§8.2空间几何体的表面积和体积考纲解读分析解读高考对本节内容的考查形式有两种:一是直接求柱、锥、球、台的表面积或体积,考查化归思想的应用.二是已知某几何体的表面积或体积求某些元素的量或元素之间的关系.考查形式以选择题和填空题为主,分值约为5分,主要以三视图为背景进行考查,对学生的识图能力和空间想象能力要求较高,所以在备考复习时应加强训练.五年高考考点一空间几何体的表面积1.(2016课标全国Ⅱ,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12πB.πC.8πD.4π答案A2.(2016课标全国Ⅲ,10,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18+36B.54+18C.90D.81答案B3.(2015课标Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π答案C4.(2015课标Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )A.1B.2C.4D.8答案B5.(2015福建,9,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )A.8+2B.11+2C.14+2D.15答案B6.(2017课标全国Ⅱ,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案14π7.(2013课标全国Ⅰ,15,5分)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为.答案教师用书专用(8—13)8.(2015陕西,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案D9.(2014大纲全国,10,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A. B.16π C.9π D.答案A10.(2013重庆,8,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.180B.200C.220D.240答案D11.(2014山东,13,5分)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.答案1212.(2013课标全国Ⅱ,15,5分)已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.答案24π13.(2013陕西,12,5分)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为.答案3π考点二空间几何体的体积1.(2017课标全国Ⅲ,9,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A.πB.C.D.答案B2.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B3.(2014课标Ⅱ,7,5分)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为( )A.3B.C.1D.答案C4.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.答案5.(2016浙江,9,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.答案80;406.(2017课标全国Ⅱ,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明:直线BC∥平面PAD;(2)若△PCD的面积为2,求四棱锥P-ABCD的体积.解析(1)证明:在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,故BC∥平面PAD.(2)取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=AD及BC∥AD,∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD,所以PM⊥CM.设BC=x,则CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PN⊥CD,所以PN=x.因为△PCD的面积为2,所以×x×x=2,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=2所以四棱锥P-ABCD的体积V=××2=4.7.(2016课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(1)证明:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD'=2,求五棱锥D'-ABCFE的体积.解析(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得=,故AC∥EF.(2分)由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(4分)(2)由EF∥AC得==.(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO=-=4.所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(22+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.(8分)又由=得EF=.五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.(10分)所以五棱锥D'-ABCFE的体积V=××2=.(12分)教师用书专用(8—27)8.(2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )A.8cm3B.12cm3C.cm3D.cm3答案C9.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积原工件的体积( )A. B. C.- D.-答案A10.(2014湖北,10,5分)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A. B. C. D.答案B11.(2014四川,4,5分)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高A.3B.2C.D.1答案D12.(2014重庆,7,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.12B.18C.24D.30答案C13.(2013课标全国Ⅰ,11,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π答案A14.(2013浙江,5,5分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )A.108cm3B.100cm3C.92cm3D.84cm3答案B15.(2016四川,12,5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.答案16.