空间向量与立体几何典型例题

.空间向量练习题1. 如下图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠ BCD ＝60°， E 是 CD的中点， PA ⊥底面 ABCD ，PA ＝2.〔Ⅰ〕证明：平面 PBE ⊥平面 PAB;〔Ⅱ〕求平面PAD 和平面 PBE 所成二面角〔锐角〕的大小 .如下图，以 A 为原点，建立空间直角坐标系 .那么相关各点的坐标分别是 A 〔 0， 0， 0〕， B 〔 1， 0， 0〕，C(3 ,3,0), D(1 ,3,0), P 〔 0，0， 2〕 , E(1, 3,0).2 22 22〔Ⅰ〕证明因为 BE (0,3,0) ，2平面 PAB 的一个法向量是 n(0,1,0) ，所以 BE 和n 共线 .从而 BE ⊥平面 PAB.又因为 BE平面 PBE ，故平面 PBE ⊥平面 PAB.(Ⅱ)解易知 PB(1,0, 2), BE(0,3，0〕， PA (0,0, 2), AD( 1 ,3,0)22 2n ( x 1 , y 1 , z 1 ) n 1 PB 0,设是平面PBE 的一个法向量，那么由得1n 1 BE 0x 1 0 y 1 2z 1 0,0 x 13y 2 0 z 2 0.所以y 1 0, x 12z 1.故可取 n 1 (2,0,1).2设 n 2( x 2 , y 2 , z 2 )PAD 的 n 2 PA 0, 是 平 面 一个法向量，那么由AD得n 2 00 x 2 0 y 2 2z 2 0,1 3 所以 z2 0, x 23 y 2 .故可取 n 2 ( 3, 1,0).2 x 22 y 2 0 z 20.于是， cosn 1, n 2n 1 n 22 3 15 .n 1 n 2 5 25故平面和平面所成二面角〔锐角〕的大小是15PADPBEarccos..2. 如图，正三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 的所有棱长都为 2， D 为 CC 1 中点。

空间向量和立体几何练习题与答案
1.若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形就是( )
A.一个圆
B.一个点
C.半圆
D.平行四边形
答案:A
2.在长方体 ABCD-A₁B ₁C ₁D ₁中,下列关于AC₁的表达中错误的 一个就是( )
A. AA₁+A ₁B ₁+A ₁D ₁
B. AB+DD₁
+D ₁C ₁
C. AD+CC₁+D ₁C ₁
D.12(AB 1+CD 1)+A 1C 1
答案:B
3.若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，下列等式不一定成立的就是( )
A.(a+b)+c=a+(b+c)
B.(a+b)•c=a•c+b•c
C. m(a+b)=ma+mb
D.(a·b)·c=a·(b·c)
答案:D
4.若三点A, B, C 共线,P 为空间任意一点,且PA+αPB=βPC,则α-β的值为( )
A.1
B.-1
C.12
D.-2
答案:B
5.设a=(x,4,3), b=(3,2, z),且a ∥b,则xz 等于( )
A.-4
B.9
C.-9
D.649
答案:B
6.已知非零向量 e ，e₂不共线，如果AB=e₁+e ₂ A C=2e ₂ 8e ₂AD=3e ₁3 ,则四点 A. B C (
) A.一定共圆
B.恰就是空间四边形的四个顶点心
C.一定共面
D.肯定不共面
答案:C。

