最新冀教版七年级数学下册9.2三角形的内角公开课优质PPT课件

还可以用拼接的 方法，你知道怎 样操作吗？
折叠
讲授新课
三角形的内角和定理 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下 拼合在一起.
还有其他的拼 接方法吗？
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明. 从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
验证结论 三角形三个内角的和等于180°. 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°.
例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍， ∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为 (3x)°， ∠3xC＋为(xx＋＋(x15＋)°15，)＝从1而80有. 解得 x ＝ 33.
几何问题借助方程 来解. 这是一个重要
的数学思想.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
问题：如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个 角之和为多少度?
30°+60°+90°=180°
45°+45°+90°=180°
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等 于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说 法都是错误的. 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角 形的内角和为180°呢?
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
B ∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
E
1 2
CD
证法3：过D作DE∥AC,作
DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，

9.2 三角形的内角 和外角
第2课时
如图给我们展示了一个三角形的钢架，在实际生活 中这样的例子很多，Байду номын сангаас主要是利用三角形的稳定性，除 此之外，你还知道三角形的哪些性质呢?
知识点 1 三角形的外角定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角.
分别为36°，72°，72°.
5 已知：如图，点E 在BA 的延长线上，∠EAD= ∠CAD， ∠B=∠C.对AD∥BC 进行说理.
解：因为∠EAC 是△ABC 的一个外角， 所以∠EAC＝∠B＋∠C (三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角之和)．
因为∠EAC＝∠EAD＋∠CAD， 所以∠EAD＋∠CAD＝∠B＋∠C， 又因为∠EAD＝∠CAD，∠B＝∠C (已知)， 所以∠EAD＝∠B， 所以AD∥BC (同位角相等，两直线平行)．
解：因为∠DAC，∠EBA，∠FCB 分别是△ABC 的三个外 角，所以∠DAC＝∠ABC＋∠ACB，∠EBA＝∠BAC ＋∠ACB，∠FCB＝∠BAC＋∠ABC.所以∠DAC＋ ∠EBA＋∠FCB＝∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＋∠ACB＋ ∠BAC＋∠ABC＝2∠ABC＋2∠BAC＋2∠ACB.又因 为∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，所以∠DAC＋ ∠EBA＋∠FCB＝2∠ABC＋2∠BAC＋2∠ACB＝360°.
3 如图，在△ABC 中∠BAD=∠CAD，∠B=64°，∠C=55°， 请各用两种方法求∠ADB 和∠ADC 的度数.
解：方法一：在△ABC 中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， ∠B＝64°，∠C＝55°，所以∠BAC＝180°－64°－ 55°＝61°，因为∠BAD＝∠CAD，所以∠BAD＝ ∠CAD＝ 1 ∠BAC＝30.5°.在△ABD 中，∠BAD＋

总结
本例主要考查建模思想，即把方位角建模成几何 图形中的角，同时应用了平行线的性质，三角形的内 角和及直角三角形的判定等．
1 在△ABC 中，∠C=42°，∠A=∠B，求∠B 的度数.
解：因为∠C＝42°，∠A＝∠B，所以2∠B＋42°＝180°， 解得∠B＝69°.
2 求适合下列条件的△ABC 的各内角的度数： (1)∠A=∠B=30°; (2)∠A=∠B=∠C； (3)∠A=50°，∠A+∠B=∠C.
的形状．
解：△ABC 是直角三角形．理由如下： ∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3， ∴可设∠A，∠B，∠C 的度数分别为x °，2x °，3x °. 在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形三个内
角的和等于180°)，
∴x＋2x＋3x＝180，解得x＝30. ∴∠C＝3x°＝90°， ∴△ABC 是直角三角形．
解：在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. (1)因为∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°. (2)因为∠A＝∠B＝∠C，所以3∠A＝3∠B＝3∠C＝180°，所 以∠A＝∠B＝∠C＝60°. (3)因为∠A＋∠B＝∠C，所以2∠C＝180°，∠C＝90°.因为 ∠A＝50°，所以∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－90°－50°
总结
三角形的内角和是180°是一个隐含条件，以后 经常遇到这种情况，我们需要注意.
1 在△ABC 中，∠B=62°24′，∠C=28°52′，求∠A 的度数.
解：因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＝180°－∠B －∠C＝180°－62°24′－28°52′＝88°44′.
2 在△ABC 中：
(1)若∠C=90°，∠A=25°，求∠B 的度数.

