为a*b=c，其中c表示a和b的乘积。

此外，坐标向量还可以通过向量乘积、叉乘以及点乘来进行运算： 1.量乘积：坐标向量的乘积，也称积乘（dot product），是把两个坐标向量相乘，得到的结果是一个标量，用a*b=c的方式表达，其中c表示a和b的乘积。

2.乘：坐标向量的叉乘，也称为矢量积（cross product），是把两个坐标向量的叉乘，得到的结果是另一个坐标向量，用a*b=c的方式表达，其中c表示a和b的叉乘结果。

3.乘：坐标向量的点乘，也称为夹角余弦（cosine），是把两个坐标向量的点乘，得到的结果是一个标量，用a*b=c的方式表达，其中c表示a和b的夹角余弦结果。

最后，值得一提的是，坐标向量运算的实际应用，主要是用来解决物体的位置和受力问题。

比如在物理学中常见的势能方程就可以用坐标向量的运算来计算，在机械学中常见的力学平衡问题也可以用坐标向量的运算来求解。

综上所述，坐标向量的运算是一种重要的数学运算方法，可以用来解决各类物理、几何等问题，十分有用。

坐标向量的运算总结起来就是加法、乘法、向量乘积、叉乘以及点乘运算，可以用来解决物体的位置和受力问题，是广泛应用在几何、代数、物理等领域的一种数学运算方法。

高中数学知识点：平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
记aλa=(λx，2．如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置无关．。

向量的坐标表示及其运算教案一、教学目标1. 了解向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。

2. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和数量积。

3. 能够运用向量的坐标表示和运算解决实际问题。

二、教学内容1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量。

2. 向量的坐标表示：在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示。

二维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2) \)三维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)3. 向量的加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \)4. 向量的减法：\( \vec{a} \vec{b} = (a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3) \)5. 向量的数乘：\( k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3) \)6. 向量的数量积（点积）：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \)三、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算方法。

2. 利用多媒体课件，展示向量的图形，帮助学生直观理解向量的概念和运算。

3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量运算的规律和应用。

4. 利用例题，讲解向量运算在实际问题中的应用。

四、教学步骤1. 导入新课：回顾初中阶段学习的向量知识，引出高中阶段向量学习的内容。

2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量的本质。

3. 介绍向量的坐标表示方法，让学生掌握向量的坐标表示。

4. 讲解向量的加法、减法、数乘和数量积运算，让学生熟练掌握运算方法。

5. 利用多媒体课件，展示向量的图形，让学生直观理解向量的运算。

五、课后作业1. 填空题：向量\( \vec{a} = (2, 3) \) 的长度是_______。

向量\( \vec{a} = (1, 2) \) 与向量\( \vec{b} = (-1, 2) \) 垂直。

向量的数乘和点乘一、向量数乘（一）定义1. 实数λ与向量→a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ→a。

2. 当λ > 0 时，λ→a 的方向与→a 的方向相同；当λ < 0 时，λ→a 的方向与→a 的方向相反；当λ = 0 时，λ→a=→0。

3. 设→a=(x,y)，则λ→a=(λ x,λ y)。

（二）运算律1. 结合律：λ(μ→a) = (λμ)→a。

- 例如，设→a=(1,2)，λ = 2，μ=3。

- 先计算μ→a=3(1,2)=(3,6)，再计算λ(μ→a) = 2(3,6)=(6,12)。

- 而 (λμ)→a=(2×3)→a=6(1,2)=(6,12)，两者相等。

2. 第一分配律：(λ+μ)→a=λ→a+μ→a。

- 例如，设→a=(2, - 1)，λ = 1，μ = 2。

- 左边：(λ+μ)→a=(1 + 2)(2,-1)=3(2,-1)=(6,-3)。

- 右边：λ→a+μ→a=1×(2,-1)+2×(2,-1)=(2,-1)+(4,-2)=(6,-3)，等式成立。

3. 第二分配律：λ(→a+→b)=λ→a+λ→b。

- 设→a=(1,3)，→b=( - 1,2)，λ = 2。

- 左边：→a+→b=(1 - 1,3 + 2)=(0,5)，λ(→a+→b)=2(0,5)=(0,10)。

- 右边：λ→a+λ→b=2(1,3)+2(-1,2)=(2,6)+(-2,4)=(0,10)，等式成立。

（三）向量共线定理1. 向量→a(→a≠→0) 与→b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使→b=λ→a。

