空心高斯光束通过圆孔形硬边光阑的传输特性

〔Ａｂｓｔｒ ａｃｔ〕Ｉｎ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ， ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ａｎａｌｙｔｉｃ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｈｏｌｌｏｗ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｂｅａｍｓ （ ＨＧＢｓ） ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｃｉｒｃｕｌａｒ ａｐｅｒｔｕｒｅ ａｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｃｏｍｐｏｕｎｄ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｏｕｔｐｕｔ ｂｅａｍ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒａｄｉｕｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｉｒｃｕｌａｒ ａｐｅｒｔｕｒｅ ａｒｅ ａｌｓｏ ａｎａｌｙｚｅｄ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｆｆｒａｃｔｉｖｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ａｒｅ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｔｏ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ＨＧＢｓ ， ｔｈｅ ｒａｄｉｕｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｉｒｃｕｌａｒ ａｐｅｒｔｕｒｅ． 〔Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ〕ｈｏｌｌｏｗ－ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｂｅａｍ； ｃｉｒｃｕｌａｒ ａｐｅｒｔｕｒｅ； ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｐｒｏｐｅｒｔｙ
ｒ， ｚ） ＝ ｉ ｅｘｐ（ λＢ
２!∞
－ ｉｋｚ） ∫０ ０∫Ｅ（０
ｒ′， ０） ｅｘｐ
－
ｉｋ
２
〔Ａｒ′－２ｒ′ｒｃｏｓ（ Nhomakorabea２Ｂ
２
θ－ θ′） ＋Ｄｒ 〕 ｒ′ｄｒ′ｄθ′
（ ４）
引入圆孔光阑的窗口函数：
%１ ｒ≤ａ
Ａ（ｐ ｒ） ＝ ０ ｒ＞ａ
（ ５）
（ ４） 式变为：
% & Ｅ（
ｒ， ｚ） ＝ ｉ ｅｘｐ（ λＢ
［ 收稿日期］ ２００８－ ０３－ １３ ［ 作者简介］ 李汝烯（ １９６３－ ） ， 男， 云南弥渡人， 副教授， 主要从事激光光束变换研究．
６２
总第 ５４ 期
李汝烯， 张学清， 郑晓虹 空心高斯光束通过圆孔形硬边光阑的传输特性
第７ 卷
１ ＨＧＢｓ通过硬边圆孔光阑近轴ＡＢＣＤ系统后的场分布
在柱坐标下， Ｚ＝０入射面处的空心光束的场分布为〔４〕：
! " ! " Ｅ（ｎ ｒ， ０） ＝Ｇ０
２
ｒ
２
ｘ
ｅｘｐ
－
２
ｒ
２
， ｎ＝０， １， ２， ３∧
（ １）
ω０
ω０
其中ｎ为ＨＧＢｓ的阶数， Ｇ０为一常数。
在傍轴近似下， 任何光束通过傍轴光学系统传输满足柯林斯公式， 在柱坐标下， 柯林斯公式可以表述为：
% & Ｅ（
ｒ， ｚ） ＝ ｉ ｅｘｐ（ λＢ
２!∞
! " ! " －ｎ－１
Ｅ（ ｒ， ｚ） ＝ ｉｋＡＧ０ｎ！ ２Ｂ
１ ＋ ｉｋＡ
２
ω０
２Ｂ
２
·ｅｘｐ〔－ ｉｋｚ〕·ｅｘｐ － ｉｋＤｒ ２Ｂ
×Ｌｎ
)
,
! " *
*
ｋｒ
２-
-
*
-
* *
２Ｂ
-
*
-
*
-
*
-
*
-
１ ｉｋＡ *
-
＋ *
-
×ｅｘｐ
! " )
* *
ｋｒ ２
, -
-
*
-
* *
２Ｂ
-
*
-
*
-
*
-
*
－ ｉｋｚ） ∫０ ０∫Ｅ（０
ｒ′， ０） ｅｘｐ
－
ｉｋ
２
〔Ａｒ′－
２ｒ′ｒｃｏｓ（
２Ｂ
２
θ－ θ′） ＋Ｄｒ 〕 ｒ′ｄｒ′ｄθ′
（ ２）
其中ｋ＝ ２π为波数， λ为光波长， Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ为傍轴光学系统的变换矩阵元。用（ λ
１） 式中的Ｅ（ｎ
ｒ， ０） 代替（
２） 式
中的Ｅ（ ｒ′， ０） ， 经积分运算， 得到ＨＧＢｓ通过傍轴光学系统的传输和变换公式〔４〕：
计算。计算时我们取λ＝６３２．８ｎｍ， ω０＝１ｍｍ， Ｇ０＝ １， Ａｈ和Ｂｈ取值见文献〔６〕。下面就ＨＧＢｓ通过圆
孔形光阑的衍射情况与空心光束的阶数ｎ， 圆
孔半径ａ的关系进行数值计算， 并对计算结果
进行分析。
２．１ ＨＧＢｓ的出射光强分布随阶数ｎ的变化情
况 图１是Ｚ＝１ ０００ｍｍ处， 圆孔半径为２．０ｍｍ，
〔４〕陆璇辉， 黄凯凯．衍射光学元件改善激光谐振腔输出特性的研究〔Ｊ〕．物理学报， ２００１， ５０（ ８） ∶１４０９－ １４１４．
〔５〕张蕾， 蔡阳健， 陆璇辉．一种新空心光束的理论及实验研究〔Ｊ〕．物理学报， ２００４， ５３（ ０６） ∶１７７７－ １７８１．
〔６〕Ｗ Ｊ Ｊ， Ｂｒｅａｚｅａｋ Ｍ Ａ．Ａ ｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ ｂｅａｍ ｆｉｅｌｄ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｂｅａｍｓ〔Ｊ〕．Ｊ Ａｃｏｕｓｔ Ｓｏｃ．Ａｍ．， １９８８
圆孔半径增加次级强度增加， 在我们所取参
数的情况下， 当ａ＝２．３ｍｍ， 次级强度和原主极
大强度一样， 形成两个光环（ 与高阶贝塞尔高
斯 情 况 相 同 〔７ 〕） ， 当 圆 孔 半 径 增 加 到 一 定 值
图 ａ（ ｎ＝４） ，（ ｒ＝１ｍｍ）
图 ｂ（ ｎ＝０） ，（ ｒ＝２．３ｍｍ）
后（ 图ｃ） ， 次级消失， 为单环空心光束， 不发生
-
-
-
-
--
.
