2019高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数 第5讲

一、选择题1、若二次函数g (x )满足g (1)＝1,g (－1)＝5,且图象过原点,则g (x )的解析式为( )A 、g (x )＝2x 2－3xB 、g (x )＝3x 2－2xC 、g (x )＝3x 2＋2xD 、g (x )＝－3x 2－2x解析:选B.法一:设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),因为g (1)＝1,g (－1)＝5,且图象过原点,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1a －b ＋c ＝5c ＝0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－2c ＝0,所以g (x )＝3x 2－2x ,故选B.法二:设g (x )＝a (x －k )2＋h (a ≠0), 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ak 2＋h ＝0a （1－k ）2＋h ＝1a （1＋k ）2＋h ＝5,解得⎩⎨⎧a ＝3k ＝13h ＝－13,所以g (x )＝3⎝⎛⎭⎫x －132－13, 即g (x )＝3x 2－2x .2、已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋ab ,若不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤4},则a ＋2b 的值为( )A 、－2B 、3C 、－3D 、2解析:选 A.依题意,－1,4为方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根,所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋4＝－（a ＋1），－1×4＝ab ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝1，所以a ＋2b 的值为－2,故选A. 3、已知函数f (x )＝－2x 2＋bx ,若对任意的实数t 都有f (4＋t )＝f (4－t ),则f (－2),f (4),f (5)的大小关系为( )A 、f (5)>f (－2)>f (4)B 、f (4)>f (5)>f (－2)C 、f (4)>f (－2)>f (5)D 、f (－2)>f (4)>f (5)解析:选B.因为对任意的实数t 都有f (4＋t )＝f (4－t ),所以函数f (x )＝－2x 2＋bx 的图象关于直线x ＝4对称,所以f (－2)＝f (10),又函数f (x )＝－2x 2＋bx 的图象开口向下,所以函数f (x )在[4,＋∞)上是减函数,因为4<5<10,所以f (4)>f (5)>f (10),即f (4)>f (5)>f (－2)、4、(2018·南昌模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点,且满足f (－x )＝f (－1＋x ),则函数f (x )在[－1,3]上的值域为( )A 、[0,12] B.⎣⎡⎦⎤－14，12 C 、⎣⎡⎦⎤－12，12 D.⎣⎡⎦⎤34，12 解析:选B.因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点,所以f (0)＝0,所以b ＝0.因为f (－x )＝f (－1＋x ),所以函数f (x )的图象的对称轴为x ＝－12,所以a ＝1,所以f (x )＝x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14,所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－1，－12上为减函数,在⎝⎛⎦⎤－12，3上为增函数,故当x ＝－12时,函数f (x )取得最小值－14.又f (－1)＝0,f (3)＝12,故函数f (x )在[－1,3]上的值域为⎣⎡⎦⎤－14，12,故选B. 5、(2018·衡阳模拟)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意的实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是( )A 、[－1,4]B 、(－∞,－2]∪[5,＋∞)C 、[－2,5)D 、(－∞,－1]∪[4,＋∞)解析:选A.令f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4, 则f (x )的最小值为4,若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意的实数x 恒成立,则a 2－3a ≤4,解得－1≤a ≤4,故选A.6、若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0,m ],值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4,则m 的取值范围是( ) A 、[0,4] B.⎣⎡⎦⎤32，4C 、⎣⎡⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤32，3 解析:选 D.二次函数图象的对称轴为x ＝32,且f ⎝⎛⎭⎫32＝－254,f (3)＝f (0)＝－4,由图得m ∈⎣⎡⎦⎤32，3.二、填空题7、已知二次函数的图象与x 轴只有一个交点,对称轴为x ＝3,与y 轴交于点(0,3)、则它的解析式为________、解析:由题意知,可设二次函数的解析式为y ＝a (x －3)2,又图象与y 轴交于点(0,3),所以3＝9a ,即a ＝13. 所以y ＝13(x －3)2＝13x 2－2x ＋3. 答案:y ＝13x 2－2x ＋3 8、已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ,值域为[1,＋∞),则a 的值为________、 解析:由于函数f (x )的值域为[1,＋∞),所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4,当x ∈R 时,f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1,即a 2－2a －3＝0,解得a ＝3或a ＝－1.