2. 例如，已知→a=(2,4)，→b=(4,8)，可以发现→b = 2→a，所以→a 与→b 共线。

二、向量点乘（数量积）（一）定义1. 已知两个非零向量→a 和→b，它们的夹角为θ(0≤slantθ≤slantπ)，则把数量 |→a||→b|cosθ叫做→a 与→b 的数量积（或内积），记作→a·→b，即→a·→b=|→a||→b|cosθ。

空间向量坐标运算空间向量是指在空间中有大小和方向的线段。

空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数乘和内积。

下面将对这些运算进行详细介绍。

一、向量的加法设空间中有两个向量A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。

向量的加法即将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量C。

它的坐标为(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)。

例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A+B = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)。

二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量。

设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A减去向量B的坐标为(Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz)。

例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A-B = (1-4, 2-5, 3-6) = (-3, -3, -3)。

三、向量的数乘向量的数乘是指一个向量乘以一个实数。

设向量A的坐标为(Ax, Ay, Az)，实数k，则向量A乘以实数k的坐标为(kAx, kAy, kAz)。

例如，设A = (1, 2, 3)，k = 2，则kA = (2*1, 2*2, 2*3) = (2, 4,6)。

四、向量的内积向量的内积又称为点乘，它是两个向量之间的一种运算。

设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A与向量B的内积为Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz。

例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A·B = 1*4 + 2*5 +3*6 = 32。

向量的内积有以下几个性质：1. 交换律：A·B = B·A；2. 分配律：(A+B)·C = A·C + B·C；3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)。

向量的坐标运算法则向量是数学中的一个重要概念，可以用来描述物体的位置和运动。

在二维平面上，一个向量可以用两个数值（即x和y坐标）表示。

本文将介绍向量的坐标运算法则，包括坐标加法、坐标减法、数乘坐标、坐标点乘和坐标叉乘等方面。

1. 坐标加法定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a+b。

公式：c(x,y)=a(x,y)+b(x,y)坐标加法就是将两个向量的对应坐标相加，得到一个新的向量。

例如，如果向量a的坐标为(1，2)，向量b的坐标为(3，4)，则向量c 的坐标为(1+3，2+4)=(4，6)。

2. 坐标减法定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a-b。

公式：c(x,y)=a(x,y)-b(x,y)坐标减法是将两个向量的对应坐标相减，得到一个新的向量。

例如，如果向量a的坐标为(5，7)，向量b的坐标为(3，5)，则向量c的坐标为(5-3，7-5)=(2，2)。

3. 数乘坐标定义：已知向量a和实数k，求向量b，使得b=k*a。

公式：b(x,y)=k*a(x,y)数乘坐标是将一个向量的每个坐标乘以一个实数，得到一个新的向量。

例如，如果向量a的坐标为(4，5)，实数k为3，则向量b的坐标为(4*3，5*3)=(12，15)。

4. 坐标点乘定义：已知两个向量a和b，求实数c，使得c=a*b。

公式：c=a*b坐标点乘也称为内积或标量积，它是将两个向量的对应坐标相乘，并求和得到一个实数。

例如，如果向量a的坐标为(3，4)，向量b的坐标为(5，6)，则它们的内积为(3*5+4*6)=57。

内积是一个重要的概念，它可以用来表示两个向量的夹角以及向量的长度。

5. 坐标叉乘定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a×b。

公式：c(x,y)=a(x,y)×b(x,y)坐标叉乘也称为外积或向量积，它是通过两个向量的对应坐标之间乘积得到一个新的向量。

例如，如果向量a的坐标为(1，2)，向量b的坐标为(3，4)，则它们的外积为(1*4-2*3)=-2。

两个向量坐标相乘公式向量的乘法是一种运算法则，它可以用来求解向量之间的相互关系和性质。

在向量计算中，有两种主要的向量乘法运算，分别是点积和叉积。

本文将详细介绍这两种向量乘法运算的公式和性质。

1.点积（内积）：点积又称为内积、数量积或标量积，它是两个向量之间的一种运算法则。

点积可以表示为两个向量的模的乘积与它们之间的夹角的余弦值的乘积。

假设有两个向量A和B，它们的坐标表示为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，则它们的点积表示为A·B。

点积的公式为：A·B=a1*b1+a2*b2+a3*b3点积的性质：1)交换律：A·B=B·A2)分配律：(A+B)·C=A·C+B·C3)结合律：(kA)·B=k(A·B)=A·(kB)，其中k是一个标量点积的应用：点积可以用来计算两个向量之间的夹角、向量的投影、判断向量的正交性等。

例如，两个向量的点积等于它们的模的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积，即A·B = ，A，B，cosθ，可以通过点积来判断两个向量的夹角的大小和正交性。

