微分几何第二章 矩阵和坐标变换

矩阵旋转坐标变换一、基本概念在二维平面上，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述点的位置，其中一个点的坐标可以用两个数值（x，y）来表示。

在三维空间中则需要用三个数值（x，y，z）来表示点的位置。

当我们对坐标系进行旋转时，点的坐标也会随之发生变化。

矩阵旋转坐标变换就是描述了在不同坐标系中点的坐标如何发生变化的数学方法。

假设我们要将一个点p(x, y)绕原点O逆时针旋转θ度，我们可以使用矩阵旋转坐标变换来实现这一操作。

旋转后的点坐标记为p'(x', y')，其公式可以表示为：x' = x*cos(θ) - y*sin(θ)y' = x*sin(θ) + y*cos(θ)这两个公式就是矩阵旋转坐标变换的基本原理。

其中，cos(θ)和sin(θ)表示角度θ的余弦和正弦值，分别对应于旋转矩阵的元素值。

通过这两个公式，我们可以将点p(x, y)绕原点O逆时针旋转θ度，得到旋转后的点p'(x', y')。

二、矩阵表示上面给出的旋转公式可以进一步用矩阵来表示。

假设一个点p在平面直角坐标系中的坐标是(x, y)，我们可以用一个列矩阵来表示这个点：p = [x y]我们可以构造一个2x2的矩阵R来表示旋转矩阵：R = [cos(θ) -sin(θ)][sin(θ) cos(θ)]这个矩阵R就是一个绕原点O逆时针旋转θ度的旋转矩阵。

通过矩阵乘法，我们可以将点p与旋转矩阵R相乘，得到旋转后的点p'的坐标：p' = Rp具体计算过程如下：p' = [cos(θ) -sin(θ)] [x][sin(θ) cos(θ)] [y]= [x*cos(θ) - y*sin(θ)][x*sin(θ) + y*cos(θ)]可以看到，通过矩阵乘法同样可以得到旋转后的点p'的坐标，这与前面的公式是一致的。

矩阵表示的形式更加简洁和直观，也更适合在计算机程序中进行实现。

几何变换与变换矩阵几何变换是计算机图形学中常用的一种技术，用于对二维或三维图形进行平移、旋转、缩放和剪切等操作。

这些操作可以通过变换矩阵来描述和计算。

本文将介绍几何变换的基本概念及其与变换矩阵的关系。

一、几何变换的基本概念1. 平移变换平移变换是将图形沿着指定的方向移动一定的距离。

在二维空间中，平移变换可以通过在原始坐标上加上一个向量来实现。

例如，将原始坐标(x, y)进行平移变换得到新的坐标(x', y')，可以表示为：x' = x + dxy' = y + dy其中，dx和dy分别为在x和y方向上的平移距离。

2. 旋转变换旋转变换是将图形绕指定的点或轴旋转一定的角度。

在二维空间中，旋转变换可以通过将原始坐标(x, y)绕着指定点(xc, yc)逆时针旋转θ角度得到新的坐标(x', y')，可以表示为：x' = (x - xc) * cosθ - (y - yc) * sinθ + xcy' = (x - xc) * sinθ + (y - yc) * cosθ + yc其中，(xc, yc)为旋转中心点，θ为旋转角度。

3. 缩放变换缩放变换是将图形沿着指定的方向进行放大或缩小。

在二维空间中，缩放变换可以通过将原始坐标(x, y)分别乘以指定的缩放因子sx和sy得到新的坐标(x', y')，可以表示为：x' = x * sxy' = y * sy其中，sx和sy分别为在x和y方向上的缩放因子。

4. 剪切变换剪切变换是将图形沿着指定的方向进行截取或拉伸。

在二维空间中，剪切变换可以通过将原始坐标(x, y)进行线性变换得到新的坐标(x', y')，可以表示为：x' = x + kx * yy' = y + ky * x其中，kx和ky分别为在x和y方向上的剪切因子。

