圆锥曲线空间向量和试题

.空间向量练习题1. 如下图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠ BCD ＝60°， E 是 CD的中点， PA ⊥底面 ABCD ，PA ＝2.〔Ⅰ〕证明：平面 PBE ⊥平面 PAB;〔Ⅱ〕求平面PAD 和平面 PBE 所成二面角〔锐角〕的大小 .如下图，以 A 为原点，建立空间直角坐标系 .那么相关各点的坐标分别是 A 〔 0， 0， 0〕， B 〔 1， 0， 0〕，C(3 ,3,0), D(1 ,3,0), P 〔 0，0， 2〕 , E(1, 3,0).2 22 22〔Ⅰ〕证明因为 BE (0,3,0) ，2平面 PAB 的一个法向量是 n(0,1,0) ，所以 BE 和n 共线 .从而 BE ⊥平面 PAB.又因为 BE平面 PBE ，故平面 PBE ⊥平面 PAB.(Ⅱ)解易知 PB(1,0, 2), BE(0,3，0〕， PA (0,0, 2), AD( 1 ,3,0)22 2n ( x 1 , y 1 , z 1 ) n 1 PB 0,设是平面PBE 的一个法向量，那么由得1n 1 BE 0x 1 0 y 1 2z 1 0,0 x 13y 2 0 z 2 0.所以y 1 0, x 12z 1.故可取 n 1 (2,0,1).2设 n 2( x 2 , y 2 , z 2 )PAD 的 n 2 PA 0, 是 平 面 一个法向量，那么由AD得n 2 00 x 2 0 y 2 2z 2 0,1 3 所以 z2 0, x 23 y 2 .故可取 n 2 ( 3, 1,0).2 x 22 y 2 0 z 20.于是， cosn 1, n 2n 1 n 22 3 15 .n 1 n 2 5 25故平面和平面所成二面角〔锐角〕的大小是15PADPBEarccos..2. 如图，正三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 的所有棱长都为 2， D 为 CC 1 中点。

章末检测（三） 圆锥曲线的方程A 卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，18 D.⎝⎛⎭⎫18，0解析：选C 抛物线的标准方程为x 2＝12y ，焦点在y 轴上，∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，18. 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )A ．2 B. 3 C. 2D.32解析：选C 由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·ba＝－1，则a ＝b .由离心率的计算公式，可得e 2＝c2a 2＝a 2＋b 2a2＝2，e ＝ 2.3．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B .若|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，则该椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 解析：选A ∵|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，∴a ＝2c ＝2， ∴a ＝2，c ＝1，∴b ＝ 3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．8解析：选C 双曲线x 2a 2－y 29＝1的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，故a ＝2.又P 是双曲线上一点，故||PF 1|－|PF 2||＝4，而|PF 1|＝3，则|PF 2|＝7.5．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点C (－4,0)作抛物线的两条切线CA ，CB ，A ，B 为切点，若直线AB 经过抛物线y 2＝2px 的焦点，△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x解析：选D 由抛物线的对称性知A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，则S △CAB ＝12⎝⎛⎭⎫p2＋4×2p ＝24，解得p ＝4，直线AB 的方程为x ＝2，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝－8x .6．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454x C ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y 解析：选C 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p ×40，即2p ＝452，所以所求抛物线方程为y 2＝452x .虽然选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452符合题意．7.我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)，如图所示，其中点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A.72，1 B.3，1 C ．5,3D ．5,4解析：选A ∵|OF 2|＝b 2－c 2＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋34＝74，得a ＝72. 8．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫62，2 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫62，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a 2≠0⇒a 2≠1，且此时Δ＝4a 2(2－a 2)>0⇒a 2<2，所以a 2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e ＝1a 2＋1，则a 2＝1e 2－1，从而e ∈⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析：选ABD 由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．10．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为( ) A.x 2100＋y 284＝1 B.x 225＋y 29＝1 C.x 284＋y 2100＝1 D.y 225＋x 29＝1 解析：选BD 因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝4，解得a ＝5，b 2＝25－16＝9.所以当椭圆焦点在x 轴时，椭圆方程为x 225＋y 29＝1；当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为x 29＋y 225＝1.11．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则( )A ．|AB |＝12B ．OA ―→·OB ―→＝－2716C ．y A y B ＝－3D ．x A x B ＝3解析：选AB 抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫34，0，所以AB 所在的直线方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34.将y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34代入y 2＝3x ， 整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由根与系数的关系得x A ＋x B ＝212，x A x B ＝916，故D 错误，y 2Ay 2B ＝3x A ·3x B ＝9x A x B ＝8116， ∴y 1y 2＝－94，故C 错误．OA ―→·OB ―→＝x A x B ＋y A y B ＝916－94＝－2716，故B 正确．由抛物线的定义可得|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，故选A 、B.12．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12 B ．2 C.32D.23解析：选AC 设圆锥曲线的离心率为e ，由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32.综上，所求的离心率为12或32.故选A 、C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)， 故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．答案：x 216＋y 212＝114．已知二次曲线x 24＋y 2m ＝1，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．解析：∵m ∈[－2，－1]，∴曲线方程化为x 24－y 2－m ＝1，曲线为双曲线，∴e ＝4－m 2.∵m ∈[－2，－1]，∴52≤e ≤62. 答案：⎣⎡⎦⎤52，62 15．抛物线y 2＝8x的焦点到双曲线x 216－y 29＝1渐近线的距离为________，双曲线右焦点到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线y 2＝8x的焦点F (2,0)，双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线方程为y ＝34x ，即3x －4y ＝0，则点F (2,0)到渐近线3x －4y ＝0的距离为|3×2－4×0|32＋42＝65.双曲线右焦点的坐标为(5,0)，抛物线的准线方程为x ＝－2，所以双曲线右焦点到抛物线准线的距离为7.答案：65716．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于点P (图略)，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋(6－3)2＋42＝15.答案：15四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)命题p ：方程x 22m －y 2m －6＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：方程x 2m ＋1＋y 2m －1＝1表示双曲线．(1)若命题p 为真命题，求m 的取值范围； (2)若命题q 为假命题，求m 的取值范围． 解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －6＜0，2m ＞0，－(m －6)＞2m ，解得0＜m ＜2，故命题p 为真命题时，m 的取值范围为(0,2)．(2)若命题q 为真命题，则(m ＋1)(m －1)＜0，解得－1＜m ＜1，故命题q 为假命题时，m 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程． 解：依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， ∵点P ⎝⎛⎭⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p ×32.∴p ＝2， ∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P ⎝⎛⎭⎫32，6在双曲线上，∴94a 2－6b2＝1， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1，得⎩⎨⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.19．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上点T (3，t )到焦点F 的距离为4. (1)求t ，p 的值；(2)如图所示，设A ，B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且OA ―→·OB ―→＝5(其中O 为坐标原点)．求证直线AB 必过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由已知得3＋p2＝4，∴p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，代入可解得t ＝±2 3.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋n ，A ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x得y 2－4my －4n ＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n .由OA ―→·OB ―→＝5，得(y 1y 2)216＋y 1y 2＝5，∴y 1y 2＝－20或y 1y 2＝4(舍去)．即－4n ＝－20，∴n ＝5，∴直线AB 过定点(5,0)．20．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1,0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M .(1)若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； (2)若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．解：(1)因为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1,0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M ，所以p ＝2，M (0，1)．①当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝0，满足题意．②当直线l 的斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋1，代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.当k ＝0时，x ＝14，满足题意，直线l 的方程为y ＝1；当k ≠0时，令Δ＝(2k －4)2－4k 2＝0，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.综上，直线l 的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝x ＋1.(2)结合(1)知抛物线C 的方程为y 2＝4x ， 直线MF 的方程为y ＝－x ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝－x ＋1得y 2＋4y －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝42， 所以S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝2 2.21．(本小题满分12分)给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，称圆心在原点O ，半径为a 2＋b 2的圆是椭圆C 的“准圆”．已知椭圆的离心率e ＝63，其“准圆”的方程为x 2＋y 2＝4. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线l 1，l 2，交“准圆”于点M ，N .当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线l 1，l 2的方程，并证明l 1⊥l 2.解：(1)由准圆方程为x 2＋y 2＝4，得a 2＋b 2＝4， 椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝63，解得a ＝3，b ＝1， ∴椭圆的标准方程：x 23＋y 2＝1.(2)∵准圆x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为P (0，2)， 设过点P (0,2)且与椭圆相切的直线为y ＝kx ＋2，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y 2＝1，整理，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0. ∵直线y ＝kx ＋2与椭圆相切，∴Δ＝144k 2－4×9(1＋3k 2)＝0，解得k ＝±1， ∴l 1，l 2的方程为y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2. ∵k l 1＝1，k l 2＝－1，∴k l 1·k l 2＝－1，则l 1⊥l 2.22．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (－1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点，请说明理由．解：(1)直线AB 的方程为：bx －ay －ab ＝0. 依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，aba 2＋b 2＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在这样的k 值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋3y 2－3＝0，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0.∴Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0.解得k ＞1或k ＜－1.① 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－12k1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2.②而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4.要使以CD 为直径的圆过点E (－1,0)， 当且仅当CE ⊥DE 时成立，则y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1.即y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0.∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0.③将②式代入③整理解得k ＝76.经验证k ＝76使①成立．综上可知，存在k ＝76，使得以CD 为直径的圆过点E .B 卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3D ．