2.叉积（向量积）：叉积又称为向量积、叉乘或矢量积，它也是两个向量之间的一种运算法则。

叉积是一个向量，它的模等于乘积向量的模的乘积与它们之间夹角的正弦值的乘积，并且它的方向垂直于乘积向量所在平面，并满足右手法则。

假设有两个向量A和B，它们的坐标表示为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，则它们的叉积表示为AxB。

叉积的公式为：AxB=(a2*b3-a3*b2,a3*b1-a1*b3,a1*b2-a2*b1)叉积的性质：1)反交换律：AxB=-(BxA)2)分配律：Ax(B+C)=AxB+AxC3)结合律：(kA)xB=k(AxB)叉积的应用：叉积常用于计算平面或空间中的面积、判断向量的共面性、计算力矩等。

数学向量数乘知识点总结一、向量的数乘定义在数学中，向量的数乘是指将一个向量乘以一个标量，得到一个新的向量。

具体来说，如果给定一个向量a和一个标量k，那么向量a经过数乘之后得到的新向量b的每个分量均为原向量a对应分量乘以k，即b = (k * a1, k * a2, ..., k * an)，其中a1, a2, ..., an分别为向量a的各个分量。

二、向量数乘的性质1.分配律：对于任意向量a,b和任意标量k，有k * (a + b) = k * a + k * b2.结合律：对于任意向量a和任意标量k1和k2，有(k1 * k2) * a = k1 * (k2 * a)3.数与标量相乘：对于任意标量k1和k2，有(k1 * k2) * a = k1 * (k2 * a) = (k1 * k2) * a三、向量数乘的应用1.在几何中，可以利用向量数乘来表示长度和方向的变化。

通过调整数乘的值，可以控制向量的长度和方向，从而实现对向量的变换操作。

2.在物理学中，向量数乘可以用来表示力的大小和方向。

通过将力的大小与方向分离开来，可以更加清晰地描述物体受到的力的作用。

3.在工程中，向量数乘可以用来表示物体受到的压力或力的大小。

通过数乘操作，可以将力的大小和方向进行调整，从而实现力的合成和分解操作。

四、向量数乘的运算法则1.向量与零的数乘：任意向量a与零的数乘为零向量，即0 * a = 02.向量的自乘：任意向量a与1的数乘为原向量，即1 * a = a3.向量的负数乘：任意向量a与-1的数乘为a的负向量，即-1 * a = -a4.向量的相反数乘：任意向量a与任意标量k的数乘之后再与-1的数乘相乘等于-a的数乘，即-1 * (k * a) = (-1 * k) * a = -k * a五、向量数乘的几何意义1.向量数乘的几何意义是将向量的长度进行缩放或拉伸，同时改变其方向（如果乘的数是负数的话会改变原向量的方向）。

