模糊数项级数的收敛性

数项级数敛散性判别方法数项级数是由一系列项相加而得的无穷级数，其中每个项都是一个数字。

判定一个数项级数的敛散性是非常重要的，因为这决定了级数是否收敛（最终总和有一个有限的值）或者发散（最终总和无穷大）。

在数学中，有许多方法用于确定数项级数的敛散性。

下面将介绍一些常用的方法。

1.利用比较判别法：如果一个数项级数的项的绝对值可以比较为另一个已知的收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小，那么可以通过比较判别法来判断原数项级数的敛散性。

a)如果一个级数的项的绝对值总是大于一个收敛级数的项的绝对值的大小，那么原级数也发散。

b)如果一个级数的项的绝对值总是小于一个发散级数的项的绝对值的大小，那么原级数也收敛。

c)如果一个级数的项的绝对值与一个收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小相同，那么原级数的敛散性不能确定。

2.利用比值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的比值，并观察这个比值的极限。

a) 如果比值极限小于1，即lim，A(n+1)/A(n)， < 1，那么级数A收敛。

b) 如果比值极限大于1，即lim，A(n+1)/A(n)， > 1，那么级数A发散。

c) 如果比值极限等于1，即lim，A(n+1)/A(n)， = 1，那么比值判别法无法确定级数A的敛散性。

3.利用根值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的根值，并观察这个根值的极限。

a) 如果根值极限小于1，即lim√(，A(n)，) < 1，那么级数A收敛。

b) 如果根值极限大于1，即lim√(，A(n)，) > 1，那么级数A发散。

c) 如果根值极限等于1，即lim√(，A(n)，) = 1，那么根值判别法无法确定级数A的敛散性。

4.绝对收敛性和条件收敛性：如果一个级数的各项的绝对值所组成的级数收敛，那么称原级数是绝对收敛的。

否则称为条件收敛的。

5.交错级数的收敛判别法：交错级数是由正项和负项交替出现的级数。

a)如果交错级数的交错项（即正项和负项的绝对值所组成的级数）满足单调递减且趋于零，那么交错级数收敛。

判别数项级数敛散性的一些方法和技巧要判断数项级数的敛散性，我们可以使用一些方法和技巧。

以下是一些常见的方法和技巧：1.非负项级数的比较判别法：-比较判别法：如果一个数项级数的绝对值项与一个已知级数的绝对值项相比，可以发现后者收敛，则前者也收敛；如果后者发散，则前者也发散。

-极限判别法：如果一个数项级数的绝对值项的极限为零，而另一个已知级数的绝对值项发散，则前者也发散；如果后者收敛，则前者也收敛。

-比值判别法：如果一个数项级数的绝对值项的比值极限存在且小于1，那么级数收敛；如果比值极限大于1，那么级数发散；如果比值极限等于1，判定不确定。

2.收敛级数的性质：-绝对收敛和条件收敛：如果一个数项级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称为条件收敛。

-级数的加减法和乘法：只要两个级数中有一个收敛，那么它们的和、差和乘积也收敛。

3.交错级数的收敛性：-莱布尼茨判别法：对于一个交错级数，如果该级数的绝对值项递减趋于零，则级数收敛；如果绝对值项不满足这个条件，则级数发散。

4.幂级数的收敛性：- 幂级数的收敛半径：对于一个幂级数∑an(x-a)^n，可以通过求其收敛半径来判断其在收敛范围内是否收敛。

收敛半径可以使用根值判别法或比值判别法进行计算。

5.特殊级数的敛散性：-调和级数：调和级数∑1/n发散，但调和级数∑1/n^p，其中p>1，收敛。

- 几何级数：几何级数∑ar^n，在，r，<1时收敛，否则发散。

6.柯西收敛准则：-柯西收敛准则：一个数项级数收敛当且仅当对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，级数的部分和之差的绝对值小于ε。

7.级数的整体性质：-典型例子：级数的敛散性常常可以通过和或平方根的形式来判断。

例如，级数∑1/n^2收敛，而级数∑1/n发散。

通过以上这些方法和技巧，我们可以判断数项级数的敛散性并进行求和计算。

但需要注意的是，并非所有的数项级数都可以通过这些方法和技巧来判断其敛散性，有些级数可能需要更复杂的方法来求解。

班级：数学091 姓名：韩海飞数项级数收敛性的判别摘要：文章对数项级数收敛性的判别方法进行了归纳总结，得到一般的解题思路.关键词：判别方法归纳总结数项级数敛散性解题思路引言：在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判别方法，学生按照指定的判别方法进行解题，一般都能很容易求得结果，而当把多种判别方法讲完，再让学生作综合判别时，学生要么束手无策，要么选择判别方法时带有盲目性，拿作判别方法进行实验性解题，只要求得结果，不问方法的简单与繁琐，而不是先从简单方法入手，往往用一种简单的方法就可以轻松解题，却用较繁琐方法费了九牛二虎之力，结果还不一定正确，造成这种情况的主要原因主要是学生对所学的判别方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱.所以在讲解完常数项级数敛散性判别方法之后，非常有必要归纳总结一下.一、定义定义1：设有数列 表达式（1） 称为数项级数，可记为 ，其中 称为数项级数（1）的第n 项或一般项。

