数项级数收敛性判定

级数收敛发散的判断方法总结
级数是一种由数列构成的无限求和，是数学中的一个重要概念。

在学习级数时，我们需要掌握判断级数是否收敛或发散的方法。

一、正项级数判别法
正项级数是指所有项都是非负的级数。

如果正项级数的部分和有上界，则该级数收敛；如果正项级数的部分和无上界，则该级数发散。

二、比较判别法
比较判别法是指将待判断的级数与已知的收敛或发散的级数进行比较，从而判断待判断的级数的收敛性。

1. 比较法一：若0≤a_n≤b_n，则若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n
必收敛；若级数∑a_n发散，则级数∑b_n必发散。

2. 比较法二：若a_n≥0，b_n≥0，则若存在正整数N，使得对于n
≥N，a_n≤kb_n，则级数∑b_n收敛，则级数∑a_n必收敛；若级数
∑a_n发散，则级数∑b_n必发散。

三、极限判别法
极限判别法是指将待判断的级数的通项公式中的n变为无穷大，然后求其极限值，从而判断级数的收敛性。

1. 当极限lim(a_n) = 0时，级数∑a_n可能收敛也可能发散。

2. 当极限lim(a_n) ≠ 0时，级数∑a_n必发散。

四、积分判别法
积分判别法是将待判断的级数的通项公式中的n替换为变量x，然后将其转化为函数f(x)的形式，然后对函数f(x)在正实数区间[a,∞)上求不定积分∫f(x)dx，若积分∫f(x)dx收敛，则级数∑a_n收敛；若积分∫f(x)dx发散，则级数∑a_n发散。

以上就是关于级数收敛发散的判断方法的总结，掌握这些方法可以帮助我们更好地判断级数的收敛性，加深对级数概念的理解。

级数收敛的概念和判别法则级数是数学中重要的概念之一，它是由无穷多个数相加而成的一种数列。

级数的收敛性与数列的求和有着密切的关系，它在分析学、数学物理等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍级数收敛的概念及其判别法则。

一、级数收敛的概念级数是指由无穷多个数按照一定次序相加而成的表达式。

设a₁，a₂，a₃，……，aₙ，……是一个数列，则级数可以表示为S = a₁ +a₂ + a₃ + …… + aₙ + ……当数列{Sₙ}存在有限的极限值S时，称级数S收敛，记作∑aₙ = S。

反之，若数列{Sₙ}不存在有限的极限值，则称级数S发散。

二、级数收敛的判别法则为了判断一个级数是否收敛，数学家们提出了多种判别法则，下面将介绍其中几种常见的方法。

1. 初等判别法初等判别法适用于一些简单级数的判断。

对于级数∑aₙ，如果当n趋于无穷大时，aₙ趋于零，即lim(aₙ) = 0，那么级数必收敛。

2. 比较判别法比较判别法适用于正项级数的判定。

设有两个级数∑aₙ和∑bₙ，且对于所有n，都有0 ≤ aₙ ≤ bₙ成立。

若级数∑bₙ收敛，则级数∑aₙ也收敛；若级数∑aₙ发散，则级数∑bₙ也发散。

3. 极限判别法极限判别法适用于形式为aₙ = f(n)的级数。

若存在正整数N和常数p，使得当n > N时，有aₙ ≤ (n^p)成立，那么根据级数∑(n^p)的收敛性来判断∑aₙ的收敛性。

4. 比值判别法比值判别法适用于正项级数的判定。

设有级数∑aₙ，若存在正实数q，使得当n足够大时，有(aₙ₊₁/aₙ) ≤ q成立，那么如果q < 1，级数∑aₙ收敛，如果q > 1，级数∑aₙ发散，若q = 1，则该方法不适用。

5. 根值判别法根值判别法适用于正项级数的判定。

设有级数∑aₙ，若存在正实数r，使得当n足够大时，有(n√aₙ) ≤ r成立，那么如果r < 1，级数∑aₙ收敛，如果r > 1，级数∑aₙ发散，若r = 1，则该方法不适用。