A 1来自解： ∠1＝∠ABC＋∠ACB
3
∠2＝∠BAC＋∠ACB
B 2
∠3＝∠BAC＋∠ABC
C
（三角形的一个外角等于和
它不相邻的两个内角的和）
三个式子相加得到
∠1＋ ∠2＋ ∠3＝2( ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB） 而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°
所以∠1＋ ∠2＋ ∠3＝2X180°＝360°
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A
B
D C
∠ACD > ∠A (<、>)；
∠ACD > ∠B (<、>)
结论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻 的内角。 思考：你能用学过的定理证明以上结论吗？
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已知：△ABC中,∠ACD是它的一个外角 求证： ∠ACD＝ ∠A＋ ∠Ｂ
∠ACD>∠A ∠ACD>∠B
小结：这堂课你记忆最深刻的是什么？
1、三角形的一个外角与它相邻的内角 互补； 2、三角形的一个外角 等于 与它不相邻的
两个内角的和； 3、三角形的一个外角大于任何一个与它
不相邻的内角。 ４、三角形的外角和是360°
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练一练
B
A
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1 N3
P
F
C
2M
D
E
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ 360°.
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(3)求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数
A
解：因为
∠A+ ∠C= ∠EFG
B
G
E ∠B+ ∠D= ∠EGF
在△EGF中，

∴∠A+∠C=180°-∠ABC，
故∠CBD=∠A+∠C (等量代换).
结论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三、概念剖析
问题3：如图，△ABC的外角∠CBD与∠A（或∠C）有什么关系？ C
由问题2可知∠CBD=∠A+∠C，
∴∠CBD＞∠A，∠CBD＞∠C
A
B
D
结论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
我们知道∠A,∠C,∠ABC是△ABC的三个内角，那∠CBD和△ABC又
有什么关系呢？
三、概念剖析
(一)三角形外角的概念
如图所示，把△ABC的一边AB延长，得到∠CBD;
C
像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，
叫做三角形的外角.
A
B
D
思考：我们知道一个三角形有3个内角，那它外角数是不是也是3个？
角等于与它不相邻的两个内角的和)
0 1 B
D 2
C
又∵∠2=40°，
∴∠BOC=∠CDO+∠2=140°，(三角形的一个外角等于与它不相邻的
两个内角的和)
答：∠BOC为140°．
四、课堂总结
1.三角形的外角的定义： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角
2.三角形的外角的性质： (1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)三角形的外角与它相邻的内角互补
三、概念剖析
(三)三角形外角的分类
问题：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？
三个内角都是 锐角的三角形
有一个内角是 直角的三角形
有一个内角是 钝角的三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形

B
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
证明:过A作AE∥BC， ∴∠C=∠CAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAC+∠BAC+∠B=180° (两直线平行,同旁内角互补) B ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)
方 法 三 A E
C
三角形内角和定理: 三角形内角和等于80°.9.2三角形的内角和外角（1）
旧知回顾
我们已经知道,任意一个三角形的内角 和等于180°.怎么证明这个结论呢?
方法一:通过具体的度量,验证三角形的内角 和为180°.
验证：三角形的三个内角和是180°
A
B C A
A
B
图 1 B
C
B
B
图2
C
A
B
图3
C
结论：三角形的内角和等于1800.
已知：△ABC. 求证：∠A +∠B +∠C =180°
练一练
已知：在△ABC中，∠C＝ 90゜ 求证：∠A＋∠B＝90 ゜
证明：在△ABC中
∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理） ∠C= 90゜（已知） B ∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换） ∴∠A+∠B=180゜－90゜= 90゜ （等式性质） 即∠A+∠B=90゜ A
C
课堂小结
E A F
证明：过点A作EF∥BC
则∠B=∠2（两直线平行,内错角相等） 同理∠C=∠1 因为∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义） 所以∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）
B
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.

