微分几何 3.6一般螺线

青书学堂系统平顶山学院-数学与应用数学-微分几何专升本所有答案曲面上的点由它的迪潘指标线可分为本题30分A.椭圆点B.双曲点C.抛物点D.平点答案是：答案: ABCD下列说法正确的是本题30分A.球面、平面上的每条直线都是曲率线B.极小曲面的平均曲率恒为零C.挠曲率恒为零的曲线为挠曲线D.平面曲线的挠曲率恒不为零答案是：答案: ABA.方向d和δ为曲面上mj=0B.Rmij=RjimC.Rmij=1D.Rmij=Rmji答案是：答案: A曲面的曲纹坐标网是共轭网的充要条件是本题20分A.L=0B.M=0C.N=0D.L=M=N=0答案是：答案: B曲面上的直线必是曲面的本题20分A.渐近线B.切线C.法线答案是：答案: A一般螺线满足本题20分A.曲率与挠率之比为常数B.曲率与挠率之积为常数C.曲率为常数D.挠率为常数答案是：答案: A对于曲面的正交坐标网来说本题20分A.F11^2=Eu/2EvB.F21^2=Gu/2GC.F22^1=-Eu/2EvD.F12^2=Gv/2G答案是：答案:B去面的黎曼曲率张量满足本题20分A.Rmijj=0B.Rmij=-RmijC.Rmmj=RmjjD.Rmij=-Rjmi答案是：答案: A曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是本题20分A.E=L=0B.F=M=0C.E=N=0D.L=M=N=0答案是：答案: B曲面上的直线必是曲面的本题20分A.测地线B.切线D.副法线答案是：答案: A悬链面与正螺面之间可建立本题20分A.保角变换B.等距变换C.保形变换D.以上说法都不对答案是：答案: B坐标曲线网是正交网的充要条件F=0,这里是第一基本量本题20分A.正确B.错误答案是：答案: A连接曲面上两点的所有曲线段中,测地线一定是最短的本题20分A.正确B.错误答案是：答案: B极小曲面的高斯曲率K小于等于0本题20分A.正确B.错误答案是：答案: A空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定本题20分A.正确B.错误答案是：答案: A等距变换一定是保角变换本题20分A.正确B.错误答案是：答案: BA.F21^1=Eu/2EB.F12^1=Ev/2EC.F21^1=-G/2ED.F12^2=Gv/2G答案是：答案:B去面的黎曼曲率张量满足本题20分A.Rij=-Rij-B.Rmij=RimjC.Rmmj=1D.Rmij=-Rjmi答案是：答案: A空间曲线必穿过本题20分A.法面B.密切面C.从切面D.无法判断答案是：答案: A球面上的大圆必是球面的本题20分A.测地线B.切线C.法线D.副法线答案是：答案:A球面去掉一点后可与平面之间可建立本题20分A.等距变换B.保角变换C.保形变换D.以上说法都不对旋转面r={8chtcosθ,8shtsinθ,t}在t=1,θ=3处的两条坐标曲线A.平行B.正交C.重合D.异面答案是：答案:B曲面的三个基本形之间的关系为A.Ⅲ-ⅡⅠ=0B.Ⅲ-ⅡⅡ=答案是：答案:A方程向量r={7cosθ，t}（这里φ∈[0,2π,θ∈-∞,∞））表示的是空间的本题20分A.圆柱面B.圆C.椭圆D.椭球面答案是：答案: A一般螺线满足本题20分A.副法向量与某个固定方向成固定角B.主法向量与某个固定方向平行C.曲率为常数D.挠率为常数答案是：答案: A任一点处都满足rt≠0的曲线称为本题20分A.直线B.正则曲线C.双曲线D.椭圆某曲线在它上面一点处的伏雷内标架在β{0,1,0}，λ={0，0,1}，那么α=本题20分A.{1,1,0}B.{0,1,0}C.{0,1,1}D.{1,0,0}答案是：答案: D空调线rt={2sint,2cost,t}在t=π/3在处的切向量为A.{-1,1,3}}B.{1,-√3,1}C.{-√3，1,3}D.{-√3，0,3}答案是：答案:B平面上的点都是本题20分A.平点B.圆点C.逗留点D.非正常点答案是：答案: A向量函数rt={t,yt,t},limrt={1,3,2}则limt=（）A.2B.0C.1D.3答案是：答案: A已知λ∈R，|rt|=3,则|λrt|A.1B.2D.3|λ|答案是：答案:D。