1或4解析：选A 因为过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率为1，所以4－m m ＋2＝1，解得m＝1.故选A.2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝1B ．x 2－y 2＝2C ．x 2－y 2＝ 2D ．x 2－y 2＝12解析：选B 设双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)，则c ＝2a ，渐近线方程为y ＝±x ，∴|2a |2＝2，∴a 2＝2.∴双曲线方程为x 2－y 2＝2.3.如图，在三棱锥O -ABC 中，点D 是棱AC 的中点，若OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，则BD ―→等于( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋c C.12a －b ＋12c D ．－12a ＋b －12c解析：选C 连接OD (图略)，由题意可知BD ―→＝BO ―→＋OD ―→，BO ―→＝－b ，OD ―→＝12OA ―→＋12OC ―→＝12a ＋12c ，故BD ―→＝12a －b ＋12c . 4．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是点A 到y 轴距离的3倍，则p ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选D 由题意得3x 0＝x 0＋p 2，即x 0＝p 4，∴A 点坐标为⎝⎛⎭⎫p 4，2，将其代入抛物线方程得p 22＝2.∵p ＞0，∴p ＝2.故选D.5．在△ABC 中，|AB |＝2|BC |，以A ，B 为焦点，经过点C 的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则( )A.1e 1－1e 2＝1B.1e 1－1e 2＝2C.1e 21－1e 22＝1 D.1e 21－1e 22＝2 解析：选A 如图，分别设椭圆与双曲线的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，x 2a ′2－y 2b ′2＝1(a ′＞0，b ′＞0)，焦距为2c ，则|AB |＝2c ，|BC |＝c .∵点C 在椭圆上，∴|AC |＋|BC |＝2a ，即|AC |＝2a －c .又∵点C 在双曲线上，∴|AC |－|BC |＝2a ′，即2a －c －c ＝2a ′，得a c －a ′c ＝1，则1e 1－1e 2＝1.6．直线l 是圆x 2＋y 2＝4在点(－3，1)处的切线，P 是圆x 2－4x ＋y 2＝0上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选C 圆x 2＋y 2＝4在点(－3，1)处的切线的斜率为－－31＝3，所以切线方程为y －1＝3(x ＋3)，即y ＝3x ＋4.因为圆x 2－4x ＋y 2＝0的圆心(2,0)到直线l 的距离d ＝|2×3＋4|3＋1＝3＋2，半径为2，所以点P 到直线l 的距离最小值为d －2＝ 3.故选C.7．在椭圆x 24＋y 2＝1上有两个动点P ，Q ，E (1,0)为定点，EP ⊥EQ ，则EP ―→·QP ―→的最小值为( )A ．4B ．3－ 3 C.23D ．1解析：选C 由题意得EP ―→·QP ―→＝EP ―→·(EP ―→－EQ ―→)＝EP ―→2－EP ―→·EQ ―→＝EP ―→2.设椭圆上一点P (x ，y )，则EP ―→＝(x －1，y )，∴EP ―→2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫1－x 24＝34⎝⎛⎭⎫x －432＋23，又－2≤x ≤2，∴当x ＝43时，EP ―→2取得最小值23.8.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 和平面ACD 1的距离是( )A.12 B.22 C.13D.32解析：选D 如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，M ⎝⎛⎭⎫1，1，12，N ⎝⎛⎭⎫12，1，1，C (0，1,0)．所以AD 1―→＝(－1,0,1)，MN ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12，所以MN ―→＝12AD 1―→. 又直线AD 1与MN 不重合， 所以MN ―→∥AD 1―→. 又MN ⊄平面ACD 1， AD 1⊂平面ACD 1， 所以MN ∥平面ACD 1.易得AD 1―→＝(－1,0,1)，D 1C ―→＝(0,1，－1)． 设平面ACD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD 1―→＝0，n ·D 1C ―→＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，y －z ＝0，所以x ＝y ＝z .令x ＝1，则n ＝(1,1,1)． 又因为AM ―→＝⎝⎛⎭⎫0，1，12， 所以点M 到平面ACD 1的距离即为直线MN 到平面ACD 1的距离，为|AM ―→·n ||n |＝323＝32.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．若直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0被圆C ：x 2＋(y －4)2＝4截得的弦长为22，则a 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．7D ．1解析：选AB 圆心为C (0,4)，半径R ＝2，因为直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0被圆C ：x 2＋(y －4)2＝4截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离d 满足d 2＝R 2－(2)2＝4－2＝2，即d ＝2＝|4＋2a |a 2＋1，平方整理得a 2＋8a ＋7＝0，解得a ＝－1或a ＝－7.10．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的方程可能为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1解析：选AD 在椭圆x 29＋y 24＝1中，c ＝9－4＝ 5.因为双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，所以可设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x 24λ－y 2λ＝1.当λ＞0时，c ＝λ＋4λ＝5，解得λ＝1，则双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1；当λ＜0时，c ＝－λ－4λ＝5，解得λ＝－1，则双曲线C 的方程为y 2－x 24＝1.11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论，正确的是( )A ．A 1M ∥D 1PB ．A 1M ∥B 1QC ．A 1M ∥平面DCC 1D 1 D ．A 1M ∥平面D 1PQB 1解析：选ACD ∵A 1M ―→＝A 1A ―→＋AM ―→＝A 1A ―→＋12AB ―→，D 1P ―→＝D 1D ―→＋DP ―→＝A 1A ―→＋12AB ―→，∴A 1M ―→∥D 1P ―→，从而A 1M ∥D 1P ，可得A 、C 、D 正确． 又B 1Q 与D 1P 不平行．12.如图，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则下列结论正确的是( )A ．若点A 的坐标为(2,0)，则|FM |∶|MN |等于1∶ 5B ．若点A 的坐标为(2,0)，则|FM |∶|MN |等于1∶3C ．若|FM |＝|MA |，则|AN |＝3D ．若|FM |＝|MA |，则|AN |＝2解析：选AC 如图，由抛物线定义知M 到F 的距离等于M 到准线l 的距离MH .即|FM |∶|MN |＝|MH |∶|MN |＝|FO |∶|AF |＝1∶5，故A 正确，B 错误． 对于C ，如图，过点A 作AQ ⊥l ，垂足为Q ，设直线l 与y 轴交于点D ，因为|FM |＝|MA |，所以MH 为直角梯形AQDF 的中位线， 所以|MH |＝32，所以|MF |＝|MA |＝|MH |＝32，∴FA ＝3.又因为OA 是直角三角形FDN 的中位线，所以|AN |＝|FA |＝3，故C 正确，D 错误．故选A 、C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，点P (－5,25)到焦点的距离是6，则其标准方程为________．解析：设焦点F (a,0)，|PF |＝(a ＋5)2＋20＝6，即a 2＋10a ＋9＝0，解得a ＝－1或a＝－9.当焦点为F (－1,0)时，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－4x ；当焦点为F (－9，0)时，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－36x .答案：y 2＝－4x 或y 2＝－36x14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________．解析：由题意可得e ＝ca ＝2，则c ＝2a ，其中一个焦点为F (c,0)，渐近线方程为bx ±ay ＝0，所以bcb 2＋a 2＝bcc ＝b ＝1， 又c 2＝4a 2＝a 2＋b 2， 所以a 2＝13，所以所求的双曲线方程为3x 2－y 2＝1. 答案：3x 2－y 2＝115．已知直线l 1：ax ＋y ＋3a －4＝0和l 2：2x ＋(a －1)y ＋a ＝0，则原点到l 1的距离的最大值是________；若l 1∥l 2，则a ＝________.解析：直线l 1：ax ＋y ＋3a －4＝0等价于a (x ＋3)＋y －4＝0，则直线过定点A (－3,4)，当原点到l 1的距离最大时，满足OA ⊥l 1，此时原点到l 1的距离的最大值为|OA |＝(－3)2＋42＝5.若l 1∥l 2，则a (a －1)－2＝0，∴a ＝2(舍)，a ＝－1.答案：5 －116.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝3，点M 在棱CC 1上，且MD 1⊥MA ，则当△MAD 1的面积最小时，棱CC 1的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则D (0,0,0)，A (3，0,0)．设M (0,1，t )，D 1(0,0，z )，0≤t ≤z ，则MD 1―→＝(0，－1，z －t )，AM ―→＝(－3，1，t )． ∵MD 1⊥MA ，∴MD 1―→·AM ―→＝－1＋t (z －t )＝0， 即z －t ＝1t ，则S △MAD 1＝12|AM ||MD 1|＝12×4＋t 2×1＋(z －t )2＝12(4＋t 2)⎝⎛⎭⎫1＋1t 2 ＝125＋t 2＋4t 2≥125＋4＝32，当且仅当t 2＝4t 2，即t ＝2，z ＝322时等号成立，故CC 1的长为322.答案：322四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知双曲线的渐近线方程是y ＝±23x ，焦距为226，求双曲线的标准方程．解：若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝23，c 2＝a 2＋b 2＝26，解得a 2＝18，b 2＝8，所以所求双曲线的方程为x 218－y 28＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝23，c 2＝a 2＋b 2＝26，解得a 2＝8，b 2＝18，所以所求双曲线的方程为y 28－x 218＝1.综上，所求双曲线的方程为x 218－y 28＝1或y 28－x 218＝1.18．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心C 在直线y ＝x 上，且与x 轴正半轴相切，点C 与坐标原点O 的距离为 2.(1)求圆C 的标准方程；(2)斜率存在的直线l 过点M ⎝⎛⎭⎫1，12且与圆C 相交于A ，B 两点，求弦长|AB |的最小值． 解：(1)由题意可设C (a ，a )，半径为r . ∵|CO |＝2＝a 2＋a 2，∴a ＝±1.又圆C 与x 轴正半轴相切，∴a ＝1，r ＝1， ∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. (2)设直线l 的方程为y －12＝k (x －1)，点C 到直线l 的距离d ＝121＋k 2，弦长|AB |＝21－14(1＋k 2)， ∴当k ＝0时，弦长|AB |的最小值|AB |＝ 3.19．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2―→＝2F 2B ―→，求椭圆C 的方程．解：(1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意知y 1＜0，y 2＞0，直线l 的方程为y ＝3(x －2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)，x 2a 2＋y 2b 2＝1得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2. 因为AF 2―→＝2F 2B ―→，所以－y 1＝2y 2， 即3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2，得a ＝3，而a 2－b 2＝4，所以b ＝5， 故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝63，它的一个顶点在抛物线x 2＝42y 的准线上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆C 上两点，已知m ＝⎝⎛⎭⎫x 1a ，y 1b ，n ＝⎝⎛⎭⎫x 2a ，y 2b ，且m ·n ＝0.求OA ―→·OB ―→的取值范围．解：(1)∵抛物线x 2＝42y 的准线为直线y ＝－2，∴b ＝ 2. ∵e ＝63，∴a 2－b 2a 2＝23，∴a ＝ 6.∴椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.(2)由m ·n ＝0，得x 1x 2＝－3y 1y 2.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)所在的直线为l . 当l 的斜率不存在时，A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，∴x 21＝3y 21.又∵x 216＋y 212＝1，∴y 21＝1.∴OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝2y 21＝2.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋3y 2＝6，消去y 并整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－6＝0，∴Δ＝36k 2m 2－12(3k 2＋1)(m 2－2)＝12(6k 2－m 2＋2)＞0， 且x 1＋x 2＝－6km3k 2＋1，x 1x 2＝3m 2－63k 2＋1.由x 1x 2＝－3y 1y 2＝－3(kx 1＋m )(kx 2＋m )， 得(3k 2＋1)x 1x 2＋3km (x 1＋x 2)＋3m 2＝0， 整理，得1＋3k 2＝m 2.(*)∴OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝23x 1x 2＝2m 2－41＋3k 2＝2m 2－4m 2＝2－4m 2. 由(*)得m 2＝1＋3k 2≥1，∴0＜4m 2≤4，∴－2≤OA ―→·OB ―→＜2.综上可得，－2≤OA ―→·OB ―→≤2.21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长． 解：以{AB ―→，AD ―→，AP ―→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．(1)因为AD ⊥平面PAB ，所以AD ―→是平面PAB 的一个法向量，AD ―→＝(0,2,0)．易知PC ―→＝(1,1，－2)，PD ―→＝(0,2，－2)，设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·PC ―→＝0，m ·PD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1.所以m ＝(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量．从而cos 〈AD ―→，m 〉＝AD ―→·m |AD ―→||m |＝33，易知平面PAB 与平面PCD 所成的二面角为锐二面角，所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)易知BP ―→＝(－1,0,2)，设BQ ―→＝λBP ―→＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)， 又CB ―→＝(0，－1,0)，所以CQ ―→＝CB ―→＋BQ ―→＝(－λ，－1,2λ)， 又DP ―→＝(0，－2,2)，从而cos 〈CQ ―→，DP ―→〉＝CQ ―→·DP ―→|CQ ―→||DP ―→|＝1＋2λ10λ2＋2. 设1＋2λ＝t ，t ∈[1,3]， 则cos 2〈CQ ―→，DP ―→〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝⎛⎭⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ ―→，DP ―→〉|的最大值为31010.因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，所以当λ＝25时，直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.22．(本小题满分12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，定义椭圆C 的“相关圆”方程为x 2＋y 2＝a 2b 2a 2＋b 2，若抛物线y 2＝4x 的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 的短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．(1)求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；(2)过“相关圆”E 上任意一点P 作“相关圆”E 的切线l ，与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．证明：∠AOB 为定值．解：(1)因为抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，与椭圆C 的一个焦点重合，所以c ＝1.又因为椭圆C 的短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b ＝c ＝1，a 2＝b 2＋c 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，“相关圆”E 的方程为x 2＋y 2＝23.(2)证明：当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB 的方程为x ＝63，则A ⎝⎛⎭⎫63，63，B⎝⎛⎭⎫63，－63，所以∠AOB ＝π2.当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，消去y ，得x 2＋2(kx ＋m )2＝2，即(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝8(2k 2－m 2＋1)＞0， 即2k 2－m 2＋1＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.因为直线l 与“相关圆”E 相切， 所以d ＝|m |1＋k 2＝m 21＋k 2＝23， 所以3m 2＝2＋2k 2， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)(2m 2－2)1＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m2＝3m 2－2k 2－21＋2k 2＝0.所以OA ―→⊥OB ―→，所以∠AOB ＝π2.综上，∠AOB 为定值．。