级数是数学分析中一个重要的概念，它由无穷多个数的和组成。

在研究级数时，我们常常希望知道该级数是否收敛。

本文将介绍数学分析中的一些级数收敛的判定方法。

首先我们来介绍级数的收敛和发散的定义。

对于给定的级数∑an，它的部分和序列是指Sn=∑an的前n项和。

如果该序列有极限L，即limn→∞Sn=L，那么我们称级数∑an收敛，并且极限L是该级数的和。

如果该序列没有极限，或者极限为无穷大，那么我们称级数∑an发散。

接下来我们将介绍一些级数收敛的判定方法。

1.比较判别法比较判别法是级数判定方法中最基本的方法之一。

其思想是将待判定的级数与一个已知的级数进行比较。

设∑an和∑bn是两个级数，如果对于所有的n，我们有0≤an≤bn，那么有以下结论：•如果∑bn收敛，那么∑an也收敛；•如果∑bn发散，那么∑an也发散。

通过比较判别法，我们可以快速判断某些级数的收敛性。

2.比值判别法比值判别法是另一种常用的级数收敛判定方法。

它通过计算级数的相邻两项的比值来判断级数的收敛性。

设∑an是一个级数，定义rn=|an+1/an|，如果以下条件满足：•如果rn<1，则级数∑an收敛；•如果rn>1，则级数∑an发散；•如果rn=1，则比较判别法不起作用，我们需要采用其他方法进行判定。

比值判别法在实际运用中非常有用，特别是对于一些指数函数形式的级数。

3.根值判别法根值判别法是一种级数收敛的判定方法，它利用级数的项求极限的方法进行判定。

设∑an是一个级数，定义rn=|an|^(1/n)，如果以下条件满足：•如果rn<1，则级数∑an收敛；•如果rn>1，则级数∑an发散；•如果rn=1，则比较判别法不起作用，我们需要采用其他方法进行判定。

根值判别法是一种常用的方法，特别适用于指数函数形式的级数。

4.正项级数判别法正项级数判别法是一种判定正项级数（即级数的每一项都是非负数）收敛性的方法。

它通过判断级数的部分和序列是否有上界来进行判定。

函数项级数收敛性函数项级数是指由函数项按照一定规则排列组成的级数。

在研究级数的收敛性时，我们通常关注的是序列的部分和序列，即部分和序列的极限是否存在。

在本文中，我们将介绍函数项级数的收敛性及其相关概念。

1. 函数项级数的定义考虑一个函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$，其中$\displaystyle a_{n} ( x)$为关于变量$\displaystyle x$的函数。

对于任意固定的$\displaystyle x$，元素$\displaystyle a_{n} ( x)$称为级数的通项。

部分和序列$\displaystyle S_{n} ( x)$定义为$\displaystyle S_{n} ( x) =\sum _{k=1}^{n} a_{k} ( x)$。

2. 函数项级数的收敛性函数项级数的收敛性与序列的收敛性密切相关。

函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$在某一点$\displaystylex$收敛，即当$\displaystyle n$趋于无穷时，部分和序列$\displaystyleS_{n} ( x)$的极限存在，记为$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x) =S( x)$。

如果对于所有$\displaystyle x$都有$\displaystyle S( x) \neq\infty ,S( x) \neq -\infty$，则称级数在$\displaystyle x$上绝对收敛。

3. 收敛性判定准则对于函数项级数的收敛性判定，有以下几个准则:3.1 Cauchy准则函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$在某一点$\displaystyle x$处收敛的充分必要条件是，对于任意正数$\displaystyle \varepsilon$，存在一个正整数$\displaystyle N$，使得当$\displaystyle m,n>N$时，$\displaystyle \left| \sum _{k=n}^{n+m} a_{k} ( x)\right|<\varepsilon$。

任意项级数收敛性判定定理定理1 1||lim ||n n na r a +→∞=，则1r <时，1n n a ∞=∑收敛，1r >时，1n n a ∞=∑发散。

定理2n r =，则1r <时，1n n a ∞=∑收敛，1r >时，1n n a ∞=∑发散。

定理1证明：1r <时，1||nn a ∞=∑收敛，从而1n n a ∞=∑收敛。

1r >时，0ε∀>，N ∃，当n N≥时，1||||||n n a r a ε+-<，于是1||||n n a r r a εε+-<<+，由ε的任意性，1r >时，总可以使1r ε->。