专题1空间向量与立体几何练习（三）1．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒.(1)求证：1AC DB ⊥；(2)求异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值.2．如图四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//,3AF DE DE AF =.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)若BE 与平面ABCD 所成角为60︒，求二面角F BE D --的正弦值.3．已知()1,4,2a =- ，()2,2,4b =- .(1)若12c b = ，求cos ,a c <> 的值；(2)若()()3ka b a b +-∥ ，求实数k 的值.4．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，12CD CC ==．(1)求1AC 的长；(2)求异面直线1CA 与1DC 所成的角．5．已知向量()1,1,0a = ，()1,0,b c =- ，且a b += (1)求c 的值；(2)若ka b + 与2a b - 互相垂直，求实数k 的值．6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AD AB AA ===，,E F 分别是1111,A D A B 的中点，CG GE = ，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．(1)写出1,,,C D F G 四点的坐标；(2)求1cos ,CF D G <> ．7．如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求：(1)EF ·BA ；(2)EF ·BD ；(3)AB ·CD .8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，化简向量表达式：(1)AB CD BC DA +++ ；(2)1111AA B C D D ++ ；(3)1111AA B C D D CB +++ .9．已知空间三点()4,0,4A -，()2,2,4B -，()3,2,3C -，设a AB = ，b BC =r u u u r .(1)求a ，b ；(2)求a 与b 的夹角.10．如图所示，已知在三棱锥A BCD -中，向量AB a = ，AC b = ，AD c =uuu r r ，已知M 为BC 的中点，试用a 、b 、c 表示向量DM ．参考答案：1．(1)证明见解析【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到10AC DB ⋅= ，即可证得1AC DB ⊥；（2）根据平面向量转化基底，求出1BD 、AC 、1AC BD ⋅ ，再利用夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：∵以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒，∴11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒= ，∴()()1111111()()AC DB AA A B B C AB AD AA AB AD AB AD ⋅=++⋅-=++⋅- 22110AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅-= ，∴1AC DB ⊥.（2）∵111BD AD DD AB AD AA AB ==+-+- ，AC AB BC AB AD =+=+ ，∴1BD ==||AC ==== ，()11()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+ 12211111122AD AB AA AB AA AD =+⋅-++⋅=-+= ，∴111cos ,6BD AC BD AC BD AC⋅==⋅ ，∴异面直线1BD与AC 所成角的余弦值为6.2．(1)证明见解析【分析】（1）由已知可得DE AC ⊥且AC BD ⊥,由线面垂直的判定定理即可得到证明;（2）以D 为原点,DA 方向为x 轴,DC 方向为y 轴,DE 方向为z 轴建立空间直角坐标系,利用已知条件求出平面BDE 的一个法向量和平面BEF 的一个法向量,利用向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE AC⊥因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD⊥又因为BD DE D ⋂=，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE（2）DE ⊥ 底面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，,DE DA DE DC ∴⊥⊥，四边形ABCD 是正方形，DA DC∴⊥故DA ，DC ，DE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，因为BE 与平面ABCD 所成角为60 ，DE ⊥ 平面ABCD ，且垂足为D ，故60DBE ∠=，所以DE DB=又3,3AD DE AF ==，所以BD DE AF ===所以(3,0,0)A ，(3,3,0)B，F，E ，(0,3,0)C ，所以(0,,(3,0,BF EF =-=- 设平面BEF 的一个法向量(),,m x y z = ，则3030m BF y m EF x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令z =(4,m = 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的一个法向量，()3,3,0CA =- .所以cos ,13m CA m CA m CA ⨯+-⨯+⋅〈〉===，所以sin ,m CA〈〉=所以二面角F BE D --3．(1)42-(2)13-【分析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.【详解】（1）由已知可得()11,1,22c b ==- ，()1,4,2a =- ，∴114122cos ,42a c a c a c⨯-+⨯+-⨯⋅<>==- .（2）()2,42,24ka b k k k +=-+-+ ，()37,2,14a b -=-- ，∵()()3ka b a b +-∥ ，∴存在实数m 使得()3ka b m a b +=- ，∴27k m -=，422k m +=-，2414k m -+=-，联立解得13k =-.4．(1)1AC =(2)90°．【分析】(1)因为1,,CD CB CC 三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量1AC uuu r ，平方即求得模长.(2)求出两条直线1CA 与1DC 的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.【详解】（1）设CD a =uu u r r ，CB b =uu r r ，1CC c =uuu r r ，{},,a b c 构成空间的一个基底．因为()11()AC CC CD CB c a b =-+=-+ ，所以()22211AC AC c a b ⎡⎤==-+⎣⎦222222c a b a c b c a b=++-⋅-⋅+⋅ 12222cos608=-⨯⨯⨯︒=，所以1AC =（2）又1CA a b c =++ ，1DC c a =- ，所以()()11CA DC a b c c a ⋅=++⋅- 220c a b c a b =-+⋅-⋅= ∴11CA DC ⊥ ∴异面直线1CA 与1DC 所成的角为90°．5．(1)2c =±(2)75k =【分析】（1）求出()0,1,b a c += ，根据向量模长公式列出方程，求出2c =±；（2）分2c =与2c =-两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k 的值.【详解】（1）()()()01,0,1,1,0,1,b c a c =-++= ，所以a b +== 2c =±；（2）当2c =时，()()()01,0,2,,1,,2k b k k k a k +=--=+ ，()()()2202,21,0,2,,23,a b -=-=-- ，因为ka b + 与2a b - 互相垂直，所以()231220k k -+-=，解得：75k =，当2c =-时，()()()210,1,2,,0,,ka k k k b k +=-+---= ，()()()2202,21,0,2,,23,a b -=-=-- 因为ka b + 与2a b - 互相垂直，所以()231220k k -+-=，解得：75k =，综上：75k =.6．(1)()3,6,0C ，()10,6,3D ，3,0,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，393,,222G ⎛⎫ ⎪⎝⎭21【分析】（1）根据线段长度、中点坐标公式可求得点对应的坐标；（2）利用向量夹角的坐标运算可直接求得结果.【详解】（1）1226AD AB AA === ，13AB AA ∴==，则()3,6,0C ，()10,6,3D ，3,0,32F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,3,3E ，CG GE = ，G ∴为CE 中点，393,,222G ⎛⎫∴ ⎝⎭.（2）由（1）得：3,6,32CF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，1333,,222D G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1119999424cos ,22CF D G CF D G CF D G -+-⋅∴<>=⋅⨯ .7．(1)1(2)2(3)0【分析】分别将EF ，BD ，CD 转化为AB ，AC ，AD 后根据数量积定义计算即可.【详解】（1）在正四面体ABCD 中，||||2,cos ,60BD BA BD BA ==〈〉=111||||cos ,22cos 601222EF BA BD BA BD BA BD BA ⋅=⋅=⋅〈〉=⨯⨯︒= （2）211||222EF BD BD BD BD ⋅=⋅== （3）()AB CD AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅=||||cos ,||||cos ,AB AD AB AD AB AC AB AC ⋅⋅〈〉-⋅〈〉在正四面体ABCD 中，||||||AB AD AC == ，cos ,cos ,AB AD AB AC 〈〉=〈〉故0AB CD ⋅=8．(1)0(2)AD(3)0【分析】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算直接化简可得.【详解】（1）0AB CD BC DA AB BC CD DA AC CD DA AD AD +++=+++=++=-= （2）由图知，1111B C A D = 所以1111111111AA B C D D AA A D D D AD D D AD++=++=+= （3）由图知，CB DA =所以由（2）可得11110AA B C D D CB AD DA AD AD +++=+=-= 9．(1)(2)2π3【分析】（1）（2）由空间向量的坐标运算求解，【详解】（1）由题意得所以()2,2,0a AB == ，所以a == 因为()2,2,4B -，()3,2,3C -，所以()1,0,1b BC ==--r u u u r ，所以b ==r （2）由（1）可知1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅ ，又[],0,πa b ∈ ，所以2π,3a b = ，即a 与b 的夹角为2π3.10．()122DM a b c =+- 【分析】利用空间向量的线性运算的几何表示运算即得.【详解】∵M 为BC 的中点，∴()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，∴()()11222DM AM AD AB AC AD a b c =-=+-=+- .。