高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析1.已知向量，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，故选B.【考点】本题考查平面向量的坐标运算，属于容易题.2.在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)＝________．【答案】【解析】由＝2知，P为△ABC的重心，所以＋＝2，则·(＋)＝2·＝2||||cos 0°＝2×××1＝．3.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴=（m，n）与=（1，﹣1）不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈（0，】•≥0，∴m﹣n≥0，即m≥n．当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P==．故选C．4.已知向量，，若与垂直，则实数 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，因为与垂直，则，解得.【考点】平面向量垂直的充要条件.5.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为______．【答案】5【解析】建立如图所示的直角坐标系，设DC＝m，P(0，t)，t∈[0，m]，由题意可知，A(2,0)，B(1，m)，＝(2，－t)，＝(1，m－t)，＋3＝(5,3m－4t)，|＋3|＝≥5，当且仅当t＝m时取等号，即|＋3|的最小值是5.6.如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，〈，〉＝60°，则||＝________.【答案】【解析】因为〈，〉＝60°，所以·＝||||·cos 60°＝3×＝，又＝(＋)，所以＝(+)2＝，即2＝ (1＋3＋9)＝，所以||＝.7.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,故选B.【考点】向量的加减法，加法运算要首尾相接，减法运算要同起点.8.已知A、B、C是直线l上的三点，向量满足，则函数的表达式为．【答案】【解析】这题涉及到向量的一个性质（课本上有一个习题有类似的结论），不在直线上，，则三点共线．利用这个结论本题就有，两边对求导数得：，因此，从而，所以．【考点】三点共线的性质，导数．9.已知向量．(1)若，求；(2)求的最大值．【答案】(1)(2)【解析】(1)由向量垂直的充要条件:,这样就可得到关于的函数 ,化简得的值,结合题中所给的范围,不难确定出的的值; (2)由已知的坐标,可求出的坐标,在根据向量求模的公式由出题中的模的表达式,由三角函数的图象和性质,分析得由的范围求出的范围,进而得出的范围,即可求出的最大值.试题解析：解(1)若，则 3分即而，所以 6分(2) 12分当时，的最大值为 14分【考点】1.向量的运算;2.三角函数的图象和性质10.已知向量，的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是________．【解析】依题意，设，，如图，则，，由于，是直角三角形，且，故向量在向量方向上的投影是0.【考点】平面向量的夹角、模，一个向量在另一个向量上的投影.11.如图，已知圆：，为圆的内接正三角形，为边的中点，当正绕圆心转动，同时点在边上运动时，的最大值是。

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。

5．难度系数：0.65。

第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．5．如图，在平行六面体ABCD 则AC'的长为（）A．98562+B．【答案】A-'【解析】平行六面体ABCD A故选：A7．已知椭圆的方程为2 9 x+的周长的最小值为（）A．8B 【答案】C则由椭圆的中心对称性可知可知12AF BF 为平行四边形，则可得2ABF △的周长为2AF A ．0B ．【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．则21242||222y y m HC ++===12||4||22yy p AB HM ++===所以||2sin ||2(HC m HMN HM m ∠==因为20m ≥，所以212(1)m ∈三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．则11,22BN BA BD DM =+ 所以1122BN DM BA ⎛⋅=+ ⎝ 1144BA BC BD BC =⋅+⋅-uu r uu u r uu u r uu u r四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知两直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点为P ．(1)直线l 过点P 且与直线310x y ++=平行，求直线l 的一般式方程；(2)圆C 过点()1,0且与1l 相切于点P ，求圆C 的一般方程．【解析】（1）直线l 与直线310x y ++=平行，故设直线l 为130x y C ++=，（1分）联立方程组203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩．（3分）∴直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点()11P --，．16．（15分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在线段1CC 上，且14CC CE = ，点F 为BD 中点.(1)求点1D 到直线EF 的距离；(2)求证：1A C ⊥面BDE .【解析】（1）如图,以D 为原点，以,DA DC 正四棱柱111ABCD A B C -()()(10,0,4,0,2,1,1,1,0D E F ∴则点1D 到直线EF 的距离为：17．（15分）18．（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M 为棱PC 的中点.(1)证明：BM ∥平面PAD ；(2)若5PC =，1AB =，（2）1AB = ，2DC ∴=，又PD 222PC PD DC ∴=+，则PD DC ⊥又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PD ∴⊥平面ABCD ，（7分）19．（17分）416（2）（i ）由题意知直线l 的方程为联立221416x y ⎧-=⎪⎨，化简得(4m 2（ii ）1212232,41m y y y y m -+=-直线AD 的方程为11y y x =+。

圆锥曲线常用的二级结论椭圆与双曲线对偶结论椭圆双曲线标准方程()222210x ya ba b+=>>焦点()()12,0,,0F c F c-()222210,0x ya ba b-=>>焦点()()12,0,,0F c F c-焦半径1020,PF a ex PF a ex=+=-e为离心率，x为点P的横坐标.1020,PF ex a PF ex a=+=-e为离心率，x为点P的横坐标.焦半径范围a c PF a c-≤≤+P为椭圆上一点，F为焦点.PF a c≥-P为双曲线上一点，F为焦点.通径过焦点与长轴垂直的弦称为通径.通径长为22ba过焦点与实轴垂直的弦称为通径.通径长为22ba如图，直线l过焦点1F与椭圆相交于,A B两点.则2ABF△的周长为4a.（即224F A F B AB a++=）如图，直线l过焦点1F与双曲线相交于,A B两点.则224F A F B AB a+-=.焦点弦倾斜角为α的直线l过焦点F与椭圆相交于,A B两点.焦点弦长()222222sinabABa b bα=-+.最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.倾斜角为α的直线l过焦点F与双曲线相交于,A B两点.焦点弦长()222222sinabABa b bα=+-.AF与BF数量关系直线l过焦点F与椭圆相交于,A B两点，则2112aAF BF b+=.直线l过焦点F与双曲线相交于,A B两点，则2112aAF BF b+=.已知点P是椭圆上一点，O坐标原点，则b PO a≤≤.已知点P是双曲线上一点，O坐标原点，则PO a≥.焦三角形如图，P是椭圆上异于长轴端点的一点，已知12F PFθ∠=，12PF Fα∠=，21PF Fβ∠=，则（1）122tan2PF FS bθ=△；（2）离心率sinsin sineθαβ=+.如图，P是双曲线上异于实轴端点的一点，已知12F PFθ∠=，12PF Fα∠=，21PF Fβ∠=，则（1）1222cot2tan2PF FbS bθθ==△；（2）离心率sinsin sineθαβ=-.垂径定理如图，已知直线l与椭圆相交于,A B两点，点M为AB的中点，O为原点，则22OM ABbk ka=-.如图，已知直线l与双曲线相交于,A B两点，点M为AB的中点，O为原点，则22OM ABbk ka=.（注：直线l与双曲线的渐近线相交于,A B两点，其他条件不变，结论依然成立）周角定理如图，已知点,A B椭圆长轴端点（短轴端点），P是椭圆上异于,A B的一点，则22PA PBbk ka=-.推广：如图，已知点,A B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于,A B的一点，若直线,PA PB的斜率存在且不为零，22PA PBbk ka=-如图，已知点,A B双曲线实轴端点，P是双曲线上异于,A B的一点，则22PA PBbk ka=.推广：如图，已知点,A B是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上异于,A B的一点，若直线,PA PB的斜率存在且不为零，22PA PBbk ka=.直线l过焦点(),0F c与椭圆相交于,A B两点，点2,0aPc⎛⎫⎪⎝⎭，则APF BPF∠=∠（即0PA PBk k+=）.直线l过焦点(),0F c与双曲线相交于,A B两点，点2,0aPc⎛⎫⎪⎝⎭，则APF BPF∠=∠（即0PA PBk k+=）.切线方程已知点()00,P x y是椭圆上一点，则椭圆在点P处的切线方程为00221x x y ya b+=.已知点()00,P x y是双曲线上一点，则双曲线在点P处的切线方程为00221x x y ya b-=.双曲线的结论1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：设斜率为k 的直线l 过定点()()0,0P t t ≠，双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，过点P 与双曲线相切时的斜率为0k .（1）当0bk a≤<时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；（2）当bk a=时，直线l 与双曲线只有一个交点；（3）当0bk k a<<时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；（4）当0k k =时，直线l 与双曲线只有一个交点；（5）当0k k >时，直线l 与双曲线没有交点.2．如图，(),0F c 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点，过点F 作FH 垂直双曲线的其中一条渐近线，垂足为H ，O 为原点，则,OH a FH b ==.3．点P 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上任意一点，则点P 到双曲线的渐近线的距离之积为定值2222a b a b +.4．点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上任意一点，过点P 作双曲线的渐近线的平行线分别与渐近线相交于,M N 两点，O 为原点，则平行四边形OMPN 的面积为定值2ab.抛物线的结论如图，抛物线方程为()20y px p =>，准线2p x =-与x 轴相交于点P ，过焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，O 为原点，直线l 的倾斜角为α.1．212212,4.p x x y y p ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2．焦半径：12p AF x =+，22pBF x =+，12AB x x p =++.3．焦点弦：22sin p AB α=.4．,AF BF 的数量关系：112AF BF p+=，22sin p AF BF α⋅=.5．三角形AOB 的面积22sin AOBp S α=△.6．以焦点弦AB 为直径的圆与准线相切；以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切.7．直线,PA PB 的斜率之和为零（0PA PB k k +=），即APF BPF ∠=∠.8．点,,A O N 三点共线；点,,B O M 三点共线.9．如图，点,A B 是抛物线()20y px p =>，O 为原点，若90AOB ∠=o ，则直线AB 过定点()2,0p.。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！1.1 空间向量及其运算（精讲）考点一 概念的辨析【例1】（2020·全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（）A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等【答案】D【解析】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.C.零向量：模长为0的向量.真命题.D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D.【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：①若向量,a b r r 共线，则,a b r r 所在的直线平行；②若向量,a b r r 所在的直线是异面直线，则,a b r r一定不共面；③若三个向量,a b c r r r ，两两共面，则,a b c r r r ，三个向量一定也共面；④已知三个向量,a b c r r r ，，则空间任意一个向量p r 总可以唯一表示为p xa yb zc =++r r r r.其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于③：若三个向量,,a b c r r r 两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于④：根据空间向量的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，所以选A2.（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：①若a r 、b r 共线，则a r 、b r 所在的直线平行；②若a r 、b r 所在的直线是异面直线，则a r 、b r 一定不共面；③若a r 、b r 、c r 三向量两两共面，则a r 、b r 、c r 三向量一定也共面；④已知三向量a r 、b r 、c r ，则空间任意一个向量p u r 总可以唯一表示为p xa yb zc =++u r r r r .其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】①若a r 、b r 共线，则a r 、b r 所在的直线平行或重合；所以①错；②因为向量是可以自由移动的量，因此即使a r 、b r 所在的直线是异面直线，a r 、b r 也可以共面；所以②错；③若a r 、b r 、c r 三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此a r 、b r 、c r三向量不一定共面；所以③错；④若三向量a r 、b r 、c r 共面，若向量p u r 不在该平面内，则向量p u r 不能表示为p xa yb zc =++u r r r r ，所以④错.故选：A.考法二 空间向量的线性运算【例2】2020·江西赣州.高二期中（理））在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF uuu r 等于（ ）A ．1223EF AC AB AD ®®®®=+-B ．112223EF AC AB AD ®®®®=--+C ．112223EF AC AB AD ®®®®=-+D ．112223EF AC AB AD ®®®®=-+-【答案】B【解析】在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，所以EF EB BA AF®®®®=++1223AB AC AB AD ®®®®æö=--+ç÷èø112223AC AB AD ®®®=--+，即112223EF AC AB AD ®®®®=--+.故选：B.【一隅三反】1．（2020·南昌市八一中学）如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===uuu r r uuu r r uuu r r，且2OM MA =，BN NC =，则MN =uuuu r（ ）A ．221332a b c ++r r r B ．111222a b c +-r r r C ．211322a b c -++r r r D ．121232a b c -+r r r 【答案】C 【解析】因为MN ON OM =-uuuu r uuu r uuuu r ，又因为()()2211,3322a OM OA ON OB OC c b =+===+uuuu r uuu r r uuu r uuu r uuu r r r，所以211322MN a b c =-++uuuu r r r r .故选：C 2．（2020·宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==uuu r r uuu r r ,1AA c =uuur r ，则与BM uuuu r 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++r r r B ．