定义2： 称为级数（1）的第n 个部分和，数列称为它的部分和数列。

定义3：设 是级数（1）的部分和数列，若 则说级数（1）的和是S ，这时也说级数（1）是收敛（于S ）的。

记为： 。

若 是发散数列，则称级数（1）发散。

余项： 定义4：绝对收敛：若∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛条件收敛：若∑∞=1n n u 发散，则称级数∑∞=1n n u 条件收敛二、性质定理定理12.2若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则对任意常数,c d ，级数111()nn n n n n n cudv c u d v ∞∞∞===+=+∑∑∑也收敛.定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收+++u u u n 21,,,:}{21u u u u n n ∑∞=1n n u u n u u u S n n ++=21}{S n }{S n S S n n =∞→lim S u n n =∑∞=1}{S n S S r n n -=敛性,也不改变它的和. 三、分类1、等比级数（几何级数）:2、--p 级数：)0(11>∑∞=p nn p3、正项级数: 若0≥n u ，则称∑n u 为正项级数4、一般级数：任意 ，则称∑n u 为一般级数 三、等比级数收敛性的判别法等比级数（几何级数） ，1<q 时，级数收敛 1≥q 时，级数发散四、--p 级数收敛性判别法：--p 级数)0(11>∑∞=p nn p(1)当10≤<p 时，级数发散 (2)当1>p 时，级数收敛 例：∑21n为p-级数，p=2>1，显然此级数是收敛的. 五、正项级数收敛性的判别法（1）比较原则：设∑n u 与∑n v 是两个正项级数，若（1） 当+∞<<10时，两级数同时收敛或同时发散； （2） 当0=l 且级数∑n v 收敛时，级数∑n u 也收敛； （3） 当+∞=l 且级数∑n v 发散时，级数∑n u 也发散；+++-q a aq a n 1qq a S n n --=1)1()1(≠q ⎪⎩⎪⎨⎧-=∞→发散q a S n n 1lim +++-q a aq a n 1 +++u u u n 21例： 判别级数∑n 1sin 的敛散性解：由于 111sinlim =∞→nn n ，根据比较原则，及调和级数∑n 1发散，所以级数∑n1sin 也发散.（2）比式判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且lim q u u nn =+1则 (1)当1<q 时，级数∑n u 也收敛；(2)当1>q 时，或+∞=q 时，级数∑n u 发散；注：当1=q 时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数∑21n与∑n 1，它们的比式极限都是1lim1=+∞→n n n u u 但∑21n是收敛的，而∑n 1是发散的. （3）根式判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且1lim =∞→n nn u 则 (1)当1<l 时，级数收敛 (2)当1>l 时，级数发散注：当1=l 时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数∑21n 与∑n 1，二者都有1lim =∞n nn u ，但∑21n是收敛的，而∑n 1是发散的.但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的. 例：判别级数()∑-+nn212的敛散性 解：由于232123lim lim 122122==-∞→-∞→m m m m m m u u 612321lim lim 212212==+∞→+∞→mm m m m m u u 故用比式判别法无法判定此级数的敛散性，现在用根式判别法来考察这个级数，由于 2123lim lim 2222==∞→∞→m m m m m m u 2121limlim12121212==++∞→++∞→m m m m m m u 所以21lim =∞→n n n u 由根式判别法知原级数收敛.（4）积分判别法：设f 是[)+∞,1上非负递减函数那么正项级数∑)(n f 与非正常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散； 例：讨论级数∑∞=2)(ln 1n pn n 的敛散性 解：研究非正常积分⎰∞+2)(ln px x dx，由于 ⎰⎰⎰∞+∞+∞+==2ln 22)(ln )(ln )(ln p p p udu x x d x x dx当1>p 时收敛1≤p 时发散，由积分判别法级数∑∞=2)(ln 1n pn n 在1>p 时收敛1≤p 时发散（5）拉贝判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且r u u n nn n =-+∞→)1(lim 1存在，则(1)当1>r 时，级数∑n u 收敛；(2)当1<r 时，级数∑n u 发散； (3)当1=r 时拉贝判别法无法判断.