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全等三角形判定一（SAS,ASA ，AAS ）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边角边”1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角”全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边”1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边角边”1、（2016•泉州）如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．【答案与解析】证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD，BC=AC，∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，在△CDA与△CEB中，∴△CDA ≌△CEB ．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键，同时注意证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.2、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，PC ⊥AC ，PB ⊥AB ，AP 平分∠BAC ，且AB ＝AC ，点Q 在PA 上，求证：QC ＝QB【答案】证明：∵ AP 平分∠BAC∴∠BAP ＝∠CAP在△ABQ 与△ACQ 中∵∴△ABQ ≌△ACQ(SAS)∴ QC ＝QB类型二、全等三角形的判定2——“角边角”【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例5】3、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【变式】如图，已知AE=CF ，∠AFD=∠CEB，AD∥BC，求证：△ADF≌△CBE．【答案】证明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF ，即AF=CE ；∵AD∥BC，∴∠A=∠C；在△ADF 与△CBE 中，，∴△ADF≌△CB E （ASA ）．类型三、全等三角形的判定3——“角角边”【高清课堂：379110 全等三角形的判定二，例6】4、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC ＝AD ，就是证含有这两个线段的三角形△BAC ≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.求证：BE ＝CF.【答案】证明：∵AD 为△ABC 的中线∴BD ＝CD∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等） ∴△BED ≌△CFD （AAS ）∴BE ＝CF5、已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB ∥DC ，AB ＝DC ．（1）求证：AC 与BD 互相平分；（2）若过O 点作直线l ，分别交AB 、DC 于E 、F 两点，求证：OE ＝OF.【思路点拨】（1）证△ABO ≌△CDO ，得AO ＝OC ，BO ＝DO （2）证△AEO ≌△CFO 或△BEO ≌△DFO【答案与解析】证明：∵AB ∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO 与△CDO 中A C (AOB COD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝对顶角相等） AB=CD∴△ABO ≌△CDO （AAS ）∴AO ＝CO ，BO=DO在△AEO 和△CFO 中A C (AOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝AO=CO＝对顶角相等） ∴△AEO ≌△CFO （ASA ）∴OE ＝OF.【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本题的关键.类型四、全等三角形判定的实际应用6、要测量河两岸相对两点A ，B 间的距离，先在过点B 的AB 的垂线上取两点C 、D ，使CD=BC ，再在过点D 的l 的垂线上取点E ，使A 、C 、E 三点在一条直线上，这时ED 的长就是A ，B 两点间的距离．你知道为什么吗？说说你的理由．【思路点拨】利用“角边角”证明△ABC 和△EDC 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=DE ，从而得解．【答案与解析】解：∵AB⊥l，CD⊥l，∴∠ABC=∠EDC=90°，在△ABC 和△EDC 中，，∴△ABC≌△EDC（ASA ），∴AB=DE，即ED 的长就是A ，B 两点间的距离．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系.。
华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形全等三角形问题中常见的辅助线的作法专题检测题1．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是()
A．6＜AD＜8B．2＜AD＜14C．1＜AD＜7D．无法确定
2．如图，在△ABC中，AD为BC上的中线，E为AC的一点，BE与AD交于点F，若AE＝EF.求证：AC＝BF.
3．如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB 于点G.若BG＝CF，求证：AD为△ABC的角平分线．
4．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.
5．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC，∠ACB的平分线AD，CE交于点F，试猜想AE，CD，AC 三条线段之间的数量关系，并加以证明．
6．已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD＝∠FAE.求证：BE＋DF＝AE.
7．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，E，F分别在AB，AC上，且∠EDF ＝60°.
(1)证明：BE＋CF＝EF；
(2)求△AEF的周长．
三、过角平分线上一点向角两边作垂线
8．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，求证：AB＝BC＋CD.
9．如图，AB＜BC，BD平分∠ABC，AD＝DC，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°.
10．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD.
11．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AD⊥BC于D.求证：CD＝AB＋BD.
12．如图，在△DEF中，DE＝DF，过EF上一点A作直线分别与DE，DF的延长线交于点B，C，且BE ＝CF.求证：AB＝AC.
答案：
1. C
2.
证明：延长AD至G，使DG＝AD，连结BG，
在△BDG 和△CDA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ∠BDG ＝∠CDA DG ＝DA
， ∴△BDG ≌△CDA(S .A .S .)，∴BG ＝AC ，∠CAD ＝∠G ，又∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AFE ，又∠BFG ＝∠AFE ，∴∠CAD ＝∠BFG ，∴∠G ＝∠BFG ，∴BG ＝BF ，∴AC ＝BF
3.
延长FE ，截取EH ＝EG ，连结CH ，∵E 是BC 中点，∴BE ＝CE ，∴∠BEG ＝∠CEH ，在△BEG 和△CEH
中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CE ∠BEG ＝∠CEH GE ＝EH
，∴△BEG ≌△CEH(S .A .S .)，∴∠BGE ＝∠H ，∴∠BGE ＝∠FGA ＝∠H ，∵BG ＝CH ，∵CF ＝BG ，∴CH ＝CF ，∴∠F ＝∠H ＝∠FGA ，∵EF ∥AD ，∴∠F ＝∠CAD ，∠BAD ＝∠FGA ，∴∠CAD ＝∠BAD ，∴AD 平分∠BAC
4.
