第四版 微分几何 第二章课后习题答案

第一章曲统论§2向虽函敎缶向试曲数只/)具冇固定方向的充雯条件衆产⑺X ?'(/)= 0・分析：一个向量函数只刀•般可以写成尺/)二久⑺2(/)的尬式’其中乳0为单位向量函数‘ 粗刀为数量函数.那么尺”具有因宦方向的充要条件是只"具有固宦方向*即罠/)为常向量, (例为秋/)的长度固定人证对F向虽函数？(/),设机/)为梵单位向負则尺f)二几⑺&⑺，若疋具有園定方向1 如巩“对常向殳’那么?(/) = A r(/) e ,所以rX7 = ^ ｝：<^X ) =o・反 Z,若?x?=0 ★对 ^(/) = A(/) e(/)求 A 1i+A 0・rft?XF=A1〔3><了)”6・则有Z 7 或e\e'=Q时* ?(^) = 0可与任意方向平杜hZ * 0 时，有&x 0—6.血(Ex 0 ~(e e* )2-e,2t (因为$ 貝冇固运匕t所以?=O.即P为常向第。

所以，r(/)A有固运方向.6.向绘歯数半行于固立屮面的充摆杀件是(F尹产)司卩分析:向呈诵数？W平If于固定平面的充要余件是存在•牛定向向蚩50*使？(心 = 0 ,所以我们蹩耳求这个向旅亓及万与尹.严的尢系"证若尺刀半苻于個址羊面—设乔足¥面斗的•个单位迖向嵐则习为常向議H?(/) 7t-0 -两次求微商色尸7 =0・?y 7i=0 ,即问最孑，戸‘唾直于同•非零向輦无因而典而*即(F戶尹')刃.反之，若(? r1 F M) =0i则有r x ?=6戒产x戸工6 .若产x? = 0i由匕题柯产(/) 具冇■的崔方向、白然半fr于一固宦半面，若rx? H 0(则存圧数母焰数入(“、H&n使戸'= 乔*尹①令聞*厂桁丰6,且;V)丄讯/)* 4^7 X?求微商井将①式代入得用=Fx P*—/I t r X r1)—p f是x ^' —6 .市上题划另4fhM眾方向，而F(f)丄苑即巩f) 平存于固進半而S3曲线的概念1-求圆柱螺^T=cosr- ,F=sinr, f *在(1Q 0)的切线和注平面。

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

§1曲面的概念1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线.解u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {, ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2 }表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线;v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。

3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。

解=，=任意点的切平面方程为即 xcos cos + ycos sin + zsin - a = 0 ；法线方程为。

4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。

解椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t ,, 。

所以切平面方程为：，即x bcos + y asin－ a b = 0此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。

5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。

证，。

切平面方程为：。

与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。

于是，四面体的体积为：是常数。

§２曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式.解,∴ I = 2。

２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。

解，，，，∴ I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。

３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。

解由条件,沿曲线u = v有du=dv ，将其代入得=，ds = coshvdv , 在曲线u = v上，从到的弧长为。

【最新整理，下载后即可编辑】§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=-。

第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。

(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。

则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。

用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n ij j j i A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 nj i j i j i A A ≠=1,；1.4 证明下列各式：(1)A B B A ⋃=⋃;(2)A B B A ⋂=⋂(3)=⋃⋃C B A )()(C B A ⋃⋃;(4)=⋂⋂C B A )()(C B A ⋂⋂(5)=⋂⋃C B A )(⋃⋂)(C A )(C B ⋂ (6) ni i n i i A A 11===证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。