二、变换矩阵的基本概念与计算方法变换矩阵是一种矩阵表示方法，用于描述几何变换的转换规则。

0、前言本文主要介绍了三相电力变换设备中常用的坐标变换理论已经多端口网络的功率计算方法。

不是什么创新内容，目的是帮助理解而已。

因为坐标变换本来很简单，但是还是有好多人在其中纠结，或者搞不明白为什么，或者不理解为什么会有多种变换形式。

同时也表达我的一些观点：一、任何高深的理论经过在实际应用中总是会转化为简单的计算或者简单的计算式，尤其以信号处理为代表。

很厚的一本书，看了半天也看不懂什么是IIR ，但是拿到别人的程序，其中只有一句话。

因为用的人不一定要懂很多，只要知道是什么，如果需要修改怎么改就可以了，所以本文的介绍力求深入浅出。

二、恰恰相反，实际应用中很简单的过程可能都有特定的甚至十分深奥的理论支持。

所以，搞工程的人很可能对所有的过程讲的头头是道，但是在深问为什么就打不上来了。

这样就是深度达不到，眼界也达不到。

所以，本文避免了许多论文里一上来就“在三相对称系统中通常采用……坐标变换”，而是尽可能地把自己了解到的相关的知识加进来。

种水稻的人可能没有系统的理论知识，但是袁隆平不可能在没有系统的知识的前提下就发现了天然不孕系水稻，并培育出两系、三系杂交水稻。

注：相关知识的拓展可以自行上网搜索；另外，本文没有仔细检查，难免有疏忽和错误之处，请阅读时注意。

一、背景知识介绍1.巴拿赫（Banach ）空间：完备的赋范线性空间。

略去完备性定义。

2.希尔伯特（Hilbert ）空间：定义了内积的Banach 空间或者完备的内积空间。

设U 为数域K （实数或者复数）上的线性空间，对于U y x ∈∀,，如果存在唯一的K y x >∈<,，内积满足下列三条（内积定理）： a ）对第一变元的线性：><+><>=+<z y z x z y x ,,,βαβα b ）共轭对称性：><>=<x y y x ,,c ）正定性：0,>≥<x x ，当且仅当0=x 时有0,>=<x x则称><y x ,为x 和y 的内积，U 为内积空间。

第二章曲面论§ 1曲面的概念1.求正螺面r ={ u cos v ,u sin v , bv }的坐标曲线.解u-曲线为r ={u cos v0,u sin v0,bv 0}= {0,0 , bv0} + u { cos v0, sinv0,0}, 为曲线的直母线；v-曲线为r ={ u0cos v , u0 sin v ,bv }为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面r ={ a (u+v) , b (u-v ) ,2uv }的坐标曲线就是它的直母线。

证u-曲线为r ={ a (u+v。

), b (u-v。

)，2u v o}={ a v。

，b v。

，0}+ u{a,b,2 v。

} 表示过点{ a v。

，b v。

,。

}以{a,b,2 v。

}为方向向量的直线;v-曲线为「= {a ( u0 +v) , b ( u 0 -v ) ,2 u 0 v} = {a u。

，b u。

，。

} +v{a,-b,2 u。

} 表示过点(a u。

, b u。

，。

)以{a,-b,2 u。

}为方向向量的直线。

3.求球面r ={acos ；：sin「,a cos；： sin ;:, a si n二}上任意点的切平面和法线方程。

saa. n解r ={ -a sin 二cos「，-a sinsin ：:,acos「：} , r .匸{-a cossin ：:, a coscos 「,0}x - a cos、：cos「y - a cos 二sin「z - a sin 二任意点的切平面方程为- a sin 二cos ：：「：-a sinsin「 a cos=0「a cos、：sin「 a cos、：cos「0即xcos ：cos + ycos ：sin + zsin 二-a = 0 ；x a cos、：cos「y a cos、：sin「z a sin 二。

cos 二cos「cossin「sin 二2 24.求椭圆柱面令斗=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 a b 曲面只有一个切平面。