尝试拓展
能不能通过三角形一个顶点作对
边平行辅助线，来证明三角形内
角和定理吗？
A
E
F
B
C
在这里，为了证明的需要，在原来的 图形上自己加上的线叫做辅助线。在平面 几何里，辅助线通常画成虚线。注意要说 明所加辅助线的位置、名称和性质。
思路总结：
为了证明三角形三个内角的和为 180°,通常应用转化思想。转化为：
∠ADB=180°
B
∴ ∠ADB=102 °
A
D
C
二次尝试
已知：三角形三个内角的度数之比为 1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,
由三角形内角和为180°得
x+3x+5x=180° 解得 x=20°
内角和定理 与比例知识、 方程思想的
所以三个内角度数分别为 结合。
三角形内角和定理的运用。
பைடு நூலகம்习
证明命题的一般步骤：
1、理解题意，分清命题的条件（已知）， 结论（求证）。 2、根据题意，画出图形。
3、结合图形，用符号语言写出已知和 求证。
4、分析题意，探索证明思路。 5、依据思路，用数学符号和 数学语言条理清晰地写出证明 过程。 6、检查表达过程是否正确完善。
知识链接 三角形的三个内角和是多少?
解：在△ABC中， ∠B+ ∠C+ ∠BAC=180 ° ∵ ∠B=38 °， ∠C= 62 ° ∴ ∠BAC=180 °— ∠B —∠C = 180 ° — 38 °— 62 °
= 80 °
∵AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD= ∠CAD=1/2
∠BAC=40°
在△ADB中，∠B + ∠BAD+ ∵ ∠B=38 ° ∠BAD =40 °

四、当堂检测
1.一个三角形三个内角度数的比是2：5：4，那么这个三角形是 ___锐__角____三角形.
四、当堂检测
2.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°， ∠C=60°，求∠EDC的度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE，(同旁内角互补，两直线平行) ∴∠CED=∠B=78°，(两直线平行，同位角相等) ∵∠EDC+∠CED+∠C=180°，（三角形内角和定理） ∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°．
四、当堂检测
3.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°， 求∠BPC的度数． 解：∵△ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°(三角形内角和定理)， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= 1（∠ABC+∠ACB）=60°(角平分线的性质)， 2
B
C
∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)
三、合作探究
练一练:
1.已知：△ABC，试用其它方法说明：∠A+∠B+∠C=180°.
解：过点A作AE∥BC， ∴∠B=∠1 (两直线平行,内错角相等)
E
A
1
∠EAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠EAC=∠1+∠BAC (两角和的定义)
作一条直线与三角形某一边平行的辅助线.
B
C
三、合作探究
探究一 三角形的内角和定理
问题5：已知：△ABC，试说明：∠A+∠B+∠C=180°.

所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补),
所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°(等量代换). 又因为∠2+∠3=∠ACB,
所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°(等量代换).
(教材第104页例1)如图所示,在△ABC
中,∠A=30°,∠B=65°,求∠C的度数.
解:因为∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理),
∠4和∠5.∠4和∠5与三角形的内角有什么关系?
把上述两图结合起来看,剪拼的过程相当于把∠2沿BC方向平移到
∠5的位置,从而有AB∥CE.由此我们得到启发:如果延长BC到点D,过 点C作直线CE∥AB,那么∠2与∠5是同位角,∠1与∠4是内错角.利用
平行线的性质定理以及等量代换,就把三角形三个内角∠1,∠2与∠3
所以∠1+∠2+∠3=180°(等量代换),
即∠A+∠B+∠ACB=180°. 三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.
4.三角形内角和定理的其他说理方法. 结合其他的拼接方法,你还能得到怎样的证明方法?还有其他的证明 方法吗? 辅助线的作法:(1)延长BC,过点C作CN∥AB.
证明:因为CN∥AB,
∠C=180°×
5 3 4 4
=75°.方法2:设
∠80,
解得x=15,所以5x=75,即∠C=75°.故选C.
2.(宜昌中考)如图所示,AB∥CD,FE⊥DB,垂足为E,∠1=50°,
则∠2的度数是
A.60° B.50° C.40° D.30°
5.一块模板如图所示,按规定AF,DE的延长线相交成85°角,因交点不

C
D4
1
40° 2
3

A
E
B
解析：根据三角形的内角和定理，∠A+∠1+∠2=180°， ∠3+∠4+∠A=180°，∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°-∠A =140°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°.
3.如图，在△ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线BD，
CE 交于点O．
变式1 若∠A =80°，则∠BOC = 130° ．
学练优七年级数学下（JJ） 教学课件
第九章 三角形
9.2 三角形的内角和外角
第1课时 三角形的内角和
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.阐述并验证三角形内角和定理.（重点） 2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）
导入新课
情境引入
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三 兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气 来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你 一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否 则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？
变式2 你能直接写出∠BOC与∠A 之间的数量关
系吗？
A
∠BOC = 90°+1 ∠A . 2
E
O
D
B
C
课堂小结
内容
三角形的内角 和等于180°.
三角形的内 角和定理
通过作辅助线，结合平 行线的性质，验证定理
应用
求三角形的 内角度数.
三兄弟的和应为180度！