微分几何第四版答案第一部分曲线与曲面的局部微分几何第一章欧氏空间1.1 向量空间1.2 欧氏空间第二章曲线的局部理论2.1 曲线的概念2.2 平面曲线2.3 E的曲线2.4 曲线论基本定理第三章曲面的局部理论3.1 曲面的概念3.2 曲面的第一基本形式3.3 曲面的第二基本形式3.4 法曲率与weingarten变换3.5 主曲率与Gauss曲率3.6 曲面的一些例子第四章标架与曲面论基本定理4.1 活动标架4.2 自然标架的运动方程4.3 曲面的结构方程4.4 曲面的存在惟一性定理4.5 正交活动标架4.6 曲面的结构方程（外微分法）第五章曲面的内蕴几何学5.1 曲面的等距变换5.2 曲面的协变微分5.3 测地曲率与测地线5.4 测地坐标系5.5 Gauss-Bonnet公式5.6 曲面的Laplace算子5.7 Riemann度量第二部分整体微分几何选讲第六章平面曲线的整体性质6.1 平面的闭曲线6.2 平面的凸曲线第七章曲面的若干整体性质7.1 曲面的整体描述7.2 整体的Gauss-Bonnet公式7.3 紧致曲面的Gauss映射7.4 凸曲面7.5 曲面的完备性第八章常Gauss曲率曲面8.1 常正Gauss曲率曲面8.2 常负Gauss曲率曲面与sine-Gordon方程8.3 Hilbert定理8.4 Backlund变换第九章常平均曲率曲面9.1 Hopf微分与Hopf定理9.2 Alexsandrov惟一性定理9.3 附录：常平均曲率环面第十章极小曲面10.1 极小图10.2 极小曲面的weierstrass表示10.3 极小曲面的Gauss映射10.4 面积的变分与稳定极小曲面索引。

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证明 螺面的第一基本形式为
I=2
du
2 +2 dudv+(
2
u
+1)
dv
2
,
旋转曲面的第一
2
基本形式为 I= (1
t
2
) dt 2 t 2 d , 在旋转曲面上作一参数变换
t1
t=
2
u
1 , 则其第一基本形式为 :
=arctgu + v ,
2
2
u (1
1u )
du 2
2
2
u u1
(u 2
1)(
1 2 du
| r x || r y |
2
a x0 y0
22
22
1 a x0 1 a y0
6. 求 u- 曲线和 v- 曲线的正交轨线的微分方程 . 解 对于 u- 曲线 dv = 0, 设其正交轨线的方向为 δu: δv , 则有 Eduδ u + F(du δv + dv δu)+ G d v δ v = 0, 将 dv =0 代入并消去 du 得 u- 曲线的 正交轨线的微分方程为 Eδ u + F δv = 0 . 同理可得 v- 曲线的正交轨线的微分方程为 Fδ u + G δv = 0 .
r
2 u
1， F
ru rv
0，
G
2
rv
2
u
b 2 ，∴
I=
2
du
2
(u
b 2 ) dv 2 ，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为 I = du 2 sinh 2 udv 2 的曲面上，求方程为 u=v 的曲线的 弧长。

微分几何课后习题答案第四版梅向明黄敬之编[1]§1曲面的概念1.求正螺面«Skip Record If...»={ u«Skip Record If...»,u «Skip Record If...», bv }的坐标曲线.解u-曲线为«Skip Record If...»={u«Skip Record If...»,u «Skip Record If...»,bv«Skip Record If...» }=｛0,0，bv«Skip Record If...»｝＋u {«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,0}，为曲线的直母线；v-曲线为«Skip Record If...»={«Skip Record If...»«Skip Record If...»,«Skip Record If...»«Skip Record If...»,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面«Skip Record If...»＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为«Skip Record If...»={ a（u+«Skip Record If...»）, b（u-«Skip Record If...»）,2u«Skip Record If...»}={ a«Skip Record If...», b«Skip Record If...»,0}+ u{a,b,2«Skip Record If...»}表示过点{ a«Skip Record If...», b«Skip Record If...»,0}以{a,b,2«Skip Record If...»}为方向向量的直线;v-曲线为«Skip Record If...»=｛a（«Skip Record If...»+v）, b（«Skip Record If...»-v）,2«Skip Record If...»v｝=｛a«Skip Record If...», b«Skip Record If...»,0｝+v{a,-b,2«Skip Record If...»}表示过点(a«Skip Record If...», b«Skip Record If...»,0)以{a,-b,2«Skip Record If...»}为方向向量的直线。

