(完整)空间向量与立体几何知识点归纳总结,推荐文档

高中数学知识点总结空间向量与立体几何一、考点概要：1、空间向量及其运算1〕空间向量的根本知识：①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。

②空间向量根本定理：ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。

且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。

ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。

ⅲ单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。

ⅳ空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，那么对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。

③共线向量〔平行向量〕：ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。

ⅱ规定：零向量与任意向量共线；ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数λ，使。

④共面向量：ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。

ⅱ向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或在α内，那么说向量平行于平面α，记作。

平行于同一平面的向量，也是共面向量。

ⅲ共面向量定理：如果两个向量、不共线，那么向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。

ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。

ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意一定点O，有。

⑤空间两向量的夹角：两个非零向量、，在空间任取一点O，作，〔两个向量的起点一定要相同〕，那么叫做向量与的夹角，记作，且。

⑥两个向量的数量积：ⅰ定义：空间两个非零向量、，那么叫做向量、的数量积，记作，即：。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

;;OB OA AB a b =+=+ BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：ba b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。

ab b a//（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λa bb 0 a b a。

b （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与共线的单位向量为a a 4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实,a b p ,a b数使。

,x y p xa yb =+（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>ACy AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在,,a b cp 一个唯一的有序实数组，使。

,,x y z p xa yb zc =++若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，,,a b c {,,}a b c,,a b c 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

立体几何与空间向量知识点归纳总结材料一、立体几何知识点归纳总结：1.点、线、面的几何特性：-点：没有大小和形状，只有位置；两个不同的点确定一条直线，三个不共线的点确定一个平面。

-线：有长度但没有宽度和厚度；平行线、垂直线、相交线等性质。

-面：有长度和宽度但没有厚度；平面的平行关系、垂直关系、相交关系等。

2.空间几何形体的特性：-点：在空间中指定位置的几何实体。

-直线：长度无限延伸的几何实体。

-射线：以一个端点和无限延伸的直线为基础的几何实体。

-平面：无限延伸的、具有长度和宽度的几何实体。

-多面体：由平面构成的立体图形，如三角形、四面体、五棱柱等。

-圆锥、圆柱、圆球等。

3.空间几何的距离公式：-两点之间的距离公式：设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)，则AB 的距离为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]。

-点到直线的距离公式：设直线L的方程为Ax+By+Cz+D=0，点P(x0,y0,z0)，则点P到直线L的距离为d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A²+B²+C²)。

二、空间向量知识点归纳总结：1.空间向量的定义：空间中具有大小和方向的有向线段。

2.空间向量的表示方法：-定点表示法：以一个固定点为起点，用一条线段的另一端点表示向量。

-坐标表示法：向量的起点为原点O，终点坐标为(x,y,z)，则向量的坐标表示为(x,y,z)。

-分解表示法：将向量沿着坐标轴分解成若干个坐标分量的和。

3.空间向量的运算：-向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即向量的和等于它们的起点相同的两个边相加的结果。

-向量的减法：向量的减法等于将减向量取反后与被减向量相加。

-向量的数乘：向量的数乘等于向量的每个分量与一个常数的乘积。

4.向量的数量积和向量积：-数量积（点积）：设向量A(x1,y1,z1)和向量B(x2,y2,z2)，则数量积AB=A·B=x1x2+y1y2+z1z2，具有交换律和分配律。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作ba//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与a共线的单位向量为a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量与立体几何选修5-3知识点总结本文档旨在总结空间向量与立体几何选修5-3的知识点，以下是重点内容的总结：1. 空间向量的基本概念空间向量的基本概念- 空间向量是具有大小和方向的量，用箭头表示，通常用这个箭头的起点和终点表示空间向量。

- 空间向量的模表示空间向量的长度，方向由箭头的方向表示。

2. 空间向量的运算空间向量的运算- 空间向量的加法：两个空间向量相加得到一个新的空间向量，其起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。

- 空间向量的数乘：空间向量与一个实数相乘得到一个新的空间向量，其大小为原向量大小的绝对值与实数的乘积，方向不变。

3. 空间向量的线性相关与线性无关空间向量的线性相关与线性无关- 如果存在一组实数，使得它们与空间向量的线性组合等于零向量，则这些向量是线性相关的；反之，如果只有零实数使得它们的线性组合等于零向量，则这些向量是线性无关的。

4. 空间向量的数量积空间向量的数量积- 空间向量的数量积又称为内积或点积。

两个空间向量的数量积是一个实数，等于两个向量的模的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。

- 数量积的性质：对于任意空间向量a、b和实数k，有：(ka)·b = a·(kb) = k(a·b)。

5. 直线和平面方程直线和平面方程- 直线的方程：直线可以由两个非零向量的线性组合来表示，也可以使用点法式和一般式等形式表示。

- 平面的方程：平面可以由一个法向量和过某一点的向量确定，一般式和点法式是平面方程常见的表示形式。

以上是空间向量与立体几何选修5-3的重点知识总结。

希望对您有所帮助！（文档字数：200字）。

空间向量与立体几何例题和知识点总结一、空间向量的基本知识点在立体几何中，空间向量是一个非常有力的工具。

首先，我们来了解一下空间向量的一些基本概念。

空间向量是具有大小和方向的量，它可以用有向线段来表示。

如果两个空间向量的大小和方向都相同，那么这两个向量就是相等的。

向量的加法和减法遵循三角形法则和平行四边形法则。

例如，对于向量\（＼overrightarrow{a}＼）和\（＼overrightarrow{b}＼），它们的和\（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b}＼）可以通过将两个向量首尾相连得到，而差\（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b}＼）则是\（＼overrightarrow{a}＼）加上\（＼overrightarrow{b}＼）的相反向量。