向量坐标运算公式总结向量是矢量，具有大小和方向的量。

在坐标系中，我们可以用数字对向量进行表示。

向量的坐标运算是指对向量的数值进行加减乘除等运算，以及求模长、取反等操作。

本文将介绍向量坐标运算的相关公式和计算方法。

1. 向量的坐标表示假设有一个向量v，可以用(v1, v2, v3)表示它在坐标系中的坐标。

这里v1、v2、v3分别是向量v在坐标轴x、y、z上的投影，也可以理解为向量v的坐标分量。

2. 向量的加法对于两个向量u和v，它们的坐标分别为(u1, u2, u3)和(v1, v2, v3)。

它们的和向量w的坐标可以表示为(w1, w2, w3)，其中w1 = u1 + v1, w2 = u2 + v2, w3 = u3 + v3。

即向量的加法就是将两个向量的对应坐标相加。

3. 向量的减法对于两个向量u和v，它们的坐标分别为(u1, u2, u3)和(v1, v2, v3)。

它们的差向量w的坐标可以表示为(w1, w2, w3)，其中w1 = u1 - v1, w2 = u2 - v2, w3 = u3 - v3。

即向量的减法就是将两个向量的对应坐标相减。

4. 向量的数乘对于一个向量v，它的坐标为(v1, v2, v3)，一个实数k，那么向量kv的坐标可以表示为(kv1, kv2, kv3)。

即向量的数乘就是将向量的每个坐标与实数相乘。

5. 向量的模长向量的模长表示向量的长度，可以通过坐标计算得到。

对于一个向量v，它的坐标为(v1, v2, v3)，它的模长可以表示为|v| =√(v1² + v2² + v3²)。

即向量的模长等于向量各个坐标分量平方和的平方根。

6. 向量的单位向量单位向量是模长为1的向量，可以通过将向量除以它的模长得到。

对于一个非零向量v，它的单位向量可以表示为u = v / |v|。

即单位向量等于向量v除以它的模长。

7. 向量的点乘对于两个向量u和v，它们的坐标分别为(u1, u2, u3)和(v1, v2,v3)。

a b
，则
≠0)x ）非零向量；
（2）有且只有一个实数λ；
（3）；
（4）条件与结论的互推．
这四个方面我们要认真理解、记忆．
2、要证明向量a、b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa即可．如果a＝b＝0，数λ仍然存在，此时λ并不惟一，是任意数值．
3、关于平面向量的坐标运算，要注意以下几点：
(1)要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
(2)通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对就表示一个向量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．
4、凡遇到与平行有关的问题时，一般地要考虑运用向量平行的充要条件：
(1)b∥a b＝λa(a≠0，λ∈R)
(2)b∥a(a≠0)x1y2－x2y1＝0，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)
四、例题讲解
例1、已知向量a、b是两非零向量，在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是（）
①2a－3b＝4e且a+2b＝-3e；
②存在相异实数λ、μ，使λa+μb＝0；
③x a+y b＝0（其中实数x、y满足x+y＝0）；
④已知梯形ABCD，其中
A．①②B．①③C．②④D．③④
[解析]
例2、如图所示，已知梯形ABCD中AD∥BC，E、F分别是AD、BC边上的中点，且BC＝3AD，试以a、b为基底表示
[解析]
例3、如果向量，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线.
[解析]
例4、已知ADCB是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于F．试用向量方法证明：AF＝AE.。

1 / 3三、向量数乘运算及其几何意义一、知识回顾：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个 ，记作 ，它的模与方向规定如下： １）||a λ= ；2） λ＞０时,a λ的方向与 的方向相同；当λ＜０时, a λ的方向与 的方向相反； 实数与向量的积的运算律：运算律：()a λμ= ； ()a λμ+= ； ()a b λ+= .2．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得二、沙场练兵：1．已知向量a = e 1-2 e 2，b =2 e 1+e 2, 其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6 e 1-2 e 2的关系为（ ） A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．无法确定2．已知向量e 1、e 2不共线，实数(3x -4y )e 1＋(2x -3y )e 2 =6e 1+3e 2 ,则x －y 的值等于 （ ） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．23．若AB =3a , CD =－5a ,且||||AD BC =,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 4．AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD =a ,BE =b ,那么BC 为（ ）A ．32a ＋34bB ．32a －32bC ．32a －34bD ． －32a ＋34b5．已知向量a ,b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b 共线的条件是 （ ） ①2a -3b =4e 且a +2b = -3e ②存在相异实数λ ，μ，使λa -μb =0③x a +y b =0 (其中实数x , y 满足x +y =0) ④已知梯形ABCD ，其中AB =a ,CD =b A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④*6．已知△ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，若PA PB PC AB ++=，则（ ） A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上 D ．P 在线段BC 上二、填空题7．若|a |=3,b 与a 方向相反,且|b |=5,则a = b8．已知向量e 1 ,e 2不共线，若λe 1－e 2与e 1－λe 2共线,则实数λ=9．a ,b 是两个不共线的向量，且AB =2a ＋k b ,CB =a ＋3b ,CD =2a －b ,若A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值可为*10．已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ,CD =5a ＋6b －8c 对角线AC 、BD 的中点为E 、F ，则向量EF =三、解答题11．计算：⑴(－7)×6a =⑵4(a ＋b )－3(a －b )－8a =⑶(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )=12．如图，设AM 是△ABC 的中线，AB =a , AC =b ,求AM13．设两个非零向量a 与b 不共线,⑴若AB =a ＋b ,BC =2a ＋8b ,CD =3(a －b ) ,求证：A 、B 、D 三点共线; ⑵试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.*14．设OA ,OB 不共线,P 点在AB 上,求证:OP =λOA +μOB 且λ+μ=1(λ, μ∈R).四、平面向量基本定理及坐标表示（1）一、知识回顾：1．平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线．．．向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使： ，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的 。

向量的坐标运算公式向量的坐标运算是数学中的重要概念，它可以帮助我们描述和解决各种实际问题。

在这篇文章中，我们将深入探讨向量的坐标运算，从而更好地理解和应用它们。

让我们来了解一下什么是向量。

向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。

在二维空间中，一个向量可以由它在水平轴上的坐标和垂直轴上的坐标表示。

例如，向量v可以表示为(vx, vy)，其中vx 是水平方向上的坐标，vy是垂直方向上的坐标。

接下来，我们来看一下向量的加法运算。

当我们将两个向量相加时，只需要将它们对应的坐标相加即可。

例如，如果有两个向量a和b，它们的坐标分别为(ax, ay)和(bx, by)，那么它们的和向量c的坐标可以表示为(cx, cy)，其中cx = ax + bx，cy = ay + by。