空间向量与立体几何测试题1．已知向量),2,3(),1,,(z b y x a ==，且b a //，则yz xz +的值是（ ） （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）32．已知向量)2,0,1(),1,1,0(=-=b a ，若向量b a k +与向量-互相垂直，则k 的值是（ ） （A ）23 （B ）2 （C ）45 （D ）47 3．下面命题正确的个数是（ ） ①若23p x y =+，则p 与x 、y 共面；②若23MP MA MB =+，则M 、P 、A 、B 共面；③若0OA OB OC OD +++=，则A 、B 、C 、D 共面；④若151263OP OA OB OC =+-，则P 、A 、B 、C 共面； （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）（A ）448(,,)333 （B ）123(,,)234（C ） 131(,,)243 （D ）447(,,)333 5．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把ABD ∆和ACD ∆折成互相垂直①0≠⋅AC BD ；②60=∠BAC ；③三棱锥ABC D -是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直. 其中正确的是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④CC6．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共 面，则实数λ等于（ ） （A ）627 （B ）637 （C ）647 （D ）6577．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E 是11B A 的中点，则E 到平面11D ABC 的距离（ ） （A ）23 （B ）33 （C ）21 （D ）22 8. 如图，正方体1111ABCD A BC D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变； ②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线 其中真命题的编号是（ ）（A ）①③④ （B ）③④ （C ）①③ （D ）①②③9. 已知空间三点)1,1,0(),0,1,1(),0,0,0(B A O -, 在直线OA 上有一点H满足OA BH ⊥，则点H 的坐标为 ．10. 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中 点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。

例1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。

(如图)A BCD A 1B 1C 1D 1G1)1(AA AD AB ++1111)1(AC CC AC AA AC AA AD AB =+=+=++解M 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t 其中向量叫做直线的方向向量.ll aaOABP a若P为A,B中点,则()12=+ OP OA OB2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对 使, a b yx , p ,a b OM a b A B A 'Pp p xa yb =+ 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有=+MP xMA yMB =++ OP OM xMA yMB 注意：空间四点P 、M 、A 、B 共面⇔存在唯一实数对,,x y MP xMA yMB =+ （）使得(1)OP xOM yOA zOB x y z ⇔=++++= 其中，例1：已知m,n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且l ⊥m ，l ⊥n ，求证：l ⊥α。

n mg g m n αl l 证明：在α内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g ，因m与n相交，得向量m、n 不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使g =x m +y n ,l ·g =x l ·m +y l ·n∵ l ·m =0,l ·n =0∴ l ·g =0∴ l⊥g∴ l⊥g这就证明了直线l垂直于平面α内的任一条直线，所以l⊥α巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理αa A O P ().,0,,,,0,0,PA a PA a a OA a PO a PA OAy PO x PA y x OA PO OA PO a OA a OA a PO a PO PO aa ⊥⊥∴=⋅+⋅=⋅∴+==⋅∴⊥=⋅∴⊥∴⊥即使有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量证明：在αPA a OAa a PA OA PA PO ⊥⊥⊂求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,,ααα复习:2. 向量的夹角:a bO ABabθ0a b π≤≤ ，a b ，向量 的夹角记作:a b 与a b = ||||cos ,a b a b 1.空间向量的数量积:111222(,,),(,,)a x y z b x y z == 设121212x x y y z z =++cos ||||a ba b a b =，121212222222111222++=++⋅++x x y y z z x y z x y z 5.向量的模长:2222||a a x y z ==++ (,,)a x y z = 设4.有关性质:(1)两非零向量111222(,,),(,,)a x y zb x y z == 1212120x x y y z z ++=0a b a b ⊥⇔=⇔ (2)||||||a b a b ≤ ||||,a b a b a b =⇒ 同方向||||,a b a b a b =-⇒ 反方向注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。

空间向量与立体几何经典例题空间向量与立体几何经典例题空间向量和立体几何是高中数学中的重要内容，它们是解决三维空间中几何问题的基础。

在此，我们将介绍一些经典的例题，帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。

例题1：已知平面ABCD的四个顶点坐标为A(1，2，3)，B(-1，1，-3)，C(4，0，2)和D(2，-1，1)，求平面ABCD的法向量和面积。

解答：首先，我们可以通过向量的定义求得平面ABCD的法向量。

假设向量AB为a，向量AC为b，则平面ABCD的法向量N可以表示为N = a × b，其中×表示向量的叉乘运算。

由于a = B - A = (-1，1，-6)和b = C - A = (3，-2，-1)，我们可以得到N = a × b = (7，19，5)。

其次，我们可以使用向量的叉乘运算和向量的模运算求得平面ABCD 的面积。

假设向量AB为a，向量AC为b，则平面ABCD的面积可以表示为S = 1/2 * |a × b|，其中|a × b|表示向量a × b的模。

带入已知数据计算可得，S = 1/2 * |(7，19，5)| = 1/2 * √(7^2 + 19^2 + 5^2) = 1/2 * √(1255)。

因此，平面ABCD的法向量为N = (7，19，5)，面积为S = 1/2 * √(1255)。

例题2：已知四面体ABCD的四个顶点坐标为A(1，2，3)，B(-1，1，-3)，C(4，0，2)和D(2，-1，1)，求四面体ABCD的体积。

解答：首先，我们可以通过向量的定义求得四面体ABCD的体积。

假设向量AB为a，向量AC为b，向量AD为c，则四面体ABCD的体积V 可以表示为V = 1/6 * |a · (b × c)|，其中·表示向量的点乘运算，×表示向量的叉乘运算，|a · (b × c)|表示向量a · (b ×c)的模。

