下载文档原格式
第五章离散系统的时域分析法目录5.1 引言5.2 离散时间信号5.3 离散系统的数学模型-差分方程 5.4 线性常系数差分方程的求解5.5 单位样值响应5.6 卷积和§5.1引言连续时间信号、连续时间系统连续时间信号：f(t)是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外对于任意时间值都可以给出确定的函数值。
函数的波形都是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。
模拟信号抽样信号量化信号连续时间系统：系统的输入、输出都是连续的时间信号。
离散时间信号、离散时间系统离散时间信号：时间变量是离散的，函数只在某些规定的时刻有确定的值，在其他时间没有定义。
离散时间系统：系统的输入、输出都是离散的时间信号。
如数字计算机。
o k t ()k t f 2t 1−t 1t 3t 2−t 离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系统生成。
量化幅值量化——幅值只能分级变化。
采样过程就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程——得到离散信号。
数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
ot ()t f T T 2T 31.32.45.19.0o T T 2T 3()t f q t3421离散时间系统的优点•便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优越性；•容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精度取决于位数；•可靠性好；•存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；•易消除噪声干扰；•数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大大改善了系统的灵活性和通用性；•易处理速率很低的信号。
离散时间系统的困难和缺点高速时实现困难，设备复杂，成本高，通信系统由模拟转化为数字要牺牲带宽。
应用前景由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰，被数字（更多是模／数混合）系统所代替；人们提出了“数字地球”、“数字化世界”、“数字化生存”等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与生活的每个角落。
数字信号处理技术正在使人类生产和生活质量提高到前所未有的新境界。
§7-1 概述一、 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。
二、 连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、 离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。
例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、 典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ下图表示了)(n k -δ的波形。
连续信号离散信号 数字信号 取样量化这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。
例如：)()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+(a) 0.9a = (d) 0.9a =-(b) 1a = (e) 1a =-(c) 1.1a = (f) 1.1a =-双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、 离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
7-3 离散系统时域分析的经典法一、差分方程的经典解1．齐次差分方程一般而言，对于一个单输入单输出的n 阶线性时不变离散时间系统，若激励为f(k)，响应为y(k)，则该系统的数学模型是n 阶常系数差分方程，其形式为)()1()()()1()1()(01011m k f b k f b k f b n k y a n k y a k y a k y a m m n n -+⋅⋅⋅+-+=-++-+⋅⋅⋅+-+-- （7 – 22）若f(k)及其各移序项均为零，则方程为0)()1()1()(011=-++-+⋅⋅⋅+-+-n k y a n k y a k y a k y a n n （7 – 23）称之为齐次差分方程。
对于该n 阶齐次差分方程，其对应的特征方程为00111＝a a a a n n n n +⋅⋅⋅++--λλλ (7-24) 它将有n 个根i λ(i=1,2,…,n)，称为差分方程的特征根。
根据特征根的特点，齐次差分方程的解有两种类型：（1）特征根均为单根。
若n 个特征根互不相同，则齐次差分方程解的形式为kn n k n n k k C C C C k y λλλλ++⋅⋅⋅++=--112211)( （7 – 25）式中，待定常数i C (i=1,2,…,n)由初始条件确定。
（2）特征根有重根。
若1λ是特征方程的r 重根，即有r λλλ=⋅⋅⋅==21，而其余n-r 个根均为单根，则齐次差分方程解的形式为∑+=-++⋅⋅⋅+++=nr j k jjk r r C kC k C k C C k y 1112321)()(λλ （7 – 26）式中，待定常数i C (i=1,2,…,n)由初始条件确定。
例7-9 差分方程为4)1(,1)0(,0)2(6)1(5)(===-+--y y k y k y k y 。
求y(k)。
解 该差分方程的特征方程为0652=+-λλ可求得特征根为3,221==λλ。
故0 32)(21≥+=k C C k y k k由1)0(21=+=C C y 432)1(21=+=C C y解得11-=C 22=C所以)(])3(2)2([)(k U k y k k +-=例7-10若某离散时间系统的传输算子为441)(2++=E E E H且0)1(,2)0(==y y 。
求对应齐次差分方程的解。
解 因该系统的特征方程为0442=++λλ其特征根为221-==λλ。
