2019年高考数学一轮复习(文科)训练题：推理与证明

第十四章　推理与证明题组1　合情推理与演绎推理1.[2016北京,8,5分][文]某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位:米)1.961.921.821.81.781.761.741.721.681.630秒跳绳(单位:次)63a7560637270a-1b65在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛2.[2017北京,14,5分][文]某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 .②该小组人数的最小值为 .3.[2016山东,12,5分][文]观察下列等式:(sin )-2+(sin )-2=×1×2;π32π343(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2=×2×3;π52π53π54π543(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2+…+(sin )-2=×3×4;π72π73π76π743(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2+…+(sin )-2=×4×5;π92π93π98π943……照此规律,(sin )-2+(sin )-2+(sin )-2+…+(sin )-2= .π2n +12π2n +13π2n +12nπ2n +14.[2015陕西,16,5分][文]观察下列等式1-=12121-+-=+12131413141-+-+-=++1213141516141516……据此规律,第n 个等式可为 .5.[2014新课标全国Ⅰ,14,5分][文]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市;乙说:我没去过C 城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 .6.[2014福建,15,4分]若集合{a ,b ,c ,d }={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b ≠1;③c=2;④d ≠4有且只有一个是正确的, 则符合条件的有序数组(a ,b ,c ,d )的个数是 .7.[2014安徽,12,5分][文]如图14-1,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2.过点A 作BC 2的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;…,依此类推.设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,…,A 5A 6=a 7,则a 7= .图14-18.[2014陕西,14,5分][文]已知f (x )=,x ≥0,若f 1(x )=f (x ), f n+1(x )=f (f n (x )),n ∈N +,则f 2 014(x )的表x1+x 达式为 .9.[2013湖北,17,5分][文]在平面直角坐标系中,若点P (x ,y )的坐标x ,y 均为整数,则称点P 为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S ,其内部的格点数记为N ,边界上的格点数记为L.例如图14-2中△ABC 是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.图14-2(Ⅰ)图中格点四边形DEFG 对应的S ,N ,L 分别是 ;(Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c ,其中a ,b ,c 为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S= (用数值作答). 题组2　直接证明与间接证明10.[2017北京,20,13分]设{a n }和{b n }是两个等差数列,记c n =max{b 1-a 1n ,b 2-a 2n ,…,b n -a n n }(n=1,2,3,…),其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数.(Ⅰ)若a n =n ,b n =2n-1,求c 1,c 2,c 3的值,并证明{c n }是等差数列;(Ⅱ)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n ≥m 时,>M ;或者存在正整数m ,使得c nn c m ,c m+1,c m+2,…是等差数列.11.[2016浙江,20,15分][文]设函数f (x )=x 3+,x ∈[0,1].证明:11+x (Ⅰ)f (x )≥1-x+x 2;(Ⅱ)<f (x )≤.343212.[2013北京,20,13分]已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列.该数列前n 项的最大值记为A n ,第n 项之后各项a n+1,a n+2,…的最小值记为B n ,d n =A n -B n .(Ⅰ)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,a n+4=a n ),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值;(Ⅱ)设d 是非负整数.证明:d n =-d (n=1,2,3,…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列;(Ⅲ)证明:若a 1=2,d n =1(n=1,2,3,…),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.A 组基础题1.[2018郑州一中高三入学测试,12]数学上称函数y=kx+b (k ,b ∈R,k ≠0)为线性函数.对于非线性可导函数f (x ),在点x 0附近一点x 的函数值f (x ),可以用如下方法求其近似代替值:f (x )≈f (x 0)+f '(x 0)(x-x 0).利用这一方法,m=的近似代替值( )4.001A.大于m B.小于m C.等于mD.与m 的大小关系无法确定2.[2018吉林百校联盟联考,5]甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是( )A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了3.[2017南昌市三模,4]已知13+23=()2,13+23+33=()2,13+23+33 +43=()2,…,若6212220213+23+33+43+…+n 3=3 025,则n=( )A.8B.9C.10D.114.[2017长春市高三第二次质量监测,14] 将1,2,3,4,…这样的正整数按如图14-3所示的方式排成三角形数组,则第10行左数第10个数为 .图14-35.[2017甘肃兰州高考实战模拟,14]观察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推测出一个一般性结论:对于n∈N*,则1+2+…+n+…+2+1= .6.[2017郑州市高三第三次质量预测,13][数学文化题]中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放有纵横两种形式,如下表:表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,以此类推,例如6 613用算筹表示就是,则5 288用算筹可表示为 .B组提升题7.