几何变换与坐标变换学习几何变换和坐标变换的基本概念和方法几何变换和坐标变换是数学中重要的概念和方法，用于描述和分析物体在平面或空间中的位置、形状和尺寸的变化。

它们在计算机图形学、计算机视觉、计算机辅助设计等领域具有广泛的应用。

本文将介绍几何变换和坐标变换的基本概念和方法。

一、几何变换的基本概念几何变换是指将一个几何对象通过某种规则映射到另一个几何对象的过程。

常见的几何变换包括平移、旋转、缩放和错切等。

下面分别介绍这些几何变换的基本概念。

1. 平移变换平移变换是指将一个几何对象沿着某个方向和距离移动的变换。

平移变换可以保持几何对象的形状和大小不变，只改变其位置。

平移变换可以通过向几何对象的坐标值加上一个平移向量来实现。

2. 旋转变换旋转变换是指将一个几何对象绕着某个点或轴旋转一定角度的变换。

旋转变换可使几何对象的形状和大小保持不变，但位置和方向发生改变。

旋转变换可以通过向几何对象的坐标值乘以一个旋转矩阵来实现。

3. 缩放变换缩放变换是指将一个几何对象按照一定比例放大或缩小的变换。

缩放变换可以改变几何对象的形状、大小和方向。

缩放变换可以通过向几何对象的坐标值乘以一个缩放因子来实现。

4. 错切变换错切变换是指将一个几何对象的一边拉长或压缩的变换。

错切变换可以改变几何对象的形状、大小和方向。

错切变换可以通过向几何对象的坐标值乘以一个错切矩阵来实现。

二、坐标变换的基本概念坐标变换是指将一个几何对象从一个坐标系变换到另一个坐标系的过程。

常用的坐标变换包括平移变换、旋转变换和缩放变换。

下面分别介绍这些坐标变换的基本概念。

1. 平移变换平移变换是指将一个坐标系沿着某个方向和距离移动的变换。

平移变换可以通过向原坐标系的原点坐标值加上一个平移向量来实现。

平移变换可以改变几何对象的位置，但形状、大小和方向保持不变。

2. 旋转变换旋转变换是指将一个坐标系绕着某个点或轴旋转一定角度的变换。

旋转变换可使坐标系的坐标轴发生改变，从而改变几何对象的位置、方向和形状。

几何变换与坐标变换的应用在几何学中，几何变换和坐标变换是两个重要的概念，它们在各个领域中起着重要的作用。

几何变换是指将图形在平面上进行平移、旋转、镜像、缩放等操作，而坐标变换是指将图形的坐标系进行变换来描述其位置和形状的改变。

本文将探讨几何变换和坐标变换的应用。

1. 平移变换平移变换是指将图形沿着一个方向平行移动一定距离。

在平面几何中，平移变换可以通过改变图形的坐标来实现。

例如，对于一个平面上的点(x,y)，进行平移变换时，只需将其坐标加上平移向量(dx,dy)，即可得到变换后的新点坐标(x+dx,y+dy)。

平移变换在计算机图形学中广泛应用，用于实现物体的移动、动画的平移等效果。

2. 旋转变换旋转变换是指将图形围绕一个固定点旋转一定角度。

在平面几何中，旋转变换可以通过改变图形的坐标来实现。

旋转变换可以使用旋转矩阵来描述，即通过将图形的坐标(x,y)与旋转矩阵相乘，得到旋转后的新点坐标。

旋转变换在计算机图形学中被广泛运用，用于实现图像的旋转、显示器的旋转调整等。

3. 镜像变换镜像变换是指将图形沿着一条直线进行对称翻转。

在平面几何中，镜像变换可以通过改变图形的坐标来实现。

例如，对于一个平面上的点(x,y)，进行关于直线y=x的镜像变换时，只需交换其坐标，得到变换后的新点坐标(y,x)。

镜像变换在计算机图形学中被广泛应用，用于实现图像的翻转、对称图形的生成等。

4. 缩放变换缩放变换是指将图形的大小按照一定比例进行变化。

在平面几何中，缩放变换可以通过改变图形的坐标来实现。

例如，对于一个平面上的点(x,y)，进行缩放变换时，只需将其坐标分别乘上缩放因子sx和sy，即可得到变换后的新点坐标(x\*sx,y\*sy)。

缩放变换在计算机图形学中被广泛运用，用于实现图像的放大缩小、显示器分辨率的调整等。

5. 坐标变换坐标变换是指通过改变图形的坐标系来描述其位置和形状的改变。

在几何学中，坐标变换可以通过线性变换矩阵来表示。

二、矩阵和坐标变换2.1 矩阵及矩阵的运算由m n ⨯个数排列形成的一个矩形数阵，称为m 行n 列矩阵。

如1111n m m n a a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中ij a 称为矩阵元素。

若两个矩阵A 、B 的行数和列数都相同，并且对应元素相等，则两个矩阵相等，记为A B =。

矩阵的加(减)法两个矩阵A 、B，它们的行数和列数分别相等，把它们的对应元素相加减，得到一个新矩阵C ,则称为A 与B之和（差），记为C A B =± 。