1122a b c --+r r r C ．1122a b c -+r r r D ．1122-++r r r a b c 【答案】D 【解析】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+uuuu r uuur uuuur 11112AA B D =+uuur uuuur ()1111112AA B A A D =++uuur uuuu r uuuur ()112AA AB AD =+-+uuur uuu r uuu r 因为,AB a AD b ==uuu r r uuu r r ,1AA c =uuur r ，则()112AA AB AD +-+uuur uuu r uuu r 1122a b c =-++r r r 即1122BM a b c =-++uuuu r r r r ，故选：D.3．（2019·张家口市宣化第一中学高二月考）如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD uuu r +12（BC uuu r -BD uuu r ）等于（ ）A ．AD uuu r B ．FA uuu r C ．AF uuu rD ．EFuuu r 【答案】C 【解析】BC uuu r -BD uuu r ＝DC uuur ，11()22BC BD DC DF -==uuu r uuu r uuu r uuu r ，∴AD uuu r +12（BC uuu r -BD uuu r ）AD DF AF =+=uuu r uuu r uuu r ．故选C ．考点三 空间向量的共面问题【例3】（2020·全国高二）在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是（）A ．OM OA OB OC =--uuuu r uuu r uuu r uuu r B ．111532OM OA OB OC =++uuuu r uuu r uuu r uuu r C ．0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu u r r D ．0OM OA OB OC +++=uuuu r uuu r uuu r uuu r r 【答案】C 【解析】对于A 选项，由于11111--=-¹，所以不能得出,,,M A B C 共面.对于B 选项，由于1111532++¹，所以不能得出,,,M A B C 共面.对于C 选项，由于MA MB MC =--uuu r uuu r uuu u r ，则,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r 为共面向量，所以,,,M A B C 共面.对于D 选项，由0OM OA OB OC +++=uuuu r uuu r uuu r uuu r r 得OM OA OB OC =---uuuu r uuu r uuu r uuu r，而11131---=-¹，所以不能得出,,,M A B C 共面.故选：C 【一隅三反】1．（2020·全国高二）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++uuu v uuu v uuu v uuu v ，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______．【答案】18【解析】P ，A ，B ，C 四点共面，且3148OP OA OB OC t =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，31148t ++=，解得18t =.故答案为: 182．（2020·全国高二）已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有1133OM xOA OB OC =++uuuu v uuu v uuu v uuu v ，则x ＝________.【答案】13【解析】已知1133OM xOA OB OC =++uuuu v uuu v uuu v uuu v 且M ，A ，B ，C 四点共面，则11133x ++= ，解得x=133．（2019·随州市第一中学高二期中）空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD uuu r uuu r uuu r uuu r =--，则实数x 的值为（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A【解析】因为空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点P 都有5133PA PB xPC PD uuu r uuu r uuu r uuu r =--，所以51133x --=，解得13x =.故选A 4．（2020·全国高二课时练习）已知平行四边形ABCD 从平面AC 外一点O 引向量．,OE k OA OF k OB ®®®®==，,OG k OC OH k OD ®®®®==．求证：四点E ，F ，G ，H 共面【答案】证明见解析【解析】∵,OE k OA OF k OB ®®®®==；∴||OE OF k OA OB==；EF //AB ，且EF ＝|k |AB ；同理HG //DC ，且HG ＝|k |DC ，AB ＝DC ；∴EF //HG ，且EF ＝HG ；∴四边形EFGH 为平行四边形；∴四点E ，F ，G ，H 共面.考点四 空间向量的数量积【例4】（2020·全国高二课时练习）已知平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.（1）求AC ′的长；（如图所示）（2）求AC ¢uuuu r 与AC uuu r 的夹角的余弦值．【答案】（1；（2【解析】（1）可得AC ¢uuuu r ＝'AC CC +uuu r uuuu r ＝'AB AD AA ++uuu r uuu r uuur ，2AC ¢uuuu r ＝2AB AD AA ¢++uuu r uuu r uuur ＝22AB AD AA ¢++uuu r uuu r uuur +2（AB AD AB AA AD AA ¢¢×+×+×uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur ）＝42+32+52+2（4×3×0+4×1153522´+´´）＝85故AC ′的长等于AC ¢uuuu r＝（2）由（1）可知AC ¢uuuu r ＝AB AD AA ¢++uuu r uuu r uuur ，AC ¢uuuu r＝故AC AC ¢×uuuu r uuu r ＝（AB AD AA ¢++uuu r uuu r uuur ）×（AB AD +uuu r uuu r ）＝222AB AB AD AD AA AB AA AD ¢¢+×++×+×uuu ruuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r ＝2211424303545322+´´´++´´+´´＝852又AC uuu r ＝＝5故AC ¢uuuu r 与ACuuu r的夹角的余弦值＝AC AC AC AC ¢×¢×uuuu r uuu r uuuu r uuu r ＝=【一隅三反】1．（2019·宁夏贺兰县景博中学高二月考（理））平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量1AB,AD,AA uuu r uuu r uuuu r 两两的夹角均为60°,且|AB uuu r |=1,|AD uuu r |=2,|1AA uuuu r |=3,则|1AC uuuu r |等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8【答案】A 【解析】在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中有，11AC AB AD CC =++uuuu v uuu v uuu v uuuu v =1AB AD AA ++uuu v uuu v uuuv 所以有1AC uuuu v =1AB AD AA ++uuu v uuu v uuuv ，于是有21AC uuuu v =21AB AD AA ++uuu v uuu v uuuv 21AC uuuu v =2220001112cos602cos602cos60AB AD AA AB AD AB AA AD AA +++××+××+××uuu v uuu v uuuv uuu v uuu v uuu v uuuv uuu v uuuv =25所以15AC =uuuu v ，答案选A2．（2020·延安市第一中学高二月考（理））四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为矩形，2AB =，4=AD ，16AA =，1160A AB A AD Ð=Ð=o ，则1AC的长为（ ）A ．B ．46C ．D ．32【答案】C 【解析】由11AC AC CC =+uuuu r uuu r uuuu r ,2222211111()2AC AC AC CC AC AC CC CC ==+=+×+uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuuu r .由底面ABCD 为矩形得；241620AC =+=uuu r ，2136CC =uuuu r ，另；1160A AB A AD Ð=Ð=o ，1122()AC CC AB BC CC ×=+×uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r ,01126cos 606,12AB CC BC CC ×=´´=×=uuu r uuuu r uuu r uuuur 21120363692,AC AC =++==uuuu r uuuu r 3．（2020·四川雨城�雅安中学高二月考（理））若空间四边形OABC 的四个面均为等边三角形，则cos ,OA BC uuu r uuu r 的值为（ ）A ．12BC ．12-D ．0【答案】D【解析】依题意空间四边形OABC 的四个面均为等边三角形，设棱长均为a .而BC OC OB =-uuu r uuu r uuu r ，则()22cos cos 033OA OC OB OA OC OA OB a a p p ×-=×-×=×-×=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 所以()cos ,0OA OC OB OA BC OA BC OA BC OA BC ×-×===××uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故选：D 4．（2020·全国高二课时练习）.1BB ⊥平面ABC ，且△ABC 是∠B ＝90°的等腰直角三角形，▱A 11B A B 、▱B 11B C C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB ＝a ，求异面直线1BA 与AC 所成的角.【答案】60°【解析】如图所示.因为11,BA BA BB AC AB BC=+=+uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r 故()()1111BA AC BA BB AB BC BA AB BA BC BB AB BB BC ×=+×+=×+×+×+×uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r 因为AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，故2110,0,0,AB BC BB AB BB BC BA AB a ×=×=×=×=-uuu r uuu r uuur uuu r uuuruuu r uuu r uuu r故21BA AC a ×=-uuu r uuu r 又111,BA AC BA AC cos BA AC×=××uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r故11,2cos BA AC ==-uuu r uuu r .而[]1,0,BA AC p Îuuu r uuu r ，故可得1,120BA AC =°uuu r uuu r <>，又∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴异面直线BA 1与AC 成60°角.。

一、选择题1．已知斜率为16的直线l 与双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>:相交于B 、D 两点，且BD 的中点为(1,3)M ，则C 的离心率为（ ）A ．2B C ．3 D 2．平面α内有一条直线m ，过平面α外一点P 作直线n 与m 所成角为6π，则直线n 与平面α交点的轨迹是（ ） A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线3．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（ ）A ．54 B ．45C ．43D ．344．已知椭圆22:13620x y C +=的右焦点是F ，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两点，则222AF BF +的最小值是（ ） A ．36B ．48C ．72D ．965．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上，且满足||||PA m PF =，则m 的最大值是（ ）A ．1BC ．2D ．46．过抛物线24y x =的焦点作两条相互垂直的弦AB ，CD ，且AB CD AB CD λ+=⋅，则λ的值为（ ）A ．12B ．14C ．18D ．1167．已知M 是抛物线2:C x y =上一点，记点M 到抛物线C 的准线的距离为1d ，到直线:3490l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是侧面11BCC B 内一点，且点P 满足到平面11ABB A 的距离等于到点1C 的距离，则点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分9．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，则C 的离心率取值范围为（ ）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(C ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，()1221,2i i M F M F a i -==，且1M ，2F ，2M 三点共线，点D 在线段21M F 上，且1121F M D M M D ∠=∠1112122M F M F M D +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．2y x =±D ．y =11．设1F 、2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1PF <2PF ，线段1PF 垂直平分线经过2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e 、2e ，则129e e +的最小值（ ）A ．2B ．4C ．6D ．812．“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示为椭圆”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．已知双曲线()22210y x a a -=>的离心率e =12,F F 分别是它的下焦点和上焦点，若Р为该双曲线上支上的一个动点，则1PF 与P 到一条渐近线的距离之和的最小值为_________．14．双曲线()222210,0x y a b a b-->>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线l 与双曲线有唯一交点P ，若124sin 5F PF ∠=，则该双曲线的离心率为___________. 15．已知椭圆22:143x y C +=的左､右焦点分别为12F F 、，过2F 且倾斜角为π4的直线l交椭圆C 于A B 、两点，则1F AB 的面积为___________.16．已知点A ，B 为抛物线C ：24y x =上不同于原点O 的两点，且OA OB ⊥，则OAB 的面积的最小值为__________.17．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，A ()00,x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =________.18．已知椭圆222:1(06)6x y G b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+．当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个；③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是___________．19．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为6π的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围___________.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:17y x Γ-=的两个焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心，12F F 长为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线交于M ，N 两点，若OM ON ≥，则OMON的值为________. 三、解答题21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到直线:l y x =的距离为2,A B ，为抛物线C 上两个动点，满足线段AB 的中点M 在直线l 上，点(0,2)N .（1）求抛物线C 的方程； （2）求NAB △面积的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知两点()1,0M -，()1,0N ，动点Q 到点M 的距离为，线段NQ 的垂直平分线交线段MQ 于点K ，设点K 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）已知点()2,0P ，设直线l ：10x my +-=与曲线E 交于A ，B 两点，求证：OPA OPB ∠=∠.23．设1F ､2F 分别是椭圆2214xy +=的左､右焦点.（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的取值范围；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A ､B ，且AOB ∠为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围.24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点()2,1A ，椭圆C 在点A 处的切线方程为3y x =-+.