[2017长沙市五月模拟,7]某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步,每52秒跑完一圈,在学生A开始跑步时,在教室内有一个学生B,往操场看了一次,以后每50秒他都往操场看一次,则该学生B“感觉”到学生A的运动是( )A.逆时针方向匀速前跑B.顺时针方向匀速前跑C.顺时针方向匀速后退D.静止不动8.[2017沈阳市高三三模,9][数学文化题]“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是( )2 017　2 016　2 015　2 014……6　5　4　3　2　1　4 033　4 031　4 029……………11　9　7　5　3 8 064　8 060……………………20　16　12　8 16 124 …………………………36　28　20 …………………………A.2 017×22 016B.2 018×22 015C.2 017×22 015D.2 018×22 0169.[2018山东省东明一中模拟,15]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为,记第n 个k 边形数为N (n ,k )(k ≥3),以下列出了部分n 2+n2k 边形数中第n 个数的表达式:三角形数: N (n ,3)=n 2+n ;正方形数: N (n ,4)=n 2;五边形数: N (n ,5)=n 2-n ;六边形数: N (n ,6)12123212=2n 2-n ,…,由此推测N (8,8)= .10.[2017长春市高三第四次质量监测,16]有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师,期间他们做了一个游戏,张老师的生日是m 月n 日,张老师把m 告诉了甲,把n 告诉了乙,然后张老师列出来如下10个日期供选择:2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9月6日,9月9日.看完日期后,甲说:“我不知道,但你一定也不知道.”乙听了甲的话后,说:“本来我不知道,但现在我知道了.”甲接着说:“哦,现在我也知道了.”请问,张老师的生日是 .答案1.B 由数据可知,进入立定跳远决赛的8人为1~8号,所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生.数据排序后可知3号,6号,7号必定进入30秒跳绳决赛,则得分为63,a ,60,63,a-1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛.若1号,5号学生未进入30秒跳绳决赛,则4号学生就会进入决赛,与事实矛盾,所以1号,5号学生必进入30秒跳绳决赛.故选B .2.6　12　令男学生、女学生、教师人数分别为x ,y ,z ,且x>y>z ,①若教师人数为4,则4<y<x<8,当x=7时,y 取得最大值6.②当z=1时,1=z<y<x<2,不满足条件;当z=2时,2=z<y<x<4,不满足条件;当z=3时,3=z<y<x<6,y=4,x=5,满足条件.所以该小组人数的最小值为3+4+5=12.3.n (n+1)　根据已知,归纳可得结果为n (n+1).43434.1-+-+…+-=++…+　观察所给等式的左右两边可以归纳出1-+-+…+12131412n -112n 1n +11n +212n 121314-=++…+.12n -112n 1n +11n +212n 5.A 根据甲和丙的回答推测乙没去过B 城市,又知乙没去过C 城市,故乙去过A 城市.6.6　因为①正确,②也正确,所以只有①正确是不可能的;若只有②正确,①③④都不正确,则符合条件的有序数组为(2,3,1,4),(3,2,1,4);若只有③正确,①②④都不正确,则符合条件的有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,①②③都不正确,则符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上,符合条件的有序数组的个数是6.7.　解法一　直接递推归纳:等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2,所以142AB=AC=a 1=2,AA 1=a 2=,A 1A 2=a 3=1,…,A 5A 6=a 7=a 1×()6=.22214解法二　求通项:等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2,所以2AB=AC=a 1=2,AA 1=a 2=,…,A n-1A n =a n+1=sin ·a n =a n =2×()n ,故a 7=2×()6=.2π4222222148.　由f 1(x )=⇒f 2(x )=f ()==;又可得f 3(x )=f (f 2(x ))==,故可猜x1+2 014x x 1+x x 1+x x 1+x1+x 1+x x 1+2x x 1+2x1+x1+2x x1+3x 想f 2 014(x )=.x1+2 014x 9.(Ⅰ)3,1,6　由定义知,四边形DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成,其内部格点有1个,边界上格点有6个,S 四边形DEFG =3.(Ⅱ)79　由待定系数法可得⇒,{12=a ·0+b ·3+c ,1=a ·0+b ·4+c ,3=a ·1+b ·6+c {a =1,b =12c =-1,故当N=71,L=18时,S=1×71+×18-1=79.1210.(Ⅰ)c 1=b 1-a 1=1-1=0,c 2=max{b 1-2a 1,b 2-2a 2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,c 3=max{b 1-3a 1,b 2-3a 2,b 3-3a 3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=-2.当n ≥3时,(b k+1-na k+1)-(b k -na k )=(b k+1-b k )-n (a k+1-a k )=2-n<0,所以b k -na k 关于k ∈N *单调递减.所以c n =max{b 1-a 1n ,b 2-a 2n ,…,b n -a n n }=b 1-a 1n=1-n.所以对任意n ≥1,c n =1-n ,于是c n+1-c n =-1,所以{c n }是等差数列.(Ⅱ)设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1,d 2,则b k -na k =b 1+(k-1)d 2-[a 1+(k-1)d 1]n =b 1-a 1n+(d 2-nd 1)(k-1).所以c n ={b 1-a 1n +(n -1)(d 2-nd 1),当d 2>nd 1时,b 1-a 1n ,当d 2≤nd 1时.①当d 1>0时,取正整数m>,则当n ≥m 时,nd 1>d 2,因此c n =b 1-a 1n.d 2d 1此时,c m ,c m+1,c m+2,…是等差数列.②当d 1=0时,对任意n ≥1,c n =b 1-a 1n+(n-1)max{d 2,0}=b 1-a 1+(n-1)(max{d 2,0}-a 1).此时,c 1,c 2,c 3,…,c n ,…是等差数列.③当d 1<0时,当n>时,有nd 1<d 2.d 2d 1所以=c n n b 1-a 1n +(n -1)(d 2-nd 1)n=n (-d 1)+d 1-a 1+d 2+b 1-d 2n≥n (-d 1)+d 1-a 1+d 2-|b 1-d 2|.对任意正数M ,取正整数m>max{,},M +|b 1-d 2|+a 1-d 1-d 2-d 1d 2d 1故当n ≥m 时,>M.c nn 11.