答案:－1或39、(2018·吉林模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3在(－∞,1]上单调递减,当x ∈[a ＋1,1]时,f (x )的最大值与最小值之差为g (a ),则g (a )的最小值为________、解析:函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的图象的对称轴是x ＝－a ,因为函数f (x )在(－∞,1]上单调递减,所以－a ≥1,即a ≤－1,且函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3在区间[a ＋1,1]上单调递减,所以f (x )max ＝f (a ＋1)＝(a ＋1)2＋2a (a ＋1)＋3＝3a 2＋4a ＋4,f (x )min ＝f (1)＝2a ＋4,所以g (a )＝f (a ＋1)－f (1)＝3a 2＋2a ,a ∈(－∞,－1],且函数g (a )的图象的对称轴为a ＝－13,所以g (a )在(－∞,－1]上单调递减,所以g (a )min ＝g (－1)＝1.答案:110、已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ,b ∈R )的值域为[0,＋∞),若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ,m ＋6),则实数c 的值为________、解析:根据函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ≥0,得到a 2－4b ＝0,又因为关于x 的不等式f (x )<c ,可化为:x 2＋ax ＋b －c <0,它的解集为(m ,m ＋6),设函数g (x )＝x 2＋ax ＋b －c 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为x 1,x 2,则|x 2－x 1|＝m ＋6－m ＝6,从而(x 2－x 1)2＝36,即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36,又因为x 1x 2＝b －c ,x 1＋x 2＝－a ,a 2－4(b －c )＝a 2－4b ＋4c ＝36,代入a 2－4b ＝0得到c ＝9. 答案:9三、解答题11、已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ,b 为实数,a ≠0,x ∈R )、(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1),且方程f (x )＝0有且只有一个根,求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下,当x ∈[－1,2]时,g (x )＝f (x )－kx 是单调函数,求实数k 的取值范围、 解:(1)因为f (－2)＝1,即4a －2b ＋1＝1,所以b ＝2a .因为方程f (x )＝0有且只有一个根,所以Δ＝b 2－4a ＝0.所以4a 2－4a ＝0,所以a ＝1,b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－（k －2）24. 由g (x )的图象知,要满足题意,则k －22≥2或k －22≤－1,即k ≥6或k ≤0, 所以所求实数k 的取值范围为(－∞,0]∪[6,＋∞)、12、已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,若x ∈[－2,2]时,f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围、 解:要使f (x )≥0恒成立,则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0,设f (x )的最小值为g (a )、f (x )的对称轴为x ＝－a 2. (1)当－a 2<－2,即a >4时, g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0,得a ≤73, 故此时a 不存在；(2)当－a 2∈[－2,2],即－4≤a ≤4时, g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a 24≥0,得－6≤a ≤2, 又－4≤a ≤4,故－4≤a ≤2；(3)当－a 2>2,即a <－4时, g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0,得a≥－7,又a<－4, 故－7≤a<－4,综上得－7≤a≤2.。

章末总结二、根置教材，考在变中 一、选择题1．(必修1 P 58练习T 2(1)改编)函数f (x )＝32－x的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(0，2]B ．[1，2]C ．[0，1]D ．(1，2)解析：选B.因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{y |y ≥1}，所以A ∩B ＝[1，2]，故选B.2．(必修1 P 74A 组T 2(2)(3)(4)改编)设a ＝log 87，b ＝log 43，c ＝log 73，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a解析：选A.由a ＝log 87得8a＝7，即23a＝7，2a＝713，即a ＝log 2713.由b ＝log 43得4b ＝3，即22b＝3，2b＝312，即b ＝log 2312.又()7136＝49，()3126＝27.所以713>312，则a >b .由于1<4<7，所以log 43>log 73，即b >c ，所以a >b >c .3．(必修1 P 44A 组T 7改编)已知f (x )＝a －x 1＋x ，且f ⎝⎛⎭⎫1b ＝－f (b )对于b ≠－1时恒成立，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．－1解析：选B.因为f (x )＝a －x 1＋x ，由f ⎝⎛⎭⎫1b ＝－f (b )，得a －1b 1＋1b ＝－a ＋b 1＋b ，化简得(a －1)(b ＋1)＝0.要使上式对于b ≠－1恒成立，则a －1＝0，所以a ＝1.4．(必修1 P 45B 组T 6改编)定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (4)＝f (－2)＝0，在区间(－∞，－3)与[－3，0]上分别单调递增和单调递减，则不等式xf (x )>0的解集为( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－4，－2)∪(2，4)C ．