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()3,0B 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 分别与直线3x =-分别交于P ，Q ，记点P,Q 的纵坐标分别为p ，q ，求p q +的值.25．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，点M 为短轴的一个端点，离心率为12，12MF F △的面积S = （1）求椭圆C 的方程；（2）设A 是椭圆上的一点，B 是点A 关于x 轴的对称点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别于x 轴交于不同的点C 、D ，O 为坐标原点，求POC POD S S ⋅△△的最大值，并求出此时P 点的坐标26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ∆的面积为92. （1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】设()()1122,,B x y D x y 、，用“点差法”表示出a 、b 的关系，即可求出离心率 【详解】设()()1122,,B x y D x y 、,则22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差得：22221212220x x y y a b---=， 整理得：()()()()2121221212y y y y b a x x x x +-=+-BD 的中点为(1,3)M ，且直线l 的斜率为16 ，代入有：22611262b a =⨯=即22212c a a -=，解得62ce a . 故选：D 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．2．D解析：D 【分析】过点P 作PO α⊥，以点O 为坐标原点，OP 为z 轴，以定直线m 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设出坐标，分别表示出直线AB 与PM 的方向向量，利用夹角公式即可得出． 【详解】解：过点P 作PO α⊥，以点O 为坐标原点，OP 为z 轴，以定直线m 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设1OP =，30PBO ∠=︒，OB ∴=． 则(0P ，0，1)，B ．设点(Q x ，y ，0)，则(,,1)PQ x y =-，取直线m 的方向向量为(0,1,0)u =． 直线AB 与PQ 所成的角为30，2||cos30||||PQ u PQ u x ∴︒===+化为2213yx-=，即为点Q的轨迹．故选：D．【点睛】熟练掌握通过建立如图所示的空间直角坐标系利用异面直线的夹角公式求得轨迹的方法是解题的关键．3．D解析：D【分析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y，则可得切线,GP GQ的方程，即可得到直线PQ的方程，进而可求出点点,M N的坐标，再结椭圆方程可求出2231OM ON+的值【详解】解：设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y，则切线GP的方程为114x x y y+=，切线GQ的方程为224x x y y+=，因为点G在切线,GP GQ上，所以13134x x y y+=，23234x x y y+=，所以直线PQ的方程为334x x y y+=，所以3344(,0),(0,)M Nx y，因为点33(,)G x y在椭圆221124y x+=上，所以2233312x y+=，所以22223333223311123(3)161616164x yx yOM ON+=+=+==，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的标准方程，以及简单性质有应用，解题的关键是设点33(,)G x y ，再由已知条件得到直线PQ 的方程为334x x y y +=，从而可得,M N 的坐标，进而可得答案，考查计算能力和转化能力，属于中档题4．D解析：D 【分析】求得2AF BF a +=，结合a c BF a c -<<+，利用二次函数的基本性质可求得222AF BF +的最小值.【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，在椭圆C 中，6a =，25b =，则224c a b =-=，由题意可知，点A 、B 关于原点对称，且O 为FF '的中点， 所以，四边形AFBF '为平行四边形，所以，BF AF '=，由椭圆的定义可得212AF BF AF AF a '+=+==，0k ≠，a c BF a c ∴-<<+，即210BF <<，()()2222222122324144349696AF BF BFBF BF BF BF ∴+=-+=-+=-+≥，当且仅当4BF =时，等号成立，因此，222AF BF +的最小值为96. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出AF BF +；（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.5．B解析：B 【分析】由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点，过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，利用抛物线的定义可得1sin PAE m=∠，求出sin PAE ∠的最小值后可得m 的最大值. 【详解】由抛物线24x y =可得准线方程为：1y =-，故()0,1A -.如图，由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点， 过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，则PE PF =，故1||||sin ||||PF PE PAE m PA PA ===∠， 当直线AP 与抛物线相切时，PAE ∠最小， 而当P 变化时，02PAE π<∠≤，故当直线AP 与抛物线相切时sin PAE ∠最小，设直线:1AP y kx =-，由241x yy kx ⎧=⎨=-⎩得到2440x kx -+=，216160k ∆=-=，故1k =或1k =-（舍），所以直线AP 与抛物线相切时4PAE π∠=，故1m 的最小值为22即m 2， 故选：B. 【点睛】方法点睛：与抛物线焦点有关的最值问题，可利用抛物线的定义把到焦点的距离问题转化为到准线的距离问题.6．B解析：B 【分析】首先设直线AB 的方程为1x ty =+， 与抛物线方程联立分别求AB 和CD ，分别计算AB CD +和AB CD ，再求λ的值.【详解】24y x =的焦点为()1,0，设AB 的直线方程为1x ty =+，CD 的直线方程为11x y t=-+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-，则()241AB t ==+，同理2141CD t ⎛⎫=+⎪⎝⎭，22142AB CD t t ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 221162AB CD t t ⎛⎫⋅=++ ⎪⎝⎭， 故14λ=. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用弦长公式求AB ，并且利用AB CD ⊥，将t 换成1t-求CD . 7．B解析：B 【分析】作出图形，过点M 分别作抛物线C 的准线l 和直线3490x y ++=的垂线，垂足分别为点B 、A ，由抛物线的定义得出1d MB MF ==，可得出12d d MF MA +=+，利用FM 与直线3490x y ++=垂直时，12d d +取最小值，然后计算出点F 到直线3490x y ++=的距离，即为所求.【详解】 如下图所示：过点M 分别作抛物线C 的准线l 和直线3490x y ++=的垂线，垂足分别为点B 、A ， 由抛物线的定义可得1d MB MF ==，则12d d MF MA +=+， 当且仅当FM 与直线3490x y ++=垂直时，12d d +取最小值， 点F 到直线3490x y ++=的距离为22130494234d ⨯+⨯+==+，因此，12d d +的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题求出抛物线上一点到准线和定直线的距离之和最小值问题，解题的关键就是利用F 、A 、M 三点共线取最小值，结合抛物线的定义转化求解.8．D解析：D 【分析】由题意画出图形，可知点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等， 所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线． 【详解】如图，点P 是侧面11BCC B 内的一动点，点P 到直线1BB 的距离即为点P 到面11ABB A 的距离， 因为点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等， 所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线， 故选：D ． 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方法之定义法：将动点轨迹化归为某一基本轨迹（圆，椭圆，双曲线，抛物线等），然后利用基本轨迹的定义，直接写出方程.9．A解析：A 【分析】根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,列出关于e 的不等式，求解范围.【详解】取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以22222222224(2)444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 221111⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，即2249902116160e e e e ⎧--≤⎨--≥⎩，解得433≤≤e . 故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．10．B解析：B 【分析】先取11M F 的中点E ，由题意分析12M F DE 为菱形，得到()()222442c a a =-，从而求出渐近线方程. 【详解】由()1221,2i i M F M F a i -==知：M 1、M 2在双曲线上. 取11M F 的中点E ，连接DE ，2DF ，由111211111222,22,M F M F M D M F M D M F +=∴=-，即112122,M F F D F DE M =∴=,可知四边形12MF DE 为平行四边形；又1M D 为112F M F 的角平分线，故四边形12M F DE 为菱形，1212M E F M F D DE ===又21//DE M M 故D 为线段21M F 的中点； 因为211//DF M F ，故2F 为线段12M M 的中点， 故1222M F F M =； 所以21112M F M F =由双曲线的定义：11122M F M F a -=，所以21114,2M F a M F a == 而12M M x ⊥轴，故222121112F F M F M F =-， 故()()222442c a a =-，故==ce a， 故双曲线C的渐近线方程为y = 故选B ． 【点睛】求双曲线的渐近线的方法:（1）直接令标准方程22221x y a b-=中的1变成0,得到22220x y a b -=,利用平方差公式得到渐近线方程: bxy a=±； （2）根据题意，找到找到a 、b 、c 的关系，消去c ，从而求出渐近线方程.11．D解析：D 【分析】设椭圆和双曲线的方程，由题意可得2122PF F F c ==，再利用椭圆和双曲线的定义分别求出1PF ，即可得122a a c +=，计算12112e e +=，()121212111992e e e e e e ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可求最值. 【详解】设椭圆1C 的方程为2222111x y a b +=，则222111c a b =-，设双曲线2C 的方程为2222221x y a b -=，则222222c a b =+，因为椭圆1C 和双曲线2C 的焦点相同，所以2212c c =，设12c c c ==即22221122a b a b -=+，因为P 是椭圆1C 和双曲线2C 的一个公共点，所以1212+=PF PF a ，2122PF PF a -=，因为线段1PF 垂直平分线经过2F ，所以2122PF F F c ==，所以1122PF a c =-，且1222PF c a =-， 所以122222a c c a -=-，可得122a a c +=， 所以11c e a =，22c e a =，所以1212121122a a a a ce e c c c c++=+===， 所以()211212121291111991022e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11101023822⎛≥+=+⨯= ⎝， 当且仅当21129e e e e =，即213e e =时等号成立， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件得出122a a c +=，进而可得12112e e +=， 再利用基本不等式可求最值.12．C解析：C 【分析】根据方程2214x y a a +=-表示椭圆求出实数a 的取值范围，然后利用集合的包含关系可判断出“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的条件.【详解】若方程2214x y a a+=-表示椭圆，则0404a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得02a <<或24a <<， 记为{}02,24A a a a =<<<<或， 又记{}04B a a =<<，AB则“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出方程为椭圆的充分必要条件.二、填空题13．【分析】根据离心率先求出双曲线的方程得出渐近线方程根据双曲线的定义可得：所以设点到一条渐进线的距离为则从而得出答案【详解】双曲线的离心率所以解得所以双曲线由的双曲线的渐进线方程为由为该双曲线上支上的 解析：5【分析】根据离心率先求出双曲线的方程，得出渐近线方程，根据双曲线的定义可得：1224PF PF a -==，所以124PF PF =+，设点Р到一条渐进线的距离为d ，则124PF d PF d +=++，从而得出答案.【详解】双曲线()22210y x a a -=>的离心率e =所以221514e a =+=，解得2a =，所以((120,,F F 双曲线2214y x -=，由2204y x -=，的双曲线的渐进线方程为2y x =±由Р为该双曲线上支上的一个动点，根据双曲线的定义可得：1224PF PF a -== 所以124PF PF =+，设点Р到渐进线2y x =的距离为d则124PF d PF d +=++，过2F 作渐进线2y x =的垂线，垂足为M ,如图.所以21F M ==所以122445PF d PF d F M +=++≥+=同理1PF 与P 到渐近线2y x =-的距离之和的最小值为5 故答案为：5【点睛】关键点睛：本题考查利用双曲线的定义解决距离之和的最值问题，解答本题的关键是根据双曲线的定义可得：1224PF PF a -==，所以124PFPF =+，设点Р到渐进线2y x =的距离为d ，则124PF d PF d +=++，过2F 作渐进线2y x =的垂线，属于中档题.14．或【分析】首先设出直线的方程与双曲线方程联立求得点的坐标利用弦长公式求得并根据定义表示中根据余弦定理表示再求离心率【详解】如图当直线与渐近线平行时与双曲线有唯一交点设与双曲线方程联立得解得：中由余弦217 【分析】首先设出直线l 的方程，与双曲线方程联立，求得点P 的坐标，利用弦长公式求得1PF ，并根据定义表示2PF ，12F PF △中，根据余弦定理表示12281cos 3F PF e ∴-∠=+，再求离心率. 【详解】如图，当直线与渐近线平行时，l 与双曲线有唯一交点P ，设():bl y x c a=+，与双曲线方程联立，得222cx a c -=+，解得：22a cx c+=-，()22222122122P b c a c b PF c c a a c a +=+--=+=，2221422b a PF PF a a +=+=，122F F c =， 12F PF △中，124sin 5F PF ∠=，123cos 5F PF ∴∠=±， 由余弦定理222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠()()212121221cos PF PF PF PF F PF =-+-∠，()()()2222212244221cos 4b a b c a F PF a+∴=+⋅-∠，2212222228881cos 433a a F PFb ac a e ∴-∠===+++， 当123cos 5F PF ∠=时，28235e =+，17e =， 当123cos 5F PF ∠=-时，28835e =+，2e =，172 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：222111c b e a a b c ==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.15．【分析】先求出直线的方程与椭圆方程联立消去x 求出|y1-y2|利用即可求出的面积【详解】由题意得:直线:设则有:消去x 得:7y2+6y-9=0∴即的面积为【点睛】求椭圆(双曲线)的焦点弦三角形的面积 解析：1227【分析】先求出直线l 的方程,与椭圆方程联立,消去x ,求出| y 1- y 2|,利用11212|1|||2F AB S F F y y =-△即可求出1F AB 的面积. 【详解】由题意得: 直线l :1y x =-, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有:2213412y x x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得:7y 2+6y -9=0,∴121269,77y y y y +=-=-12211111|||227|2227F AB S F F y y -∴=⨯=⨯⨯==△即1F AB 的面积为7【点睛】求椭圆(双曲线)的焦点弦三角形的面积: （1）直接求出弦长|AB |,利用11||2F AB AB d S =△; （2）利用11212|1|||2F AB S F F y y =-△. 16．【分析】设利用可得即可求得利用两点间距离公式求出面积利用基本不等式即可求最值【详解】设由可得解得：所以当且仅当时等号成立所以的面积的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是设坐标采用 解析：16【分析】设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，利用OA OB ⊥可得0OA OB ⋅=即可求得1216y y =-，利用两点间距离公式求出OA 、OB ，面积12OABS OA OB =，利用基本不等式即可求最值. 