【配套K12】2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的简单几何性质学案

2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.2 抛物线的简单几何性质优化练习新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.2 抛物线的简单几何性质优化练习新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2 抛物线的简单几何性质［课时作业]［A组基础巩固]1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点,焦点在直线2x－4y＋11＝0上,则此抛物线的方程是( ）A．y2＝－11x B．y2＝11xC．y2＝－22x D．y2＝22x解析：在方程2x－4y＋11＝0中，令y＝0得x＝－错误!，∴抛物线的焦点为F错误!，即错误!＝错误!,∴p＝11，∴抛物线的方程是y2＝－22x,故选C。

答案：C2．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px（p>0)，则（)A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点解析：∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过点（1，0）．又点(1，0）在抛物线y2＝2px的内部．∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．答案：C3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A（x1，y1），B(x2，y2)两点，则k OA·k OB 的值为（)A．4 B．－4 C．p2 D．－p2解析: k OA·k OB＝错误!·错误!＝错误!，根据焦点弦的性质x1x2＝错误!，y1y2＝－p2，故k OA·k OB＝错误!＝－4.4．已知直线l:y＝k（x－2)（k〉0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点,F为抛物线C的焦点，若|AF｜＝2｜BF|，则k的值是（）A。

2．4.2 抛物线的几何性质(一)学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的几何性质思考1 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点坐标吗？思考2 参数p对抛物线开口大小有何影响？梳理知识点二焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：类型一由抛物线的几何性质求标准方程例1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．引申探究等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是________．反思与感悟用待定系数法求抛物线标准方程的步骤(1)定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向．(2)设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程．(3)寻关系：根据条件列出关于p的方程．(4)得方程：解方程，将p代入所设方程为所求．跟踪训练1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线的方程．类型二抛物线的焦点弦问题例2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．反思与感悟 (1)抛物线的焦半径(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝x 1＋x 2＋p .然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x 1＋x 2即可． 跟踪训练2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AB ＝52p ，求AB 所在直线的方程．类型三 抛物线在实际生活中的应用例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m 、高2 m ，载货后船露出水面的部分为0.75 m ，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练3 如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位从警戒线开始以每小时0.2米的速度上升，再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为原点O)1．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5，25)到焦点的距离是6，则抛物线方程为________．2．顶点在坐标原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是________．3．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则AB＝________.5．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．符合抛物线方程为y2＝10x的条件是________．(要求填写合适条件的序号)1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用．提醒：完成作业第2章§2.4 2.4.2(一)答案精析问题导学 知识点一思考1 范围x ≥0，关于x 轴对称，顶点坐标(0,0)．思考2 参数p (p >0)对抛物线开口大小的影响，因为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦的长度是2p ，所以p 越大，开口越大．梳理 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R x ∈R ，y ≥0 x ∈R ，y ≤0 x 轴 y 轴 (0,0) 1 题型探究例1 解 由题意设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)， 焦点坐标为F (m 2，0)．直线l ：x ＝m 2，所以A ，B 两点的坐标为(m2，m )，(m2，－m )，所以AB ＝2|m |. 因为△OAB 的面积为4， 所以12·|m2|·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x . 引申探究 4p 2跟踪训练1 解 设抛物线的方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点P (x 0，y 0)． 因为点P 到对称轴距离为6， 所以y 0＝±6.因为点P 到准线距离为10， 所以|x 0＋a2|＝10.①因为点P 在抛物线上，所以36＝2ax 0，②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，x 0＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，x 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝－9.所以所求抛物线的方程为y 2＝±4x 或y 2＝±36x . 例2 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率为k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5. 而AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以AB ＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由抛物线定义知，AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，所以线段AB 的中点M 的横坐标是3. 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.跟踪训练2 解 如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 到准线的距离分别为d A ，d B .由抛物线的定义知，AF ＝d A ＝x 1＋p2，BF ＝d B ＝x 2＋p2，于是AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，AB ＝2p <52p ，所以直线AB 与Ox 不垂直． 设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －p 2，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0， x 1＋x 2＝p k 2＋k 2＝32p ， 解得k ＝±2，所以直线AB 的方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．例3 解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面的部分为0.75 m ，所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m 时，小船开始不能通航． 跟踪训练3 解 设所求抛物线的方程为y ＝ax 2. 设D (5，b )，则B (10，b －3)．把D 、B 的坐标分别代入y ＝ax 2，得⎩⎪⎨⎪⎧25a ＝b ，100a ＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，b ＝－1，∴y ＝－125x 2.∵b ＝－1，∴拱桥顶O 到CD 的距离为1， ∴t ＝10.2＝5小时．即再持续5小时到达拱桥顶． 当堂训练1．y 2＝－4x 2.x 2＝±16y 3．(18，±24) 4.8 5.②⑤。