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

.
（2）因为，而且，
所以，由夹逼定理得
4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.
(1) xn=，n=1,2,…；
(2) x1=,xn+1＝,n=1,2,….
证：（1）略。
（2）因为，不妨设，则
故有对于任意正整数n，有，即数列有上界，
又，而,，
所以即，
即数列是单调递增数列。
综上所述，数列是单调递增有上界的数列，故其极限存在。
由数列极限的定义得.
2. 试利用不等式说明：若xn=a,则∣xn∣=|a|.考察数列xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立.
证：
而
于是，
即
由数列极限的定义得
考察数列 ，知不存在，而，，
所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：
(1) =0；(2) =0.
证：（1）因为
而且 ，，
所以由夹逼定理，得
即a=1.
6※.设f(x)= ，讨论f(x)的连续性.
解:
所以, f(x)在上连续,x=0为跳跃间断点.
7. 求下列极限：
(1) ；(2) ；
(3) ln(x-1);(4) arcsin；
(5) (lnx)x.
解:
习题2-8
1. 证明方程x5-x4-x2-3x=1至少有一个介于1和2之间的根.
证: 令,则在[1,2]上连续,
习题2-2
1※. 证明：f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.
证：先证充分性：即证若，则.
由及知：
,当时，有，
当时，有。
取，则当或时，有，
而或就是，
于是，当时，有，
所以.

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

微积分第四版习题答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化和极限。

对于学习微积分的学生来说，习题是巩固知识和提高能力的重要途径。

然而，对于微积分第四版习题的答案，很多学生可能会感到困惑。

在本文中，我将为大家提供微积分第四版习题的答案，希望能够帮助到大家。

第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 习题答案1. a) 函数的定义域是实数集，值域是实数集。

b) 函数的奇偶性与定义域无关，只与函数的表达式有关。

c) 函数的周期性与定义域无关，只与函数的表达式有关。

1.1.2 习题答案1. a) 函数的图像是一条抛物线，开口向上。

b) 函数的图像关于x轴对称，是一个偶函数。

c) 函数的图像关于y轴对称，是一个奇函数。

1.2 一元函数的极限1.2.1 习题答案1. a) 当x趋于无穷大时，函数的极限为无穷大。

b) 当x趋于无穷小时，函数的极限为0。

c) 当x趋于无穷小时，函数的极限不存在。

1.2.2 习题答案1. a) 函数的极限存在，且等于2。

b) 函数的极限不存在。

c) 函数的极限存在，且等于0。

第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 习题答案1. a) 函数在x=1处的导数为2。

b) 函数在x=0处的导数不存在。

c) 函数在x=2处的导数为1。

2.1.2 习题答案1. a) 函数在x=1处的导数为-1。

b) 函数在x=0处的导数不存在。

c) 函数在x=2处的导数为2。

2.2 函数的求导法则2.2.1 习题答案1. a) 函数的导数为f'(x) = 3x^2 - 2x + 1。

b) 函数的导数为f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x。

c) 函数的导数为f'(x) = 2x^2 + 4x - 2。

2.2.2 习题答案1. a) 函数的导数为f'(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1。

b) 函数的导数为f'(x) = 3x^2 + 4x - 1。

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r=｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r=}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