除了加法运算，我们还可以进行向量的数乘运算。

数乘运算指的是将一个向量与一个标量相乘，即将向量的每个坐标都乘以这个标量。

例如，如果有一个向量a，它的坐标为(ax, ay)，而一个标量k，那么将向量a与标量k相乘得到的新向量b的坐标可以表示为(bx, by)，其中bx = k * ax，by = k * ay。

我们还可以进行向量的减法运算。

向量的减法运算可以看作是向量加法运算的逆运算。

当我们将一个向量b从另一个向量a中减去时，只需要将b的坐标的相反数加到a的坐标上即可。

例如，如果有两个向量a和b，它们的坐标分别为(ax, ay)和(bx, by)，那么它们的差向量c的坐标可以表示为(cx, cy)，其中cx = ax - bx，cy = ay - by。

我们来讨论一下向量的模。

向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理计算得到。

在二维空间中，一个向量的模等于它的坐标的平方和的平方根。

例如，如果有一个向量a，它的坐标为(ax, ay)，那么它的模表示为|a| = √(ax^2 + ay^2)。

通过以上的讨论，我们对向量的坐标运算有了更深入的了解。

向量乘法运算顺序向量乘法是一种基本的数学运算，在物理和工程学等领域有广泛应用。

向量乘法包括数量乘法、向量乘法、坐标乘法、内积乘法和外积乘法等多种形式。

本文将详细介绍这些乘法的运算顺序和注意事项。

1. 数量乘法数量乘法是一种简单的乘法运算，它将一个标量与一个向量相乘，得到的结果是一个与原向量长度相同的新向量。

数量乘法的运算顺序是：先确定一个标量，然后将这个标量与一个向量的每一个元素相乘，最后得到一个新的向量。

示例：设a 为一个标量，v 为一个向量，则数量乘法可以表示为：a * v = (a * v1, a * v2, a * v3, ...)2. 向量乘法向量乘法是一种比较复杂的乘法运算，它将两个向量相乘，得到的结果是一个与原向量长度相同的新向量。

向量乘法的运算顺序是：先确定两个向量，然后将这两个向量的对应元素相乘，最后得到一个新的向量。

示例：设v1 和v2 为两个向量，则向量乘法可以表示为：v1 * v2 = (v11 * v21, v12 * v22, v13 * v23, ...)需要注意的是，两个向量的长度必须相同，否则无法进行向量乘法运算。

3. 坐标乘法坐标乘法是一种特殊的乘法运算，它将一个向量的坐标值与另一个向量的坐标值相乘，得到的结果是一个新的向量。

坐标乘法的运算顺序是：先确定两个向量，然后将这两个向量的对应坐标相乘，最后得到一个新的向量。

示例：设v1 为一个向量，其坐标为(a, b, c)，v2 为另一个向量，其坐标为(x, y, z)，则坐标乘法可以表示为：v1 * v2 = (a * x, b * y, c * z)需要注意的是，两个向量的长度必须相同，否则无法进行坐标乘法运算。