第1课时 椭圆的简单几何性质学习目标：1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点，难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．椭圆的简单几何性质(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率．(2)性质：离心率e 的范围是(0,1)．当e 越接近于1时，椭圆越扁；当e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆．思考：(1)离心率e 能否用b a表示？ (2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？[提示] (1)e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同．[基础自测]1．思考辨析(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b )的长轴长为a ，短轴长为b .( )(2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆．( )(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0) C ．(－6，0)，(6，0) D ．(0，－6)，(0，6)D [椭圆方程可化为x 2＋y 26＝1，则长轴的端点坐标为(0，±6)．]3．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )【导学号：46342069】A ．5,3,0.8B ．10,6,0.8C ．5,3,0.6D ．10,6,0.6B [椭圆方程可化为x 29＋y 225＝1，则a ＝5，b ＝3，c ＝25－9＝4，e ＝c a ＝45，故B.][合 作 探 究·攻 重 难]设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为2，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 24＋y 2m＝1.(1)当0＜m ＜4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m ，∴e ＝c a ＝4－m 2＝12，∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,23，焦点坐标为F 1()－1，0，F 2()1，0，顶点坐标为A 1()－2，0，A 2()2，0，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m ＞4时，a ＝m ，b ＝2，∴c ＝m －4，∴e ＝c a＝m －4m＝12，解得m ＝163，∴a ＝433，c ＝233，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝⎛⎭⎪⎫0，－233，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎪⎫0，433，B 1(－2,0)，B 2(2,0)．1．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．[解] (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1.性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④离心率：e ＝35.(1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)求经过点M (1,2)，且与椭圆x 212＋y 26＝1有相同离心率的椭圆的标准方程.【导学号：46342070】[思路探究] (1)焦点位置不确定，分两种情况求解． (2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a 与b 的关系．再用待定系数法求解． 法二：设与椭圆x 212＋y 26＝1有相同离心率的椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)[解] (1)若焦点在x 轴上，则a ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝6， ∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3，∵e ＝c a ＝1－b 2a 2＝1－9a 2＝63，解得a 2＝27. ∴椭圆的方程为y 227＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1FA 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， ∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32， 故所求椭圆的方程为x 232＋y 216＝1.(3)法一：由题意知e 2＝1－b 2a 2＝12，所以b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2设所求椭圆的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1或y 22b 2＋x 2b2＝1.将点M (1,2)代入椭圆方程得 12b 2＋4b 2＝1或42b 2＋1b 2＝1 解得b 2＝92或b 2＝3.故所求椭圆方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.法二：设所求椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)，将点M 的坐标代入可得112＋46＝k 1或412＋16＝k 2，解得k 1＝34，k 2＝12，故x 212＋y 26＝34或y 212＋x 26＝12，即所求椭圆的标准方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为( )A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 29＝1 B [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝18，c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4.因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.](2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA ＝23，则椭圆的标准方程是________．