于是1||||N N a r r a εε+-<<+，2+1||||N N a r r a εε+-<<+，…，1||||N n N n a r r a εε++--<<+，所有不等式相乘，得||()()||n n N n N a r r a εε+-<<+，即||()||||()n n N N n N a r a a r εε+-<<+。

||N n a +被两个公比大于1的等比数列夹住，不可能是无穷小量，N n a +也不可能是无穷小量，则1N n n a∞+=∑必然发散。

1N n n a ∞+=∑只是1n n a ∞=∑去掉有限项，故两者收敛性相同，1n n a ∞=∑必定发散。

证毕。

定理2证明：1r <时，1||nn a ∞=∑收敛，从而1n n a ∞=∑收敛。

1r >时，0ε∀>，N ∃，当n N≥时，|r ε<，由ε的任意性，1r >时，总可以使1r ε->。

于是()||()n n n r a r εε-<<+，||n a 被两个公比大于1的等比数列夹住，不可能是无穷小量，n a 也不可能是无穷小量，则1n n a ∞=∑必然发散。

学号数项级数和函数项级数及其收敛性的判定学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别：姓名：指导教师：2012年5月数项级数和函数项级数及其收敛性的判定摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。

关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法.Several series and Function of series and the judgment of theirconvergenceAbstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method.Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method前 言在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。

数学函数级数收敛与发散判断方法在数学中，函数级数是由无穷多个函数项的和所组成的。

判断一个函数级数是收敛还是发散，是数学中的一个重要问题。

本文将介绍几种常见的判断函数级数收敛与发散的方法。

一、极限判别法极限判别法是判断函数级数收敛与发散的基本方法之一。

它利用函数项的极限来判断级数的性质。

1. 首先，考察函数项的极限是否存在。

计算函数项的极限值，如果存在有限的值，则可以说级数可能是收敛的。

2. 其次，如果函数项的极限不存在或为无穷大，则级数可能是发散的。

3. 在一些特殊情况下，函数项的极限为0，并不能确定级数是收敛还是发散，此时需要进一步应用其他的方法进行判断。

二、比较判别法比较判别法是另一种常见的判断函数级数收敛与发散的方法。

它将待判定的级数与已知性质的级数进行比较。

1. 比较判别法的基本思想是，如果待判定的级数的每一项都小于或等于一个已知收敛级数的对应项，那么待判定的级数也是收敛的。

2. 如果待判定的级数的每一项都大于或等于一个已知发散级数的对应项，那么待判定的级数也是发散的。

3. 比较判别法中常用的比较级数有调和级数、几何级数和正项级数等。

三、积分判别法积分判别法是判断正项级数收敛与发散的一种重要方法。

它利用函数的积分值来确定级数的性质。

1. 如果正项级数的每一项都比一个连续函数在某一区间上的积分都要小，那么该级数是收敛的。

2. 如果正项级数的每一项都比一个连续函数在某一区间上的积分都要大，那么该级数是发散的。

3. 积分判别法需要熟练运用积分计算，因此在应用时需要注意对函数的积分运算。

四、根值判别法根值判别法也是判断正项级数收敛与发散的一种常用方法。

它通过取函数项的n次方根来判断级数的性质。

1. 如果正项级数的每一项的n次方根趋于0，则级数是收敛的。

2. 如果正项级数的每一项的n次方根趋于无穷大，则级数是发散的。

3. 根值判别法中的n通常取为2或者3，具体取决于待判定级数的形式。

综上所述，极限判别法、比较判别法、积分判别法和根值判别法是常见的判断函数级数收敛与发散的方法。

数项级数收敛性的判别一、基本概念数项级数是由一列实数构成的无限级数，形式化表示为：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+...+a_n+...$$其中$a_n$为级数中第$n$个数。

对于数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，我们关心的问题是其收敛性或发散性。

设数列$\{S_n\}$表示数项级数的前$n$项和，则有：二、基本判别法1.正项级数判别法正项级数指所有项都是非负数的级数。

对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，若存在正整数$p$，使得对于任意$n\ge p$，都有$a_n\ge a_{n+1}$，则数项级数收敛。

该判别法常被称为级数单调有界准则，或称作单调有界原理，其思路为：单调有界必收敛。

当级数中第$p$项后，级数的每一项都小于等于$a_p$，同时又因为级数的每一项都为非负数，所以$\{S_n\}$必单调不降；又由于$a_n$单调减少，$\{S_n\}$最终必定收敛。

2.比较判别法（1）当级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛。

比较判别法常被称为比较原理，其思路为：级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$的上界为级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$的上界，则当$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$必定收敛；反之，当$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散时，$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$必定发散。