(－∞，－4)∪(－2，0)D ．(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)解析：选D.因为f (x )是偶函数，所以f (4)＝f (－4)＝f (2)＝f (－2)＝0，又f (x )在(－∞，－3)，[－3，0]上分别单调递增与单调递减，所以xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)，故选D.5．(必修1 P 36练习T 1(2)改编)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是()解析：选B.易判断函数为奇函数．由y ＝0得x ＝±1或x ＝0.且当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0，故选B.6．(必修1 P 88例1改编)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )A ．f (a )<f (1)<f (b )B ．f (a )<f (b )<f (1)C ．f (1)<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (1)<f (a )解析：选A.由题意，知f ′(x )＝e x ＋1>0恒成立，所以函数f (x )在R 上是单调递增的，而f (0)＝e 0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1>0，所以函数f (x )的零点a ∈(0，1)；由题意，知g ′(x )＝1x ＋1>0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上是单调递增的，又g (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，g (2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数g (x )的零点b ∈(1，2)．综上，可得0<a <1<b <2.因为f (x )在R 上是单调递增的，所以f (a )<f (1)<f (b )．故选A.7．(必修1 P 24A 组T 1(1)改编)已知函数f (x )＝3xx －4的图象与直线x ＋my －3m －4＝0有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2x 1＋x 2等于( )A ．43B ．34C ．－43D ．－34解析：选B.因为f (x )＝3x x －4＝3（x －4）＋12x －4＝3＋12x －4，其图象是由y ＝12x 向右平移4个单位后，再向上平移3个单位得到，所以函数f (x )＝3xx －4的图象关于点(4，3)对称，又直线x ＋my －3m －4＝0，即为(x －4)＋m (y －3)＝0，从而恒过定点(4，3)．所以A (x 1，y 1)与B (x 2，y 2)关于点(4，3)对称，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝6，所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝68＝34.8．(必修1 P 23练习T 3改编)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a <2c D ．2a ＋2c <2解析：选D.作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示，又a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知f (a )<1，a <0，c >0，所以0<2a <1，所以f (a )＝|2a －1|＝1－2a ，所以f (c )<1，所以0<c <1，所以1<2c <2，所以f (c )＝|2c －1|＝2c －1.又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，所以2a ＋2c <2，故选D.二、填空题9．(必修1 P 75B 组T 2改编)若log a 2<1(a >0且a ≠1)，则a 的范围为________． 解析：当0<a <1时，log a 2<0，所以log a 2<1成立．当a >1时，log a 2<1即为log a 2<log a a .所以a >2，综上所述a 的范围为(0，1)∪(2，＋∞)．答案：(0，1)∪(2，＋∞)10．(必修1 P 23练习T 3改编)函数y ＝|x ＋a |的图象与直线y ＝1围成的三角形的面积为__________．解析：作出其图象如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x ＋a |，y ＝1，得A (－1－a ，1)，B (1－a ，1)，所以|AB |＝2，所以S △ABC ＝12×2×1＝1.答案：111．(必修1 P 75A 组T 12改编)研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼逆流游速可以表示为函数v ＝a log 3Q100，其中v 的单位为m/s ，Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数，a 为正常数．已知一条鲑鱼游速为32 m/s 时，其耗氧量为2 700个单位数，则当它的游速为2 m/s 时，它的耗氧量是静止时耗氧量的________倍．解析：当Q ＝2 700时，v ＝32 m/s.所以32＝a log 32 700100，所以a ＝12.即v ＝12log 3Q100.所以当v ＝2时，2＝12log 3Q 100，此时Q ＝8 100，当v ＝0时，0＝12log 3Q100，此时Q ＝100.所以游速2m/s 时的耗氧量是静止时耗氧量的8 100100＝81倍．答案：8112．(必修1 P 83B 组T 4改编)已知函数f (x )＝e x ＋k e －x 为奇函数，函数g (x )是f (x )的导函数，有下列4个结论：①[f (x )]2－[g (x )]2为定值；②曲线f (x )在任何一点(x 0，f (x 0))处的切线的倾斜角α是大于60°的锐角； ③函数f (x )与g (x )的图象有且只有1个交点； ④f (2x )＝2f (x )g (x )恒成立．则正确的结论为________(将正确结论的序号都填上)．解析：因为f (x )＝e x ＋k e －x 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即e －x ＋k e x ＝－e x －k e －x ，(k ＋1)(e －x ＋e x )＝0.