x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1 [因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA ＝23，所以点A 不是长轴的端点(是短轴的端点)．所以|OF |＝c ，|AF |＝a ＝3，所以c 3＝23，所以c ＝2，b 2＝32－22＝5，所以椭圆的方程是x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.][1．已知F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴上的顶点，P 是椭圆上的一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，怎样求椭圆的离心率？提示：如图，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，P (－c ，m )．∵OP ∥AB ， ∴△PFO ∽△BOA ，∴c a ＝m b， ① 又P (－c ，m )在椭圆上，∴c 2a 2＋m 2b2＝1. ② 将①代入②，得2c2a2＝1，即e 2＝12，∴e ＝22.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a,0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .提示：由A (－a,0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝b a，故AB 所在的直线方程为y －b ＝bax ， 即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2. 又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14c a ＋5＝0. ∴8e 2－14e ＋5＝0，∴e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B两点，若△ABF 2是正三角形，则该椭圆的离心率是________.【导学号：37792071】[思路探究] △ABF 2为正三角形⇒∠AF 2F 1＝30°⇒把|AF 1|，|AF 2|用C 表示． [解析] 不妨设椭圆的焦点在x 轴上，因为AB ⊥F 1F 2，且△ABF 2为正三角形，所以在Rt△AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°，令|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝2x ，所以|F 1F 2|＝|AF 2|2－|AF 1|2＝3x ＝2c ，再由椭圆的定义，可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝3x ，所以e ＝2c 2a ＝3x 3x ＝33.[答案]333．(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ，该椭圆上有一点A ，满足△OAF 是等边三角形(O 为坐标原点)，则椭圆的离心率是( )A.3－1 B ．2－ 3 C.2－1 D ．2－ 2(2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．(1)A (2)3－1 [(1)如图，设F (c,0)，由△OAF 是等边三角形，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，因为点A 在椭圆上，所以有c 24a 2＋3c 24b 2＝1 ①，在椭圆中有a 2＝b 2＋c 2②，联立①②，得c 2＝(4－23)a 2，即c ＝(3－1)a ，则其离心率e ＝ca＝3－1.(2)法一 如图，∵△DF 1F 2为正三角形，N 为DF 2的中点，∴F 1N ⊥F 2N ，∵|NF 2|＝c ，∴|NF 1|＝|F 1F 2|2－|NF 2|2＝4c 2－c 2＝3c ， 由椭圆的定义可知|NF 1|＋|NF 2|＝2a ， ∴3c ＋c ＝2a ， ∴e ＝c a＝23＋1＝3－1.法二 注意到焦点三角形NF 1F 2中，∠NF 1F 2＝30°，∠NF 2F 1＝60°，∠F 1NF 2＝90°，则由离心率的三角形式，可得e ＝sin∠F 1NF 2sin∠NF 1F 2＋sin∠NF 2F 1＝sin 90°sin 30°＋sin 60°＝112＋32＝3－1.][当 堂 达 标·固 双 基]1．已知椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b＞0)的短轴长与y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) 【导学号：46342072】A ．a 2＝15，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25 D ．a 2＝25，b 2＝9D [由题意得，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点在x 轴上，且a 2＝25，b 2＝9.]2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 D [右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上，c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 B [由题意得：2b ＝a ＋c ， ∴4b 2＝(a ＋c )2， 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2， 即3a 2－2ac －5c 2＝0，∴3－2·c a －5·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝0，即5·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2·c a －3＝0，∴e ＝c a ＝35.]4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．32 [由题意知0<m <2，且e 2＝1－b 2a 2＝1－m 2＝14. 所以m ＝32.]5．椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1(0，－c )，F 2(0，c )(c >0)，离心率e ＝32，焦点到椭圆上点的最短距离为2－3，求椭圆的方程.【导学号：46342073】[解] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝32，a －c ＝2－3，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以所求椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.。