设极限$L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$存在，则：若$L=1$，则比值判别法无法断定级数的收敛性。

在比值判别法中，我们通常都称级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$为原级数的比值级数。

级数与收敛性的判断一. 级数的定义和收敛性判断级数是指由一系列无穷多个数相加而成的表达式，通常形式为 a1 + a2 + a3 + ...，其中ai为序列中的第i个数。

在数学中，我们经常需要判断一个级数是否收敛，即求出级数的和，或者判断级数是否发散，即级数的和是无穷大或不存在。

确定一个级数是否收敛有多种方法，下面将介绍常用的四种方法，它们分别是：比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法。

二. 比较判别法比较判别法是最常用的求解级数收敛性的方法之一。

该方法通过将待判断级数与一个收敛的基准级数进行比较，从而判断待判断级数的收敛性。

具体来说，比较判别法可以分为以下两种情况：1. 若存在一个收敛的正项级数∑b_n，则当对于所有n，有0 ≤ a_n ≤ b_n时，级数∑a_n也收敛。

2. 若存在一个发散的正项级数∑b_n，则当对于所有n，有a_n ≥ b_n ≥ 0时，级数∑a_n也发散。

三. 比值判别法比值判别法是另一种常用的级数收敛性判断方法。

通过取待判断级数的相邻项的比值的极限值，可以得出判断结果。

具体来说，比值判别法可以分为以下两种情况：1. 若存在一个正常数L，使得lim(n→∞) |a_(n+1)/a_n| = L，若L < 1，则级数∑a_n收敛；若L > 1，则级数∑a_n发散；若L = 1，则比值判别法无法判断，需要结合其他方法。

2. 若lim(n→∞) |a_(n+1)/a_n| = +∞，则级数∑a_n发散；若lim(n→∞) |a_(n+1)/a_n| = 0，则级数∑a_n收敛。

四. 根值判别法根值判别法是一种用于判断级数收敛性的方法，它采用级数的相邻项的根值的极限来进行判断。

具体来说，根值判别法可以分为以下两种情况：1. 若存在一个正常数L，使得lim(n→∞) (|a_n|^1/n) = L，若L < 1，则级数∑a_n收敛；若L > 1，则级数∑a_n发散；若L = 1，则根值判别法无法判断。

学号数项级数和函数项级数及其收敛性的判定学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别：姓名：指导教师：2012年5月数项级数和函数项级数及其收敛性的判定摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。

关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法.Several series and Function of series and the judgment of theirconvergenceAbstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method.Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method前 言在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。

数项级数收敛的判别方法数项级数是数学中的一个重要概念，它由一组序列所构成，有无穷多个数相加而成。

判断数项级数是否收敛是一个重要的问题，本文将围绕“数项级数收敛的判别方法”展开讨论。

第一步，先说一下收敛和发散的定义。

对于一个数列（即只有一项的“级数”），如果其极限值存在，则称这个数列是收敛的，否则就是发散的。

对于一个数项级数，如果其部分和的极限值存在，则称该级数是收敛的，反之，则是发散的。

因此，我们要判断一组序列相加后的部分和是否收敛，就需要寻找相应的判别方法。

第二步，几种常用的判别方法。

1. 比较判别法比较判别法是数项级数判别法中最常用的一种。

其基本思想是通过与其它更简单的级数进行比较，来判断该级数的收敛性。

具体做法有两种：（1）比较原则一：若0≤an≤bn，且级数∑bn收敛，则级数∑an也收敛。

（2）比较原则二：若0≤bn≤an，且级数∑bn发散，则级数∑an也发散。

2. 极限判别法极限判别法是另一种常用的判断级数收敛性的方法。

它的基本思想是利用极限的大小关系来判断级数的收敛性。

具体做法如下：若an>0，且limn→∞an/bn=L（L为常数），则（1）若L< ∞，则级数∑an和级数∑bn收敛或发散；（2）若L > 0，∑bn收敛，则∑an收敛；（3）若L = ∞，∑bn发散，则∑an也发散。