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案π17.(2015四川,14,5分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形.设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.答案18.(2014天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案19.(2013湖北,16,5分)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 答案320.(2013天津,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为.答案21.(2015安徽,19,13分)如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值.22.(2015课标Ⅱ,19,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解析(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=-=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为也正确.23.(2014福建,19,12分)如图,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求证:CD⊥平面ABD;(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.解析(1)证明:∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,∴CD⊥平面ABD.(2)解法一:由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.∵AB=BD=1,∴S△ABD=.∵M是AD的中点,∴S△ABM=S△ABD=.由(1)知,CD⊥平面ABD,∴三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC的体积V A-MBC=V C-ABM=S△ABM·h=.解法二:由AB⊥平面BCD知,平面ABD⊥平面BCD,又平面ABD∩平面BCD=BD,如图,过点M作MN⊥BD交BD于点N,则MN⊥平面BCD,且MN=AB=,又CD⊥BD,BD=CD=1,∴S△BCD=.∴三棱锥A-MBC的体积V A-MBC=V A-BCD-V M-BCD=AB·S△BCD-MN·S△BCD=.24.(2014广东,18,13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如图2折叠:折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC 上,沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF.(1)证明:CF⊥平面MDF;(2)求三棱锥M-CDE的体积.解析(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴PD⊥AD.∵四边形ABCD是矩形,∴AD⊥DC.又∵PD∩DC=D,∴AD⊥平面PCD.∵CF⊂平面PCD,∴AD⊥CF.又∵MF⊥CF,MF∩AD=M,∴CF⊥平面MDF.(2)由(1)知CF⊥DF,PD⊥DC,在△PCD中,DC2=CF·PC.∴CF==.又∵EF∥DC,∴=⇒ED=·==.∴PE=ME=-=,∴S△CDE=DC·ED=×1×=.在Rt△MDE中,MD=-=,∴V M-CDE=S△CDE·MD=××=.25.(2014江西,19,12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,A1B⊥BB1.(1)求证:A1C⊥CC1;(2)若AB=2,AC=,问AA1为何值时,三棱柱ABC-A1B1C1体积最大?并求此最大值.解析(1)证明:由AA1⊥BC知BB1⊥BC,又BB1⊥A1B,故BB1⊥平面BCA1,则BB1⊥A1C,又BB1∥CC1,所以A1C⊥CC1.(2)解法一:设AA1=x,在Rt△A1BB1中,A1B=-=同理,A1C=-=.在△A1BC中,cos∠BA1C=-·=---,所以sin∠BA1C=--,所以△=A1B·A1C·sin∠BA1C=.从而三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=△·AA1=.因为x=-=--,故当x==,即AA1=时,体积V取到最大值.解法二:过A1作BC的垂线,垂足为D,连接AD.由于AA1⊥BC,A1D⊥BC,故BC⊥平面AA1D,BC⊥AD.又∠BAC=90°,所以S△ABC=AD·BC=AB·AC,得AD=.设AA1=x,在Rt△AA1D中,A1D=-=-,=A1D·BC=.△从而三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=△·AA1=.因为x=-=--,故当x==,即AA1=时,体积V取到最大值.26.(2013课标全国Ⅱ,18,12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1∥平面A1CD;(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.解析(1)连接AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,连接DF,则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=2得∠ACB=90°,CD=1D=1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以-=××××=1.27.(2013重庆,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2∠ACB=∠ACD=.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P-BDF的体积.解析(1)证明:因BC=CD,即△BCD为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC.(2)三棱锥P-BCD的底面BCD的面积S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=·2·2·sin=由PA⊥底面ABCD,得V P-BCD=·S△BCD·PA=·2=2.由PF=7FC,得三棱锥F-BCD的高为PA,故V F-BCD=·S△BCD·PA=···2=,所以V P-BDF=V P-BCD-V F-BCD=2-=.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一空间几何体的表面积1.(2018湖北武汉部分学校调研,8)一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( )A.28B.24+2C.20+4D.20+2答案B2.(2018安徽合肥调研,6)一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,其中俯视图和侧视图圆弧部分为半圆,则该几何体的表面积为( )A.4π+4B.5π+4C.6πD.7π答案A3.