2.2.1 椭圆及其标准方程学习目标：1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．椭圆的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|”改为“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示] (1)点的轨迹是线段F 1F 2.(2)当距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程1．思考辨析(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( ) (2)到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为3的点M 的轨迹为椭圆．( ) (3)椭圆x 225＋y 249＝1的焦点在x 轴上．( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知椭圆x 2m ＋y 216＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m 等于( )A ．10B ．5C ．15D ．25D [由题意知2a ＝3＋7＝10，∴a ＝5，∴m ＝a 2＝25.]3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )【导学号：46342060】A.x 2100＋y 236＝1B.y 2400＋x 2336＝1 C.y 2100＋x 236＝1 D.y 220＋x 212＝1 C [由题意知c ＝8,2a ＝20，∴a ＝10， ∴b 2＝a 2－c 2＝36，故椭圆的方程为y 2100＋x 236＝1.] [合 作 探 究·攻 重 难](1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． [解] (1)由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∴a ＝5，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∴a ＝2，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋(－2)2b 2＝1，(－23)2a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a ＋x 2b＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b 2＝1，1a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解． 所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.1．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A (0，2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，求椭圆的标准方程．[解] 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，将A ，B 两点坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝1，14m ＋3n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.(1)椭圆9＋2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．(2)已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，则△PF 1F 2的面积为________.【导学号：46342061】[思路探究] (1)求|PF 2|→求cos∠F 1PF 2→求∠F 1PF 2的大小 (2)椭圆定义和余弦定理→建立关于|PF 1|，|PF 2|的方程→联立求解|PF 1|→求三角形的面积[解析] (1)由x 29＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，∴c ＝7.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.(2)由x 24＋y 23＝1，可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1| ①.由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4 ②. 由①②联立可得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335.[答案] (1)120° (2)3352．(1)已知P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积是______________________________．8－4 3 [由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2. 又由椭圆的定义，知 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos∠F 1PF 2， 即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin∠F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－4 3.](2)设P 是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，若∠PF 1F 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是________．32 [由椭圆方程x 24＋y23＝1，知a ＝2，c ＝1，由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，且|F 1F 2|＝2，在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝90°.∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2.从而(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4，则|PF 1|＝32，因此S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 1|＝32.故所求△PF 1F 2的面积为32.][1.如图2­2­1，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 的坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．图2­2­1提示：用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，C ．所求点Q 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.2.如图2­2­2，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是什么？为什么？图2­2­2提示：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用代入法(相关点法)求解．用代入法(相关点法)求轨迹方程的基本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M (x ，y )，已知曲线上动点坐标为P (x 1，y 1)． (2)求关系式：用点M 的坐标表示出点P 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．所求点M 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点；O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨迹方程为______________．(2)一个动圆与圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.【导学号：46342062】[思路探究] (1)点Q 为OP 的中点⇒点Q 与点P 的坐标关系⇒代入法求解． (2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．[解析] (1)设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由点Q 是线段OP 的中点知x 0＝2x ，y 0＝2y ，又x 204＋y 208＝1.所以(2x )24＋(2y )28＝1，即x 2＋y 22＝1.[答案] x 2＋y 22＝1.(2)由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q 1(－3,0)，R 1＝1；Q 2(3,0)，R 2＝9. 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，如图．由题设有 |MQ 1|＝1＋R ， |MQ 2|＝9－R ，所以|MQ 1|＋|MQ 2|＝10>|Q 1Q 2|＝6.由椭圆的定义，知点M 在以Q 1，Q 2为焦点的椭圆上， 且a ＝5，c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16， 故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.3．(1)已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上任一点，求线段AQ 中点M 的轨迹方程．[解] 设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)． 利用中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上， ∴x 204＋y 20＝1. 将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式，得(2x －1)24＋(2y )2＝1.故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋4y 2＝1.(2)在Rt△ABC 中，∠CAB ＝90°，|AB |＝2，|AC |＝32，曲线E 过C 点，动点P 在曲线E上运动，且|PA |＋|PB |是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E 的方程．[解] 以AB 的中点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可知，曲线E 是以A ，B 为焦点，且过点C 的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．则2a ＝|AC |＋|BC |＝32＋52＝4,2c ＝|AB |＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3.所以曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知A (－5,0)，B (5,0)．动点C 满足|AC |＋|BC |＝10，则点C 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．点 C [由|AC |＋|BC |＝10＝|AB |知点C 的轨迹是线段AB .]2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( )【导学号：46342063】A ．1B ．2C ．3D ．4B [椭圆方程可化为x 2＋y24k ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4k >14k －1＝1，解得k ＝2.]3．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 A [由题意知c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]4．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________.48 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14 ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝100 ②①2－②得2|PF 1||PF 2|＝96. 所以|PF 1||PF 2|＝48.]5．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.【导学号：46342064】[解] 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．∵F 1A ⊥F 2A ， ∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.。