空间向量在立体几何中的应用：（1)直线的方向向量与平面的法向量: ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线,对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ,则向量a 叫做平面α 的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． （2）用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l ,m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ,β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ,k ∈R ; ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； ④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ,k ∈R ； ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ,k ∈R ； ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3）用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ，显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l －β 在二面角的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α －l －β 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一：如图，若AB ,CD 分别是二面角α －l －β 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角α －l －β 的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．方法二:如图,m 1，m 2分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则<m 1，m 2>与该二面角的大小相等或互补．（4）根据题目特点,同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题． 【例题分析】例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1,AE 的中点,求证：PQ ∥RS ．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B （0，4，0)，O 1（0，0，2），A 1（3，0，2），B 1(0，4，2)，E （3,4，0）．∵AP ＝2P A 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得:Q （0,2，2),R (3，2，0）,⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴RS PQ //,又R ∉PQ ,∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤：（1）证明两向量共线；（2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明． 例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ,E ，F 分别是棱A 1D 1,A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点,求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行． 解法一：设正方体的棱长为4,如图建立空间直角坐标系,则D (0，0，0）,A （4,0，0），M （2,0，4),N （4，2，4),B (4，4，0)，E （0,2，4)，F （2，4，4）．取MN 的中点K ,EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O （2,2,0),K (3，1，4），G (1，3,4)．MN ＝(2，2,0)，EF ＝(2，2，0），AK ＝(－1，1，4），OG ＝(－1,1，4)， ∴MN ∥EF ,OG AK =,∴MN//EF ，AK//OG ,∴MN ∥平面EFBD ,AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二:设平面AMN 的法向量是a ＝（a 1，a 2，a 3），平面EFBD 的法向量是 b ＝（b 1，b 2，b 3）． 由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝（2,－2，1）．由,0,0==⋅⋅BF DE b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1,得b ＝（2，－2,1)．∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．注:本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系,则D (0,0,0)，A （2，0，0），M （2，1,2），C （0,2，0），N （2,2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为θ ，则,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52解法二：取AB 的中点P ,CC 1的中点Q ，连接B 1P ,B 1Q ，PQ ，PC ． 易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角． 设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数,这样才能得到异面直线所成的角(锐角）．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （0,a ，0),),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a aa C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a a D ,连接AD ，C 1D ．则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴AD AC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二:如图建立空间直角坐标系，则A （0,0，0)，B (0，a ，0）,A 1（0，0，a 2），)2,2,23(1a aa C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a aa AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝（p ，q ，r ), 由,0,01==⋅⋅AA AB a a得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝（1,0，0）． 设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC 【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角;解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中,P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，2=BC ,求二面角A －PB －C 的平面角的余弦值．解法二图解法一：取PB 的中点D ,连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵P A ＝AC ＝1，P A ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ,∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系,则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，2,0），P （1，0，1）,由D 是PB的中点，得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA ∴⋅=>=<33||||,cos DC EA DC EA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二：如图建立空间直角坐标系,则A (0，0，0)，)0,1,2(B ，C (0，1，0)，P （0,0，1），).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面P AB 的法向量是a ＝（a 1，a 2，a 3），平面PBC 的法向量是b ＝(b 1，b 2,b 3）． 由,0,0==⋅⋅AB AP a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝（0,1，1)．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角， ∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量,转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时,有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．练习一、选择题：1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点,则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是（ ) （A)2（B)2(C ）5(D ）222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是（ ） （A)30° （B)45° (C ）60° （D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ) (A ）31 (B)32 (C ）33 (D)32 4．如图，α ⊥β ，α ∩β ＝l ，A ∈α ，B ∈β ，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ,AB 与α ，β 所成的角分别是θ 和ϕ，AB 在α ，β 内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是（ )（A)θ ＞ϕ，m ＞n (B ）θ ＞ϕ，m ＜n (C)θ ＜ϕ，m ＜n（D)θ ＜ϕ，m ＞n二、填空题：5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ,G ，H 分别为AA 1,AB ,BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______． 6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33,则该正四棱柱的体积等于______．7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ,则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．4题图 7题图 9题图 8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21，P A ⊥底面ABCD ,PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为θ ，则cos θ ＝______． 三、解答题：9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ）证明:A 1C ⊥平面BED ;（Ⅱ）求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值． 10．如图,在四棱锥O －ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的菱形,4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．（Ⅰ)证明：直线MN ∥平面OCD ;（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小．11．如图，已知直二面角α －PQ －β ，A ∈PQ ,B ∈α ，C ∈β ，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α 所成的角为30°．（Ⅰ）证明：BC ⊥PQ ；(Ⅱ)求二面角B －AC －P 平面角的余弦值．练习答案一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．548．42三、解答题：9题图 10题图 11题图9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B （2，2,0）,C (0，2，0），E （0,2,1)，A 1（2，0,4)．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A(Ⅰ)∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ,A 1C ⊥DE ． 又DB ∩DE ＝D ,∴A 1C ⊥平面DBE ．(Ⅱ）设向量n ＝（x ,y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n ∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝(4,1，－2)．⋅==4214||||),cos(111C A C A C A n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ,z 轴建立坐标系．则A （0，0，0），B (1,0，0），)0,22,22(),0,22,0(-D P ,O （0,0，2），M （0，0，1),⋅-)0,42,421(N （Ⅰ）⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ，得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ． (Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ ，,3π,21||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．（Ⅰ）证明：在平面β 内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ．∵α ⊥β ,α ∩β ＝PQ ，∴CO ⊥α ． 又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ，又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．（Ⅱ）由（Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ,OA ⊥OB ，故以O 为原点，分别以直线OB ,OA ，OC 为x 轴,y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）．∵CO ⊥α ，∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角，则∠CAO ＝30°．不妨设AC ＝2，则3=AO ,CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ． 易知n 2＝（1，0，0）是平面β 的一个法向量． 设二面角B －AC －P 的平面角为θ ，∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55。