【详解】设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭， 由OA OB ⊥可得2212121212104416y y y y OA OB y y y y ⎛⎫⋅=⨯+=+= ⎪⎝⎭， 解得：1216y y =-，1OA y ==OB y ==11122OABSO y O y A B ==12⨯=≥=，22221212216161616y y y y +=+≥=，所以16OABS≥==，当且仅当12y y =时等号成立， 所以OAB 的面积的最小值为16， 故答案为：16. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是设A ，B 坐标，采用设而不求的方法，将OA OB ⊥转化为0OA OB ⋅=，求出参数之间的关系，再利用基本不等式求12OABSOA OB =的最值. 17．【分析】根据焦半径公式可得：结合抛物线方程求解出的值【详解】由抛物线的焦半径公式可知：所以故答案为：【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴抛物线上任意一点则；（2 解析：1【分析】根据焦半径公式可得：00524x p x +=，结合抛物线方程求解出0x 的值. 【详解】由抛物线的焦半径公式可知：0015224AF x x =+=，所以01x =， 故答案为：1. 【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 18．①③【分析】运用椭圆的定义可得也在椭圆上分别画出两个椭圆的图形即可判断①正确；通过的变化可得②不正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时的值取得最小即可判断③【详解】解：椭圆的两个焦点分别为解析：①③ 【分析】运用椭圆的定义可得P 也在椭圆222166y x b+=-上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；通过b 的变化，可得②不正确；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，||OP 的值取得最小，即可判断③．【详解】解：椭圆222:1(06x y G b b+=<<的两个焦点分别为1F ，0)和2(F 0)，短轴的两个端点分别为1(0,)B b -和2(0,)B b ，设(,)P x y ，点P 在椭圆G 上，且满足1212||||||||PB PB PF PF +=+，由椭圆定义可得，12||||22PB PB a b +==>，即有P 在椭圆222166y x b+=-上． 对于①，将x 换为x -方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称， 故①正确；对于②，由图象可得轨迹关于x ，y 轴对称，且0b <<则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，故②不正确；对于③，点P 靠近坐标轴时(0b →或b →，||OP 越大，点P 远离坐标轴时，||OP 越小，所以226b b -=，即23b =时，取得最小值，此时22:163x y G +=，与22163y x +=两方程相加得222222x y +=⇒=，即||OP 的最小值为 2，故③正确．故答案为：①③．【点睛】本题考查椭圆的对称性及由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆，及到定点距离的最值的判断．19．【分析】作出图形根据已知条件可得出与的大小关系再利用公式可求得双曲线的离心率的取值范围【详解】如下图所示双曲线的渐近线方程为由于过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点由图可知直线的倾斜解析：23,⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【分析】作出图形，根据已知条件可得出b a 与tan 6π的大小关系，再利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】如下图所示，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由于过点F 且倾斜角为6π的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，由图可知，直线by xa=的倾斜角6πα≥，所以，tan63baπ≥=，因此，cea====≥所以，该双曲线的离心率为取值范围是3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.【点睛】方法点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a、b、c的齐次关系式，将b用a、e表示，令两边同除以a或2a化为e的关系式，进而求解．20．【分析】求出双曲线的两个焦点坐标和渐近线方程再求圆的方程与渐近线方程联立可得MN两点的横坐标由即为横坐标的绝对值的比可得答案【详解】由已知得取双曲线的一条渐近线所以圆的方程为由整理得解得取双曲线的另解析：32【分析】求出双曲线的两个焦点坐标和渐近线方程，再求圆的方程与渐近线方程联立可得M，N两点的横坐标，由OMON即为横坐标的绝对值的比可得答案.【详解】由已知得2221,7,8a b c===，2c=，12(F F-，取双曲线的一条渐近线y=，所以圆的方程为(2232x y+=-，由(2232yx y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩整理得2260x-=，解得2NMx x==，32MNMOxxON===.取双曲线的另一条渐近线y=，(2232yx y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩整理得2260x-=与上同，综上32OMON=.故答案为：32. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与双曲线、圆的位置关系，解答本题的关键是求出渐近线与圆的方程然后联立，得到M ，N 两点的横坐标再由绝对值做比值，考查了学生的运算求解能力.三、解答题21．（1）24y x =；（2）(0,4]. 【分析】（1）利用抛物线焦点F 到直线l的距离为2，求出抛物线方程； （2）设出直线AB 的方程与抛物线方程联立，由弦长公式和点线距公式表示出NAB △的面积，并由线段AB 的中点M 在直线l 上减少参数，利用换元法得出NAB △面积的取值范围． 【详解】（1）,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭由2pd ==，解得2p = 所以抛物线方程为24y x =（2）设直线AB 的方程为：221212,,,,44y y x my t A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭联立方程组24y x x my t ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y my t --=所以121244y y m y y t +=⎧⎨=-⎩，得(2,2)M m m有2212444y y m +=，即()21212216y y y y m +-= 所以222t m m =- 点N 到AB的距离h =||AB ==所以1||2|2|2NABSAB h m t =⋅⋅=+42m m =-令u =u = 由24y xy x =⎧⎨=⎩，得l 与抛物线的两交点坐标为(0,0),(4,4)， 因点M 在l 上可得(0,2)m ∈ 所以(0,1]μ∈ 得34(0,4]NABSu =∈【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查面积公式，解决本题的关键点是由弦长公式和点线距公式表示出NAB △的面积，并由线段AB 的中点M 在直线l 上减少参数，利用换元法和函数的性质得出NAB △的面积的取值范围，考查了学生计算能力，属于中档题．22．（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）利用中垂线的性质可得KN KQ =，从而得到2KM KN QM MN +==>=，利用椭圆的定义进行分析求解即可；（2）根据点P 的位置，确定OPA ∠，OPB ∠都是锐角，然后联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，再将问题转化为求证两个角的正切值相等，代入化简求解，即可证明． 【详解】（1）∵线段NQ 的垂直平分线交MQ 于点K ，∴||||KN KQ =，∴||||||||||2||KM KN KM KQ MQ MN +=+==>= ∴点K 的轨迹是以原点为中心，以,M N 为焦点的椭圆.设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则a =1c =，1b =，所以曲线E 的方程为2212x y +=（2）由221210x y x my ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去x 可得()222210m y my +--=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222m y y m +=+，12212y y m =-+. 易知PA ，PB 的斜率存在，则()()121212121212122221111PA PB y y y y y y my y k k x x my my my my +++=+=+=-------++，又因为121222222022m my y my y m m ++=-=++ 所以0PA PB k k +=，所以OPA OPB ∠=∠. 【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 23．（1）[]2,1-；（2）22k -<<-或22k <<. 【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得())12,F F ，设(),P x y ，利用向量数量积的坐标运算可得()2121384PF PF x ⋅=-，再由[]2,2x ∈-即可求解. （2）由题意可得直线0x =不满足题设条件，可设直线:2l y kx =+，将直线与椭圆方程联立，消去y ，可得()221416120kxkx +++=，0∆>，且12120OA OB x x y y ⋅=>+，结合韦达定理即可求解.【详解】解：（1）易知2,1,a b c ===())12,F F ，设(),P x y，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=---=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2-； 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1； ∴1PF ·2PF 的取值范围是[]2,1-（2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线:2l y kx =+，联立22244y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，整理得：()221416120k x kx +++= 由题意，()()2216414120k k ∆=-+⋅>得2k <-或2k >，① 令()()1122,,,A x y B x y ，∴1212221612,1414k x x x x k k+=-=++∵AOB ∠为锐角，∴cos 0AOB ∠>即0OA OB ⋅>， ∴12120OA OB x x y y ⋅=>+又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22222212322044141414k k k k k k=-+=-++++ ∴2221220401414k OA OB k k⋅=-+>++，解得24k <， ∴22k -<<，② 故由①､②得22k -<<-或22k <<. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用数量积()2121384PF PF x ⋅=-，确定[]2,2x ∈-，并且根据题意得出0OA OB ⋅>，考查了运算求解能力.24．（1）22163x y +=；（2）12.【分析】（1）椭圆C 过点()2,1A ，()2,1B --，在点A 处的切线方程为3y x =-+,可用待定系数法求椭圆的标准方程；（2）用设而不求法把p ，q 表示出来，整理化简即可. 【详解】（1）由题意知椭圆C 在()2,1A 处的切线方程为2221x y a b +=也为3y x =-+，∴222113a a b b ⎧=⎪==⇒⎨=⎪⎩椭圆C 的方程为22163x y +=.（2）直线l 的方程为()3y k x =-，()11,M x y ，()22,N x y()()2222232696026y k x x k x x x y ⎧=-⇒+-+-=⎨+=⎩ ()222212121860k xk x k +-+-=直线AM 方程为：()111212y y x x -=-+-，令()1151312y x p x --=-⇒=+- 直线AN 方程为()221212y y x x -=-+-，令()2251312y x q x --=-⇒=+- ∴()()1212121231311152522222k x k x y y p q x x x x ⎡⎤----⎛⎫--+=-++=-++⎢⎥⎪----⎝⎭⎣⎦()()()()()121212122121452105122222k x k k x k x x k k x x x x ⎡⎤------+-=-++=-++⋅+⎢⎥----⎣⎦()()()222222221241210512186244121244105122210512212k k k k k k k kk k k k k k -+=-++⋅+--+++-=-++⋅+-=-++⋅+=.即12p q +=.【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.25．（1）22143x y+=；（2）POC PODS S⋅△△的最大值为3，此时P点坐标为(0,和(.【分析】（1）由面积得bc=,,a b c，得椭圆方程；（2）设()00,A x y，则()00,B x y-，不妨设y>，设()11,P x y，写出直线,PA PB方程，求得,C D两点的横坐标，计算C Dx x⋅，注意点,A P是椭圆上的点由此可得4C Dx x⋅=为常数，这样可计算出POC PODS S⋅△△＝2Py，最大值易得．【详解】解：（1）由12ca=，2a c=，得b=，又12122MF FS c b=⨯⨯=△所以1c=，2a=，b=所以椭圆C的方程为22143x y+=（2）设()00,A x y，则()00,B x y-，不妨设y>，设()11,P x y则直线PA的方程为：()011101y yy y x xx x--=--，令y=，得100101Cx y x yxy y-=-，同理100101Dx y x yxy y+=+，所以222210012201C Dx y x yx xy y-⋅=-，又点A与点P均在椭圆上，故220413yx⎛⎫=-⎪⎝⎭，2211413yx⎛⎫=-⎪⎝⎭，得()222212201012222010141414334C Dyyy yy yx xy y y y⎛⎫⎛⎫---⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⋅===--，所以4C DOC CD x x⋅=⋅=为定值，因为221114224POC POD P p p pS S OC y OD y y y⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=△△由P为椭圆上的一点，所以要使POC PODS S⋅△△最大，只要2py最大而2py最大为3，所以POC POD S S ⋅△△的最大值为3，此时P 点坐标为(0,和(. 【点睛】关键点点睛：本题考查由离心率求椭圆方程，考查椭圆中的最值问题，解题方法是解析几何的基本方程：设点,A P 坐标，：求直线方程，求交点坐标，计算面积之积，得出结论：即设点,A P 坐标，求出直线,AP BP 方程，求出交点,C D 的坐标（横坐标，纵坐标为0），而2111224POC POD P p C D p S S OC y OD y x x y ⋅=⋅⋅⋅=⨯⋅⨯△△，再计算CD x x ⋅可得最大值时P 点位置．26．（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据椭圆离心率和椭圆的性质可知b =，再根据PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为 92，由面积公式可知()212922b ac a +⋅=，由此即可求出椭圆方程； （2）设直线PQ 的方程为1x my =+，联立椭圆方程，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由韦达定理，可知 12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，将直线AP 的方程()112+2y y x x =+与直线 BQ 的方程()2222y y x x =--联立，利用韦达定理，化简计算，即可证明结果. 【详解】 解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+，所以b =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92， 所以()212922b ac a +⋅=解得21,c = 所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为 1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得 ()2234690m y my ++-=.显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，。

圆锥曲线与方程同步测试一、选择题（本小题共12小题，每小题5 分,1•准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（60分)A. y22xB. y24xC. y22xD. y2 4x2x2.曲线——10 m 6A.焦距相等2ymB.离心率相等1（m 6）与曲线5 mC.焦点相同21(5 m9 mD.准线相同9)的(3已知两定点F i( 1,0)、F2(1,0)且RF2是PF1与PF2的等差中项，则动点P的轨迹方程是（2xA.162xB.—162乂1122xC.—42xD.32xa(A)二34.已知双曲线1(a(B)、2）的两条渐近线的夹角为-,则双曲线的离心率为（）32x 5.双曲线一m 1(mn2：63(D) 20）的离心率为2,有一个焦点与抛物线4x的焦点重合,则mn的值为（）A. A16 B. C.16D.6.设双曲线以椭圆x2 25渐近线的斜率为（A. 2B.7. 抛物线yA.17161长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点, 则双曲线的C.4x2上的一点M至U焦点的距离为B.1516D.1,则点7C.—8M的纵坐标是（D. 08.直线y=x+3与曲线弋—=1交点的个数为4A. 0B. 1C. 2D. 329过抛物线y4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A B两点，它们的横坐标之和等于5,则这样的直线（A.不存在B. ）有无穷多条C.有且仅有一条 D. 有且仅有两条頂1 2 210.离心率为黄金比-——-的椭圆称为“优美椭圆” •设笃爲1（a b 0）是优美椭圆,2 a bF、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个顶点，贝y FBA等于（）A. 60oB.75°C. 90°D.120°11.M是y x上的动点，N是圆（x 2 21) (y 4) 1关于直线x-y+1=0的对称曲线C上的一点，则|MN|的最小值是( )A. 1B.込1C.2D. \ 3122x2 12.点P(-3,1)在椭圆—2务1(a b 0）的左准线上，过点rP且方向向量为a （2, 5）a b的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A.乜B.1C.D.13322二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 如果双曲线5x2 4y2 20上的一点P到双曲线右焦点的距离是3,那么P点到左准线的距离是_________ 。