同时，坐标乘法也可以用于计算向量的模长和单位向量等。

4. 内积乘法内积乘法是一种特殊的乘法运算，它将两个向量的内积结果相乘，得到的结果是一个标量。

内积乘法的运算顺序是：先确定两个向量，然后计算这两个向量的内积，最后将内积结果相乘得到一个新的标量。

平面向量数乘运算的坐标表示高中数学　1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．导语　同学们，我们一起回顾一下上节课的内容．1．平面向量的坐标如何表示？2．平面向量的加、减法如何用坐标进行运算？3．已知两点A ，B 的坐标，如何求的坐标？AB → 一、数乘运算的坐标表示问题1　已知a ＝(x ，y )，你能得出λa 的坐标吗？提示　λa ＝λ(x i ＋y j )＝λx i ＋λy j ，即λa ＝(λx ，λy )．知识梳理　已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．例1　(1)已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，若c 满足3a －2b ＋c ＝0，则c 等于( )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)答案　A解析　∵3a －2b ＋c ＝0，∴c ＝－3a ＋2b ＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，∴c ＝(－23，－12)．(2)已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则等于( )AB → AC → 12BC → A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(1,1)D ．(－1，－1)答案　D解析　＝(－)12BC → 12AC → AB → ＝(－2，－2)＝(－1，－1)．12反思感悟　平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行运算．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．跟踪训练1　已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)a －b .1213解　(1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．(3)a －b ＝(－1,2)－(2,1)12131213＝－＝.(－12，1)(23，13)(－76，23)二、向量共线的判定问题2　已知a ，b 两向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？提示　设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，由a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb ，则有(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)⇒Error!消去λ，得x 1y 2－x 2y 1＝0.知识梳理　设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0．向量a ，b 共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.例2　(多选)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( )A ．a ＝(－2,3)，b ＝(4,6)B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2)C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7,14)D ．a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)答案　ABC解析　能作为平面内的基底，则两向量a 与b不平行，A 选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a 与b 不平行；B 选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a 与b 不平行；C 选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a 与b 不平行；D 选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a ∥b .反思感悟　向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配．跟踪训练2　已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，判断与是否共线？如果共线，它们的AB → AC → 方向相同还是相反？解　因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，AB → ＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)，AC → 因为2×6－3×4＝0，所以∥，所以与共线．AB → AC → AB → AC → 又＝，所以与的方向相同．AB → 23AC → AB → AC → 三、利用向量共线的坐标表示求参数例3　(1)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(3,4)．若(3a －b )∥(a ＋k b )，则k ＝________.答案　－13解析　3a －b ＝(0，－10)，a ＋k b ＝(1＋3k ，－2＋4k )，因为(3a －b )∥(a ＋k b )，所以0－(－10－30k )＝0，解得k ＝－.13(2)已知＝(k ，2)，＝(1,2k )，＝(1－k ，－1)，且相异三点A ，B ，C 共线，则实数OA → OB → OC → k ＝________.答案　－14解析　＝－＝(1－k ，2k －2)，AB → OB → OA → ＝－＝(1－2k ，－3)，AC → OC → OA → 由题意可知∥，AB → AC → 所以(－3)×(1－k )－(2k －2)(1－2k )＝0，解得k ＝－(k ＝1不合题意，舍去)．14反思感悟　利用向量平行的条件处理求值问题的思路(1)利用向量共线定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解．(2)利用向量共线的坐标表示直接求解．提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值．跟踪训练3　(1)已知非零向量a ＝(m 2－1，m ＋1)与向量b ＝(1，－2)平行，则实数m 的值为( )A ．－1或B ．1或－1212C ．－1D.12答案　D解析　非零向量a ＝(m 2－1，m ＋1)与向量b ＝(1，－2)平行，所以－2(m 2－1)－1×(m ＋1)＝0，且m ≠－1，∴m ＝.12(2)若a ＝(，cos α)，b ＝(3，sin α)，且a ∥b ，则锐角α＝________.3答案　π3解析　∵a ＝(，cos α)，b ＝(3，sin α)，a ∥b ，3∴sin α－3cos α＝0，即tan α＝，33又0<α<，故α＝.π2π3四、有向线段定比分点坐标公式及应用问题3　直线l 上有两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，在l 上取不同于P 1，P 2的任一点P ，存在一个实数λ，使＝λ，λ叫做点P 分有向线段所成的比．当λ＝1时，P 点位于P 1P —→ PP 2→ P 1P 2——→ 何位置？你能求出P 点的坐标吗？提示　中点，当λ＝1时，P 点的坐标为.(x 1＋x 22，y 1＋y 22)知识梳理　对任意的λ(λ≠－1)，P 点的坐标为.(x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ)注意点：(1)λ的值可正、可负．(2)分有向线段的比与线段长度比不同．例4　如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D 是边AB的中点，G 是CD 上的一点，且＝2，求点G 的坐标．CGGD解　∵D 是AB 的中点，∴点D 的坐标为，(x 1＋x 22，y 1＋y 22)∵＝2，∴＝2，CG GD CG → GD → 设G 点坐标为(x ，y )，由定比分点坐标公式可得x ＝＝，x 3＋2×x 1＋x 221＋2x 1＋x 2＋x 33y ＝＝，y 3＋2×y 1＋y 221＋2y 1＋y 2＋y 33即点G 的坐标为.(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)反思感悟　用有向线段的定比分点坐标公式Error!(λ≠－1)可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．跟踪训练4　已知点A (2,3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝2|BP |，则点P 的坐标为________．答案　(6，－9)解析　设点P 的坐标为(x ，y )，由条件可知＝－2，由定比分点坐标公式可知Error!AP → PB → 即点P 的坐标为(6，－9)．1．知识清单：(1)平面向量数乘运算的坐标表示．(2)两个向量共线的坐标表示．2．方法归纳：化归与转化．3．常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错．1．下列各组向量中，共线的是( )A ．a ＝(－1,2)，b ＝(4,2)B ．