所以k ＝－1.即f (x )＝e x －e －x .则g (x )＝f ′(x )＝e x ＋e －x ，所以[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x ＋e －x )2＝－4为定值，故①正确．又f ′(x )＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2.所以f ′(x 0)≥2> 3.即曲线f (x )在任意一点(x 0，f (x 0))处的切线的倾斜角α是大于60°的锐角，故②正确．③由f(x)＝g(x)，即e x－e－x＝e x＋e－x得e－x＝0，无解．即函数f(x)与g(x)的图象无交点，故③错误．④f(2x)＝e2x－e－2x，f(x)g(x)＝(e x－e－x)(e x＋e－x)＝e2x－e－2x，所以f(2x)＝f(x)g(x)，所以f(2x)＝2f(x)g(x)恒成立错误，故④错误．答案：①②。

章末总结二、根置教材，考在变中 一、选择题1．(必修1 P 58练习T 2(1)改编)函数f (x )＝32－x 的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2] B ．[1，2] C ．[0，1] D ．(1，2)解析：选B.因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{y |y ≥1}，所以A ∩B ＝[1，2]，故选B.2．(必修1 P 74A 组T 2(2)(3)(4)改编)设a ＝log 87，b ＝log 43，c ＝log 73，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a解析：选A.由a ＝log 87得8a ＝7，即23a ＝7，2a＝713，即a ＝log 2713.由b ＝log 43得4b ＝3，即22b＝3，2b＝312，即b ＝log 2312.又()7136＝49，()3126＝27.所以713>312，则a >b .由于1<4<7，所以log 43>log 73，即b >c ，所以a >b >c .3．(必修1 P 44A 组T 7改编)已知f (x )＝a －x 1＋x ，且f ⎝⎛⎭⎫1b ＝－f (b )对于b ≠－1时恒成立，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．－1解析：选B.因为f (x )＝a －x 1＋x，由f ⎝⎛⎭⎫1b ＝－f (b )，得a －1b 1＋1b＝－a ＋b 1＋b ，化简得(a －1)(b ＋1)＝0.要使上式对于b ≠－1恒成立，则a －1＝0，所以a ＝1.4．(必修1 P 45B 组T 6改编)定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (4)＝f (－2)＝0，在区间(－∞，－3)与[－3，0]上分别单调递增和单调递减，则不等式xf (x )>0的解集为( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－4，－2)∪(2，4)C ．(－∞，－4)∪(－2，0)D ．(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)解析：选D.因为f (x )是偶函数，所以f (4)＝f (－4)＝f (2)＝f (－2)＝0，又f (x )在(－∞，－3)，[－3，0]上分别单调递增与单调递减，所以xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)，故选D.5．(必修1 P 36练习T 1(2)改编)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )解析：选B.易判断函数为奇函数．由y ＝0得x ＝±1或x ＝0.且当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0，故选B.6．(必修1 P 88例1改编)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )A ．f (a )<f (1)<f (b )B ．f (a )<f (b )<f (1)C ．f (1)<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (1)<f (a )解析：选A.由题意，知f ′(x )＝e x ＋1>0恒成立，所以函数f (x )在R 上是单调递增的，而f (0)＝e 0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1>0，所以函数f (x )的零点a ∈(0，1)；由题意，知g ′(x )＝1x ＋1>0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上是单调递增的，又g (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，g (2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数g (x )的零点b ∈(1，2)．综上，可得0<a <1<b <2.因为f (x )在R 上是单调递增的，所以f (a )<f (1)<f (b )．故选A.7．(必修1 P 24A 组T 1(1)改编)已知函数f (x )＝3xx －4的图象与直线x ＋my －3m －4＝0有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2x 1＋x 2等于( )A ．43B ．34C ．－43D ．－34解析：选B.因为f (x )＝3x x －4＝3（x －4）＋12x －4＝3＋12x －4，其图象是由y ＝12x 向右平移4个单位后，再向上平移3个单位得到，所以函数f (x )＝3xx －4的图象关于点(4，3)对称，又直线x ＋my －3m －4＝0，即为(x －4)＋m (y －3)＝0，从而恒过定点(4，3)．所以A (x 1，y 1)与B (x 2，y 2)关于点(4，3)对称，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝6，所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝68＝34.8．(必修1 P 23练习T 3改编)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2解析：选D.