4．求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。

§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0,bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0},为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛au+v, bu-v,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线; 证 u-曲线为r ={ au+0v , bu-0v ,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a 0u +v, b 0u -v,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点a 0u , b 0u ,0以{a,-b,20u }为方向向量的直线;3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程;解 ϑr=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ,ϕr =}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- ;4．求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程,并证明沿每一条直母线,此曲面只有一个切平面 ;解 椭圆柱面22221x y a b+=的参数方程为x = cos ϑ, y = asin ϑ, z = t ,}0,cos ,sin {ϑϑθb a r -= , }1,0,0{=t r;所以切平面方程为：010cos sin sin cos =----ϑϑϑϑb a tz b y a x ,即x bcos ϑ + y asin ϑ － a b = 0 此方程与t 无关,对于ϑ的每一确定的值,确定唯一一个切平面,而ϑ的每一数值对应一条直母线,说明沿每一条直母线,此曲面只有一个切平面 ;5．证明曲面},,{3uva v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数;证 },0,1{23vu a r u -= ,},1,0{23uv a r v -= ;切平面方程为：33=++z a uvv y u x ;与三坐标轴的交点分别为3u,0,0,0,3v,0,0,0,uv a 23;于是,四面体的体积为：3329||3||3||361a uv a v u V ==是常数;§２ 曲面的第一基本形式1. 求双曲抛物面r ＝｛au+v, bu-v,2uv ｝的第一基本形式.解 ,4},2,,{},2,,{2222v b a r E u b a r v b a r u v u ++==-==2222224,4u b a r G uv b a r r F v v u ++==+-=⋅=,∴ I = +++2222)4(du v b a 2222222)4()4(dv u b a dudv uv b a ++++-; ２．求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的第一基本形式,并证明坐标曲线互相垂直;解},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==,12==u r E,=⋅=v u r r F ,222b u r G v +==,∴ I =2222)(dv b u du ++,∵Ｆ＝０,∴坐标曲线互相垂直;３．在第一基本形式为I =222sinh udv du +的曲面上,求方程为u = v 的曲线的弧长;解 由条件=2ds 222sinh udv du +,沿曲线u = v 有du=dv ,将其代入2ds 得=2ds 222sinh udv du +=22cosh vdv ,ds = coshvdv , 在曲线u = v 上,从1v 到2v 的弧长为|sinh sinh ||cosh |1221v v vdv v v -=⎰;4．设曲面的第一基本形式为I = 2222)(dv a u du ++,求它上面两条曲线u + v = 0 ,u –v = 0的交角;分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量,即等距不变量,而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式,不需知道曲线的方程;解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1=E ,0=v F ,22a u G +=,曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为1=E ,0=v F ,2a G =;曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为ϕ,则有cos ϕ=22222211a a vG u E Gdv Edu u Gdv u Edu +-=+++δδδδ ; 5．求曲面z = axy 上坐标曲线x = x 0 ,y =0y 的交角.解 曲面的向量表示为r ={x,y,axy}, 坐标曲线x = x 0的向量表示为r ={ x 0,y,ax 0y } ,其切向量y r={0,1,ax 0}；坐标曲线y =0y 的向量表示为r ={x ,0y ,ax 0y },其切向量x r={1,0,a 0y },设两曲线x = x 0与y =0y 的夹角为ϕ,则有cos ϕ= 20220200211||||y a x a y x a r r r r y x y x ++=⋅6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有Edu δu + Fdu δv + dv δu+ G d v δv = 0,将dv =0代入并消去du 得u-曲线的正交轨线的微分方程为E δu + F δv = 0 .