矩阵加法适合交换律：A B B A +=+矩阵加法适合结合律：()()A B C A B C ++=++数乘矩阵用数λ和矩阵A 相乘，则将A 中的每一个元素都乘以λ，称为λ与A之积，记为A λ 或A λ 。

数乘矩阵适合结合律：()()A A λμλμ=数乘矩阵适合分配率：()A B A B λλλ+=+矩阵乘法两个矩阵A 、B，它们相乘得到一个新矩阵C ，记为C AB = 。

矩阵A 和B 的乘积C 的第i 行和第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B的第j 列的对应元素乘积之和。

即11221nij i j i j in nj ikkj k c a b a b a b ab ==+++=∑注意：只有第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，才能相乘。

矩阵乘法适合结合律：()()A B C A B C =矩阵乘法适合分配率：()A B C AC BC +=+矩阵乘法不适合交换律：AB BA ≠2.2坐标变换空间中不同坐标系下，同一点有不同的坐标，同一矢量有不同的分量。

由于运算时要在同一坐标系下进行，为此，要考察两个坐标系之间的相互关系，就要用坐标变换的方式。

2.2.1底失的变换给出两个直角坐标系[]123;,,O e e e σ= ，123;,,O e e e σ⎡⎤'''''=⎣⎦，其中σ称为旧坐标系，σ'称为新坐标系。

小谈矩阵和坐标变换很多朋友学习3D游戏编程，但往往一些基本概念含混不清，这会对以后的学习带来很大阻碍。

最近看到有朋友问关于矩阵和坐标变换如何理解，故在此略作讨论，如有谬误，请不吝赐教！首先，谈到矩阵，就离不开坐标变换，而3D坐标变换的基础是来源于线性代数。

以下摘抄自孟岩的blog：1 线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。

这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。

在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。

所以，矩阵的本质是运动的描述。

2 矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。

在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。

3 矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。

而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。

而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。

线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。

我们先讨论3*3矩阵：1 矩阵的行序和列序（也称行优先或列优先）仅仅是指矩阵的存储方式，即我们如果用一个4*4数组m存储矩阵，如果m[0][0]-m[0][3]连续存储了矩阵的第一行，那么就是行优先，反之就是列优先。

无论是行优先还是列优先，它们代表的数学意义是相同的。

2 如果矩阵是行序，那么它的第一列（m[0][0],m[1][0],m[2][0]）就代表X变换，第二列就是Y变换，第三列就是Z变换。

我们来看看为什么：刚才提到矩阵把线性空间中的一个点给变换到另一个点，不妨称变换前的点为P1(x1,y1,z1)，变换后的点为P2(x2,y2,z2）：那么根据线代中的矩阵乘法，P1 * M = P2展开就成了：m00,m01,m02(x1,y1,z1) * m10,m11,m12 = x1*m00+y1*m10+z1*m20+ x1*m01*m20,m21, m22 y1*m11+z1*m21,x1*m02+y1*m12+z1* m22所以：x2 = x1*m[0][0] + y1*m[1][0] + z1*m[2][0];y2 = x1*m[0][1] + y1*m[1][1] + z1*m[2][1];z2 = x1*m[0][2] + y1*m[1][2] + z1*m[2][2];看出什么了吗？如果把一个行序矩阵（接下来讨论的都是行序矩阵，就省略行序二字了）的每一列分别用X,Y,Z三个矢量来表示，那么M就表示为：XYZ三根轴。