(Ⅰ)因为1-x+x 2-x 3==,x ∈[0,1],所以≤,即1-x+x 2-x 3≤,1-(-x )41-(-x )1-x 41+x 1-x 41+x 1x +11x +1所以f (x )≥1-x+x 2.(Ⅱ)由0≤x ≤1得x 3≤x ,故f (x )=x 3+≤x+=x+-+=+≤,1x +11x +11x +13232(x -1)(2x +1)2(x +1)3232所以f (x )≤.32由(Ⅰ)得f (x )≥1-x+x 2=(x-)2+≥.123434因为f ()=>,所以f (x )>.1219243434综上,<f (x )≤.343212.(Ⅰ)d 1=d 2=1,d 3=d 4=3.(Ⅱ)(充分性)因为{a n }是公差为d 的等差数列,且d ≥0,所以a 1≤a 2≤…≤a n ≤…,因此A n =a n ,B n =a n+1,d n =a n -a n+1=-d (n=1,2,3,…).(必要性)因为d n =-d ≤0(n=1,2,3,…),所以A n =B n +d n ≤B n ,又a n ≤A n ,a n+1≥B n ,所以a n ≤a n+1,于是,A n =a n ,B n =a n+1,因此a n+1-a n =B n -A n =-d n =d ,即{a n }是公差为d 的等差数列.(Ⅲ)因为a 1=2,d 1=1,所以A 1=a 1=2,B 1=A 1-d 1=1.故对任意n ≥1,a n ≥B 1=1.假设{a n }(n ≥2)中存在大于2的项.设m 为满足a m >2的最小正整数,则m ≥2,并且对任意1≤k<m ,a k ≤2.又a 1=2,所以A m-1=2,且A m =a m >2.于是,B m =A m -d m >2-1=1,B m-1=min{a m ,B m }≥2.故d m-1=A m-1-B m-1≤2-2=0,与d m-1=1矛盾.所以对于任意n ≥1,有a n ≤2,即非负整数列{a n }的各项只能为1或2.因为对任意n ≥1,a n ≤2=a 1,所以A n =2.故B n =A n -d n =2-1=1.因此对于任意正整数n ,存在m 满足m>n ,且a m =1,即数列{a n }有无穷多项为1.A 组基础题1.A 依题意,取f (x )=,则f '(x )=,则≈+(x-x 0).令x=4.001,x 0=4,则x 12x x x012x 0≈2+×0.001,注意到(2+×0.001)2=4+0.001+(×0.001)2>4.001,即m=的近似代4.0011414144.001替值大于m ,故选A .2.C 若乙的说法错误,则甲、丙的说法都正确,而两人的说法互相矛盾,据此可得,乙的说法是正确的,即甲被录用了.故选C .3.C 13+23=()2=()2,622×3213+23+33=()2=()2,1223×4213+23+33+43=()2=()2,2024×52…由此归纳可得13+23+33+43+…+n 3=[]2,n (n +1)2因为13+23+33+43+…+n 3=3 025,所以[]2=3 025,所以n 2(n+1)2=(2×55)2,所以n=10,故选n (n +1)2C .4.91　由三角形数组可推断出,第n 行共有2n-1个数,且最后一个数为n 2,所以第10行共19个数,最后一个数为100,左数第10个数是91.5.n 2　由1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42,…,归纳猜想可得1+2+…+n+…+2+1=n 2.6.　根据题意知,5 288用算筹表示,从左到右依次是横式的5,纵式的2,横式的8,纵式的8,即.B 组提升题7.C 令操场的周长为C ,则学生B 每隔50秒看一次,学生A 都距上一次学生B 观察的位置(弧长),并在上一次位置的后面,故学生B “感觉”到学生A 的运动是顺时针方向匀速后退的.C 268.B 从给出的数表可以看出,该数表每行都是等差数列,其中第一行从右到左是公差为1的等差数列,第二行从右到左的公差为2,第三行从右到左的公差为4,…,即第n 行从右到左的公差为2n-1,而从右向左看,每行的第一个数分别为1=2×2-1,3=3×20,8=4×21,20=5×22,48=6×23,…,所以第n 行的第一个数为(n+1)×2n-2.显然第2 017行只有一个数,其值为(2 017+1)×22 017-2=2 018×22 015.故选B .9.176　由题意可得,三角形数:N=(n ,3)=n 2+n ;1212正方形数:N=(n ,4)=n 2+0n ;22五边形数:N=(n ,5)=n 2-n ;3212六边形数:N (n ,6)=n 2-n ;4222……由此归纳可得N (n ,k )=n 2+n ,k -224-k 2故N (8,8)=×82-×8=176.624210.8月4日　根据甲说的“我不知道,但你一定也不知道”,可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日;根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道,但现在我知道了”,可排除2月7日、8月7日;根据甲接着说的“哦,现在我也知道了”,可以得知张老师生日为8月4日.。

[学生用书P283(单独成册)]一、选择题1．已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( )A ．5－5iB ．7－5iC ．5＋5iD ．7＋5i解析：选C ．(2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i 2＝5＋5i ，故选C ．2．设i 是虚数单位，若复数a ＋5i 1－2i(a ∈R )是纯虚数，则a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2解析：选D ．因为a ＋5i 1－2i ＝a ＋5i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝a ＋－10＋5i 5＝a －2＋i 是纯虚数，所以a ＝2．故选D ． 3．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数2z＋z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A ．因为z ＝1＋i ，所以2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋1＋2i ＋i 2＝2（1－i ）2＋2i ＝1＋i ，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故选A ．4．(2018·福建基地综合测试)已知x 1＋i＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i 解析：选D ．x 1＋i ＝12(x －x i)＝1－y i ，所以⎩⎨⎧12x ＝1，－12x ＝－y ，解得x ＝2，y ＝1，所以x ＋y i ＝2＋i ，其共轭复数为2－i 故选D ．5．(2018·安徽江南十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( )A ．2－12B ．2－1C ．1D ．2＋12解析：选A ．由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－12＋2＋12i ，故z 的实部为2－12，故选A ．6．已知⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( )A ．－7B ．7C ．－4D ．4解析：选A ．