3. 交错级数判别法交错级数是一种类似于分数的级数形式，其每一项的符号交替出现。

交错级数判别法的基本思想是，若交错级数满足某些特殊条件，该级数就是收敛的。

具体做法如下：若交错级数∑（-1）nan满足以下条件，则该级数收敛：（1）an > 0;（2）an单调递减;（3）limn→∞an=0。

第三步，应用判别法解决实际问题。

当我们遇到一个分数、一个根号，或者一个三角函数等等一些复杂的级数时，直接用极限或比较原则对其进行处理可能会非常复杂。

这时我们就需要灵活运用各种级数收敛性判别方法，比如利用洛必达法则求解极限，或通过变形将其转化为其他形式更容易处理的级数。

摘要：正项级数是级数内容中的最基本的一类级数。

它敛散性的判定是级数中的核心问题。

正项级数的敛散性的判别方法有很多，常用的和一些新的判别法，如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法和拉贝尔判别法等，但运用起来还是需要一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择合适的方法进行判定。

而为了进一步研究这些判别法，本文着重从Abel-Dini定理和对数判别法入手，对这两种方法进行进一步的推广。

关键词：级数；收敛；发散；Abel-Dini定理；对数判别法。

Abstract:Positive terms series is a series content in the most basic class series. It determine the Convergence and Divergence of the core issue in the series. Is the series convergence and divergence of discrimination in a lot of commonly used and some new criterion France, such as the Comparison Tests, the Cauchy discrimination law, D'Alembert, discrimination law and Rabel discrimination law, but the use of or need certain skills you need, select the appropriate method to determine according to the analysis of different series pass characteristics. In order to further study these discriminant France, this article focuses on start by Abel-Dini, theorem and the logarithmic discriminant of these two approaches to further promotion.Key words: series; convergence; divergence; Abel-Dini theorem; logarithmic method.目录一引言………………………………………………………………二数项级数概述及其常见判别法总结……………………………三正项级数Abel-Dini定理……………………………………四对数判别法………………………………………………………参考文献……………………………………………………………关于正项级数收敛的判别法的进一步研究重庆工商大学 数学与应用数学 2008级数学一班 马开友指导老师 安军一 引言在数学分析中，数项级数是全部级数理论的基础，主要包括正项级数和交错级数，而正项级数在数项级数中是最基本的，同时也是十分重要的一类级数，具有很强的实用价值和广泛的应用。