高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。

圆锥曲线圆锥曲线部分历来是高考的重点,也是学生心中的难点,很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.从高考成绩分析上来看,圆锥曲线也是高考得分较低的部分;从考纲上来看,一般会"考查学生对解析几何基本概念的掌握情况,考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况,适当地考查学生对几何学知识的综合应用能力,重视对数学思想方法的渗透".通过近几年的高考可以看到浙江高考题在圆锥曲线这一块考抛物线较多。

圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1）问起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题方法总结1.圆锥曲线中最值问题的求解方法（1）几何法：通过利用圆锥曲线的定义和几何性质进行求解（2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．函数主要是二次函数、对勾函数或者导数求解，不等式主要是运用基本不等式求解2.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．3定点、定值模板1.寻找适合运动变化的量或者参数，如点坐标，直线的斜率，截距等，把相关问题用参数表示备用，或者找寻带有参数的直线与曲线联立方程组，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用韦达定理列出x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2的关系式备用2.根据已知条件把定点、定值问题转化为与参数有关的方程问题，与第一步的结论对接3，确定与参数无关点、值，即为所求.1．（2021·湖南·高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()20A ，3（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1y x =-与椭圆C 相交于P Q ，两点，求AP AQ ⋅的值. 【详解】（1）椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点()20A ，，所以2a =， 32c ca ==，所以3c =222431b ac =-=-=， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2580x x ，解得128,05x x ==，所以118583155x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，或110011x y =⎧⎨=-=-⎩，可得83,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1Q -，或者83,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1P -，所以()834312,02,155555AP AQ ⎛⎫⋅=-⋅--=-= ⎪⎝⎭.2．（2021·江苏·高考真题）已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x <时，()()log 2a f x x x =-+(0a >，且1a ≠).又直线():250l mx y m m R +++=∈恒过定点A ，且点A 在函数()f x 的图像上.(1) 求实数a 的值； (2) 求()()48f f -+的值； (3) 求函数()f x 的解析式. 【详解】(1) 由直线l 过定点可得：(2)5m x y +=--，由2050x y +=⎧⎨--=⎩，解得25x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线l 过定点()2,5A --.又因为0x <时，()log ()2a f x x x =-+， 所以(2)log 245a f -=-=-， 有log 21a =-，12a =. (2) 12(4)log 4810f -=-=-， 因为()f x 为偶函数，所以12(8)(8)log 81619f f =-=-=-， 所以(4)(8)29f f -+=-.(3) 由(1)知，当0x <时，12()log ()2f x x x =-+. 当0x >时，0x -<，1122()log 2()log 2f x x x x x-=+⋅-=-，又()f x 为偶函数，所以12()()log 2f x f x x x =-=-，综上可知，1212log ()20()log 20x xx f x x x x -+<⎧⎪=⎨->⎪⎩.3．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(2,0)F 6（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN = 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距2c =6c e a =，所以3a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线(:2MN y k x =即20kx y k --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>2211k k =+，解得1k =±，联立(22213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得246230x x -+=，所以12122343x x x x +=⋅=，所以()212121143MN x x x x =++-⋅所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>211b k =+，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++， 所以()2222212122263314141313kb b MN k x x x x kk k -⎛⎫=++-⋅=+--⋅ ⎪++⎝⎭22241k k =+3 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以12k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:2MN y x =或2y x =-+所以直线MN 过点(2,0)F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =4．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围. 【详解】（1）因为2MF =，故2p =，故抛物线的方程为：24y x =. （2）[方法一]：通式通法设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ， 所以直线:2y l x n =+，由题设可得1n ≠且12t ≠.由214x ty y x=+⎧⎨=⎩可得2440y ty --=，故12124,4y y y y t =-+=， 因为2RN PN QN =⋅，故21111+1+1+444R P Q ⎫=⎪⎪⎭，故2R P Q y y y =⋅. 又()11:11y MA y x x =++，由()11112y y x x y x n⎧=+⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩可得()1112122P n y y x y +=+-， 同理()2222122Q n y y x y +=+-，由12x ty yx n =+⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()2121R n y t -=-，所以()()()2212211212121=212222n n y n y t x y x y -++⎡⎤⨯⎢⎥-+-+-⎣⎦， 整理得到()()()2212221112112222y y n t n x y x y -⎛⎫=- ⎪++-+-⎝⎭， ()22221214212222t y y y y -=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2222222121212112214212134+++2+442t t t y y y y y y y y y y y y --==+--⨯-+故()222134121n t n t ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-， 令21s t =-，则12s t +=且0s ≠， 故()22222234242411331+444421t s s s s s s t +++⎛⎫==+=++≥ ⎪⎝⎭-，故213141n n n ⎧+⎛⎫≥⎪ ⎪-⎨⎝⎭⎪≠⎩即214101n n n ⎧++≥⎨≠⎩， 解得73n ≤--7431n -+≤<或1n >.故直线l 在x 轴上的截距的范围为743n ≤--731n -+<或1n >. [方法二]：利用焦点弦性质设直线AB 的方程为11x k y =+，直线MA 的方程为21x k y =-，直线MB 的方程为31x k y =-，直线l 的方程为221212,,,,,(,0)244y y y x m A y B y N m ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题设可得1m ≠且112k ≠．由121,4x k y y x=+⎧⎨=⎩得21440y k y --=，所以121124,4y y k y y +==-． 因为2112231121114,44y y y k k y y y +==+=+， 12121223111212110444y y y y y y k k k k y y y y ++∴+=+++=+=-=，()21221212231121212111111441642y y y y y y k k k y y y y y y +⎛⎫⎛⎫=++=+⋅+-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．由21,2x k y y x m =-⎧⎪⎨=+⎪⎩得2112p m y k +=-． 同理3112Q m y k +=-． 由11,2x k y y x m =+⎧⎪⎨=+⎪⎩得1112R m y k -=-． 因为2||||||RN PN QN =⋅，所以2R P Q y y y -⋅=即222211231(1)(1)13112422m m m k k k k ⎛⎫ ⎪-++== ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-+--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故22121314112k m m k ++⎛⎫=⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭． 令112t k =-，则222221111113311244m t t m t t t t +++⎛⎫⎛⎫==++=++≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 所以210,1410,m m m -≠⎧⎨++≥⎩，解得73m ≤--731m -+≤<或1m．故直线l 在x 轴上的截距的范围为(,743)[743,1)(1,)-∞---++∞． [方法三]【最优解】：设()()22,2(0),,2A a a a B b b >，由,,A F B 三点共线得22222221b a ab a a b a -==-+-，即1ab =-． 所以直线MA 的方程为22(1)1a y x a =++，直线MB 的方程为2222(1)(1)11b ay x x b a -=+=+++，直线AB 的方程为22(1)1ay x a =--． 设直线l 的方程为2(2)y x m m =+≠-， 则222(2)(2)(2),,,1112P Q R N m a m a m a my y y x a a a a a a ----====--+++--．所以()()2222222222(2)(2)||||||11m a m a RN PN QN aa aa +-=⋅⇔=--+-．故()()2222222222221112(1)2140,2133111a a a m t t t a m t t a a a a ⎛⎫-- ⎪--+--+⎛⎫⎡⎤⎝⎭====∈ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎣⎦⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭（其中1t a a =-∈R ）． 所以(,1483][1483,)m ∈-∞-++∞． 因此直线l 在x 轴上的截距为(,743][743,1)(1,)2m-∈-∞---++∞．5．（2021·北京·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>一个顶 点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45． （1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围． 【详解】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故122452a b ⨯⨯=，即5a =，故椭圆的标准方程为：22154x y +=. （2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠， 故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N xx y =-+. 直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=， 故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >，所以0M N x x > 又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++ ()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤， 综上，31k -≤<-或13k <≤.1．（2022·天津·一模）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率为2且6AB (1)求椭圆的方程；(2)过点A 的直线与椭圆相交于点24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭H ，与y 轴相交于点S ，过点S 的另一条直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，且△ASM 的面积是△HSN 面积的32倍，求直线l 的方程.【解析】(1)根据题目列方程2222226a b c c a a b ⎧=+⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩ 解得24a =，22b =， 所以椭圆的方程为22142x y +=. (2)由已知得12=-AH k ，所以，直线AH 的方程为()122y x =--，所以，S 点的坐标为()0,1.当直线l 的斜率不存在时，21=-ASM S △，213+=HSN S △， 或21=+ASM S △，213-=HSN S △都与已知不符； 当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2212420k x kx ++-=， 122412k x x k -+=+，122212x x k -=+， 1sin 2=⋅∠ASM S AS MS ASM △，1sin 2=⋅∠HSN S HS NS HSN △， 由△ASM 的面积是△HSN 面积的32可得23=ASM HSN S S △△化简23⋅=⋅AS MS HS NS ，即23=AS NSHS MS， 又3==-A HAS xHS x ，所以，2=NS MS ，即212=-x x ，也就是212x x =-， 所以，12412--=+k x k ，12412=+k x k ，22812-=+k x k ，()2122223221212k x x k k --==++， 解得，2114k =，所以，直线方程为14114=±+y x .2．（2022·福建·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点为12,F F ，22.过点()2,0P 作直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.若A 是椭圆C 的短轴端点时，23AF AP ⋅=.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试判断是否存在直线l ，使得21F A ，2112F P ，21F B 成等差数列？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 【解析】(1) 由题意知：2c e a ==，即2a c =； 当A 为椭圆的短轴端点时，不妨设()0,A b ，则()2,AF b c =-，(),2AP b =-，2223AF AP b c ∴⋅=+=，又22222a b c c =+=，22∴=b c ，即223c c +=，解得：1c =，2a ∴1b =， ∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；(2)设():2l y k x =-，由()22212y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()2222218820k x k x k +-+-=， ()()42264421820k k k ∆=-+->，22k ⎛∴∈ ⎝⎭， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+，()()()42222121212224821221k k x x x x x x k -+∴+=+-=+，()11,0F -，()()2222221111111111112222F A x y x x x x ∴=++=++-=++，同理可得：221221222F B x x =++， ()()2242221211122248122244221x x k k F A F B x x k +++∴+=+++=++， 又219F P =，()4222481224921k k k++∴+=+，整理得：4228830k k --=，即()()22211430k k -+=，解得：2k =，222k ⎛∈- ⎝⎭，∴不存在直线l 符合题意. 3．