2.4.2 抛物线的简单几何性质学习目标：1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．抛物线的几何性质直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝x 1＋x 2＋p .3．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点． 思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．[基础自测]1．思考辨析(1)抛物线关于顶点对称．( )(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( ) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4B [|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]3．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.【导学号：46342111】2 [F (1,0)，由抛物线定义得A 点横坐标为1. ∴AF ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2.][合 作 探 究·攻 重 难]弦长等于23，则抛物线的方程为________．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，求抛物线的标准方程．[解] (1)根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，3)或(－1，3)，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x . [答案] y 2＝3x 或y 2＝－3x(2)由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba＝3，即渐近线方程为y ＝±3x . 而抛物线准线方程为x ＝－p2，于是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，3p 2，从而△AOB 的面积为12·3p ·p2＝3，可得p ＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y 2＝4x .1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x C [设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x .故选C ．]方程为________．(2)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.①求该抛物线的方程；②O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．[思路探究] (1)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，用点差法求k AB ；法二：设直线AB 的方程，建立方程求解．(2)①设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求解． ②根据(1)求出点A 、B 的坐标，设出点C 的坐标，由OC →＝OA →＋λOB →，可用λ表示点C 的坐标，最后根据点C 在抛物线上求出λ值．[解] (1)法一：设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)． 又y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2＝4(x 1－x 2)， 即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝4. ∴所求弦AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0.法二：设弦AB 所在直线的方程为y ＝k (x －4)＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A ，B 两点的纵坐标， 由根与系数得y 1＋y 2＝8k.又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0.(2)①直线AB 的方程是y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .②由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)；设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)， 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.[跟踪训练]2．(1)已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．y 2＝4x [设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②，②－①整理得y 2－y 1x 2－x 1＝2py 1＋y 2又y 2－y 1x 2－x 1＝1，y 1＋y 2＝4，所以2p ＝4. 因此抛物线C 的方程为y 2＝4x .](2)直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程.【导学号：46342112】[解] 因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)， 若直线l 与x 轴垂直，则直线l 的方程为x ＝1， 此时|AB |＝4，不合题意，所以可设所求直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又AB 过焦点，由抛物线的定义可知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k2＋2＝8，所以2k 2＋4k2＝6，解得k ＝±1.所以所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.A ．直线与抛物线有一个公共点B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？[思路探究] (1)直线y ＝kx －k 过定点(1,0)，根据定点与抛物线的位置关系判断． (2)直线与抛物线方程联立，根据“Δ”的正负判断．[解析] (1)直线方程可化为y ＝k (x －1)，因此直线恒过定点(1,0)，点(1,0)在抛物线y 2＝2px (p >0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C ．[答案] C(2)由题意，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2) 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0①. Ⅰ：当k ＝0时，由方程①得y ＝1， 把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. Ⅱ：当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)．a ．由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，所以方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l 与抛物线只有一个公共点．b ．由Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解，这时直线l 与抛物线有两个公共点．c ．由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1或k >12.于是k <－1或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l 与抛物线无公共点．综上，当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点．当－1<k <12，且k ≠0时直线l 与抛物线有两个公共点．当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线无公共点．3．若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax (a ≠0)恰好有一个公共点，试求实数a 的取值集合．[解] 因为直线l 与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax 只有一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，即(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0， ①(1)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程． 令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－45.所以原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45.[1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？ 提示：两条直线的斜率互为相反数．2．如何求抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的最小值？提示：法一：设A (t ，－t 2)为抛物线上的点，则点A 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－43＋8＝153t －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43.∴当t ＝23时，d 有最小值43.法二：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0， ∴Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43.∴最小距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.如图2­4­5所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．图2­4­5(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB 的斜率为定值.【导学号：46342113】[思路探究] 第(1)问可以利用待定系数法解决；第(2)问关键是如何将PA 与PB 两条直线的倾斜角互补与直线AB 的斜率联系起来．[解] (1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)证明：因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1. 母题探究：1.(变条件)若本例题改为：如图2­4­6，已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y2＝4x 于A ，B 两点，试在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ，使△PAB 的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？图2­4­6[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.由图可知，A (4,4)，B (1，－2)， 则|AB |＝3 5.设P (x 0，y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点，d 为点P 到直线AB 的距离，则 d ＝|2x 0－y 0－4|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－4＝125|(y 0－1)2－9|.∵－2<y 0<4，∴(y 0－1)2－9<0. ∴d ＝125[9－(y 0－1)2]．从而当y 0＝1时，d max ＝925，S max ＝12×925×35＝274.故当点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1时，△PAB 的面积取得最大值，最大值为274.2．(变条件)若本例改为：在平面直角坐标系xOy 中，设点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)记Q 的轨迹为曲线E ，过点F 作两条互相垂直的直线交曲线E 的弦为AB ，CD ，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 过定点(3,0)．如何求解？[解] (1)因为点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，所以点R 是线段FP 的中点，由此及RQ ⊥FP 知，RQ 是线段FP 的垂直平分线．因为|PQ |是点Q 到直线l 的距离，而|PQ |＝|QF |，所以动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x (x >0)．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，直线AB ：x ＝my ＋1(m ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0.于是，有y M ＝y 1＋y 22＝2m ，x M ＝m ·y M ＋1＝2m 2＋1，即M (2m 2＋1,2m )．同理，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋1，－2m .因此，直线MN 的斜率k MN ＝2m ＋2m (2m 2＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋1＝m m 2－1，方程为y －2m ＝mm 2－1(x －2m 2－1)，即mx ＋(1－m 2)y －3m ＝0.显然，不论m 为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN 过定点(3,0)．[当 堂 达 标·固 双 基]1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6yC [由题意知抛物线方程为x 2＝±2py ，且p2＝3，即p ＝6，因此抛物线方程为x 2＝±12y .]2．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14精品K12教育教学资料精品K12教育教学资料 C ．16 D ．18A [线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.] 3．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是________． 158[设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14， ∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∴y 1＋y 2＝4－14＝154， 故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158.] 4．若直线x －y ＝2与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是________.【导学号：46342114】(4,2) [由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝2y 2＝4x 得x 2－8x ＋4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－4＝4，故线段AB 的中点坐标为(4,2)．]5．设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为35，求b 的值．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ，消去y ，得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0.由Δ＞0，得b ＜12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24. ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1－2b .∴|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝5·1－2b＝35，∴1－2b ＝9，即b ＝－4.。