级数收敛一、定义定义1：设有数列 表达式 （1）称为数项级数，可记为 ，其中 称为数项级数（1）的第n 项或一般项。

定义2： 称为级数（1）的第n 个部分和，数列称为它的部分和数列。

定义3：设 是级数（1）的部分和数列，若 则说级数（1）的和是S ，这时也说级数（1）是收敛（于S ）的。

记为： 。

若是发散数列，则称级数（1）发散。

余项： 定义4：绝对收敛：若∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛条件收敛：若∑∞=1n n u 发散，则称级数∑∞=1n n u 条件收敛二、性质定理定理1若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则对任意常数,c d ，级数111()nn n n n n n cudv c u d v ∞∞∞===+=+∑∑∑也收敛.定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.+++u u u n 21,,,:}{21u u u u n n ∑∞=1n n u u n u u u S n n ++=21}{S n }{S n S S n n =∞→lim S u n n =∑∞=1}{S n S S r n n -=定理3 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和. 三、分类1、等比级数（几何级数）:2、--p 级数：)0(11>∑∞=p nn p3、正项级数: 若0≥n u ，则称∑n u 为正项级数4、一般级数：任意 ，则称∑n u 为一般级数 三、等比级数收敛性的判别法等比级数（几何级数） ，1<q 时，级数收敛 1≥q 时，级数发散四、--p 级数收敛性判别法：--p 级数)0(11>∑∞=p nn p(1)当10≤<p 时，级数发散 (2)当1>p 时，级数收敛 例：∑21n 为p-级数，p=2>1，显然此级数是收敛的. 五、正项级数收敛性的判别法（1）比较原则：设∑n u 与∑n v 是两个正项级数，若（1） 当+∞<<10时，两级数同时收敛或同时发散； （2） 当0=l 且级数∑n v 收敛时，级数∑n u 也收敛；+++-q a aq a n 1qq a S n n --=1)1()1(≠q ⎪⎩⎪⎨⎧-=∞→发散q a S n n 1lim +++-q a aq a n 1 +++u u u n 21（3） 当+∞=l 且级数∑n v 发散时，级数∑n u 也发散； 例： 判别级数∑n 1sin 的敛散性解：由于 111s i nl i m =∞→nn n ，根据比较原则，及调和级数∑n1发散，所以级数∑n1sin 也发散.（2）比式判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且lim q u u nn =+1则 (1)当1<q 时，级数∑n u 也收敛；(2)当1>q 时，或+∞=q 时，级数∑n u 发散；注：当1=q 时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数∑21n 与∑n 1，它们的比式极限都是1lim1=+∞→nn n u u 但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的. （3）根式判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且1lim =∞→n nn u 则 (1)当1<l 时，级数收敛 (2)当1>l 时，级数发散注：当1=l 时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数∑21n 与∑n 1，二者都有1lim =∞n nn u ，但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的.但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的. 例：判别级数()∑-+nn212的敛散性解：由于232123lim lim122122==-∞→-∞→m m m m mm u u 612321l i m l i m 212212==+∞→+∞→mm m mm m u u 故用比式判别法无法判定此级数的敛散性，现在用根式判别法来考察这个级数，由于 2123l i ml i m 2222==∞→∞→m mm m m m u 2121lim lim 12121212==++∞→++∞→m m m m m m u 所以21lim =∞→n n n u 由根式判别法知原级数收敛. （4）积分判别法：设f 是[)+∞,1上非负递减函数那么正项级数∑)(n f 与非正常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散； 例：讨论级数∑∞=2)(ln 1n pn n 的敛散性 解：研究非正常积分⎰∞+2)(ln px x dx，由于 ⎰⎰⎰∞+∞+∞+==2ln 22)(ln )(ln )(ln p p p udu x x d x x dx当1>p 时收敛1≤p 时发散，由积分判别法级数∑∞=2)(ln 1n pn n 在1>p 时收敛1≤p 时发散 六、一般级数收敛性的判别法（1）级数∑∞=1n n u 若0lim≠∞→n n u ，则此级数发散. 例：判断级数∑++nnn 2222的敛散性解：由于 1)2(lim 122=+⋅++∞→nx nn ，所以原级数发散（2）（基本判别法）如果正项级数的部分和数列具有上界,则此级数收敛.例：判定正项级数()()()112111n n n a a a a ∞=+++∑的敛散性.分析：本题无法直接使用定义、柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较判别法以及其他的判别法进行判断,因此可选用基本定理进行判断. 解 记()()()12111nn n a u a a a =+++,则()()()()()()()()()121211211111111111nn n n n a u a a a a a a a a a -==-+++++++++级数的前n 项和()()()112111111n n k k n S u a a a ===-<+++∑所以原级数的部分和数列有上界,于是原级数收敛.（3）柯西收敛准则级数∑∞=1n n u 收敛的充要条件：,,0N n ∈∃>∀ε当)(N m n m ∈>时，N p ∈∀有：ε<+⋅⋅⋅+++++m p m m u u u 21例：证明级数∑21n的收敛 证明：由于||21p m m m u u u ++++⋯++=222)(1)2(1)1(1p m m m +⋯++++ <))(1(1)2)(1(1)1(1p m p m m m m m +-++⋯+++++=）（）（）（pm p m m m m m+--++⋯++-+++-1112111111 =p m m +-11<m1 因此，对任给正数ε ，取]1[ε=N ，使得当m>N 及任意自然数p ，由上式就有||21p m m m u u u ++++⋯++<m1<ε由柯西收敛准则推得级数∑21n 是收敛的. （4）绝对收敛定义法：若级数∑n u 各项绝对值所组成的级数∑n u 收敛，则原级数∑n u 收敛； 例：⋯++⋯++=∑!!2!2n n nnαααα的各项绝对值所组成的级数是⋯++⋯++=∑!||!2||||!||2n n nn αααα应用比式判别法，对于任意实数α都有1||lim||||lim1+=∞→+∞→n u u n nn n α=0 因此，所考察的级数对任何实数α都绝对收敛.（5）莱布尼兹判别法：若交错级数()),2,1,0(11⋅⋅⋅=>-+∑n u u n n n 满足下述两个条件：(1)数列{}n u 单调递减；(2)0lim=∞→n n u 则级数()),2,1,0(11⋅⋅⋅=>-+∑n u u n n n 收敛.例：考察级数∑∞=+-111)1(n n n的敛散性.解：因为∑∑∞=+=-111|1)1(|n n nn 发散，不满足绝对收敛定义，而此级数满足莱布尼茨条件，故收敛.。