作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示，又a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知f (a )<1，a <0，c >0，所以0<2a <1，所以f (a )＝|2a －1|＝1－2a ，所以f (c )<1，所以0<c <1，所以1<2c <2，所以f (c )＝|2c －1|＝2c －1.又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，所以2a ＋2c <2，故选D.二、填空题9．(必修1 P 75B 组T 2改编)若log a 2<1(a >0且a ≠1)，则a 的范围为________．解析：当0<a <1时，log a 2<0，所以log a 2<1成立．当a >1时，log a 2<1即为log a 2<log a a .所以a >2，综上所述a 的范围为(0，1)∪(2，＋∞)．答案：(0，1)∪(2，＋∞)10．(必修1 P 23练习T 3改编)函数y ＝|x ＋a |的图象与直线y ＝1围成的三角形的面积为__________．解析：作出其图象如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x ＋a |，y ＝1，得A (－1－a ，1)，B (1－a ，1)，所以|AB |＝2，所以S △ABC ＝12×2×1＝1.答案：111．(必修1 P 75A 组T 12改编)研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼逆流游速可以表示为函数v ＝a log 3Q100，其中v 的单位为m/s ，Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数，a 为正常数．已知一条鲑鱼游速为32 m/s 时，其耗氧量为2 700个单位数，则当它的游速为2 m/s 时，它的耗氧量是静止时耗氧量的________倍．解析：当Q ＝2 700时，v ＝32 m/s.所以32＝a log 32 700100，所以a ＝12.即v ＝12log 3Q100.所以当v ＝2时，2＝12log 3Q 100，此时Q ＝8 100，当v ＝0时，0＝12log 3Q100，此时Q ＝100.所以游速2m/s 时的耗氧量是静止时耗氧量的8 100100＝81倍．答案：8112．(必修1 P 83B 组T 4改编)已知函数f (x )＝e x ＋k e －x 为奇函数，函数g (x )是f (x )的导函数，有下列4个结论：①[f (x )]2－[g (x )]2为定值；②曲线f (x )在任何一点(x 0，f (x 0))处的切线的倾斜角α是大于60°的锐角； ③函数f (x )与g (x )的图象有且只有1个交点； ④f (2x )＝2f (x )g (x )恒成立．则正确的结论为________(将正确结论的序号都填上)．解析：因为f (x )＝e x ＋k e －x 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即e －x ＋k e x ＝－e x －k e －x ，(k ＋1)(e －x ＋e x )＝0.所以k ＝－1.即f (x )＝e x －e －x .则g (x )＝f ′(x )＝e x ＋e －x ，所以[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x ＋e －x )2＝－4为定值，故①正确．又f ′(x )＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2.所以f ′(x 0)≥2> 3.即曲线f (x )在任意一点(x 0，f (x 0))处的切线的倾斜角α是大于60°的锐角，故②正确．③由f (x )＝g (x )，即e x －e －x ＝e x ＋e －x 得e －x ＝0，无解．即函数f (x )与g (x )的图象无交点，故③错误．④f (2x )＝e 2x －e －2x ，f (x )g (x )＝(e x －e －x )(e x ＋e －x )＝e 2x －e －2x ，所以f (2x )＝f (x )g (x )，所以f (2x )＝2f (x )g (x )恒成立错误，故④错误．答案：①②。

一、选择题．函数()＝的定义域为( )．(，＋∞)．．∪[，＋∞)．∪(，＋∞)解析：选.要使函数有意义，()－>，即>或<－，所以>或<<，即函数()的定义域为(，)∪(，＋∞)．．设函数()＝在(－∞，)上单调递增，则(＋)与()的大小关系是( )．(＋)<()．(＋)>()．不能确定．(＋)＝()解析：选.由已知得<<，所以<＋<，又易知函数()为偶函数，故可以判断()在(，＋∞)上单调递减，所以(＋)>()．．设＝，＝，＝，则( )．>>．>>．>>．>>解析：选.因为＝＝＋，＝＝＋，＝＝＋，又<<<，所以>>>，所以>>，故选.．已知函数()＝(＋－)(>，≠)的图象如图所示，则，满足的关系是( )．<－<<．<<－<．<－<－<．<－<<解析：选.由函数图象可知，()为单调递增函数，故＞.函数图象与轴的交点坐标为(，)，由函数图象可知－<<，解得<<.综上有<<<.．若函数()＝(<<)在区间[，]上的最大值是最小值的倍，则的值为( )．．解析：选.因为<<，所以函数()是定义域上的减函数，所以()＝＝，()＝，所以＝⇒＝()⇒＝⇒＝.故选.．已知函数()＝－＋＋，则()＋(－)的值为( )．．．．解析：选.因为函数()＝－＋是奇函数，所以()＋(－)＝，则()＋(－)＝()＋＋(－)＋＝.故选.二、填空题．＋＋＋×＝．解析：＋＋＋×＝＋＋×＝＋＝.答案：．设函数()＝则满足不等式()≤的实数的取值集合为．解析：原不等式等价于或解得≤≤或<≤，即实数的取值集合为.答案：．函数()＝·()的最小值为．解析：依题意得()＝·(＋)＝()＋＝－≥－，当且仅当＝－，即＝时等号成立，所以函数()的最小值为－.答案：－．设函数()＝(<<)的定义域为[，](<)，值域为[，]，若－的最小值为，则实数的值为．解析：作出＝(＜＜)的大致图象如图，令＝.得＝或＝，又－－＝－－＝＜，故－＜－，所以－的最小值为－＝，＝.答案：三、解答题．设()＝(＋)＋(－)(>，≠)，且()＝.()求的值及()的定义域；()求()在区间上的最大值．解：()因为()＝，所以＝(>，≠)，所以＝.由得∈(－，)，所以函数()的定义域为(－，)．()()＝(＋)＋(－)＝[(＋)(－)]＝[－(－)＋]，所以当∈(－，]时，()是增函数；当∈(，)时，()是减函数，故函数()在上的最大值是()＝＝.．已知函数()＝(＋)－(－)，＞且≠.()求()的定义域；()判断()的奇偶性并予以证明；()当＞时，求使()＞成立的解集．解：()要使函数()有意义，则解得－＜＜.故所求函数()的定义域为(－，)．()()为奇函数．证明如下：由()知()的定义域为(－，)，且(－)＝(－＋)－(＋)＝－[(＋)－(－)]＝－()，故()为奇函数．()因为当＞时，()在定义域(－，)内是增函数，所以()＞⇔＞，解得＜＜.所以使()＞的的解集是(，)．。