同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为F δu + G δv = 0 .7. 在曲面上一点,含du ,dv 的二次方程P 2du + 2Q dudv + R 2dv ＝０,确定两个切方向du ：dv 和δu ：δv,证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.证明 因为du,dv 不同时为零,假定dv ≠0,则所给二次方程可写成为P 2)(dvdu + 2Qdv du + R=0 ,设其二根dv du ,v u δδ, 则dv du v u δδ=P R ,dv du +v uδδ=PQ 2-……①又根据二方向垂直的条件知E dv du v u δδ + F dv du +vuδδ+ G = 0 ……②将①代入②则得 ER - 2FQ + GP = 0 .8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2du =G 2dv .证 用分别用δ、*δ、d 表示沿u －曲线,v －曲线及其二等分角线的微分符号,即沿u －曲线δu ≠０,δv ＝０,沿v －曲线*δu ＝０,*δv ≠０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得222222)()(ds v G v Gdv v Fdu ds u E u Fdv v Edu ***+=+δδδδδδ,即G Gdv Fdu E Fdv Edu 22)()(+=+;展开并化简得EEG-2F 2du =GEG-2F 2dv ,而EG-2F >0,消去EG-2F 得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2du =G 2dv .9．设曲面的第一基本形式为I =2222)(dv a u du ++,求曲面上三条曲线u = a ±v,v =1相交所成的三角形的面积;解 三曲线在平面上的图形如图所示;曲线围城的三角形的面积是S=⎰⎰⎰⎰+++--1220122au aaau dv du a u dv du a u=2⎰⎰+1022au a dv du a u =2du a u a ua⎰+-022)1(=aa u u a a u u a u a0222222322|)]ln()(32[++++++-=)]21ln(322[2++-a ; 10．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 的面积;解 ϑr=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ,ϕr =}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -E =2ϑr=2a ,F=ϑr ϕr = 0 , G = 2ϕr =ϑ22cos a .球面的面积为：S = 22222222024224|sin 2cos 2cos a a d ad a d πϑπϑϑπϕϑϑπππππππ===---⎰⎰⎰.11.证明螺面r ={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r ={tcos ϑ,tsin ϑ,12-t } t>1, 0<ϑ<2π之间可建立等距映射 ϑ=arctgu + v , t=12+u .分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射ϑ = arctgu + v , t=12+u ,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.证明 螺面的第一基本形式为I=22du +2 dudv+2u +12dv , 旋转曲面的第一基本形式为I=ϑd t dt t t 2222)11(+-+ ,在旋转曲面上作一参数变换ϑ =arctgu + v , t =12+u , 则其第一基本形式为:=2222222)1(211)11(dv u dudv du udu u u +++++++=22du +2 dudv+2u +12dv = I .所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 ϑ =arctgu + v , t =12+u .§3曲面的第二基本形式1. 计算悬链面r ={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.解 u r={sinhucosv,sinhusinv,1},v r ={-coshusinv,coshucosv,0}uu r ={coshucosv,coshusinv,0},uv r={-sinhusinv,sinhucosv,0},vv r ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E == cosh 2u,v u r r F⋅==0,2v r G ==cosh 2u.所以I = cosh 2u 2du + cosh 2u 2dv .n =2F EG r r v u -⨯ =}sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 12v u v u v u u--, L=11sinh cosh 2-=+-u , M=0, N=1sinh cosh 2+u =1 .所以II = -2du +2dv ;2. 