空间向量的数量积\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b}＼）等于\（＼vert\overrightarrow{a}＼vert ＼vert\overrightarrow{b}＼vert ＼cos\theta\），其中\（＼theta\）是\（＼overrightarrow{a}＼）和\（＼overrightarrow{b}＼）之间的夹角。

数量积的结果是一个标量。

空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，向量\（＼overrightarrow{a} ＝（x, y, z)＼），其中\（x\）、＼（y\）、＼（z\）分别是向量在\（x\）轴、＼（y\）轴、＼（z\）轴上的分量。

二、空间向量在立体几何中的应用接下来，通过一些具体的例题来看看空间向量是如何解决立体几何问题的。

例 1：证明线线平行已知直线\（l_1\）和\（l_2\）的方向向量分别为\（＼overrightarrow{v_1} ＝（2, －1, 3)＼）和\（＼overrightarrow{v_2} ＝（4, －2, 6)＼），证明\（l_1 ＼parallel l_2\）。

由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．，取直线l的方向向量a，则向量及一个向量a，那么经过点A以向量用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：的方向向量分别是a，b，平面α ，β 的法向量分别是，k∈R；0；0；，k∈R；k∈R；＝0．用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：，b是两条异面直线，过空间任意一点分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂．理解直线的方向向量与平面的法向量．．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得RS k PQ =如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．PA 1， ∴),34,0,0()2,00(32321===AA AP ⋅)同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(2要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－1，1，4)，＝(－1，EF AK OG 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)C (0，2，0)，N (2，2，1)．),1,0,2(),2,1,0(=CN 所成的角为θ ，则CN ,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ．B P ∥MA ，B Q ∥NC ，所成的角．6,522=+==QC PC PQ Q空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，取A 1B 1的中点D ，则，连接AD ，C ⋅))2,2,0(a a D ),2,0,0(),0,,0(),0,0,231a AA a AB a ==,011=⋅AA DC 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，PB的中点D，连接CD，作AE⊥PB于E．，PA⊥AC，2，∴CD⊥PB．DC夹角的大小就是二面角A－PB－C的大小．,0(),0,0,2(),0,-==CP CB ＝(a 1，a 2，a 3)，(b 1，b 2，b 3)．＝1，得).0,2,1(-=a 得取b 3＝1，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 3如图建立空间直角坐标系．，由已知可得A (0，0，0)，),0,23,0(),0,23,21(a C a a B -),0,0,21(),,0,0a BC a =∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．,0PAC ．的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点．⋅)21,43,0(),21,3a a E a a ⊥平面PAC ，(B)θ ＞ϕ(D)θ ＜ϕ中，E，F，G，H分别为所成角的大小是______．6，且对角线与底面所成角的余弦值为D1中，AA1＝2AB，则异面直线1本文下载后请自行对内容编辑修改删除，的底面是直角梯形，∠BAD＝90°，，PA⊥底面ABCD，PD所成的角为θ ，则cosθ ＝______．C1D1中，AA1＝2AB＝4，点平面角的余弦值．中，底面ABCD是边长为OA的中点，N为BC的中点．OCD；所成角的大小．平面角的余弦值．习题1和平面α ，下列命题正确的是( α (B)若a ∥α (B)38000(D)4000cm 2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为( )(C)223本文下载后请自行对内容编辑修改删除，C11；平面角的余弦值．PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC MAB；C ；ABB 1；的体积．中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面SD ＝2．点M 在侧棱SC 上，∠的中点；的平面角的余弦值．练习1-3D ．42本文下载后请自行对内容编辑修改删除，，0)，E (0，2，1)，A 1).4∴A 1C ⊥BD ，A 1C ,0=⊥平面DBE ．是平面DA 1E 的法向量，则，得n ＝(4，1，－2)．14，,22(),0,22,0(-D P =-=),2,22,0(OD OP n ＝(x ，y ，z )，则⋅OP n 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，是CA 和平面α 所成的角，则∠，CO ＝1．3=AO ABO ＝∠BAO ＝45°，∴=AO BO ).1,0,0(),0,3,0(),C A ).1,3,0(-=AC 是平面ABC 的一个法向量，取x ＝1，得=+=-,03,033z y y x 1=n 是平面β 的一个法向量．AB 1＝E ，连接DE ．四边形A 1ABB 1是正方形，是BC 的中点，∴DE ∥A 平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面⊄解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1，⋅-)1,0,21(),01B 是平面A 1BD 的一个法向量，,01=D B 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1).0=1234是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN 平面A 1ABB 1，∴MN ⊄MH ．MH ∥A 1B 1，，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴的体积==⋅⋅∆3111MH S V B BC A (，0，0)，则B (22，),12,12,2(λλ++--=BM 故.60 >=BM |.BA BM =解得λ ＝,)12()1222λλ+++-的中点．，0，0)得AM 的中点22(G 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，。