因为⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ， 所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4，所以a ＋b ＝－7，故选A ．二、填空题 7．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于________．解析：因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝－34． 答案：－348．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎫z ＋1z ·z －＝________． 解析：因为z ＝1＋2i ，所以z ＝1－2i ．所以⎝⎛⎭⎫z ＋1z ·z －＝z ·z －＋1＝5＋1＝6． 答案：69．已知复数z 满足z ＋2z －2＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________． 解析：由z ＋2z －2＝i 知，z ＋2＝z i －2i ，即z ＝－2－2i 1－i ，所以|z |＝|－2－2i||1－i|＝222＝2． 答案：210．已知复数z ＝4＋2i （1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则实数m ＝________． 解析：z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i 2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5． 答案：－5三、解答题11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →、BC →所表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数；(3)B 点对应的复数．解：(1)AO →＝－OA →，所以AO →所表示的复数为－3－2i ．因为BC →＝AO →，所以BC →所表示的复数为－3－2i ．(2)CA →＝OA →－OC →，所以CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i ． (3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，所以OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i ．12．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数； ②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解：这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i ．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ＋b i ＋5（a －b i ）a 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i ． 因为z ＋5z 是实数，所以b －5b a 2＋b 2＝0． 又因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5．①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数，所以a ＋3＋b ＝0．②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i ．。

【考向解读】1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题．2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习．3.推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单独命题，若单独命题，一般以客观题形式考查归纳与类比．4.通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识为载体，考查对推理与证明的掌握情况，把推理思路的探求、推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点．【命题热点突破一】程序框图例1、（2018年北京卷）执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立； 第二次：成立， 循环结束，输出，故选B. 【变式探究】(1)观察下列各式：C 01＝40；C 03＋C 13＝41；C 05＋C 15＋C 25＝42；C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________．(2)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法可以求出过点A(－2，3)，且法向量为n ＝(－1，2)的直线方程为(－1)×(x ＋2)＋2×(y －3)＝0，化简得x －2y ＋8＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，2，－3)的平面的方程为________．【答案】（1）4n －1 （2）x －2y ＋3z －6＝0【感悟提升】由特殊结论得出一般结论的推理是归纳推理，归纳出的一般性结论要包含已知的特殊结论；根据已有结论推断相似对象具有相应结论的推理就是类比推理．归纳和类比得出的结论未必正确，其正确性需要通过演绎推理进行证明．合情推理和演绎推理在解决数学问题中是相辅相成的．【变式探究】已知cos π3＝12，cos π5c os 2π5＝14，cos π7cos 2π7·cos 3π7＝18，……根据以上等式，可猜想的一般结论是________________．【答案】cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n （n ∈N *）【解析】从已知等式的左边来看，3，5，7，…是通项为2n＋1的等差数列，等式的右边是通项为12n的等比数列.由以上分析可以猜想出一般结论为cos π2n＋1cos 2π2n＋1…cos nπ2n＋1＝12n（n∈N*）.4. （2018年天津卷）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B1. 【2017山东，文6】执行右侧的程序框图,当输入的x值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为A.3x >B.4x >C.4x ≤D.5x ≤【答案】B【解析】由题意得4x = 时判断框中的条件应为不满足，所以选B.【考点】程序框图2.【2017课标1，文10】如图是为了求出满足的最小偶数nA ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +2【答案】D3.【2017课标3，文8】执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】若2N =,第一次进入循环，12≤成立，，2i =2≤成立，第二次进入循环，此时，3i =2≤不成立，所以输出9091S =<成立，所以输入的正整数N 的最小值是2，故选D. 7.【2017北京，文14】某学习小组由学生和【答案】C4．(2015·新课标全国Ⅱ，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14【答案】B5．(2015·山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为________.【解析】当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎛01x 1d x ＝1＋21102x ＝1＋12＝32； 当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋31103x ＝32＋13＝116； 当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116.【答案】116。