学习资料高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2第1课时双曲线的简单几何性质课时跟踪训练含解析新人教A版选修2班级：科目：双曲线的简单几何性质[A组学业达标］1．已知双曲线x216－错误!＝1的实轴的一个端点为A1，虚轴的一个端点为B1，且｜A1B1|＝5，则双曲线的方程是（)A。

错误!－错误!＝1 B.错误!－错误!＝－1C.错误!－错误!＝1 D。

错误!－错误!＝－1解析：由题意知a＝4,又∵｜A1B1｜＝5,∴c＝5,b＝错误!＝错误!＝3.∴双曲线方程为错误!－错误!＝1。

答案:A2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(）A．－错误!B．－4C．4 D。

错误!解析：由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－错误!＝1，则a2＝1,即a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2,∴－错误!＝b2＝4，∴m＝－错误!，故选A。

答案：A3．中心在坐标原点，离心率为错误!的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为() A．y＝±错误!x B．y＝±错误!xC．y＝±错误!x D．y＝±错误!x解析：∵ca＝错误!，∴错误!＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴错误!＝错误!.又∵双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线方程错误!－错误!＝1(a 〉0，b >0)， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±错误!x ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 答案：D4．双曲线错误!－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于（ ) A 。

错误! B 。

错误! C.错误!D.错误!解析：x 24－y 2＝1的顶点坐标为(±2，0)，渐近线为错误!－y 2＝0,即x ±2y ＝0。

代入点到直线距离公式d ＝错误!＝错误!。

答案：C5．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( ) A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36解析：椭圆4x 2＋y 2＝64，即x 216＋错误!＝1，焦点为（0，±4错误!）,离心率为错误!,所以双曲线的焦点在y 轴上,c ＝4错误!，e ＝错误!,所以a ＝6,b 2＝12，所以双曲线方程为y 2－3x 2＝36. 答案：A6．双曲线错误!－错误!＝－3的渐近线方程为________．解析：令错误!－错误!＝0，得y ＝±错误!x ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±错误!x .答案：y ＝±错误!x7．焦点为（0,±6）且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是________．解析：与双曲线错误!－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为错误!－y 2＝λ(λ≠0），又∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为错误!－错误!＝1.又∵双曲线方程的焦点为（0，±6), ∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12,∴双曲线方程为y212－错误!＝1。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用达标练新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用达标练新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.3.2 抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用1。

直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2,则k= ( )A。

2或-2 B。

—1 C.2 D.3【解析】选C。

由得k2x2—4(k+2）x+4=0,则=4，即k=2或k=-1，又由Δ=16（k+2）2—16k2〉0,知k=2.2。

已知F为抛物线y2=8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，则||FA｜—|FB｜|的值等于（)A.4B.8C.8D.16【解析】选C。

依题意F(2，0），所以直线方程为y=x—2，由消去y得x2—12x+4=0。

设A（x1，y1），B(x2，y2）,则｜|FA｜—｜FB||=｜(x1+2)—（x2+2）|=|x1-x2｜===8.3.若函数f（x)=log2（x+1)—1的零点是抛物线x=ay2焦点的横坐标，则a=________.【解析】由f(x)=log2(x+1)—1=0，知x=1，抛物线x=ay2焦点的坐标是F，由题设条件知=1，所以a=。