《微分几何简介》笔记Ch.1 矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1 矢量代数定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。

1.1 直角坐标系-点的坐标与矢的分量在三维空间中，取任意一点O 和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量，，，构成一个直角坐标系（或标架）。

用1e 2e 3e ],,;[321e e e O =σ表示；O 称为σ的原点，，，称为1e 2e 3e σ的基矢(或底矢)。

若P 为空间任意一点，以O 为始点，P 为终点的矢量OP =r 称为P 点在标架σ里的径矢。

P 点在σ里的坐标，，就是r 径矢在1x 2x 3x σ里的分量：332211e e e r x x x ++=若P 、Q 为空间两点，它们在σ里的径矢依次为332211e e e r x x x ++=，332211e e e s y y y ++=则矢量333222111)()()(e e e r s x y x y x y OP OQ PQ −+−+−=−=−=其中就是该矢量在)3,2,1(=−i x y i i σ里的分量。

各分量均为0的矢量称为零矢。

在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。

矢量332211e e e αa a a ++=的长为232221a a a ++=α若1=α，为单位矢量（幺矢）。

α0≠α，则 α/i a叫做在ασ里的方向余弦，它们是α和间的角1e ],0[π之间的余弦。

零矢没有方向余弦。

1.2 矢量的基本代数运算现有矢量和332211e e e αa a a ++=332211e e e βb b b ++=，则1） 矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三角形）法则。

333222111)()()(e e e βαb a b a b a +++++=+2） 矢量差：矢量减法同样按照平行四边形（或三角形）法则，为加法的逆运算。

333222111)()()(e e e βαb a b a b a −+−+−=−3） 纯量（或数量）乘矢量：若λ为纯量，则332211e e e αa a a λλλλ++=4） 数积（点乘）：矢量α，β的数积是纯量θcos 332211βαβα=++=⋅b a b a b a其中],0[πθ∈是α，之间的角。

坐标变换柱坐标中体积元为dz drd r θ2球坐标中体积元ϕθϕd drd r sin 2一般情况要用到雅可比行列式,其定义如下（以三维空间为例，高维情况有一样的结论）： 若⎪⎩⎪⎨⎧===),,(),,(),,(321w v u f z w v u f y w v u f x ，则行列式zf y f x f z f y f x f z f y f x f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂333222111称为变换的雅可比行列式 三阶行列式的计算很简单，你可以参看一本线性代数 记行列式的绝对值为zf y f xf z f y f xf z f y f xf ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂333222111则在w v u ,,的坐标中 体积元为dudvdw zf y f x f z f y f xf z f y f xf ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂333222111柱坐标中雅可比的行列式的绝对值为2r球坐标中雅可比的行列式的绝对值为ϕsin 2r初学重积分容易搞错的一点 在柱坐标中⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθsin cos ，显然⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=dz dz d r dr dy d r dr dx θθθθθθcos sin sin cos于是你想到dxdydz 会不会等于dz drd r θ2？经过简单的计算你一定很失望吧？奇怪吧!难倒计算错了？问题出在哪呢? 出现这样的问题出是因为对积分定义理解不清楚：积分中是把空间划分成许多小体积（注意小体积不一定就是方的）（二维时是格子，一维是线段或曲线段），然后相应的小体积乘以其上的函数值最后叠加起来注意了，划分空间有许多不同的方式最常见的在直角坐标系中划分成小正方体在曲线坐标系中（例如在上面的柱坐标系中）用其他方式划分空间可能会更简单，你能想象在柱坐标中圆柱是怎样以一种最简单的方式被划分成一小块一小块的吗？对了，就是这种方式，显然以这种方式划分得到的绝对不是一个一个的小方块儿，体积元可以从图中看出为dz drd r θ2当然如果你硬要在柱坐标系中沿用直角坐标系中的划分方式，以小方块方式划分的话就会得到体积元： dz d r dr d r dr )cos )(sin sin (cos θθθθθθ+-，显然dz d r dr d r dr dxdydz )cos )(sin sin (cos θθθθθθ+-=绝对是正确的只是这会给计算带来困难，但无论划分方式如何，同一区域上对同一函数的积分，积分值是不变的 为什么要变限因为不同坐标系对同一空间区域的表达方式是不一样的，举个例子一个半径为5的球体在直角坐标系下表示为25222≤++z y x ，而在球坐标下表示为5≤r ，在柱坐标下则表示为2522≤+z r。