高中数学《空间向量与立体几何》练习题（含答案解析）一、单选题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，与点()1,2,1-关于平面xOz 对称的点为（ ）A ．()1,2,1--B ．()1,2,1-C ．()1,2,1---D ．()1,2,1--2．在空间直角坐标系内，平面α经过三点(1,0,2),(0,1,0),(2,1,1)A B C -，向量(1,,)n λμ=是平面α的一个法向量，则λμ+=（ ）A ．7-B ．5-C ．5D ．73．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（ ）．A ．()1,6,3-B ．()5,4,3-C ．()1,6,3--D ．()2,5,3-4．如图，O A B '''△是水平放置的OAB 的直观图，6A O ''=，2''=B O ，则OAB 的面积是（ ）A ．6B ．12C ．D ．5．平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直6．已知某圆柱的内切球半径为92，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．492π B ．49π C ．812π D ．81π7．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A ．OA 、OB 、OC 共线B ．OA 、OB 共线C ．OB 、OC 共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D9．已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，则（ ）A ．1AB ⊥平面11A BCB ．异面直线1AB 与11AC 所成的角为30° C ．平面11ABD ∥平面1BC Q D ．平面1B CD ⊥平面1B DP二、填空题11．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________. 12．若直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是______.13．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，2PA AC ==，BC =则四面体P ABC 的外接球的表面积为______．14．设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．三、解答题15．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，点D 是AB 的中点．(1)求证：1AC △平面1CDB ．(2)若1AA ⊥平面ABC ，AC BC =，求证：CD ⊥平面11ABB A ．16．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：（1）EH △平面BCD ；（2）BD △平面EFGH .17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E 为PB 的中点.(1)求证：EO平面PDC ；(2)求证：平面PAC ⊥平面PBD .18．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.参考答案与解析1．A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点()1,2,1-，则其关于平面xOz 对称的点为()1,2,1--.故选：A.2．D【解析】求出(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-，利用与(1,,)n λμ=数量积为0，求解即可.【详解】(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-120n AB λμ⋅=-+-=20n BC μ⋅=-+=可得2μ=，5λ=，7λμ+=故选：D3．B【分析】利用空间向量的坐标运算求得B 的坐标.【详解】设O 为空间坐标原点，()()()3,1,02,5,35,4,3OB OA AB =+=-+-=-.故选：B4．B【分析】由直观图和原图的之间的关系，和直观图画法规则，还原OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==，直接求解其面积即可．【详解】解：由直观图画法规则，可得OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==， △11641222OAB S OA OB =⋅=⨯⨯=． 故选：B ．5．C【分析】由题设知6m n =-，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. 【详解】平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-， ∴6m n =-，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．6．D 【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9，从而可求出其侧面积 【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9， 所以该圆柱的侧面积为929812ππ⨯⨯=. 故选：D7．D【解析】根据向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.【详解】因为O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，所以OA 、OB 、OC 共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面，故选：D8．B【分析】连接1AD ，AE ，得到11//AD BC ，把异面直线1D E 与1BC 所成角转化为直线1D E 与1AD 所成角，取1AD 的中点F ，在直角1D EF 中，即可求解.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1AD ，AE ，可得11//AD BC ，所以异面直线1D E 与1BC 所成角即为直线1D E 与1AD 所成角，即1AD E ∠为异面直线1D E 与1BC 所成角，不妨设12AA =，则1AD =1D E AE =取1AD 的中点F ，因为1D E AE =，所以1EF AD ⊥，在直角1D EF中，可得111cos D F AD E D E ∠==. 故选：B.9．C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d =【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴==∴球心O 到平面ABC 的距离1d =.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.10．D【分析】A 项反证法可得；B 项由平移法计算异面直线所成角；C 项由面面平行的判断和性质可得结果；D 项建立空间直角坐标系可得结果.【详解】对于选项A ，假设1AB ⊥面11A BC ，则111AB AC ⊥，这与已知1AB 与11A C 不垂直相矛盾，所以假设不成立.故选项A 错误； 对于选项B ，连接1DC ，1DA ，因为11AB DC ∥，所以11DC A ∠为异面直线1AB 与11A C 所成的角或补角，又因为△11AC D 为等边三角形，所以1160DC A ∠=︒，故选项B 错误；对于选项C ，因为11B D BD ∥，11AD BC ∥，由面面平行的判定定理可得平面11AB D ∥平面1BDC ，而平面1BQC 与平面1BDC 相交，所以平面11AB D 与平面1BC Q 也相交，故选项C 错误；对于选项D ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则()0,0,0D ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，11,,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()11,1,1DB =，()0,1,0DC =，11,,02DP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面1B CD 的法向量为()1,,n x y z =， 则11100n DB x y z n DC y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取1x =，则0y =，1z =-，即()11,0,1n =-， 设平面1B DP 的法向量为()2,,b c n a =，则2120102n DB a b c n DP a b ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 可取1a =，则2b =-，1c =，可得平面1B DP 的一个法向量为()21,2,1n =-，由121010n n ⋅=+-=，所以12n n ⊥，即平面1B CD ⊥平面1B DP ，故选项D 正确. 