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知曲线C ：22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为C 的左､右焦点，过1F 作直线l 与C 交于A ，B 两点，满足115AF F B =，且1222AF F S =.设e 为C 的离心率. (1)求2e ； (2)若32e ≤2a =，过点P （4，1）的直线1l 与C 交于E ，F 两点，1l 上存在一点T 使111EP FP PT +=.求T 的轨迹方程. 【解析】 (1)由题直线l 斜率存在且不为0，设:l x my c =-，()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组22221x my cx ya b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222221210m mc c y y ab a a ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 则2222122122222222214,511mc c a a y y y y y y m m a b a b -+=-==-=++，消去2y ，得2222454a m c b =-，不妨设0m >，则()()122121212215452226AF F c y y y y c y y cSy +--====，整理可得64272176136330e e e -+-=，解得212e =3537-3537+（舍）. (2)由题知22:142x y C +=， 若1l 斜率不存在，则与C 无交点，不合题意； 若1l 斜率存在，设1:(4)1l y k x =-+，与22142x y +=联立， 得()()222221416321620k x k k x k k ++-+--=，设()()1122,,,E x y F x y ，则2212122216432162,2121k k k k x x x x k k ---+==++，由()2Δ812810k k =-++>得2727k -+∈⎝⎭，设()00,T x y ，由题120111444x x x +=---，即()1212120811644x x x x x x x --=+-+-， 则可得07424x k -=+， 若07424x k -=+，则008954,2424k k x y k k +-+==++，消去k 得0042110x y +-=，若07424x k --=+，则0082394,2424k k x y k k ++==++，消去k 得0042250x y +-=， 综上，T 的轨迹方程为42110x y +-=或42250x y +-=.4．（2022·广东深圳·二模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点3M ⎛ ⎝⎭，且焦距1223F F =,AB CD 分别是它的长轴和短轴．(1)求椭圆E 的方程；(2)若(,)N s t 是平面上的动点，从下面两个条件中选一个．．．．．．．．．．．，证明：直线PQ 经过定点． ①31,s t =≠,NA NB 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ； ②2,t s =∈R ，直线,NC ND 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ． 【解析】(1)由已知，3c =3M ⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以221314a b +=，又因为222a c b -=，所以 224,1a b ==，所以椭圆的方程为：224,1a b ==.(2)选①，则()()(1,),2,0,2,0N t A B -，设()(),,,P P Q Q P x y Q x y ， ,,12312NA NB t t t k k t ====-+-所以()():2,:2,3NA NB tl y x l y t x =+=-- ()222314t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()2222941616360t x t x t +++-=， ()()42222564941636360t t t ∆=-+-=>所以221636294P t x t --=+，所以2281894Pt x t -+=+，则21294P t y t =+，所以22281812,9494t t P t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭， ()22214y t x x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222214161640t x t x t +-+-=， ()()422256414164160t t t ∆=-+-=>，所以22164214Q t x t -=+，所以228214Qt x t -=+，则2414Q t y t =+，所以 222824,1414t t Q t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 所以322224222124322429414818823664349414PQt tt t t t t k t t t t t t ---++===-+--+-++，所以直线PQ 的方程为：22224282143414t t t y x t t t ⎛⎫---=- ⎪+++⎝⎭， 所以()()43216832162830y x t yt x t y +-++-+=，所以0,4y x ==，故直线PQ 恒过定点()4,0.选②，则()()(,2),0,1,0,1N s C D -，设()(),,,P P Q Q P x y Q x y ， 211213,,NC ND k k s s s s -+====所以13:1,:1,NC ND l y x l y x s s=+=- 221114y x s x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()22224240s y s y s +++-=， ()()4224444640s s s ∆=-+-=>所以2244P s y s -=+，所以284P s x s -=+， 所以22284,44s s P s s ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 同理：223636Q s y s -=+，所以22436Q s x s =+，所以2222436,3636s s Q s s ⎛⎫- ⎪++⎝⎭()()()2222222222364121212364248161612364PQs s s s s s s k s s s s s s s ---+⋅--++===-+-++所以直线PQ 的方程为：22224128+4164s s s y x s s s --⎛⎫-= ⎪++⎝⎭令0x =，则()()2222212+2841=22424s s s y s s --+==++ 故直线PQ 恒过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭.5．（2022·广东汕头·二模）如图所示，C 为半圆锥顶点，O 为圆锥底面圆心，BD 为底面直径，A 为弧BD 中点．BCD △是边长为2的等边三角形，弦AD 上点E 使得二面角E BC D --的大小为30°，且AE t AD =．(1)求t 的值；(2)对于平面ACD 内的动点P 总有OP //平面BEC ，请指出P 的轨迹，并说明该轨迹上任意点P 都使得OP //平面BEC 的理由． 【解析】 (1)易知OC ⊥面ABD ，OA BD ⊥，以,,OD OA OC 所在直线为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系，则(0,1,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,0,3)A B D C -，(1,0,3),(1,1,0),(1,1,0)BC AD BA ==-=，()1,1,0(1,1,0)(1,1,0)BE BA AE BA t AD t t t =+=+=+-=+-， 易知面BCD 的一个法向量为(0,1,0)OA =，设面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则30(1)(1)0n BC x z n BE t x t y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩，令1x =，则13(1,,)13t n t +=--， 可得222131cos30213113t OA n t OA nt t +⋅-===⋅⎛⎫+⎛⎫++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得13t =或3，又点E 在弦AD 上，故13t =. (2)P 的轨迹为过AD 靠近D 的三等分点及CD 中点的直线，证明如下： 取AD 靠近D 的三等分点即DE 中点M ，CD 中点N ，连接,,MN OM ON ， 由O 为BD 中点，易知ON BC ∥，又ON ⊄面BEC ，BC ⊂面BEC ， 所以ON //平面BEC ，又MN EC ∥，MN ⊄面BEC ，CE ⊂面BEC ，所以MN //平面BEC ， 又ON MN N ⋂=，所以面OMN //平面BEC ，即O 和MN 所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC ，又MN ⊂面ACD ，故P 的轨迹即为MN 所在直线， 即过AD 靠近D 的三等分点及CD 中点的直线.（限时：30分钟）1．已知圆C ：()22116x y -+=，点()1,0F -，P 是圆C 上一动点，若线段PF 的垂直平分线和CP 相交于点M .（1）求点M 的轨迹方程E .（2）A ，B 是M 的轨迹方程与x 轴的交点（点A 在点B 左边），直线GH 过点()4,0T 与轨迹E 交于G ，H 两点，直线AG 与1x =交于点N ，求证：动直线NH 过定点B .【详解】（1）由圆()22116x y -+=，可得圆心()1,0C ，半径4r =，因为24FC =<，所以点F 在圆C 内，又由点M 在线段PF 的垂直平分线上，所以MF MP =， 所以4MC MF MP MC PC +=+==，由椭圆的定义知，点M 的轨迹是以F ，C 为焦点的椭圆， 其中2a =，1c =，23b =，所以点M 的轨迹方程为22143x y +=.（2）设直线GH 的方程为4x my =+，()11,G x y ，()22,H x y ，()2,0A -，()2,0B ，将4x my =+代入22143x y +=，得()223424360m y my +++=，1222434my y m -+=+，1223634y y m =+， 直线AG 的方程为11(2)2y yxx ，令1x =得1132y y x =+，即1131,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，NH 的直线方程为121121323(1)12y y x y y x x x -+=-+-+， 2x =代入得()()()()121211211212133231231212y y y y x y x x y y x x x x --++-+=+=-+-+ 12112213(6)3(3)(1)(2)y y my y my x x -++--=-+12122146()(1)(2)my y y y x x ++=-+222136244634340(1)(2)mm m m x x -⨯+⨯++==-+，所以直线NH 过定点(2,0)B ．2．已知定点()22,0O ，点P 为圆1O ：()22232x y ++=(1O 为圆心)上一动点，线段2O P 的垂直平分线与直线1O P 交于点G ．(1)设点G 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(2)若过点2O 且不与x 轴重合的直线l 与(1)中曲线C 交于D ，E 两点，M 为线段DE 的中点，直线OM (O 为原点)与曲线C 交于A ，B 两点，且满足2MD MA MB =⋅，若存在这样的直线，求出直线l 的方程，若不存在请说明理由． 【详解】(1)依题意有2111||42GO GO GO GP O P +=+==，所以G 点轨迹是以1O ，2O 为焦点的椭圆，长轴长242a =，焦距24c =，故点G 的轨迹C 方程为22184x y +=；(2)设存在直线l 满足2MD MA MB =⋅，因为()()22AM BM AO OMBO OM AO OM ⋅=+-=-，222MD AO OM =-，设l 方程为2x my =+，()11,D x y ，()22,E x y ，222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)440m y my ++-=，12242m y y m -+=+，12242y y m -=+． 22221222241642(1)11()222m m DE m y mm m m -+=+-=++=+++，222(1)m MD += 121228()42x x m y y m +=++=+，∴2242(,)22m M m m -++，2OM m k =-，224m OM +=，AB 方程为2m y x =-，设()00,A x y ，()00,B x y --，由222184m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22162x m =+， ∴22222000224(1)42m m OA x y x m +=+=+⋅=+∴2222222228(1)4(4)4(4)(2)2(2)m m m m m m +++=-+++，解得：22m =或21m =-(舍)，2m =±，故存在符合条件的直线l ，其方程为220x y +-=或220x --=．3．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率32e =，椭圆E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，四边形ACBD 的面积为4．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线PC ，PD 分别与x 轴相交于M ，N 两点，设PC ，PD ，OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，过点P 的直线l 的斜率为k ，且123k k kk =，直线l 与x 轴交于点Q ，求MQ NQ -的值．【详解】（1）由题：32c a =，且12242a b ⋅⋅=，又222a c b -=， 所以2a =，1b =，所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）设()00,P x y ，则220014x y +=即()220041x y =-，不妨设()0,1C ，()0,1D -，直线PC ：0011y y x x -=+， 令0y =得001x x y =-，故00,01x M y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭；同理可求00,01x N y⎛⎫ ⎪+⎝⎭． 则200012200011114y y y k k x x x -+-=⋅==-，030y k x =，所以004x k y =-，所以直线l 为()00004x y y x x y -=--，令0y =得220004x y x x +=，又220014x y +=， 故04x x =即04,0Q x ⎛⎫⎪⎝⎭． ()()0000000002881111x MQ NQ x x y y x y y x =+-=--++--， 又220014x y +=即()220041x y =-，代入上式得，02002804x x MQ N x Q --==． 4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别是点A ，B ，直线2:3l x =与椭圆C 相交于D ，E两个不同点，直线DA 与直线DB 的斜率之积为14-，ABD △的面积为23. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 是直线2:3l x =的一个动点(不在x 轴上)，直线AP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，过P 作BQ 的垂线，垂足为M ，在x 轴上是否存在定点N ，使得MN 为定值，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【详解】解：（1）设02,3D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意得0002022122433142223419DA DB y y k k a a a y y ab ⎧⋅=⋅=-⎪+-⎪⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪⎪+=⎪⎪⎪⎩， 2214b a ⎧=∴⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=； （2）假设存在这样的点N ，设直线PM 与x 轴相交于点()0,0T x ，由题意得TP BQ ⊥，由（1）得()2,0B ，设2,3P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,Q x y ，由题意可设直线AP 的方程为2x my =-， 由22214x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22440m y my +-=，1244m y m ∴=+或10y =(舍去)，212284m x m -=+， 223mt =-，83t m∴=， TP BQ ⊥，()0112203TP BQ x x ty ⎛⎫∴⋅=--+= ⎪⎝⎭， 210212284403233416ty m m x x m m +∴=+=+⋅⋅=-+-， ∴直线PM 过定点()0,0T ，∴存在定点()1,0N ，使得1MN =.5．如图，A ，B ，M ，N 为抛物线22y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN 相交于点()1,0，直线AN 过点()2,0.（1）记A ，B 的纵坐标分别为A y ，B y ，求A B y y 的值；（2）记直线AN ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【详解】解：（1）设直线AB 的方程为1x my =+，代入22y x =得2220y my --=，则2A B y y ⋅=-.（2）由（1）同理得2M N y y ⋅=-设直线AN 的方程为2x ny =+，代入22y x =得2240y ny --=，则4A N y y ⋅=- 又122222N A N A N A N A N A y y y y k y y x x y y --===-+-，同理22M B k y y =+ 则212222A N A N A NB M A N y y y y y y k k y y y y λ++=====--+-+ ∴存在实数2λ=，使得212k k =成立.。