例：讨论级数(),)2(421231∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-⋅⋅⋅⋅sn n 当3,2,1=s 时的敛散性解：无论3,2,1=s 哪一个值，级数(),)2(421231∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-⋅⋅⋅⋅sn n 的比式极限都有1lim1=+∞→nn n u u 所以用比式判别法都无法判别此级数的敛散性，现在应用拉贝判别法来讨论，当1=s 时，由于)(2122)22121()1(1∞→→+=++-=-+n n n n n n u u n n n 所以级数是发散的. 当2=s 时，由于)(1)22()34(])2212(1[)1(221∞→→++=++-=-+n n n n n n n u u n n n 这时，拉贝判别法也无法对此级数作出判断， 当3=s 时，由于)(23)22()71812(])2212(1[)1(3231∞→→+++=++-=-+n n n n n n n n u u n n n所以级数收敛. 六、一般级数收敛性的判别法（1）级数∑∞=1n n u 若0lim ≠∞→n n u ，则此级数发散.例：判断级数∑++nnn 2222的敛散性解：由于 1)2(lim 122=+⋅++∞→nx nn ，所以原级数发散（2）（基本判别法）如果正项级数的部分和数列具有上界,则此级数收敛.例：判定正项级数()()()112111n n n a a a a ∞=+++∑的敛散性.分析：本题无法直接使用定义、柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较判别法以及其他的判别法进行判断,因此可选用基本定理进行判断. 解 记()()()12111nn n a u a a a =+++,则()()()()()()()()()121211211111111111nn n n n a u a a a a a a a a a -==-+++++++++级数的前n 项和()()()112111111n n k k n S u a a a ===-<+++∑所以原级数的部分和数列有上界,于是原级数收敛.（3）柯西收敛准则级数∑∞=1n n u 收敛的充要条件：,,0N n ∈∃>∀ε当)(N m n m ∈>时，N p ∈∀有：ε<+⋅⋅⋅+++++m p m m u u u 21例：证明级数∑21n的收敛 证明：由于||21p m m m u u u ++++⋯++=222)(1)2(1)1(1p m m m +⋯++++ <))(1(1)2)(1(1)1(1p m p m m m m m +-++⋯+++++=）（）（）（pm p m m m m m+--++⋯++-+++-1112111111 =p m m +-11<m1 因此，对任给正数ε ，取]1[ε=N ，使得当m>N 及任意自然数p ，由上式就有||21p m m m u u u ++++⋯++<m1<ε 由柯西收敛准则推得级数∑21n是收敛的. （4）绝对收敛定义法：若级数∑n u 各项绝对值所组成的级数∑n u 收敛，则原级数∑n u 收敛； 例：⋯++⋯++=∑!!2!2n n nnαααα的各项绝对值所组成的级数是⋯++⋯++=∑!||!2||||!||2n n nn αααα应用比式判别法，对于任意实数α都有1||lim ||||lim1+=∞→+∞→n u u n nn n α=0 因此，所考察的级数对任何实数α都绝对收敛.（5）莱布尼兹判别法：若交错级数()),2,1,0(11⋅⋅⋅=>-+∑n u u n n n 满足下述两个条件：(1)数列{}n u 单调递减； (2)0lim =∞→n n u则级数()),2,1,0(11⋅⋅⋅=>-+∑n u u n n n 收敛.例：考察级数∑∞=+-111)1(n n n的敛散性.解：因为∑∑∞=+=-111|1)1(|n n nn 发散，不满足绝对收敛定义，而此级数满足莱布尼茨条件，故收敛.（6）阿贝耳判别法：设级数∑n n b a 若{}n a 为单调有界数列，且级数∑n b 收敛，则级数∑n n b a 收敛.例：讨论级数∑+-nnn xx n 1)1( (x>0)的敛散性. 解：对于数列{n n x x +1 } 来说，当x>0时，0<nn x x +1<n nxx =1 又⎪⎩⎪⎨⎧>>≤<≤++=++=++++++1,110,1111)1(11111111x x xx x n n nn n n xx n n x x x x即数列 {nn xx +1 } 是单调有界的，又 ∑-n n)1( 收敛， 由阿贝尔判别法知道级数收敛.（7）狄利克雷判别法：设级数∑n n b a 若{}n a 单调递减，且0lim =∞→n n a 又级数的部分和数列有界，则级数∑n n b a 收敛.例： 证明：若数列{n a } 具有性质：⋯≥≥⋯≥≥n a a a 21 ,0=∞→n n a lin 则级数∑nx a n cos 对任何x )2,0(π∈都收敛.证明：因为)cos 21(2sin 21∑=+nk kx x=])21sin()21[sin()2sin 23(sin2sin x n x n x x x --+++-+ =x n )21sin(+当x )2,0(π∈时,02sin ≠x 故有：2sin2)21sin(cos 211x n kx n k +=+∑= 所以级数∑nx cos 的部分和数列当x )2,0(π∈时有界，由狄利克雷判别法得级数∑nx a n cos 收敛.以上方法是常见的方法，接下来我们来看由比较原则衍生出的几种不常见的方法。