故选：D.11．135°【分析】首先根据题意将图画出，然后根据α＝45°，AB △CD ，可得180BCD α︒∠=-，进而得出结论.【详解】解：如图，由题意知α＝45°，AB △CD ，180135BCD α︒︒∴∠=-=，即135β︒=.故答案为：135°.【点睛】本题考查了平行线的性质，结合图会使问题变得简单，属于基础题.12．-1【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.【详解】直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，直线l ⊥平面α， 必有//m n ，即向量m 与向量n 共线，m n λ∴= ，△11222x -==--，解得=1x -； 故答案为：-1.13．16π 【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．【详解】由于PA ⊥平面ABC ，因此PA 与底面上的直线,,AC AB BC 都垂直，从而AC 与AB 不可能垂直，否则PBC 是锐角三角形，由于<AC BC ，因此有AC BC ⊥， 而PA 与AC 是平面PAC 内两相交直线，则BC ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥， 所以PB 的中点O 到,,,P A B C 四个点的距离相等，即为四面体P ABC 的外接球球心．2222222222216PB PA AB PA AC BC =+=++=++=，4PB =， 所以所求表面积为224()42162PB S πππ=⨯=⨯=． 故答案为：16π．14．1【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a 坐标，由3a k +的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i =，()0,1,0j =，()0,0,1k = 设(),,a r s t = 则(a xi y j r x --=-当,r x s y ==时a xi y j --的最小值是2，2t ∴=±取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是5.取(),,2a x y =- 则()3,,1a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是1.故答案为：1.15．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)连接1BC ，交1B C 于点E ，连接ED ，用中位线证明1ED AC ∥即可；(2)证明CD △AB ，CD △1AA 即可.【详解】（1）连接1BC ，交1B C 于点E ，连接.ED△111ABC A B C 是三棱柱，△四边形11BCC B 为平行四边形，△E 是1BC 的中点.△点D 是AB 的中点，△ED 是1ABC 的中位线，△1ED AC ∥，又ED ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，△1AC △平面1CDB .（2）△1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，△1AA AB ⊥，△AC BC =，AD BD =，△CD AB ⊥，△1AA AB A =，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，△CD ⊥平面11ABB A .16．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）推导出EH △BD ，由此能证明EH △平面BCD ；（2）由BD △EH ，由此能证明BD △平面EFGH .【详解】（1）△EH 为△ABD 的中位线，△EH △BD .△EH △平面BCD ，BD △平面BCD ，△EH △平面BCD ；（2）△FG 为△CBD 的中位线，△FG △BD ，△FG △EH ，△E 、F 、G 、H 四点共面，△BD △EH ，BD △平面EFGH ，EH △平面EFGH ，△BD △平面EFGH .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.17．(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：△四边形ABCD 为正方形，△O 为BD 的中点，△E 为PB 的中点，△OE PD ∥，又△OE ⊄平面,PDC PD ⊂平面PDC ，△OE 平面PDC ；（2）证明：△四边形ABCD 为正方形，△AC BD ⊥，△PD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥，又△,PD BD ⊂平面PBD ，且PD BD D ⋂=，△AC ⊥平面PBD ，又△AC ⊂平面PAC ，△平面PAC ⊥平面PDB .18．(1)证明见解析； 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为AB AD =，O 是BD 中点，所以OA BD ⊥，因为OA ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以OA ⊥平面BCD ．因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OD 为y 轴，垂直OD 且过O 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则1,0),(0,1,0),(0,1,0)2C D B -，设12(0,0,),(0,,)33A m E m ,所以4233(0,,),(,,0)3322EB m BC =--=， 设(),,n x y z =为平面EBC 的法向量，则由00EB n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩可求得平面EBC 的一个法向量为2(3,1,)n m =--． 又平面BCD 的一个法向量为()0,0,OA m =，所以cos ,n OA ==1m =． 又点C 到平面ABD 112132A BCD C ABD V V --==⨯⨯⨯=， 所以三棱锥A BCD - [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作EG BD ⊥，垂足为点G ．作GF BC ⊥，垂足为点F ，连结EF ，则OA EG ∥．因为OA ⊥平面BCD ，所以EG ⊥平面BCD ，EFG ∠为二面角E BC D --的平面角．因为45EFG ∠=︒，所以EG FG =．由已知得1OB OD ==，故1OB OC ==．又30OBC OCB ∠=∠=︒，所以BC =因为24222,,,,133333GD GB FG CD EG OA ======，111122(11)13332A BCD BCD BOC V S O S OA A -==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=． [方法三]：三面角公式考虑三面角B EDC -，记EBD ∠为α，EBC ∠为β，30DBC ∠=︒，记二面角E BC D --为θ．据题意，得45θ=︒．对β使用三面角的余弦公式，可得cos cos cos30βα=⋅︒，化简可得cos βα=．△使用三面角的正弦公式，可得sin sin sin αβθ=，化简可得sin βα=．△ 将△△两式平方后相加，可得223cos 2sin 14αα+=， 由此得221sin cos 4αα=，从而可得1tan 2α=±．如图可知π(0,)2α∈，即有1tan 2α=， 根据三角形相似知，点G 为OD 的三等分点，即可得43BG =，结合α的正切值，可得2,13EG OA ==从而可得三棱锥A BCD - 【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.。