a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)C ．a ＝，b ＝(10,5)(32，－1)D ．a ＝(0，－1)，b ＝(3,1)答案　B解析　利用平面向量共线的坐标表示可知，只有B 满足题意．2．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x －1,2)，若a ∥b ，则实数x 的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3答案　D解析　因为a ∥b ，所以2×2－(－1)×(x －1)＝0，得x ＝－3.3．与a ＝(12,5)平行的单位向量为( )A.(1213，－513)B.(－1213，－513)C.或(1213，513)(－1213，－513)D.(±1213，±513)答案　C解析　设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则Error!∴Error!或Error!4．若点A (－2,0)，B (3,4)，C (2，a )共线，则a ＝________.答案　165解析　＝(5,4)，＝(4，a )，因为A ，B ，C 三点共线，所以∥，故5a －16＝0，所AB → AC → AB → AC → 以a ＝.165课时对点练1．已知平面向量a ＝(－2,0)，b ＝(－1，－1)，则a －2b 等于( )12A ．(1,2) B ．(－1，－2) C ．(－1,2) D ．(1，－2)答案　A解析　a －2b ＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1,2)．122．已知向量a ＝(3,5)，b ＝(cos α，sin α)，且a ∥b ，则tan α等于( )A. B. C ．－ D ．－35533553答案　B解析　由a ∥b ，得5cos α－3sin α＝0，即tan α＝.533．如果向量a ＝(k ，1)，b ＝(4，k )共线且方向相反，则k 等于( )A ．±2B ．－2C ．2D ．0答案　B解析　∵a 与b 共线且方向相反，∴存在实数λ(λ<0)，使得b ＝λa ，即(4，k )＝λ(k ，1)＝(λk ，λ)，∴Error!解得Error!或Error!(舍去)．4．(多选)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(－3，x )，则下列叙述中不正确的是( )A ．存在实数x ，使a ∥bB ．存在实数x ，使(a ＋b )∥aC ．存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥aD ．存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b答案　ABC解析　只有D 正确，可令m ＝0，则m a ＋b ＝b ，无论x 为何值，都有b ∥b .5．若三点A (4,3)，B (5，m )，C (6，n )在一条直线上，则下列式子一定正确的是( )A ．2m －n ＝3B ．n －m ＝1C ．m ＝3，n ＝5D ．m －2n ＝3答案　A解析　因为三点A (4,3)，B (5，m )，C (6，n )在一条直线上，所以＝λ，所以(1，m －3)AB → AC → ＝λ(2，n －3)，所以λ＝，所以m －3＝(n －3)，即2m －n ＝3.12126．(多选)在平面α中，已知A (1,2)，B (3，－2)，点P 在直线AB 上，且|AP |＝2|PB |，则P 点的坐标为( )A ．(4,3)B. (73，－23)C ．(2，－6)D ．(5，－6)答案　BD解析　∵|AP |＝2|PB |，∴＝2或＝－2，AP → PB → AP → PB → 由定比分点坐标公式可知当λ＝2时，P ，(73，－23)当λ＝－2时，P (5，－6)．7．已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(1,2)，p ＝(9,4)，若p ＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________.答案　7解析　由于p ＝m a ＋n b ，即(9,4)＝(2m ，－3m )＋(n ，2n )＝(2m ＋n ，－3m ＋2n )，所以Error!解得Error!所以m ＋n ＝7.8．已知A (2,4)，B (－4,6)，若＝，＝，则的坐标为________．AC → 32AB → BD → 43BA → CD → 答案　(11，－113)解析　设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，＝，AC → 32AB → 则(x 1－2，y 1－4)＝(－6,2)＝(－9,3)，32∴x 1＝－7，y 1＝7，即C (－7,7)．＝，BD → 43BA → 则(x 2＋4，y 2－6)＝(6，－2)＝，43(8，－83)∴x 2＝4，y 2＝，即D，103(4，103)则＝.CD → (11，－113)9．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，求m 的值，并判断m a ＋4b 与a －2b 是同向还是反向？解　m a ＋4b ＝(2m ，3m )＋(－4,8)＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，因为m a ＋4b 与a －2b 共线，所以4(3m ＋8)－(－1)×(2m －4)＝0，得m ＝－2.当m ＝－2时，m a ＋4b ＝(－8,2)，所以m a ＋4b ＝－2(a －2b )，所以m a ＋4b 与a －2b 方向相反．10．已知两点A (3，－4)，B (－9,2)，点P 在直线AB 上，且||＝||，求点P 的坐标．AP → 13AB → 解　设点P 的坐标为(x ，y )，①若点P 在线段AB 上，则＝，AP → 12PB → ∴(x －3，y ＋4)＝(－9－x ，2－y )．12解得x ＝－1，y ＝－2，∴P (－1，－2)．②若点P 在线段BA 的延长线上，则＝－，AP → 14PB → ∴(x －3，y ＋4)＝－(－9－x ，2－y )．14解得x ＝7，y ＝－6，∴P (7，－6)．综上可得，点P 的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．11．向量a ＝(2，－1)，|b |＝3|a |，a ∥b ，则b 可能是( )A ．(6,3)B ．(3,6)C ．(－6，－3)D ．(－6,3)答案　D解析　由a ∥b 可排除A ，B ，C ，故选D.12．已知向量a ＝(－6,1)，b ＝(7，－2)，且(a ＋m b )∥(3a －b )，则m 等于( )A. B ．－ C. D. －131331373137答案　B解析　∵向量a ＝(－6,1)，b ＝(7，－2)，∴a ＋m b ＝(－6＋7m ，1－2m )，3a －b ＝(－25,5)．∵(a ＋m b )∥(3a －b )，∴5(－6＋7m )－(－25)×(1－2m )＝0，解得m ＝－.1313．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构OA → OB → OC → 成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝ 12C ．k ＝1D ．k ＝－1答案　C解析　因为A ，B ，C 三点不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线，则∥，又AB → AC → ＝－＝(1,2)，＝－＝(k ，k ＋1)，所以2k －(k ＋1)＝0，即k ＝1.AB → OB → OA → AC → OC → OA → 14．设＝(－2,4)，＝(－a ，2)，＝(b ，0)，a >0，b >0，若A ，B ，C 三点共线，则OA → OB → OC → ＋的最小值为________．1a 1b 答案　3＋222解析　由题意，得＝(－a ＋2，－2)，＝(b ＋2，－4)．AB → AC → 又∥，所以－4(－a ＋2)＝－2(b ＋2)，整理得2a ＋b ＝2，AB → AC → 所以＋＝(2a ＋b )＝≥＝，1a 1b 12(1a ＋1b )12(3＋2a b ＋b a )12(3＋22a b ·b a )3＋222当且仅当b ＝a 时等号成立．215.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，则直线AC 与BD 交点P 的坐标为________．答案　(277，167)解析　设P (x ，y )，则＝(x －1，y )，＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)．DP → DB → CA → DC → 由B ，P ，D 三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)．DP → DB → 又因为＝－＝(5λ－4,4λ)，CP → DP → DC → 由与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.CP → CA → 解得λ＝，所以＝＝，47DP → 47DB → (207，167)所以P 的坐标为.(277，167)16．设向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)，b ＝，其中λ，m ，α为实数，若a ＝2b ，求(m ，m 2＋sin α)的取值范围．λm 解　由a ＝2b ，知Error!∴Error!又cos 2α＋2sin α＝－sin 2α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2，∴－2≤cos 2α＋2sin α≤2，∴－2≤λ2－m ＝(2m －2)2－m ≤2，∴≤m ≤2，14∵＝＝2－，∴－6≤2－≤1，λm 2m －2m 2m 2m ∴的取值范围为[－6,1]．λm。