§ 合情推理与演绎推理最新考纲考情考向分析.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用..了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理. .了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中、高档题.．合情推理()归纳推理 ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)． ②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．()类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．()合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．．演绎推理()演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．()“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)()由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)()在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)()“所有的倍数都是的倍数，某数是的倍数，则一定是的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)()一个数列的前三项是，那么这个数列的通项公式是＝(∈*)．(×)()在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)题组二教材改编。

专题10.4 推理与证明1.若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系.【答案】P<Q2.给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0a＝c”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2 a＝c，b＝d”；③“a，b∈R，则a－b＞0a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0a＞b”；④“若x∈R，则|x|＜1－1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1－1＜z＜1”．其中类比结论正确的个数为.【答案】2【解析】类比结论正确的有①②.3.请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足，那么.证明：构造函数，因为对一切实数x，恒有，所以，从而得，所以.根据上述证明方法，若n个正实数满足时，你能得到的结论为.（不必证明）【答案】【解析】构造因为恒成立，∴，即，∴，即.4.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：；已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为____________．这个数列的前项和的计算公式为_____________________________________．【解析】在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；；5.由中可猜想出的第个等式是_____________6.设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是____________．【答案】③【解析】 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1， 但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ， b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.7.已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x2＋1的图像上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图像上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为__________．【答案】c n ＞c n ＋1。

2019年高三文科数学一轮复习：合情推理与演绎推理（解析版附后）A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确2．如图6-4-3，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是()图6-4-3A．12 B．48C．60 D．1443．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是() A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数4．(2018·渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：图6-4-4他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为( )A ．45B ．55C ．65D ．665．如图6-4-5所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB→⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )图6-4-5A ．5＋12 B ．5－12C ．5－1D ．5＋1二、填空题 6．已知点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)是函数y ＝x 2的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论x 21＋x 222＞⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点，则类似地有结论________成立．7．观察下列不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为__________．8．(2017·东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论.10．设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·郑州模拟)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为()A．42 B．65C．143 D．1692．