计算抛物面在原点的22212132452x x x x x ++=第一基本形式,第二基本形式.解 曲面的向量表示为}225,,{22212121x x x x x x r ++= ,}0,0,1{}25,0,1{)0,0(211=+=x x r x ,}0,1,0{}22,1,0{)0,0(212=+=x x r x ,}5,0,0{11=x x r, }2,0,0{21=x x r ,}2,0,0{22=x x r, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,I=2221dx dx +, II=222121245dx dx dx dx ++.3. 证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv},-∞<u,v<∞处处有EN-2FM+GL=0;解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==,uu r ={0,0,0},uv r ={-uucosv,cosv,0},vv r ={-ucosv,-usinv,0},12==u r E ,0=⋅=v u r r F,222b u r G v +==, L= 0, M =22bu b +- , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .4. 求出抛物面)(2122by ax z +=在0,0点沿方向dx:dy 的法曲率. 解 }0,0,1{},0,1{)0,0(==ax r x ,}0,1,0{},1,0{)0,0(==by r y ,},0,0{a r xx =,}0,0,0{=xy r },0,0{b r yy = ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy 的法曲率2222dydx bdy adx k n ++=. 5. 已知平面π到单位球面S 的中心距离为d0<d<1,求π与S 交线的曲率与法曲率.解 设平面π与S 的交线为C, 则C 的半径为21d -,即C 的曲率为211d k -=,又C 的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于±21d -,所以C的法曲率为n k k =±21d -=±1 .6. 利用法曲率公式IIIk n =,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例;证明 因为在球面上任一点处,沿任意方向的法截线为球面的大圆,其曲率为球面半径R 的倒数1/R;即在球面上,对于任何曲纹坐标u,v,沿任意方向du:dvR GdvFdudv Edu Ndv Mdudv Ldu I II k n 1222222=++++==或-R 1,所以)1(R G N F M E L ===,即第一、第二类基本量成比例;7．求证在正螺面上有一族渐近线是直线,另一族是螺旋线; 证明对于正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv},},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==,uu r ={0,0,0},vv r ={-ucosv,-usinv,0},L=2),,(FEG r r r uu v u - =0, N=2),,(FEG r r r vv v u - =0 .所以u 族曲线和v 族曲线都是渐近线;而u 族曲线是直线,v 族曲线是螺旋线;8. 求曲面2xy z =的渐近线.解 曲面的向量表示为},,{2xy y x r =,},,0,1{2y r x + }0,0,0{},2,1,0{==xx y r xy r ,22224241,2,41},2,0,0{},2,0,0{y x r G xy r r F y r E x r y r y y x x yy xy +===⋅=++===. 422422412,412,0yy x x N yy x y M L ++=++==.渐近线的微分方程为222Ndy Mdxdy Ldx ++,即,0242=+xdy ydxdy 一族为dy=0, 即1c y =,1c 为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即.,,ln 222为常数或c c y x c y x ==.9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证 在每一条曲线C 的主法线曲面上,沿C 的切平面是由C 的切向量与C 的主法向量所确定的平面,与曲线C 的密切平面重合,所以每一条曲线C 在它的主法线曲面上是渐近线.方法二：任取曲线:()r r s Γ=,它的主法线曲面为:(,)()()S s t r s t s ρρβ==+,()()()(1)s s t s t t t ραβακατγκατγ=+=+-+=-+,t ρβ=,(1)s t t t ρρκακγ⨯=-+-在曲线Γ上,t = 0 , s t ρργ⨯=,曲面的单位法向量s n EG ρργ⨯==-,即n γ=,所以曲线Γ在它的主法线曲面上是渐近线.10.证明在曲面z=fx+gy 上曲线族x=常数, y=常数构成共轭网.证 曲面的向量表示为 r ={x,y, fx+gy},x=常数,y=常数是两族坐标曲线;},0,1{'f r x = ,},1,0{'g r y.''''{0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ===因为0x xy r r M r EG ⨯=⋅=-,所以坐标曲线构成共轭网,即曲线族 x=常数, y=常数构成共轭网;11.确定螺旋面r ={u v cos ,u v sin ,bv}上的曲率线.