微分几何第二章曲面论第三节复习2

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

微分几何几何学是数学的一个重要分支，它采用不同方法对几何图形及其数量关系进行研究。

微分几何是高师数学专业（本）的专业基础课之一，其出发点是微分几何。

本课程重点讲授微分几何中最基础的部分——二维欧氏空间中的曲线和曲面的局部理论，在方法上给以更新，这样使学生能够从较浅的内容去学习近代的处理方法，对新方法接受起来阻力比较小一些；另一发面，对微分几何有兴趣的学生，在掌握新方法之后，可运用这些方法去学习微分几何的近代内容。

本课程教学时数为60小时。

第一章曲线论目的要求：在中学教材中，对于曲线的概念，平面曲线的参数方程中参数的个数问题，都只初步涉及，进一步理解有赖于对曲线的精确定义。

1）掌握曲线的概念，空间曲线的基本三棱形，曲面挠率和Frenet公式。

2）掌握特殊曲线：平面曲线、一般螺线3）理解Bertrand曲线4）了解曲线上一点邻近的结构和空间曲线论的基本定理。

计划课时数：24学时教学内容：第一节向量代数复习（2学时）向量的基本概念、运算及有关定理第二节向量函数（2学时）向量函数的极限、连续、微分、Taylor展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等第三节曲线的概念（4学时）曲线的基本概念、切线和法面的求法，曲线的弧长，自然参数的引进第四节空间曲线（10学时）曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率、Frenet公式，曲线的局部结构和基本定理第五节特殊曲线（6学时）平面曲线论、一般螺线，Bertrand曲线第二章曲面论目的要求：1）曲面的局部概念是建立整体概念和过渡到微分流行研究的基础，简单曲面的向量参数表示要与中学所讲曲线、曲面的参数方程对照，从理论上理解中学教材内容中遗留的问题。

掌握：（1）曲面的概念及其参数表示（2）曲面的第一基本形式（3）曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率，主方向与曲率线网（4）主曲率、Gauss曲率和平均曲率2）直纹面和可展曲面是常见的特殊曲面，联系解析几何中的直纹面，理解直纹面的构成，掌握曲面可展的含义和可展的条件。

《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。

1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。

古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间--流--形。

微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。

本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。

2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。

3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（B公式。

重点让学生把握理解本教材的前二章。

二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。

通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。

教学内容：第一节向量函数1.1向量函数的极限1.2向量函数的连续性1.3向量函数的微商向量函数的泰勒（）公式1.5向量函数的积分第二节曲线的概念2.1曲线的概念2.2光滑曲线、曲线的正常点2.3曲线的切线和法面2.4曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1空间曲线的密切平面3.2空间曲线的基本三棱形空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式3.4空间曲线在一点邻近的结构3.5空间曲线论的基本定理3.一6般螺线考核要求：i理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（L公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。

第二章曲面论§1曲面的概念1. 求正螺面r⃗={ucosv,usinv,bv}，−∞<u<+∞，−∞<v<+∞上的坐标曲线。

解：u_线的方程为：v=v0，其中v0为常数，将v=v0代入正螺面的方程中，得到r⃗={ucosv0,usinv0,bv0}={0,0,bv0}+{cosv0,sinv0,0}u，−∞<u<+∞，这是经过点(0,0,bv0),以{cosv0,sinv0,0}为方向的直线，显然它与z轴垂直相交，垂足为(0,0,bv0)。

v_线的方程为：u=u0，其中u0为常数，将u=u0代入正螺面的方程中，得到r⃗= {u0cosv,u0sinv,bv}，−∞<v<+∞，这是圆柱螺线的方程。

2. 证明双曲抛物面r⃗={a(u+v),b(u−v),2uv}的坐标曲线就是它的直母线。

证：双曲抛物面在直角坐标系下的隐式方程为x2 a2−y2b2=2z上式可表示为：(xa−yb)(xa+yb)=2z由此可见曲面上有两族直母线Lα:{xa−yb=2αxa+yb=zα和 Lβ:{xa−yb=zβxa+yb=2β其中α，β为参数，且α≠0，β≠0。

曲面上的u_线C u,v的方程为：v=v0，其中v0为常数，将v=v0代入曲面的方程中，得C u,v的向量参数方程：r⃗={a(u+v0),b(u−v0),2uv0}将上式化为参数方程：C u,v:{xa =u+v0y b =u−v0z=2uv0当v0≠0时，在上面的方程中消去变量u得并整理得C u,v0:{xa−yb=2v0 xa+yb=zv0比较C u,v0和Lα的方程可知，C u,v是直线族Lα中α=v0的那条直线。

曲面上的v_线C u0,v 的方程为：u=u0，其中u0为常数,同理可得C u0,v是直线族Lβ中β=u0的那条直线。

证毕3. 求球面r⃗={acosu cosv,acosu sinv,asinu}上任意点的切平面和法线的方程。

《微分几何》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的地位、作用和任务《微分几何》是本科数学与应用数学（教师教育）专业的专业选修课程之一。

通过本课程的学习，要求掌握三维空间的曲线和曲面的局部理论以及向量分析研究曲线与曲面的基本方法,培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打下基础。

本课程要求掌握微分几何的基本内容和研究方法。

（二）课程教学的目的和要求：《微分几何》是本科数学与应用数学专业的专业必修课程之一。

学习及考试重点是空间曲线的基本三菱形、曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式；曲面的第一、第二基本形式及由他们所表示的曲面的内蕴性质、外蕴性质以及可展曲面和测地线。

本课程的主要目的是培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打好基础，使之具备一定的科学研究能力，并独立攥写小论文。

要求学生掌握：曲线的概念，空间曲线，一般螺线，曲面的概念，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式，直纹曲面和可展曲面，曲面论的基本定理。

理解：贝特朗曲线，曲面上的测地线了解：常高斯曲率的曲面。

（三）课程教学方法与手段采用理论与习题相结合的教学方法。

（四）课程与其它课程的联系本课程是后续专业课，它需要具备解析几何、数学分析、微分方程等课程的基本知识、基本理论，和与本课程平行开设拓扑学有一定联系。

本课程是学生将来进行专业学习时学习整体微分几何、微分流形等课程的基础；又是现代实、复分析的重要基础。

（五）教材与教学参考书教材：梅向明、黄敬之，《微分几何 (第三版)》，高等教育出版社，2003年12月参考书： 1、梅向明、黄敬之，《微分几何》，人民教育出版社2、吴大任，《微分几何讲义》3、陈维桓等，《微分几何讲义》2006年6月二、课程教学内容、重点和难点本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论。

教学重点与难点：本课程的重点是空间曲线和曲面论的基本概念、技巧、方法和理论。

难点是抽象性及用微分方程解决几何问题。

第一章曲线论第一节向量函数1、教学内容向量函数的极限、连续、微分、Taylor展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等。

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。