对应齐次差分程解的形式为)()2)(()(21k U k C C k y k -+=由2)0(1==C y 0)2)(()1(21=-+=C C y解得21=C 22-=C故)()2)(1(2)(k U k k y k --=例7-11 图7-19所示离散时间系统的模拟框图。
当f(k)=0, y(1)=1, y(2)=0, y(3)=1, y(5)=1时，求y(k)。
解 由该系统的模拟框图可知系统的传输算子为122214)()(2342+-+-+==E E E E E k f k y H(E)对应的特征方程为01222234=+-+-λλλλ其特征根为j j -====4321,,1λλλλ，故响应的形式为1 ])()(1)[()(4321≥-++⨯+=k j C j C k C C k y k k k由y(k)图 7 - 19⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+-+==--+==-++=155133022114321432143214321jC jC C C )y(jC jC C C )y(C C C C )y(jC jC C C )y(可得11=C 02=C2143==C C故)1(])(21)(211[)(--++=k U j j k y k k或)1()]2cos(1[)(-+=k U k k y π2．非齐次差分方程与非齐次微分方程求解类似，非齐次差分方程的解也有两部分组成：一部分为对应齐次方程的通解)(0k y ，另一部分为非齐次方程的特解)(k y d ，特解的形式与激励函数的形式有关。
表7-1列出了几种典型的激励f(k)所对应的特解)(k y d 。
选定特解形式后，将它代入原非齐次差分方程，求出其特定系数i A ，则得方程的特解)(k y d 。
表7-1几种典型的激励所对应的特解因此非齐次差分方程的解为)()()(0k y k y k y d += (7 – 27)然后根据给定的初始条件，求出y(k)中其余待定系数i C (i=1,2,…,n)。
例7-12若描述某离散时间系统的差分方程为)(2)2(2)1(3)(k U k y k y k y k =-+-+初始条件2)1(,0)0(==y y 。
试求系统的响应y(k)。
解 (1) 求齐次差分方程通解)(0k y 。
因差分方程的特征方程为0232=++λλ其特征根为2,121-=-=λλ。
故齐次方程的通解为k k C C k y )2()1()(210-+-=(2) 求非齐次差分方程的特解)(k y d 。
因激励f(k)=2k ，由表7-1可知k d A k y 2)(=将它代入原方程得k k k k A A A 22223221=++--消去k21223=++A A A可得31=A ,故 kd k y )2(31)(= 0≥k（3）求非齐次差分方程在给定初始条件下的特解。
因kk k d C C k y k y k y )2(31)2()1()()()(210+-+-=+=由031)0(21=++=C C y 2322)1(21=+--=C C y解得321=C ,12-=C 。
所以所求响应为k k k k y )2(31)2()1(32)(+---=0≥k因此，对于一个离散时间系统，时域经典分析的基本步骤归纳如下： (1) 写出描述离散时间系统的数学模型—差分方程，求出相应的初始条件； (2) 根据激励写出差分方程的特解形式，代入差分方程，求得特解)(k y d ； (3) 写出差分方程对应的特征方程，求出特征根； (4) 根据特征根写出相应齐次差分方程的通解形式)(0k y ； (5) 写出系统的全响应)()()(0k y k y k y d +=；(6) 由初始条件确定)(k y 中)(0k y 部分待定系数，从而解得给定激励与初始条件的离散时间系统的响应)(k y 。
二、离散时间系统全响应的分解方式1 零输入响应和零状态响应线性时不变离散时间系统的响应可分解为零输入响应和零状态响应。
零输入响应是激励为零时仅由初始状态引起的响应，记为)(k y x ；零状态响应是系统初始状态为零时仅由激励信号产生的响应，记为)(k y f 。
系统全响应为零输入响应与零状态响应之和，即)()()(k y k y k y f x += （7-28）零输入响应)(k y x 的形式与齐次差分方程解)(0k y 的形式完全相同，并由初始状态确定)(k y x 中的待定系数。
零状态响应)(k y f 是系统初始状态为零时系统非齐次差分方程的解，其求解方法如前面所述。
2 自由响应和强迫响应与连续时间系统类似，离散时间系统的响应又可分为自由响应与强迫响应。
自由响应是指仅与系统特征方程根有关的部分响应，即齐次差分方程的解)(0k y ，强迫响应是指响应形式仅由激励信号的形式所决定的部分响应，即非齐次差分方程的特解)(k y d 。
3 暂态响应和稳态响应暂态响应是指随序号k 的增加响应逐渐消失的部分分量，而稳态响应则指随序号k 增加，暂态分量消失后响应变化稳定的分量。
例7-13描述离散时间系统的差分方程为)()2(2)1(3)(k f k y k y k y =-+-+已知21)2(,0)1(),()21()(=-=-=y y k U k f k 。
求y(k)，并指出零输入响应和零状态响应，自由响应和强迫响应。
解(1) 零输入响应。
因特征方程为0232=++λλ特征根为2,121-=-=λλ,零输入响应为k k C C k y )1()2()(21x -+-=由021)1()1(21=--=-=-C C y y x2141)2()2(21=+=-=-C C y y x 得21-=C 12=C故k k k y )2(2)1()(x ---= 2-≥k(2) 零状态响应。
因激励)()21()(k U k f k =，由表7-1可知特解形式为kd A k y )21()(=代入非齐次差分方程有 186=++A A A151=A即kd k y )21(151)(=。
故零状态响应为kk k f B B k y )21(151)1()2()(11+-+-=0)2()1(=-=-f f y y由01522)1(21=+--=-B B y f 01544)2(21=++=-B B y f得581=B322-=B故k k k f k y )21(151)1(32)2(58)(+---=1-≥k(3) 全响应 =+=)()()(k y k y k y f x=+---+--- 零状态响应零输入响应k k k k k )21(151)1(32)2(58)2(2)1(强迫响应自由响应k k k )21(151)2(52)1(31+--- 2-≥k。