2．3.1 抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点一抛物线的定义思考1 如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？思考2 抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？梳理从定义可以看出，抛物线不是双曲线的一支，双曲线有渐近线，而抛物线没有．对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则，动点的轨迹是一条________．知识点二抛物线的标准方程思考1 抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？思考2 抛物线标准方程的特点？思考3 已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？梳理抛物线的标准方程有四种类型类型一抛物线标准方程及求解命题角度1 由抛物线方程求焦点坐标或准线方程例1 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．(1)y2＝－6x；(2)3x2＋5y＝0；(3)y＝4x2；(4)y2＝a2x(a≠0)．反思与感悟如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x (或y )，则x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．跟踪训练1 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3(2)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝_____________________________________， 准线方程为____________．命题角度2 求解抛物线标准方程例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y ＝－1； (3)过点A (2,3)； (4)焦点到准线的距离为52.反思与感悟 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0)． 跟踪训练2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1) 过点(3，－4)；(2) 焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．类型二 抛物线定义的应用例3 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. (1)求点M 的轨迹方程；(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．反思与感悟 (1)抛物线定义具有判定和性质的双重作用．本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面几何性质的典型运用．(2)通过利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，从而简化问题的求解过程．在解决抛物线问题时，一定要善于利用其定义解题．跟踪训练3 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A.172 B ．3 C. 5 D.921．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－22．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．4B ．2C ．1D ．84．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.115 D.37165．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F (m4，0)，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F (0，m 4)，准线方程为y ＝－m4.2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p2.3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．答案精析问题导学 知识点一思考1 平面内到一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．思考2 不能，若l 经过点F ，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于l 的一条直线． 梳理 直线 知识点二思考1 p 是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向． 思考2 (1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于p2.思考3 一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定． 题型探究例1 解 (1)由方程y 2＝－6x ，知抛物线开口向左，2p ＝6，p ＝3，p 2＝32，所以焦点坐标为(－32，0)，准线方程为x ＝32.(2)将3x 2＋5y ＝0变形为x 2＝－53y ，知抛物线开口向下， 2p ＝53，p ＝56，p 2＝512，所以焦点坐标为(0，－512)，准线方程为y ＝512.(3)将y ＝4x 2化为x 2＝14y ，知抛物线开口向上， 2p ＝14，p ＝18，p 2＝116，所以焦点坐标为(0，116)，准线方程为y ＝－116.(4)由方程y 2＝a 2x (a ≠0)知抛物线开口向右， 2p ＝a 2，p ＝a 22，p 2＝a 24，所以焦点坐标为(a 24，0)，准线方程为x ＝－a 24.跟踪训练1 (1)B (2)2 x ＝－1例2 解 (1)由于焦点在x 轴的负半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线标准方程为y 2＝－8x . (2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线标准方程为x 2＝4y .(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)， 将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2,22＝n ·3， ∴m ＝92，n ＝43.∴所求抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(4)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .跟踪训练2 解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)， 即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .方法二 设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0)． 把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5； 令y ＝0得x ＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x .例3 解 (1)由于动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等，由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，∴p ＝1,2p ＝2，故轨迹方程为y 2＝2x .(2)如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值，这时M 的纵坐标为2，可设M (x 0,2)，代入抛物线方程得x 0＝2， 即M (2,2)．跟踪训练3 A [如图，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离等于点P 到焦点F 的距离．因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为 4＋14＝172.]当堂训练 1．A 2.D3．C [如图，F (14，0)，过A 作AA ′⊥准线l ， ∴|AF |＝|AA ′|， ∴54x 0＝x 0＋p 2＝x 0＋14， ∴x 0＝1.]4．A [如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为到点F 的距离，由图可知，距离和的最小值，即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|42＋－2＝2.]5．解 由抛物线定义，设焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0.则该抛物线准线方程为x ＝p2，由题意设点M 到准线的距离为|MN |，则|MN |＝|MF |＝10， 即p2－(－9)＝10，∴p ＝2. 故抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y 0)代入抛物线方程，得y 0＝±6. ∴M 点的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．。