(2017江西七校联考,8)若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )A.48+πB.48-πC.48+2πD.48-2π答案A4.(2018江西南昌二中12月月考,15)已知四面体PABC中,PA=PB=4,PC=2,AC=2,PB⊥平面PAC,则四面体PABC的外接球的表面积为.答案36π5.(2016江西九江四校联考,14)已知一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积是.答案4+4π考点二空间几何体的体积6.(2018湖南师大附中期中,7)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.2B.4C.D.答案C7.(2018吉林长春质检,8)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1丈),那么该刍甍的体积为( )A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.12立方丈答案B8.(2017河南郑州一中押题卷二,8)一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M是AB上的动点,记四面体EFMC的体积为V1,多面体ADF-BCE的体积为V2,则=( )A. B.C. D.不是定值,随点M位置的变化而变化答案B9.(2017河北“五个一联盟”一模,6)某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形(含对角线),则此四面体的外接球的体积为( )A. B.3π C.π D.π答案C10.(2018福建六校12月联考,15)已知矩形ABCD的顶点都在半径为13的球O的球面上,且AB=8,BC=6,过点D作DE垂直于平面ABCD,交球O于E,则四棱锥E-ABCD的体积为.答案384B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:55分时间:45分钟)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018河南开封定位考试,8)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )A.4πB.2πC.D.π答案B2.(2018湖北部分重点中学12月联考,8)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.16B.26C.32D.20+答案C3.(2018云南玉溪一中期中,11)已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上,且PA⊥平面ABC,若该三棱锥的体积为,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则球的表面积等于( )A.5πB.20πC.8πD.16π答案B4.(2017安徽黄山二模,7)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.4B.4C.4D.答案C5.(2017河南八市12月联考,8)如图,网格纸上小正方形的边长均为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.(B.(C.(2+1)π+96D.(2+2)π+96答案A6.(2017河南天一12月联考,10)如图,在四面体PABC中,PA=PB=PC=4,点O是点P在平面ABC上的投影,且tan∠APO=,则四面体PABC的外接球的体积为( )A.24πB.48πC.8πD.32答案C7.(2016广东汕头模拟,9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( )A.4B.12πC.24πD.48π答案B二、填空题(共5分)8.(2018河北衡水中学9月大联考,16)在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,若四棱锥M-ABCD为阳马,侧棱MA⊥底面ABCD,且MA=BC=AB=2,则该阳马的外接球与内切球表面积之和为.答案36π-16π三、解答题(共15分)9.(2018湖南益阳、湘潭调研考试,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA=AB=1,E为PC的中点.(1)求证:PA∥平面BDE;(2)求三棱锥P-BDE的体积.解析(1)证明:连接AC,设AC∩BD=O,连接OE,则O为AC的中点,∵E为PC的中点,∴PA∥OE,又OE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE,∴PA∥平面BDE.(2)连接AE,由(1)知PA∥平面BDE,∴P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等,即V P-BDE=V A-BDE,又V A-BDE=V E-ABD=V P-ABD=××1××1×1×sin 120°=,∴V P-BDE=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 空间几何体表面积的求解方法1.(2018福建六校12月联考,11)如图是某几何体的三视图,正视图是等边三角形,侧视图和俯视图为直角三角形,则该几何体的表面积为( )A.4B.4+C.3+D.4+答案B2.(2017河北衡水中学周测卷(十六),2)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.48B.32+8C.48+8D.80答案C3.(2017江西七校联考,10)如图,ABCD是边长为2的正方形,点E,F分别为边BC,CD的中点,将△ABE,△ECF,△FDA分别沿AE,EF,FA折起,使B,C,D三点重合于点P,若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上,则该球的表面积是( )A.6πB.12πC.18πD.9π答案C方法2 空间几何体体积的求解方法4.(2018广东深圳12月模拟,9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.16答案B方法3 与球有关的切、接问题的求解方法5.(2018河南新乡一模,12)在三棱锥D-ABC中,CD⊥底面ABC,AE∥CD,△ABC为正三角形,AB=CD=AE=2,三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分为一个三棱锥,则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.πB.6πC.πD.π答案A6.(2016广东汕头模拟,8)一个正三棱柱ABC-DEF的正视图是边长为的正方形,如图,则它的外接球的表面积等于( )A.8πB.C.9πD.答案B7.(2018湖南五市十校12月联考,16)某几何体的三视图如图所示,若该几何体的所有顶点都在一个球面上,则该球的表面积为.答案8.(2017福建四地六校联考,15)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切,已知这个球的体积为π,则该正三棱柱的体积为.答案48。