【2013年高考会这样考】1．考查对数函数的定义域与值域． 2．考查对数函数的图象与性质的应用．3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质． 4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系． 【复习指导】复习本讲首先要注意对数函数的定义域，这是研究对数函数性质．判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据，同时熟练把握对数函数的有关性质，特别注意底数对函数单调性的影响．基础梳理1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N (a ＞0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． (2)几种常见对数对数形式 特点记法 一般对数 底数为a (a ＞0且a ≠1)log a N 常用对数 底数为10 lg N 自然对数底数为eln_N2.(1)对数的性质①a log a N ＝N ；②log a a N＝N (a ＞0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .(3)对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M .3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)当x＞1时，y＞0当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数4.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．两个防范解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1.四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化同真数后利用图象比较．双基自测1．(2010·四川)2 log510＋log50.25＝( )．A．0 B．1 C．2 D．4解析原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2.答案 C2．(人教A 版教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b解析 将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C3．(2012·黄冈中学月考)函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 设y ＝f (x )，t ＝3x＋1. 则y ＝log 2t ，t ＝3x＋1，x ∈R .由y ＝log 2t ，t >1知函数f (x )的值域为(0，＋∞)． 答案 A4．(2012·汕尾模拟)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( )．A ．(－∞，1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32D ．[1,2)解析 法一 当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x ≤1，即1≤x ＜2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D. 法二 f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图所示．由图象可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D. 答案 D5．若log a 23>1，则a 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1考向一 对数式的化简与求值【例1】►求值：(1)log 89log 23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；(3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245. [审题视点] 运用对数运算法则及换底公式． 解 (1)原式＝log 2332log 23＝23.(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg 105＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1. (3)法一 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. 法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg 10＝12.对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化． 【训练1】 (1)若2a ＝5b＝10，求1a ＋1b的值．(2)若x log 34＝1，求4x ＋4－x的值． 解 (1)由已知a ＝log 210，b ＝log 510， 则1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.(2)由已知x ＝log 43，则4x ＋4－x＝4log 43＋4－log 43＝3＋13＝103.考向二 对数值的大小比较【例2】►已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c[审题视点] 利用函数单调性或插入中间值比较大小．解析 log 123＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 123)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47＜log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125＞532＝2＞log 49， 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f (0.2－0.6)＜f (log 123)＜f (log 47)，即c ＜b ＜a ，故选B.