高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1 •若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量 的终点构成的图形是（）A. —个圆 E. —个点 C.半圆 D.平行四边形答案：A2 .在长方体 ABCD -ABQD i 中，下列关于 AG 的表达中错误的一个是（ ）答案：E3.若a , b, c 为任意向量， A. (a 亠b ) c =a - (b c )B. (a 亠b )・c =a ・c b-cC.m(a 亠 b ) =m a 亠 m bD. (a ・b )・c=a ・( b-c ) 答案：D1A. 1B. -1C.丄D -22答案：BA.B. AB DD^ De lC. AD CC 1 DC 1D.1(AB i CD i ) - AC im R ，下列等式不一定成立的是（4.若三点A B , e 共线,P 为空间任意一点, 且 PA 叱iPB = 1 PC ,^y - 的值为5. 设 a =(x,4,3), b= (3,2, z)，且 a II b , A. -4 B. 9 C. -9答案：B6 . 已知非零向量 e b e 2不共线， 如果A B, C , D ( )A. 一定共圆则四点亠A DB.恰是空间四边形的四个顶点心C. 一定共面D. 肯定不共面答案：C则xz 等于（AB = e AC =2 e 2 8 e AD =3 e -3 e 2,答案：B则x, y , z 的值分别为( )9 .若向量a =(1, ,2)与b= (2, -1,2)的夹角的余弦值为答案：c答案：D12.给出下列命题：① 已知 a _b ，则 a-(b c ) c-(b a ) =b c ；② A, B, M , N 为空间四点，若BA,B M ,BN 不构成空间的一个基底， 那么A , B, M , N 共面; ③ 已知a_b ，则a , b 与任何向量都不构成空间的一个基底; ④ 若a, b 共线，则a, 正确的结论的个数为(A. 1B. 2 答案：C 二、填空题13.已知 a =(3,15), b = (1,2,3)，向量 c 与 z 轴垂直，且满足 c-a = 9, c-b - -4，则 c =7.如图1空间四边形 ABCD 的四条边及对 角线长都是a ,点E , F , G 分别是AB, AD , CD 的中点，贝U a 2等于() B. 2AD-BD C. 2FG-CAD. 8 .右 a = e e 2 - e 3, b =e ^ - e 2 ■ e 3, c =e<i • e 2 — e 3,d =e 2 e 2 3 e ，且 d = x a y b z c ,1.1,2 5 厶D1 - 1「25 /1 - 1「2 5 ~1 - 2-A. 2B. -2C.-2或—55D. 2 或-5510 •已知ABCD 为平行四边形，且A(413),A. -,4,12答案：DB. (2,4,1) 11 .在正万体 ABCD - A| B 1C 1D 1 中,A. 60°B. 90°B(2,— 5,1), C(3,7, -5)，则顶点D 的坐标为(C. (24,1)D. (513, -3)O 为AC , BD 的交点，则 C品C. arccos ——3GO 与AD 所成角的(D. arccos ——6b 所在直线或者平行或者重合.)D. 4A. 2EF-CB答案：22, -21 , 0 5 514.已知A B, C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量 ■ OC 确5 3 定的点P 与A, B, C 共面，那么，二 ____________ . 答案：-1515.已知线段 AB_面〉，BC 二卅，CD _BC , DF _ 面〉于点 F , / DCF =30°，且 D , A 在平面:-的同侧，若 AB =BC 二CD =2，则AD 的长为 ____________________ . 答案：2 216.在长方体ABCD —ABQ i D i 中，BQ 和CQ 与底面所成的角分别为 60°和45°,则异面直 线BC 和CQ 所成角的余弦值为 _____________________ . 答案：—4 三、解答题17 .设 a t =2i - j +K 逊=i +3 j -2 k 爲=-2 i + j 弋 k a =3 i +2 j +5 k,试问是否存在实 数-,7，使a 4 a 「；［_a 2 •a 3成立？如果存在，求出 \ ;如果不存在，请写出证明.答案：解：假设a 4 = ■ a^ ''a 2亠、.①成立. •- a 1 =(2, -1,1), a 2 =(13, -2), a 3 =(-21,3), a^(3,2,5), ••• (2 •-2、，-，3二朕:，• -2」- 3、)=(3,2,5).◎人+4-2v=3, j\ = -2, •. -2,解得」=1,■ -2」-3.. =5,- -3.所以存在，=-2, " =1 , v = -3 使得 a 4 = -2a 1 a 2 -3a 3. 理由即为解答过程.18 .如图2,正三棱柱AB^ -A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为 所成的角.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0, 0, B(0 , a , 0, A (0,0, V2a) , C 「一亟 a, - , ,7a2 2 由于n = ( -1,0, 0)是面ABB 1A ］的法向量,1*122a ,求AC 1与侧面ABB 1A\故AC i与侧面ABB i A所成的角为30°.19 •如图3，直三棱柱ABC- ABC中，底面是等腰直角三角形, .ACB 二90°，侧棱AA i =2, D, E分别是CC i与AB的中点，点E在平面ABD上的射影是求点A i到平面AED的距离. △ ABD的重心G ,解：建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=2a ,则A(2a,0,0, B(0,2a,0, D(0,0,1), A(2a,0,2) E(a, a,),-(0 , -2a,1).由GE_BD=GE・BD=0,得a=1,则A i(2,0,2) A(2,0,0) E(1,1,1).自A1作AH —面AED于M，并延长交xOy面于H，设H (x, y,0), —I则AH =(x —2, y, -2).又AD =(-2,0,1) , AE =(—1,1,1).丄AH _AD, —2(x—2)—2=0, x =1, ZR由1得H (1,1,0)."H _ AE -(x -2) y -2 =0 y =1,又AM =A1A90s A1AAM = AA^cos A1AAH =2 —=20.已知正方体ABCD -ABGD1的棱长为2, P, Q分别是BC, CD上的动点，且PQ = . 2 ,确定P, Q的位置，使QB1 _PD . 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP =t ,得CQ = 2 -(2 -t)2, DQ =2 - 2 -(2 -t)2.