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.2019年高三文科数学一轮复习：合情推理与演绎推理（解析版）A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确C[因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]2．如图6-4-3，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是()图6-4-3A．12 B．48C．60 D．144D[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144.]3．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是() A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数B[A中小前提不正确，C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以A、C、D都不正确，只有B的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．]4．(2018·渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：图6-4-4他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为( )A ．45B ．55C ．65D ．66B [第1个图中，小石子有1个，第2个图中，小石子有3＝1＋2个，第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个，第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个，……故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55个，即a 10＝55，故选B ．]5．如图6-4-5所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB→⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )图6-4-5A ．5＋12 B ．5－12C ．5－1D ．5＋1A [设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”中，因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB→＝0. 又FB→＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )． 所以b 2＝aC ．而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝aC ．在等号两边同除以a 2，得e ＝5＋12.]二、填空题6．已知点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)是函数y ＝x 2的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论x 21＋x 222＞⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点，则类似地有结论________成立．sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22 [函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点A ，B ，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，类比可知应有sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22.] 7．观察下列不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为__________．1＋122＋132＋142＋152＋162<116[左边的式子的通项是1＋122＋132＋…＋1(n＋1)2，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.]8．(2017·东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．丙[如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的”，即“甲没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合．所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙．]三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论.[解]由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的1 4.10．设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．[解]f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，2分同理可得：f(－1)＋f(2)＝3 3，f(－2)＋f(3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝33. 6分证明：设x1＋x2＝1，f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝(3x1＋3)＋(3x2＋3)(3x1＋3)(3x2＋3)＝3x1＋3x2＋233x1＋x2＋3(3x1＋3x2)＋3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2)＋2×3＝3x1＋3x2＋233(3x1＋3x2＋23)＝33. 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·郑州模拟)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为()A．42 B．65C．143 D．169B[可以通过列表归纳分析得到．∴凸13边形有2＋3＋4＋…＋11＝13×102＝65条对角线．故选B．]2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和3[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.[解](1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. 5分(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 7分证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34. 12分法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 7分证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos(60°－2α)2－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. 12分。