)
,
* * * * *
! " ｋｒ
-
-
２Ｂ
-
*
-
*
-
* * * *
１
＋ Ｂｈ ＋ ｉｋＡ
-
*２
ω **
+
０
ａ２
２Ｂ -.
出射面上的光强分布：
＊
（Ｉ ｒ， Ｚ） ＝Ｅ（ ｒ， ｚ） ×Ｅ（ ｒ， ｚ）
（ ９）
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总第 ５４ 期 自然科学
大理学院学报
２ 数值计算和分析
在Ｍａｔｅｍａｔｉｃａ的环境下， 对（ ９） 式进行数值
-
１ ｉｋＡ *
-
＋ *
-
（ ３）
*２
ω **
+
０
２Ｂ -.
*２
ω **
+
０
２Ｂ -.
上式中Ｌｎ为拉盖尔多项式。利用（ ３） 式可以方便地研究分析空心光束经过无光阑傍轴光学系统的传输
变换特性。
ｈ＝０
若入射面为半径为ａ， 圆孔硬边光阑， 由柯林斯公式， 通过光阑近轴光学系统后出射场的分布为：
% & Ｅ（
由于空心光束有其独特的物理性质， 如强度呈圆筒形分布、很小的暗斑尺寸、无加热效应、传播不变性以 及具有自旋与轨道角动量等， 这些性质使得空心光束在激光光学、光信息处理、微粒波导、同位素分离、微电 子 学 和 材 料 科 学 、生 物 技 术 、医 学 以 及 原 子 学 、分 子 学 等 领 域 中 有 着 广 泛 的 应 用 前 景〔 １ 〕。 空 心 光 束 的 产 生 和 应用已经引起了人们越来越多的关注。产生空心光束的方法有多种（ 如圆锥棱镜法〔２〕） ， Ｌｕ等人〔３〕提出一种 基于腔内变化的空心光束， 运用矩阵本征值方法〔４〕， 对衍射光学元件构成的激光谐振腔进行理论分析和计 算， 通过调控衍射函数参数， 获得空心光束， 并在固体激光器上得到了“黑心”空心光束。由于得到的空心光 束的中心强度几乎为零， 并且是通过腔内变换实现的， 这使得空心光束的质量相对提高， 因此是作为原子冷 却和玻色爱因斯坦凝聚（ ＢＥＣ） 的较理想的光势阱。随后， Ｚｈａｎｇ等人〔５〕基于通过腔内变换实现的空心光束提 出了一种用来描述空心光束的新理论模型— ——空心高斯光束（ ＨＧＢｓ） 模型， 他们利用ＨＧＢｓ经近轴光学系统 的解析传输变换公式分析了空心高斯光束在自由空间的传输特性。本文在Ｚｈａｎｇ等人的基础上， 分析ＨＧＢｓ通 过圆孔光阑的传输特性。
（ ８３） ∶１７５２－ １７５６．
〔７〕李汝烯， 李汝恒， 赵承良， 等．高阶贝塞尔－ 高斯光束通过圆环形硬边光阑的传输特性〔Ｊ〕．激光与红外， ２００７， ３７（ ６） ∶３．
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大理学院学报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＤＡＬＩ ＵＮＩＶＥＲＳ ＩＴＹ
第７ 卷 第６ 期 ２００８ 年 ６ 月 Ｖｏｌ．７ Ｎｏ．６ Ｊ ｕｎ． ２００８
空心高斯光束通过圆孔形硬边光阑的传输特性
李汝烯， 张学清， 郑晓虹 （ 大理学院物理与电子信息学院， 云南大理 ６７１００３）
［ 摘要］ 通过把圆孔光阑函数展开为复高斯函数的方法， 推导出了空心高斯光束（ ＨＧＢｓ） 通过圆孔光阑的传 输近似解析公式， 并对空心高斯光束通过圆孔形硬边光阑的传输特性进行了研究， 分析了不同半径下的光阑 对输出光束的影响。分析结果表明， 衍射特性与空心高斯光束的阶数、光阑半径等因素有关。 ［ 关键词］ 空心高斯光束； 圆孔形光阑； 传输特性 ［ 中图分类号］ Ｏ４３５ ［ 文献标识码］ Ａ ［ 文章编号］ １６７２－ ２３４５（ ２００８） ０６－ ００６２－ ０３
图 ｃ（ ｒ＝５ｍｍ） 图 ２ ＨＧＢｓ 的出射光强分布随圆孔半径的变化情况
〔Ｊ〕．激光与红外， ２００７， ３７（ ４） ∶３－ ４．
〔２〕李汝烯， 李茂琼， 环敏， 等．高斯光束通过副圆锥棱镜光学系统的传输特性〔Ｊ〕．大理学院学报， ２００７， ６（ １２） ∶５８－ ６１．
〔３〕陆璇辉， 张蕾， 薛大建， 等．基于腔内变换的空心激光光束〔Ｊ〕．激光与红外， ２００２， ３２（ ５） ∶３－ ５．
衍射。
３ 结论