那么B(2,0, 2) D1(0,2,2, P(2 , , 0) Q(2 - 2-(2-t)2,2,0),从而QB =( 2 -(2 -t)2, -2 ,2) , PD1 =(22 -t,2),T —+由QB _ PD = QB^PD t =0 ,即-2 2 -(2 -t)2 -2(2 -t) 4 =0二t =1 .故P, Q分别为BC, CD的中点时，QB i _PD i .21.如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，.ABC=90°,SA_面ABCD ,1SA二AB二BC =1, AD ，求面SCD与面SBA所成二面角的正切2值.解：建立如图所示的空间直角坐标系，(1\则A(0,0,0, B(—1,0,0, C(—1,1,0) D .0, 2 0 , S(0,0,1).延长CD交x轴于点F ,易得F(1,0, 0),作AE _SF于点E ,连结DE ,则ZDEA即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角.又由于SA二AF且SA_AF，得E -€5那么从而乩一1,°,」，ED…丄,1,V 2 2 丿V 2 2cos EA, EDEA-ED因此tan EAF , ED 二彳.故面SCD与面SBA所成二面角的正切值为22.平行六面体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且.GCB =. GCD = BCD ,试问:CD的值为多少时，AQ _面GBD ?请予以证明.当CG解：欲使AQ _面GBD ,只须AC _GD ,且AC _GB .欲证AC丄GD ,只须证CA・CD =0 ,t —t T 即(CA AA)・(CD -CG) =0 ,也就是(CD CB CC)(CD _CCJ =0,|C^2 -|C CJ2+|CB|C D|COS^BCD由于• GCB =/BCD , 显然，当CD |CC1时，上式成立；cos _GCB = 0 .同理可得，当时，AC —GB .CD因此，当时, AC _面G BD ..选择题：(10小题共40分)定共面的是2.直三棱柱 ABC — A B i G 中，若 CA = a, CB = b, CC r = C,则 A )B =3.若向量m 垂直向量a 和b ，向量n = ■ a h ：b(',」：=只且■、，北0)则A. m 〃 nB. m _ nC. mi 不平行于n,m 也不垂直于nD.以上三种情况都可台匕 冃匕4.以下四个命题中，正确的是C. (a b)c5.对空间任意两个向量 a,b(b o),a//b 的充要条件是6.已知向量a =(0,2,1),b =(-1,1,-2),则a 与b 的夹角为A B i = a, A i D i = b, A A = c ,则下列向量中与B 1M 相等的是1.已知A B C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点 M 与点A. OM = OA 亠 OB 亠 OCB . OM = 2OA _ OB _ OCC . OM =OA !OB !OC2 3D.OM =1OA 」0B -OC3 3 3A. a b —cB. a — b eC. 一 a b cD. - a b - cA.若00=丄0入+丄0目 则P 、 2 3 'A 、E 三点共线 B.设向量｛a,b,c ｝是空间一个基底,c + a ｝构成空间的另一个基底D. △ ABC 是直角三角形的充要条件是 AB AC =0A. a 二 bB. a - -bC. b - ■ aA.0 °B.45C.90o.D.180 °7.在平行六面体 ABCD - A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与 BD 的A. -lalb lc B. la 」b 」c C. 2 2 2 28.已知 a =(• 1,0,2 Jb =(6,2」 -1,2),若a 〃b,则•与•啲值分别为9.已知a =3i 2j - k,b = i - j 2k,则5a 与3b 勺数量积等于10.在棱长为1的正方体ABC —A i B i CD 中，M 和N 分别为AB 和BB 的中点，那么直线CN所成角的余弦值是二.填空题：(4 小题共16分)11.若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9) 12.已知 A(0, 2, 3), B(-2 , 1, 6), C( 1, -1 , 5),若|a |二.3,且a _ AB,a _ AC,则向量 a的坐标为13.已知a,b 是空间二向量，若心|=3,闪|=2扁4卜.7,则a 与b 的夹角为 14.已知点 G 是厶ABC 的重心，O 是空间任一点，若 OA • OB • OC 」OG,贝，的值三.解答题：(10+8+12+14=44 分)15. 如图：ABCD 为矩形，PAL 平面 ABCD PA=AD M N 分别是PC AB 中点,16. 一条线段夹在一个直二面角的两个面内， 它和两个面所成的角都是300,求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小B.5, 2D.-5 , -2-b c 2A.-15B.-5C.-3D.-1AM 与2 B.-5C.35 D 」10三点共线，则 m+n= (1)求证：MN L 平面PCD (2)求NM 与平面 ABCD 所成的角的大小•17. 正四棱锥S—ABCD中，所有棱长都是2, P为SA的中点，如图(1) 求二面角B—SC- D的大小；(2)求DP与SC所成的角的大小18. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ ABC中，CA=CB=1 / BCA=90，棱AA=2, M N分别是A1B1, AA的中点；(1)求BN的长;⑵求cos ：：： BA1,CB1的值;⑶求证：AB _CM•(4)求CB与平面AABB所成的角的余弦值高中数学选修2-1测试题（10）—空间向量⑴参考答案DDBB DCDA AB 11.0 12.(1 ,1 , 1) 13.60 0 14.315.(1) 略⑵45 016.45 0 17.(1) 1 3⑵18.(1) 3 (2) ■ 30(3) 略(4) 3 1010 1018.如图，建立空间直角坐标系O—xyz. (1 )依题意得B ( 0, 1, 0)、N( 1, 0, 1) •••I BN |= .(1 一0)2(0 一1)2 (1 - 0)2「3.(2) 依题意得A1 (1, 0, 2)、B ( 0, 1 , 0)、C (0, 0, 0)、B…BA ={ —1, —1, 2}, CB1 ={0, 1, 2, }, BA| • CB1 =3,BA. CB 11CB 1 |= J5 ••• cos< BA 1 , CB 1 >=(3)证明：依题意，得 G (0, 0, 2)、M( 1,1,2), A 1B ={ - 1 , 1 , 2} , CM,2 2 1 2 2评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识 .考查空间两向量垂直的充要条件——-1 . 30. |BAJ|CB i |102‘20}. • A , B • C 1M =-1 12+ 2+0=0，AB 丄 C 1M ,• AB 丄CM.。