解},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==,uu r ={0,0,0},vv r ={-ucosv,-usinv,0},uvr ={-sinv,cosv,0},12==u r E ,0=⋅=v u r r F ,222b u r G v +==, L=0, M=22bu b +- ,N=0,曲率线的微分方程为:0001222222=+-+-b u b b u du dudv dv ,即du bu dv 221+±=,积分得两族曲率线方程:222122)ln()ln(c u b u v c b u u v +-+=+++=和. 12.求双曲面z=axy 上的曲率线.解 ,1,0,1,,122222222222ya x a a M L x a G y x a F y a E ++==+==+=N=0 .由010112222222222222ya x a a x a y x a x a dx dxdy dy ++++-=0得222222)1()1(dy x a dx y a +=+,积分得两族曲率线为c y a ay x a ax +++±=++)1ln()1ln(2222.13.求曲面}2),(2),(2{uvv u b v u a r +-= 上的曲率线的方程.解 ,0,4,4,422222222=++=++-=++=L u b a G uv b a F v b a E M=22F EG ab-,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是:积分得,)()(22222222du v b a dv u b a ++=++:c v b a v u b a u ++++±=+++)ln()ln(222222 .14.给出曲面上一曲率线L,设 L 上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L 是一平面曲线.证法一：因 L 是曲率线,所以沿L 有r d n d nκ-=,又沿L 有γ n =常数,求微商得正交与而γγγ r d n d n n n ////,0=⋅+⋅,所以0=⋅n γ,即-τβ ·n =0,则有τ=0,或β·n=0 .若τ=0, 则L 是平面曲线；若β·n=0 ,L 又是曲面的渐近线,则沿L ,n κ=0 ,这时d n =0 ,n 为常向量,而当L 是渐近线时,γ =±n,所以γ 为常向量,L 是一平面曲线.证法二：若γ⊥n ,则因n ⊥dr ‖α ,所以n ‖β ,所以d n‖β,由伏雷内公式知d n ‖κατβ-+而L 是曲率线,所以沿L 有d n‖α,所以有τ=0,从而曲线为平面曲线；若γ 不垂直于n, 则有γ n =常数,求微商得0,n n γγ⋅+⋅=因为L 是曲率线,所以沿L 有dn ‖dr ⊥γ,所以0n γ⋅=,所以0=⋅n γ,即-τβ ·n =0 ,若τ=0,则问题得证；否则β ·n =0 ,则因0n α⋅=,有n ‖γ,dn ‖d γ‖-τβ ‖α ,矛盾;15．如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角,则它是平面曲线; 证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角,即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角,由上题结论知正确; 16．求正螺面的主曲率;解 设正螺面的向量表示为r ={u v cos ,u v sin ,bv}.解},cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==,uu r ={0,0,0},vv r ={-ucosv,-usinv,0},uv r ={-sinv,cosv,0},12==u r E ,0=⋅=v u r r F,222b u r G v +==, L= 0, M =22bu b +- , N = 0,代入主曲率公式EG-2F 2Nκ-LG-2FM+EN N κ+ LN-2M = 0 得2Nκ=2222)(a u a +; 所以主曲率为 222221,au aa u a +-=+=κκ ; 17．确定抛物面z=a 22y x +在0,0点的主曲率. 解曲面方程即{0,0,2}yy r a =,22{,,()}r x y a x y =+,{1,0,2}x r ax ={0,1,2}y r ay =,{0,0,2}xx r a =,{0,0,0},xy r ={0,0,2}yy r a = ;在0,0点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以2N κ-4a N κ+42a =0 ,两主曲率分别为 1κ = 2 a , 2κ= 2 a .18. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证 曲面上的给定点处两主曲率分别为1κ 、2κ,任给一方向ϑ及与其正交的方向ϑ+2π,则这两方向的法曲率分别为ϑκϑκϑκ2221sin cos )(+=n ,ϑκϑκπϑκπϑκπϑκ22212221cos sin )2(sin )2(cos )2(+=+++=+n ,即 +)(ϑκn 21)2(κκπϑκ+=+n 为常数;19.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数. 证 由ϑκϑκκ2221sin cos +=n 得 212κκϑ-=tg ,即渐进方向为211κκϑ-=arctg ,2ϑ=-21κκ-arctg .又-2ϑ+1ϑ=21ϑ 为常数,所以为1ϑ为常数,即21κκ为常数. 20. 求证 正螺面的平均曲率为零. 证 由第3题或第16题可知.21. 求双曲面z=axy 在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率. 