坐标变换矩阵 从单元分析进入整体分析时，需要将参照坐标系统一为整体坐标系，才便于建立结点平衡方程；整体分析结束后，需计算单元杆端力以求取单元内力，此时又需将参照坐标系重新设为各单元坐标系。

因此，有必要建立两套坐标系的转换关系。

.
图1
上图将杆单元 e 在单元坐标系中的杆端力和整体坐标系xOy 中的杆端力一同绘出。

若设从整体坐标系x 轴转向单元坐标系轴的夹角为a （顺时针为正），根据投影关系，可得
式1
写成矩阵形式
xi
F F i
M =M i
式2
或简写为
式3
其中
式4
称为单元坐标转换矩阵。

它是一个正交矩阵，即有
（式5）
如需将（符号1）转换为（符号2），则可使用下式
（式6）
上述转换关系也同样适用于杆端位移（符号3）和（符号4）
之间的转换，即有
（式7）
()
()
Q N Q cos sin 0000sin cos 0000001000000cos sin 0000sin cos 00
1e e Ni xi i yi i i xj j yj j j j F F F F M M F F F F M M α
α
αααααα⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣
⎦⎣⎦
1
T
-=T
T
-1T e
e
e
==F T F T F
e F e F
符号1 符号2
符号3 符号4
e
F e
δ。

1.ξ态的表象1、 解析几何中的坐标及坐标变换。

如图所示：平面直角坐标系12,x x 的基矢12,e e →→彼此正交(),,,1,2i j ij e e J i j →→⎛⎫== ⎪⎝⎭，在平面上，这组基矢是完备的，平面上任一矢量A →可用它们展开。

11221122,,,A A e A e A e A A e A →→→→→→→=+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当12,A A 确定后，就确定了一个平面矢量A →，所以可以认为()12,A A 就是矢量A →在坐标系12,x x 中的表示。

现假设有另一直角坐标系，''12,x x ，它相对于12,x x 顺时针转过角度θ，其基矢为''12,e e →→，满足()()()''12''''1122''''''''''1122121212''1212''1212''''11221,,(,1,2)(,),(,),,,,ij e e i j A A e A eA e A A e A A A A A A A x x A x x x x A A A A A A e A e A e ς→→→→→→→→→→→→→→→⎛⎫== ⎪⎝⎭=+===+= 在此坐标系中：确定了则也确定了，所以，就是在系中的表示。

现在要问，在及中的表示之间的关系。

即：与，之间的关系。

122''''11111212''''22121222''1112'1'2.........................................,A e e A A e e A e e e A A e e A e e e e e e A A →→→→→→→→→→→→→→→→+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛ ⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪ ⎪⎝⎭①用点乘上式，得：，，②用点乘上式，得：，，③②③式表示为矩阵，则为：，()()1122''2122'11'22'11'22cos sin sin cos ,,cos sin sin cos A A A A e e e e A A R R A A A A A A A θθθθθθθθθθ→→→→→⎛⎫⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或记为：其中，是把在两个坐标系中表示的和联系起来的变换矩阵。