向量数乘运算的理解：
①向量数乘运算结果仍然是向量．
②实数与向量的积的特殊情况：
③实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如
无意义。

④由向量数乘的概念可知其几何意义，可以把向量a的长度扩大（当
时），也可以缩小（当时），同时，我们可以不改变向量a的方向，也可以改变向量a的方向（当λ<0时）。

向量的数乘的定义：
我们规定实数λ与向量的积是一个向量，记作λ；
向量的数乘的长度和方向规定如下：
（1）；
（2）当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，；注意：λ≠0 数乘运算的坐标表示：
设，则。

实数与向量积的运算律：
（1）；
（2）；
（3）。

1. 向量表示
向量指具有大小和方向的量，也称为矢量。

可以从几何和坐标两个角度来表示。

1）几何表示
向量可以用有向线段来表示。

有向线段的长度表示向量的大小，也就是向量的长度。

箭头所指的方向表示向量的方向。

长度为 0 的向量叫做零向量。

长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量。

2）坐标表示
空间中有无数条有向线段，长度和方向相同的向量也有无数条，那如何表征一个向量呢？
在空间或者平面建立坐标系，任何一个向量都可以平移到以原点为起点的位置，这时就可以用向量终点的坐标来表征这个向量，记为
a=(x,y,z,...)a=(x,y,z,...)
坐标表示和几何表示是不同的，几何表示的向量起点可以是任意位置，而坐标表示的向量起点只能是原点。

一个任意位置的向量如何求出它的坐标？用此向量的有向线段终点坐标减去始点坐标。