圆柱螺线的微分几何性质研究李建祥;宋琨【摘要】据微分几何的基本理论,对圆柱螺线进行深入的研究,通过计算,得出圆柱螺线的一系列微分几何性质,推广了相关文献中部分已有结论.【期刊名称】《保山学院学报》【年(卷),期】2018(037)005【总页数】3页(P35-37)【关键词】微分几何;圆柱螺线;性质【作者】李建祥;宋琨【作者单位】保山学院数学学院,云南保山678000;保山学院数学学院,云南保山678000【正文语种】中文【中图分类】O13圆柱螺线是三维欧氏空间典型的简单曲线，圆柱螺线的正面投影是正弦曲线，水平投影是圆。

圆柱螺线弯曲均匀，形状优美，在生活中存在广泛，如豆荚藤、葡萄藤沿架子攀升的路径、生物DNA分子的形状等都是圆柱螺线。

从微分几何理论研究的角度，圆柱螺线有很好的微分几何性质，值得深入研究。

郑雪芳[1]、陆亚哲[2]都对圆柱螺线进行研究，得到了许多很好的性质。

1 圆柱螺线的相关概念及其参数方程一般地，空间中一动点一方面绕定直线作等速圆周运动，另一方面沿定直线做等速直线运动，则动点形成的轨迹叫做圆柱螺线。

为了建立圆柱螺线的方程，我们设空间中的动点为P，P在圆柱面x2+y2=a2上以角速度ω绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升（其中ω、v都是常数），则点P的路径形成的图形即为圆柱螺线（图1）。

在一张长方形的纸上画一条斜的直线，把这张纸卷成圆柱面，则此直线成为圆柱螺线。

图1 圆柱螺线以下为圆柱螺线（图1）的参数方程，设动点P从圆柱与x轴的交点开始经过时间t˜后运动到任意位置P，过点P做xOy坐标面的垂线，垂足为Q，可得点Q的坐标为于是点P的坐标为即圆柱螺线的参数方程为为书写方便，我们记于是圆柱螺线的参数方程即为（a,b为常数，t为参数）文章中以下的讨论都基于该方程进行。