答案 B一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决．【训练2】 (2010·全国)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( )．A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析 法一 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，c ＝5－12＝15，而5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，综上c ＜a ＜b ，故选C.法二 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，1＜log 2e ＜log 23＜2，∴12＜1log 23＜1log 2e＜1；c ＝5－12＝15＜14＝12，所以c ＜a ＜b ，故选C.答案 C考向三 对数函数性质的应用【例3】►已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．[审题视点] a ＞0且a ≠1，问题等价于在[0,1]上恒有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－ax ＞0.解 ∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是关于x 的减函数，∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－a ＞0，即1＜a ＜2.∴a 的取值范围是(1,2)．研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则．研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异减”．本题的易错点为：易忽略2－ax ＞0在[0,1]上恒成立，即2－a ＞0.实质上是忽略了真数大于0的条件．【训练3】 已知f (x )＝log 4(4x－1) (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x－1>0解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增．(3)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (2)＝log 415， 因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]．难点突破4——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道选择或填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨论．一、与对数函数有关的求值问题【示例】► (2011·陕西)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________.二、与对数函数有关的解不等式问题【示例】► (2011·辽宁改编)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是________．。

、选择题1.函数 f(x)= . (log 2x ) 2 0,10, 2 U (2, +8 )分层演练」直击高考基础达标1 ——的定义域为(-1C .解析：选C.要使函数有意义，(log 2x)2- 1>0, 1即 log 2x>1 或 log 2x<- 1 ,所以 x>2 或 0<x<2， 1即函数f(x)的定义域为(0, 1U (2, +8). 2. 设函数f(x) = log a 凶在(-8, 0)上单调递增， A . f(a + 1)>f(2)C . f(a + 1) = f(2) 解析：选A.由已知得0<a<1 ,所以1<a + 1<2, f(x)在(0, +8)上单调递减，所以f(a + 1)>f(2). 3. 设 a = log 510, A . c>b>aC . a>c>b 解析：选D.因为 0<log 25<log 26<log 27, b = Iog 6l2, c = Iog 7l4,则(D .U ［2 ,+s )f(a + 1)与f(2)的大小关系是()B . f(a + 1)<f(2)D .不能确定 又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断 ) B . b>c>a D . a>b>c a = log 510= 1 + log 52, b = log 612= 1 + log 62, c = log 714= 1 + log 72,又 所以 log 52>log 62>log 72>0,所以 a>b>c ,故选 D. 4.已知函数f(x)= log a (2x + b - 1)(a>0,a ^ 1)的图象如图所示，则a,b 满足的关系是( ) 一 1 A . 0<a <b<1 一 i C . 0<b <a<1 解析：选A.由函数图象可知，f(x)为单调递增函数，故a > 1•函数图象与y 轴的交点坐 10«b<1.a 3倍，则a 的值为( ) 0<b<a 1<10<a -1<b -1<1 1 标为(0, log a b),由函数图象可知—1<log a b<0,解得一<b<1.综上有 a 5.若函数f(x)= log a x(0<a<1)在区间［a ,2a ］上的最大值是最小值的2 2 A .才 B.f 1 1 C 4 D.1 解析：选A.因为0<a<1，所以函数f(x)是定义域上的减函数，所以f(X )max= log a a = 1 , f(x)min 3 2 "^2 =log a 2a ,所以 1 = 3log a 2a? a = (2a) ? 8a = 1? a = 丁.故选 A. 1 + f(-")的值为( B . 4 D . 10 1 一 x6.已知函数f(x) 一 x + g 齐X + 2,则 A . 2 C . 6 1 一 x解析：选B.因为函数g (x)=- x +lo g2—是奇函数，所以 + g(-e )= 0,则 f(p + f(-e = g(；)+ 2+ g(-e )+ 2 = 4.故选 B.二、填空题1, 4， 1解析：原不等式等价于X v 2或丫 1- log ix w 2,解得产x < 1或1<X W 4,即实数x 的4 v、 4 'y °、 1取值集合为ix|2v x v 4<r 1 1答案：。