2.3.2 抛物线的简单几何性质1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则( C )(A)直线与抛物线有一个公共点(B)直线与抛物线有两个公共点(C)直线与抛物线有一个或两个公共点(D)直线与抛物线可能没有公共点解析:因为直线y=kx-k=k(x-1),所以直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.故选C.2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( B )(A)8 (B)16 (C)32 (D)64解析:由题可知抛物线y2=8x的焦点为(2,0),直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.故选B.3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有( C )(A)|FP1|+|FP2|=|FP3|(B)|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2(C)|FP1|+|FP3|=2|FP2|(D)|FP1|·|FP3|=|FP2|2解析:由焦半径公式,知|FP1|=x1+,|FP2|=x2+,|FP3|=x3+.因为2x2=x1+x3,所以2(x2+)=(x1+)+(x3+),即2|FP2|=|FP1|+|FP3|.故选C.4.(2018·临川高二月考)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )(A)(B)(C)(D)3解析:设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.故选A.5.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k等于( D )(A)(B)1 (C)(D)2解析:由题知P(1,2),2=k.故选D.6.(2018·郑州高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B在准线上的射影为A1,B1,则∠A1FB1等于( A )(A)90° (B)45° (C)60° (D)120°解析: 如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,所以∠AA1F=∠AFA1,又∠AA1F=∠A1FO,所以∠AFA1=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,于是∠AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB1.故∠A1FB1=90°.故选A.7.(2018·兰州高二检测)在抛物线y2=16x内,过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是.解析:显然斜率不存在时的直线不符合题意.设直线斜率为k,则直线方程为y-1=k(x-2),①由消去x得ky2-16y+16(1-2k)=0,所以y1+y2==2(y1,y2分别是A,B的纵坐标),所以k=8.代入①得y=8x-15.答案:y=8x-158.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的标准方程.解: 如图,依题意可设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),则直线方程为y=-x+p.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),过A,B分别作准线的垂线,垂足为C,D,则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+,即x1+x2+p=8.①又A(x1,y1),B(x2,y2)是直线和抛物线的交点,由消去y得x2-3px+=0.所以x1+x2=3p,②将②代入①,得p=2.所以所求的抛物线标准方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,同理可求得抛物线标准方程为y2=-4x.【能力提升】9.(2017·高安市校级高二月考)已知直线y=2(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(-1,m),若·=0,则m等于( B )(A)(B)(C)(D)0解析:由可得8x2-20x+8=0,解得x=2或x=,则A(2,2),B(,-),点M(-1,m),由·=0,可得(3,2-m)·(,--m)=0.化简得2m2-2m+1=0,解得m=.故选B.10.(2018·宜春高二月考)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( B )(A)2 (B)3 (C)(D)解析:设点A的坐标为(a2,a),点B的坐标为(b2,b),直线AB的方程为x=ty+m,与抛物线y2=x联立得y2-ty-m=0,故ab=-m,由·=2得a2b2+ab=2,故ab=-2或ab=1(舍去),所以m=2,所以△ABO的面积等于m|a-b|=|a-b|=|a+|,△AFO的面积等于×|a|=,所以△ABO与△AFO的面积之和为|a+|+=|a|+||≥2=3.当且仅当|a|=时,等号成立.故选B.11.(2018·云南质检)对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是.解析:设点Q的坐标为(,y0),由|PQ|≥|a|,得+(-a)2≥a2,整理得(+16-8a)≥0,因为≥0,所以+16-8a≥0,即a≤2+恒成立.而2+的最小值为2,所以a≤2.答案:(-∞,2]12. (2018·湖南六校联考)如图所示,已知点M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,直线AM,BM 的斜率互为相反数,且与抛物线另交于A,B两个不同的点.(1)求点M到其准线的距离;(2)求证:直线AB的斜率为定值.(1)解:因为M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,所以32=4a,a=,所以M(,3).因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,所以点M到其准线的距离为-(-1)=.(2)证明:由题知直线MA,MB的斜率存在且不为0,设直线MA的方程为y-3=k(x-),由得y2-y+-9=0.所以y A+3=,所以y A=-3.因为直线AM,BM的斜率互为相反数,所以直线BM的方程为y-3=-k(x-).同理可得y B=-3.(只需将y A=-3中的k换为-k)所以k AB=====-.所以直线AB的斜率为定值-.【探究创新】13.(2018·枣庄高二月考)设点P在圆C:x2+(y-6)2=5上,点Q在抛物线x2=4y上,则|PQ|的最小值为.解析:设Q(x,y),其中x2=4y.又圆心C(0,6),则|QC|===(y≥0).当y=4时,|QC|min=2,所以|PQ|min=|QC|min-r=2-=.答案:。