2 圆柱螺线的微分几何性质通过计算圆柱螺线的切向量、弧长、密切平面、主法向量、副法向量、曲率、挠率等微分几何量，研究其性质。

一般螺线的几何意义
一般螺线是一种特殊的曲线，它在数学和物理学中有着重要的应用。

在几何学中，螺线是一种旋转曲线，其特点是沿着中心轴线旋转并且沿着该轴线向前推进。

它的形状呈现出一种螺旋状的线条，因此得名为螺线。

螺线在生物学中也有着广泛的应用，例如DNA分子的结构就呈现出螺线的形状。

在物理学中，螺线也有着重要的意义，例如在电磁学中，螺线是磁场中的一种重要曲线，它描述了在磁场中的电荷运动的轨迹。

在工程学中，螺线也有着广泛的应用，例如在机械设计中，螺线的形状可以用来设计螺旋桨和螺纹等部件。

螺线的几何意义主要体现在其形状和运动规律上。

螺线的形状是一种旋转曲线，具有很好的连续性和光滑性。

其运动规律是沿着中心轴线旋转并且沿着该轴线向前推进，这种运动规律使得螺线在空间中呈现出一种美妙的螺旋形状，具有很高的几何美感。

此外，螺线还具有很强的自相似性和自组织性，在不同的尺度下都能呈现出相似的形状和结构。

这种自相似性和自组织性使得螺线在自然界和人工领域中都具有广泛的应用前景。

总之，一般螺线具有很高的几何意义，在数学、物理、生物和工程领域都有着重要的应用价值。

深入研究螺线的几何特性和运动规律，有助于我们更好地理解自然界的奥秘，并且为人类社会的发展和进步提供更多的启示和帮助。

常见螺旋线的曲率和挠率作者：唐楠许峰来源：《科技视界》2017年第05期【摘要】螺旋结构的广泛使用使得对于螺旋线几何特征的精确描述具有重要的理论意义。

常见的螺旋线主要由圆柱螺旋线、圆锥螺旋线等。

为了更好地描述螺旋的几何特征，本文利用Frenet标架，建立了以弧长为参数的螺旋线方程，精确地对几类常见螺旋线的曲率、挠率进行了描述。

【关键词】螺旋；曲率；挠率；Frenet标架0 引言螺旋结构[1]不仅是机械设备中常用的构件，而且在农业生物工程上也有着广泛的应用。

如粮仓使用的螺旋式输送器，生产配合饲料所用的螺旋式配料器.加工膨化食品的螺旋式膨化机以及螺旋式桑苗制钵机等，为了更好的利用螺旋结构，首先需要了解螺旋线的几何特征。

螺旋线[2]是一种常见的空间曲线。

若沿着螺旋中心线方向截面保持不变，则可将螺旋线扩展为螺旋结构。

弹簧是最为常见的螺旋结构。

传统弹簧采用恒定直径的圆截面，且截面与旋转轴并不共面。

当截面半径尺寸远小于螺旋半径时，得到的一阶螺旋杆近似可以看成圆杆。

1 螺旋线的几何建模螺旋运动是由直线运动和圆周运动合成的，下面介绍最常用的圆柱螺旋线。

如图1所示，当空间一动点P从P0（a，0，0）处出发，在圆柱面x2+y2=a2上以等角速度？棕绕Z轴旋转。

同时又以等线速度v沿平行于Z轴正向上升，点P的轨迹即为螺旋线。

由螺旋线的形成过程可知，其参数方程为x=acos？棕t，y=asin？棕t，z=vt若记？兹=？棕t，则螺旋线参数方程可化为x=acos？兹，y=asin？兹，z=vt。

式中，参数表达式均为二阶连续可微函数。

螺旋中心上任一点的位移矢量可表示为：R（s）=x（s）i+y（s）j+z（s）k，s为沿着螺旋中心线的弧长，则螺旋线可表示为：x（s）=Rcoss，y（s）=Rsins，z=±式中，L为螺距，l为螺旋杆一个螺距内对应的弧长，R为螺旋半径，正负号的选择与捻制方式有关，规定右螺旋线为正。

其中螺旋线的螺旋角？茁=arctan曲率和挠率分别为：为了使数学模型能比较准确地反映其几何特征，必须选择相应的任意坐标系。

第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。

微分几何课程教案【篇一：微分几何教学大纲】陕西广播电视大学开放教育本科数学与应用数学专业《微分几何》课程教学大纲一、本课程目的与任务微分几何课程是陕西广播电视大学数学与应用数学专业的一门专业基础课，其内容应为三维欧氏空间中的曲线，曲面的局部理论，其方法应以向量分析作为主要工具，同时也应注意到外微分形式及活动标架法的介绍、讨论和使用。

该课程的重点是曲面论，讲授时应自始至终把曲线、曲面上的附属标架场放在中心的地位，这样做在实践和理论上都有重要的意义。

本课程的开设应使学生掌握古典微分几何的基本思想,方法和内容，并能将其运用于其它学科及工程实际中去，同时，通过本课程的学习亦应为对微分几何有兴趣的学生，进一步学习近代微分几何打下一个坚实的基础和一个良好的开端。