证明：延长CE 到F ，使EF ＝CE ，连结FB.∵CE 是△ABC 的中线，∴AE ＝EB ，又∵∠AEC ＝∠BEF ，∴△AEC ≌△BEF(S .A .S .)，∴∠A ＝∠EBF ，AC ＝FB.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ＝∠EBF ＋∠ABC ＝∠CBF ，∵CB 是△ADC 的中线，∴AB ＝BD ，又∵AB ＝AC ，AC ＝FB ，∴FB ＝BD ，又∵CB ＝CB ，∴△CBF ≌△CBD(S .A .S .)，∴CD ＝CF ＝CE ＋EF ＝2CE
5. 在CA 上取点G 使得CG ＝CD ，∵∠AFC ＝180°－12(∠BAC ＋∠ACB)＝180°－12
(180°－60°)＝120°，∴∠AFE ＝∠CFD ＝60°，∵在△GCF 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧FC ＝FC ∠GCF ＝∠FCD CD ＝CG
，∴△GCF ≌△DCF(S .A .S .)，∴∠GFC ＝∠CFD ＝60°，CD ＝CG .∴∠AFG ＝120°－60°＝60°＝∠AFE ，∵在△AEF 和△AGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠AFG ∠EAF ＝∠GAF AF ＝AF
，∴△AEF ≌△AGF(A .S .A .)，∴AE ＝AG ，∴AE ＋CD ＝AG ＋CG ＝AC 6.
延长CB 到G ，使BG ＝DF ，连结AG ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，AB ∥CD ，∠D ＝∠ABC ＝90°，∴∠5＝∠BAF ＝∠1＋∠3，∠ABG ＝180°－∠ABC ＝90°，在△ABG 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABG ＝∠ADF ＝90°，BG ＝DF
∴△ABG ≌△ADF(S .A .S .)，∴∠G ＝∠5，∠1＝∠2＝∠4，∴∠G ＝∠5＝∠1＋∠3＝∠4＋∠3＝∠EAG ，∴AE ＝GE ＝BE ＋GB ＝BE ＋DF
7.
(1)延长AB 到N ，使BN ＝CF ，连接DN ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵BD ＝CD ，∠BDC ＝120°，∴∠DBC ＝∠DCB ＝30°，∴∠ACD ＝∠ABD ＝30°＋60°＝90°＝∠NBD ，∵在
△NBD 和△FCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ∠NBD ＝∠FCD ＝90°，BN ＝CF
∴△NBD ≌△FCD(S.A.S.)，∴DN ＝DF ，∠NDB ＝∠FDC ，
∵∠BDC ＝120°，∠EDF ＝60°，∴∠EDB ＋∠FDC ＝60°，∴∠EDB ＋∠BDN ＝60°，即∠EDF ＝∠
EDN ，在△EDN 和△EDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DE ∠EDF ＝∠EDN DN ＝DF ，∴△EDN ≌△EDF(S.A.S.)，∴EF ＝EN ＝BE ＋BN ＝BE
＋CF ，即BE ＋CF ＝EF
(2)∵△ABC 是边长为2的等边三角形，∴AB ＝AC ＝2，∵BE ＋CF ＝EF ，∴△AEF 的周长为AE ＋EF ＋AF ＝AE ＋EB ＋FC ＋AF ＝AB ＋AC ＝4
8.
过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵BD 平分∠ABC ，
∴CD ＝DE ，在△BCD 与△BED 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠DBC ＝∠DBE ∠C ＝∠BED ＝90°BD ＝BD
，∴△BCD ≌△BED(A .A .S .)，∴BC ＝BE ， ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A ＝45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴DE ＝AE ＝CD ，∴AB ＝BE ＋AE ＝BC ＋CD
9.
过点D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC 于F ，∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DE
＝DF ，∠AED ＝∠CFD ＝90°，∵在△AED 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD DE ＝DF
，∴△AED ≌△CFD(H .L .)∴∠DAE ＝∠BCD ，∵∠BAD ＋∠DAE ＝180°，∴∠BAD ＋∠BCD ＝180°
10.
方法1：在AB 上取AE ＝AC ，连接DE ，∵AE ＝AC ，∠1＝∠2，且AD ＝AD ，∴△ACD ≌△AED(S .A .S .)，∴ED ＝CD ，∠AED ＝∠C ＝2∠B ，又∵∠AED ＝∠B ＋∠BDE ，∴∠B ＝∠BDE ，∴EB ＝ED ，即△BED 为等腰三角形.∴BE ＝ED ＝CD ，∴AB ＝AE ＋EB ＝AC ＋CD.
方法2：延长AC 到E ，使CE ＝CD ，连接DE.则∠CDE ＝∠E ，∴∠ACB ＝∠CDE ＋∠E ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ，∵∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△AED ，∴AB ＝AE ＝AC ＋CD
11.
如图，在DC 上取DE ＝BD ，∵AD ⊥BC ，∴AB ＝AE ，∴∠B ＝∠AEB ，在△ACE 中，∠AEB ＝∠C ＋∠CAE ，又∵∠B ＝2∠C ，∴2∠C ＝∠C ＋∠CAE ，∴∠C ＝∠CAE ，∴AE ＝CE ，∴CD ＝CE ＋DE ＝AB ＋BD
12.
过B 作BG ∥CD ，交EF 于G ，∵BG ∥CD ，∴BG ∶DF ＝BE ∶DE ，∠AGB ＝∠AFC ，又∵DE ＝DF ，∴BG ＝BE ，又∵BE ＝CF ，∴BG ＝CF ，又∵∠GAB ＝∠FAC ，∴△ACF ≌△ABG ，∴AB ＝AC。