为平面ABCD外一点，且PA⊥平面分成定，求满足的实数
结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用、、表示出来，
，则。

点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本
求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。

有分解才有组合，组合是分解的表现形式。

空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向
）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．
【用空间向量求空间角】
—中，分别是，的中点，求：
）两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即。

（2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即或
（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。

【用空间向量求距离】
—中，，，
热点。

现列出几类问题的解决方法。

）平面的法向量的求法：设，利用
是平面的一个法向量，是平面的斜线的一个方向向量，则直线与平面所
（3）二面角的求法：①分别是二面角的两个面内与棱。

②设分别是二面角的两个平面的法向量，则就是二面角的平
）异面直线间距离的求法：是两条异面直线，是的公垂线段
上的任意两点，则。

是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点到平面的距离为。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

;;OB OA AB a b =+=+ BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：ba b a λλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。

a b b a //（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λa bb 0 a b a 。

b （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ= <=>)1(=++=y x y x 其中（4）与共线的单位向量为a 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实,ab p ,a b 数使。

,x y p xa yb =+ （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP+= <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存,,a b cp 在一个唯一的有序实数组，使。

,,x y z p xa yb zc =++若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，,,a b c {,,}a b c ,,a b c 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

立体几何空间向量知识点总结知识网络：知识点拨:1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形 法则以及相关的运算律仍然成立.空间向量的数量积运算、 共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广.量研究线线、线面、 面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决 垂直的论证问题.r r r ra b cos a, br r3、 公式3 b是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角(但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别)， 再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等.4、 直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念， 通过研究方向向量与法向量之间的关系， 可以确定直线与直线、 直线与平面、平面与平面等 的位置关系以及有关的计算问题.5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法(1) 线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2) 线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即2、当a 、b 为非零向量时.0 a b 是数形结合的纽带之一，这是运用空间向r br ao rb r空间向tt与立悔几柯(3) 线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：① 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；② 证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量；③ 利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向 量. (4) 线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有： ① 证明直线方向向量与平面法向量平行； ② 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5) 面面平行① 证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ② 转化为线面平行、线线平行问题. (6) 面面垂直① 证明两个平面的法向量互相垂直; ② 转化为线面垂直、线线垂直问题. 6、运用空间向量求空间角(1) 求两异面直线所成角(2) 求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量， 通过数量积求出直线与平面所成角； 另一种方法是借助平面的法向量， 先求出直线方向向量与平面法向量的夹角0,即可求出直线与平面所成的角其关系是sin | cos ©(3) 求二面角用向量法求二面角也有两种方法： 一种方法是利用平面角的定义， 在两个面内先求出与 棱垂直的两条直线对应的方向向量， 然后求出这两个方向向量的夹角， 由此可求出二面角的 大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角， 它与二面角的大小相等或互补.7、运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离. (1) 点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模. (2) 点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ① 求出该平面的一个法向量；② 求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③ 求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距cos a,b利用公式但务必注意两异面直线所成角B 的范围是0,—2故实质上应有: cos cos a,b离.备考建议：1、 空间向量的引入，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平 面位置关系的问题，应体会向量方法在研究几何图形中的作用， 进一步发展空间想像能力和几何直观能力.2、 灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题.3、 在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时，直线的方向向量与平面的法向量有着举足轻重的地位和作用， 它的特点是用代数方法解决立体几何问题， 无需进行繁、 难的几何作图和推理论证，起着从抽象到具体、化难为易的作用. 因此，应熟练掌握平面法 向量的求法和用法.4、 加强运算能力的培养，提高运算的速度和准确性.第一讲空间向量及运算一、空间向量的有关概念 1、 空间向量的定义在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量. 注意空间向量和数量的区别.数量是只有大小而没有方向的量. 2、 空间向量的表示方法空间向量与平面向量一样， 也可以用有向线段来表示， 用有向线段的长度表示向量的大r小，用有向线段的方向表示向量的方向.若向量a 对应的有向线段的起点是 A ，终点是B ,3、零向量r长度为零的向量称为零向量，记为° •零向量的方向不确定，是任意的•由于零向量的这一特殊性，在解题中一定要看清题目中所指向量是“零向量”还是“非零向量”. 4、 单位向量模长为1的向量叫做单位向量.单位向量是一种常用的、重要的空间向量，在以后的学 习中还要经常用到. 5、 相等向量r rr r长度相等且方向相同的空间向量叫做相等向量•若向量a与向量b 相等，记为a =b .零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示， 并且与有向线段的起点无关. 6、 相反向量rr长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量. a的相反向量记为一a二、共面向量 1、 定义平行于同一平面的向量叫做共面向量. 2、 共面向量定理r r u r r若两个向量a 、b 不共线，则向量 P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y,ruuu则向量a 可以记为AB ，其模长为ur r r 使得 P = xa yb 。