建议本课程在三年级开设，周学时宜为4，共72学时（含习题课时间）。

二、课程内容与学时分配建议（不含习题课时间）（一）三维欧氏空间的曲线论（12学时）1. 空间曲线的表示式；2.向量函数；3.空间曲线的弧长、曲率、挠率；4.frenet标架, frenet公式；5.曲线在一点邻近的结构；6.空间曲线论的基本定理；7.特殊曲线。

（二）三维欧氏空间中的曲面论（36学时）1. 曲面的概念；1.1曲面的定义1.2切向量切平面1.3法向量1.4曲面的参数变换1.5例2.曲面的第一基本形式：2.1曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长2.2曲面上两方向的交角2.3正交曲线族和正交轨线2.4曲面域的面积2.5等距对应、共形对应3.曲面的第二基本形式3.1第二基本形式3.2法曲率3.3杜班(dupin)标形3.4渐近方向共轭方向3.5主方向和主曲率的计算、曲率线3.6 gauss曲率和平均曲率3.7曲面在一点邻近的结构3.8某些特殊的曲面4.直纹面和可展曲面4.1直纹面4.2曲面族的包络4.3可展曲面4.4直纹面为可展曲面的充要条件,法线组成的可展曲面5.曲面论基本定理5.1曲面上的活动标架，曲面的基本公式5.2曲面的基本方程5.3曲面的基本定理6.曲面上的测地线6.1测地曲率向量,测地曲率6.2 liouville 公式6.3测地线6.4测地坐标系6.5 gauss-bounet公式6.6曲面上向量的平行移动6.7常高斯(gauss)曲率的曲面*（三）外微分法和活动标架简介（6学时）1.外微分形式2.活动标架法3.用活动标架法研究曲线、曲面．*（四）整体微分几何简介1.平面曲线的整体性质2.空间曲线的整体性质3.曲面的整体性质注：（三）、（四）建议只讲一个，若时间不允许可以不讲。

《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。

1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。

古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间--流--形。

微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。

本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。

2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。

3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（B公式。

重点让学生把握理解本教材的前二章。

二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。

通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。

教学内容：第一节向量函数1.1向量函数的极限1.2向量函数的连续性1.3向量函数的微商向量函数的泰勒（）公式1.5向量函数的积分第二节曲线的概念2.1曲线的概念2.2光滑曲线、曲线的正常点2.3曲线的切线和法面2.4曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1空间曲线的密切平面3.2空间曲线的基本三棱形空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式3.4空间曲线在一点邻近的结构3.5空间曲线论的基本定理3.一6般螺线考核要求：i理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（L公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。

微分几何测试题集锦(含答案)《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈向量r(t)??t,3t,a?具有固定方向，则a=___t__。

??? ⒉非零向量r(t)满足?r,r,r??0的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊设曲线在P点的切向量为?，主法向量为?，则过P由?,?确定的平面是曲线在P点的___密切平面__________。

⒋曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点的法平面方程是__________________________。

⒌曲线r?r(t)在t = 1点处有??2?，则曲线在t = 1对应的点处其挠率?(1)。

⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _ ⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

)y点(x0,y0,z0的⒐曲面z?(z,x在)法线方程是_____________________。

1二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A、直线B、平面曲线C、球面曲线D、圆柱螺线12、曲线r?r(t)在P(t)点的曲率为k , 挠率为?，则下列式子___A___不正确。

A、k?13r??r??r?2 B、k?对于曲r??r??r?3 C、k?r D、??的第一基本?r?r??r???? 2?r??r???形式、面I?Edu2?2Fdudv?Gdv2,EG?F2__D___。

A、?0B、?0C、?0D、?0三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线r??cost,sint,t?，试求??0,1, ⑴在点???的切线和法平面。

?2? ⑵曲率和挠率。

22、对于圆柱面?:r???cos?,?sin?,u?，试求⑴?的第一、第二基本形式；2⑵?在任意点处沿任意方向的法曲率；⑶?在任意点的高斯曲率和平均曲率；⑷试证?的坐标曲线是曲率线。