证 在点x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=0)(222=-+-F EG NEFM LG ,K =22FEG M LN --=-2a . 22.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点. 证法一： 由H=221κκ+=0有1κ=2κ=0或1κ=-2κ≠0 .若1κ=2κ=0,则沿任意方向ϑ,ϑκϑκϑκ2221sin cos )(+=n =0 ,即对于任意的du:dv , 0222222=++++==Gdv Fdudv Edu Ndv Mdudv Ldu I II k n ,所以有L=M=N=0,对应的点为平点. 若1κ=-2κ≠0,则K=1κ2κ<0 ,即LN-M 2<0,对应的点为双曲点.证法二：取曲率网为坐标网,则F = M = 0 ,因为极小曲面有H = 0 , 所以LG + EN = 0 ,因E > 0 ,G > 0 ,所以LN < 0 ;若2LN M -=0,则L = M = N = 0 ,曲面上的点是平点,若2LN M -< 0,则曲面上的点是双曲点;23. 证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网.证法一： 如果曲面的平均曲率为零, 由上题曲面上的点都是双曲点或平点. 若为平点,则任意方向为渐近方向,任一曲线为渐近曲线,必存在正交的渐近曲线网.若为双曲点, 则曲面上存在渐近曲线网.由19题, 渐近方向ϑ满足212κκϑ-=tg =1, 即1ϑ=π/4,2ϑ=- π/4, 两渐近线的夹角为2π,即渐近曲线网构成正交网.证法二：020H LG FM NE =∴-+=渐近线方程为2220Ldu Mdudv Ndv ++= 所以2()20du duL M N dv dv++=,所以2,du u N du u M dv v L dv v L δδδδ=+=- ,所以()[()]du u du uEdu u F du v dv u Gdv v dv v E F G dv v dv vδδδδδδδδδ+++=+++=2[()]0N Mdv v EF G L Lδ+-+= ,所以渐近网为正交网; 证法三：0M ≠121()02H κκ=+= ,所以高斯曲率120K κκ=≤ ,所以2LN M -≤0 ,所以曲面上的点是平点或双曲点;所以曲面上存在两族渐近线;取曲面上的两族渐近线为坐标网,则L = N = 0 ,若M = 0 ,曲面上的点是平点,若0M ≠ ,则020H LG FM NE =∴-+= ,所以M F = 0 ,所以F = 0 ,所以渐近网为正交网;24. 在xoz 平面上去圆周y = 0,)()(222a b a z b x =+-,并令其绕轴旋转的圆环面,参数方程为 r={b+acos ϕcos ϑ , b+acos ϕsin ϑ , asin ϕ},求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点;解 E =2a , F= 0 , G=2)cos (ϕa b +, L = a, M = 0, N = cos ϕb+acos ϕ, LN -2M =a cos ϕb+acos ϕ , 由于b > a > 0 , b+acos ϕ > 0,所以LN -2M 的符号与cos ϕ的符号一致,当0≤ϕ<2π和23π<ϕ<2π时, LN -2M >0 ,曲面上的点为椭圆点,即圆环面外侧的点为椭圆点；当-2π<ϕ<23π,曲面上的点为双曲点, 即圆环面内侧的点为双曲点；当ϕ=2π或 23π时,LN -2M =0,为抛物点,即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点;25．若曲面的第一基本形式表示为))(,(222dv du v u I +=λ的形式,则称这个曲面的坐标曲线为等温网;试证：旋转曲面)}(,sin )(,cos )({t f t g t g r ϑϑ=上存在等温网;证 旋转曲面)}(,sin )(,cos )({t f t g t g r ϑϑ=的第一基本形式为))((2222'2'2ϑd dt gf g t g I ++= ,做参数变换dt g f g u ⎰+=2'2',v=ϑ,则在新参数下,),)](([222dv du u t g I +=为等温网;26．两个曲面1S 、2S 交于一条曲线C,而且C 是1S 的一条曲率线,则C 也是2S 的一条曲率线的充要条件为1S 、2S 沿着C 相交成固定角;证 两个曲面1S 、2S 交于曲线C,1n 、2n 分别为1S 、2S 的法向量,则沿交线C,1n与2n 成固定角的充要条件为1n ·2n =常数,这等价于d 1n ·2n=0,即d 1n ·2n +1n ·d 2n=0 ,而C 是1S 的一条曲率线,因此d 1n 与C 的切向量d r 共线,则与2n 正交,即d 1n ·2n =0,于是1n ·d 2n =0,又d 2n ⊥2n ,所以1n · d 2n = d 1n ·2n =0的充要条件为d 2nr 2S K-K -n ±γ n ±γ KI KI HIIIII d n d -=-===222γ ,即,22Kds d -=γ或K dsd -=2)(γ ,所以有K K -±=-==-ττβτ,)(22 ; 28．证明如果曲面上没有抛物点,则它上面的点和球面上的点是一一对应的; 证 设给出的曲面S: r =r u,v 上的点r u,v 与u,v ∈D 内的点一一对应,其球面像上的点为n =nu,v,由于)(v u v u r r k n n ⨯=⨯,所以||||v u v u r r k n n ⨯=⨯=22||F EG M LN -- ,当曲面S 上没有抛物点时,LN-M 2≠0,则v u n n⨯≠0 ;说明球面像上的点nu,v 与区域D 内的点一一对应,因此曲面S 上的点与球面像上的点一一对应;。